Geht das hier ewig weiter?«

Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
Margret Schmassmann
»Geht das hier ewig weiter?«
Dezimalbrüche, Größen, Runden und der Stellenwert
»Geht das hier ewig weiter?«, fragt Tina, eine Schülerin im fünften Schuljahr, und
zeigt auf die Stellen rechts vom Komma. Diese Aussicht ist für Tina gar nicht erfreulich, zumal sie schon mit den Stellen links vom Komma genug Schwierigkeiten hat.
Warum gerade die Bereiche »Dezimalbrüche, Größen und Runden« vielen Schülerinnen und Schülern große Schwierigkeiten verursachen und wie sich diese äußern,
wird in den Abschnitten 1 »Schwierigkeiten aus der Sache heraus« und 2 »Schwierigkeiten aufgrund mangelnder Vorkenntnisse – Basisstoff« nachgegangen. In Abschnitt 3 »Förderhinweise« werden grundsätzliche Überlegungen zur Förderung
durch fachliche Vernetzung angestellt und konkrete Anregungen gegeben, wie das
Erarbeiten der Themenbereiche »Dezimalbrüche, Größen und Runden« in Verbindung mit dem Aufarbeiten fehlender Vorkenntnisse gestaltet werden kann. »Stellenwert« wird nicht als eigenes Thema abgehandelt, sondern als verbindendes
Element immer wieder in die Bereiche »Dezimalbrüche, Größen und Runden« eingeflochten.
1. Schwierigkeiten aus der Sache heraus
Viele Schwierigkeiten mit Dezimalbrüchen, Größen und mit dem Runden liegen
daran, dass Denkgewohnheiten, die im Umgang mit natürlichen oder ganzen Zahlen
funktioniert haben, nicht eins zu eins in den Zahlenraum der rationalen Zahlen
übernommen werden können (vgl. Tabelle 1). Die Erweiterung des Zahlenraums erfordert auch eine Erweiterung der bisherigen Denkgewohnheiten. Bisherige und erweiterte Denkgewohnheiten sowie Schwierigkeiten und Fehler, die auftreten können,
wenn diese Erweiterung nicht gelingt, können der Tabelle 1 entnommen werden.
Lehrpersonen müssen sich bei der Fehleranalyse und der Leistungsbeurteilung
bewusst sein, dass die Erweiterung der Denkgewohnheiten nicht von heute auf morgen gelingt, sondern viel Zeit und Geduld benötigt. Rückfälle sind jederzeit möglich,
insbesondere, wenn sich die Schülerinnen und Schüler noch an Rezepte klammern,
die sie in der Grundschule mit Erfolg eingesetzt haben.
Rückblick und Ausblick: In den ersten vier Schuljahren haben sich Schülerinnen
und Schüler an eine bestimmte Denkweise gewöhnt und sich zuweilen auch mit
Rezepten über Wasser gehalten, wie zum Beispiel »Nullen anhängen« oder »Nul-
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Fördernder Arithmetikunterricht in der Sekundarstufe I
Tab. 1:
Von bisherigen zu erweiterten Denkgewohnheiten
Bisherige Denkgewohnheiten
Erweiterte Denkgewohnheiten
Mögliche Schwierigkeiten
und Fehler
Eine Zahl wird im Prinzip (bis auf
Variationen wie Abstände zwischen den Ziffern) nur auf eine
Art geschrieben.
Unendlich viele Schreibweisen: Zahlen können auf unendlich viele Arten
geschrieben werden:
0,1 = 0,10 = 0,100 …
0,1 und 0,10 werden nicht als gleich
groß betrachtet.
Es gibt rechts vom Einer keine
Stellen (Ausnahme: Größenangaben).
Neue Stellen: Rechts vom Einer
kommen unendlich viele Stellen
(Ziffern) dazu.
Es bestehen Schwierigkeiten, sich
die Bedeutung von immer kleiner werdenden Einheiten vorzustellen: 0,1;
0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 usw.
»Lange« Zahlen, d. h. Zahlen mit
vielen Stellen sind größer als
»kurze« Zahlen.
Viel heißt nicht groß: Zahlen mit
vielen Stellen können kleiner, gleich
oder größer sein als
»kurze« Zahlen.
0,007 > 0,7 (statt <)
Die Reihenfolge der ganzen Einheiten von links nach rechts ist:
Verbale Spiegelung: Die Reihenfolge
der gebrochenen Einheiten von links
nach rechts ist: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel (z, h, t)
Die Stellen nach dem Komma in
0,111 werden »Hundertstel, Zehntel,
Eintel« genannt (statt Zehntel, Hundertstel, Tausendstel). Zehn Hundertstel sind ein Tausendstel (statt
ein Zehntel).
Begriffe wie »Zehner«, »Hunderter« bezeichnen dezimale Einheiten.
Mehrdeutigkeit: »Zehntel«, »Hundertstel« bezeichnen Einheiten und
Beziehungen zwischen Einheiten.
Es ist verwirrend, dass ein Hundertstel zugleich ein Zehntel (eines Zehntels) ist.
Am Zahlenstrahl sind Zahlen als
Punkte markiert, dazwischen
sind leere Strecken der Länge 1.
Volle Zwischenräume: Auf den vormals leeren Strecken der Länge 1
sind viele, ja sogar unendlich viele
neue Zahlen.
Dezimalbrüche können am Zahlenstrahl nicht richtig eingetragen werden, weil nicht einsichtig ist, warum
so viele Zahlen so eng beisammen
liegen.
