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STRÖMUNGSLEHRE UND STRÖMUNGSMASCHINEN
WIRTSCHAFTSINGENIEURWESEN
Prof. Dr.-Ing. J. A. Szymczyk
(I) Statik der Fluide
1.
Eigenschaften von Fluiden
1.1 Vorbetrachtungen
1.2 Dichte, Kontinuität der Masse
1.3 Massenstrom, Volumenstrom
2.
Druck
3.
Hydrostatik
3.1. Grundgleichung der Hydrostatik
3.2. Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung
3.2.1 Pascalsches Paradoxon
3.2.2 Druckverlauf in kommunizierenden Röhren
3.3 Statischer Auftrieb
(II) Dynamik der Fluide
4.
Beschreibung von Strömungen
5.
Viskosität
5.1 Viskosität
6.
Massenerhaltungsgesetz
7.
Energiesatz (1. HS)
7.1. Allgemeiner Energiesatz
7.2. Inkompressible reibungsfreie Strömung ohne mechanische Leistung
7.3. Inkompressible reibungsbehaftete Strömung
7.5. Inkompressible reibungslose Fluide mit Energiezufuhr (Strömungsmaschinen)
7.5.1 Energiegleichung. Spezifische Stutzenarbeit
7.5.2 Pumpe
7.5.3 Turbine
7.4. Inkompressible reibungslose Strömung (Bernoulli-Gleichung)
7.4.1. Geschwindigkeits-, Druck-, Höhenform
7.4.2. Anwendung der Energie-Gleichung
7.4.2.1 BERNOULLI-Gleichung ohne Höhenglied
7.4.2.2 TORRICELLIsche Ausflußformel
7.4.2.3 Druck im Staupunkt
7.4.2.4 Pitot - Rohr
7.4.2.5 Venturi - Düse
7.6. Inkompressible reibungsbehaftete Fluide ohne Energiezufuhr
7.6.1. Rohrströmung
8.
Spezialfall der Energiegleichung. Die Eulerschen Gleichungen (inkompressibles Fluid)
9.
Allgemeiner Abriss der Kreiselpumpen und Gebläse
9.1 Radiallaufrad
9.2 Euler-Turbingleichung
9.3 Kennlinien von Strömungsmaschinen
9.4 Kavitation
9.5 Dichte und Kompressibilität
9.6 Isotherme und adiabate Zustandsänderung
10.Strömungstechnische Auslegung der Kraft- und Arbeitsmaschinen
10.1 Axialventilatoren
10.2 Pumpen
10.2 Wasserturbinen
Dieses Skript ist nur für den Gebrauch neben der Vorlesung gedacht; für die Richtigkeit kann keine Gewähr übernommen werden!
Zur diesem Vorlesungsskript sollte das Übungsmanuskript „Strömungslehre“ verwendet werden.
1-1
1.
Eigenschaften von Fluiden
1.1.
Vorbetrachtungen
Einteilung der Strömungsmechanik
Hydromechanik
Statik der
Fluide
Dynamik der
Fluide
(ruhendes
Fluid)
(bewegtes
Fluid)
Hydrostatik
Hydrodynamik
Aerostatik
Aerodynamik
ρ = konst..
Aeromechanik
ρ ≠ konst..
Tab.1-1
Gasdynamik
Einteilung der Strömungsmechanik
Bei Gasströmungen mit Geschwindigkeiten kleiner
als etwa 100 m/s sind die Dichteänderungen so
klein, daß man mit konstanter Dichte rechnen und
somit die Gesetze der Hydrodynamik anwenden kann.
Die meisten Gesetze der Strömungsmechanik gelten
gleichermaßen für Flüssigkeiten und Gase. Der
übergeordnete Begriff dafür heißt Fluid.
Flüssigkeit → Wasser ⎫
⎬ Fluide
Gas
→ Luft ⎭
1-2
1.2.
Dichte, Kontinuität der Masse
Ein Fluid wird als ein "Kontinuum" angesehen. In
einem Kontinuum ist das kleinste betrachtete
Volumenelement dV noch immer homogen, d.h. die
Abmessungen von dV sind noch groß gegenüber dem
mittleren Molekülabstand im Fluid.
Dichte eines Fluidelements
1
(1-3)
v = ρ
m3
[v] = kg
das spez. Volumen eines Fluids
Die Dichte ist eine Funktion des Ortes und der
Zeit:
ρ = ρ(x, y, z, t) für ein kartesisches
Koordinatensystem
Bei veränderlicher Dichte spricht man von
kompressiblen Fluiden.
Bei konstanter Dichte von inkompressiblen Fluiden
m
ρ = V = konst.(bei inkompressiblen Fluiden) (1-4)
Jedes Fluid besitzt eine Masse. Die Dimension der
Masse ist "kg".
Die Masse beansprucht Raum. Diesen Raum nennen wir
Volumen, welches die Dimension "m3" trägt.
1-3
ρ=
m ⎡ kg ⎤
V ⎢⎣ m 3 ⎥⎦
(1-5)
Zwischen der Dichte von Flüssigkeiten und der von
Gasen besteht ein riesiger Unterschied, der
ungefähr dem Faktor 1000 entspricht.
Zu Beachten ist die Abhängigkeit der Dichte vom
Druck p und der Temperatur T, die für viele Fluide
in Form einer Zustandsgleichung gegeben ist. Für
ideale Gase ist dies die Gleichung
p
ρ
= R ⋅T,
(1-6)
R die Gaskonstante des Gases.
Im Gegensatz zu Gasen weisen Flüssigkeiten nur
schwache Abhängigkeiten der Dichte vom Druck und
von der Temperatur auf.
ρ (kg/m³)
Fluid
Helium
0,1785
Wasserdampf
0,768
Stickstoff
1,2505
Sauerstoff
1,4289
Luft
1,2928
Argon
1,784
Kohlendioxid
1,977
Mineralöl
850
Wasser
998,2
Quecksilber
13595,5
Quecksiber (20°C)
13546
Tab.1-2 Dichte verschiedener Fluide bei 0°C und 1 atm
1-4
Abb.1-1
1.3.
Dichte von Wasser als Funktion von T und p
Massenstrom, Volumenstrom
Das Fluid bewegt sich vor dem ortsfesten
Hintergrund: es strömt. Wir stellen uns einen
ortsfesten, ebenen Ring beliebiger Form vor,
dessen Querschnitt A durchströmt wird.
Abb.1-2
Strömung durch einen gedachten Querschnitt A
Wir interessieren uns für die Masse, die pro
Zeiteinheit über den Querschnitt A strömt.
Sie ist proportional zu A und zu ρ.
Weiter ist sie proportional zur Geschwindigkeit w
des Fluids, genauer gesagt zu der Komponente, mit
der das Fluid senkrecht zu A strömt.
& ~ A
m
[kg/s]
(1-7)
1-5
&
m
~ ρ
(1-8)
(1-9)
& = w ⋅ cos α ⋅ ρ ⋅ A
m
Die andere Komponente liegt in A und kann somit
nichts über A fördern. Für den Massenstrom m& mit
der Dimension "kg/s" erhalten wir danach:
&
m
= w ρ A
(1-10)
Das Produkt
⎡ m3 ⎤
⎢ ⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
V&
= w⋅A
V&
= w cosα A
(1-11)
(1-12)
heißt Volumenstrom
mit der Dimension "m3/s". Es gilt also auch:
&
m
= ρ
Abb.1-3
V&
.
(1-13)
Stromröhre bei stationärer Strömung
Wir orientieren nun zwei Ringflächen A1 und A2 so,
daß sie senkrecht zur Strömung stehen.
Wir verbinden die beiden Ringe durch eine gedachte
Röhre. Das ganze heißt dann eine Stromröhre.
Das Wesentliche daran ist, daß das Fluid nur
entlang der Röhrenwand strömen kann.
1-6
Wir setzen voraus, daß sich die Strömung über die
Zeit nicht verändert (stationär), d.h., daß ρ und
w an jedem Punkt der Röhre konstant sind, während
sie sich entlang der Röhre ändern können.
Nun muß, da Masse nicht verschwinden oder erzeugt
werden kann, diejenige Masse, die pro Zeiteinheit
durch A1 in die Stromröhre eintritt, in der selben
Zeiteinheit durch A2 wieder austreten.
D.h. es gilt:
(1-14)
oder
w 1ρ 1 A 1 = w 2 ρ 2 A 2
(1-15)
Wenn sich die Dichte des Fluids auf dem Weg von A1
nach A2 nicht ändert, gilt:
w 1A 1 = w 2 A 2
(1-16)
oder
(1-17)
Wenn darüber hinaus auch noch die Querschnitte
gleich sind, folgt:
w1 = w 2
(1-18)
1-7
Bsp.: Spritze
Abb.1-4 Spritze
&1 = m
&2
m
w 1ρ/ 1A 1 = w 2 ρ/ 2 A 2 weil ρ1 = ρ 2
w1 A 2
=
w 2 A1
(1-19)
(1-20)
(1-21)
Eine Spritze ist eine Stromröhre mit festen Wänden
und deutlicher Querschnittsverengung.
Die Spritzenflüssigkeit ändert ihre Dichte nicht.
Wir erhalten für die relative Erhöhung der
Geschwindigkeit:
w2 −w1 A1 − A2
=
w1
A2
(1-22)
1-8
Bsp.: Rohrverzweigung
Abb.1-5
Rohrverzweigung
Eine Stromröhre mit festen Wänden kann sich
verzweigen. Die Massenstrombilanz lautet:
&1 = m
&2 + m
&3
m
(1-23)
und bei konstanter Dichte:
V&1 = V&2 + V&3
(1-24)
Wenn zwei Ströme gegeben sind, läßt sich der
dritte ermitteln. Allein aufgrund der
Flächenaufteilung der Verzweigung läßt sich
allerdings nicht sagen, wie sich die Ströme
verteilen.
2-1
2.
Druck
Der Druck spielt eine entscheidende Rolle in der
Mechanik der Fluide.
