Update Stochastik-Skript - Mathematik, Uni-Bremen

Dieses Update enthält nur die neuen/geänderten Seiten gegenüber der Auflage vom März 2016
Skript zur Veranstaltung
Stochastik
von
Gerhard Osius
p= p (x)
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0,6
0,8
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u.,a
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15
20
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25
i
t
X
X
August 2016
Fachbereich Mathematik/Informatik
Universität Bremen
Stochastik
16.8.16
Vorwort- 1
Vorwort
Das vorliegende Manuskript bildet die Grundlage der gleichnamigen Lehrveranstaltung für Studierende der Mathematik in den Studiengängen Diplom und Lehramt
(Bachelor und Sekundarstufe 2). Um eine gewisse Vollständigkeit zu erreichen, ist es
im Laufe der Zeit etwas umfangreicher geworden, und deshalb werden in der Veranstaltung einige Abschnitte (die mit einem * markiert sind) nicht oder nur teilweise behandelt. Die Beweise (der nicht unmittelbar nachvollziehbaren Behauptungen) sind hier bewußt fortgelassen, um die Darstellung der Methoden nicht zu unterbrechen (sie sind in einem separat erhältlichen Beweis-Band zusammengestellt). Obwohl dieses Material primär als Ergänzung und spätere Referenz für die an der
Vorlesung Teilnehmenden gedacht ist, eignet es sich auch bedingt zum Selbststudium, wofür es allerdings nicht primär konzipiert ist.
Die Veranstaltung Stochastik umfaßt vier Stunden Vorlesung sowie zwei Stunden
Übungen pro Woche. Sie gehört zum Grundstudium (Bachelor) der Mathematik und
soll eine erste und relativ elementare Einführung in dieses Gebiet geben, wobei sie
nur auf Vorkenntnisse aus der Analysis und Linearen Algebra zurückgreifen kann.
Eine Vertiefung und Ausweitung des Stoffs im Rahmen von Veranstaltungen zur
Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie sowie zur Statistik sind erst im Hauptstudium
(Master) vorgesehen. Im Lehramts-Studiengang dagegen ist die Stochastik typischerweise die einzige Veranstaltung zu diesem Thema, und dies hat auch die vorliegende Stoffauswahl mitgeprägt, insbesondere die ausführliche Behandlung von statistischen Verfahren im Zusammenhang mit der Binomial- und der Poisson-Verteilung.
Um trotz der elementaren Vorkenntnisse auch ausgewählte (und wichtige) fortgeschrittene Methoden behandeln zu können (z.B. stetige Verteilungen, oder asymptotische Konfidenzbereiche und Tests) wurden einige in der Vorlesung nicht beweisbare Resultate ohne Beweis zitiert (z.B. die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes zu vorgegebener Dichte oder der Zentrale Grenzwertsatz).
Der Stoff ist selbstverständlich aus vielen Quellen zusammengestellt, obwohl diese
im laufenden Text nicht explizit erwähnt werden (wie dies auch bei Lehrbüchern
gängige Praxis ist). - Zunächst werden einleitend (Kapitel 0) einige Anwendungsbeispiele vorgestellt, die der Motivation der später zu behandelnden statistischen
Methoden dienen. Die dort auftretenden Fragen werden zum Teil erst gegen Ende
des Kurses beantwortet. Danach werden (Kapitel 1) Wahrscheinlichkeitsräume
axiomatisch eingeführt und einige konkrtete Verteilungen behandelt. Hierzu werden zwar a-Algebren allgemein definiert aber als konkrete a-Algebren auf überabzählbaren Räumen werden nur die Bore1-Mengen auf der reellen Achse lR (und
später im lR n) betrachtet. Als Wahrscheinlichkeitsmaße auf überabzählbaren Räumen werden auf lR (und lR n) auch nur solche betrachtet, die durch eine Dichte gegeben sind (wobei die Charakterisierung einer Verteilung durch ihre Dichte nicht
bewiesen wird). Da das Lebesgue-Integral hier noch nicht vorausgesetzt werden
kann, beschränken wir uns zuerst auf das Riemann-Integral für stetige Dichten und
erweitern dies dann auf Dichten mit höchstens endlich vielen Unstetigkeitsstellen,
was für die Betrachtungen hier ausreicht.
Stochastik
Vorwort- 2
16.8.16
Im Anschluß daran werden Zufallsvariablen (Kapitel 2), bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit (Kapitel 3 und 5), sowie Verteilungsfunktionen (Kapitel 4) behandelt. Unter Verwendung von Faltungen werden (Kapitel 6)
neue Verteilungen eingeführt, und das Auftreten von Poisson-Verteilungen wird aus
einem Poisson-Prozess hergeleitet.
Der Erwartungswert wird hier (Kapitel 7) nicht für beliebige reelle Zufallsvariablen,
sondern getrennt definiert für Zufallsvariablen die entweder diskret sind oder eine
Dichte haben. Die grundlegenden Eigenschaften des Erwartungswerts werden zwar
allgemein formuliert, aber teilweise nur für diskrete bzw. stetige Zufallsvariablen
separat bewiesen. Neben der Varianz wird auch die Schiefe einer Verteilung sowie
die Covarianz und Korrelation zweier Zufallsvariablen behandelt.
Als Einführung in statistische Grundtechniken wird (Kapitel 8) das Schätzen von
Erwartungswert und Varianz behandelt. Die Frage nach den asymptotischen Eigenschaften der Schätzer dient als Motivation für stochastische Konvergenzbegriffe.
Neben dem (schwachen) Gesetz der großen Zahlen wird der hier nicht bewiesenene
Zentralen Grenzwertsatz für unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen
(Kapitel 9) behandelt. Hierbei wird auch die später noch verwendete Abschätzung
von Berry-Esseen ohne Beweis angegeben. In diesem Zusammenhang werden auch
noch weitere Grenzwertsätze für spezielle Verteilungen erwähnt.
Als zweites statisches Verfahren werden (Kapitel 10-12) Konfidenzgrenzen für den
Erwartungswert betrachtet. Ausgehend von den exakten Grenzen bei Normalverteilung werden asymptotische Grenzen bei beliebiger Verteilung eingeführt. Im Anschluß daran werden Konfidenzgrenzen für die Wahrscheinlichkeit einer Binamialverteilung (Kapitel 11) und für den Erwartungswert einer Poisson-Verteilung (Kapitel 12) behandelt. Hierbei werden sowohl die exakten (und konservativen) als auch
die asymptotischen Grenzen ausführlich hergeleitet und angewandt.
Schließlich wird (Kapitel 13) der statistische Test am Beispiel des Tests von (einund zweiseitigen) Hypothesen über eine Wahrscheinlichkeit relativ ausführlich eingeführt, wobei sowohl auf den exakten als auch auf den asymptotischen Test eingegangen wird. Die entsprechenden Tests über den Erwartungswert der Poisson-Verteilung werden dann etwas knapper behandelt (Kapitel 14). Eine nahtlose Weiterführung und Vertiefung der hier behandelten statistischen Verfahren findet sich
meinem Skript zur Einführung in die Statistik und zur anwendungsorientierten Veranstaltung Statistik in den Naturwissenschaften (vgl. Literaruturhinweise).
Die vorliegende Fassung enthält gegenüber der letzten Version (Februar 2016) nur
wenige Ergänzungen oder Korrekturen in den Abschnitten 6.1.4, 9.2, 10.2 und 11.7.
Erfahrungsgemäß enthält das Skript - trotz Korrekturlesen - noch Druckfehler. Bevor man daher am eigenen Verständnis zweifelt, sollte man auch einen Fehler im
Skript in Erwägung ziehen. Für Hinweise auf Druckfehler oder andere Kommentare
pere-Mail ([email protected]) bin ich dankbar.
Bremen, am 16. August 2016
Gerhard Osius
Stochastik
Inhalt
Die mit
* markierten
Inhalt- 1
16.3.16
(Seiten pro Kapitel)
Kapitel - Seite
Abschnitte behandeln speziellere Themen und können übersprungen
werden.
