Eindimensionale Verteilungen

WR 1
W. Merz
Kapitel 9
Eindimensionale
Verteilungen
Eindimensionale Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom 28. Mai 2009
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
W. Merz
Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1
FAU
9.1
Eindimensionale Verteilungen
Stochastische Konzepte speziell für
Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den Borelschen Mengen
B der reellen Zahlenachse.
WR 1
W. Merz
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
• Die Verteilungsfunktion
Die Exponentialverteilung
• Die Momente
Diskrete Verteilungen
Absolutstetige Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
9.2
Die Verteilungsfunktion
Die absolutstetigen Verteilungen auf R, die über
Z
P(B) = 1B (x)f (x)dx
WR 1
W. Merz
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
durch eine Dichte charakterisiert werden, bilden nur eine
Teilklasse der Gesamtheit der Wahrscheinlichkeitsverteilungen
auf der reellen Zahlenachse.
Eine vollständige Charakterisierung der eindimensionalen
Verteilungen erhält man durch die Verteilungsfunktion:
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
Definition
Ist P eine eindimensionale Verteilung, so heißt die Funktion
F : R −→ R, definiert durch
F (t) := P(−∞, t]
die Verteilungsfunktion der Verteilung P.
9.3
WR 1
Die Verteilungsfunktion
W. Merz
Exercise
Die Verteilungsfunktion der U[a, b]-Verteilung
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
λ ((−∞, t] ∩ [a, b])
P(−∞, t] =
λ ([a, b])
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
mit λ ([a, b]) = b − a ist wegen

 ∅
[a, t]
(−∞, t] ∩ [a, b] =

[a, b]
Definition
Normalverteilung
falls t < a
falls a ≤ t ≤ b
falls t > b
Die momenterzeugende
Funktion
gegeben durch
F (t) =

 0
t−a
b−a

1
falls t < a
falls a ≤ t ≤ b
falls t > b
9.4
WR 1
Die Verteilungsfunktion
W. Merz
Exercise
F (t) =

