Kurzskript zur Vorlesung

ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09)
BERNHARD HANKE
Wir werden uns in weiten Teilen auf die Bücher
[F] O. Forster: Analysis 1, 7. Auflage (2004), Vieweg-Verlag
[A] K. Königsberger: Analysis 1, 6. Auflage, Springer-Verlag
beziehen. Daher werde ich diejenigen Abschnitte dieser Bücher, die ich nur
wenig verändert übernehme, in diesem Skript nicht noch einmal ausführen,
sondern nur die Referenz angeben.
1. Vollständige Induktion
Referenz: [F], Kapitel 1. In der Vorlesung gehen wir von folgendem Induktionsprinzip aus: Es sei An eine Aussage über natürliche Zahlen n ∈ N.
Angenommen, wir können die folgenden beiden Aussagen zeigen:
• A0 ist wahr.
• Für alle n ≥ 0 gilt: Falls An richtig ist, so auch An+1 .
Dann ist An für alle n ∈ N wahr.
Das in [F] angebenene Induktionsprinzip kann daraus abgeleitet werden,
indem man (mit n0 und An wie im Buch von Forster) das obige Prinzip auf
die Aussage An+n0 anwendet, wobei n ≥ 0.
Ein weitere schöne Anwendung der vollständigen Induktion existiert im
Zusammenhang mit den sogenannten Ramsey-Zahlen:
Definition. Es sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Wir definieren R(n) als die
kleinste natürliche Zahl R mit der folgenden Eigenschaft: In jeder Gruppe
von R Personen gibt es (mindestens) n Personen, die sich alle gegenseitig
kennen oder es gibt n Personen, die sich alle gegenseitig nicht kennen, (oder
eventuell beides).
In dieser Form ist die Definition noch nicht sinnvoll, denn es könnte ja
sein, dass für eine gewisse natürliche Zahl n ≥ 2 gar kein R mit der eben
beschriebenen Eigenschaft existiert. Wir wollen zeigen, dass dies nicht passieren kann.
Definition. Es seien n, k ≥ 2 natürliche Zahlen. Wir definieren R(n, k)
als die kleinste Zahl R mit der folgenden Eigenschaft: In jeder Gruppe von
R Personen gibt es n Personen, die sich alle gegenseitig kennen, oder k
Personen, die sich alle gegenseitig nicht kennen.
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Für die Zahlen R(n, k) besteht natürlich das gleiche Problem wie oben: Es
könnte für gewisse Paare (n, k) gar kein R mit der angegebenen Eigenschaft
existieren. Falls jedoch R(n, n) existiert, dann sicher auch R(n) und es
ist R(n) = R(n, n). Der folgende berühmte Satz von Ramsey zeigt also
insbesondere, dass R(n) für alle n wohldefiniert ist.
Satz 1.1 (Ramsey). Für alle n, k ≥ 2 existiert ein R mit der in der letzten
Definition beschriebenen Eigenschaft. Insbesondere ist R(n, k) für alle (n, k)
wohldefiniert.
Beweis. Man zeigt schnell direkt mit Hilfe der Definition, dass für alle n
und k die Zahlen R(2, k) und R(n, 2) existieren und dass R(2, k) = k und
R(n, 2) = n gilt.
Wir zeigen nun für alle n, k ≥ 3: Falls R(n − 1, k) und R(n, k − 1) existieren, so existiert auch R(n, k) und es gilt die Ungleichung
R(n, k) ≤ R(n − 1, k) + R(n, k − 1) .
Da die Existenz von R(2, 3) und R(3, 2) vorhin schon gezeigt wurde, folgt
damit die Existenz von R(n, k) für alle n, k ≥ 2 durch Induktion nach n + k.
Es seien also n, k ≥ 3 und die Existenz von R(n − 1, k) und R(n, k − 1)
bereits gezeigt. Es sei nun X eine Menge bestehend aus R(n−1, k)+R(n, k−
1) Personen. Wähle eine beliebige, aber feste, Person P in dieser Menge.
Unter den restlichen R(n − 1, k) + R(n, k − 1) − 1 Personen gibt es nun
sicher R(n − 1, k) Personen, die P kennen, oder R(n, k − 1) Personen, die
P nicht kennen (sonst hätte man ja neben P insgesamt höchstens R(n −
1, k) + R(n, k − 1) − 2 weitere Personen).
Wir betrachten den Fall, dass es R(n − 1, k) Personen gibt, die P kennen.
Unter diesen gibt es aber nun entweder n − 1 Personen, die sich alle gegenseitig kennen - d.h. in diesem Fall bilden diese Personen zusammen mit P
eine Gruppe von n Personen in X, die sich alle gegenseitig kennen - oder
es gibt in dieser Gruppe k Personen, die sich gegenseitig alle nicht kennen
- und wir haben also auch in X eine Gruppe von k Personen gefunden, die
sich alle gegenseitig nicht kennen. Die Existenz von R(n, k) und die obige
Ungleichung sind also in diesem Fall gezeigt.
Im Fall, dass es R(n, k − 1) Personen gibt, die P nicht kennen, argumentiert man analog.
Wir haben früher schon eingesehen, dass R(3) = 6 gilt. Mit etwas mehr
Aufwand zeigt man R(4) = 18. Es ist eine erstaunliche Tatsache, dass
R(5) nicht bekannt ist. Die beste derzeit bekannte Abschätzung besagt
43 ≤ R(5) ≤ 49.
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2. Die reellen Zahlen
Die Struktur von R ist fundamental für die Analysis. Sie wird durch
folgende Axiome charakterisiert:
I Körperaxiome,
II Anordnungsaxiome,
III Vollständigkeitsaxiom.
Zu I und II siehe die Ausführungen in [F], Kapitel 2 und Kapitel 3
(zunächst ohne das Archimedische Axiom). Wir führen bereits an dieser
Stelle die Bezeichnungen für abgeschlossene, offene, halboffene und uneigentliche Intervalle von R ein, die in [F] erst auf Seite 80 angegeben werden.
Das Vollständigkeitsaxiom behandeln wir in der folgenden Form, die von
der Diskussion in [F] zunächst abweicht.
Definition. Es sei T ⊂ R. Wir nennen T nach oben beschränkt, falls ein
K ∈ R existiert mit t ≤ K für alle t ∈ T . Wir nennen dann K eine obere
Schranke von T . Wir nennen T nach unten beschränkt, falls ein K ∈ R
existiert mit t ≥ K für alle t ∈ T . In diesem Fall heißt K untere Schranke
von T . Wir nennen T beschränkt, falls T nach oben und unten beschränkt
ist. Ist T nicht beschränkt, so nennen wir T unbeschränkt.
Wir brauchen noch die folgende, am Anfang nicht ganz leicht zu erfassende
Definition.
Definition. Es sei T ⊂ R. Wir nennen eine Zahl K ∈ R ein Supremum
von T , falls K eine kleinste obere Schranke von T ist, d.h. K ist obere
Schranke von T und ist K 0 ∈ R eine weitere obere Schranke, so gilt K 0 ≥ K.