Je mehr Stellen eine Zahl hat,
desto größer ist sie und desto
weiter rechts liegt sie am Zahlenstrahl.
»Implosion« statt »Explosion«:
Die Anzahl Stellen korreliert weder
mit der Größe noch mit der Position
am Zahlenstrahl: Zwischen 1 und 2
sind Zahlen mit beliebig vielen
Kommastellen anzutreffen.
Zahlen wie 1,0; 1,005; 1,1; 1,1111;
1,62; 1,9 werden nicht nach der Größe, sondern nach der Anzahl Stellen
geordnet: 1,0; 1,1; 1,9; 1,62; 1,005;
1,1111
Das Produkt zweier natürlicher
Zahlen (ohne 0) ist nicht kleiner
als jeder Faktor, der Quotient
nicht größer als der Dividend.
Ungewohnte Ergebnisse: Das Ergebnis einer Multiplikation kann
kleiner als die Faktoren sein oder
das Ergebnis einer Division größer
als der Dividend.
0,2 · 0,3 = 0,6 (statt 0,06)
Eine große Einheit, z. B. 1 kg,
kann in die kleinere umgerechnet werden (1 kg = 1 000 g),
aber nicht umgekehrt.
Es gibt keine Sonderfälle: Auch kleine Einheiten können in große umgerechnet werden (1 g = 0,001 kg).
Folgende Verwechslungen sind häufig: 1 g = 1 000 kg (statt 0,001 kg),
1 cm = 100 m (statt 0,01 m).
In erster Linie werden exakte
Ergebnisse erwartet. Runden
und Überschlagen von Ergebnissen sind häufig die Ausnahme.
Relativieren des Genauigkeitsbegriffs: Zahlen oder Größen werden
auf- oder abgerundet, entweder
nach Angaben innerhalb einer Aufgabenstellung (»auf Zentimeter genau«, »auf Tausender genau«) oder
gemäß eigener Einschätzung.
Runden und Überschlagen werden
abgelehnt, weil sie als »ungenau
arbeiten« aufgefasst und mit »falsch«
assoziiert werden.
Tausender, Hunderter, Zehner,
Einer (T, H, Z, E).
0,500 · 0,5 (statt =)
8 : 0,2 = 0,4 (statt 40)
Das Runden für Überschlagsrechnungen verunsichert, da es keine
eindeutige Regel gibt: z. B.
3,7 · 4,6 · 4 · 4,5 oder 3,5 · 5.
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
len streichen«. Sie müssen nun lernen, diese Denkgewohnheiten dort zu erweitern, wo dies erforderlich ist. Da aber die bisherigen Denkweisen in Bezug auf die
natürlichen Zahlen weiterhin gültig bleiben, ist ein hohes Maß an Entscheidungs- und Umstellungsfähigkeit nötig, um die jeweils adäquate Betrachtungsund Vorgehensweise zu erkennen.
2. Schwierigkeiten aufgrund mangelnder Vorkenntnisse – Basisstoff
Ein weiterer Grund für Schwierigkeiten im Umgang mit Dezimalbrüchen, Größen
und dem Runden liegt an mangelnden Vorkenntnissen des Basisstoffes aus den
ersten vier Schuljahren (Gaidoschik 2008; Moser Opitz 2007). Unter »Basisstoff«
werden diejenigen Lerninhalte verstanden, »von denen auf Grund von fachlichen
Überlegungen und empirischen Untersuchungen bekannt ist, dass sie für den
weiteren Lernprozess besonders wichtig sind« (Schmassmann/Moser Opitz 2008,
S. 57).
Der arithmetische Basisstoff umfasst die vier Gebiete »Zählen, Anzahlerfassung,
Zahlbeziehungen«, »Dezimalsystem, Zahlaufbau, Zahlenräume«, »Grundoperationen«, sowie »Größen und Sachrechnen«. Diese sind inhaltlich eng miteinander
vernetzt (vgl. Abschnitt 3.1: Fördern durch fachliche Vernetzung). So ist zum Beispiel das Zählen in Schritten verknüpft mit den Operationen, insbesondere der Addition und der Multiplikation und zugleich mit den dezimalen Übergängen.
Der Aufbau der Zahldarstellungen im Dezimalsystem (254 = 2 · 100 + 5 · 10 + 4 · 1)
ist additiv und multiplikativ. Die Beziehungen zwischen den dezimalen Einheiten
sind multiplikativ (ein Hunderter ist zehnmal ein Zehner, ein Einer ist der zehnte
Teil eines Zehners). Rechenoperationen können erst sicher ausgeführt werden, wenn
dieser Aufbau der Zahldarstellungen verstanden ist. Der Umgang mit Größen
wiederum ist eng verbunden mit den Beziehungen zwischen den dezimalen Einheiten, das Runden mit den Zahldarstellungen im Dezimalsystem, insbesondere
mit dem Auffinden von Nachbareinheiten. Aufgrund dieser Vernetzung können
die Elemente des Basisstoffes nicht einzeln und nicht in einer bestimmten Reihenfolge, sondern nur in Verbindung zueinander gelernt oder aufgearbeitet werden.
Da die Themen des weiterführenden Stoffes mit dem Basisstoff verknüpft sind,
haben Lücken aus den ersten vier Schuljahren gravierende Konsequenzen (vgl. Tabelle 2).
Rückblick und Ausblick: Mangelnde Vorkenntnisse im Basisstoff der ersten vier
Schuljahre beeinträchtigen den Zugang zu Dezimalbrüchen, Größen und dem
Runden erheblich, wobei die Schwierigkeiten nicht nur an mangelndem Wissen
in einzelnen Bereichen des Basisstoffes liegen, sondern in der fehlenden Vernetzung innerhalb des Basisstoffes. Die Förderung muss von zeitgemäßen fachdidaktischen Konzepten ausgehen und vernetzt geschehen.
