A5110-Trigonometrie-Übungen 1

Mathematik
Trigonometrie
Übungen 1 - Lösungen
Aufgabe 1:
Rechnen Sie folgende Winkel ins Bogenmass um (d.h. rechnen Sie Grad in rad um) und
umgekehrt.
(Lassen Sie Werte wie 2 und π stehen)
180o =
=
90o
=
30o
=
54o
=
3π
10
75o
=
5π
12
1o
=
99o
=
πo
=
4
π
2
π
6
π
180
=
90o
2π
=
360o
3π
5
=
108o
1
=
180o
= 57,295 779 51o
π
2π
3
=
120o
2
π
45o
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π
π
= 0,017 453 292 5
99π
= 1,727 875 959 5
180
π2
180
= 0,054 831135 6
B. Willimann
28.09.2006
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Trigonometrie
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Aufgabe 2:
2
.
3
Berechnen Sie die Werte für die anderen Winkelfunktionen ohne α zu berechnen.
Benutzen Sie die hergeleiteten Zusammenhänge der Winkelfunktionen.
Es sei sin α =
a)
cos α = 1− sin2 α
 2 2
cos α = 1−  
 3 
cos α = 1−
4
9
5
9
5
cos α =
3
cos α =
sin α
cos α
2
tan α = 3
5
3
2 3
tan α = i
3
5
2
tan α =
5
5
b)
tan α =
c)
cot α =
cot α =
cot α =
1
tan α
5
2 5
5
2 5
5
cot α =
2
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5
i
5
B. Willimann
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Aufgabe 3:
2
.
3
Berechnen Sie die Werte für die anderen Winkelfunktionen ohne α zu berechnen.
Benutzen Sie die hergeleiteten Zusammenhänge der Winkelfunktionen.
Es sei tan α =
a)
tan α =
sin α
cos α
sin α
2
=
3
1− sin2 α
2
sin α
=
3
1− sin2 α
2
1− sin2 α = sin α
3
2
1− sin2 α = sin α
3
4
(1− sin2 α ) = sin2 α
9
4 4 2
− sin α = sin2 α
9 9
4
4
= sin2 α + sin2 α
9
9
4 13 2
=
sin α
9
9
4
sin2 α =
13
4
sin α =
13
b)
cos α = 1− sin2 α
c)
cos α = 1− sin2 α
cos α = 1−
cos α =
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4
13
1
tan α
1
cot α =
2
3
3
cot α =
2
cot α =
9
13
B. Willimann
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Aufgabe 4:
Berechnen Sie algebraisch jede Winkelfunktion aus jeder anderen mit Hilfe der
hergeleiteten Beziehungen – vervollständigen Sie die Tabelle:
(Gegeben sind die blau gefärbten Funktionen, gesucht sind die gelben.)
Ein Beispiel ist hier Schritt für Schritt gerechnet:
Gegeben ist der tan α , gesucht ist der sin α :
sin α
=
tanα
cos α
sinα
=
tan α ⋅ cos α
│ ⋅ cos α
│ cosα
sinα
sin2 α
=
=
tan α ⋅ 1− sin2 α
tan2 α ⋅ (1− sin2 α )
│
sin2 α
sin2 α + sin2 α ⋅ tan2 α
sin2 α (1+ tan2 α )
=
=
=
tan2 α − sin2 α ⋅ tan2 α
tan2 α
tan2 α
│ + sin
=
tan2 α
1+ tan2 α
2
sin α
sin α =
tan α
1+ tan2 α
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durch sinα ersetzen
quadrieren
│TU: Distributivgesetz
α ⋅ tan2 α
│TU: Distributivgesetz
2
│ : (1 + tan α )
│
2
ziehen
(vgl. Tabelle: 1. Zeile, 3. Spalte)
B. Willimann
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Aufgabe 5:
Für welche Winkel x gilt
a) sin x = 1,5
Für keinen, die Sinusfunktion steigt nie über 1
b) cos x = 0
x = 90o
x=
c) tan x = 1
x = 45o
x=
d) cot x = 1
x = 45o
x=
π
2
π
4
π
4
Aufgabe 6:
Für welchen Winkel x gilt:
a)
"Der Sinus ist doppelt so gross wie der Kosinus?"
sin x = 2cos x b)
sin x
= 2 tan x = 2 x = arctan(2) = 63,43o
cos x
"Der Kotangens ist doppelt so gross wie der Tangens?"
cot x = 2 tan x A5110-Trigonometrie
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1
2
2
= 2 tan x 1 = 2 tan2 x tan x =
x = arctan(
) = 35,26o
tan x
2
2
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Aufgabe 8: Pythagoräische Zahlentrippel
Sind in einem rechtwinkligen Dreieck alle drei Seiten ganzzahlig so bilden diese ein
pythagoräisches Zahlentrippel.
Konstruieren Sie zu jedem Trippel das zugehörige rechtwinklige Dreieck möglichst exakt und
messen Sie die beiden spitzen Winkel. Berechnen Sie nun die Winkel mit einer
Winkelfunktion nach Ihrer Wahl und geben Sie die Winkel in Grad, Minuten und Sekunden an:
(Hier sind exakte Dreieckskonstruktionen
gefragt)
a) 3, 4, 5
3
sin α =
5
3
α = arcsin   = 36,87o
 5 
sin β =
4
5
 4
β = arcsin   = 53,13o
 5 
Umrechnung auf Grad, Minuten und Sekunden – Beispiel:
α = 36,87o
α = 36o , Re st 0,870
60 ⋅ 0,870 = 52,2'
60 ⋅ 0,2' = 12''
α = 36o 52', Re st 0,2'
α = 36o 52' 12''
0
Umgekehrt:

52
12 
0
α = 36 +
+
 = 36,87

60 3600 
b) 5, 12, 13
12
tan α =
5
12 
α = arctan   = 67,38o
 5 
cos β =
12
13
12 
β = arccos   = 22,62o
13 
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Aufgabe 9:
Berechnen Sie die Sinus-Werte für die Winkel 30o, 45o und 60o; zeichnen Sie sinnvolle
rechtwinklige Dreiecke und wenden Sie dann die Definition des Sinus an.
(Wenn Sie Wurzelwerte erhalten, lassen Sie diese in der Formel stehen)
(Hier reicht eine
Skizze von Hand)
Die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnet sich nach Pythagoras
2
 s 
s
2

3
aus s =   + h2 zu h =
 2 
2
Die Diagonale im Quadrat berechnet sich nach Pythagoras
a
aus d2 = a2 + a2 zu d =
2
2
s
1
sin (30o ) = 2 =
s 2
sin (45o ) =
a
a
1
2
=
=
=
d a 2
2
2
s
3
h
1
sin (60o ) = = 2
=
3
s
s
2
sin (0o ) = 0;
1
sin (30o ) = ;
2
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sin (45o ) =
2
;
2
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sin (60o ) =
1
3;
2
sin (90o ) = 1
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