Entsprechend heißt K Infimum von T , falls K eine größte untere Schranke
von T ist.
Man überlegt sich schnell, dass das Supremum und Infimum im Falle der
Existenz eindeutig bestimmt sind. Diese werden dann sup T , bzw. inf T
genannt.
Das Vollständigkeitsaxiom besagt: In R hat jede nicht-leere nach oben
beschränke Teilmenge ein Supremum.
Wir wollen die detaillierte Diskussion dieses Axioms noch etwas
zurückstellen.
Definition. Es sei K eine Menge zusammen mit zwei Verknüpfungen +K :
K × K → K und ·K : K × K → K und zwei ausgezeichneten Elementen
0K , 1K ∈ K, wobei 0K 6= 1K . Wir nennen K einen
• Körper, falls (K, +K , ·K , 0K , 1K ), die Axiome (A1) bis (A4), (M1)
bis (M4), sowei (D) erfüllt.
• angeordneten Körper, falls gewisse Elemente in K als positiv ausgezeichnet sind (Schreibweise: x >K 0), so dass zusätzlich die Axiome
(O1) bis (O3) gelten.
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• vollständigen angeordneten Körper, falls K ein angeordneter Körper
ist, der das Vollständigkeitsaxiom erfüllt.
Ohne Beweis geben wir das folgende Resultat an:
Satz 2.1 (Charakterisierung der reellen Zahlen). Es gelten die folgenden
Aussagen.
i. (R, +, ·, 0, 1, >) ist ein vollständiger angeordneter Körper.
ii. Ist (K, +K , ·K , 0K , 1K , >K ) ein beliebiger vollständiger angeordneter
Körper, so gibt es genau eine Abbildung φ : K → R, die die folgenden
Eigenschaften besitzt:
– φ(0K ) = 0, φ(1K ) = 1.
– Für alle x, y ∈ K ist φ(x +K y) = φ(x) + φ(y) und φ(x ·K y) =
φ(x) · φ(y).
Diese eindeutig gegebene Abbildung ist bijektiv und ordnungserhaltend, d.h. es gilt die Äquivalenz x <K y ⇔ φ(x) < φ(y) für alle
x, y ∈ K.
Die erste Aussage ist im Grunde erst dann sinnvoll, wenn man R zusammen mit den Verknüpfungen und der Ordnungsrelation explizit konstruiert
hat. Die zweite Aussage besagt in anderen Worten, dass R bis auf ordnungserhaltende Isomorphie der einzige vollständige angeordnete Körper ist
und dass diese Isomorphie darüberhinaus eindeutig ist. Wir wollen in dieser
Vorlesung nicht weiter auf die Konstruktion von R eingehen, sondern die
Existenz von R mit den besprochenen Eigenschaften als gegeben annehmen.
Für weitere Informationen zur Konstruktion von R und zu Satz 2.1 verweise
ich auf das exzellente Buch Zahlen, das im Springer-Verlag erschienen ist.
Satz 2.2 (Archimedische Eigenschaft von R). Es seien a, b > 0 reelle Zahlen. Dann gibt es eine natürliche Zahl n mit na > b.
Beweis. Wir leiten dies aus dem Vollständigkeitsaxiom her. Angenommen,
es ist na ≤ b für alle n ∈ N. Dann ist also die Menge M := {na | n ∈ N}
nach oben beschränkt (durch b) und besitzt nach dem Vollständigkeitsaxiom
ein Supremum s. Da s kleinste obere Schranke von M und a positiv ist,
gibt es ein N ∈ N mit s − a < N a. Addition von a auf beiden Seiten
führt auf s < (N + 1)a. Dann ist aber s keine obere Schranke von M .
Widerspruch.
Mit Hilfe der Archimedischen Eigenschaft von R leiten wir für x ∈ R wie
in [F] (3.15), die Existenz genau einer ganzen Zahl m ∈ Z mit m ≤ x < m+1
her. Diese wird dann [x] genannt (Gauß-Klammer, bzw. Floor-Funktion).
Weiterhin zeigen wir die fundamentale Aussage, dass es für jede positive
reelle Zahl > 0 ein n ∈ N gibt mit n1 < . Mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung ([F], Satz 2 in Kapitel 3) leiten wir noch wichtige Abschätzungen
zum Wachsumsverhalten von Potenzen her ([F], Satz 3 in Kapitel 3).
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Im Gegensatz zu [F] formulieren wir die Archimedische Eigenschaft
von R nicht als Axiom, sondern folgern sie aus unserer Formulierung des Vollständigkeitsaxioms.
Dieses ist nicht äquivalent zum
Vollständigkeitsaxiom in [F], Kapitel 5. Wir werden auf den logischen Zusammenhang unseres Vorgehens zu dem in [F] im nächsten Kapitel genauer
eingehen.
3. Folgen, Konvergenz
Das Konzept der Folgen und der Konvergenz von Folgen ist fundamental
für die gesamte Analysis. Wir richten uns in der Darstellung nach [F],
Kapitel 4 (zunächst ohne unendliche Reihen auf S. 35 Mitte mit S. 37).
Wir diskutieren anschließend monotone Folgen (siehe [F], Definition auf
S. 49) und zeigen:
Satz 3.1. Ist (an )n∈N eine beschränkte monotone Folge, so ist an konvergent.
Beweis. Wir behandeln zunächst den Fall, dass an monoton wächst. Nach
Voraussetzung ist
M := {an | n ≥ 0}
nach oben beschränkt, besitzt also nach dem Vollständigkeitsaxiom ein Supremum s. Wir zeigen nun, dass (an ) gegen s konvergiert. Sei dazu > 0.
Da s kleinste obere Schranke von M ist, gibt es ein N ∈ N mit s − < aN .
Da (an ) monoton wächst, folgt s − < an ≤ s für alle n ≥ N , dabei gilt
die letzte Ungleichung, da s obere Schranke von M ist. Für alle n ≥ N ist
also an − s ≤ 0 < und s − an < nach obiger Ungleichung. Somit ist
|an − s| < für n ≥ N und dies zeigt lim an = s.
Falls an monoton fällt, beachte man, dass jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge T von R ein Infimum besitzt, wie man leicht
aus dem Vollständigkeitsaxiom ableitet (durch Betrachtung der Menge
−T := {−t | t ∈ T }). Man zeigt nun ganz ähnlich wie vorhin, dass
lim an = inf M .
Dieser Satz sagt noch nicht, wie man den Grenzwert einer beschränkten
monotonen Folge bestimmt. Dies erfordert in der Regel weitere Argumente.
Ein schönes Beispiel dazu ist die Konstruktion der Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl a durch eine rekursiv definierte Folge. Für Details siehe
[F], Satz 1 und Satz 2 in Kapitel 6.
Definition. Ist (an )n∈N eine Folge und n0 < n1 < . . . eine streng monoton
wachsende Folge natürlicher Zahlen, so nennt man die Folge (ank )k∈N eine
Teilfolge von (an )n∈N . Wir nennen x ∈ R einen Häufungspunkt der Folge
(an )n∈N , falls es eine Teilfolge von (an ) gibt, die gegen x konvergiert.