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170
Fördernder Arithmetikunterricht in der Sekundarstufe I
Tab. 2: Basisstoff und mögliche Schwierigkeiten mit Dezimalbrüchen, Größen
und Runden
Arithmetischer Basisstoff der ersten vier
Schuljahre
Dezimalbrüche, Größen und Runden: Beispiele für Schwierigkeiten aufgrund mangelnden Basisstoffes
Zählen, Anzahlerfassung, Zahlbeziehungen,
insbesondere
Zahlwortreihe vorwärts/rückwärts, Zählen in
Schritten, Orientierung im Zahlenraum
Keine Orientierung im Zahlenraum der rationalen Zahlen. Die Übergänge beim Zählen
gelingen nicht: 0,7; 0,8; 0,9; 0,10 (statt 1,0).
multiplikative Zahlbeziehungen: zehnmal so
groß wie …, der zehnte Teil (ein Zehntel)
von …
Mangelndes Verständnis der Beziehungen
zwischen den gebrochenen Einheiten: Ein
Hundertstel ist zehnmal so groß wie ein
Zehntel (statt umgekehrt).
Dezimalsystem, Zahlaufbau, Zahlenräume,
insbesondere
Bündeln und Entbündeln: 10 kleine Einheiten 10 Hundertstel werden zu 1 Tausendstel
werden zu einer größeren umgetauscht, eine gebündelt (statt zu 1 Zehntel).
große wird in 10 kleinere umgetauscht
Zahlaufbau und Stellenwert, Zusammenhang Die Bedeutung der Stellen rechts vom Komder Einheiten, Größenvorstellung der Einhei- ma ist nicht verstanden: Die »1« in 0,1 beten, Stellentafel
deutet z. B. einen Zehner (statt ein Zehntel).
Schreibweise der ganzen Zahlen
Die Schreibweise der Dezimalbrüche ist
nicht verstanden: 0,15 wird als 15 verstanden (wegen 0,15 m = 15 cm).
Zahlen vergleichen, ordnen, Zahlenstrahl,
Nachbareinheiten (z. B. Nachbar-Zehner,
-Hunderter)
Schwierigkeiten beim Ordnen nach Größe
und Finden von Nachbareinheiten: 0,01<
0,19 < 0,02 (statt 0,1< 0,19 < 0,2 ). Das Runden beeinträchtigt: 0,19 · 0,02 (statt 0,2).
Grundoperationen, insbesondere
Multiplikation, Division, »Mal wie viel«: multiplikatives Verständnis, Beziehung zwischen
Operation und Umkehroperation, Automatismus des Einmaleins und Einsdurcheins
0,5 · 10 = 0,50 (statt 5,0), 4 : 10 »geht nicht,
weil keine Null zum Streichen da ist«. Das
Operieren mit Dezimalbrüchen gelingt nicht:
0,3 – 0,01 = 0,2 (statt 0,29), 0,2 · 0,2 = 0,4
(statt 0,04).
Größen und Sachrechnen, insbesondere
Vorkenntnisse Dezimalsystem
Der Umgang mit Größenangaben mit und
ohne Kommazahlen ist erschwert.
Größenvorstellungen: Bezugsgrößen, Alltagserfahrungen, z. B. Körpergröße
1 m 60 cm
Es können keine Bezugsgrößen mit Dezimalbrüchen aufgebaut werden wie z. B. «Der
Messbecher enthält 0,5 l« oder »Ich bin größer als 1,5 m«.
Maßeinheiten, Zusammenhang »Maßzahl –
Einheit« (beim Umrechnen in eine kleinere
Einheit wird die Maßzahl größer)
Das Umrechnen von Größenangaben mit
Dezimalbrüchen ist erschwert: 0,2 l = 0,02 dl
(statt 2 dl).
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
3.
Förderhinweise
3.1 Fördern durch fachliche Vernetzung
Schülerinnen und Schüler mit mathematischen Lernschwierigkeiten weisen meist
einen Leistungsrückstand von zwei bis vier Jahren auf und »benötigen für die Erarbeitung des Lernstoffes von einem Schuljahr zwei oder mehr Jahre« (Moser Opitz
2007, S. 53). Deshalb besteht die Gefahr, dass sich der bereits vorhandene Lernrückstand in Bezug auf den aktuellen Stoff der Sekundarstufe 1 während des Aufarbeitens noch weiter vergrößert. Die Förderung unterscheidet sich nicht grundsätzlich von einem guten Mathematikunterricht für alle Schülerinnen und Schüler. Die
besondere Herausforderung aber liegt darin, fehlenden und aktuellen Stoff aufgrund
von fachlichen Zusammenhängen so zu kombinieren, dass sich der Lernrückstand
verringern kann und der aktuelle Stoff wo immer möglich einbezogen wird.
Das Aufarbeiten muss deshalb vernetzt geschehen (Abbildung 1). Der Basisstoff
steht im Zentrum, die weiterführenden Themen sind außen angeordnet. Die Verbindungen innerhalb des Basisstoffes werden durch gestrichelte, die Bezüge zwischen Dezimalbrüchen, Größen und dem Runden durch ausgezogene Linien hervorgehoben. Einige Zusammenhänge zwischen Basisstoff und weiterführenden
Themen sind durch Linien mit Strichpunkten verdeutlicht.