0.
Einleitung und Anwendungsbeispiele
0.1 Leukämiefälle im Umkreis des Kernkraftwerks Krümmel
0.2 Asbestmessungen in Schulgebäuden
0.3 Wahlumfragen
0.4 Klinische Studie
1.
Wahrscheinlichkeitsräume
1.0 Mengensysteme
1.1 Wahrscheinlichkeitsmaße
1.2 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
1.2.1 Diskrete Gleichverteilung
1.2.2 Bernoulli-Verteilung
1.2.3 Binomial-Verteilung
1.2.4* Relative Häufigkeiten
1.3 Abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume
1.3.1 Poisson-Verteilung
1.4 Reelle Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten
1.4.1 Normal-Verteilung
1.4.2 Exponential-Verteilung
1.4.3 Stetige Gleichverteilung
(21)
1-3
1-7
1-9
1 - 10
1 - 10
1- 11
1- 11
1 - 12
1 - 13
1 - 14
1 - 18
1- 20
1- 20
2.
Zufallsvariablen und ihre Verteilungen
2.1 Indikatorfunktion
2.2 Definition einer Zufallsvariable und ihrer Verteilung
2.3 Reelle Zufallsvariablen
2.3.1 Augensumme zweier Würfel
Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit
3.1.1 Wartezeiten und Exponential-Verteilung
3.2 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
3.3 Produkte diskreter Wahrscheinlichkeitsräume
3.3.1 Bernoulli-Wiederholungen und Binomialverteilung
3.3.2 Produktmaß von Gleichverteilungen
(6)
2- 1
2- 1
2-3
2-6
(10)
3- 1
3-4
3-5
3-7
3-9
3- 10
3.
4.
Verteilungsfunktionen und Dichten
4.1 Verteilungsfunktionen reeller Zufallsvariablen
4.1.1 * Quasi-Inverse einer Verteilungsfunktion
4.2 Verteilungsfunktionen diskreter Zufallsvariablen
4.2.1 Einpunkt-Verteilung, Dirac-Verteilung
4.2.2 Binomial-Verteilung
4.2.3 Poisson-Verteilung
(9)
0- 2
0-4
0-6
0-8
(38)
4-1
4-2
4-3
4-4
4-4
4-4
Stochastik
16.3.16
Stetige Zufallsvariablen mit Dichten
4.3.1 Stetige Gleichverteilung
4.3.2 Exponential-Verteilung
4.3.3 Normal-Verteilung
4.4 Dichten transformierter Zufallsvariablen
4.4.1 Lineare Transformationen stetiger Zufallsvariablen
4.4.2 Absolutbetrag und Potenzen stetiger Zufallsvariablen
4.4.3 Log-Normalverteilung
4.4.4 Weibull-Verteilung
4.4.5* Erzeugung von Zufallszahlen
4.5 Zufallsvektoren
4.5.1 Mehrdimensionale Borel-Mengen
4.5.2 Die Verteilung von Zufallsvektoren
4.6 Diskrete Zufallsvektoren
4.6.1 Multinomial-Verteilung
4.7 Stetige Dichten für zweidimensionalen Verteilungen
4.7.1 Zweidimensionale Normal-Verteilung
4.8* Dichten mehrdimensionaler Verteilungen
4.8.1 Multivariate Normal-Verteilung
4.9 Endliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen
4.9.1 Spezialfall: reelle Wahrscheinlichkeitsräume
4.9.2 Allgemeiner Fall: beliebige Wahrscheinlichkeitsräume
4.10 Abzählbare Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen
4.3
5.
Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Stochastische Unabhängigkeit diskreter Zufallsvariablen
5.1.1 Randomisierte klinische Vergleichsstudie
5.1.2 Geometrische Verteilung
5.2
Unabhängigkeit bei stetigen Zufallsvariablen mit Dichten
5.2.1 Normalverteilte Zufallsvariablen
5.3 Unabhängigkeit bei Zufallsvektoren
5.1
6.
Faltungen von Verteilungen
6.1
Faltung diskreter Verteilungen
6.1.1 Binomial-Verteilung
6.1.2 Multinomial-Verteilung
6.1.3 Faltung von Poisson-Verteilungen
6.1.4 Negative Binomial-Verteilung
6.2 Faltung stetiger Verteilungen mit Dichten
6.2.1 Faltung von Normal-Verteilungen
6.2.2 Faltung von Exponential- und Gamma-Verteilungen
6.2.3 Poisson-Verteilung und Poisson-Prozeß
6.2.4 Elementare Eigenschaften der Gamma-Funktion
6.3 Arithmetische Operationen von Zufallsvariablen
7.
Parameter von Verteilungen: Erwartungswert, Varianz, Schiefe,
Covarianz und Korrelation
Inhalt- 2
4-6
4-9
4-9
4-9
4- 11
4- 12
4- 13
4- 16
4- 18
4- 19
4- 19
4- 20
4- 21
4- 22
4- 22
4- 23
4- 27
4-30
4-32
4-33
4-33
4-34
4-36
(10)
5-3
5-4
5-5
5-8
5-8
5-9
(12)
6-1
6- 2
6- 2
6- 3
6-4
6-6
6-6
6-7
6-9
6- 10
6- 11
(32)
Stochastik
16.3.16
7.1
7.2
7.3
Definition des Erwartungswerts
Grundlegende Eigenschaften des Erwartungswerts
Erwartungswerte spezieller Verteilungen
7.3.1 Erwartungswerte spezieller diskreter Verteilungen
7.3.2 Erwartungswerte spezieller stetiger Verteilungen
7.3.3 Cauchy-Verteilung
7.3.4 Anwendung: Das Sammlerproblem
7.4 Varianz und Standardabweichung
7.5
Varianzen spezieller Verteilungen
7.5.1 Varianzen spezieller diskreter Verteilungen
7.5.2 Varianzen spezieller stetiger Verteilungen
7.6* Symmetrie und Schiefe
7.7 Die Ungleichungen von Chebyshev und Markov
7.7.1 Normalverteilung
7.7.2* Empirische Verteilung
7.8* Covarianz, Korrelation und linearer Zusammenhang
7.8.1 Die Covarianz
7.8.2 Der Korrelationskoeffizient
7.8.3 Die zwei-dimensionale Normal-Verteilung
7.8.4 Linearer Zusammenhang und Regressionsgerade
Inhalt- 3
7- 1
7-7
7-9
7-9
7- 10
7- 11
7- 12
7- 15
7- 17
7- 17
7- 17
7- 18
7- 23
7- 24
7- 25
7- 26
7- 26
7- 28
7 - 29
7 - 29
8.
Schätzung von Erwartungswert und Varianz
(13)
8.1 Schätzung des Erwartungswerts
8-2
8.2 Spezielle Verteilungsmodelle
8 -4
8.2.1 Das Binomial-Verteilungsmodell
8 -4
8.2.2 Das Poisson-Verteilungsmodell
8 -5
8 -5
8.2.3 Das Normal-Verteilungsmodell
8.2.4 * Das Gamma-Verteilungsmodell
8 -5
8.2.5* Das Cauchy-Verteilungsmodell
8-6
8.3* Schätzung der Varianz
8 -6
8.3.1 Schätzung der Varianz bei bekanntem Erwartungswert
8 -6
8.3.2 Schätzung der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert
8- 7
8.3.3 Verteilung der Varianz-Schätzer im Normal-VerteilungsmodellS - 8
8 - 10
8.4* Schätzung der Schiefe
8.5* Schätzung der Korrelation und Regressionsgeraden
8 - 10
9.