Interessante Beispiel von Häufungspunkten finden sich in [F], S. 48.
Lemma 3.2. Jede Folge (an ) besitzt eine monotone Teilfolge.
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Beweis. Für N ∈ N nennen wir aN eine Spitze von (an )n∈N , falls an ≤ aN
für alle n ≥ N . Wir unterscheiden nun zwei Fälle:
i. (an ) hat unendlich viele Spitzen.
ii. (an ) hat nur endlich viele Spitzen.
Im ersten Fall konstruieren wir induktiv eine Folge n0 < n1 < n2 < . . .
natürlicher Zahlen wie folgt: Es sei n0 ∈ N so gewählt, dass an0 eine Spitze
ist. Ist nk , schon definiert, so sei nk+1 so gewählt, dass nk+1 > nk und so
dass ank+1 eine Spitze ist. Dies ist immer möglich, da wir uns im ersten Fall
befinden. Nach Konstruktion ist (ank )k∈N eine monoton fallende Teilfolge
von (an )n∈N .
Im zweiten Fall konstruieren wir n0 < n1 < . . . wie folgt: Es sei N ∈ N so
groß, dass an keine Spitze ist, falls n ≥ N . Dies ist möglich, da wir uns im
zweiten Fall befinden. Wir setzen nun n0 := N . Ist nk schon definiert, so
sei nk+1 so gewählt, dass nk+1 > nk und so dass ank+1 > ank . Dies geht, da
ank keine Spitze ist. Nach Konstruktion ist nun (ank )k∈N eine (sogar streng)
monoton wachsende Teilfolge von (an )n∈N .
Wir zeigen damit folgenden fundamentalen Satz:
Satz 3.3 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt
eine konvergente Teilfolge.
Beweis. Sei (an ) eine beschränkte Folge. Nach Lemma 3.2 hat (an )n∈N
eine monotone Teilfolge (ank )k∈N . Diese ist offensichtlich wieder beschränkt.
Aber beschränkte monotone Folgen konvergieren, wie wir in Satz 3.1 gezeigt
haben.
Wir diskutieren noch die Begriffe des limes superior und limes inferior,
siehe [F], S. 88 ff. und charakterisieren lim sup ähnlich wie in [F], Satz 4 in
Abschnitt 9, durch den folgenden Satz.
Satz 3.4. Es sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und a ∈ R. Dann gilt
lim sup an = a genau dann, wenn für alle > 0 folgende beiden Bedingungen
erfüllt sind:
i. Es gibt ein N ∈ N, so dass an < a + für alle n ≥ N .
ii. Es ist an > a − für unendlich viele Indizes n.
Beweis. Für n ∈ N schreiben wir sn := sup{ak | k ≥ n}. Es sei nun
lim sup an = a, d.h. lim sn = a. Sei > 0. Es gibt es dann nach Definition
der Konvergenz ein N ∈ N, so dass sn < a+ für alle n ≥ N . Wegen an ≤ sn
für alle n ∈ N folgt daraus Eigenschaft i. Angenommen, Eigenschaft ii. sei
nicht erfüllt, d.h. an > a − ist nur für endlich viele Indizes n erfüllt.
Dann gibt es ein N ∈ N, so dass an ≤ a − für alle n ≥ N . Dann ist
sn = sup{ak | k ≥ n} ≤ a− für alle n ≥ N . Daraus folgt aber lim sn ≤ a−,
im Gegensatz zur Annahme lim sn = a.
Umgekehrt seien nun die beiden obigen Bedingungen i. und ii. für (an )n∈N
erfüllt. Wir zeigen, dass lim sup an = a. Aus i. folgt, dass für alle > 0
ein N existiert mit an < a + für alle n ≥ N . Dann ist sN ≤ a + und
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wir folgern limn→∞ sn ≤ a + . Da dies für alle > 0 erfüllt ist, folgern wir
lim sup an = lim sn ≤ a. Wäre lim sup an < a, so hätten wir ein > 0 und
ein N ∈ N mit sN ≤ a − . Dann wäre aber an ≤ a − für alle n ≥ N , im
Widerspruch zu ii.
Als Anwendungen dieser Charakterisierung sieht man, dass für beliebige
beschränkte Folgen (an ) und (bn ) immer lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an +
lim sup bn gilt. Gleichheit muss nicht immer erfüllt sein: Für die Folge
an := (−1)n und bn := (−1)n+1 , n ∈ N, ist lim sup an = lim sup bn = 1, aber
lim sup(an + bn ) = 0.
Definition. Wir nennen eine Folge (an )n∈N eine Cauchy-Folge, falls es für
alle > 0 ein N ∈ N gibt, so dass |an − am | < für alle n, m ≥ N gilt.
Satz 3.5. Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn Sie eine CauchyFolge ist.
Beweis. Dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist, wird in [F], Satz
1 in Abschnitt 5 gezeigt. Sei nun umgekehrt (an )n∈N eine Cauchy-Folge. Wir
zeigen zunächst, dass (an ) beschränkt ist. Sei dazu N ∈ N so gewählt, dass
|an − am | < 1 für alle n, m ≥ N gilt. Wir haben dann unter Benutzung der
Dreicksungleichung
|an | ≤ max{|a1 |, |a2 |, . . . , |aN −1 |, |aN | + 1}
und somit ist (an )n∈N beschränkt.
Nach dem Satz von BolzanoWeierstraß besitzt (an )n∈N eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N . Sei a ∈ R
der Grenzwert dieser Teilfolge. Wir zeigen, dass die ganze Folge (an )n∈N
gegen a konvergiert. Sei > 0. Da limk→∞ ank = a existiert ein K ∈ N mit
|ank − a| < /2 für alle k ≥ K. Da (an )n∈N eine Cauchy-Folge ist, gibt es
weiterhin ein N ∈ N mit |an − am | < /2 für alle n, m ≥ N . Sei nun L ∈ N
so groß , dass L ≥ K und nL ≥ N . Dann ist für alle n ≥ nL die Ungleichung
|an − a| ≤ |an − anL | + |anL − a| < /2 + /2 = erfüllt. Daher ist in der Tat limn→∞ an = a.
Manchmal wird die Tatsache, dass Cauchy-Folgen konvergieren, als Axiom für die reellen Zahlen gefordert. Wenn man zusätzlich die Archimedische Eigenschaft als Axiom fordert, kann man (ohne Benutzung unseres
Vollständigkeitsaxioms) beweisen, dass nach oben beschränkte, nichtleere
Teilmengen von R ein Supremum besitzen. Unter der Annahme der Körperund Anordnungsaxiome ist also das Vollständigkeitsaxiom (in unserer Formulierung) äquivalent zur Archimedischen Eigenschaft und zur Tatsache,
dass Cauchy-Folgen konvergieren. In [F] wird dieser alternative Zugang zu
den reellen Zahlen gewählt.