Ein Beispiel: Die Förderung im Bereich »Größenangaben mit Dezimalbrüchen»
(vgl. Abschnitt 3.3: Größen und Runden) wird aufgrund dieser fachlichen Zusam-
Dezimalbrüche
Zählen,
Zahlbeziehungen
Dezimalsystem
Basisstoff
Operationen
Größen
Runden
(Dezimalbrüche)
Abb.1: Vernetzung »Basisstoff und weiterführende Themen«
Größen
(Dezimalbrüche)
171
172
Fördernder Arithmetikunterricht in der Sekundarstufe I
menhänge geplant und gestaltet. Die Gebiete »Größen« und »Dezimalsystem« aus
dem Basisstoff werden aufgegriffen und mit dem Thema »Dezimalbrüche« verknüpft. Dieses wiederum steht in unmittelbarer Verbindung zum aktuellen Thema.
(Diese Vernetzungen sind in Abbildung 1 mit Pfeilen hervorgehoben.)
Damit beim Erarbeiten eines weiterführenden Themas an vorhandenes Vorwissen der Schülerinnen und Schüler angeknüpft werden kann, muss dieses überprüft
werden. Die zu überprüfenden Gebiete aus dem Basisstoff bzw. dem Stoff der fünften Klasse sind in den Kästen am Anfang der Abschnitte 3.2 (Dezimalbrüche) und
3.3 (Größen und Runden) aufgelistet. Die Überprüfung kann im Rahmen von Unterrichtsbeobachtungen oder durch eine Lernstandserfassung geschehen. Im Weiteren wird in den Kästen angegeben, welche Aspekte des Stoffes unbedingt erarbeitet
werden müssen, damit sich die Schülerinnen und Schüler im Alltag zurechtfinden
und für weitere Themen (z. B. »Prozent«) vorbereitet sind.
Die Förderhinweise zu den Themen »Dezimalbrüche« (s. Abschnitt 3.2) und
»Größen und Runden« (s. Abschnitt 3.3) beziehen sich sowohl auf die Erarbeitung
der jeweiligen zentralen Inhalte allgemein oder speziell auf die in den Abschnitten 1
und 2 (s. Tabellen 1 und 2) beschriebenen Schwierigkeiten und Fehler, wobei Förderhinweise und Schwierigkeiten einander nicht eins zu eins zugeordnet sind. Die
für die Förderung vorgeschlagenen Übungen für die ganze Klasse sowie die Partnerund Gruppenarbeiten lassen sich in modifizierter Form auch in der Einzelförderung
einsetzen.
3.2 Dezimalbrüche
Was überprüft und allenfalls aufgearbeitet werden muss (Basisstoff):
!
Zählen in Schritten bis 10, 100, 1 000; multiplikative Zahlbeziehungen
!
Dezimalsystem: Zahlaufbau und Beziehungen zwischen den Einheiten bis zur Million,
Stellentafel, Zahlenstrahl, Nachbareinheiten
!
Operationen: Verständnis (insbesondere multiplikatives Denken), Automatismus
!
Größen
Was parallel erarbeitet werden muss (ab fünftem Schuljahr):
Brüche: Bedeutung, Ordnen, Erweitern, Kürzen
Was unbedingt erarbeitet werden muss:
Bedeutung und Schreibweise der Dezimalbrüche
!
Analogie zwischen den Beziehungen im Bereich der ganzen Einheiten und der gebrochenen Einheiten
!
Zahl mal zehn, Zahl durch zehn
!
Darstellung am Zahlenstrahl, Nachbareinheiten (z. B. Nachbar-Einer, -Zehntel) als
Grundlage für das Ordnen und Runden
!
Aufbau der Beziehung zwischen häufig verwendeten Brüchen und Dezimalbrüchen
!
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
Es gibt im Wesentlichen drei Zugänge zu den Dezimalbrüchen: von den Größen,
vom Dezimalsystem oder von den Brüchen her (Moser Opitz/Schmassmann 2007).
! Ausgangspunkt Dezimalsystem: Die Zahldarstellung natürlicher Zahlen und von
Dezimalbrüchen erfolgt an der Stellentafel. Der Zahlenstrahl wird »gefüllt«, indem zwischen je zwei natürliche Zahlen zehn neue Abschnitte eingefügt werden
(Zehntel) und in jeden dieser Abschnitte wieder zehn neue (Hundertstel) und so
weiter.
! Ausgangspunkt Brüche: Brüche sind den Schülerinnen und Schülern zumindest
in Ansätzen schon vertraut. Ein Ganzes (z. B. ein Kreis oder ein Rechteck) wird in
Bruchteile unterteilt, deren Nenner dezimale Einheiten sind. Diese Brüche heißen Dezimalbrüche und können mit Bruchstrich oder in dezimaler Schreibweise
(mit Dezimalpunkt oder -komma) geschrieben werden.
! Ausgangspunkt Größen: Größenangaben mit Komma oder Dezimalpunkt sind
den Schülerinnen und Schülern aus der Grundschule und dem Alltag vertraut
(z. B. 1,40 Euro, 0,5 m). Sie wissen meist auch, dass 0,5 m dasselbe ist wie 5 dm,
50 cm oder 500 mm, ohne die Bedeutung der Kommastellen zu verstehen. Da die
»5« je nach Maßeinheit 5 Einer, 5 Zehner oder 5 Hunderter bedeutet, werden jedoch die Stellen nach dem Komma oft als beliebig interpretiert, was zu falschem
Verständnis der Dezimalbrüche führen kann. Größenangaben mit Kommastellen
sollten deshalb in der Sekundarstufe nicht unabhängig von Dezimalbrüchen betrachtet werden.
