5. Klasse

Grundwissen Jahrgangsstufe 5 MGF
1. Die natürlichen Zahlen
Für große Zahlen verwendet man folgende Namen und schreibt sie mit Hilfe von Zehnerpotenzen:
1 Million =1 000 000 = 10 6 ; 1 Milliarde = 1 000 000 000 = 10 9 ; 1 Billion = 1 000 000 000 000 = 1012
Runden einer Zahl auf eine bestimmte Stelle: Betrachte die Ziffer rechts davon.
Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet.
2. Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen
Addieren bedeutet am Zahlenstrahl nach rechts gehen, Subtrahieren bedeutet nach links gehen.
Bezeichnungen beim Addieren:
1. Summand + 2. Summand = Wert der Summe
Bezeichnungen beim Subtrahieren: Minuend – Subtrahend = Wert der Differenz
Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
Assoziativgesetz der Addition:
(a + b) + c = a + (b + c )
Aggregatsregel: Von der Summe der Plusglieder wird die Summe der Minusglieder subtrahiert.
3. Die ganzen Zahlen, ihre Addition und Subtraktion
Zur Menge Ζ der ganzen Zahlen gehören die positiven Zahlen, die negativen Zahlen und die 0.
Liegt auf der Zahlengeraden eine Zahl a links von einer Zahl b, so ist a < b .
Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen. Sie sind auf der Zahlengeraden
gleich weit vom Nullpunkt entfernt. Der Abstand der Zahl a von der Null heißt Betrag von a. Man schreibt
dafür a . Beispiel: 9 und − 9 sind Gegenzahlen. − 9 = 9 = 9 .
Subtrahieren einer Zahl bedeutet dasselbe wie Addieren ihrer Gegenzahl:
3 − ( −2) = 3 + 2 ;
3 − (+ 2) = 3 + (− 2) = 3 − 2
Addieren / Subtrahieren zweier ganzer Zahlen mit gleichen Vorzeichen:
Addiere die Beträge und gib der Summe das gemeinsame Vorzeichen: − 5 − 3 = −(5 + 3)
Addieren / Subtrahieren zweier ganzer Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen:
Subtrahiere den kleineren Betrag vom größeren Betrag und gib der Differenz das Vorzeichen des
Summanden mit dem größeren Betrag: 3 − 5 = −(5 − 3)
Beim Vertauschen von Gliedern sind die Vorzeichen immer mitzunehmen: − 3 + 5 = +5 − 3 .
4. Geometrische Grundbegriffe
Jeder Punkt in einem Koordinatensystem lässt sich durch ein Zahlenpaar beschreiben. Die Zahlen heißen
Koordinaten des Punktes: P(4 | 2 )
(x-Koordinate: 4 nach rechts | y-Koordinate: 2 nach oben)
Bezeichnungen für Punkte: große Buchstaben, z.B. A, B, C, …
Bezeichnungen für Geraden: kleine Buchstaben wie g, h, … oder mithilfe von zwei Punkten: z.B. AB
Bezeichnungen für Strecken: kleine Buchstaben oder durch ihre Endpunkte: z.B. [AB]
Länge einer Strecke: z.B. AB
Zueinander senkrechte Geraden: g ⊥ h ; zueinander parallele Geraden: g || h
Parallelogramm: Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel.
Raute: Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.
Rechteck: Parallelogramm mit zueinander senkrechten Seiten.
Quadrat: Rechteck mit vier gleich langen Seiten.
Ein Winkel wird durch seinen Scheitel und seine Schenkel festgelegt. Sie werden mit kleinen griechischen
Buchstaben bezeichnet: z.B. α , β , γ ,…
Ein 90°-Winkel wird als rechter Winkel bezeichnet.
Alle Punkte eines Kreises haben vom Mittelpunkt den gleichen Abstand. Dieser Abstand heißt Radius.
Wenn zwei Punkte P und P´ bezüglich einer Geraden g symmetrisch liegen, dann wird die
Verbindungsstrecke [PP´] von der Geraden g senkrecht geschnitten und halbiert.