 0
falls t < a
falls a ≤ t ≤ b
falls t > b
t−a
b−a

Eindimensionale
Verteilungen
1
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
1
6
- t
a
b
9.5
Eigenschaften einer Verteilungsfunktion
WR 1
W. Merz
Theorem
Eine Verteilungsfunktion besitzt die folgenden fünf
Eigenschaften:
1 0 ≤ F (t) ≤ 1
2 s ≤ t ⇒ F (s) ≤ F (t), d.h. F ist monoton nichtfallend
3 t % ∞ ⇒ F (t) % 1
4 t & −∞ ⇒ F (t) & 0
5 t & t0 ⇒ F (t) & F (t0 ), d.h. F ist rechtsstetig
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
Theorem
Zu jeder Funktion F : R −→ R mit den oben aufgeführten fünf
Eigenschaften gibt es genau eine Verteilung P auf R mit
P(−∞, t] = F (t) für alle t ∈ R.
9.6
WR 1
Nachweis der Eigenschaften
W. Merz
Eigenschaft 1: 0 ≤ P(−∞, t] ≤ 1
Eigenschaft 2: s ≤ t
P(−∞, s] ≤ P(−∞, t]
⇒
⇒
⇒
0 ≤ F (t) ≤ 1
(−∞, s] ⊂ (−∞, t]
F (s) ≤ F (t)
⇒
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Eigenschaft 3: Folge t1 < t2 < t3 < . . . mit limn→∞ tn = ∞
Für In := (−∞, tn ] gilt dann In % (−∞, ∞) = R
Daher P(In ) % P(R) bzw. F (tn ) % 1
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
Eigenschaft 4: Folge t1 > t2 > t3 > . . . mit limn→∞ tn = −∞
Für In := (−∞, tn ] gilt dann In & ∅
Daher P(In ) & P(∅) bzw. F (tn ) & 0
Eigenschaft 5: Folge t1 > t2 > t3 > . . . mit limn→∞ tn = t0
Für In := (−∞, tn ] gilt dann In & (−∞, t0 ]
Daher P(In ) & P(−∞, t0 ] bzw. F (tn ) & F (t0 )
9.7
WR 1
Die Verteilungsfunktion
W. Merz
Bedeutung von Unstetigkeitsstellen: Ist
tS
1 < t2 < . . . < tn < . . . < s eine Folge mit limn→∞ tn = s, so ist
∞
n=1 (−∞, tn ] = {t ∈ R ; t < s} = (−∞, s)
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
und daher
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
F (s − 0) := lim F (t) = lim P(−∞, t] = P(−∞, s)
t%s
t%s
Momente
Definition
Normalverteilung
Aus (−∞, s] = (−∞, s) + {s} folgt damit
Die momenterzeugende
Funktion
F (s) − F (s − 0) = P{s}
Eine Sprungstelle der Verteilungsfunktion an einer Stelle s
bedeutet, dass das Elementarereignis {s} eine positive
Wahrscheinlichkeit besitzt.
9.8
WR 1
Die Verteilungsfunktion
W. Merz
Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Intervallen.
• P(a, ∞) = 1 − P(−∞, a] = 1 − F (a)
• P[a, ∞) = 1 − P(−∞, a) = 1 − F (a − 0)
• (−∞, b] = (−∞, a] + (a, b]
• (−∞, b] = (−∞, a)+[a, b]
⇒ P(a, b] = F (b) − F (a)
⇒ P[a, b] = F (b)−F (a−0)
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
9.9
WR 1
Die Exponentialverteilung
W. Merz
Die Funktion
F (t) =
falls t ≤ 0
falls t > 0
0
1 − e−λt
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
mit einer Konstanten λ > 0 besitzt alle Eigenschaften einer
Verteilungsfunktion.
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
F (x)
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
−2
0
2
4
6
8
10
x
Bezeichnung
Die zugehörige Verteilung heißt die Exponentialverteilung mit
Parameter λ oder kurz die E(λ)-Verteilung.
9.10
WR 1
Die Exponentialverteilung
W. Merz
Anwendung: Interpretiert man das Ergebnis t als die
Lebensdauer eines Geräts, so beschreibt As := (s, ∞) für
s ≥ 0 das Ereignis, dass die Lebensdauer des Geräts länger
als s Zeiteinheiten ist.
Mit dem Komplement As = (−∞, s] von As gilt
P(As ) = 1 − P(As ) = 1 − P(−∞, s] = 1 − F (s) = e−λs
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
woraus P(As+t ) = P(As )P(At ) folgt. Wie bei der Herleitung der
geometrischen Verteilung gezeigt, ist das gleichbedeutend mit
P(As+t |As ) =
Die momenterzeugende
Funktion
P(As )P(At )
= P(At )
P(As )
Dies kann man als die Lebensdauerverteilung eines
verschleißfreien Geräts interpretieren: Ein bereits s
Zeiteinheiten benutztes Gerät besitzt die gleiche
Lebenserwartung wie ein neues Gerät dieses Typs.
9.11
WR 1
Verteilungsfunktionen und Dichten
W. Merz
Ist P absolutstetig, so ist die Verteilungsfunktion
Stammfunktion zur Dichte:
Z
Z
F (t) = P(−∞, t] = 1(−∞,t] (x) f (x) dx =
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
t
−∞
f (x) dx
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Dichte der U [a, b]-Verteilung
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
f (x) =