Den »einzig richtigen« Zugang zu den Dezimalbrüchen gibt es nicht. Da Schülerinnen und Schüler mit Lernschwierigkeiten mit Brüchen oft nicht zurechtkommen,
wird im Folgenden der Einstieg über das Dezimalsystem gewählt und immer wieder mit Brüchen und Größen verknüpft. Der Einstieg über die Stellentafel (s. Abschnitt 3.2.1: Zahlaufbau an der Stellentafel und Dezimalbrüche) ist eine Möglichkeit,
Zugang zu den Dezimalbrüchen zu finden und zugleich den Stellenwert zu wiederholen. Es kann aber auch mit dem Zahlenstrahl begonnen werden (vgl. Abschnitt 3.2.2:
Darstellung von Dezimalbrüchen am Zahlenstrahl), wenn sich der Einstieg via Stellentafel für einige Schülerinnen und Schüler als zu schwierig erweisen sollte.
Um das Wissen der Schülerinnen und Schüler zu Dezimalbrüchen kennenzulernen, werden Zahlen- und Größenangaben in Komma- oder Punktschreibweise aus
Zeitungen, Zeitschriften, Werbeprospekten zusammen mit zugehörigen Bildern,
Illustrationen oder Grafiken gesammelt. Die Schülerinnen und Schüler versuchen zu
erklären (auch anhand der Bilder), was sie sich unter Angaben wie 1,5 oder 0,1 oder
156,70 m vorstellen. Es kann ein Plakat »Kommazahlen« gestaltet werden, auf das im
Verlauf des Unterrichts immer wieder Bezug genommen wird.
3.2.1 Zahlaufbau an der Stellentafel und Dezimalbrüche
Ein Plättchen wird an eine beliebige Stelle der Stellentafel (Abbildung 2) gelegt, etwa
an die Tausenderstelle. Es wird diskutiert, welchen Wert das Plättchen darstellt. In
einer zweiten Stellentafel wird eine Eins notiert. Dann wird das Plättchen bzw. die
173
174
Fördernder Arithmetikunterricht in der Sekundarstufe I
M
HT ZT T
H
Z
E
M
HT ZT T
1
•
•
H
Z
E
0
0
0
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0
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•
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1
•
•
•
•
0
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1
0
0
0
1
Abb. 2: Bedeutung und Verschiebung von Einheiten an der Stellentafel
Eins um eine Stelle nach rechts verschoben und überlegt, was diese Verschiebung
bewirkt: Die Einheit nimmt den zehnten Teil (ein Zehntel) ihres ursprünglichen
Wertes an. Aus dem Tausender wird ein Hunderter, aus dem Hunderter ein Zehner,
aus dem Zehner ein Einer.
Wie geht das weiter? Welchen Wert hat ein Plättchen bzw. die Eins nach der Verschiebung von der Einerstelle nach rechts? »Eins unter Null«, ein Eintel, ein Halbes,
ein Einer, der zehn mal halbiert ist, ein Zehner« sind oft gehörte Antworten. Geht
man den Ablauf von links her nochmals durch (jede Einheit wird durch zehn geteilt,
um die nächst kleinere zu erhalten), ist es folgerichtig, dass auch der Einer durch
zehn geteilt wird. Wie heißt dieses Teilstück? Die Frage nach der Benennung muss
noch geklärt werden.
Hierfür muss eventuell ein Ausflug in das Thema »Brüche« zwischengeschoben
werden: Brüche am Kreis-, am Rechteck- und am Streckenmodell darstellen, benennen und ordnen: 1 : 2 = 12 = ein halb bzw. »ein Zweitel«, 1 : 4 = 14 = ein Viertel,
1 = ein Zehntel. Das Plättchen rechts des Einers ist daher ein »Zehntel«
1 : 10 = 10
(z). Die Fortsetzung zu den Hundertsteln (h) und Tausendsteln (t) verläuft analog
(s. Abbildung 2).
Die Namen der Einheiten rechts vom Komma beziehen sich immer auf den
1 des Einers ist. Man braucht folglich
Einer: Ein Hundertstel heißt so, weil es 100
100 Hundertstel, um sie in einen Einer umzutauschen. Was den Umgang mit den
Begriffen »Zehntel«, »Hundertstel«, »Tausendstel« so komplex macht, ist die Tatsache, dass sie nicht nur für die jeweilige dezimale Einheit benützt werden, sondern auch
für die Beziehung zwischen den Einheiten: ein Hundertstel ist auch ein Zehntel, nämlich ein Zehntel eines Zehntels, ein Einer ist ein Tausendstel eines Tausenders.
Jede Einheit hat links eine Nachbareinheit, die zehnmal so groß ist, und rechts
eine, die der zehnte Teil (ein Zehntel) ihres Wertes ist. Tinas Vorahnung »Geht das
hier ewig weiter?« ist eingetroffen: Es geht tatsächlich immer weiter, bis in alle Ewigkeit. Aber das macht Tina nun weniger Angst, weil das Prinzip der Dezimalbrüche
für sie fassbar geworden ist.
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
In der formalen Schreibweise muss die Grenze zwischen den ganzen und den gebrochenen Einheiten mit einem Punkt oder Komma markiert werden, sonst würde
die Zahl für ein Zehntel »01«, also »1« heißen. Ein Zehntel wird als »0,1«, ein Hundertstel als »0,01«, ein Tausendstel als »0,001« geschrieben. Der Einer ist zugleich ein
Eintel und liegt im Zentrum der »Spiegelung«: »1 000« hat drei Nullen, ein Tausendstel hat ebenfalls 3 Nullen, wenn die Null an der Einerstelle mitgezählt wird:
»0,001«.