5. Multiplikation und Division natürlicher Zahlen
Bezeichnungen beim Multiplizieren:
1. Faktor ⋅ 2. Faktor = Wert des Produkts
Bezeichnungen beim Dividieren:
Dividend : Divisor = Wert des Quotienten
Kommutativgesetz der Multiplikation:
a ⋅b = b⋅a
Assoziativgesetz der Multiplikation:
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 ; a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a ; 0 : a = 0 ; a : 0 ist verboten, durch Null kann man nicht dividieren!
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):
(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c ;
(a − b ) ⋅ c = a ⋅ c − b ⋅ c
Rechenvorteile nutzen!
(a + b ) : c = a : c + b : c ;
(a − b ) : c = a : c − b : c
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich selbst.
Eine Zahl kann in seine Primfaktoren zerlegt werden.
Potenzieren bedeutet mehrfaches Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst. a ⋅ a ⋅ a ⋅ a = a 4
Der Exponent (Hochzahl) gibt an, wie oft die Basis (Grundzahl) als Faktor auftritt.
Für die Reihenfolge der Rechenschritte gilt:
Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Punktrechnung vor Strichrechnung.
Gliederung: Die zuletzt auszuführende Rechenart legt die Art des Terms fest.
Zählprinzip: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist das Produkt aus den Anzahlen der Möglichkeiten der
einzelnen Stufen.
6. Multiplikation und Division ganzer Zahlen
Multiplizieren / Dividieren zweier ganzer Zahlen:
1. Multipliziere / Dividiere die Beträge.
2. Bei gleichen Vorzeichen gib dem Ergebnis das Vorzeichen +,
bei verschiedenen Vorzeichen gib dem Ergebnis das Vorzeichen – .
7. Größen und ihre Einheiten
Jede Größe besteht aus Maßzahl und Einheit.
Länge
Masse
1km = 1000m
1t = 1000kg
1m = 10dm
1kg = 1000g
1dm = 10cm
1g = 1000mg
1cm = 10mm
Größe : Größe = Zahl;
(+ ) ⋅ (+ ) = + ;
(− ) ⋅ (− ) = + ;
(+ ) ⋅ (− ) = − ;
(− ) ⋅ (+ ) = − ;
Geld
1€ = 100ct
(+ ) : (+ ) = +
(− ) : (− ) = +
(+ ) : (− ) = −
(− ) : (+ ) = −
Zeit
1d
= 24h
1h
= 60min
1 min = 60s
Größe : Zahl = Größe
Die Angabe Maßstab 1:200 in einem Plan bedeutet:
Die Länge im Plan ist der zweihundertste Teil der Länge in der Wirklichkeit.
Die Länge in der Wirklichkeit beträgt das Zweihundertfache der Länge im Plan.
u R = 2 ⋅ l + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (l + b)
uQ = 4 ⋅ s
Umfang eines Rechtecks mit Länge l und Breite b:
Umfang eines Quadrats mit Seitenlänge s:
8. Flächen und Flächenmessung
Die Umrechnungszahl bei Flächeneinheiten ist 100!
1km² = 100ha; 1ha = 100a; 1a = 100m²; 1m² = 100dm²; 1dm² = 100cm²; 1cm² = 100mm²
Fächeninhalt eines Rechtecks mit Länge l und Breite b:
Fächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge s:
AR = l ⋅ b
AQ = s ⋅ s = s 2
Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte der Begrenzungflächen.
Oberflächeninhalt eines Quaders mit Länge l, Breite b und Höhe h:
OQ = 2 ⋅ l ⋅ b + 2 ⋅ l ⋅ h + 2 ⋅ b ⋅ h = 2 ⋅ (l ⋅ b + l ⋅ h + b ⋅ h )
Oberflächeninhalt eines Würfels mit Kantenlänge s:
OW = 6 ⋅ s ⋅ s = 6 ⋅ s 2
Aufgaben zum Grundwissen Jahrgangsstufe 5 MGF
1) a) Schreibe in Ziffern und anschließend mit Hilfe von Zehnerpotenzen kürzer:
acht Billionen siebenhundert Milliarden
b) Schreibe in Ziffern: acht Billionen vierzig Milliarden zweihundert Millionen
achthundertdreitausendfünfhundertzweiunddreißig
c) Runde auf Tausender (auf Hunderter): 587499
a) 134 + 12 − 88 − 17 + 41
b) 288 + 157 + 512
2) Berechne geschickt:
3) Berechne: a) − 7 + (− 8) − (− 9) − (+ 10) + (+ 11)
b) [(− 15) + 27] − [(− 9) − (− 13)]
c) − 13 + 37 + 48 − 63 − 14 + 83
4) Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte A(− 3 | 4) , B(1 | −2) und C (2 | 5) . Zeichne die
Gerade AB, die Strecke [BC] sowie die Parallele zu AB durch C. Miss den Winkel ∠ABC .