Definition. Eine Intervallschachtelung ist eine absteigende Folge I0 ⊃ I1 ⊃
I2 ⊃ . . . von abgeschlossenen Intervallen [an , bn ] ⊂ R mit limn→∞ diam In =
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0. Dabei ist der Durchmesser diam In = diam[an , bn ] durch diam In :=
bn − an ≥ 0 definiert.
Der folgende Satz gibt eine wichtige Art an, reelle Zahlen zu beschreiben.
Satz 3.6 (Intervallschachtelungsprinzip). Es sei I0 ⊃ I1 ⊃ . . . eine Intervallschachtelung. Dann gibt es genau eine reelle Zahl x ∈ R, die in allen In
liegt. Umgekehrt lässt sich jede reelle Zahl so darstellen.
Beweis. Die Folge (an )n∈N ist monoton wachsend und nach oben beschränkt
(durch b0 ), besitzt also nach Satz 3.1 einen Grenzwert a. Die Folge (bn ) ist
monoton fallend und beschränkt und besitzt daher ebenfalls einen Grenzwert
b. Da an ≤ bn für alle n ∈ N, gilt a ≤ b. Insgesamt haben wir an ≤ a ≤ b ≤
bn für alle n und somit liegt a in allen Intervallen In = [an , bn ]. Angenommen
a0 liegt ebenfalls in allen Intervallen In und a 6= a0 . Ohne Einschränkung
der Allgemeinheit können wir a0 > a annehmen. Sei := a0 − a. Da
lim diam In = 0, existiert ein N ∈ N mit diam IN = bN − aN < . Wir
erhalten = a0 − a ≤ bN − aN < , wobei wir aN ≤ a und b ≤ bN benutzt
haben. Die erhaltene Ungleichung < ist ein Widerspruch. Also muss
a = a0 gelten.
Ist x ∈ R eine beliebige reelle Zahl, so betrachten wir die durch In := [x −
1/n, x + 1/n], n ≥ 1, definierte Intervallschachtelung. Dann ist offensichtlich
x ∈ In für alle n ∈ N.
Wir behandeln zum Schluss dieses Kapitels noch einige Eigenschaften von
Punktmengen in R.
Definition. Es sei T ⊂ R eine Teilmenge. Wir nennen T offen, falls es
für jedes t ∈ T ein > 0 gibt, so dass (t − , t + ) ⊂ T . Wir nennen T
abgeschlossen, wenn R \ T offen ist.
Beispielsweise sind die Intervalle (a, b), (−∞, b) und R offene Teilmengen
von R. Die Intervalle [a, b], (−∞, b] sind abgeschlossen. Das Intervall (0, 1]
ist weder offen noch abgeschlossen. Durchschnitte endlich vieler offener Mengen sind offen und damit sind Vereinigungen endlich vieler abgeschlossener
Mengen (wie zum Beispiel [0, 1] ∪ [2, 5]) ebenfalls abgeschlossene Teilmengen
von R.
Wir haben die folgende Charakterisierung abgeschlossener Teilmengen
von R.
Satz 3.7. Eine Teilmenge T ⊂ R ist genau dann abgeschlossen, falls folgendes gilt: Ist (an )n∈N eine beliebige konvergente Folge und an ∈ T für alle
n ∈ N, so gilt limn→∞ an ∈ T .
Beweis. Es sei T ⊂ R eine abgeschlossene Teilmenge und (an )n∈N eine konvergente Folge mit an ∈ T für alle n ∈ N. Angenommen, a := lim an ∈
/
T . Da R \ T nach Voraussetzung offen ist, gibt es ein > 0, so dass
(a − , a + ) ∩ T = ∅. Da lim an = a gibt es aber ein N ∈ N, so dass
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|an − a| < für alle n ≥ N . Dann ist also insbesondere aN ∈ (a − , a + ).
Dies widerspricht der Annahme, dass alle Folgenglieder an in T liegen.
Es sei nun T nicht abgeschlossen, also R\T nicht offen. Dann gibt es einen
Punkt a ∈ R \ T , so dass für alle > 0 die Menge (a − , a + ) nicht ganz
in R \ T liegt, also T schneidet. Wir können also für alle n ∈ N, n ≥ 1, ein
an ∈ T finden mit an ∈ (a − 1/n, a + 1/n). Dies bedeutet, dass lim an = a.
Da nach Konstruktion a ∈
/ T , ist also die zweite im Theorem angegebene
Bedingung nicht erfüllt. Erfüllt umgekehrt T ⊂ R diese Bedingung, so muss
also T abgeschlossen sein.
Wir können jeder Teilmenge T ⊂ R eine weitere Teilmenge T zuordnen,
die wie folgt definiert ist:
T := {x ∈ R | ∃ (an )n∈N mit an ∈ T ∀n ∈ N und lim an = x} .
n→∞
T besteht also genau aus den Limiten konvergenter Folgen in T .
Satz 3.8. Es gilt
i. T ist abgeschlossen.
ii. T ⊂ T .
iii. Ist S ⊂ R eine beliebige abgeschlossene Teilmenge mit T ⊂ S, so ist
T ⊂ S.
Mit anderen Worten: Die Menge T ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von R, die T enthält. Wir nennen T den Abschluss von T .
Beweis. Angenommen, R \ T ist nicht abgeschlossen. Wir finden dann ein
a ∈ R \ T und eine Folge (an )n∈N>0 mit an ∈ T und |an − a| < 1/n für
alle n (siehe den zweiten Teil des vorherigen Beweises). Da an ∈ T , gibt
es (abhängig von n) eine konvergente Folge (tk )k∈N mit tk ∈ T für alle
k ∈ N und limk→∞ tk = an . Insbesondere existiert also ein a0n ∈ T mit
|a0n − an | < 1/n. Nach Konstruktion konvergiert dann die Folge (a0n )n∈N
gegen a. Da alle a0n ∈ T , folgt a ∈ T , Widerspruch. Der Beweis von i. ist
damit abgeschlossen.
Ist t ∈ T , so konvergiert die konstante Folge (tn )n∈N mit tn := t gegen t,
somit ist t ∈ T . Dies zeigt ii.
Es sei nun S ⊂ R eine beliebige abgeschlossene Menge mit T ⊂ S. Dann
enthält nach Satz 3.7 die Menge S alle Limiten konvergenter Folgen in S,
also insbesondere auch die Limiten aller konvergenter Folgen in T . Das
bedeutet aber gerade T ⊂ S.
Ist T ⊂ R selbst schon abgeschlossen, so folgt also, dass T = T . Insbesonere ist für jede Teilmenge T ⊂ R die Gleichheit (T ) = T erfüllt.
4. Reihen, Konvergenzkriterien für Reihen
Zur Definition von Reihen und zu einigen Beispielen siehe [F], S. 35-37
und S. 62-64.
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Als erste Anwendung besprechen wir die b-adischen Entwicklungen reeller
Zahlen bezüglich einer Basis b (d.h. b ∈ N und b ≥ 2). Dies ist in [F], S.