Schwaches Gesetz der großen Zahlen und Zentraler Grenzwertsatz
9.1
Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit und
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
9.1.1 Eigenschaften der Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit
9.1.2 Stochastische Konvergenz und Konsistenz von Schätzern
9.2 Verteilungskonvergenz und Zentraler Grenzwertsatz
9.3 Grenzwertsätze für Binomial-Verteilungen
9.3.1 Die Normal-Approximation der Binomial-Verteilung
9.3.2 Anwendung: Wahlumfragen
9.3.3 Die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung
(36)
9 -3
9 -5
9 -6
9 -7
9 - 12
9 - 12
9 - 16
9 - 18
Stochastik
9.4*
9.5*
9.6*
9.7*
9.8
16.3.16
Inhalt- 4
9- 20
Grenzwertsatz für Poisson-Verteilungen
9- 21
Grenzwertsatz für negative Binomial-Verteilungen
9- 22
Grenzwertsatz für Gamma-Verteilungen
9- 23
Eigenschaften der Konvergenz nach Verteilung
9- 25
Hypergeometrische Verteilungen
9- 25
9.8.1 Wahlumfragen
9- 26
9.8.2 Zufälliges Ziehen mit und ohne Zurücklegen
9.8.3 Definition und Eigenschaften der hypergeometrischenVerteilung
9 - 28
9.8.4 Anwendungen und Schätzungen
9 - 29
9.8.5 Binamial-Approximation der hypergeometrischen Verteilung 9 - 30
9.8.6 Die multivariate hypergeometrische Verteilung
9 - 31
10. Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert
10.1 Exakte Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert einer
Normal-Verteilung mit bekannter Varianz
10.2* Asymptotische Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert einer
beliebigen Verteilung
10.3* Exakte Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert einer
Normal-Verteilung mit unbekannter Varianz
(13)
10-3
10- 7
10- 10
11
Konfidenzgrenzen für eine Wahrscheinlichkeit
11.1 Die exakte obere Konfidenzgrenze nach Clopper-Pearson
11.2 Die exakte untere Konfidenzgrenze nach Clopper-Pearson
11.3 Das exakte zweiseitige Konfidenzintervall
11.4 Berechnung der exakten Grenzen
11.5 Die F-Verteilung
11.6 Asymptotische (approximative) Konfidenzgrenzen
11.7 Grobe asymptotische (approximative) Konfidenzgrenzen
(19)
11 - 2
11-4
11 - 5
11 -6
11 -8
11-11
11- 16
12
Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert einer Poisson-Verteilung
12.1 Konstruktion der exakten oberen Konfidenzgrenze
12.2 Konstruktion der exakten unteren Konfidenzgrenze
12.3 Konstruktion des exakten zweiseitigen Konfidenzintervalls
12.4 Berechnung der exakten Grenzen
12.5* Asymptotische (approximative) Konfidenzgrenzen
12.6 Anwendung: Asbestmessungen in Schulgebäuden
12.7 Konfidenzgrenzen bei unabhängigen Wiederholungen
(12)
12 - 1
12-3
12-4
12 - 5
12-6
12- 10
12- 12
13. Testen von Hypothesen über Wahrscheinlichkeiten
13.1 Der exakte einseitige Binomial-Test mit oberer Alternative
13.1.1 Statistische Tests
13.1.2 Fehlerrisiken und Testschärfe
13.1.3 Der optimale Test zum vorgegebenen Niveau
13.1.4 Analyse des Fehlerrisikos 2. Art
13.2 Der exakte einseitige Binomial-Test mit unterer Alternative
13.3 Der exakte zweiseitige Binomial-Test
(32)
13-3
13-4
13- 5
13-8
13- 12
13- 14
13- 16
Stochastik
16.3.16
13.4 Asymptotische Tests
13.4.1 Der asymptotische einseitige obere Binomial-Test
13.4.2 Der asymptotische einseitige untere Binomial-Test
13.4.3 Der asymptotische zweiseitige Binomial-Test
13.5 Planung des erforderlicher Stichproben-Mindestumfangs
13.5.1 Der einseitige obere Test
13.5.2 Der einseitige untere Test
13.5.3 Der zweiseitige Test
14.* Tests für den Erwartungswert der Poisson-Verteilung
14.1 Der einseitige Poisson-Test mit oberer Alternative
14.1.1 Der exakte einseitige obere Poisson-Test
14.1.2 Der asymptotische einseitige obere Poisson-Test
14.2 Der einseitige Poisson-Test mit unterer Alternative
14.2.1 Der exakte einseitige untere Poisson-Test
14.2.2 Der asymptotische einseitige untere Poisson-Test
14.3 Anwendung: Asbestmessungen in Schulgebäuden
14.4 Der zweiseitige Poison-Test
14.4.1 Der exakte zweiseitige Poisson-Test
14.4.2 Der asymptotische zweiseitige Poisson-Test
14.5 Poisson-Tests bei unabhängigen Wiederholungen
Inhalt- 5
1313131313131313-
19
19
24
26
28
29
30
31
(14)
14- 1
14- 2
14-3
14-4
14- 5
14-6
14- 7
14- 12
14- 12
14- 13
14- 14
Literaturhinweise
(1)
AnhangS: Statistik-Funktionen in Tabellenkalkulationen
(2)
Anhang T: Statistische Tabellen
Verteilungsfunktion der Normalverteilung N(0,1)
Quantile der N( 0,1) und t- Verteilung
Quantile der Chiquadrat-Verteilung
Quantile der F- Verteilung
Index
(12)
T -1
T- 3
T- 5
T- 8
(6)
Faltungen von Verteilungen
6-4
4.8.16
6.1.4 Negative Binomial-Verteilung
Wir betrachten (wie in 5.1.2) eine Folge (X ) stochastisch unabhängiger B(1,p)-vern
teilt er Zufallsvariablen, die wir als Indiaktorvariablen für ein Ziel-Ereignis ("Treffer") interpretieren, mit 0 < p < 1 als Treffer-Wahrscheinlichkeit ist. Für festes n E W
ist die Anzahl Y der Nicht-Treffer bis zum n-ten Treffer definiert durch
(1)
Y=k
:{}
xk +n =
1
und
X 1 + ... +Xk+n-1 = n-1
xk +n =
1
und
X1 + ... +Xk+n = n .
Die Verteilung von Y hat dann die Zähldichte
(2)
Diese Verteilung auf W heißt auch die negative Binomial-Verteilung mit den Para0
metern n E W, p E (0, 1) und wird hier mit NB(n,p) bezeichnet. Man beachte, daß es
prinzipiell möglich ist, daß niemals n Treffer eintreten (was Y = oo entspräche),
aber die Wahrscheinlichkeit hierfür ist Null
00
(3)
P{l:X.<n} = 0.
z= 1
0
z
Weiter gilt für k E W
0
(4)
Y<k
Aus L(X1 + ... +Xk+n) = B(k+n,p) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen Binomial- und Negativ-Binomial-Wahrscheinlickeiten (in suggestiver Schreibweise)
(5)
P{NB(n,p) < k} = P{B(k+n,p) > n}
Speziell für n = 1 ergibt sich die geometrische Verteilung
(6)
Geo(p) = NB(1,p),
und die negative Binomial-Verteilung NB(n,p) ist die n-fache Faltung der geometrischen Verteilung Geo(p)
* .... *
(7)
NB(n,p) =Geo(p)
(7)'
Für stochastisch unabhängige Y , ... , Yn mit Geo(p)-Verteilung gilt:
1
n
cL( 2:: Y.) = NB(n,p).
Geo(p)
t ... n-mal ... t
0
z=1
z
bzw.
Faltungen von Verteilungen
6-5
4.8.16
Der Beweis verwendet die folgende Beziehung für Binomial-Koeffizienten
~ (i+n ~-1 1)
(8)
.
t= 0
=
(k+n)
n
fü r
n E 1N
1
kE W .
0
Die Faltung von negativen Binamial-Verteilungen mit gleichem Parameter p ist
wieder eine solche ist
(9)
Dichte von NB(n,p) mit p = OA
Dichte von NB(n,p) mit p= 0.4
0,4
0,4
n= 1
0
5
10
15
n= 2
20
25
30
0
Dichte von NB(n,p) mit p==0,4
5
10
15
20
25
30
25
30
Dichte von NB(n,p) mit p= 0,4
0.4
0.4
n= 4
0
Abb. 1:
5
10
15
n= 8
20
25
30
0
5
10
15
20
Dichten (als Histogramme) der negativen Binamial-Verteilung
NB(n,p) mit p = 0,4 und verschiedenen Werten für n.