Abb.2-1
p=
K
A
Gasbehälter
⎡N ⎤
⎢ 2⎥
⎣m ⎦
(2-1)
p - Druck auf den Kolben (skalar)
105
N
= 105 Pa = 1 bar = 1000 mbar = 10 , 2 mH 2 O
2
m
In der Technik werden verschiedene Druckgrößen
verwendet.
p abs = p u + ρgh
⇒
p abs = p 0 + ∆p
(2-2)
p abs - absoluter Druck (gegenüber dem Druck im
leeren Raum)
∆p = p 2 − p 1 - Druckdifferenz, gezeigt durch
Manometer
p u - Umgebungsdruck (Atmosphärendruck - Barometer)
2-2
Abb.2-2
Stromröhre
2
w
w
p1 + ρ 1 = p2 + ρ 2
2
2
p1 und p2
ρ
w1
2
2
und
ρ
w2
2
2
− statische Drücke
2
− dynamische Drücke
(2-3)
3-1
3.
Hydrostatik
3.1.
Grundgleichung der Hydrostatik
Ein
dem
der
Die
ruhendes inkompressibles homogenes Fluid unter
Einfluß der Schwerkraftbeschleunigung g. An
Oberfläche herrscht immer der Umgebungsdruck.
Aufgabe lautet: Berechne den Druck p.
Abb.3-1 Inkompressibles homogenes Fluid (Gersten:
Einf. i. d.
STM)
Fp - Druckkraft; G - Gewichtskraft
Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung:
∑F
iz
= mz&&
(3-1)
Fp − mg − p 0 ⋅ A = 0
(3-2)
p ⋅ A − mg − p 0 ⋅ A = 0
(3-3)
m = ρ⋅V = ρ⋅A⋅h
damit in die Gleichung
(3-4)
3-2
p ⋅ A/ − ρ ⋅ h ⋅ A/ ⋅ g − p 0 ⋅ A/ = 0 : A
p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h
(3-5)
Grundgleichung der Hydrostatik (3-6)
Aus dieser Gleichung leitet man zwei Sätze ab:
Satz 1: In Punkten gleicher Höhe herscht gleicher Druck.
Satz 2: Der Druck wächst proportional zur Tiefe.
3.2.
Anwendung der hydrostat.Grundgleichung
3.2.1. Pascalsches Paradoxon
- gleiche Flüssigkeit
- gleiche Höhe
- gleiche Fläche
- verschiedenes Gewicht
3-3
Abb.3-2 Pascalsches Paradoxon (Becker: Technische
Strömungslehre)
p1 = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h
p 2 = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h
p3 = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h
(3-7)
p1 = F / A
p2 = F / A
p3 = F / A
(3-8)
p1 = p2 = p3
(3-9)
Der Bodendruck ist in allen skizzierten Gefäßen
gleich.
Es wirkt die gleiche Kraft F unabhängig vom
Gewicht der Flüssigkeit.
Die Druckkraft ist unabhängig von der Gefäßform,
wenn die Grundflächen gleich groß sind.
p=
F
A
(3-10)
3.2.2. Druckverlauf in kommunizierenden Röhren
Abb.3-3 Kommunizierende Röhren
3-4
U-Rohr mit zwei nicht mischbaren Flüssigkeiten
Abb.3-4
U - Rohr (Gersten: Einf. i. d. STM)
p L = p 0 + ρ 1gh 1
(3-11)
p R = p 0 + ρ 2 gh 2
(3-12)
pL = pR
(3-13)
Grundgleichung der Hydrostatik
p/ 0 + ρ 1gh
/ 1 = p/ 0 + ρ 2 gh
/ 2
ρ1 h 2
=
ρ 2 h1
(3-14)
(3-15)
( lt. Abbildung h2/h1 > 1 ⇒ ρ1 > ρ2 )
Hydraulische Presse
Abb.3-5
Hydraulische Presse (Gersten: Einf. i. d. STM)
3-5
pL =
F1
+ ρ ⋅ g ⋅ h1
A1
(3-16)
pR =
F2
A2
(3-17)
F1 F2
=
− ρ ⋅ g ⋅ h1
A1 A2
da ρ ⋅ g ⋅ h1 <<
F1 F2
=
A1 A2
F2
A
= 2
F1
A1
F2
A2
(3-18)
(3-19)
da A2 >> A1 ⇒ F2 >> F1
(3-20)
Schlußfolgerung: Mit einer kleinen Kraft F1 kann man eine
große Kraft F2 erzeugen.
U - Rohr - Manometer zur Messung des Gasdruckes pg
Abb.3-6
links
U - Rohr - Manometer (Becker: Technische STL)
=
rechts
p g + ρ/ G ⋅ g/ ⋅ h/ 1 = p0 + ρ Fl ⋅ g ⋅ ∆h
(3-21)
ρ G ⋅ g ⋅ h1 = 0 ⇒ ρ g << ρ Fl
(3-22)
pG = p0 + ρ ⋅ g ⋅ ∆h
(3-23)
3-6
3.3.
Statischer Auftrieb
Beim Eintauchen eines beliebig geformten Körpers
in eine Flüssigkeit stellt man eine scheinbare
Gewichtsminderung fest.
Abb.3-7 Druckkräfte am eingetauchten Körper
Archimedes entdeckte, daß der Betrag, um den sich
das Gewicht scheinbar vermindert, gleich ist dem
Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge.
FA = ρ Fl ⋅ VK ⋅ g
(3-24)
VK - Volumen des eingetauchten Körpers
Der statische Auftieb eines vollständig in eine
Flüssigkeit eingetauchten Körpers ρ Fl ⋅ VK ⋅ g ist gleich dem
Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
3-7
Schwimmen
FA=G
(3-32)
Der Körper schwimmt, wenn ein Teil seines Volumens
aus der Flüssigkeit herausragt.
Schweben
Der Körper ist völlig eingetaucht.
4-1
(II)
Dynamik der Fluide
4.
Beschreibung von Strömungen
Um die Bewegung des Fluids in einer Strömung zu
beschreiben, gibt es zwei verschiedene
Darstellungsmethoden:
Die Strömung in einem vorgegebenen
Koordinatensystem z.B. kartesischer
Koordinatensystem mit der Zeit ist charakterisiert
durch
Temperatur
Druck
p = p(x, y, z, t)
(4-1)
Dichte
ρ = ρ(x, y, z, t)
(4-2)
Geschwindigkeit
w = w(x, y, z, t) =
{ u(x, y, z, t),v(x, y, z, t),w(x, y, z, t) }
(4-3)
Es interessiert also nicht das Einzelschicksal der
Fluidteilchen, sondern das Verhalten ständig
wechselnder Fluidteilchen, die einen vorgegebenen
Punkt passieren.
1. Für dreidimensionale Strömungen gilt:
u, v, w, p, ρ, T = f (x, y, z, t) (räumlich)
2. Für zweidimensionale Strömungen gilt:
u, v, p, ρ, T = f (x, y, t)
(ebene
Strömung)
3. Für eindimensionale Strömungen gilt:
u, p, ρ, T = f (x, t)
(Stromfaden,
wenn stationäre Strömung)
4-2
Zeitabhängigkeit:
1. Liegt keine Zeitabhängigkeit vor, spricht man
von einer stationären Strömung.
2. Liegt Zeitabhängigkeit vor, spricht man von
einer instationären Strömung.
Stoffeigenschaften:
1. reibungsfreie/reibungsbehaftete Strömung
2. kompressible/inkompressible Strömung
3. ideales/nichtideales Gas
Inkompressibles Fluid (ρ = konst.)
Eine Strömung, bei der die Dichte r des strömenden
Fluids konstant bleibt, heißt inkompressible
Strömung.
Vernachlässigung der Temperatur T
Wenn einfache (Model-) Fluide betrachtet werden,
kann die Temperatur vernachlässigt werden.
1) Inkompressibles Fluid (ρ = konst.)
Das Temperaturfeld hat keinen Einfluß auf Druckund Geschwindigkeitsverteilung (-Feld) wenn
Viskosität etc. konstant sind.
2) Ideales Gas (p = ρ R T)
Wenn Druck p und Dichte ρ bekannt sind, kann die
Temperatur berechnet werden. R ist eine
Gaskonstante.
5-1
5.
Viskosität
Abb.5-1
Couette - Strömung
Fluid befinde sich zwischen einer festen
Grundplatte und einer in Abstand h dazu parallelen
Platte, die mit der Geschwindigkeit U bewegt wird
(Couette-Strömung).
Plattenfläche A →
benötigte Tangentialkraft
oder Schubspannungskraft F.
Haftbedingung: Am Rande haben die
Flüssigkeitsteilchen die gleiche Geschwindigkeit
wie die Platte.
In einem Fluid ist die Schubspannung τ das
Verhältnis der Schubkraft zur Fläche, an der die
Schubkraft angreift.
F
τ = A
(5-1)
5-2
mit:
A = Plattefläche
Der Zussamenhang zwischen Schubspannung τ
(Belastung) und dem Geschwindigkeitsgradienten
heßt Reibungsgesetz
τ = η
Fehler!
Newtonisches Reibungsgesetz
(5-4)
Ein Fluid mit linearem Reibungsgesetz heißt
Newtonisches Fluid, anderenfalls Nichtnewtonisches
Fluid
η = dynamische Viskosität;
[η] =
Fehler!;
1 P (Poise) = 0,1
(5-9)
Fehler!
Definition: Die kinematische (dichtebezogene)
Viskosität ν
ν=
ν
ρ
(5-10)
m2
ν =
s
1 St (Stokes) = 10-4
Fehler!
SM I und SM II behandeln nur Newtonische Fluide
6-1
6.
Massenerhaltungsgesetz
Allgemein gibt es vier Erhaltungssätze:
- Energieerhaltungssatz
- Impulserhaltungssatz
- Massenerhaltungssatz
- Impulsmomentensatz
Aus dem Massenerhaltungssatz läßt sich die
Kontinuitätsgleichung (Konti) entwickeln.
Formulierungen der Kontinuitätsgleichung
kompressibel
(ρ ≠ konst.)
inkompressibel
(ρ = konst.)
A ≠ konst.
ρ w A = konst.
ρ ⋅ V& = m,· =
konst.
(Massenstrom)
w A = konst.
V,· = konst.
(Volumenstrom)
A = konst.
(konstanter
Querschnitt)
ρ w = konst.
Massendichte=
konst.
w = konst.
Volumendichte=
konst.