Partnerübung »Plättchen in die Stellentafel werfen«: Eine Schülerin wirft ein bis
fünf Plättchen in eine Stellentafel (Abbildung 3). Ein Schüler schreibt die entstandene Zahl auf und spricht sie, zum Beispiel »2 Hunderter, 1 Zehntel und 2 Tausendstel« oder zweihundert Komma eins null zwei«. Rollentausch.
M
HT
ZT
T
H
Z
E
••
•••
z
h
•
•
••
•
•••
t
Zahl
••
200,102
3001,02
2,3
Abb. 3: Plättchen legen, Zahlen schreiben
Übung »Dezimalbruch-Memory«: Einige Zahlen werden jeweils in Ziffernschreibweise, mit Punkten in der Stellentafel, in Kurzschreibweise (z. B. 3 001,01 = 3T
+ 0H + 0Z +1E + 0z + 1h oder 2,3 = 2E + 3z) auf Karten dargestellt. Die Karten
werden verdeckt aufgelegt und zusammengehörende Karten werden gesucht.
Übung »Zahl mal zehn, Zahl durch zehn«: Eine Zahl (z. B. 1 234 wird an der Stellentafel mit Plättchen gelegt. Die Plättchen jeder Stelle werden jeweils um einen
Platz nach rechts verschoben (Abbildung 4). Es entsteht eine neue Zahldarstellung.
Mit dieser wird gleich verfahren. Statt einzelne Plättchen zu verwenden können
Punkte oder Ziffern auf einen transparenten Folienstreifen gezeichnet bzw. geschrieben werden. Dieser wird in die Stellentafel gelegt und kann leicht hin- und
hergeschoben werden.
Es wird diskutiert, was mit dem Wert der Zahl bei der Verschiebung der Plättchen oder Ziffern um eine Stelle nach rechts passiert ist. Der Wert der jeweils neuen
Zahl ist der zehnte Teil (ein Zehntel) des vorhergehenden Wertes. Analog wird die
Verschiebung nach links diskutiert und beschrieben: Die jeweils neue Zahl ist zehnmal so groß wie die ursprüngliche Zahl.
Nun kann experimentiert werden: Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie um
zwei Stellen nach links bzw. rechts verschiebt? Eine oft gehörte Antwort ist: »Sie ist
20-mal so groß geworden« bzw. »Sie ist der zwanzigste Teil«. Die Begründung lautet:
»Die Zahl ist zuerst zehnmal so groß geworden und dann wieder zehnmal so groß.
Zusammen 20-mal«. Das additive Denken überlagert hier das multiplikative, wobei
auch die sprachliche Ausdruckweise dazu beiträgt (»zehnmal und wieder zehnmal
ist 20-mal«). Bei Fehlern dieser Art muss das Ergebnis mit der ursprünglichen Zahl
175
176
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M
M
HT
HT
ZT
ZT
T
H
Z
E
•
••
•••
••••
•
••
•••
••••
•
••
•••
••••
•
••
•••
T
H
Z
1
z
h
t
Zahl
1234
123,4
12,34
••••
E
z
h
t
1
2
3
4
2
3
4
1,234
Zahl
1,234
12,34
Abb. 4: Plättchen bzw. Ziffern verschieben
in Beziehung gebracht werden: »Aus den Einern sind Hunderter geworden, das ist
hundertmal so viel«, »Aus den Hundertsteln sind Einer geworden, das ist auch hundertmal so viel«.
Bei Schwierigkeiten mit den Dezimalbrüchen können die geschilderten Übungen
zuerst nur mit natürlichen Zahlen ausgeführt werden. Zudem können Tätigkeiten
wie das Bündeln und Entbündeln, das Multiplizieren einer Einheit bzw. einer Zahl
mit zehn und das Dividieren durch zehn mit Rechengeld veranschaulicht werden.
Weitere Übungen und Spiele an der Stellentafel: Additionen und Subtraktionen
im Bereich der Dezimalbrüche können gelegt und durch Bündeln und Entbündeln
gelöst werden: 3,75 ± 0,1; 1 – 0,1; 1 – 0,01. Ebenso können Spiele wie »Zahlen raten«
an der Stellentafel im Rahmen von »Dezimalzahlen an der Stellentafel verändern«
eingesetzt werden (Hengartner/Hirt/Wälti 2006).
3.2.2 Darstellung von Dezimalbrüchen am Zahlenstrahl
An der Wandtafel wird ein Zahlenstrahl von 0 bis 10 gezeichnet. Die Abschnitte
werden markiert und angeschrieben. Wo befinden sich die Dezimalbrüche auf diesem Zahlenstrahl? Gemäß dem Streckenmodell werden Brüche als Bruchteile der
Strecke 1 dargestellt. Hat die Strecke von 0 bis 1 die Länge 1 dm, so gilt: 12 ent1 entspricht 1 cm, 2 entspricht 2 cm. Nun können zwischen die
spricht 5 cm, 10
10
Zahlen 0 und 1, 1 und 2, 2 und 3 usw. jeweils zehn Abschnitte gezeichnet werden,
wobei jeder einem Zehntel entspricht.