Schwaches Gesetz der großen Zahlen und Zentraler Grenzwertsatz
12.8.16
9- 9
Da FX nur im Punkt a = 0 unstetig ist, ist daher (VK) erfüllt:
für a :;= 0.
n---+ oo
Für den Punkt a = 0 gilt die Konvergenz allerdings nicht, weil
für alle n E W.
D
Spezialfall: Stetige Limes-Verteilung
Wenn X eine stetige Verteilung hat, d.h. wenn FX auf IR stetig ist, dann reduziert
sich die Bedingung (VK) zu
(VK)*
n---+ oo
für alle a E IR.
Fja) = P{X<a}
Für jedes Intervall I C IR enthält der Rand 8(!) = { inf(f), sup(f)}
n IR
höchstens zwei
Elemente und somit gilt P {XE 8(!)} = 0. Aus der Bedingung (VK) 1 folgt daher als
Verschärfung von (VK)*
(VK)**
P{XnEI}
n---+oo
P{XEI}
für jedes Intervall I C IR.
D
Wir formulieren jetzt den nach Jarl Waldemar Lindeberg (1876-1932) und Paul
Pierre Levy (1886-1971) genannten Zentralen Grenzwertsatz für unabhängige und
identisch verteilte Zufallsvariablen.
Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg und Levy:
Sei (Xn ) nEm
li.T eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch wie X verteilter
Zufallsvariablen deren Erwartungswert p, = E(X) und Varianz
a = Var(X) > 0 existieren. Die Standardisierung der Summe X~) =X
2
bzw. des Mittelwerts x(n) = ~X~) der ersten n Zufallsvariablen
1
+ ... +Xn
(4)
ist dann verteilungskonvergent gegen die Standard-Normalverteilung
(5)
(6)
u(n)
n---+ oo
n---+ oo
mit <I> als Verteilungsfunktion von N(0,1).
N(0,1)
bzw.
<I>(u)
für alle u E IR
Schwaches Gesetz der großen Zahlen und Zentraler Grenzwertsatz
9 - 10
12.8.16
Zusatz 1: Weiter gilt- wobei"()" für"<" oder "<"steht:
(7)
P{ u () u(n)}
(8)
P{ u 1 () u(n) () u 2 }
n---+ oo
n---+ oo
für alle u E IR,
1- <P(u)
<P( u~ - <P( u1)
Zusatz 2: Die Konvergenzen in (6), (7) bzw. (8) sind sogar gleichmäßig in u bzw.
in u und u .
1
2
Einen Beweis findet bei Georgii (2004) und Krengel (2005) sowie (in allgemeinerer
Form) in Lehrbüchern der Wahrscheinlichkeitstheorie, z. B. Bauer (2002) sowieGänssler und Stute (1977).
Man beachte, daß (6) für alle u E IR gilt, weil <P auf ganz IR stetig ist.
Die Konvergenzaussagen (6) - (8) kann man zur approximativen Berechnung von
Intervall-Wahrscheinlichkeiten für den Mittelwert x(n) verwenden, z.B.
P{ a1 () x(n) () a 2 } = P{ u1 () u(n) () u2 } ~ <P(u 2) - <P(u1)
(9)
mit
u.=
Jn[a.-t-L]
z
a
z
für i = 1,2.
Diese Approximation kann man wegen <P(-oo) = 0 bzw. <P( +oo) = 1 auch im Grenzfall a =- oo bzw. a =
1
2
+ oo
verwenden, weil dann auch u =- oo bzw. u =
1
2
+ oo gilt.
Man kann (9) auch suggestiv schreiben als
(10)
P{ a 1 () x(n) () a 2 } ~ P{ a 1 < N(f-L, ~ a 2 ) < a 2 }
wobei N(f-L, l. a 2) für eine Zufallsvariable mit dieser Normal-Verteilung steht. Da (10)
n
für alle -oo < a < a < +oo gilt, sagt man auch, daß der Mittelwert x(n) approxima1
2
tiv normalverteilt ist und schreibt kurz:
(12)
Entsprechend ist die Summe X~) =X + ... +Xn approximativ normalverteilt
1
(13)
Zur Genauigkeit der Approximationen -wie z.B. (9) -gibt es Abschätzungen, die auf
A. C. Berry (1941) und C. G. Esseen (1945) zurückgehen und hier nicht bewiesen
werden.
Schwaches Gesetz der großen Zahlen und Zentraler Grenzwertsatz
9 - 11
12.8.16
Theorem von Berry und Esseen: Unter den Voraussetzungen des Zentralen
Grenzwertsatzes gilt mit dem 3. absoluten zentralen Moment v : = E( I X
3
-j-L
3
1
)
von X und der Konstanten c = 0.7995
sup IP { u(n) < u} - <P( u) I
(14)
uE 1R
sup IP{ u< u(n)}- [1-<P(u)]l
(15)
(16)
uE 1R
u
<
<
c
-3
- · a . v3'
Vn
c
-3
- · a . v3'
Vn
~~JR IP{u()u(n)()v}-[<P(v)-<P(u)]l < -2c· a-3 . v3.
Vn
'
Hierbei soll v natürlich endlich sein (d.h. es soll existieren), weil sonst die Abschät3
zungen trivial sind. Eine unmittelbare Folgerungen aus diesen Abschätzungen ist,
daß die Konvergenzen (6) - (8) gleichmäßig sind (in u, v) und die Ordnung
)n haben.
Im ursprünglichen Result (14) von Esseen ist die Schranke c = 7.59 angegeben (vgl.
1971, S. 542). Die oben angegebene Schranke c = 0.7995 stammt von van Beek
(1972), vgl. Gänssler-Stute (1977), S. 167, wo auch gezeigt wird, daß die Konstante c
FeZZer
nicht kleiner als (21rr1/ 2 ~ 0.4 sein kann.
Die Abschätzungen (15) und (16) sind Folgerungen aus (14).
Für das 3. absolute zentrale Moment v von X gibt es typischerweise keine einfache
explizite Darstellung. Wegen lxl
3
< 1+
3
4
x ist aber
(17)
mit
Wenn das (meist leichter zu bestimmende) 4. zentrale Moment 1-L von X endlich ist1
4
so kann man v zumindest in (14) - (16) durch 1 + f-L ersetzen, was die Abschätzung
4
3
allerdings vergröbert.
Nach (13) läßt sich die n-fache Faltung
cL(X~))
der Verteilung L(X) stets durch eine
Normalverteilung approximieren. Für einige der bisher behandelten Verteilungen
L(X) geben wir in den folgenden Abschnitten weitere Details dieser Approximation.
Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert
(4)
(t(X)-
(tu a(X)
'
(5)
(t(X)
(t o a(X)
'
dCt
X-d
10-8
12.8.16
Ct
+ dCt
(untere Grenze)
(obere Grenze)
Diese Grenzen halten die vorgegebene Sicherheit 1- a zwar nicht exakt, aber - wie
wir im folgenden zeigen werden - zumindest approximativ ein, wobei die Approximation für wachsenden Stichprobenumfang n beliebig gerrau wird. Der Grund hierfür ist einerseits, daß der standardisierte Mittelwert
(6)
u :=
X-p,
-----,=--
a(X)
a
nach dem Zentralen Grenzwertsatz approximativ standard-normalverteilt ist
(7)
L(U)
~
N(O, 1).
Gerrauer gilt, wobei wir den Umfang n- wie in Kapitel 8 -als Index "(n)" mitführen
N(0,1).
(8)
Andererseits kann die geschätze Standardabweichung als Approximation der unbekannten Standardabweichung verwendet werden
(9)
a(X)
~ a
weil die Schätzung nach 9.1.2 konsistent ist
(10)
p
n---+ oo
a.
