Aufgaben

Inhaltsverzeichnis:
Übungsaufgaben zu Kapitel 4 ............................................................................................. 3
Aufgabe 28 .................................................................................................................. 3
Aufgabe 29 .................................................................................................................. 3
Aufgabe 30 .................................................................................................................. 4
Aufgabe 31 .................................................................................................................. 4
Aufgabe 32 .................................................................................................................. 4
Aufgabe 33 .................................................................................................................. 4
Aufgabe 34 .................................................................................................................. 5
Aufgabe 35 .................................................................................................................. 5
Aufgabe 36 .................................................................................................................. 5
Aufgabe 37 .................................................................................................................. 5
Aufgabe 38 .................................................................................................................. 5
Aufgabe 39 .................................................................................................................. 6
Aufgabe 40 .................................................................................................................. 6
Aufgabe 41 .................................................................................................................. 6
Aufgabe 42 .................................................................................................................. 6
Aufgabe 43 .................................................................................................................. 6
Aufgabe 44 .................................................................................................................. 7
Aufgabe 45 .................................................................................................................. 7
Aufgabe 46 .................................................................................................................. 7
Aufgabe 47 .................................................................................................................. 7
Aufgabe 48 .................................................................................................................. 7
Aufgabe 49 .................................................................................................................. 8
Aufgabe 50 .................................................................................................................. 8
Aufgabe 51 (Klausuraufgabe SS 2004): ..................................................................... 8
Aufgabe 52 .................................................................................................................. 8
Aufgabe 53 .................................................................................................................. 8
Aufgabe 54 .................................................................................................................. 9
Aufgabe 55 (Klausuraufgabe WS 1999/2000):........................................................... 9
Aufgabe 56 ................................................................................................................ 10
Aufgabe 57 ................................................................................................................ 10
Aufgabe 58 ................................................................................................................ 10
Aufgabe 59 ................................................................................................................ 10
Aufgabe 60 ................................................................................................................ 11
Aufgabe 61 ................................................................................................................ 11
Aufgabe 62 ................................................................................................................ 11
Aufgabe 63 ................................................................................................................ 12
Aufgabe 64 ................................................................................................................ 12
Aufgabe 65 ................................................................................................................ 12
Aufgabe 66 (Klausuraufgabe WS 04/05) .................................................................. 12
Aufgabe 67 ................................................................................................................ 12
Aufgabe 68 ................................................................................................................ 13
Aufgabe 69 ................................................................................................................ 13
Aufgabe 70 ................................................................................................................ 13
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Aufgabe 71 ................................................................................................................ 13
Aufgabe 72 ................................................................................................................ 14
Aufgabe 73 ................................................................................................................ 14
Aufgabe 74 ................................................................................................................ 14
Aufgabe 75 ................................................................................................................ 14
Aufgabe 76 ................................................................................................................ 14
Aufgabe 77 ................................................................................................................ 15
Aufgabe 78 ................................................................................................................ 15
Aufgabe 79 ................................................................................................................ 15
Aufgabe 80 ................................................................................................................ 15
Aufgabe 82 ................................................................................................................ 16
Aufgabe 83 (Klausuraufgabe WS 2006/2007) .......................................................... 16
Aufgabe 84 ................................................................................................................ 16
Aufgabe 85 ................................................................................................................ 17
Aufgabe 86 ................................................................................................................ 19
Aufgabe 87 ................................................................................................................ 19
Aufgabe 88 ................................................................................................................ 19
Aufgabe 89 ................................................................................................................ 19
Aufgabe 90 ................................................................................................................ 20
Aufgabe 91 ................................................................................................................ 20
Aufgabe 92 ................................................................................................................ 20
Aufgabe 93 ................................................................................................................ 20
Aufgabe 94 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004) ............................................. 20
Aufgabe 95 ................................................................................................................ 21
Aufgabe 96 ................................................................................................................ 21
Aufgabe 97 ................................................................................................................ 21
Aufgabe 98 ................................................................................................................ 21
Aufgabe 99 ................................................................................................................ 21
Aufgabe 100 .............................................................................................................. 22
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Übungsaufgaben zu Kapitel 4
Aufgabe 28
Vervollständigen Sie die Tabelle über Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
mit Beispielen:
Begriff
Beispiel
Zufallsexperiment: ein (prinzipiell) beliebig
oft wiederholbares Experiment, dessen
Ergebnis aufgrund von Zufallseinflüssen
nicht vorhersehbar ist.
Realisierung eines Zufallsexperiments: das
Ergebnis der tatsächlichen Durchführung
eines Zufallsexperiments.
Ergebnisraum Ω : umfasst alle möglichen
Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
Ereignis: Teilmenge von Ω , enthält ein
Ergebnis oder mehrere Ergebnisse, oder
auch alle Ergebnisse oder gar kein Ergebnis.
Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses
A: beschreibt, wie groß die Chance des
Eintretens von A ist.
Relative Häufigkeit eines Ereignisses A:
Wird ein Zufallsexperiment n-mal realisiert,
und tritt dabei das Ereignis A genau k-mal
ein, so heißt hn(A) = k/n) die relative
Häufigkeit von A.