Damit diese neuen kleinen Abschnitte besser zu sehen sind, werden alle Strecken
zwischen je zwei ganzen Zahlen von 0 bis 10 »unter die Lupe genommen«: Sie werden in Partnerarbeit auf ein Flipchartpapier mit großen Karos gezeichnet und jeweils in zehn Abschnitte geteilt. Diese neuen Abschnitte werden markiert und angeschrieben von 0,0 bis 1,0; von 1,0 bis 2,0; von 2,0 bis 3,0; von 4,0 bis 5,0 usw.
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
Abb. 5: Dezimalbrüche am Zahlenstrahl
Übung »Zahl zeigen, Zahl suchen«: Eine Schülerin zeigt auf eine Zahl auf ihrem
Stück Flipchartpapier, zum Beispiel auf 0,3 oder auf 4,7. Ein Schüler sucht den ungefähren Ort auf dem ursprünglichen Zahlenstrahl von 0 bis 10 an der Wandtafel.
Umkehrung: Ein Schüler zeigt auf einen Ort auf dem Zahlenstrahl an der Wandtafel
(z. B. ungefähr 6,5). Die beiden Schülerinnen, die den Abschnitt des Zahlenstrahls
von 6,0 bis 7,0 gestaltet haben, zeigen auf die Markierung und nennen die ungefähre
Zahl (6,5).
Schließlich werden alle Flipchartpapiere leicht überlappend am Boden ausgelegt
oder am Gang an die Wand geheftet. Der ursprüngliche Zahlenstrahl auf der Wandtafel von 0 bis 10 ist nun »unter der Lupe« so vergrößert worden, dass die Zehntel
sichtbar werden. Hier kann die Übung »Zahl zeigen, Zahl suchen« wiederholt werden.
Es kann auch der ungefähre Platz von Zahlen wie 6,35 oder 0,01 gezeigt werden.
Analog zur Einteilung von Einern in Zehntel werden Zehntel bzw. Hundertstel
»unter die Lupe genommen« und in Hundertstel bzw. Tausendstel eingeteilt. Zahlen
wie 6,35 oder 0,001 haben nun auch einen genauen Ort auf dem Zahlenstrahl mit
der entsprechenden Einteilung. Es wird dadurch auch einsichtig, dass es beim Ordnen von Dezimalbrüchen nicht auf die Anzahl Kommastellen ankommt, sondern
(wie auch im Bereich der ganzen Zahlen) auf die am weitesten links liegenden signifikanten Stellen (Ziffer ≠ 0): 0,1 > 0,09; 0,0058 < 0,04.
3.2.3 Nachbareinheiten
Das Auffinden von Nachbareinheiten ist wichtig für die Orientierung im Zahlenraum, für das Schätzen, Runden und Überschlagen (vgl. Abschnitt 3.3.4: Runden
von Zahlen und Größenangaben, Überschlagen). Unter »Nachbareinheiten« einer
Zahl versteht man die jeweils nächst größere oder nächst kleinere »runde« Einheit.
Die Nachbareinheiten von 1 128 sind 1 120 und 1 130, 1 200 und 1 300, 1 000 und
2 000. Im Bereich der Dezimalbrüche geht es um Nachbar-Einer, -Zehntel und
-Hundertstel.
177
178
Fördernder Arithmetikunterricht in der Sekundarstufe I
Übung »Nachbareinheiten«: Es werden einige Zahlen, zum Beispiel 4,6; 0,63 und
2,846 in eine Tabelle geschrieben (Abbildung 6). Die beiden Nachbar-Einer werden
am vergrößerten Zahlenstrahl gesucht (s. Abschnitt 3.2.2) und in die Tabelle in den
entsprechenden Spalten eingetragen. Das Ergebnis kann am vergrößerten Zahlenstrahl kontrolliert werden. Analog wird die Übung für Nachbar-Hundertstel und
Zehntel durchgeführt. Umkehrung: Nachbar-Einer, -Zehntel oder -Hundertstel werden eingetragen, eine dazwischen liegende Zahl wird in die Tabelle eingetragen. Falls
die Schülerinnen und Schüler Mühe mit den Nachbareinheiten im Bereich der Dezimalbrüche haben, muss zunächst das Auffinden von Nachbareinheiten im Bereich
der ganzen Zahlen geübt werden.
kleinerer
NachbarEiner
kleineres
NachbarZehntel
kleineres
NachbarHundertstel
4
Zahl
größeres
NachbarHundertstel
größeres
NachbarZehntel
4,6
0
0,6
2
2,8
5
0,63
2,84
2,846
größerer
NachbarEiner
2,85
0,7
1
2,9
3
Abb. 6: Tabelle für Nachbar-Einer, -Zehntel und -Hundertstel
3.2.4 Darstellungsvarianten für Dezimalbrüche
Zusätzlich zur Darstellung an der Stellentafel werden noch andere Veranschaulichungen ausprobiert und erkundet. Die Schülerinnen und Schüler überlegen sich,
wie sie eine Zahl noch darstellen können. Hierfür werden verschiedene Materialien
und Arbeitsmittel zur Verfügung gestellt (Abbildung 7). Weitere Möglichkeiten sind
zum Beispiel die Darstellung mit Kreisscheiben (Kreismodell für Brüche) und das
Markieren von 2,3 am Zahlenstrahl.
Schülerinnen oder Schüler, die noch vermehrt Übungen im Bereich der natürlichen Zahlen brauchen, können Zahlen an der Stellentafel, am Hunderter- oder
Tausenderfeld, am Zahlenstrahl, an der Hundertertafel oder im Tausenderbuch darstellen (Schmassmann/Moser Opitz 2008, S. 80).