Für die Sicherheit der unteren Grenze
(11)
P { (t u, Ct (X) < p, } = P { X- dCt
< p, }
ergibt sich
(12)
und für die obere Grenze erhält man
(13)
Man interpretiert (12) bzw. (13) dahingehend, daß die untere bzw. obere Grenze die
asymptotische Sicherheit 1- a oder die asymptotische Irrtumswahrscheinlichkeit a hat.
Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert
10-9
12.8.16
Für die praktische Anwendung bedeutet dies, daß die Grenzen (4) und (5) die approximative Sicherheit
(14)
P{X-d Ct <~t} ~ 1-a
besitzen, wobei die Approximation für wachsendes n beliebig gerrau wird.
Bei den obigen Ausführungen haben wir von der speziellen Gestalt (1) der Varianzschätzung keinen Gebrauch gemacht, sondern nur ihre Konsistenz (10) ausgenutzt.
Folglich gelten alle obigen Ausführungen sogar für jede konsistente Schätzung a2(X)
der Varianz, weil diese ebenfalls (10) erfüllt. Wenn die Varianz sogar eine stetige
Funktion des Erwartungswerts fL ist (was z.B. bei der Bernouilli- oder Poisson-Verteilung der Fall ist), so gilt a 2 = a 2 (~t) und jede konsistente Schätzung Jl(X(n)) für fL
liefert auch eine konsistente Schätzung a(X(n)) = a(Jl(X(n))) von a. Die zugehörigen
asymptotischen Konfidenzgrenzen werden für Bernouilli-verteiltes X in 11.7 behan-
delt.
Beispiel: Haltbarkeitsdauer eines Medikaments
Die Haltbarkeitsdauer X (in Tagen) eines spezifischen Medikamentes kann als Zufallsvariable mit einer zunächst nicht bekannten Verteilung betrachtet werden.
Eine Verbraucherorganisation will eine untere 95%-Grenze
4u
für die erwartete
Haltbarkeitsdauer fL = E(X) ermitteln. Bei n = 25 unabhängigen Messungen ergab
sich der Mittelwert
x = 107,5 mit einer Streuung von a(x) =
12,7 und die Schätzung
auf a war a( x) = 63,5. Aus dem 5%-Quantil z 5 % = 1,645 ergibt sich die Bandbreite
d5% =
20,9 und somit eine untere Grenze von flu,S% = 86,6 Tagen. Man beachte, daß
die Sicherheit dieser Grenze nur approximativ 95% beträgt.
Konfidenzgrenzen für eine Wahrscheinlichkeit
11-16
15.8.16
Die asymptotische obere und untere Grenze liegen symmetrisch um den Wert
p (x), aber nicht um die Schätzung p(x). Für wachsendes n weicht p (x) allerdings
m
m
immer weniger von p(x) ab. Gerrauer gilt (wobei wir X wieder mit n indizieren)
p
(25)
n---+ oo
o,
und die Konvergenzgeschwindigkeit ist sogar von der Ordnung 1.. , weil
n
p
(26)
n---+ oo
Die Abweichung der oberen bzw. unteren Grenze vom Symmetriepunkt p (x) wird
m
für wachsendes n immer kleiner, und gerrauer gilt
p
(27)
n---+ oo
0,
wobei die Konvergenzgeschwindigkeit von der Ordnung
ist, weil
p
(28)
11.7
fo
n---+ oo
Grobe asymptotische (approximative) Konfidenzgrenzen
Für eine B(n,p)-verteilte Zufallsvariable X wollen wir zusätzlich zu den bisherigen
asymptotischen Konfidenzgrenzen für p jetzt noch grobe asymptotische Grenzen
konstruieren, die einfacher zu bestimmen und für sehr hohes n (etwa ab n = 1000)
oder als grobe Abschätzungen geeignet sind. Obwohl es sich hierbei um einen Spezialfall der asymptotischen Grenzen aus 10.2 handelt (was sich weiter unten ergeben wird), wollen wir die groben Grenzen hier ohne Rückgriff auf die Resultate in
10.2 herleiten. - Der Schätzer für p ist die relative Häufigkeit
(1)
1
-
p(X) =-X=
:X
n
Da Varianz und Standardabweichung von B(1,p) stetige Funktionen von p sind
a(p) =
(2)
J p[1- p]
1
ist es naheliegend a2(p) und a(p) wie folgt zu schätzen
(3)
a
2
(ß(X))
= p(X) [ 1- p(X)] ,
a(ß(X)) =
J p(X) [1- p(X)] .
Diese Schätzungen sind konsistent, weil p(X) eine konsistente Schätzung auf p ist,
d.h. es gilt (wobei wir X jetzt wieder mit n indizieren)
Konfidenzgrenzen für eine Wahrscheinlichkeit
p
(4)
n---+ oo
11-17
15.8.16
a(p).
Unter Verwendung des Binomial-Grenzwertsatzes
u(n) : = vn[ß(X(n))- P]
a(p)
(5)
L
n---+ oo
N(0,1).
haben wir in 11.6 (8) bzw. (6) die untere bzw, obere asymptotische Grenze konstruiert als Lösung der Gleichung (hier mit p(X) statt X)
Jn(p- p(X)) =- a(p) za
Jn(p- p(X)) = a(p) za
bzw.
Ersetzt man die Standardabweichung a(p) durch ihre konsistente Schätzung
a(ß(X) ), so läßt sich die resultierende Gleichung
Vn (p- p(X)) = -
(6)
a(ß(X)) za bzw.
Jn(p-p(X)) = a(ß(X))za
nach p auflösen. Und die Lösungen sind die groben asymptotischen Grenzen für p
po, (X) : = p(X) + d (X)
(7)
(X
d (X)
(8)
=
(X
z · yn
_l_ a(ß(X)) = z · _l_ J p(X) [1- p(X)]
yn
(X
mit
(X
(Bandbreite).
(X
Die Sicherheit dieser Grenzen konvergiert für n---+ oo gegen 1- a (wobei X wieder mit
n indiziert ist)
(9)
lim
n---+oo
P{p
u, a
(x(n)) < p} = 1- a = lim P{p < p
n---+oo
o, a
(x(n))}.
da der Grenzen von der Schätzung p = p(X) variiert mit der Schätist d ist maximal und für p---+ 0 bzw. p---+ 1 ergibt sich d ---+ 0.
Die Abweichung
zung: für p = 1
2
(X
(X
Wahlumfrage: Bei der "Sonntagsfrage" in 0.3 Abb.4 ist n = 1300 und die Bandbreite
d0
der zweiseitigen 95%-Grenzen (d.h. a = 5%) wird dort als "Fehlertoleranz"
2
bezeichnet. Bei einem Stimmanteil
p von
50% bzw. 5% ergibt sich mit z2,5% = 1,960
(aus Tabelle T 3 im Anhang) die Bandbreite d2,5% zu 2,72% bzw. 1,18%, was den ge-
rundeten Werten in 0.3 Abb.4 entspricht.
D
Die groben Grenzen haben gegenüber den sogenannten normalen asymptotischen
Grenzen aus 11.6 mehrere Nachteile, die daraus resultieren, daß sie über die Schät-
zung der Standardabweichung a(p) eine zusätzliche Unsicherheit mit sich bringen.
Typischerweise weicht die Sicherheit der groben Grenzen stärker von 1- a ab als
die der normalen Grenzen. Außerdem können die groben Grenzen auch außerhalb
Konfidenzgrenzen für eine Wahrscheinlichkeit
11-18
15.8.16
des Intervalls [ 0, 1] liegen (vgl. Abb. 5), und ergeben im Fall p(X) E {0,1} wegen
da(X)= 0 keine sinnvollen Werte. Lediglich für Überschlagsrechnungen oder bei
sehr großem Umfang n und nicht zu extremen Werten von p(X) (d.h. nicht zu dicht
bei 0 oder 1) sind die groben Grenzen akzeptabel.
relative Häutlgkell ln Prozent
relative Hauligkelt in Prozent
100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50
iOO 95 90 85 80 75 70 65 60 55 SO
60
grobe Grenzen
55
....