5) a) Zerlege 120 und 252 in Primfaktoren und gib in Potenzschreibweise an!
b) Wie viele verschiedene Menüs kann man aus 3 Vorspeisen, 4 Hauptspeisen und 2 Nachspeisen bilden?
c) Anja, Beate und Cora wollen sich auf drei Stühle setzen. Wie viele Möglichkeiten haben sie?
6) Berechne: a) (− 4) ⋅ (+ 5) ⋅ (− 6)
b) (− 289) : (− 17 )
c) − 2 4 + (− 2 )3
d) 2 8 − 8 2 ⋅ 31
e) 10 3 − 2 ⋅ 18 2
f) [− 13 + (− 29 + 7 )] : (− 7 )
(
)
(
)
h) [(− 6 ) ⋅ 8 + 3 ⋅ (− 2 ) ] : 2
g) (− 2 ) − 27 : 7 − [− 21 − (− 16 + 31)]
3
2
2
2
i) [5 ⋅ (− 22) + 17 ⋅ (− 2)] : [20 + 24 : (− 3)]
Berechne geschickt:
j) − 8 ⋅ 77 + 48 ⋅ (− 8)
k) − 19 ⋅ (− 73) + (− 27 ) ⋅ (− 19)
l) 4 ⋅ (− 17 ) ⋅ (− 75)
m) (− 125) ⋅ 27 ⋅ (− 8) ⋅ (− 2)
Stelle einen Term auf und berechne seinen Wert:
n) Subtrahiere von der Differenz der Zahlen 1036 und − 128 die Summe Zahlen − 254 und 375 .
o) Addiere das Quadrat des Quotienten aus 2000 und 40 zu der Differenz, deren Minuend die
Zahl − 5000 ist und deren Subtrahend das Produkt der Zahlen 5 und 12 ist.
7) Schreibe mit der in Klammern angegebenen Einheit:
a) 12km3dm [cm] ,
b) 7t 5kg18 g [kg ]
Berechne: c) 10km11m : 30
d) (15h20 min − 13h28 min ) : 8 min
e) Wie lang ist eine 12km lange Strecke auf einer Karte mit dem Maßstab 1:500 000?
f) Eine Rinderlende wiegt 2,65kg . Der Metzger schneidet 8 Steaks zu je 150 g ab.
Wie viel kg Lende bleiben noch übrig?
8) Schreibe mit der in Klammern angegebenen Einheit:
a) 7 ha9dm 2 [ m 2 ],
b) 40 m 2 5dm 2 [ cm 2 ]
c) Ein rechteckiges Grundstück ist 42m lang und hat einen Flächeninhalt von 14 a 70 m 2 .
Berechne Breite und Umfang des Grundstücks!
d) Ein Quader ist 3m lang, 2m5cm breit und 1m5dm hoch. Berechne seine Oberfläche!
Lösungen der Aufgaben zum Grundwissen Jahrgangsstufe 5 MGF
1) a) 8 700 000 000 000 = 87 ⋅ 1011
b) 8 040 200 803 532
c) auf Tausender: 587499 ≈ 587000
auf Hunderter: 587499 ≈ 587500
2) a) 134 + 12 − 88 − 17 + 41 = (134 + 12 + 41) − (88 + 17) = 187 − 105 = 82
b) 288 + 157 + 512 = (288 + 512) + 157 = 800 + 157 = 957
3) a) − 7 + (− 8) − (− 9) − (+ 10) + (+ 11) = − 7 − 8 + 9 − 10 + 11 = (9 + 11) − (7 + 8 + 10) = 20 − 25 = −5
b) [(− 15) + 27] − [(− 9) − (− 13)] = 12 − [− 9 + 13] = 12 − 4 = 8
c) − 13 + 37 + 48 − 63 − 14 + 83 = (37 + 48 + 83) − (13 + 63 + 14) = 168 − 90 = 78
4) ∠CBA ≈ 42° ⇒ ∠ABC = 360° − ∠CBA ≈ 318°
5) a) 120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5
252 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 7
b) Es gibt 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 verschiedene Menüs.
c) Sie haben 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Möglichkeiten.