44-46 , nachzulesen.
Bei der Darstellung der Konvergenzkriterien für Reihen richten wir uns
nach [F], Abschnitt 7. Insbesondere besprechen wir den Umordnungssatz
und Beispiel 7.9 in [F].
5. Mächtigkeiten
Definition. Zwei Mengen M, N haben die gleiche Mächtigkeit, falls es eine
bijektive Abbildung ϕ : M −→ N gibt. Eine Menge heißt M abzählbar, wenn
es eine surjektive Abbildung ϕ : N −→ M gibt. M ist abzählbar unendlich
wenn M nicht endlich, jedoch abzählbar ist.
Beispielsweise sind N und Z abzählbar unendlich. Endliche Mengen sind
abzählbar.
Lemma 5.1. Sei M abzählbar unendlich. Dann hat M die gleiche
Mächtigkeit wie N.
Beweis. Sei M unendlich und ϕ : N −→ M surjektiv. Wir definieren induktiv eine Folge (fn )n∈N von Abbildungen fn : N −→ M durch f0 := ϕ und
für n ≥ 0 durch

 fn (x) falls x 6= n + 1 ,
fn (x) falls x = n + 1 und fn (n + 1) ∈
/ fn ({0, . . . , n}) ,
fn+1 (x) :=

η
falls x = n + 1 und fn (n + 1) ∈ fn ({0, . . . , n}) .
Dabei ist η ∈ M \ fn ({0, . . . , n}) ein beliebiges Element (dieses existiert, da
M unendlich ist).
Durch vollständige Induktion beweist man für alle n ∈ N:
(i) fn ist injektiv auf {0, . . . , n},
(ii) fn (x) = fn0 (x) falls x ≤ n0 ≤ n und
(iii) ϕ({0, . . . , n}) ⊂ fn ({0, . . . , n}).
Wir zeigen exemplarisch (iii) durch Induktion nach n. Der Induktionsanfang n = 0 ist klar, da f0 ({0}) = ϕ({0}) nach Definition von f0 . Aussage
(iii) sei nun für n ∈ N bereits gezeigt. Wir beweisen, dass sie dann auch für
n + 1 gilt. Wir unterscheiden wie bei der Definition von fn+1 zwei Fälle.
Falls fn (n + 1) 6∈ f ({0, . . . , n}), so folgt fn+1 = fn und wir haben
fn+1 ({0, . . . , n + 1}) = fn ({0, . . . , n}) ∪ {ϕ(n + 1)} ⊃ ϕ({0, . . . , n + 1}). Hier
haben wir in der letzten Gleichung die Induktionsvoraussetzung benutzt und
in der ersten Gleichung die Tatsache ϕ(n + 1) = fn (n + 1). Diese folgt daraus, dass bei der Konstruktion von fn die Werte von f0 = ϕ höchstens an
den Stellen 1, . . . , n verändert wurden.
Falls aber fn (n + 1) ∈ fn ({0, . . . , n}), dann erhalten wir die Inklusion ϕ({0, . . . , n + 1}) = ϕ({0, . . . , n}) ∪ {fn (n + 1)} ⊂ fn ({0, . . . n}) ⊂
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fn+1 ({0, . . . , n + 1}), wobei wir bei der vorletzten Inklusion wieder die Induktionsvoraussetzung verwendet haben.
Insgesamt beweist dies (iii) für n + 1.
Wir definieren nun ψ : N −→ M durch ψ(n) := fn (n) und zeigen, dass ψ
bijektiv ist. Daraus folgt dann die Aussage des Lemmas.
Für die Injektivität seien n, n0 ∈ N mit ψ(n) = ψ(n0 ).
schränkung nehmen wir n0 ≤ n an. Dann gilt wegen (ii)
Ohne Ein-
fn (n0 ) = fn0 (n0 ) = ψ(n0 ) = ψ(n) = fn (n).
Nach (i) istfn auf {0, . . . , n} injektiv. Daher haben wir n0 = n und ψ ist in
der Tat injektiv.
Für die Surjektivität von ψ sei m ∈ M . Wegen (iii) und weil ϕ surjektiv
ist, ist die Menge {k ∈ N|m ∈ {fk (0), . . . , fk (k)}} nicht leer. Sei n das
kleinste Element dieser Menge. Falls fn (n0 ) = m mit n0 < n, so gilt auch
m ∈ {fn0 (0), . . . , fn0 (n0 )} nach (ii). Dies widerspricht der Minimalität von
n. Also gilt m = fn (n) = ψ(n). Dies zeigt, dass ψ surjektiv ist.
Aus Kapitel 9 von [F] wurden bewiesen: Satz 1, Corollar 1 (Abzählbarkeit
von Q) und Satz 2 (R ist nicht abzählbar). Nicht besprochen wurde Corollar
2 (S. 83 in [F])
6. Die Exponentialreihe
Nach einem Exkurs über die komplexen Zahlen (Definition, Rechenregeln,
Konvergenz von Folgen und Reihen in C, Vollständigkeit von C, Beziehung
zwischen Konvergenz in R und Konvergenz in C) behandeln wir die Exponentialreihe wie in Kapitel 8 von [F]. Insbesondere haben wir das CauchyProdukt absolut konvergenter Reihen besprochen (in C). Nicht behandelt
wurde der Abschnitt “Numerische Berechnung von e” (S. 74–75 von [F]).
Im Unterschied zu [F] verwenden wir gleich komplexe Variablen. An den
Beweisen ändert sich dadurch nichts. In [F] wird die Exponentialfunktion
im Komplexen in Kapitel 13 besprochen. Hier findet man auch alles, was
über C gesagt wurde. Bis auf Satz 9 (Stetigkeit der Exponentialfunktion)
haben wir Kapitel 13 von [F] behandelt.
Mit Hilfe der Exponentialreihe definiert man die Funktionen sin, cos. An
dieser Stelle folgen wir Kapitel 14 in [F], insbesondere verwenden wir reelle
Variablen. Kapitel 14 aus [F] wurde bis einschließlich Satz 5 erklärt.
Manchmal definiert man sin x und cos x als die y-, bzw. x-Koordinate
des Punktes auf dem Einheitskreis, den man erhält, wenn man von 1 ausgehend auf dem Einheitskreis einen Bogen der Länge x gegen den Urzeigersinn
durchläuft. Diese Definition stimmt mit der unsrigen (über die im Komplexen definierte Exponentialfunktion) überein. Da wir an dieser Stelle den Begriff der Bogenlänge noch nicht zur Verfügung haben, begnügen wir uns mit
12
BERNHARD HANKE
der folgenden Plausibilitätsüberlegung. Es sei x ∈ R≥0 eine nicht-negative
reelle Zahl und
γ : [0, 1] → C , t 7→ eixt
der Bogen auf dem Einheitkreis von 1 nach eix . Später werden wir sehen,
dass dieser Bogen wirklich entgegen dem Urzeigersinn verläuft. Hier wollen
wir nur den Ausdruck
Ln :=
n−1
X
k=0
n−1
|γ(
X ix(k+1)
ixk
k
k+1
) − γ( )| =
|e n − e n |
n
n
k=0
für großes n behandeln. Dieser Ausdruck ist gleich der Länge des Polygonix
2ix
zugs von 1 über e n , e n etc. nach eix und wir stellen uns vor, dass für
wachsendes n dieser Ausdruck die Länge“ des Kreisbogens von 1 nach eix
”
immer besser approximiert. Für alle k ∈ {0, . . . , n − 1} haben wir
ix(k+1)
ix(k+1/2)
ix/2
−ix/2
ixk
x
|e n − e n | = |e n | · |e n − e n | = 1 · |2 sin( )| .
