Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen

3.2. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
11. Folgerung
X
P
vollständiger metrischer Raum
Wahrscheinlichkeitsmaß auf (X , B(X ))
Dann gilt
P ist ein Radon-Maß ⇔ es existiert eine separable Teilmenge
X0 ∈ B(X ) mit P(X0 ) = P(X ) = 1
Hans-Jörg Starkloff
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3.2. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
1. Definition
X metrischer Raum
(i) Geg. P, (Pn ; n ∈ N) Wahrscheinlichkeitsmaße auf (X , B(X ))
Die Folge (Pn ; n ∈ N) konvergiert schwach gegen P, falls
Z
Z
∀ f ∈ Cb (X ) : lim
fdPn = fdP.
n→∞
Bezeichnung:
Pn →w P
(n → ∞)
(ii) Eine Menge M von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (X , B(X ))
heißt relativ kompakt bezüglich der schwachen Konvergenz,
falls sich aus jeder Folge von Maßen aus M eine schwach
konvergente Teilfolge auswählen lässt.
Hans-Jörg Starkloff
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3.2. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
2. Bemerkung
Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (X , B(X )) mit einem
metrischen Raum X erzeugt ein stetiges lineares Funktional auf
dem Banach-Raum Cb (X ) vermittels
Z
C(X ) 3 f 7→ f dP ∈ R.
Die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf
(X , B(X )) entspricht dann der *-schwachen Konvergenz der
entsprechenden linearen Funktionale.
Hans-Jörg Starkloff
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3.2. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
3. Behauptung
Geg. X metrischer Raum;
P, (Pn ; n ∈ N) Wahrscheinlichkeitsmaße auf (X , B(X ))
Dann gilt:
Pn →w P (n → ∞) ⇔ aus jeder Teilfolge von (Pn ; n ∈ N) lässt
sich eine gegen P schwach konvergente Teilfolge auswählen
Hans-Jörg Starkloff
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3.2. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
4. Beispiel
Geg. (X , %) metrischer Raum
(xn ; n ∈ N) Folge in X , x ∈ X
Pn := δxn ; P = δx ,
d.h. Pn (B) =
1, xn ∈ B
0, xn ∈
6 B
Dann gilt:
Pn →w P (n → ∞)
Hans-Jörg Starkloff
⇔
lim %(xn , x) = 0
n→∞
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3.2. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
5. Portmanteau-Theorem
Geg. (X , %) metrischer Raum
P, (Pn ; n ∈ N) Wahrscheinlichkeitsmaße auf (X , B(X ))
Folgende Bedingungen sind äquivalent:
(i) Pn →w P (n → ∞)
Z
Z
fdPn = fdP
(ii) ∀ f ∈ Cbuc (X ) :
lim
n→∞
(iii) ∀ F ⊆ X , F abgeschlossen :
P(F ) ≥ lim sup Pn (F )
(iv) ∀ G ⊆ X , G offen :
P(G) ≤ lim inf Pn (G)
(v) ∀ B ∈ B(X ) mit P(∂B) = 0 :
P(B) = lim Pn (B)
n→∞
n→∞
n→∞
(vi) für alle beschränkten Borelschen Funktionen f : X → R mit
P ({xZ∈ X : f istZnicht stetig in x}) = 0 gilt:
lim
n→∞
Hans-Jörg Starkloff
fdPn =
fdP
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3.2. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
6. Beispiel
Fortsetzung von Beispiel 3.
(i) falls ∀ n ∈ N : xn 6= x, lim xn = x
n→∞
für F = {x}: Pn (F ) = Pn ({x}) = 0 aber P(F ) = P({x}) = 1,
also
0 = lim sup Pn (F ) < P(F ) = 1
n→∞
(ii) falls xn 6= xm , n 6= m, B := {x2k ; k ∈ N} ∈ B(X )
∀k ∈ N :
also
Hans-Jörg Starkloff
P2k (B) = 1, P2k +1 (B) = 0,
lim Pn (B) existiert nicht
n→∞
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
7. Behauptung
Die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf einem
metrischen Raum ist ein metrischer Begriff, d.h. man kann eine
Metrik d in der Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf (X , B(X ))
einführen, so dass Pn →w P (n → ∞) genau dann, wenn
d(Pn , P) → 0 (n → ∞).
(ohne Beweis)
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
8. Definition
Geg. X metrischer Raum
Eine Menge M von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (X , B(X )) heißt
straff [engl. tight], falls zu jedem ε > 0 eine kompakte Menge Kε ⊆ X
existiert mit P(Kε ) ≥ 1 − ε für alle P ∈ M, d.h. mit
inf{P(Kε ); P ∈ M} ≥ 1 − ε.