Aufgabe 29
a) Aus welchen Elementen besteht die Ergebnismenge Ω, wenn als Zufallsexperiment
ein Würfel geworfen wird und die Augenzahl abgelesen wird.
b) Beschreiben Sie die Ergebnismenge Ω wenn das Zufallsexperiment wie folgt
aussieht: Die Anzahl der defekten Glühbirnen in einer Stichprobe vom Umfang 100
werden gezählt.
c) Bei der samstäglichen Ziehung der Lottozahlen werden 7 aus 49 (von 1 bis 49
durchnummerierten) Kugeln „zufällig“ gezogen und die jeweiligen Nummern
registriert. Jeden Samstag vollzieht sich somit ein Zufallsexperiment. Aus welchen
Elementarergebnissen besteht das Experiment?
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Aufgabe 30
a) Zufallsexperiment Wurf eines Würfels: Geben Sie die Ereignisse A=Wurf einer
geraden Augenzahl und B=Wurf von Augenzahl 2 an.
b) Zufallsexperiment Zählung der defekten Glühbirnen in einer Stichprobe: Geben Sie
die Ereignisse A=keine defekte Glühbirne und B=höchstens zwei defekte Glühbirnen
an.
c) Zufallsexperiment Wurf von zwei Münzen: Geben Sie die Ergebnismenge Ω, sowie
die Ereignisse A=Wurf von mindestens einem Kopf, B=Wurf von genau einer Zahl an.
Aufgabe 31
In einer Lostrommel befinden sich 4000 Lose, die von 1 bis 4000 durchnummeriert sind.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das erste gezogene Los ein gewinn, wenn
a) jedes Los, das mit einer 1 beginnt gewinnt.
b) Jedes Los, dessen Nummer eine durch 17 teilbare Zahl darstellt gewinnt.
Aufgabe 32
Wie viele Möglichkeiten gibt es, in einer Bücherei 10 Bücher auf ein Regalbrett zu
stellen, wenn
a) alle 10 Bücher verschieden sind?
b) es 10 Bücher aus einem dreibändigen Werk sind, und zwar 3-mal der erste Band, 2mal der zweite Band und 5-mal der dritte Band? (Die verschiedenen Exemplare ein
und desselben Bandes sind nicht zu unterscheiden.)
Aufgabe 33
Beim Fußballtoto (13er-Wette) ist der Ausgang von 13 vorher festgelegten Begegnungen
zu tippen. Für jede Begegnung muss auf dem Wettschein eine „1“ (= Sieg der Heimmannschaft), eine „2“ (= Sieg der Auswärtsmannschaft) oder eine „0“ (= Unentschieden)
eingetragen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es hier, den Wettschein (Muster eines
Toto-Spielscheines: siehe Abbildung) auszufüllen?
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Muster
Aufgabe 34
Ein Passwort kann aus sechs bis acht Zeichen bestehen (Kleinbuchstaben oder Ziffern).
Wie viele mögliche Passwörter gibt es?
Aufgabe 35
Bei einer Pferdewette sind die ersten drei Plätze eines Pferderennens zu tippen. Es
nehmen 20 Pferde am Rennen teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Wettschein
auszufüllen?
Aufgabe 36
Der Vorstand eines Unternehmens besteht aus fünf Personen A, B, C, D, E. Für ein bestimmtes Projekt soll eine Arbeitsgruppe mit drei Mitgliedern gebildet werden. Wie viele
solcher Arbeitsgruppen sind möglich?
Aufgabe 37
Unter den 250 Losen einer Lotterie befinden sich 50 Gewinnlose. Herr X kauft zu Beginn
der Lotterie gleich 20 Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er 5 Gewinnlose
erwischt?
Aufgabe 38
Auf wie viele Arten können sich zwei nicht unterscheidbare Spatzen auf vier
Telegraphenleitungen verteilen? Schreiben Sie alle Möglichkeiten auf.
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Aufgabe 39
Wie viele Autokennzeichen kann eine Zulassungsstelle vergeben, wenn jedes
Kennzeichen nach dem Ortskennzeichen aus 2 Buchstaben und einer vierstelligen Zahl
besteht?
Aufgabe 40
Bei einem Festakt wurde ein Tisch für 8 Ehrengäste reserviert. Aus Versehen wurden die
Tischkarten mit den Namen für die Gäste nicht an die Plätze gelegt, so dass die
Ehrengäste ihren Platz am Tisch selbst wählten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass alle Ehrengäste zufällig die mit den Platzkarten
beabsichtigte Sitzordnung fanden, wenn man alle Sitzordnungen als gleich
wahrscheinlich annimmt?
Aufgabe 41
a) Wie viele verschiedene Würfe sind mit zwei nicht unterscheidbaren Würfeln
möglich?
Hinweis: Ein „Wurf“ ist gekennzeichnet durch die beiden oben liegenden
Augenzahlen. Beachten Sie, dass die Würfel nicht unterscheidbar sind, so dass {1, 2}
denselben Wurf darstellt wie {2, 1}.
b) Schreiben Sie alle möglichen Würfe auf..
Aufgabe 42
Eine Urne enthält 3 Kugeln, die mit „A“, „B“ und „C“ beschriftet sind. Es wird zweimal
aus der Urne gezogen. Man kann auf verschiedene Arten ziehen bzw. das Ergebnis
notieren:
1. Es wird mit Zurücklegen gezogen. Es wird notiert, welche Kugel als erste und welche
als zweite gezogen wird.