2n
Somit erhalten wir
sin( x )
x
Ln = n · |2 sin | = |x| · | x2n |
2n
2n
und letzerer Ausdruch strebt für wachsendes n gegen |x| · 1 = x (siehe [F],
Kapitel 14, Corollar zu Satz 5). Damit ist im Rahmen dieser Plausibilitätsbetrachung die in Frage stehende Bogenlänge in der Tat gleich x.
7. Stetigkeit
Wir folgen [F], Kapitel 10 und Kapitel 11 (ohne S. 103 unten bis S. 105
Mitte).
8. Elementare Funktionen, π
Wir besprechen [F], Kapitel 12 ohne die Landau-Symbole (S. 118 unten
bis S. 120 unten). Anschließend diskutieren wir die Definition von π mit
Hilfe trigonometrischer Funktionen, siehe [F], Kapitel 14, S. 136 f. Die
Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen und die Polardarstellung
komplexer Zahlen besprechen wir wie in [F], S. 141 f.
9. Differentiation
[F], Kapitel 15 und 16 bis S. 168 oben. Für die Kettenregel ([F], Abschnitt 15, Satz 4) geben wir zusätzlich den folgenden alternativen Beweis,
der auf der Charakterisierung von differenzierbaren Funktionen gemäß [F],
Abschnitt 15, Satz 1, beruht.
Satz 9.1 (Kettenregel). Seien f : D → R und g : E → R Funktionen mit
g(E) ⊂ D. Ist g in x ∈ E differenzierbar und f in g(x) differenzierbar, so
ist f ◦ g in x differenzierbar und es gilt (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x).
ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09)
13
Beweis. Sei y = g(x). Da g in x und f in y differenzierbar sind, können wir
schreiben
g(x + h) = g(x) + g 0 (x) · h + R(h)
f (y + k) = f (y) + f 0 (y) · k + S(k)
wobei R und S Funktionen sind mit
R(h)
lim
= 0,
h→0,h6=0 h
Damit erhalten wir
lim
k→0,k6=0
S(k)
= 0.
k
(f ◦ g)(x + h) = f (g(x) + g 0 (x) · h + R(h)) = f (y) + f 0 (y) · k(h) + S(k(h))
wobei wir k(h) := g 0 (x) · h + R(h) gesetzt haben. Wir haben damit
(f ◦ g)(x + h) = f (y) + f 0 (y) · g 0 (x) · h + f 0 (y)R(h) + S(k(h))
und unsere Behauptung folgt, wenn wir mit T (h) := f 0 (y) · R(h) + S(k(h))
zeigen können, dass
T (h)
lim
= 0.
h→0,h6=0 h
Dies ist aber richtig, denn lim (f 0 (y) ·
h→0
R(h)
h )
gilt nach Voraussetzung. Wei-
terhin ist
|k(h)| ≤ |g 0 (x)h + R(h)| ≤ c|h|
mit einer festen Konstante c > 0, falls |h| klein ist (hier haben wir benutzt,
dass nach Voraussetzung R(h)
h beschränkt bleibt, falls h → 0). Wir erhalten
somit
S(k(h)) ≤ c S(k) h k und dieser Ausdruck geht für h → 0 gegen 0, denn falls h gegen 0 geht, dann
auch k(h) (wegen |k| ≤ c|h|) und lim S(k)
k = 0 nach Annahme.
k→0
Wir beschließen dieses Kapitel mit einer kurzen Diskussion des NewtonVerfahrens (vgl. [F], S. 180 ff.), das einen effizienten Algorithmus zur Bestimmung von Nullstellen bereitstellt.
Satz 9.2. Es sei f : [a, b] → R zweimal differenzierbar mit f (a) < 0,
f (b) > 0 und f 00 (x) > 0 für alle x ∈ (a, b). Sei x0 ∈ [a, b] mit f (x0 ) ≥ 0.
Wir definieren die Folge (xn )n∈N induktiv durch
xn+1 := xn −
f (xn )
.
f 0 (xn )
Dann konvergiert (xn )n∈N monoton fallend gegen eine Nullstelle p ∈ (a, b)
von f . Die Funktion f hat keine weiteren Nullstellen. Ist zusätzlich f ” nach
oben beschränkt auf [a, b], so gibt es eine Konstante C > 0, so dass für alle
n∈N
|xn+1 − p| ≤ C|xn − p|2 ,
d.h. es liegt quadratische Konvergenz vor.
14
BERNHARD HANKE
Beweis. Wir zeigen zunächst, dass f genau eine Nullstelle p ∈ (a, b) hat und
dass f 0 (p) > 0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es jedenfalls eine Nullstelle
p ∈ (a, b). Angenommen, f 0 (p) ≤ 0. Da f konvex, also f 0 monoton wachsend
ist, gilt dann f 0 (x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, p]. Somit ist f monoton fallend auf
[a, p] und wegen f (a) < 0 gilt dann f (p) < 0. Widerspruch. Wir haben also
gezeigt, dass f 0 (p) > 0 für jede Nullstelle p von f ist. Angenommen, es gibt
noch eine weitere Nullstelle q 6= p. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit
ist q < p. Nach dem Mittelwertsatz ist f 0 (ξ) = 0 für ein ξ ∈ (q, p). Da f 0
monoton wachsend ist, folgt f 0 (q) ≤ 0, im Widerspruch zu f 0 (q) > 0.
Wir zeigen nun, dass xn ≥ p für alle n ≥ 0. Insbesondere ist dann (nach
dem gerade Gezeigten) auch f 0 (xn ) > 0 für alle n. Da f (x0 ) ≥ 0 nach
Voraussetzung haben wir x0 ≥ p, denn f (x) < 0 für alle x ∈ [a, p) wie wir
schon gesehen haben. Sei nun xn ≥ p schon bewiesen. Falls xn = p, so ist
auch xn+1 = p und es folgt xn+1 ≥ xn ≥ p. Falls aber xn > p, so finden wir
nach dem Mittelwertsatz ein ξ ∈ (p, xn ) mit
f (xn )
= f 0 (ξ) ≤ f 0 (xn )
xn − p
wobei die letzte Ungleichung benutzt, dass f 0 monoton wächst. Es folgt
p ≤ xn −
f (xn )
= xn+1
f 0 (xn )
wie behauptet.