,.
einseitig: a ::S%
50
~
45
N
0
0:: 40
c
..
;'
·; 35
n= 25
N
a13o
....
c:
~20
c 15
~
10
5
0
.
, ••
..
•"'"
.,•'
.1'
.
55
ssg
~
ein•eitig: a~s% ,
-
~45
0
0:40
651)1
·; 35
70~
N
G>
75!
::1
80\)
0
85~
:?.
90
95
c
c:
~
10
5
100
.5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
relative Häufigkeit in Prozent
n = 100
~25
0
,.. .
:t-·' ~·
..
I
('-'
45
50
"/
A
./J •
/~
~·
;
. n~2s
a130
....
~20
c 15
n
1
/
n~2s ./o/ /
N
eofi
:;I
n= 25
40
grobe Gren1.en
v Jt 1 ,, ,- ,
50
A
n = 100
~25
60
45
50
.
."
40
:
/
~
•
~
.
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
relative Häufigkeit in Prozent
s5°
~
eofi
:J
65"~'
G>
..,
70~
N
75 :;I
~
80\)
a
es[
90
95
100
Abb 5: Grobe und asymptotische untere und obere Grenzen für p zur (einseitigen) Sicherheit von 95% als Funktion der beobachteten relativen Häufigkeit x = ~ x für
n = 25 und n = 100. Für x <50% gilt die untere und linke Skala, und für x >50%
gilt die obere und rechte Skala.
links: Die grobe untere (bzw. obere) Grenze ist für kleines (bzw. großes) x sogar
negativ (bzw. größer als 100%).
rechts: Die Abweichung der groben (dünn) von den normalen (fett) Grenzen wird
kleiner, je dichter p bei 50% liegt, und verringert sich bei wachsendem n.
Wir wollen jetzt präzisieren, in welchen Sinn die normalen mit den groben Grenzen
für wachsendes n übereinstimmen.. In 11.6 haben wir bereits gezeigt, daß der Abweichung der beiden Symmetriepunkte pm(X) bzw. p(X) nach Wahrscheinlichkeit
gegen 0 konvergiert. Die Abstände
Jl5CX5 bzw. da(X)
der Grenzen vom jeweiligen
Symmetriepunkt konvergieren gegen 0 nach 11.6 (27) und
(10)
p
n----too
wobei ihr Quotient sogar gegen 1 konvergiert
(11)
p
n----too
Konfidenzgrenzen für eine Wahrscheinlichkeit
15.8.16
11-19
Wie bereits angekündigt, ergeben sich die groben Grenzen als Spezialfall der asymptotischen Grenzen aus 10.2 wenn man X als eine Summe stochastisch unabhängiger B(1,p)-verteilter Zufallsvariablen X , ... , Xn mit Erwartungswert p, = p auffasst,
1
d.h. X =X+ Der Schätzer von p (wir schreiben jetzt p statt p,) ist der Mittelwert der
Stichprobe X= (X , ... ,Xn)
1
(12)
Die asymptotischen Grenzen aus 10.2 (4) (5) entsprechen den obigen groben Grenzen, wenn in 10.2 statt der dortigen erwartungstreuen Varianzschätzung
(14)
a2(X) = n~1 ~ (Xi-X)2
z
2
2
die konsistente Schätzung a (ß(X)) verwendet. Die Schätzung a (ß(X)) unterscheidet
sich von a2 (X) um den Faktor l.(n-1)
n
(15)
n---+oo
1
a2(ß(X)) = ~ ~ (Xi-X)2 = n~1 a2(X).
z
2
Folglich ist a (ß(X)) nicht erwartunstreu, aber zumindest asymptotisch erwartungstreu, d.h.
(16)
2
a.
Stochastik
16.8.16
Index- 1
Index
Der Index enthält vorwiegend Begriffe aus dem methodischen Textteil (also nicht aus allen Beispielen und Anwendungen), wobei für jedes Stichwort nur die wichtigsten (nicht alle)
Textstellen aufgeführt sind, an denen es erwähnt wird.
A
Absolutbetrag
4-13
absolute Konvergenz eines Integrals 7-3
absolutes Moment
7-20
9-11
absolutes zentrales Moment
9-28
absteigendes Produkt
abzählbare Produkte
von Wahrscheinlichkeitsräumen 4-35
1-8
Additionsformel
13-3
Alternative
3-4
Alterungs pro zeß
6-11 9-5
arithmetische Operation
7-4 8-2
arithmetisches Mittel
Asbestmessung
0-4 12-10 14-7
asym ptotische
- Irrtumswahrscheinlichkeit
10-9
- Konfidenzgrenze
10-7 11-11
Poisson
12-6
grobe asymptotische
11-16
- obere Grenze
Binomial
11-13
12-8 14-6
Poisson
- Schärfe
13-22 13-25 13-27 14-4 14-7
- Sicherheit
10-9
- Signifikanz der Beobachtung 13-2113-24
- untere Grenze
11-13
Binomial
12-8
Poisson
- untere Konfidenzgrenze
13-20
Binomial.
14-3
Poisson
asymptotischer einseitiger oberer Test
- Binomial
13-20
14-3
Poisson
asymptotischer einseitiger unterer Test
- Binomial
13-24
14-6
- Poisson
asymptotischer P-Wert
13-2113-24
asym ptotischer Test
13-19
asymptotischer zweiseitiger Test
- Binomial
13-26
14-13
- Poisson
asym ptotisches Konfidenzintervall
- Binomial.