2. Es wird ohne Zurücklegen gezogen. Es wird notiert, welche Kugel als erste und
welche als zweite gezogen wird.
3. Es wird mit Zurücklegen gezogen. In einer Strichliste
A
B
C
(vgl. Abbildung) wird nur notiert, wie oft
„A“, „B“ und „C“ gezogen wurde.
4. Es wird ohne Zurücklegen gezogen. In einer Strichliste
(vgl. Abbildung) wird nur notiert, wie oft „A“, „B“ und „C“ gezogen wurde.
a) Berechnen Sie für jede der vier oben genannten Arten, wie viele Möglichkeiten
auftreten.
b) Schreiben Sie für jede der vier Arten alle vorkommenden Möglichkeiten auf.
Aufgabe 43
Eine Lieferung aus 100 Glühbirnen enthält 5 defekte. Es werden zufällig 10 Glühbirnen
gezogen.
a) Wie viele verschiedene Stichproben sind möglich?
b) Wie viele dieser Stichproben enthalten nur unbeschädigte Glühbirnen?
c) Wie viele der möglichen Stichproben haben genau zwei defekte Glühbirnen?
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d) Wie viele der möglichen Stichproben haben höchstens zwei defekte Glühbirnen?
Aufgabe 44
Franz Vergesslich kann sich an eine wichtige Telefonnummer nicht mehr erinnern. Er
weiß nur noch, dass weder eine 0 noch eine 8 vorkam und die Nummer aus 5 Ziffern
bestand.
a) Wie viele solche Telefonnummern gibt es?
b) Franz ist außerdem wieder eingefallen, dass keine Ziffer doppelt vorkam. Wie viele
Nummern gibt es jetzt noch?
Aufgabe 45
Eine Lieferung von zehn PCs enthält drei fehlerhafte Geräte. Man entnimmt dieser
Lieferung eine Stichprobe vom Umfang 5.
a) Wie viele verschiedene Stichproben vom Umfang 5 gibt es?
b) Wie viele Stichproben enthalten genau zwei defekte Geräte?
c) Wie viele Stichproben enthalten mindestens ein defektes Gerät?
Aufgabe 46
Ein Weinversand hat 18 Weine im Angebot. Die Kunden können sich hieraus Kisten mit
6 Flaschen zusammenstellen, wobei sie freie Auswahl haben (es müssen also z. B. nicht 6
gleiche oder 6 unterschiedliche Weine sein). Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Kiste
zusammenzustellen?
Aufgabe 47
Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal ohne Zurücklegen
gezogen. Uns interessieren die Ereignisse
A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen;
B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Beschreiben Sie die Gegenereignisse A und B mit Worten.
Berechnen Sie P( A) und P( A ) .
Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A ∩ B mit Worten.
Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A ∪ B mit Worten.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt.
Wie groß ist P( A ∩ B) ?
Wie groß ist P(B) ?
Wie groß ist P( A ∪ B) ?
Aufgabe 48
Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal mit Zurücklegen
gezogen. Uns interessieren die Ereignisse
A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen;
B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen.
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a) Wie groß ist P(B) ? Wie groß ist P ( B ) ?
b) Wie groß ist P( A ∩ B) ?
c) Wie groß ist P( A ∪ B) ?
Aufgabe 49
Ein gezinkter Würfel wird geworfen. Man hat für jede einzelne Augenzahl (empirisch)
folgende Wahrscheinlichkeiten gefunden:
P(1) = 121 , P(6) = 14 und die Wahrscheinlichkeit für jede der übrigen Augenzahlen ist
jeweils gleich 16 .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) eine gerade Augenzahl
b) eine ungerade Augenzahl
zu würfeln?
Aufgabe 50
Aus einem Spielkartenpaket (32 Karten) wird zufällig eine Karte gezogen:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Karte oder eine Kreuz-Karte zu
ziehen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Karte oder einen König zu ziehen?
Aufgabe 51 (Klausuraufgabe SS 2004):
Aus einem Kasten mit 17 roten und 28 schwarzen Kugeln werden blind 2 Kugeln
nacheinander (ohne Zurücklegen) gezogen.
a) Zeichnen Sie hierfür ein Baumdiagramm. Beschriften Sie jedes Teilstück eines
Pfades mit der zugehörigen (bedingten) Wahrscheinlichkeit.
b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass die
beiden gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben.
Aufgabe 52
1%
1%
K1
Bei dem abgebildeten System sind die beiden
Komponenten K1 und K2 parallel geschaltet.
Das System funktioniert also, wenn K1 oder K2
K2
funktioniert (oder beide funktionieren).
Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1 %
0,3 %
betragen, und die von K2 betrage 0,3 %. Außerdem nehmen
wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K2 unabhängig voneinander ereignen.
Berechnen Sie
a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt;
b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist.
Aufgabe 53
K1
K2
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1 % Seite 8 0,3
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von %
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Bei dem abgebildeten System sind die beiden Komponenten
K1 und K2 in Reihe geschaltet. Das System funktioniert also
nur, wenn K1 und K2 beide funktionieren.
Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1 % betragen, und die von K2 betrage 0,3 %.
Außerdem nehmen wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K2 unabhängig voneinander
ereignen. Berechnen Sie
a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt;
b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist.
Aufgabe 54
Es werden n Komponenten gleicher Bauart zu einem System parallel geschaltet. Die
Ausfallwahrscheinlichkeit einer einzelnen Komponente betrage 7,2 %. Wie groß muss n
mindestens sein, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems unter 50 ppm (ppm =
10-6) liegt?
Aufgabe 55 (Klausuraufgabe WS 1999/2000):
Für die Funktionstüchtigkeit eines bestimmten Aggregates ist die Ausfallrate eines sehr
teuren Bauelementes A mit 10 ppm ( ppm = 10 −6 ) zu hoch, und es werden für den Notfall
die preisgünstigeren Elemente B und C parallel geschaltet, die einen Fehleranteil von 1 %
(B) bzw. 0,1 % (C) aufweisen. Entsprechend der Schaltung müssen bei Ausfall von A
sowohl B als auch C funktionieren, damit die Funktionsfähigkeit des Aggregates aufrecht
gehalten wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall der Schaltung?
10 ppm
Zusatz: Welche Annahme müssen Sie treffen,
A
um hier überhaupt rechnen zu können?
B
C
1%
0,1 %
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Aufgabe 56
Ein Kandidat ist in einer Quizshow ist bis zum vorletzten Schritt vorgedrungen. Er
befindet sich vor drei gleich aussehenden Türen und weiß, dass sich hinter einer ein
schickes Auto verbirgt, hinter den beiden anderen aber nur jeweils eine Ziege (die für
eine Niete steht). Der Kandidat zeigt auf eine Tür ohne diese zu öffnen.
Dann gebietet der Showmaste Einhalt und sagt: „Ich helfe Ihnen ein bisschen“ und öffnet
eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Er fragt anschließend den Kandidaten:
“Möchten Sie bei Ihrer alten Entscheidung bleiben oder wollen Sie die andere noch
verbleibende Tür wählen?“
Wie soll der Kandidat vorgehen, soll er bei seiner ersten Wahl bleiben oder ist seine
Gewinnwahrscheinlichkeit höher, wenn er die Türen wechselt? Berechnen Sie für Ihre
Entscheidung jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Strategien.
Aufgabe 57
Ein Automobilhersteller bezieht 40 % seiner Scheibenwischer vom Zulieferer X, 60 %
vom Zulieferer Y. Die Wareneingangskontrolle stellt fest, dass 1 % der von X gelieferten
Scheibenwischer defekt sind und 2 % der von Y gelieferten.
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt.
Verwenden Sie folgende Ereignisse:
A = der Scheibenwischer ist defekt;
B = der Scheibenwischer wurde von X geliefert.
b) Aus dem Wareneingang wird zufällig ein Scheibenwischer herausgezogen. Er ist
defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er vom Zulieferer X?
Aufgabe 58
In einem Krankenhaus wird mit einem Schnelltestverfahren geprüft, ob ein Patient an
einer bestimmten versteckten Krankheit leidet. Wenn der Patient tatsächlich an dieser
Krankheit erkrankt ist, zeigt das Verfahren in 96 % der Fälle dies richtig an. Andererseits
erfolgt bei 2 % der Fälle, bei denen der Patient nicht erkrankt ist, trotzdem eine Testreaktion. Etwa 0,5 % der Patienten leiden an dieser Krankheit.
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm.
b) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten wird der Test durchgeführt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit erfolgt eine Reaktion?
c) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten hat der Test eine Reaktion gezeigt. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit leidet der Patient tatsächlich unter der Krankheit?
Aufgabe 59
Ein Unternehmer steht vor der Wahl zwischen zwei Investitionsalternativen. Alternative
A ist mit Investitionskosten von 100.000 GE, Alternative B mit Kosten von 90.000 GE
verbunden. Der Unternehmer schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass sich sein Geschäft im
nächsten Jahr normal entwickelt, auf 70 % ein; die Wahrscheinlichkeit für eine gute
Geschäftsentwicklung auf 10 % und die für eine schlechte Geschäftsentwicklung auf 20
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%. Die folgende Tabelle gibt den Zusatzumsatz bei den beiden Alternativen in
Abhängigkeit von der Geschäftsentwicklung im nächsten Jahr an.
Geschäftsentwicklung
Zusatzumsatz
Alternative A
Alternative B
gut
normal
schlecht
170.000,140.000,120.000,-
195.000,145.000,45.000,-
a) Die Zufallsvariable X beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz –
Investitionskosten), der bei Strategie A erzielt wird. Geben Sie die diskrete Dichte
von X an, und berechnen Sie den Erwartungswert µ sowie die Standardabweichung
σ von X.
b) Die Zufallsvariable Y beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz –
Investitionskosten), der bei Strategie B erzielt wird. Geben Sie die diskrete Dichte
von Y an, und berechnen Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ
von Y.
c) Vergleichen Sie die beiden Alternativen. Wie sind µ und σ zu interpretieren?
Welche Alternative ist vorzuziehen?
d) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.