Tab.6-1
Kontinuitätsgleichung
Für kompressible Fluide (ρ≠ konst.) bei
veränderlichen Querschnitt gilt:
m,· = ρ w A = konst.
(6-1)
Massenstrom ist immer positiv
Für inkompressible Fluide (ρ = konst.) gilt:
V,· = w A = konst.
(6-2)
7-1
7.
Energiesatz (1. HS)
7.1.
Allgemeiner Energiesatz
Energiesatz bedeutet Energiebilanz
Energiebilanz bedeutet Gleichgewicht
Abb.7-1: Energiebilanz für eine Stromröhre
1, 2: Querschnitte, für welche eine Energiebilanz
aufgestellt wird
PM - mechanische Leistung einer Pumpe/Turbine oder
Energie pro Zeit
ANNAHMEN:
- stationäre Strömung (zeitunabhängig)
- inkompressible Strömung (ρ = const.)
- reibungsbehaftete Strömung
( v ≠ 0)
7-2
Die gesamte Strömungsenergie besteht aus der:
kinetischen Energie (Leistung; Bewegungsenergie)
1
& ⋅ w2
⋅m
2
(7-1)
Druckenergie ( die dem Volumen zu- bzw. abgeführte
Arbeit)
&
m
ρ
(V ⋅ p)
⋅p
(7-2)
Höhenenergie
zwischen den Zuständen 1 und 2 besteht ein
Höhenunterschied (Leistung eines Kraftfeldes g)
& ⋅g⋅z
m
(7-3)
Inneren Energie
-
als aufgespeicherte Wärme (Wärmeleistung)
& ⋅ c v ⋅ ∆T
Q& = m
(7-4)
cv ⋅ ∆T = ϕ
(7-5)
ϕ[m²/s²]-
spezifische Dissipation
(Reibungsverluste)
cw[Nm/kgK]- Wärmekapazität (die Wärme, die zur
Erwärmung von 1 kg einea Stoffes um 1K
erforderlich ist)
Zu - oder Abgeführte Energie (mechanische
Leistung)
& ⋅ wt
PM = m
(7-6)
wt - spezifische technische Arbeit
über die Arbeitsmaschine (Pumpe, Turbine) kann
dem Volumen
Arbeit zu- oder abgeführt werden
Zufuhr - Pumpe
Abfuhr - Turbine
7-3
PM =
W
t
(7-7)
Bilanz
1
& ⋅ w2
⋅m
2
+
&
m
ρ
⋅p
+
& ⋅g⋅z
m
+
& ⋅ c v ⋅ ∆T
m
+
& ⋅ wt
m
=
konst. / ÷ m
&
(7-8)
kin.
Druck- Höhen- innere
energie energie energie Wärme
mech.
Energie
1 2 p
⋅ w + + g ⋅ z + ϕ + wt = konst.
ρ
2
/⋅ρ
(7-9)
1
⋅ ρ ⋅ w 2 + p + ρ ⋅ g ⋅ z + ρ ⋅ ϕ + ρ ⋅ wt = konst .
2
(7-10)
Für einen beliebigen Querschnitt A2
7.2.
Inkompressible reibungsfreie Strömung
ohne mechanische Leistung
Anfang = Ende
1
1
2
2
⋅ ρ ⋅ w1 + p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1 = ⋅ ρ ⋅ w2 + p2 + ρ ⋅ g ⋅ z 2
2
2
(7-11)
1
⋅ ρ ⋅ w 2 + p + ρ ⋅ g ⋅ z = konst .
2
7.3.
(7-12)
Inkompressible reibungsbehaftete Strömung
1
1
⋅ ρ ⋅ w12 + p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1 = ⋅ ρ ⋅ w22 + p2 + ρ ⋅ g ⋅ z2 + ∆pG (7-13)
2
2
7-4
7.4.
Inkompressible reibungslose Strömung
(Bernoulli- Gleichung)
7.4.1. Energie-, Druck-, Höhenform
(ohne Energie - Zu - oder Abfuhr;
Mechanische Arbeit wt12=0)
Annahmen:
q12=0 , ρ=const. , T=const.
Ende ⇒
(7-14)
Anfang
d ⇒
c
a) Energieform
w22
2
+
p2
+
ρ
g ⋅ z2
w12 p1
=
+
+ g ⋅ z1
2
ρ
(7-15)
kin., Druck-, potent. Energie
b) Druckform
w22
⋅p +
2
p2
w12
+ ρ ⋅ g ⋅ z2 =
⋅ p + p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1
2
(7-16)
dyn.,
stat., geodet. -Druck
c) Höhenform
w22
2⋅ g
+
p2
ρ⋅ g
+ z2
w12
p
=
+ 1 + z1
2⋅ g ρ⋅ g
Geschw.,Druck, geodet. -Höhe
(7-17)
7-5
7.4.2.
Anwendung der Energie-Gleichung
7.4.2.1.
BERNOULLI-Gleichung ohne Höhenglied
Bei annähernd horizontalen Flüssigkeitsströmungen
und bei Gasströmungen kann das Höhenglied fast
immer vernachlässigt werden, d.h. z=0.
Die Bernoulli-Gleichung ohne Höhenglied lautet:
ρ
2
⋅ w22 + p2 =
ρ
2
⋅ w12 + p1 = const.
(7-22)
Der dynamische Druck q (Staudruck):
q=
ρ
2
⋅ w2
q = pa
(7-23)
Der Gesamtdruck pg:
pg =
ρ
2
⋅ w2 + p
p g = pa
(7-24)
Damit lautet die Bernoulli-Gleichung ohne
Höhenglied:
q + p = p g = const .
dynamischer Druck + p = Gesamtdruck
(7-25)
7-6
7.4.2.2.
Abb.7-3
TOORRICELLIsche Ausflußformel
Torricellische Ausflußformel
Ein oben offenes (großes!) Gefäß mit einer Öffnung
am unteren Ende, aus dem reibungslos Flüssigkeit
in die Umgebung ausströmt.
Die Bernoulli-Gleichung in Energieform lautet
dazu:
p
1 2 p0
⋅ w2 +
+ g ⋅ z 2 = 0 + 0 + g ⋅ z1
ρ
ρ
2
(7-26)
w = 0 → großes Gefäß, A1 >> A2
(7-27)
7-7
1 2
⋅ w2 = g ⋅ ( z1 − z 2 ) = g ⋅ h
2
w2 = 2 ⋅ g ⋅ h
Abb.7-4:
(7-28)
(7-29)
Ausfluß von Flüssigkeiten aus
verschiedenen Gefäßen
Die Ausflußgeschwindigkeit hängt nur von h und
nicht von der Ausflußrichtung ab.
In der obigen Darstellung ist die Geschwindigkeit
w2 in allen drei Fällen konstant. Die Dichte hat
hier ebenfalls keinen Einfluß.
Die Ausflußformel von Torricelli gilt nur für
h = const. → (z1 - z2) = const.
Wenn h ≠ const. ist, liegt ein instationärer
Ausflußvorgang vor.
7-8
7.4.2.3.
Druck im Staupunkt
Abb.7-5: Druck im Staupunkt
Beim Auftreffen einer Strömung auf ein freies
Hindernis entsteht der Staupunkt.
Gesucht ist der Druck im Staupunkt (w2 = 0).
Da z1 = z2 ist, ist hierfür die BernoulliGleichung für horizontale Strömungen ohne
Höhenglied geeignet.
ρ 2
⋅ w ∞ + p ∞ = 0 + p S = p ges
2
(7-30)
dynamischer Druck
Der Druck im Staupunkt ist gleich dem Gesamtdruck:
p2 = pges
7-9
Beispiel: Wind gegen eine Wand
Bei der Windgeschwindigkeit v = 100 km/h ergibt
sich mit ρL = 1,2 kg/m³ der Staudruck
p dyn
ρL ⋅ v2
=
= 464
2
N
m2
→
A − Fläche
Diese Kraft F = p ⋅ A
Bau von Häusern berücksichtigt werden.
(7-31)
muß beim
Man unerscheidet STAUDRUCK (dynamischer Druck)
und DRUCK IM STAUPUNKT!
Für den Stromfaden im weit stromaufwärts gelegenen
Punkt 1 (obige Abbildung) gilt:
Umgebungsdruck p∞ , Geschwindigkeit w∞ ( w∞
bedeutet nicht w = ∞ bedeutet weit enrfernt vom
Objekt
Dieser Zusammenhang erlaubt es, die Messung der
Anströmgeschwindigkeit eines Körpers auf eine
Druckmessung zurückzuführen. Das geschieht mit
zwei Sonden, dem Pitot-Rohr und dem Prandtl-Rohr.
7-10
7.4.2.4.
Abb.7-6
Pitot - Rohr
Pitot - Rohr
Messung des Gesamtdruckes (Staupunktdruckes). Am
anderen Ende der Druckleitung (mit pg) wird mit
einem Manometer der Staudruck gegenüber dem
Umgebungsdruck gemessen.
ρ 2
⋅ w ∞ + p∞ = 0 + pg
2
(7-32)
ρ 2
⋅ w ∞ + p∞ = pg
2
(7-33)
p Stau
= p ges
=
Druck im Staupunkt
ρ 2
⋅ w∞
2
==
+ p∞
Staudruck
(7-34)
7-11
7.4.2.5.
Abb.7-7
Venturi - Düse
Venturi - Rohr
Sie wird zur verlustfreien Messung der
Geschwindigkeit und damit des Volumenstromes in
einer Leitung verwendet, wenn die Drücke gemessen
werden.
Der Energiesatz (Bernoulli-Gleichung ohne
Höhenglied) eventuell mit Verlusten lautet:
p1 +
ρ 2
ρ
⋅ w 1 = p 2 + ⋅ w 22
2
2
(7-35)
Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible
Fluide lautet:
w1 ⋅ A1 = w 2 ⋅ A 2
w2 =
V& = const.