13-26
asymptotisches Niveau
13-22 13-25 14-4 14-6 14-14
2-6
Augensummezweier Würfel
B
B(1,p), Bernoulli-Verteilung
1-10
B(n,p), Binomial-Verteilung
1-11
Bayes, Formel
3-4
bedingte Wahrscheinlichkeit
3-1
Bernoulli-Verteilung
1-10 2-1 3-9 6-2 11-1 S-1
9-11
Berry-Esseen, Theorem
7-31
Bestimmthei tsmaß
2-2 4-35 4-38
Bildmaß
Binamial-Approximation der
hypergeometrischen Vertwilung
9-30
Binomial-Grenzwertsatz
9-12
Binomial-Test
13-1
13-19 13-24 13-26
- asymptotischer
- exakter
13-9 13-14 13-17
Binomial-Verteilung
1-11 3-9 4-4 6-2 7-9 7-17 7-21 9-18 S-1
6-4 7-9
- negative
8-4
Binomial-Verteilungsmodell
S-1
Binomialkoeffizient
1-5
Bore1-Menge
- mehrdimensionale
4-20
c
C(-,-), Cauchy-Verteilung
Cauchy-Verteilung
Cauchy-Verteilungsmodell
Che bychev-Ungleichung
Chiquadrat-Verteilung
Clopper-Pearson
- Konfidenzgrenze
Corr(-,-), Korrelation
Cov(-,-), Covarianz
Covarianz
Covarianz-Matrix
7-11
7-11 7-18 10-12
8-6
7-23
8-8 S-2 T -5
11-2 11-4
7-28
7-16
7-16 7-26
7-29
D
de Moivre - Laplace, Grenzwertsatz
DG(-), diskrete Gleichverteilung
diag(-), Diagonalmatrix
Diagonalmatrix
9-12
7-9
5-8
5-8
Stochastik
1-14 4-6 4-8
Dichte
4-24
- eines Zufallsvektors
1-18 4-7
- kanonische
4-30
- mehrdimensionale
- zweidimensionale
4-23
Differenz von Mengen
1-4
Differenz von Zufallsvariablen
6-11
Dirac(-), Dirac-Verteilung
4-4
Dirac-Verteilung
4-4 7-7 7-17 7-24
diskret
- Wahrscheinlichkeitmaß, Verteilung 2-5
diskrete Gleichverteilung
1-10 7-9 7-17
diskrete Zufallsvariable
4-3 5-3
diskreter W-Raum
1-13
4-22
diskreter Zufallsvektor
E
7-2 7-3
E(-), Erwartungswert
effektives Testniveau 13-10 14-2 14-5 14-13
Einpunkt-Verteilung
4-4 7-17 7-24
Einschränkung
2-4
einseitig oberer Test, Binomial
13-29
einseitig oberer Test, Poisson
14-1
einseitig unterer Test, Binomial
13-30
einseitig unterer Test, Poisson
14-4
einseitiger Test
13-18
Elementar-Ereignis
1-1
Elementar-Wahrscheinlichkeit
1-9
empirische Verteilung 1-12 7-25 8-7 8-10
empirisches Gesetz der großen Zahlen 1-1
endlich-additiv
1-7
endliche Produkte
von Wahrscheinlichkeitsräumen 4-33
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
1-9
Entscheidungsfunktion
13-4
Ereignis
1-1 1-3
Erfolg
1-10
Ergebnis
1-1
Ergebnisraum
1-1
8-2 8-6 8-7
erwartungstreu
7-114-1
Erwartungswert
7-9
- spezieller Verteilungen
7-7
- Eigenschaften
8-8
- quadratische Form
- Schätzen
8-2
1-5
erzeugte Sigma-Algebra
4-19
Erzeugung von Zufallszahlen
6-7
Eulersche Gammafunktion
exakte obere Konfidenzgrenze
- Binomial
11-2 13-14
- Poisson
12-114-5
exakte untere Konfidenzgrenze
16.8.16
Index- 2
- Binomial
11-4 13-9
- Poisson
12-3 14-2
exakter einseitiger oberer Test
- Binomial
13-9
- Poisson
14-2
exakter einseitiger unterer Test
- Binomial
13-14
- Poisson
14-5
exakter zweiseitiger Test
- Binomial
13-17
- Poisson
14-12
exaktes Konfidenzintervall
- Binomial
13-17
- Poisson
12-4
exaktes zweiseitiges Konfidenzintervall
11-5
S-1
Excel
Expo(-), Exponentialverteilung
1-20
Exponential-Verteilung
1-20 3-4 4-9 4-13 4-18 5-7 7-10 7-18 S-2
- Faltung
6-7
F
F-Verteilung
11-7 11-8 S-2 T-8
Fakultät
6-10 S-1
falsch-negativ
13-5
falsch-positiv
13-5
Faltung
6-1 9-11
- diskreter Verteilungen
6-1
- stetiger Verteilungen
6-6
Fehlentscheidung
13-5
Fehler 1. Art
13-5
13-5
Fehler 2. Art
13-5
Fehlerrisiko
- 1. Art
13-6 14-2 14-5 14-13
- 2. Art
13-6 13-12 14-2 14-5
2-4
Fortsetzung
4-25 4-26 4-31
Fubini, Satz von
G
Garn(-,-), Gamma-Verteilung
6-7
Gamma-Funktion
6-7 6-10 S-2
Gamma-Grenzwertsatz
9-22
Gamma-Verteilung
6-7 7-10 7-18 7-21 9-22 S-2
8-5
Gamma-Verteilungsmodell
1-19
Gaußsehe Glockenkurve
Gedächtnislosigkeit
3-4 5-7
gemeinsame Verteilung
4-21 5-4
gemeinsame Verteilungsfunktion
5-10
Geo(-), geometrische Verteilung
5-6
geometrische Verteilung
5-5 5-6 6-4 7-9 7-17 S-1
Stochastik
8-2 9-1
Gesetz der großen Zahlen
1-1
- empirisches
- schwaches
9-3
- starkes
9-4
7-2
gewichtetes Mittel
Gleichverteilung
- diskrete
1-10 7-9 7-17
- stetige
1-20 4-13 4-19 7-10
Grenzwertsatz, zentraler
9-1
grobe asymptotische Konfidenzgrenzen
11-6
H
hypergeometrischer Grenzwertsatz 9-31
- multivariat
9-36
hypergeometrische Verteilung
9-25 9-28 S-1
- multivariat
9-31 9-34 9-35
I
8-1 8-10
iid
Indikatorfunktion
2-1
Integral
1-14 1-16 4-23 4-30 7-5
Intervall, mehrdimensionales
4-20
Intervall-Schätzer
10-1
Intervall-Wahrscheinlichkeit
4-1
10-1
Irrtumswahrscheinlichkeit
- asym ptotische
10-9
K
1-18 4-7
kanonische Dichte
2-5
kanonischer Träger
0-8 5-4
klinische Vergleichsstudie
1-3 1-7
Kolmogorov
1-3
Korn plementär- Ereignis
10-1
Konfidenzgrenze
10-1
- für Erwartungswert
10-7
- asym ptotische
10-10
- Normalverteilung
- Binomial-Verteilung
11-1
- Poisson-Verteilung
12-112-12
10-1
Konfidenzintervall
13-26
- asym ptotisches
10-5
- Normalverteilung
11-3 12-2 13-22
konservativ
- Test
13-10 14-2 14-13
9-6
konsistent
9-6
Konsistenz
9-8
konvergent nach Verteilung
Konvergenz
9-23
- nach Verteilung
- nach Wahrscheinlichkeit
9-3 9-5
2-5
konzentriert
7-28 8-10
Korrelation
16.8.16
Index- 3
Korrelationskoeffizient 4-28 5-8 7-28 7-29
kritischer Wert
13-9 13-14 13-20 13-24 13-26 14-2 14-6
4-23
Kronecker-Symbol
L
Lebensdauer
3-4 4-18
Lebesgue-Dichte
4-6
Lebesgue
- Doppel-Integral
4-25
- Integral
1-14 1-16 4-23 4-25 4-30 4-31
Leukämiefälle
0-2
LibreOffice
S-1
Lindeberg-Levy
9-9
zentraler Grenzwertsatz
4-12
lineare Transformation
linearer Zusammenhang
7-29
links-stetig
4-1
linksseitiger Grenzwert
4-1
Log-Normalverteilung 4-16 7-10 7-18 7-21
M
M(-,-), Multinomial-Verteilung 4-23 7-27
Markov-Ungleichung
7-23
Maßzahl
7-1
4-30
mehrdimensionale Dichte
4-30
mehrdimensionale Verteilung
1-3
Mengensystem
2-2
meßbar
2-2
meßbare Menge
S-1
Microsoft Excel
13-29 13-30 13-31
Mindestumfang
2-5
minimaler Träger
7-25 8-2 9-1 9-9
Mittelwert
- standardisierter
9-2
- Verteilung
8-3
7-20
Moment
- absolutes
7-20
9-11
zentrales
- zentrales
7-20 8-6
1-8
monoton
monotone Transformation
4-12
Multinomial-Verteilung
4-22 6-2 7-27
multivariate hypergeometrische