Aufgabe 60
Die Zufallsvariable X beschreibe die Augenzahl beim Werfen eines Würfels.
a) Bestimmen Sie die diskrete Dichte von X.
b) Zeichnen Sie die diskrete Dichte von X in einem Histogramm.
c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.
d) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
e) Berechnen Sie die Varianz von X.
f) Wie groß ist die Standardabweichung von X?
Aufgabe 61
Gegeben ist die Zufallsvariable X=Augensumme von zwei Würfeln.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Augensumme ist 5“ an.
b) Geben Sie die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an.
c) Geben Sie P( X ≤ 4 ) an.
d) Geben Sie P( X > 5 ) an.
Aufgabe 62
3 Münzen werden geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft „Kopf“ auftritt.
a) Welche Verteilung hat X?
b) Geben Sie die diskrete Dichte von X an, und stellen Sie sie in einem Histogramm dar.
c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.
d) Geben Sie Erwartungswert und Varianz von X an.
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Münze Kopf zeigt?
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Münzen Kopf zeigen?
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Aufgabe 63
Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Ihr Einsatz beträgt 4,- EUR. Wird eine
1 oder 2 geworfen, erhalten Sie 1,- EUR ausgezahlt; bei einer 3 oder 4 erhalten Sie 2,EUR. Bei einer 5 beträgt die Auszahlung 4,- EUR und bei einer 6 beläuft sie sich auf 8,EUR. (D. h., beim Werfen einer 6 beträgt Ihr Gewinn 4,- EUR.)
a) Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn bzw. Verlust. Geben Sie die
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an.
b) Berechnen Sie E(X) und Var(X). Ist das Spiel fair?
Aufgabe 64
In einem Behälter befinden sich 20 Kugeln, davon sind 4 blau und 16 rot. Aus dem
Behälter werden nun ohne Zurücklegen 5 Kugeln zufällig entnommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in dieser Stichprobe genau 2 blaue Kugeln
vorzufinden?
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X=Anzahl der
blauen Kugeln in der Stichprobe an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung
graphisch dar.
Aufgabe 65
In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, und zwar 4 schwarze und 6 weiße. Es wird 5-mal
ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2
schwarze Kugeln zieht?
Aufgabe 66 (Klausuraufgabe WS 04/05)
Ein Unternehmen hat sich zu seinem 22-jährigen Bestehen ein Gewinnspiel ausgedacht.
Bei dem Gewinnspiel müssen die Teilnehmer auf einem Schein mit 22 Zahlen 2 Zahlen
ankreuzen. Anschließend werden 2 Gewinnzahlen gezogen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, bei diesem Spiel 0 Richtige, 1 Richtige
bzw. 2 Richtige zu haben.
Die Teilnahme an dem Spiel soll allerdings für die Kunden nicht kostenlos sein, sondern
pro Schein einen Einsatz von 1,- Euro kosten. Hat der Kunde 2 Richtige, erhält er 22,22
Euro Gewinn und zusätzlich seinen Einsatz zurück. Bei 1 richtigen Zahl erhält er einen
Trostpreis von 5,- Euro, aber seinen Einsatz nicht zurück (= 4,- Gewinn).
b) Welchen Gewinn oder Verlust kann das Unternehmen erwarten, wenn 1000 Kunden
an diesem Glücksspiel teilnehmen?
Aufgabe 67
In einer Urne befinden sich 40 % schwarze und 60 % weiße Kugeln. Es wird 5-mal mit
Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2 schwarze
Kugeln zieht?
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Aufgaben zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Aufgabe 68
Ein Unternehmen erhält eine Lieferung vom Umfang N = 1000 . Von diesen 1000 sind
M = 35 defekt. Beim Abnehmer, der die Anzahl der Defektstücke in der Lieferung
natürlich nicht kennt, wird bei der Wareneingangskontrolle eine Stichprobe von n = 20
Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie viele Defektstücke in
dieser Stichprobe sind.
a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt?
b) Berechnen Sie P( X = 1) exakt.
c) Berechnen Sie P( X = 1) näherungsweise unter Verwendung der
Binomialverteilung. (Darf man das hier?)
Aufgabe 69
Die Ausschussquote bei der Produktion eines Massengutes liege bei 10 %. Aus der
laufenden Produktion werden 4 Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X
bezeichne die Anzahl der dabei gefundenen Defektstücke. Berechnen Sie (unter der
Annahme, dass die vier Ereignisse „Stück i ist defekt“, i = 1,... 4, unabhängig sind)
a) die diskrete Dichte von X;
b) den Erwartungswert von X;
c) die Varianz von X.
Aufgabe 70
a) Berechnen Sie P( X = 2) für eine B(100; 0,025)-verteilte Zufallsvariable X.
b) Berechnen Sie P( X ≤ 3) für eine B(100; 0,025)-verteilte Zufallsvariable X.
c) Berechnen Sie F(3), wobei F die Verteilungsfunktion einer B(100; 0,025)-verteilten
Zufallsvariablen X bezeichne.
d) Berechnen Sie P(48 ≤ Y < 50) für eine B(100; 0,47)-verteilte Zufallsvariable Y.
e) Berechnen Sie P(Z < 98) für eine B(100; 0,94)-verteilte Zufallsvariable Z.
f) Sei G die Verteilungsfunktion einer B(100; 0,94)-verteilten Zufallsvariable Z.