Hans-Jörg Starkloff
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
9. Satz von Prokhorov
Geg. X metrischer Raum
M Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (X , B(X )).
(i) M straff ⇒ M ist relativ kompakt bezüglich der schwachen
Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
(ii) Ist X ein polnischer Raum, gilt auch die Umkehrung von (i), d.h.
M straff ⇔ M ist relativ kompakt bezüglich der schwachen
Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
(ohne Beweis)
Hans-Jörg Starkloff
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
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10. Bemerkung
ein häufiges Vorgehen bei der Untersuchung der schwachen
Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen:
man zeigt, dass eine Folge (Pn ; n ∈ N) straff ist und zeigt zusätzlich,
dass ein mögliches Grenzwahrscheinlichkeitsmaß eindeutig
bestimmt ist
Hans-Jörg Starkloff
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
1. Definition
X metrischer Raum
B(X ) σ−Algebra der Borel-Mengen auf X
(Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum
(i) Die Abbildung ξ : Ω → X heißt Zufallsvariable in X (oder in
(X , B(X )) oder Zufallselement in X ), falls sie messsbar
bezüglich A und B(X ) ist, d.h. falls ∀ B ∈ B(X ) : ξ −1 (B) ∈ A
gilt.
(ii) Zwei Zufallsvariable ξ1 und ξ2 in X heißen äquivalent (oder
fast sicher gleich), falls P(ξ1 = ξ2 ) = 1 gilt.
(iii) Eine Zufallsvariable ξ in X heißt diskrete oder elementare
Zufallsvariable, falls der Wertebereich ξ(Ω) höchstens
abzählbar ist.
(iv) Eine Zufallsvariable ξ in X heißt einfache Zufallsvariable, falls
der Wertebereich ξ(Ω) endlich ist.
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
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2. Definition
X metrischer Raum
B(X ) σ−Algebra der Borel-Mengen auf X
(Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum
(i) Die Verteilung Pξ der Zufallsvariable ξ in X ist das Bildmaß
von P in X unter ξ, d.h.
Pξ (B) = P({ω : ξ(ω) ∈ B}) =: P(ξ ∈ B) für beliebige B ∈ B(X ).
(ii) Zwei Zufallsvariable ξ1 und ξ2 in X heißen identisch verteilt,
falls ihre Verteilungen übereinstimmen, d.h.
P(ξ1 ∈ B) = Pξ1 (B) = Pξ2 (B) = P(ξ2 ∈ B) für beliebige
B ∈ B(X ).
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
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3. Bemerkungen
(i) Jede elementare Zufallsvariable ξ in X kann dargestellt
werden durch
ξ(ω) =
∞
X
xk 1Bk (ω),
ω ∈ Ω,
k =1
mit xk ∈ X , k ∈ N, und Bk ∈ B(X ), Bk ∩ Bl = ∅, k , l ∈ N, k 6= l.
Jede einfache Zufallsvariable kann durch eine solche endliche
Summe dargestellt werden.
(ii) Äquivalente Zufallsvariable in X sind identisch verteilt.
(iii) Im Allgemeinen gibt es auf einem Wahrscheinlichkeitsraum viele
nichtäquivalente Zufallsvariable in X , die identisch verteilt sind.
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
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4. Satz
X metrischer Raum
P Wahrscheinlichkeitsmaß auf (X , B(X ))
Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, PΩ ) und eine
Zufallsvariable ξ : Ω → X , so dass die Verteilung von ξ genau P ist.
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
5. Satz
X metrischer Raum
(ξn ; n ∈ N) Zufallsvariable in (X , B(X )), definiert auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P)
es existiert ξ(ω) = lim ξn (ω), ω ∈ Ω
n→∞
Dann ist die Abbildung ξ : Ω → X messbar bezüglich A und B(X ),
d.h. eine Zufallsvariable in X .
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
6. Behauptung
X
separabler metrischer Raum
Es existiert eine Folge von Borel-messbaren Abbildungen
fn : X → X , n ∈ N, so dass der Wertebereich fn (X ) höchstens
abzählbar ist und die Folge (fn ; n ∈ N) gleichmäßig (und monoton)
gegen die identische Abbildung konvergiert:
lim sup % (fn (x), x) = 0.
n→∞ x∈X
Ist der Raum X total beschränkt, können die Abbildungen
(fn ; n ∈ N) so gewählt werden, dass die Wertebereiche fn (X ) für
alle n ∈ N endlich sind.