6) a) (− 4) ⋅ (+ 5) ⋅ (− 6) = (− 20) ⋅ (− 6) = 120
b) (− 289) : (− 17 ) = 17
c) − 2 4 + (− 2 )3 = −16 + (− 8) = −24
d) 2 8 − 8 2 ⋅ 31 = (256 − 64) ⋅ 3 = 192 ⋅ 3 = 576
e) 10 3 − 2 ⋅ 18 2 = 1000 − 2 ⋅ 324 = 1000 − 648 = 352
f) [− 13 + (− 29 + 7 )] : (− 7 ) = [− 13 − 22] : (− 7 ) = −35 : (− 7 ) = 5
(
)
(
)
h) [(− 6 ) ⋅ 8 + 3 ⋅ (− 2 ) ] : 2 = [− 48 + 9 ⋅ 4] : 4 = [− 48 + 36] : 4 = −12 : 4 = −3
g) (− 2 ) − 27 : 7 − [− 21 − (− 16 + 31)] = (− 8 − 27 ) : 7 − [− 21 − 15] = −35 : 7 − [− 36] = −5 + 36 = 31
3
2
2
2
i) [5 ⋅ (− 22) + 17 ⋅ (− 2)] : [20 + 24 : (− 3)] = [− 110 − 34] : [20 − 8] = −144 : 12 = −12
j) − 8 ⋅ 77 + 48 ⋅ (− 8) = −8 ⋅ (77 + 48) = −8 ⋅ 125 = −1000
k) − 19 ⋅ (− 73) + (− 27 ) ⋅ (− 19) = −19 ⋅ [(− 73) + (− 27 )] = −19 ⋅ (− 100) = 1900
l) 4 ⋅ (− 17 ) ⋅ (− 75) = 4 ⋅ 17 ⋅ 3 ⋅ 25 = (4 ⋅ 25) ⋅ (3 ⋅ 17 ) = 100 ⋅ 51 = 5100
m) (− 125) ⋅ 27 ⋅ (− 8) ⋅ (− 2) = −(125 ⋅ 8) ⋅ (27 ⋅ 2) = −1000 ⋅ 54 = −54000
n) (1036 − (− 128)) − (− 254 + 375) = 1164 − 121 = 1043
o) (− 5000 − 5 ⋅ 12 ) + (2000 : 40 )2 = (− 5000 − 60 ) + 50 2 = −5060 + 2500 = −2560
7) a) 12km3dm = 1 200 030cm
b) 7t 5kg18 g = 7 005,018kg
c) 10km11m : 30 = 100110dm : 30 = 3337dm = 333m7dm
d) (15h20 min − 13h28 min ) : 8 min = (14h80 min − 13h28 min ) : 8 min =
= 1h52 min : 8 min = 112 min : 8 min = 14
e) 12km : 500000 = 12000000mm : 500000 = 24mm
f) 2,65kg − 8 ⋅ 150 g = 2650 g − 1200 g = 1450 g = 1,45kg
8) a) 7ha9dm 2 = 70 000,09m 2
b) 40m 2 5dm 2 = 400 500cm 2
c) Breite: b = A : l = 1470 m 2 : 42m = 35m ; Umfang: u = 2 ⋅ (42m + 35m) = 154m
d) 2 ⋅ (300cm ⋅ 205cm + 300cm ⋅ 150cm + 205cm ⋅ 150cm) =
= 2 ⋅ 61500cm 2 + 45000cm 2 + 30750cm 2 = 2745dm 2 = 27 m 2 24dm 2
(
)