Berechnen Sie G(98).
Aufgabe 71
Über eine Datenleitung werden binäre Nachrichten, also aus Nullen und Einsen
bestehende Ziffernfolgen, übermittelt. Die Datenleitung ist allerdings gestört, und zwar
erhält der Empfänger mit Wahrscheinlichkeit 9,7 % nicht die gesendete Ziffer, sondern
die falsche. Das Auftreten von Störungen bei mehreren gesendeten Ziffern sei
voneinander unabhängig.
Um in dieser Situation die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass der Empfänger die
richtige Nachricht erhält, sendet der Sender jedes Zeichen fünfmal direkt hintereinander,
also 00000 statt 0 und 11111 statt 1. Der Empfänger entscheidet bei jeder Fünfergruppe
nach der Mehrheit der empfangenen Zeichen, welche die Bedeutung die Fünfergruppe
haben soll. Bei drei oder mehr Einsen (z. B. bei 10110) entscheidet er also, dass eine
(verfünffachte) 1 gesendet wurde, bei drei oder mehr Nullen (z. B. bei 00010)
interpretiert er die Fünfergruppe als 0.
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit interpretiert der Empfänger eine Fünfergruppe falsch?
Aufgabe 72
Ein Würfel wird 7-mal geworfen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal die Augenzahl 1 zu werfen?
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X = Anzahl der
geworfenen Einsen an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch
dar.
Aufgabe 73
In einer Lieferung sind 2000 Einheiten, davon sind 60 fehlerhaft. Es wird eine zufällige
Stichprobe vom Umfang n = 50 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau
zwei fehlerhafte Einheiten zu ziehen? Lösen Sie
a) exakt und
b) mit Näherung durch die Binomialverteilung.
Aufgabe 74
In einem Behälter liegen 50 Dichtungen, davon sind 10 defekt. Man greift zufällig in den
Behälter und entnimmt 10 Dichtungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
Fehleranteil im Behälter danach genauso groß ist wie vorher?
Aufgabe 75
Ein Batterietestgerät kann gleichzeitig 5 Batterien prüfen. Unter 25 Batterien sind 2
fehlerhaft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese gleich beim ersten Test
entdeckt werden?
Aufgabe 76
Aus einer Lieferung („Prüflos“) vom Umfang N wird eine Stichprobe vom Umfang n
zufällig gezogen. Falls in der Stichprobe höchstens c fehlerhafte Stücke sind, wird das
Los angenommen; anderenfalls wird das Los zurückgewiesen. Man spricht hier von
einem „(n | c)- Prüfplan“ oder von einer „(n | c)- Stichprobenanweisung“. c heißt
„Annahmezahl“
(= maximal erlaubte Anzahl von Defektstücken in der Stichprobe).
Ein Prüflos von N = 1000 Einheiten wird mit Hilfe des Prüfplans (80 | 1) überprüft.
In der Lieferung befinden sich M = 10 fehlerhafte Einheiten (was dem Abnehmer
natürlich unbekannt ist). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung
angenommen wird?
a)
b)
c)
d)
Rechnen Sie exakt.
Rechnen Sie näherungsweise mit der Binomialverteilung.
Nähern Sie die Binomialverteilung aus b) durch eine Poisson-Verteilung an.
Sind nach den Faustregeln die Näherungen in b) und c) eigentlich zulässig? Falls
nein, halten Sie die Näherungen trotzdem für brauchbar?
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Aufgaben zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Aufgabe 77
In einer Telefonzentrale gehen im Mittel in 5 Minuten 3 Gespräche ein.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten 5-MinutenZeitraum genau ein Gespräch eingeht?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten 10Minuten-Zeitraum genau zwei Gespräche eingehen?
Aufgabe 78
Lackierte Bleche besitzen Lackfehler. Im Mittel sind es 0,4 Fehler pro Blech. Die
Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Lackfehler auf einem Blech.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem zufällig ausgewählten Blech
genau 2 Lackfehler sind?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf zwei zufällig ausgewählten Blechen
zusammen genau 4 Lackfehler sind?
Aufgabe 79
Bei der Herstellung einer bestimmten Gewebesorte kann die Zahl der Webfehler pro 1 m2
als Poisson-verteilt angesehen werden mit Erwartungswert 0,8.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 1 m2 keinen Fehler zu
finden?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 5 m2 drei oder mehr Fehler
zu finden?
c) Es sei F die Verteilungsfunktion der Zahl der Webfehler auf einem 5 m2 großen
Gewebestück. Berechnen Sie F(2). Welche Wahrscheinlichkeit ist das?
Aufgabe 80
Angenommen eine Straßenbahn fährt pünktlich alle 10 Minuten. Wenn man zufällig zur
Haltestelle kommt, dann ist die Wartezeit X eine Zufallsvariable, die kontinuierlich alle
Werte von 0 bis 10 annehmen kann, wobei jede Wartezeit gleich wahrscheinlich ist.
Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte ist daher
k , 0 < x < 10
, wobei k eine Konstante ist.
f ( x) = 
sonst
0,
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bestimmen Sie k.