A1
⋅ w1
A2
(7-36)
(7-37)
Die Gl.(7-37) in die GL.(7-35) eingesetzt, ergibt:
p1 − p2 =
2
ρ ⎡⎛ A1 ⎞
⋅ ⎢⎜ ⎟ ⋅ w
2 ⎢⎝ A2 ⎠
⎣
2
1
−
⎤
w12 ⎥
⎥
⎦
(7-38)
7-12
⎡⎛ A ⎞ 2 ⎤
p1 − p 2 = ⋅ w12 ⎢⎜ 1 ⎟ − 1⎥
2
⎢⎝ A2 ⎠
⎥
⎣
⎦
ρ
(7-39)
Für die Geschwindigkeitsmessung mit der Venturi Düse ergibt sich daraus für die Geschwindigkeit:
w1 =
2 ⋅ ( p1 − p 2 )
⎡⎛ A ⎞ 2 ⎤
ρ ⋅ ⎢⎜ 1 ⎟ − 1⎥
⎢⎝ A2 ⎠
⎥
⎣
⎦
(7-40)
Für den Volumenstrom gilt:
π ⋅ d1
V& = w1 ⋅ A1 = w1 ⋅
4
2
(7-41)
7-13
7.5.
Inkompressible reibungslose Strömungen mit
Energiezufuhr (Strömungsmaschinen)
7.5.1. Energiegleichung; Spezifische
Stutzenarbeit
Annahmen:
reibungslos → ϕ12 = 0 → unter Formel (7-5)
definiert
- q12 = 0
→ keine Wärme (in
Energiegleichung nicht enthalten)
Energiegleichung:
Ende
=
Anfang
+ Energiezufuhr
p
1 2 p2
1
⋅ w2 +
+ g ⋅ z 2 = ⋅ w 12 + 1 + g ⋅ z 1 + w t12 (7-42)
ρ
ρ
2
2
7.5.2. Pumpe
Abb.7-8
Rohrströmung mit Pumpe
7-14
Aufgabe:
Eine Pumpe ist mit einer Rohrleitung konstanten
Durchmessers d verbunden. Es treten keine
Reibungsverluste auf.
Frage 1:
Wie groß wird die spezifische
Stutzenarbeit Y und die mechanische Leistung PM
der Pumpe?
Frage 2:
Wie groß ist die Förderhöhe H der
Pumpe, wenn p3 = p1 ist?
Gegeben ist ∆p12 = p2 - p1.
(7-43)
LÖSUNG:
Spezifische Stutzenarbeit
Die zwischen Eintritts- und Austrittsstutzen einer
Strömungsmaschine dem strömenden Fluid zugeführte
(Pumpe) oder entzogene (Turbine) spezifische
technische Arbeit wt wird die spezifische
Stutzenarbeit Y genannt.
Energiezufuhr (dem strömenden Fluid) - Pumpe:
(7-44)
Y = wt12
Energieentnahme - Turbine:
Y = -wt12
(7-45)
In Strömungsmaschinen wird die spezifische
Stutzenarbeit Y statt der technischen Arbeit wt12
verwendet.
Energiegleichung zwischen 1 und 2 mit z1 = z2 und
Kontinuitätsgleichung:
w1 ⋅ A1 = w 2 ⋅ A 2
ρ = const.
A1 = A2 = const. (7-46)
(inkompressibles Fluid)
(7-47)
7-15
w1 = w 2
(7-48)
→
p
1 2 p2
1
⋅ w2 +
+ g ⋅ z 2 = ⋅ w 12 + 1 + g ⋅ z 1 + w t12 (7-49)
ρ
ρ
2
2
p 2 p1
=
+ w t12
ρ
ρ
⇒
w t12 = Y
(7-50)
Die spezifische Stutzenarbeit der Pumpe (Frage 1)
ergibt sich aus:
wt12 = Y =
( p − p1 ) =
ρ 2
1
∆p
ρ
(7-51)
Der Druckanstieg durch die Pumpe berechnet sich
aus:
∆p = p 2 − p 1
(7-52)
Mechanische Leistung der Pumpe:
& ⋅ wt12 = m
& ⋅ Y = V& ⋅ ρ ⋅ Y = V& ⋅ ∆p
PM = m
(7-53)
Berechnung der Förderhöhe H (Frage 2):
Zwischen
und
gilt:
p3 = p1
(in der Aufgabe vorausgesetzt) (7-54)
w3 = w1
(Kontinuitätsgleichung)
(7-55)
wt13 = wt12 (zwischen 2 und 3 erfolgt keine
Energiezufuhr
wt23 = 0)
(7-56)
Damit wird die Energiegleichung zwischen
zu:
und
7-16
p
p
1
1
2
2
⋅ w 3 + 3 + g ⋅ z 3 = ⋅ w 1 + 1 + g ⋅ z 1 + w t13 (7-57)
ρ
ρ
2
2
wt13 = wt12 = Y = g ⋅ ( z 3 − z1 ) = g ⋅ H =
∆p
ρ
→
H=
∆p
ρ⋅g
(7-58)
bzw. zwischen
und
:
p
1 2 p3
1
⋅ w3 +
+ g ⋅ z 3 = ⋅ w 22 + 2 + g ⋅ z 2
ρ
ρ
2
2
p3
p
+ g ⋅ z3 = 2 + g ⋅ z2
ρ
ρ
mit
z3 − z2 = H
(7-59)
und
p 3 = p1
(7-60)
1
ρ
⋅ ( p 2 − p1 )
⇒
1
ρ
⋅ ∆p = g ⋅ H = wt12
(7-61)
Förderhöhe H:
H=
Y
g
(7-62)
Die Förderhöhe H einer Pumpe ist die geodätische
Höhendifferenz, über die sie ein Fluid bei dem
gleichen Ein- und Austrittsdruck, der gleichen
Ein- und Austrittsgeschwindigkeit in reibungsloser
Strömung fördern kann.
& ⋅Y = m
& ⋅ g ⋅ H = V& ⋅ ∆p
PM = m
(7-63)
Der Wirkungsgrad einer Pumpe ist der Quotient aus
mechanischer Leistung PM und Wellenleistung P.
ηP =
& ⋅g⋅H
& ⋅Y m
PM
m
=
=
≤1
P
P
P
(7-64)
7-17
H: Förderhöhe (es gilt: p1 = p3 , w1 = w3
(7-65))
ηP = 1 ist ein Idealfall (unmöglich)
7.5.3. Turbine
Abb.7-9
Rohrströmung mit Turbine
Eine Turbine ist mit einer Rohrleitung konstanten
Durchmessers d verbunden. Die Strömung erfolgt
reibungslos.
Gesucht:
spezifische Stutzenarbeit Y
mechanische Leistung PM
Fallhöhe H
gegeben p3 = p1
(7-66)
7-18
Energiegleichung zwischen
w2 = w3
und
mit:
(7-67)
p
1 2 p
1
2
⋅ w 2 + − w t13 = ⋅ w , 3 + 3
ρ
ρ
2
2
(7-68)
p3 p2
=
+ w t 23
ρ
ρ
(7-69)
Für die Turbine gilt: wt = -Y
wt 23 = −Y = −
wt 23 =
1
ρ
⋅ ( p3 − p 2 ) = −
∆p
ρ
=
(7-70)
PM
&
m
(7-71)
PM
&
m
(7-72)
Der Druckabfall in der Turbine ergibt sich aus:
∆p = p 2 − p 3
(7-73)
Die mechanische Leistung, die das Fluid an die
Turbine abgibt errechnet sich zu:
& ⋅ Y = − Q ⋅ ∆p
PM = − m
⇒
Q = V&
Energiebilanz zwischen
(7-74)
(w=const.; p1 = p3)
wt13 = wt 23 = −Y = g ⋅ ( z 3 − z1 ) = g ⋅ H = −
∆p
ρ
(7-75)
Energiebilanz zwischen
p2
ρ
1
ρ
=
p1
ρ
+ g ⋅ ( z1 − z 3 ) →
⋅ ( p 2 − p1 ) =
∆p
ρ
= g⋅H
w12 = 0
(7-76)
(7-77)
7-19
Die Fallhöhe H ist die geodätische Höhendifferenz,
die notwendig wäre, um bei gleichem Eintritts- und
Austrittsdruck, gleicher Eintritts- und
Austrittsgeschwindigkeit und reibungsloser
Strömung die Turbinenleistung PM zu erzeugen.
& ⋅Y = m
& ⋅g⋅H
PM = − m
H=
w t 23 − Y
=
g
g
(7-78)
(7-79)
Der Wirkungsgrad ηT einer Turbine ist der Quotient
aus Wellen-leistung P und negativer mechanischer
Leistung (- PM).
ηT = −
P
P
=
& ⋅Y
PM m
(7-80)
7.6. Inkompressible reibungsbehaftete Fluide ohne
Energiezufuhr
Inkompressible reibungsbehaftete Fluide sind in
vielen technischen Anordnungen vorhanden
(Hydraulik).
Durch Reibung entstehen Verluste. Als Verlust
bezeichnen wir Temperaturzunahme. Sie äußert sich
als Druckabfall.
1
1
2
2
⋅ ρ ⋅ w 1 + p 1 + ρ ⋅ g ⋅ z 1 = ⋅ ρ ⋅ w 2 + p 2 + ρ ⋅ g ⋅ z 2 + Verluste
2
2
(7-81)
1
1
2
2
⋅ ρ ⋅ w 1 + p 1 + ρ ⋅ g ⋅ z 1 = ⋅ ρ ⋅ w 2 + p 2 + ρ ⋅ g ⋅ z 2 + ∆p v
2
2
(7-82)
7-20
Der Druck p2 am Ende der betrachteten Strömröhre
ist um den Druckabfall ∆p kleiner als bei
reibungsfreier Strömung. Die Verluste werden
folgendermaßen definiert:
∆p v = λ ⋅
ρl
2d
⋅ w2
(7-88)
Den Proportionalitätsfaktor nennen wir
Verlustbeiwert (oder Widerstandszahl) und
bezeichnen ihn mit λ. Es ist eine dimensionslose
Konstante.
Betrachtet wird ein Rohrsystem in 4 Teilen. Die
gesamte Dissipation ϕges (oder gesamter
Druckabfall ∆pv) ist gleich der Summe der Verluste
aller Teilsysteme.