Verteilung
9-31 9-34 9-35
multivariate Normal-Verteilung
4-32
multivariater hypergeometrischer
Grenzwertsatz
9-36
N
1-18
N(-,-), Normalverteilung
N(0,1), Standard-Normalverteilung
1-19
n-dimensionales Intervall
4-31
n-faches Lebesgue-Integral
4-31
Stochastik
NB(n,p), negative Binomial-Verteilung 6-4
negative Binomial-Verteilung
6-4 7-9 7-17 7-21 9-21 S-1
13-22 13-25
Niveau, asymptotisches
14-6 14-13
nominales Niveau
nominales Testniveau
13-8 14-2 14-5
Normal-Approximation
9-13
- Gamma-Verteilung
9-22
- Binomial-Verteilung
9-12
- Poisson-Verteilung
9-20
Normal-Verteilung 1-18 4-9 4-13 5-8 7-10
7-17 7-24 10-10 S-2 T-1 T-3
- Faltung
6-6
- Konfidenzgrenzen
10-3
- multivariate
4-32
4-27 7-29
- zweidimensionale
8-5 8-8
Normal-Verteilungsmodell
normale asymptotische Grenzen
11-17
Nullhypothese
S
13-3
0
obere Konfidenzgrenze für
Erwartungswert
10-8
obere Konfidenzgrenze
Normalverteilung
10-5 10-12
oberer kritischer Wert 13-9 13-20 14-2 14-3
OpenOffice
S-1
p
P-Wert
13-10
- asymptotischer
13-2113-24
Parameter
7-1 8-1
Phi, N(0,1)- Verteilungsfunktion
4-9
phi, N(0,1)-Dichte
1-19
Planung
13-28
Pois(-), Poison-Verteilung
1-13
Poisson-Approximation
9-18
Poisson-Grenzwertsatz
9-20 12-6
Poisson-Grenzwertsatz
- für Binomial- Verteilung
9-18
Poisson-Prozeß
6-9
Poisson-Test
14-2 14-3 14-5 14-6 14-12 14-13 14-14
Poisson-Verteilung
1-13 4-4 6-9 7-9 7-17 7-21 9-20 12-114-1 S-1
6-3
- Faltung
8-5
Poisson-Verteilungsmodell
4-13
Potenz
13-6
Power
16.8.16
Index- 4
Produkt
- diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 3-7
- endliches
4-33
4-35
- abzählbares
6-11
- Zufallsvariablen
3-8 4-35 4-38 5-4
Produktmaß
- ab zählbar-vieler
Wahrscheinlichkeitsmaße
4-37
- endlich vieler
Wahrscheinlichkeitsmaße
4-34
Produktraum
3-8 4-35 4-38 5-2
7-30
Prognose
3-8
4-35
4-36
5-2
Projektion
Punkt-Schätzer
10-1
Q
quadratische Form
8-8
Qualitätskontrolle
9-29
Quantil
- Chiquadrat-Verteilung
12-5 T-5
- F-Verteilung
11-7 T-8
- Normalverteilung
10-4 T -3
- t- Verteilung
10-12 T-3
Quasi-Inverse
4-2 4-19
Quotient von Zufallsvariablen
6-12
R
Rand- Verteilungsfunktion
5-10
randomisierte klinische Studie
5-4
Randverteilung
4-21 5-4
rechts-stetig
4-1
reelle Zufallsvariable
2-3
Regressionsfunktion
7-30
Regressionsgerade
7-30 8-10
relative Häufigkeit
1-1 1-8 1-11 7-25 8-4 8-10
7-30
Residuum
1-16
Riemann-Integral
s
Sammlerproblem
7-12
Satz von Fubini
4-25 4-26 4-31
Schärfe
13-6 13-15 13-18 13-26
14-2 14-3 14-4 14-5 14-6 14-7 14-13 14-14
- asymptotische
13-22 13-25
13-6
Schärfefunktion
8-2
Schätzer
8-2
Schätzfunktion
8-2
Schätzgröße
8-1 8-2 8-6
Schätzung
7-18 7-20 7-25
Schiefe
8-10
- Schätzung
schwaches Gesetz der großen Zahlen
9-1 9-3
Stochastik
7-26
Schwartzsche Ungleichung
7-15
SD(-), Standardabweichung
1-20
SG(-,-) stetige Gleichverteilung
10-111-1
Sicherheit
- asym ptotische
10-9
1-7
sigma-additiv
1-4
sigma-Algebra
- erzeugte
1-5
13-10
Signifikanz der Beobachtung
- asym ptotische
13-2113-24
9-23
Slutzky, Theorem
Standard-Cauchy- Verteilung
7-11
6-8
Standard-Gamma-Verteilung
1-19 S-2
Standard-Normalverteilung
7-15
Standardabweichung
- Schätzung
8-7
9-1 9-2
standardisierter Mittelwert
Standardisierung
4-10 7-16 9-9
starkes Gesetz der großen Zahlen
9-4
Statistik
0-1
statistischer Test
13-4
stetig (verteilt)
4-6
stetige Gleichverteilung
1-20 4-9 4-13 4-19 7-10 7-17
4-24
stetiger Zufallsvektor
9-13
Stetigkeitskorrektur
13-28
Stich proben-Mindestumfang
8-1
Stich proben-Modell
1-1
Stich probenraum
0-1
Stochastik
9-3
9-5
stochastisch konvergent
3-5 5-1
stochastische Unabhängigkeit
0-1 1-1
stochastischer Vorgang
10-10
Studentsehe t- Verteilung
6-11
Summe von Zufallsvariablen
7-18
symmetrische Verteilung
T
10-10 S-2 T-3
t- Verteilung
S-1
Tabellenkalkulation
13-4 14-1
Test
Testniveau
13-8 13-10 13-15 13-18 14-2
Testwert
13-20 13-26
totale Zerlegung, Satz
3-3
Träger
2-5
Trägerintervall
4-7
4-7
- kanonisches
- minimales
2-6 4-7
Transformation
- einer Zufallsvariablen
4-11
- lineare
4-12
- monotone
4-12
1-10 3-9 5-5 6-4
Treffer
16.8.16
Index- 5
u
3-5
Unabhängigkeit
- diskreter Zufallsvariabl.
5-3
5-8
- stetiger Zufallsvariablen
- von Zufallsvariablen
5-1
- von Zufallsvektoren
5-9
7-23
Ungleichung von Chebychev
7-23
Ungleichung von Markov
7-26
Ungleichung von Schwartz
untere Konfidenzgrenze
10-8
- für Erwartungswert
10-5 10-12
- Normalverteilung
unterer kritischer Wert
13-14 13-24 14-5 14-6
8-2
unverfälscht
2-1
Urbild
V
7-15
Var(-) Varianz
7-15 7-25 7-26
Varianz
8-8
- quadratische Form
8-6
- Schätzung
- spezieller Verteilungen
7-17
2-2
verteilt
1-7 2-2
Verteilung
7-25
- empirische
4-21
- gememsame
- Zufallsvektoren
4-21
- zweidimensionale
4-23
4-1 4-5 4-8 7-5 9-8
Verteilungsfunktion
T-1
- Normalverteilung
- Standard-Normalverteilung
4-9
- Zufallsvektors
4-21
9-7
Verteilungskonvergenz
10-1
Vertrauensgrenze
w
Wahrscheinlichkeitsmaß
1-7
Wahrscheinlichkeitsraum
1-7
- endlicher
1-9
Wahlumfrage
0-6 9-16 9-25 9-29 13-113-5 13-2113-30
1-1 1-7
Wahrscheinlichkeit
3-1
- bedingte
1-14 1-17
Wahrscheinlichkeitsdichte
Wahrscheinlichkeitsdichte
- mehrdimensionale
4-30
4-23
- zweidimensionale
1-10 1-13
Wahrscheinlichkeitsfunktion
0-1
Wahrscheinlichkeitstheorie
4-23
Wahrscheinlichkeitsvektor
3-4 5-7 6-9
Wartezeit
4-18
Weibull-Verteilung
Stochastik
Wiederholungen
Würfel
z
16.8.16
8-1 9-1
3-10
1-10 1-13 4-3
Zähldichte
9-1 9-7
zentraler Grenzwertsatz
zentrales Moment
7-20
3-3
Zerlegung, totale
Ziehen (mit und ohne Zurücklegen) 9-26
1-10
Ziel-Ereignis
Zufallselement
2-2
Zufallsvariable
2-2
Zufallsvariable
- diskrete
4-3 5-3
- reelle
2-3
4-6
- stetige
4-19 4-21
Zufallsvektor
4-22
- diskreter
4-24
- stetiger
4-19
Zufallszahlen
7-29
Zusammenhang, linearer
zweidimensionale
4-23
- Dichte
4-27 7-29
- Normal-Verteilung
4-23
zweidimensionale Verteilung
4-24
zweidimensionales Intervall
13-16
zweiseitige Alternative
13-18
zweiseitiger Test
- Binomial
13-31
14-12 14-13
Poisson
4-37
Zylindermenge
Index- 6