Geben Sie die Verteilungsfunktion F an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens 3 Minuten zu warten?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Minuten zu warten?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 5 und 9 Minuten zu warten?
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Wartezeit an
der Straßenbahnhaltestelle.
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Aufgaben zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Aufgabe 81
Die Lebensdauer X (in Jahren) eines elektronischen Bauteils, das zufällig ausfällt, kann
oft durch eine Verteilungsfunktion der Form
1 − e − kx , 0 ≤ x
FX ( x ) = 
x<0
 0,
angegeben werden. Dabei ist k eine Materialkonstante.
a) Geben sie die zugehörige Dichtefunktion f an.
Für ein bestimmtes Bauteil ist k = 1 : Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die
Lebensdauer
b) höchstens 1 Jahr
c) zwischen 1 und 2 Jahre
d) größer als 2 Jahre ist?
Aufgabe 82
Die Zufallsvariable X beschreibt die Lebensdauer eines bestimmten Glühbirnentyps
(gemessen in Stunden). Die Verteilungsfunktion von X sei die folgende Funktion:
0
für x < 0

F ( x) = 
− x / 1500
für x ≥ 0
1 − e
a) Berechnen Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeiten der
folgenden Ereignisse:
a1) Die Glühbirne hält höchstens 1000 Stunden.
a2) Die Glühbirne hält mindestens 1500 Stunden.
a3) Die Glühbirne hält mindestens 1000 und höchstens 1500 Stunden.
b) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.
c) Welche Lebensdauer erreichen 50 % der Glühbirnen?
Aufgabe 83 (Klausuraufgabe WS 2006/2007)
An der Wareneingangskontrolle wird eine Massensendung mit 10.000 Einzelteilen nach
folgendem Schema geprüft:
Man entnimmt der Sendung zufällig 8 Teile und prüft diese. Sind alle Teile einwandfrei,
so wird die Sendung sofort akzeptiert. Bei zwei und mehr defekten Teilen wird die
Sendung sofort zurückgewiesen. Bei einem defekten Teil entscheidet eine zweite
Stichprobe vom Umfang 4. Sind dann alle Teile in Ordnung, so wird die Sendung
akzeptiert, bei mindestens einem defekten Teil in der zweiten Stichprobe wird die
Sendung endgültig zurückgewiesen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei diesem Verfahren eine Sendung mit 12%
Ausschuss akzeptiert?
Aufgabe 84
Aus einer laufenden Produktion wurden die Widerstandswerte (in m Ω ) von 200
elektronischen Bauteilen gemessen. Es ergaben sich die in der Tabelle angegebenen
Werte.
Widerstand (in m Ω )
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Aufgaben zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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größer als
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
bis max
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
Anzahl der Bauteile
2
4
11
14
29
42
36
32
21
6
2
1
Es soll überprüft werden, ob man die Widerstandswerte als normalverteilt N ( µ , σ 2 )
ansehen kann.
a) Zeichnen Sie dazu zunächst ein Histogramm.
b) Berechnen Sie Punktschätzer µ̂ bzw. σ̂ 2 für µ und σ 2 .
c) Die Funktion g sei das 1000-fache der Dichte einer N ( µˆ , σˆ 2 ) -Verteilung, also
gegeben durch folgende Funktionsgleichung:
g ( x) =
1000
2πσˆ 2
Punktschätzer sind.
d)
e)
f)
g)
1  x − µˆ 
− 

e 2  σˆ 
2
, wobei µ̂ und σ̂ 2 die in b) berechneten
Berechnen Sie (zur Kontrolle) g (315) .
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g in Ihr Schaubild aus a) ein. Berechnen
Sie dazu (z. B. mit einem programmierbaren Rechner oder mit Excel) die
Funktionswerte g (300) , g (305) , g (310) , ..., g (360) und verbinden Sie diese
Punkte durch eine Kurve.
Vergleichen Sie („nach Augenmaß“) Histogramm und Funktionskurve. Kann man
davon ausgehen, dass die Widerstandswerte normalverteilt sind?
Warum ist der Faktor 1000 in Aufgabenteil c) erforderlich?
Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F einer N ( µˆ , σˆ 2 ) -verteilten Zufallsvariablen.
Aufgabe 85
Nachfolgend finden Sie die Dichten von vier verschiedenen Normalverteilungen
skizziert. Beschriften Sie die Dichten: Welche Werte haben jeweils die Parameter µ und
σ 2?
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Aufgaben zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Machen Sie sich anhand der Skizzen die Bedeutung von µ und σ 2 bei einer
Normalverteilung klar.
a)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
b)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5
-4
-3
-2
-1
c)
d)
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0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
3
4
5
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Aufgabe 86
Die Zufallsvariable Z sei N(0; 1)-verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten mit
Hilfe der Tabelle der Φ -Funktion.
a) P ( Z ≤ 1,5)
e) P ( Z = 2)
b) P ( Z > 1,5)
c) P (0,43 ≤ Z ≤ 1,5)
d) P ( Z ≤ −1,5)
Aufgabe 87
Die Zufallsvariable X sei N(100; 20)-verteilt. Berechnen Sie
a) P ( X ≤ 109) b) P ( X > 95) .