Skizze:
Abb.7-10
1
2
3
4
Rohrsystem
λ
ζK
ζK
ζD
gerades Rohr
Rohrkrümmer
Rohrkrümmer
Diffusor
N
ϕ ges =
∑ ϕi
wi 2
ϕi = ζi ⋅
2
und
i =1
N
∆pv
ges
Anfang
=
∑ ∆pi
mit
i =1
Ende
ρl
⋅ wi 2
∆pv = λi ⋅
i
2d
(7-89)
7-21
p
p
1
1
2
2
⋅ w A + 1 + g ⋅ z A = ⋅ wE + E + g ⋅ z E + ϕ ges
2
ρ
2
ρ
Re =
(7-90)
ρ⋅ w ⋅d w ⋅d
=
≤ 2300 ⇒ laminare Strömung
η
ν
(7-96)
λ=
64
Re
(7-97)
Der gesamte Verlust bei Rohrleitungen mit
Übergängen und Rohrreibung resultiert aus:
2
N
N
wi
l w
ϕG = ∑ζi ⋅
+ ∑ λi ⋅ i ⋅ i
di 2
2
i =1
i =1
N
∆pG =
∑
i =1
ρ
ζ i ⋅ ⋅ wi +
2
2
N
∑
i =1
λi ⋅
2
li ρ
⋅ ⋅ wi 2
di 2
(7-98)
(7-99)
8-1
8
Spezialfall der Energiegleichung.
Die Eulerschen Gleichungen (inkompressibeles
Fluid)
Die Eulerschen Gleichungen beschreiben die
Bewegung eines Fluids entlang einer Stromlinie s
(siehe Kap. 6). Dies bedeutet insbesondere, daß
die Geschwindigkeit u= u( s, t ). ist.
Um die Eulerschen Gleichungen herzuleiten, greifen
wir auf den Impulssatz zurück ( I = Impuls ; F = von
außen angreifende Kraft ):
i
dJ
=∑ Fi
dt i
Die Bildung der zeitlichen Ableitung des Impulses
für ein Fluidelement konstanter Masse m führt zu
dem Newtonschen Grundgesetz:
∑ Fi = m
i
Du
Dt
{
totale
Beschleunigung
=m (
∂u
∂t
{
lokale
Beschleunigung
∂u
+ u
. )
∂s
123
konvektive
Beschleunigung
Als von außen angreifende Kräfte fungieren die
Druckkraft sowie Reibungs- und Volumenkräfte (z.B.
die Schwerkraft).
Zur weiteren Herleitung der Eulerschen Gleichungen
wird postuliert, daß die Reibungskräfte
vernachlässigbar sind. Dies impliziert
insbesondere das Verschwinden von Schubspannungen.
Die Annahme der Materialgleichung "reibungsfreies
Fluid" erweist sich insoweit als tragfähig, als
bei vielen Strömungsprozessen die Reibung nur in
Gebieten großer lokaler Geschwindigkeitsänderungen
(z.B. in der Nähe fester Wände) zum Tragen kommt.
8-2
Diese Aussage wird an späterer Stelle noch einmal
ausführlich begründet.
z
ds
A
pd
ds
ψ
co sψ = −
s
(p
p)
+d
ψ dz
dz
ds
dA
ρ gdV
( p + dp ) dA = ( p +
∂p
ds ) dA
∂s
Abb.: 8-1 Zur Herleitung der Eulerschen Gleichung
in s-Richtung
Das Newtonsche Grundgesetz soll nun auf ein
inkompressibles Fluidelement angewendet werden.
Bild 8-1 dient der Aufstellung des
Kräftegleichgewichtes in s-Richtung.
Für die Kräftgleichung in s-Richtung ergeben sich
folgende Zusammenhänge
Druckkraft:
Schwerkraft:
pdA − ( p +
∂p
∂p
ds ) dA = −
dV
∂s
∂s
ρ dV g cosψ = − ρ dV g
dz
ds
Damit lautet die Kräftebilanz:
ρ ⋅ dV ⋅ ⎛⎜
Du ⎞
dp
dz
.
⎟ = − dV − ρ ⋅g ⋅dV
Dt
ds
ds
⎝
⎠
8-3
Durch Division mit der Masseneinheit ρ dV folgt die
eulersche Kräftegleichung für den Stromfaden
∂u ∂ u
1 dp
dz
+u
=−
−g
∂t
∂s
ρ ds
ds
Die Eulersche Kräftegleichung beschreibt den
Zusammenhang zwischen Trägheits-, Druck- und
Schwerkraft. Sie gilt nur für reibungsfreie
Strömungen (bei reibungsbehafteten Strömungen
würde auf der rechten Seite der Gleichung
zusätzlich eine Reibungskraft auftreten; die
Kräftegleichung wird dann Navier-Stokes-Gleichung
genannt). Die Grundgleichungen der
Stromfadentheorie lauten damit für inkompressibele
Fluide in einem stationären Feld:
Kontinuitätsgleichung: d (uA)=0
Kräftegleichung:
dp
⎛ u2 ⎞
d ⎜ ⎟=−
− g dz.
ρ
⎝ 2 ⎠
Demnach liegen zwei Gleichungen für die
Bestimmungsvariablen vor. Angesichts der Tatsache,
daß die Bewegung des Fluids durch diese
Gleichungen vollständig beschrieben wird, wirft
sich die Frage auf, welche zuzsätzliche Aussage
die Eulersche Gleichung senkrecht zum Stromfaden
liefert.
9-1
9. Allgemeiner Abriß der Kreiselpumpen und Gebläse
Dieser kurze Abriß der Strömungsmaschinen zielt darauf ab, die Studierenden
mit dem Verhalten von Kreiselpumpen und Gebläsen ein wenig vertraut zu
machen. Diese Auswahl aus den hinsichtlich ihrer Wirkweise und Bauform sehr
vielfältigen Energiewandlungsmaschinen begründet sich zunächst schlicht darin,
daß letztere in dieser Vorlesung ohnehin nicht vollständig behandelt werden
können. Überdies spielen Kreiselpumpen zum Transport von flüssigen Medien
in der Getränke- und Lebensmitteltechnologie eine überragende Rolle: Suppen,
Milch, Milchprodukte, Bierwürze, Säfte u.v.m.
Um die Strömungsmaschinen detaillierter zu besprechen, scheinen noch einige
Bemerkungen und Definitionen angebracht. Alle folgenden Ausführungen
beziehen sich auf newtonsche und näherungsweise inkompressible Fluide.
9.1
Radiallaufrad
Es gibt Radialmaschinen, Axialmaschinen (Hauptströmungsrichtung ist axial)
und Mischformen (halbaxial). Die eulersche Gleichung gilt unabhängig von der
Maschinenform. Am Beispiel der Radialmaschinen werden die sog.
Geschwindigkeitsdreiecke und die sie erzeugende
Geschwindigkeitskomponenten noch näher erklärt.
In Bild 1.1 ist das Laufrad eines Radialgebläses oder einer Radialkreiselpumpe
skizziert. Weiterhin sind diverse Geschwindigkeitsvektoren eingetragen. Der
Index "1" bezieht sich auf den Eintritt in das Laufrad, der Index "2" auf den
Austritt.
c2
u2
w2
w1
c1
u1
ω
Bild 1.1: Die Geschwindigkeitsdreiecke am Ein- und Austritt eines
Radiallaufrades.
1
9-2
r r
r
Die drei Geschwindigkeitsvektoren u , c und w haben folgende Bedeutungen:
r
a) Der Vektor u stellt die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades am jeweiligen
Radius r dar, d. h.
u = r ⋅ω
r
wobei ω die Winkelgeschwindigkeit darstellt. u ist also stets tangential zu
dem Kreis, den der betrachtete Laufradpunkt beschreibt.
r
b) Der Vektor c ist die Fluidgeschwindigkeit in einem ortsfesten
Koordinatensystem ("Absolutgeschwindigkeit").
r
c) Der Vektor w ist die Relativgeschwindigkeit zwischen zwischen Fluid und
Laufrad (an der betrachteten Stelle 1 oder 2).
d) Ein "stoßfreier Eintritt" ist dann gegeben, wenn die Richtung des
r
Geschwindigkeitsvektors w1 mit der Tangente der Schaufel am Laufradeintritt
zusammenfällt.
e) "Schaufelkongruente Strömung" liegt vor, wenn die Stromlinien der
Schaufelkontur folgen.
In der Lebensmittel- /Getränketechnologie werden vorrangig Radialmaschinen
eingesetzt. Deshalb, aber auch weil die Radialmaschine etwas anschaulicher ist,
wird über das "Innenleben" der Axialmaschine hier nicht gesprochen - von
gelegentlichen Bemerkungen in der Vorlesung und den Übungen abgesehen.
9.2 Euler - Turbinengleichung
Herleitung
Voraussetzungen:
1. newtonsche und näherungsweise inkompressible Fluide
2. Radialmaschinen, Halbaxialmaschinen und Axialmaschinen
3. am Bespiel der Radialmaschinen werden die sog.
Geschwindigkeitsdreiecke und die sie erzeugenden
Geschwindigkeitskomponenten erklärt.
ω
2
9-3
Die Abbildung zeigt das Laufrad eines Radialgebläses oder einer
Radialkreiselpumpe skizziert. Weiterhin sind diverse Geschwindigkeitsvektoren
eingetragen. Der Index „1” bezieht sich auf den Eintritt in das Laufrad, der
Index „2” auf den Austritt.
r
Der Geschwindigkeitsvektor c mißt nach Große und Richtung ein im
ortsfesten Laborsystem stehenden Beobachter. Ein auf Laufrad befindlicher, also
mitrotierender zweiter Beobachter mißt hingegen dir relative Geschwindigkeit
r
w (zur Verdeutlichung: Flußüberquerung in einem Boot).
α
β
Beispiel zur Verdeutlichung der drei Geschwindigkeitsvektoren.
Die Eulersche Turbinengleichung (gilt für alle STM)
Die Eulersche Turbinengleichung ist die grundlegende Beziehung für die
Energieumsetzung zwischen Maschine und Fluid bei
• inkompressiblen,
• newtonschen Fluiden.
Im Gegensatz zum Verdichter werden hier nur isotherme, rein
strömungsmechanische Vorgänge behandelt. Das Wort „Turbinengleichung”
soll keine Einschränkung bedeuten:
Der abzuleitende Zusammenhang zwischen Energie - Zu- oder Abfuhr und den
Beträgen der sechs Geschwindigkeiten
e = ∆p g = f (c1 , c 2 , u1 , u 2 , w1 , w2 )
gilt gleichermaßen für die hier im Vordergrund stehenden Arbeitsmaschinen
Gebläse und Kreiselpumpe (für Axial- und Radialmaschinen).