Aus dem bereits gezeigten folgt f (xn ) ≥ 0 und f 0 (xn ) > 0 für alle n ≥ 0.
Daher ist für alle n ∈ N
xn+1 = xn −
f (xn )
≤ xn
f 0 (xn )
und die Folge (xn ) ist monoton fallend. Da außerdem (xn ) durch p nach
unten beschränkt ist, konvergiert (xn ) - sagen wir gegen x ∈ [a, b]. Es gilt
x = lim xn+1 = lim (xn −
n→∞
n→∞
f (x)
f (xn )
)=x− 0
0
f (xn )
f (x)
da f und f 0 nach Voraussetzung differenzierbar, also stetig sind und außerdem f 0 (x) 6= 0, da x ≥ p. Aus dieser Gleichung folgt aber f (x) = 0 und
damit gilt x = p, denn p ist die einzige Nullstelle von f . Die Folge (xn )
konvergiert also in der Tat monoton fallend gegen p.
Zur Fehlerabschätzung: Falls xn = p, so ist p = xn = xn+1 = . . . und die
Fehlerabschätzung gilt mit einem geeigneten C (es sind ja nur endlich viele
Ungleichungen zu kontrollieren). Es sei also xn > p. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein α ∈ (p, xn ), so dass
f (xn )
= f 0 (α)
xn − p
ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09)
15
also
f (xn )
.
f 0 (α)
Setzen wir die rekursive Definition von xn+1 ein, führt dies auf
p = xn −
xn+1 − p =
f (xn )
f (xn )
f (xn )
− 0
= 0
(f 0 (xn ) − f 0 (α)) .
0
f (α)
f (xn )
f (α) · f 0 (xn )
Wieder nach dem Mittelwertsatz gibt es ein γ ∈ (α, xn ) mit
f 0 (xn ) − f 0 (α) = f 00 (γ)(xn − α) .
Setzen wir dies und die Gleichung f (xn ) = f 0 (α)(xn − p) in die vorherige
Gleichung ein, liefert dies
xn+1 − p =
f 0 (α) · f 00 (γ)
(xn − p)(xn − α) .
f 0 (α) · f 0 (xn )
Nach Annahme existiert eine obere Schranke K > 0 von f 00 : [a, b] → R. Da
f 0 (p) ≤ f 0 (xn ) (denn f 0 ist ja monoton wachsend) ist also
xn+1 − p ≤
so dass mit C :=
K
f 0 (p)
K
f 0 (p)
(xn − p)2 ,
die letzte Behauptung des Satzes gilt.
Als Beispiel betrachten wir die auf [0, ∞) definierte Funktion
f (x) := xk − a
wobei a > 0 eine feste reelle Zahl und k ≥ 2 eine natürliche Zahl ist. f
ist zweimal differenzierbar und f 0 (x) = kxk−1 und f 00 (x) = k(k − 1)xk−2 .
Insbesondere ist f 00 auf (0, ∞) und ist b > 0 eine beliebige reelle Zahl, so
ist f 00 > 0 auf [0, b] nach oben beschränkt. Das Newtonverfahren ist also
anwendbar. Sei x0 > 0 eine reelle Zahl mit xk0 > a. Wir definieren rekursiv
1
f (xn )
xkn − a
a =
x
−
=
(k − 1)xn + k−1
n
0
k−1
f (xn )
k
kxn
xn
für n ≥ 0. Die so erhaltene
Folge (xn )n∈N konvergiert monoton fallend
√
und quadratisch gegen k a. Wir haben also das schon früher betrachtete
rekursive Verfahren zur Berechnung der k-ten Wurzel wiedergefunden.
xn+1 = x −
10. integration
Wir richten und nach [F], Abschnitt 18. In der Vorlesung haben wir das
Ober-, bzw. Unterintegral einer beschränkten Funktion f : [a, b] → R mit
R b∗
I ∗ (f ), bzw. I∗ (f ) bezeichnet. In [F] wird hingegen die Notation a f (x)dx,
Rb
bzw. a∗ f (x)dx verwendet. Die Diskussion der Hölder- und MinkowskiUngleichung wird in [F] auf die entsprechende Diskussion in [F], Abschnitt
16, und die Betrachtung von Riemannschen Summen zurückgeführt. Wir
wählen den folgenden, etwas direkteren Weg.
16
BERNHARD HANKE
Definition. Es sei f : [a, b] → R eine integrierbare Funktion und p ≥ 1 eine
reelle Zahl. Wir definieren die Lp -Norm von f durch
kf kp := kf kLp [a,b] :=
Zb
|f (x)|p dx
1
p
.
a
Es folgt aus Sätzen der Vorlesung (siehe auch [F], Abschnitt 18, Satz 6),
dass kf kp definiert ist.
Satz 10.1. Für integrierbare Funktionen f, g : [a, b] → R gilt
Rb
a) (Höldersche Ungleichung) |f (x)g(x)|dx ≤ kf kp kf kq für alle reellen
a
Zahlen p, q > 1 mit p1 + 1q = 1.
b) (Minkowskische Ungleichung) kf + gkp ≤ kf kp + kgkp für alle reellen
Zahlen p ≥ 1.
Beweis. Zu a). Es seien p, q > 1. Angenommen kf kp = 0. Wegen
der UnR
p
gleichung
|f (x)| ≤ |f (x)| für alle x ∈ [a, b] gilt dann auch 0 ≤ |f (x)|dx ≤
R
|f (x)|p dx = 0. Ist nun g : [a, b] → R ebenfalls integrierbar, und somit
beschränkt, haben wir also,
Z
Z
Z
|f (x)g(x)|dx ≤ |f (x)| · |g(x)|dx ≤ max |g(x)| · |f (x)|dx = 0
x∈[a,b]
und die behauptete Ungleichung gilt. Ebenso zeigt man, dass die Ungleichung gilt, falls kgkq = 0. Wir nehmen also an, dass kf kp 6= 0 und kf kq 6= 0.
Wir betrachten die integrierbaren Funktionen f1 , g1 : [a, b] → R, definiert
durch
|f (x)|p
|g(x)|q
f1 (x) :=
g1 (x) :=
.
p ,
kf kp
kgkqq
Nach der verallgemeinerten Ungleichung zwischen dem arithmetischen und
geometrischen Mittel (die wir aus der Konkavität der Logarithmusfunktion
gefolgert haben, siehe auch [F], Hilfssatz auf Seite 168) ist für alle x ∈ [a, b]
f1 (x)1/p g1 (x)1/q ≤
f1 (x) g1 (x)
+
p
q
und damit
Zb
a
1
|f (x)g(x)|
dx ≤
kf kp kgkq
p
Zb
1
f1 (x)dx +
q
a
Zb
g1 (x)dx .
a
Da die rechte Seite gleich 1 ist, folgt die Höldersche Ungleichung.
Zu b) Falls p = 1, folgt die Minkowksische Ungleichung direkt aus der
Dreiecksungleichung und der Monotonie des Integrals:
kf + gk1 =
Zb
a
|f (x) + g(x)|dx ≤
Zb
a
(|f (x)| + |g(x)|)dx = kf k1 + kgk1 .
ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09)
17
Es sei also nun p > 1. Wir wählen (das eindeutig bestimmte) q > 1 mit
1
1
p + q = 1 und betrachten die integrierbare Funktion
h(x) := |f (x) + g(x)|p−1 .
Hier setzen wir (wie auch schon früher) 0ξ := 0 für alle reellen Zahlen ξ > 0.
Dann ist h(x)q = |f (x) + g(x)|q(p−1) = |f (x) + g(x)|p und somit
khkq = kf + gkp/q
p ,
wobei die Identität p = q(p − 1) benutzt wurde. Daraus folgt
Zb
|(f +g)h| ≤
a
Zb
a
Zb
|f h|+ |gh| ≤ (kf kp +kgkp )khkq ≤ (kf kp +kgkp )kf +gkp/q
p .
a
p/q
gkp
Falls kf +
= 0, so ist auch kf + gkp = 0 und die Minkowskische
p/q
Ungleichung gilt. Falls aber kf + gkp > 0, so können wir die letzte Ungleichung durch diese Zahl teilen und erhalten (da die linke Seite mit kf + gkpp
übereinstimmt) die Ungleichung
p− pq
kf + gkp
Da p −
p
q
≤ kf kp + kgkq .
= 1 ist das genau die Minkowskische Ungleichung.
Definition. Es sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung k−k : V → R
heißt Norm auf V , falls folgendes gilt:
i. Für alle v ∈ V gilt kvk ≥ 0 und Gleichheit tritt genau dann ein, falls
v = 0.
ii. Für alle v ∈ V und λ ∈ R ist kλvk = |λ|kvk.
iii. Für alle v, w ∈ V gilt die Dreicksungleichung kv + wk ≤ kvk + kwk.
Wir haben also gezeigt, dass für alle p ≥ 1 die Lp -Norm auf dem RVektorraum der integrierbaren Funktionen [a, b] → R alle Eigenschaften
einer Norm besitzt, außer derjenigen, dass kf kp = 0 nur dann eintreten
kann, falls f = 0. Beispielsweise ist die Funktion f : [0, 1] → R mit f (t) := 0,
R1
falls t 6= 0 und f (0) := 1 integrierbar mit 0 f (x)dx = 0, aber f ist nicht
die Nullfunktion. Im Rahmen der Lebesgueschen Integrationstheorie werden
Funktionenräume konstruiert, auf denen die Lp -Normen echte Normen sind.
Für Vektoren (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn und reelle Zahlen l ≥ 1 definiert man die
sogenannten lp -Norm durch die Vorschrift
kxkp :=
n
X
k=1
Lp -Norm
|xk |p
1
p
.
Dies können wir auch als
einer geeigneten, auf [0, n] definierten
Treffenfunktion auffassen. Aus Theorem 10.1 erhalten wir somit
18
BERNHARD HANKE
P
• (Höldersche Ungleichung) nk=1 |xk yk | ≤ kxkp · kykq für alle p, q > 1
mit p1 + 1q = 1.
• (Minkowskische Ungleichung) kx + ykp ≤ kxkp + kykp , falls p ≥ 1.
Man überlegt sich leicht, dass die lp -Norm auf Rn wirklich eine Norm ist.
Für p = 2 ist das die gewöhnliche Euklidische Norm. Die Höldersche Ungleichung heißt in diesem Zusammenhang Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Wichtig ist nun [F], Abschnitt 19, bis (19.20). Einige Beispiele zur Berechnung unbestimmer Integrale wurden in der Vorlesung nicht besprochen,
sollten aber selbständig nachgearbeitet werden. Zur Integration rationaler
Funktionen mittels Partialbruchzerlegung verweisen wir auf Walter: Analysis 1, 11.5. (das allgemeine Verfahren zur Partialbruchzerlegung wurde
nicht besprochen und ist nicht prüfungsrelevant).
Wir besprechen [F], Abschnitt 20, bis einschließlich Satz 3.
In der Vorlesung am 26.1. wird zunächst das Beispiel (19.21) aus [F] besprochen und damit die Wallis’sche Produktdarstellung von π/2 hergeleitet
(siehe [F], Beispiel (19.22)). Weiterhin wird mit dem Riemannschen Lemma
([F], Satz 6 in Abschnitt 19) Beispiel (19.23) aus [F] diskutiert und damit
die Leibniz’sche Reihendarstellung von π/4 hergeleitet.
11. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
Siehe [F] Abschnitt 21 (ohne Beispiel (21.6)). Zusätzlich leiten wir noch
explizite Formeln für den Konvergenzradius von Potenzreihen her. Als Vorbereitung beweist man
Proposition 11.1 (Wurzelkriterium).
Es sei (an )n∈N eine Folge komplexer
p
n
∗
Zahlen und L := lim sup |an |. Dann gilt
P
• Falls L∗ < 1, so konvergiertP ∞
n=0 an absolut.
• Falls L∗ > 1, so divergiert ∞
n=0 an .
Beweis. Es sei L∗ < 1. Wir wählen ein q ∈ R mit L∗ < p
q < 1. Nach
der Definition von lim sup gibt es dann ein N ∈ N, so dass n |an | ≤ q für
alle n ≥ N . Dies bedeutet |an | ≤ q n für n ≥ N und die Behauptung
P∞ folgt
aus dem Majorantenkriterium und der absoluten Konvergenz von n=0 q n .
Falls L∗ > 1, so existieren unendlich viele n ∈ N, so dass |an | > 1. Daher
ist (an ) keine Nullfolge.
Satz 11.2 (Cauchy-Hadamard). Es sei (an )n∈N eine Folge
P komplexer Zahlen
n
und z0 ∈ C. Der Konvergenzradius R der Potenzreihe ∞
n=0 an (z − z0 ) ist
gegeben durch
1
R=
L
p
1
wobei L := lim sup n |an |. Hier werden die Konventionen 10 = ∞ und ∞
=0
verwendet.
Beweis. Nach dem Wurzelkriterium müssen wir den Ausdruck
p
p
L∗ = lim sup n |an (z − z0 )n | = |z − z0 | lim sup n |an | = |z − z0 | · L
ANALYSIS EINER VERÄNDERLICHEN (WS 08/09)
19
betrachten. Falls |z − z0 | < L1 , so gilt L∗ < 1 und falls |z − z0 | > L1 , so gilt
L∗ > 1. Daher folgt die Behauptung aus dem Wurzelkriterium.
P∞
existiert,
Falls für die Reihe n=0 an (z − z0 )n der Grenzwert q := an+1
an
so ist der Konvergenzradius dieser Potenzreihe gleich 1q wie man sich leicht
mit Hilfe des Quotientenkriteriums überlegt. Diese Formel zur Berechnung
des Konvergenzradius geht auf Euler zurück, ist aber im Gegensatz zur
Cauchy-Hadamard’schen Formel nicht auf alle Potenzreihen anwendbar.