Aufgabe 88
Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte
Zufallsvariable Z. Veranschaulichen Sie sich den Sachverhalt, falls erforderlich, mit einer
Skizze.
a) P ( Z < 0,99)
d) P( Z > −2,27)
b) P ( Z ≤ −1,23)
e) P(−1,1 ≤ Z < 2,1)
c) P ( Z > 2,27)
f) P( Z = 0,18)
Aufgabe 89
Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine N(200; 10)-verteilte
Zufallsvariable X. (Skizze!)
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Aufgaben zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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a) P(202 ≤ X ≤ 205)
b) P(197 < X < 203)
c) P(198 ≤ X ≤ 199)
Aufgabe 90
Das Gewicht (in kg) von Schülern einer bestimmten Altersgruppe sei N(73; 64)normalverteilt.
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.
a) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters liegt zwischen 75
und 85 kg.
b) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters übersteigt 90 kg.
c) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters übersteigt 70 kg.
d) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters liegt zwischen 65
und 81 kg.
Aufgabe 91
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung einer normalverteilten
Zufallsvariable X vom Erwartungswert µ um höchstens
a) σ, b) 2σ,
c) 3σ.
Aufgabe 92
Eine Maschine füllt Wasser in 0,7-l-Flaschen ab. Die Füllmenge (in ml) kann als
normalverteilt angesehen werden mit Erwartungswert µ = 701,25 und
Standardabweichung σ = 0,9 .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
a)
b)
c)
d)
Die Füllmenge unterschreitet den Sollwert von 0,7 l.
Die Füllmenge übersteigt 705 ml.
Die Füllmenge weicht um mehr als 2 ml vom Sollwert ab.
Berechnen Sie je einen zweiseitigen Zufallsstreubereich, der
d1) mit Wahrscheinlichkeit 98 %
d2) mit Wahrscheinlichkeit 99 %
die (zufällige) Füllmenge einer Flasche enthält. (Skizze!)
e) Welche Füllmenge wird von nur 1 % aller Flaschen unterschritten?
Aufgabe 93
Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei
durch eine N(1000; 10)-verteilte Zufallsvariable X beschrieben. Bestimmen Sie
a) einen zweiseitigen 95-%-Zufallsstreubereich für X;
b) die beiden einseitigen 95-%-Zufallsstreubereiche für X.
Aufgabe 94 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004)
Bei einer Studie wurde die Lesekompetenz von Schülern auf einer Punktskala gemessen
(hoher Punktwert = hohe Lesekompetenz). Für eine bestimmte Schülergruppe ergab sich,
dass die Lesekompetenz durch eine N(550; 3600)-Normalverteilung beschrieben werden
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kann. Welche Punktwerte hatten die 5 % der Schüler, die am schlechtesten lesen
konnten?
Aufgabe 95
Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei
N(1000; 10)- verteilt. Ein Karton enthält 100 Packungen Zucker. Berechnen Sie einen
zweiseitigen 95-%- Zufallsstreubereich für das mittlere Packungsgewicht der 100 Packungen
eines zufällig ausgewählten Kartons.
Aufgabe 96
Die Füllmenge von Kaffeepackungen (in g) sei N(500; 5)-verteilt. Es wird eine
Stichprobe von n = 20 Packungen zufällig herausgegriffen. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a) Das Gesamtgewicht G der Stichprobe liegt bei höchstens 9,990 kg.
b) Das Durchschnittsgewicht D der Stichprobe liegt bei höchstens 499 g.
Aufgabe 97
In einem chemischen Prozess werden über eine Dosiervorrichtung nacheinander zwei
Stoffe zugeführt. Die beiden Stoffmengen sind unabhängig normalverteilt mit µ1 = 100 g
und σ 1 = 2 g sowie µ 2 = 75 g und σ 2 = 1 g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
zugeführte Stoffmenge beider Stoffe zusammen weniger als 170 g beträgt?
Aufgabe 98
Eine Maschine schneidet Drahtstücke zu. Die Zufallsvariable X, die die Länge (in mm)
eines zufällig ausgewählten Drahtstücks beschreibt, sei normalverteilt mit µ = 501 und σ2
= 7.
a)
b)
c)
d)
Berechnen Sie einen zweiseitigen 95 %-Zufallsstreubereich für X.
Berechnen Sie einen zweiseitigen 99 %-Zufallsstreubereich für X.
Berechnen Sie die beiden einseitigen 99 %-Zufallsstreubereiche für X.
Es werden zufällig n = 50 Drahtstücke aus der Produktion dieser Maschine
entnommen. Die Zufallsvariable X beschreibe die mittlere Drahtlänge dieser
Stichprobe. Berechnen Sie einen zweiseitigen 99 %-Zufallsstreubereich für X .
Aufgabe 99
Bei einem Produktionsprozess liegt der Ausschussanteil bei p = 2 % . Aus der laufenden
Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang n = 500 entnommen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Stichprobe mehr als 15 Ausschussstücke enthalten
sind? Rechnen Sie
a) exakt;
b) näherungsweise mit der Normalverteilung.
Vergleichen Sie den Aufwand.
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Aufgabe 100
Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit,
dass die Augensumme zwischen (einschließlich) 340 und 360 liegt?
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