Gesucht: Zusammenhang zwischen der zu- (oder ab- ) geführten Energiedichte
e = ∆pg
und den Beträgen der Geschwindigkeitsvektor unter der Voraussetzung der
Verlustfreiheit.
3
9-4
Energiedichten am Eingang („1”) und Ausgang („2”):
e1 = p1 + ρgz1 +
e2 = p2 + ρgz2 +
ρ
2
ρ
2
c12
c22
Energieumsatz in einem ortsfesten Koordinatensystem:
∆pg = e = e2 − e1
ρ
ρ
p2 − p1 + ρg ( z2 − z1 ) + (w22 − w12 ) − ω 2 (r22 − r12 ) = ∆pg = e
2
2
ω
ϕ
ϑ
Abb.: Zur Eulerschen Turbinengleichung in einem gleichförmig rotierenden System
Koordinatensystem x, y, z rotiert mit ω = const. um die z-Achse.
Für den mitrotierenden Beobachter ergibt sich zweierlei:
a) die Strömung wird in diesem rotierende System stationär
b) die beobachtete Geschwindigkeit des Fluides ist w, nämlich die
Relativgeschwindigkeit zwischen Laufrad und Fluid
4
9-5
dFs = fs ⋅ dV und dFs = dm⋅ a .
fs ⋅ dV = dm⋅
dw
dt
Damit gilt:
und man erhält die Ausgangsgleichung:
dm dw
fs − * = 0
dV dt
Gl. (1).
dFs ist die in Stromlinienrichtung wirkende resultierende äußere Kraft auf das
Fluidelelement dm in s-Richtung.
Gegenüber dem ortsfesten System muß noch zusätzlich die Zentrifugalkraft dZ,
die auf ein betrachtetes Fluidelement, berücksichtig werden. Somit gilt:
∂p
dFs = p ⋅ dA − p ⋅ dA − ⋅ ds ⋅ dA + ρ ⋅ dV ⋅ rω 2 ⋅ cosϑ +
144
42444
3
∂s
dZ ⋅cos ϑ
ρ ⋅ dV ⋅ g ⋅ cos ϕ
1442443
dF
g ⋅cos ϕ
.
.
dZ = dm r ω2 mit. Diese Gleichung wird durch dA ds (= dV) geteilt und man
erhält die Kraft fs.
∂p
fs = −
+ ρrω 2 ⋅ cosϑ + ρg ⋅ cosϕ
∂s
mit
cos ϕ = −
∂z
∂s
cos ϑ =
∂r
∂s
Damit wird
fs = −
∂p
∂r
∂z
+ ρrω 2 ⋅ − ρg ⋅ . Damit in die Gl. (1):
∂s
∂s
∂s
∂p
∂r
∂z dm dw
−
+ ρω 2 ⋅ r − ρg ⋅ −
⋅
=0
∂s
∂s
∂s dV dt
Für stationäre Vorgänge kann ∂ durch d ersetzt werden:
Aus dem gleichen Grund gilt:
5
9-6
dw
∂w ∂w d ⎛ w 2 ⎞
⎟⎟.
= ⎜⎜
+
=w
dt
∂s ∂{t ds ⎝ 2 ⎠
=0
Aus den obigen Gleichungen folgt:
−
∂p
∂r
∂z dm dw
+ ρω 2 ⋅ r − ρg ⋅ −
⋅
=0
∂s
∂s
∂s dV dt
2
∂p
d ⎛ w2 ⎞
∂z
2 d ⎛r ⎞
− + ρω ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − ρg ⋅ − ρ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0. oder:
∂s
ds ⎝ 2 ⎠
ds ⎝ 2 ⎠
∂s
2
dp
dz
d ⎛ w2 ⎞
2 d ⎛r ⎞
− ρω ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ρg ⋅ + ρ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0.
ds
ds ⎝ 2 ⎠
ds
ds ⎝ 2 ⎠
Diese Gleichung kann umgeschrieben werden zu:
d ⎡
ρ 2 1
2
2⎤
p
+
ρ
gz
+
w
−
ρω
⋅
r
=0
⎢
⎥
ds ⎣
2
2
⎦
Durch Integration dieser Gleichung längst der Stromlinie zwischen (1) und (2),
ergibt sich die von einem mitrotierenden Beobachter festgestellte modifizierte
Bernoulli-Gleichung für verlustfreie Strömung in einem mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit rotierenden Kanal:
p 2 − p1 + ρg ( z 2 − z1 ) +
ρ
(
w
2
2
2
− w12 ) −
ρ
2
ω 2 (r22 − r12 ) = 0
Mit der Umfangsgeschwindigkeit u = rω ergibt sich für die Differenz des
statischen Druckes zwischen 1 und 2:
p 2 − p 1 = − ρg ( z 2 − z 1 ) −
ρ
(
w
2
2
2
− w12 ) +
ρ
(
u
2
2
2
− u12 )
Damit (p2 – p1) gehen wir in die Gleichung für den Energieumsatz:
∆p g = e 2 − e1 = p 2 − p1 + ρg (z 2 − z1 ) +
ρ
(
c
2
2
2
− c12 )
Wird hier die vorletzte Gleichung für die Differenz des statischen Druckes
eingesetzt, so ergibt sich die
Eulersche Turbinengleichung in der 1. Form:
6
9-7
e = ∆p g =
ρ
(
(
c
2
2
2
− c12 ) + (u 22 − u12 ) − (w22 − w12 ))
Diese Gleichung gilt für die verlustfreie Energieumsetzung Fluid ↔ Maschine.
In der Gleichung werden keine Reibungsverluste oder durch
Grenzschichteffekte bedingte Ablösungen an den Schaufeln berücksichtigt.
Außerdem ist sie nur für eine schaufelkongruente Strömung gültig.
Die 2. Form der Eulergleichung
Durch Umstellung der 1. Form
e = ∆p g =
ρ
2
[(c
2
2
+ u22 − w22 ) − (c12 + u12 − w12 )]
Nach dem Kosinus-Satz
α
w 2 = u 2 + c 2 − 2uc ⋅ cos α
cu = c ⋅ cosα
c 2 + u 2 − w 2 = 2u ⋅ c ⋅ cosα = 2u ⋅ cu
Daraus ergibt sich die Eulergleichung in der 2. Form
e = ∆p g = ρ [u 2 ⋅ c u 2 − u1 ⋅ c u1 ].
Welche der beiden Formen verwenden wird, entscheidet allein die
Zweckmäßigkeit.
7
9-8
9.3 Kennlinien von Strömungsmaschinen
Wie im Abschnitt 1.1 dargelegt, sollen hier ausschließlich Gebläse und
Kreiselpumpen betrachtet werden. Zur Charakterisierung von ihrem
Betriebsverhalten dienen Kennlinien, welche einen funktionellen
Zusammenhang zwischen charakteristischen Größen graphisch illustrieren.
Letztere lassen sich aus einfachen Überlegungen gewinnen. Dazu soll an die
Überlegungen im Abschnitt 1.2 bezüglich der Euler- Gleichung angeknüpft
werden:
∆p g = ρ ⋅ [u 2 ⋅ cu 2 − u1 ⋅ cu1 ] .
Um diese Beziehung zu deuten, soll das Geschwindigkeitsdreieck noch einmal
gezeigt werden:
w
β
c
cm
u
α
cu
Bild 1.4.1: Darstellung eines Geschwindigkeitsdreieckks
Es ist offensichtlich, daß bei gegebenem Winkel β die
Umfangsgeschwindigkeiten u proportional zu der Winkelgeschwindigkeit ω
bzw. Drehzahl n:
u1 ; u2 ; cu1 ; cu 2 ~ n .
Aus der Eulergleichung folgt daher unmittelbar:
∆p ~ ρ ⋅ n 2 .
Des weiteren läßt sich aus dem Geschwindigkeitsdreieck auf die Beziehung
cm ~ n
schließen.
Die Massenerhaltung beim Durchströmen des Laufrades fordert:
V& ~ c m ~ n .
Diese Ergebnisse bedeuten, daß sowohl ∆p als auch V& von n abhängen.
Wegen P = ∆p g ⋅ V& gilt des weiteren
P ~ ρ ⋅ n 2n = ρ ⋅ n 3 .
Aus der Definition des Wirkungsgrades ergibt sich schließlich
PW =
P
η
~ ρ ⋅ n3
8
9-9
Offensichtlich lauten die gesuchten charakteristischen Größen P, ∆p g , V& , n und η.
Hieraus lassen sich verschiedene Kennlinien definieren. In der Praxis interessiert
häufig die Abhängigkeit ∆p g (V& ) für verschiedene Drehzahlen n. Bild 1.4.2
illustriert eine solche Kennlinie, wobei die Drehzahl als Kurvenparameter
auftritt.
Bei Kreiselpumpen ist es üblich, die Abhängigkeit der Förderhöhe
H=
∆p g
ρ⋅g
oder der spezifischen Förderarbeit
V =
∆p g
ρ
vom Volumenstrom aufzutragen.
Für die Auslegung des Antriebes der Energiewandlungsmaschinen interessiert
n3 > n2 > n1
∆p
[N/m²]
η
P[W]
w
n3
n2
n1
n3
n2
n1
n2
n1
V& [m³/s]
V&
V&
V& < V&A
V& > V&A
die Leistung als Funktion des Volumenstromes PW (V& ) (vgl. Bild 1.4.2).
Bild 1.4.2: Kennlinien von Strömungsmaschinen und ihre typischen Verläufe.
Zur Beurteilung von dissipativen Effekten und sonstigen Verlusten wird darüber
hinaus häufig die Abhängigkeit des Wirkungsgrades η vom Volumenstrom V&
graphisch dargestellt (Bild 1.4.2).
Die besprochenen Kennlinien lassen sich auch in dimensionsloser Form
beschreiben.
9
9-10
9.4 Kavitation und Maßnahmen zu ihrer Vermeidung (in Vorbereitung
auf den Versuch von Biergärung
Der Begriff "Kavitation" (lat. Cavus: = hohl) beschreibt eine Hohlraumbildung
bei Flüssigkeiten. Diese Hohlräume sind beispielsweise Blasen unterschiedlicher
Größe und Gestalt.