 0
1
b−a

0
für x < a
für a ≤ x ≤ b
für x > b
9.12
WR 1
Verteilungsfunktionen und Dichten
W. Merz
Ist die Verteilungsfunktion Stammfunktion zu einer Funktion f :
Z
Eindimensionale
Verteilungen
t
F (t) =
f (x)dx
−∞
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Rt
so gilt wegen F (t) − F (s) = s f (x)dx ≥ 0 für alle s ≤ t, dass
f (x) ≥ 0 fast überall und
Z
Z ∞
f (x)dx =
f (x)dx = lim F (t) = 1
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
t%∞
−∞
Damit ist f eine Dichte mit
Z
P(−∞, t] = F (t) =
1(−∞,t] (x) f (x) dx
Da P durch
R F eindeutig bestimmt ist, muss
P(B) = 1B (x) f (x) dx für alle Borelschen Mengen B gelten.
Stammfunktion zu f (x), so ist die zugehörige Verteilung P
absolutstetig mit der Dichte f (x).
9.13
WR 1
Verteilungsfunktionen und Dichten
W. Merz
Dichte der Exponentialverteilung
Eindimensionale
Verteilungen
f (x) =
0
λe−λx
für x ≤ 0
für x > 0
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
9.14
WR 1
Diskrete Verteilungen
W. Merz
Die Verteilungsfunktion einer diskreten Verteilung:
• X ⊂ R abzählbar, P diskrete Verteilung auf X mit
Wahrscheinlichkeitsfunktion f
P
• P(A) = y ∈A f (y )
• Erweiterung zu einer eindimensionalen Verteilung
P
• {x} = [x, x] ∈ B, daher X = y ∈X {y } ∈ B
• P̃(B) = P(B ∩ X ) ist eindimensionale Verteilung
• P̃(B) =
P
y ∈B∩X
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
f (y )
• F̃ (t) = P̃((−∞, t] ∩ X ) =
P
y ∈X ,y ≤t
f (y )
9.15
WR 1
Diskrete Verteilungen
W. Merz
Veranschaulichung für X = {0, 1, 2, . . .}
6
1
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
[
F̃ (t)
Absolutstetige Verteilungen
6
f (3)
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
[
)
6
f (2)
[
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
)
6
f (1)
[
)
6
f (0)
1
2
3
-t
9.16
Die Momente
Bei absolutstetigen Verteilungen kann man die physikalische
Analogie vom diskreten Fall (Massenpunkte) auf den
kontinuierlichen (spezifische Dichte) übertragen:
WR 1
W. Merz
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Definition
Sei P eine eindimensionale absolutstetige Verteilung mit der
Dichte f (x).
Soweit die folgenden Integrale im Lebesgueschen Sinne
existieren, heißen
R
mk = mk (P) = x k f (x)dx
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
für k = 1, 2, . . . die k -ten (absoluten) Momente und
R
m̂k = m̂k (P) = (x − m1 (P))k f (x)dx
für k = 2, 3, . . . die k -ten zentralen Momente der Verteilung P.
R
m1 = R xf (x)dx heißt der Mittelwert und
m̂2 = (x − m1 )2 f (x)dx die Varianz der Verteilung P.
9.17
WR 1
Die Momente
W. Merz
Wie bei diskreten Verteilungen beweist man
Eindimensionale
Verteilungen
Steinerscher Satz
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
m̂2 = m2 − m12
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
und
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
Ungleichung von Tschebyscheff
Für Bε = {x ∈ X ; |x − m1 | > ε} ist
P(Bε ) ≤
m̂2
ε2
9.18
WR 1
Die Momente
W. Merz
Beispiel: Mittelwert und Varianz der N (0, 1)-Verteilung.
Mit der Dichte
2
1
ϕ(x) = √ e−x /2
2π
sind die Funktionen x 7→ x k ϕ(x) für alle k = 1, 2, 3, . . . im
Lebesgueschen und im uneigentlich-Riemannschen Sinn
integrierbar.
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
Mittelwert
h(x) = xϕ(x) ist ungerade Funktion, d.h. h(−x) = −h(x).
Z ∞
m1 = m1 (N (0, 1)) =
xϕ(x)dx = 0
−∞
9.19
WR 1
Die Momente
W. Merz
2. Moment
Partielle Integration, angewandt auf
2
2
x 2 e−x /2 = x xe−x /2
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
mit der Stammfunktion −e−x
2
/2
für den zweiten Faktor.
Momente
Definition
Normalverteilung
m2
=
=
=
Z ∞ 2
1
√
x xe−x /2 dx
2π −∞
h
Z ∞
i∞
1
−x 2 /2
−x 2 /2
√
(−e
)dx
x(−e
)
−
−∞
2π
−∞
Z ∞
Z
2
1
√
e−x /2 dx = ϕ(x)dx = 1
2π −∞
Die momenterzeugende
Funktion
Varianz
m̂2 = m2 = 1
9.20
WR 1
Die momenterzeugende Funktion
W. Merz
Definition
Ist P eine absolutstetige nichtnegative Verteilung, d.h. f (x) = 0
für x < 0, so heißt die für t < 0 definierte Funktion
Z
Z ∞
M(t) = etx f (x)dx =
etx f (x)dx
0
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
Definition
die momenterzeugende Funktion von P.
Normalverteilung
Die momenterzeugende
Funktion
Wie im diskreten Fall besitzt sie die folgenden
Eigenschaften
Z
Z
dk
∂ k tx
M(t)
=
e
f
(x)dx
=
x k etx f (x)dx
dt k
∂t k
Z
Z
M (k ) (0) := lim M (k ) (t) =
lim x k etx f (x)dx = x k f (x)dx = mk (P)
M (k ) (t) =
t→0
t→0
9.21
WR 1
Die momenterzeugende Funktion
W. Merz
Exercise
Für die Exponentialverteilung mit Parameter λ ist
Z ∞
Z ∞
M(t) =
etx λe−λx dx = λ
e(t−λ)x dx =
0
0
Eindimensionale
Verteilungen
Die Verteilungsfunktion
λ
λ−t
Eigenschaften
Die Exponentialverteilung
Absolutstetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Momente
mit den Ableitungen
Definition
Normalverteilung
M 0 (t) =
λ
2λ
und M 00 (t) =
2
(λ − t)
(λ − t)3
Die momenterzeugende
Funktion
Daraus folgt m1 = M 0 (0) = 1/λ, m2 = 2/λ2 und
m̂2 = m2 − m12 = 1/λ2
9.22