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
7. Behauptung
X
separabler metrischer Raum
Es existiert eine Folge von Borel-messbaren Abbildungen
fn : X → X , n ∈ N, so dass der Wertebereich fn (X ) für alle n ∈ N
endlich ist und die Folge (fn ; n ∈ N) punktweise und monoton gegen
die identische Abbildung konvergiert:
∀x ∈X
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lim % (fn (x), x) = 0.
n→∞
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
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8. Behauptung
(Ω, A) messbarer Raum
X
metrischer Raum
ξ : Ω → X Abbildung
Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
(i) ξ ist messbar und ξ(Ω) ist eine separable Teilmenge von X .
(ii) Es existiert eine Folge von elementaren Zufallsvariablen
(ξn ; n ∈ N) die gleichmäßig bezüglich ω ∈ Ω gegen ξ
konvergiert. Ist der metrische Raum total-beschränkt, können
einfache Zufallsvariable (ξn ; n ∈ N) gewählt werden.
(iii) Es existiert eine Folge (ηn ; n ∈ N) von einfachen
Zufallsvariablen in X , so dass ∀ ω ∈ Ω : lim ηn (ω) = ξ(ω) gilt.
n→∞
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9. Behauptung
(Ω, A) messbarer Raum
X
metrischer Raum
ξ : Ω → X Abbildung
Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
(i) ξ ist messbar, d.h. eine Zufallsvariable in X .
(ii) Für beliebige f ∈ Cbuc (X ) (oder f ∈ Cb (X ) oder f ∈ C(X )) ist
f (ξ) eine reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, A).
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
3.4. Zufallsvariable in metrischen Räumen
10. Bemerkung
Für vollständige separable metrische Räume X kann Bedingung (ii)
in Behauptung 9 abgeschwächt werden durch:
Für beliebige f ∈ M ist f (ξ) eine reellwertige Zufallsvariable, wobei
M eine Menge von reellen stetigen Funktionen auf X ist, welche die
Punkte von X trennt. (Pettis)
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11. Definition
(Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum
(X , %)
separabler metrischer Raum
ξ, (ξn ; n ∈ N) Zufallsvariable in (X , B(X ))
Pξ , (Pξn ; n ∈ N) Verteilungen von ξ, (ξn ; n ∈ N) entsprechend
Die Folge (ξn ; n ∈ N) konvergiert gegen ξ für n → ∞
(i) in Verteilung, falls Pξn →w Pξ (n → ∞)
Bez.: ξn →d ξ oder ξn →v ξ, (n → ∞)
(ii) fast sicher, falls P ({ω : %(ξn (ω), ξ(ω)) → 0 (n → ∞)}) = 1
Bez.: ξn →a.s. ξ oder ξn →f .s. ξ, (n → ∞)
(iii) stochastisch oder in Wahrscheinlichkeit, falls für beliebige ε > 0
gilt:
lim P({ω : %(ξn (ω), ξ(ω)) > ε}) = 0
Bez.:
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n→∞
ξn →p
ξ
(n → ∞)
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
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12. Behauptung
(Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum
(X , %)
separabler metrischer Raum
ξ, (ξn ; n ∈ N) Zufallsvariable in (X , B(X ))
Es gelten die allgemeinen Beziehungen zwischen den
Konvergenzarten wie für reellwertige Zufallsvariable, d.h.
(i) ξn →a.s. ξ
(ii) ξn
→p
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ξ
(n → ∞)
(n → ∞)
⇒
⇒
ξn →p ξ
ξn
→d
ξ
(n → ∞)
(n → ∞)
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3.3. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
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13. Behauptung
(Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum
(X , %)
separabler metrischer Raum
(ξn ; n ∈ N) Zufallsvariable in (X , B(X ))
ξ(ω) = x0 ∈ X f.s.
Dann gilt:
ξn →d ξ (n → ∞)
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⇒
ξn →p ξ
(n → ∞)
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14. Satz (Skorokhod)
X
Polnischer Raum
Pξ , (Pξn ; n ∈ N) Wahrscheinlichkeitsmaße auf (X , B(X ))
Pn →w P (n → ∞)
Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, PΩ ) und auf ihm
X -wertige Zufalllsvariable ξ, (ξn ; n ∈ N), so dass
(i) die Verteilungen von ξn bzw. ξ mit Pn bzw. P übereinstimmen und
(ii) ξn →a.s. ξ
(n → ∞)
(d.h. die Verteilungskonvergenz von Zufallsvariablen in X kann durch
die fast sichere Konvergenz von (anderen) Zufallsvariablen X
realisiert werden, ohne dass die einzelnen Verteilungen der
Zufallsvariablen in X geändert werden.)
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