Man unterscheidet
- die Gaskavitation und
- die Dampfkavitation.
Die Gaskavitation ist das (meist unerwünschte) Freiwerden von in der
Flüssigkeit gelösten Gasen infolge einer Druckabsenkung. Unterschreitet der
statische Druck den Lösungsdruck, z.B. infolge einer unzulässigen Erhöhung
des kinetischen Druckes, so kann die dann einsetzende Gaskavitation von
starker Blasenbildung bis hin zu einer Schaumentwicklung und dadurch zu einer
Fehlfunktion des Systems führen. Beispiel: CO2- haltige Getränke in
fehlerhaften Schankanlagen. Die Gaskavitation ist in Bezug auf Materialerosion
harmlos, in Bezug auf die Funktionsfähigkeit von Anlagen, die Flüssigkeiten mit
hohem, gelösten Gasanteil führen, aber durchaus eine potentielle Ursache für
Funktionsstörungen.
Die Dampfkavitation, der Inhalt der jetzt folgenden Ausführungen, hat ihren
Namen in der Hohlraumbildung (Kavitationsblasen) infolge eines statischen
Druckes p , der gleich oder kleiner ist als der jeweilige Dampfdruck pD der
Flüssigkeit
p ≤ pD .
Die entstehenden Kavitationsblasen (Hohlräume) sind mit dem Dampf der
Flüssigkeit, nicht aber mit dem Fremdgas, erfüllt. Steigt der Druck in der
Flüssigkeit wieder über den Dampfdruck pD an, so wird der Dampf wieder
flüssig und die Dampfblasen, - genauer: die sie begrenzenden
Flüssigkeitsoberflächen – brechen schlagartig zusammen. Man spricht von
Implusion. Dies ist die Wurzel der Schädlichkeit und der Gefährlichkeit der
Dampfkavitation. Im folgenden wird der Kürze halber nur noch von Kavitation,
anstelle von Dampfkavitation, gesprochen.
Die Kavitation hat zwei Aspekte, nämlich
- den hydrodynamischen und
- den erosiven Aspekt.
10
9-11
Der hydrodynamische Aspekt bezieht sich im wesentlichen auf eine Erhöhung
von Stromverlusten, beispielsweise einer Verschlechterung des Wirkungsgrades
von Kreiselpumpen, den von Kavitation im allgemeinen am meisten betroffenen
Bauelementen der hier interessierenden Industrieanlagen.
Das Auftreten von Kavitation bewirkt üblicherweise zuerst nur diese
Wirkungsgradverschlechterung (es gibt Kavitation ohne Erosion), aber bei
weiterer Zunahme kavitationsfördernder Umstände tritt Materialerosion
(Zerstören des die Flüssigkeit begrenzenden oder führenden Materials) auf.
Diese Materialabtragung wiederum ist eine Zeitfrage: sie kann in Minuten
erfolgen oder sich über lange Zeiträume erstrecken.
Bild 1.6.1 zeigt Aufnahmen von Bauteilen, welche durch Kavitation stark
beschädigt wurden.
Bild 1.6.1: Schäden durch Strömungskavitation.
Natürlich soll hier nicht die Materialfrage behandelt werden. Vielmehr soll die
strömungsmechanische Ursache betrachtet werden.
Nach den obigen Erläuterungen kann Kavitation an irgendeinem Punkt 1 der
Anlage erfolgen, wenn
p1 = p g −
ρ
2
c12 ≤ p D (T )
wird. Darin ist pD der von der Temperatur T abhängige Dampfdruck der
Flüssigkeit (Beispiel: Der Dampfdruck pD für Wasser beträgt bei 20°C ca. 0,02
bar, bei 100°C ca. 1 bar ). Erreicht oder unterschreitet der statische Druck p1 den
Dampfdruck pD, so kann es zu der gefürchteten Dampfblasenbildung kommen.
Diese Dampfblasenbildung erfolgt aber nur an sogenannten Phasengrenzflächen
(z.B. Flüssigkeit- Gas oder Flüssigkeit- Feststoff). Es bedarf also sogenannter
11
9-12
Kavitationskeime (kleine,feste Partikel oder sehr kleine Gasblasen), damit
Dampfblasen entstehen. Der Eintritt der Kavitation hängt also vom Grad der
„Sauberkeit“ (Keimfreiheit) und somit von der Vorgeschichte des Fluides ab.
Die Gasbläschen, die als Keime zur Kavitation führen, haben Abmessungen in
der Größenordnung von 1- 20 µm .
Der Grund für das notwendige Vorhandensein von Keimen liegt im
Kapillardruck. Für eine Kugelförmige Blase oder Tropfen ist der Kapillardruck,
d.h. der Druckunterschied p1 – p2 zwischen dem Inneren der Kugel (p1) und der
Umgebung (p2)
p1 − p 2 =
2σ o
.
r
mit σo als Oberflächenspannung in N/m und r dem Kugelradius. Die
Oberflächenspannung σo ist eine Konstante, die von der Materialpaarung (z.B.
Flüssigkeit- Luft oder Flüssigkeit- ihr eigener Dampf) abhängt. Der
Kavitationskeim sorgt dafür, daß sich die Dampfblase mit endlichem Radius r,
also auch relativ geringem Kapillardruck bilden kann.
Setzen wir realistisch das Vorhandensein von Kavitationskeimen voraus, so ist
die Kavitation noch in hohem Maße vom Dampfdruck pD abhängig, der
seinerseits widerum abhängt von der Art der Flüssigkeit (Materialeigenschaft)
und der Temperatur.
Um Kavitation auch bei Anwesenheit von Keimen, sicher zu vermeiden, wird
man sich bemühen, den in einer Maschine oder Anlage Vorkommenden
niedrigsten statischen Druck p nicht unter den Dampfdruck pD oder einen durch
das Experiment festgestellten Druck sinken zu lassen.
Die Materialerosion durch Kavitation wird durch die schematische Darstellung
der Implosion einer Dampfblase erklärt, vgl. Bild 1.6.2.
steigender
Druck
steigender
Druck
Zeit
t1
t2
Flüssigkeitsstrahl
t3
Bild 1.6.2: Zum Mechanismus der Materialerosion durch die Implosion von
Kavitationsblasen.
12
9-13
Im linken Bildteil ist das Beispiel eines Strömungsfeldes mit Druckgradienten –
aber auch senkrecht – zur Strömungsrichtung dargestellt, in das stark vergrößert
eine Kavitationsblase eingezeichnet ist. Im rechten Bildteil wird der Zeitablauf
der Implosion dieser Blase skizziert. (Solche Zeitabläufe werden mit
Hochgeschwindigkeitsfotografie bei einer Bildfrequenz von ca. 106 Bilder/sec.
gewonnen). Die Dampfblase beginnt sich auf der Seite des höheren Druckes im
Geschwindigkeitsfeld zu verformen. Der Kollaps der Blase beginnt, wenn der
Außendruck den Dampfdruck, bzw. den Druck in der Blase übersteigt.
Der bei der Implosion entstehende Flüssigkeitsstrahl (Microjet) erhält eine so
hohe Geschwindigkeit, daß bei seinem Auftreffen auf eine materielle Wand
punktuelle Drücke von 104 - 105 bar und Temperaturen von 104 K entstehen
können. Diese Werte legen es nahe, daß es neben mechanischer auch
wahrscheinlich zu chemischer Erosion kommt. Es sind häufig
Lumniszenzerscheinungen zu beobachten. Die Implosionszeit liegt in der
Größenordnung von 10-7s, d.h. einer Zeit, in der Licht im Vakuum eine Strecke
von 30m zurücklegt. Akustisch kann die Kavitation in einer Kreiselpumpe durch
Geräusche wahrgenommen werden. Wie bereits erwähnt sind Kreiselpumpen
besonders durch Kavitation gefährdet. Um den Druck an jeder Stelle der Anlage
oberhalb des Dampfdruckes zu halten, liegt es also gemäß der BernoulliGleichung an der Hand durch
- Vergrößerung des Eintrittsdruckes pe (und damit des gesamten
Druckniveaus),
- Tiefersetzen der Kreiselpumpe
- Verringerung der Strömungsverluste HVS
(z.B. Rohrleitungdurchmesser, Zahl der Krümmer etc.)
die Sicherheit gegenüber Kavitation zu erhöhen.
13
9-14
9.5 Die Dichte und die Begriffe der Kompressibilität
[Inkompressibilität] (1)
Die Dichte eines Stoffes ist definiert durch
ρ = lim
∆m dm
=
∆V dV
Ist der Stoff homogen (die physikalischen Eigenschafen sind ortsunabhängig), kann man vereinfacht schreiben
ρ=
m
V
Die Dichte gibt an, wieviel Masse m das Volumen V ausfüllt, wobei diese
abhängig ist vom der Temperatur T und dem Druck p
ρ = ρ ( p, T )
Üblicherweise wird bei Flüssigkeiten die Druckabhängigkeit vernachlässigt, sofern man sich nicht mit der Hochdruckphysik (p>100bar) beschäftig.
Zur Beschreibung der Kompressibilität wird das vollständige Differential
gebildet
⎛ ∂ρ ⎞
⎛ ∂ρ ⎞
dρ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ dp + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ dT
⎝ ∂p ⎠ T
⎝ ∂p ⎠ p
In dieser Gleichung bedeuten die Indices bei den partiellen Ableitungen
jeweils das Konstanthalten von T bzw. p.
Durch eine Division durch ρ erhält man
dϑ
ρ
=
1 ⎛ ∂ρ ⎞
1 ⎛ ∂ρ ⎞
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ dp + ⎜
⎟ ⋅ dT
ρ ⎝ ∂p ⎠ T
ρ ⎝ ∂T ⎠ p
9-15
Der erste Koeffizient
βT =
1 ⎛ ∂ρ ⎞
⋅ ⎜ ⎟ wird als isothermer Kompressibilitätskoeffizient,
ρ ⎜⎝ ∂p ⎟⎠ T
der zweite
βp =
1 ⎛ ∂ρ ⎞
⋅ ⎜ ⎟ als isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient
ρ ⎝ ∂T ⎠ p
bezeichnet.
Damit kann obige Gleichung geschrieben werden
∂ρ
ρ
mit
∂ρ
ρ
= β T ⋅ dp − β p ⋅ dT ,
: totale, bezogene Dichteänderung,
β T ⋅ dT : Dichteänderung infolge Druckänderung,
β p ⋅ dT : Dichteänderung infolge Temperaturänderung (Minuszeichen
deutet auf Dichteverminderung mit steigender Temperatur hin).
Bei einer festgehaltenen Masse folgt (dm=0)
∂ρ
ρ
=−
dV
V
d.h. die Dichteänderung ist bei festgehaltener Masse mit reiner Volumenänderung verbunden.
9-16
Für die Inkompressibilität gilt daher
∂ρ
ρ
=
dV
= 0,
V
wobei eine spezielle Inkompressibilität gegenüber
Druckänderung durch β T = 0 beschreiben wird.
Zahlenbeispiele zur Dichte und ihrer Änderung infolge Druck und Temperatur (bezogen auf 1 und 0°C)
ρ
β T ⋅ 105
Kg/m
M2/N
Wasser
999,8
0,0001
β p ⋅ 103
1/K
-0.085
3
Methanol
810
0,000
Luft
1,275
1,007
CO2
1,951
1,007
1,19
3,674
3,746
Die Dichte der Flüssigkeiten liegt fast um 3 Großenordnungen über der
der Gase.
9-17
9.6
Isotherme und adiabate Zustandsänderung
Wird eine gegebene Masse m eines Gases von einem Druck p1 auf einen höheren Druck p2 verdichtet, so kann dies bezgl. Der Temperaturänderung des Gases
während der Kompression in verschiedener Art erfolgen. Die beiden Extremfälle, zwischen den realen Vorgänger sind der isotherme und der adiabate Verdichtungsvorgang.
Wenn sich der Kolben von rechts nach links bewegt, erhöht sich der Druck, da
sich das eingeschlossene Gasvolumen verkleinert. Für das ideale Gas gilt die
allgemeine Gasgleichung:
p ⋅ v = R ⋅ T oder p ⋅ v = R ⋅ ρ ⋅ T oder p ⋅ v = m ⋅ R ⋅ T
mit
v=
1
ρ
und
ρ=
m
V
Die Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den Zustandsgrößen p
(Druck), v (spezifisches Volumen) und T (absolute Temperatur). M ist die Gasmasse, die das Volumen V einnimmt. R ist die individuelle Gaskonstante:
Gas
Luft
CO2
NH3
R in J/kgK
287
189
488
Bei Veränderung des Volumens wird der Druck sich ebenfalls ändern. Wie er
sich ändert hängt jedoch von der Temperatur ab:
1. Isotherme Zustandsänderung: T=const.
Während der Verdichtung bleibt aufgrund einer idealen Wärmeleitung zur
Außenwelt die Gastemperatur konstant: pV=const.
2. Adiabate Zustandsänderung (adiabat = nicht hindurchtretend)
Zwischen dem eingeschlossenem Gasvolumen und der Außenwelt findet kein
Wärmeaustausch statt (ideale Wärmeisolation). Während der Volumenverkleinerung findet außer der Druckerhöhung auch eine Temperaturerhöhung statt. Der
Zusammenhang wird durch die Adiabatengleichung wiedergegeben:
p ⋅ V κ = const.
9-18
Gasart
Einatomige Gase
Zweiatomige Gase (Luft)
Drei- und mehratomige Gase (CO2, NH3)
Adiabatenexponent
1,66
1,40
1,30
Vergleicht man die Zustandänderungen im p, V-Diagram so erkennt man, dass
die Isotherme verläuft:
P
Adiabate
Isotherme
V
Adiabate und Isotherme im Vergleich
Die tatsächlichen Kompressions- (oder Expansions-) Vorgänge in der Maschine
liegen zwischen diesen beiden Extrema: man spricht von polytropen Zustandsänderungen:
p ⋅ V n = const.
mit dem Polytropenexponenten
1≤ n ≤κ
Dies bedeutet, daß die adiabate Kompression erheblich mehr Arbeit als die Isotherme erfordert, was bei Strömungsarbeitmaschinen für Gase (Verdichter) zur
Berücksichtigung der adiabaten Kompressionsarbeit zur Folge hat.
9-19
Die Ableitung der Beziehung soll nicht an dieser Stelle erfolgen, nur das Ergebnis wird hier angegeben:
H adiabat =
E adiabat
m
κ −1
⎡
⎤
κ
⎞
⎛
p
κ
=
⋅ R ⋅ T1 ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
κ −1
⎢⎣
⎥⎦
Die Gleichung beschreibt, wieviel Energie pro Masseeinheit in ein Gas von einer Strömungsmaschine aufgewendet werden muß, um es vom Druck p1 auf den
Druck p2 zu verdichteten.
Daraus läst sich auf folgern, dass es bei der Kompression eines Gases (Materialkonstanten R und κ) nicht auf die Absolutdrücke ankommt, wohl aber auf des
Verhältnis der beiden Drücke, zwischen denen das komprimiert werden soll.
Diese Kompressionsarbeit läst sich im p, V-Diagramm durch die Fläche A-B-CD darstellen.
P
Isotherme
C
B
Adiabate
D
A
V
Die graphische Darstellung der adiabaten Kompressionsarbeit
9-20
9.7
Unterscheidung Arbeits- und Kraftmaschinen
Arbeitsmaschinen
Kraftmaschinen
(Energiefluss von Maschine auf Fluid) (Energiefluss vom Fluid auf Maschine)
Radial- und Axialgebläse,
Windräder (G)
Ventilatoren (G)
Turbinen: Wasserturbinen (F),
Dampfturbinen (G), Gasturbinen (G)
Radial- und Axialverdichter (G)
Kreiselpumpe (F)
Rührwerke (F)
Hubkolbenmaschinen:
Kolbenpumpe (F)
Drohkolbenmaschine:
Rootsgebläse (G)
Andere Verdrängermaschinen:
Schlauchpumpen (F), Membranpumpen
(F),
Monopumpen (F)
Hydromotoren (F)
9-21
9.7.1 Gemeinsamkeit und Unterschiede bei Pumpen, Gebläse und
Verdichtern
Flörderung von
Flüssigkeiten
Kreiselpumpen
Förderung von Gasen
Gebläse
Verdichter
a)
a)
a)
Isothermie (T=const.)
Isothermie (T=const.)
Temperaturerhöhung
(T≠const.)
b)
b)
b)
Inkompressibilität
(ρ=const.)
Inkompressibilität
(ρ=const.)
Dichteänderung
(ρ≠const)
c)
c)
c)
Kavitation
Annährung an
Schallgeschwindigkeit
vermeiden
Annäherung an
Schallgeschwindigkeit
vermeiden
Der Unterschied zwischen Gebläse und Verdichter liegt in der
Gesamtdruckerhöhung der Maschine
Der Große Unterschied zwischen der Förderung von Flüssigkeiten und der von
Gasen liegt im möglichen Auftreten von Kavitation bei Flüssigkeiten.
Kreiselpumpe und Gebläse sind zumindest in technisch brauchbarer Näherung
vergleichbar. Die Behandlung der Verdichter erfordert aufgrund der
Kompressibilität thermodynamische Überlegungen.
9-22
9.7.2 Gebläse und Verdichter
Gebläse und Verdichter unterscheiden sich hinsichtlich der
Gesamtdruckerhöhung oder besser, hinsichtlich der Enthalpie. Im Prinzip
handelt es sich dabei um denselben Maschinentyp.
Sobald die Erhöhung des Gesamtdrucks (oder in Spezialfällen des statischen
Druckes) die Dichte- und Temperaturänderung vernachlässigt werden kann,
Spricht man von Gebläsen oder Ventilatoren. Bei Verdichtern muß die mit der
Kompression zusammenhängende Dichte- und Temperaturänderung
berücksichtig werden.
Isotherme und adiabate Zustandsänderung:
Die kompression eines Gases (Hub eines Kolbenverdichters)
9-23
9.7.3 Übergang vom Verdichter zum Gebläse (kleine Druckerhöhungen)
Übergang zu kleinen Druckerhöhungen:
p2 = p1 + ∆p
Damit wird aus der Klammer
κ −1
κ −1
⎡
⎤ ⎡
⎤
κ
κ
⎛
⎞
⎛
⎞
p
∆
p
⎢⎜ 2 ⎟ − 1⎥ = ⎢⎜1 +
⎟⎟ − 1⎥
⎢⎜⎝ p1 ⎟⎠
⎥ ⎢⎜⎝
⎥
p1 ⎠
⎢⎣
⎦⎥ ⎣⎢
⎦⎥
Wenn der Ausdruck ∆p/p<<1 ist, so kann die runde Klammer nach einer
Binominalreihe entwickelt und nach dem linearen Term abgebrochen werden.
Damit wird aus obiger Gleichung:
E adiab ≈
κ
κ −1
⋅ p1 ⋅ V1 ⋅
κ − 1 ∆p
⋅
κ
p1
oder
E ≈ ∆p ⋅ V1
Da sich das Volumen V1 beim Übergang zu kleinen Druckerhöhungen nicht
ändern soll (Inkompressibilität) kann der Index weggelassen werden, und es
entsteht:
E ≈ ∆p ⋅ V
für kleine Druckerhöhungen.
Der der ‚inkompressiblen’ (d.h. V=const) Energiezufuhr zugeordneten Fläche
der adiabaten Kompressionsarbeit gegenüber.
Der Fehler, den man bei der Berechnung der Kompressionsarbeit unter
Annahme der Inkompressibilität macht, liegt bei einer Druckerhöhung von 300
Pa bei 1%. Bei einer Druckerhöhung von 1 bar hingegen bereits bei 30,2 % (bei
einem Ausgangsdruck von 1 bar).
Es hängt nun von der Größe des zulässigen Fehlers ab, bis zu welcher Grenze
man von Gebäsen (inkompressible Näherung) spricht. Die Grenze GebläseVerdichter ist also willkürlich.
9-24
In den folgendenden Abbildung sind Strömungsarbeitsmaschinen für Gase nach
Industrieangaben zusammengestellt. Daraus kann man Anhaltspunkte ableiten,
welcher Maschinentyp für einen Anwendungsfall zur Diskussion stehen kann.
∆