Wenn die Schülerinnen und Schüler mit den Materialien vertraut sind, kann die
Gruppenarbeit »Wir stellen eine Zahl dar« durchgeführt werden. Die Materialien
(s. Abbildung 7) werden an verschiedenen Arbeitsplätzen auf einem Tisch ausgelegt.
An jeden Platz setzt sich eine Schülerin oder ein Schüler. In der Mitte des Tisches
liegen verdeckt Karten mit Dezimalbrüchen wie 0,5 oder 6,7. Eine Schülerin oder ein
Schüler deckt eine Karte auf. Jede Schülerin, jeder Schüler stellt nun diese Zahl mit
dem jeweiligen Arbeitsmaterial dar. Die Ergebnisse werden verglichen. Wo ist die
Zahl rasch zu erkennen? Welche Vorteile oder Nachteile hat eine bestimmte Darstellung? Gibt es noch weitere Möglichkeiten? In der nächsten Runde wandern alle
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
Material
Darstellung von 2,3
Einer: Plastilinkugel, Zehntel: Kugel in zehn Teile
teilen
Flächenmodell für Brüche
Einer: Papierrechteck, Zehntel: Zehntelstreifen
Stellenwertkarten zum Übereinanderlegen:
2
1
Karten für Einer
3
Karten für Zehntel (doppelt so lang wie für Einer)
Fortsetzung: Karten für Hundertstel (dreimal so
lang wie für Einer) und für Tausendstel (viermal
so lang wie für Einer)
0
,1
0
2
0 ,3
,2
0
,3
!
2 0 ,3
Abb. 7: Darstellungsvarianten für 2,3
einen Platz weiter. Eine neue Karte wird aufgedeckt. Am Ende einer Runde kann ein
Foto mit allen Darstellungsvarianten gemacht und im Klassenzimmer aufgehängt
werden.
3.2.5 Verknüpfung von Brüchen und Dezimalbrüchen
Dezimalbrüche sind Brüche mit den Nennern 10, 100, 1 000 usw. Für die Verknüpfung von Bruch und Dezimalbruch sind Vorkenntnisse über Brüche wie Bedeutung
(Zahl, Operation), Ordnen, Erweitern und Kürzen nötig. Soll ein Bruch (z. B. 15 ) als
Dezimalbruch geschrieben werden, muss er in Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel umgewandelt werden. Dies kann im Prinzip auf zwei Arten geschehen: Durch
2 = 0,2) oder durch Division ( 1 = 1 : 5 = 0,2). In diesem ZuErweitern ( 15 = 10
5
1 auf 10 bzw. 100 erweitert werden
sammenhang muss geklärt werden dass 10
1000
100
kann und folglich ein Dezimalbruch wie 0,750 auf verschiedene Arten interpretiert
werden kann: zum Beispiel »7 Zehntel und 5 Hundertstel« oder »75 Zehntel« oder
»750 Tausendstel«.
Als Wiederholung des Basisstoffes und Vorübung kann es für einige Schülerinnen und Schüler nötig sein, 100 bzw. 1 000 in zwei, vier, fünf, (acht), zehn Teile am
Hundert- bzw. Tausendpunktefeld zu teilen. Auch das Zählen in Schritten ist eine
wichtige Vorbereitung für den Aufbau der Beziehung zwischen Brüchen und Dezimalbrüchen. Schülerinnen und Schüler, welche in zwei, fünf und zehn Schritten bis
10, 100 und 1 000, in vier Schritten bis 100 und 1 000 und in acht Schritten bis 1 000
zählen können, sind mit den wichtigen »Stationen« vertraut (2, 5, 10, 20, 25, 50, 75,
100, 125, 250, 500, 750 usw.). Diese Stationen sind bei häufig verwendeten Dezimal-
179
180
Fördernder Arithmetikunterricht in der Sekundarstufe I
5 = 0,5; 1 = 2 = 0,2; 1 = 25 =
brüchen wieder anzutreffen: zum Beispiel 12 = 10
5
10
4
100
125
1
0,25; 8 = 1000 = 0,125.
Übung »Brüche in Dezimalbrüche umwandeln«: Brüche wie 12 , 14 , 18 auf den
vergrößerten Zahlenstrahlen (vgl. Abschnitt 3.2.2) von 0 bis 1 suchen und übersetzen: 12 sind fünf Zehnteleinteilungen, also 0,5; 14 sind 25 Hundertsteleinteilungen,
75
also 0,25; 34 sind 3 · 0,25 = 0,75. Die Umkehrung geschieht via Kürzen: 0,75 = 100
3
3
1
= 4 . Zur Kontrolle kann mit der Bezugsgröße 2 = 0,5 verglichen werden: 4 ist
größer als 12 , daher muss auch der zugehörige Dezimalbruch größer als 0,5 sein.
Auch der Taschenrechner kann für die Beziehung »Bruch – Dezimalbruch« als Kontrollinstrument eingesetzt werden, indem die entsprechende Division eingetippt
wird (3 : 4 = 0,75).
Dieselbe Übung kann auf das Übersetzen von Größenangaben mit Brüchen
750
in Größenangaben mit Dezimalbrüchen übertragen werden: 34 t = 750 kg = 1000
t = 0,750 t.
3.3 Größen und Runden
Was überprüft und allenfalls aufgearbeitet werden muss (Basisstoff):
!
Dezimalsystem: Zahlaufbau und Beziehungen zwischen den Einheiten bis zur
Million, Stellentafel, Zahlenstrahl, Nachbareinheiten
!
Operationen: Verständnis (insbesondere multiplikatives Verständnis), Zahl mal und
durch zehn
!
Größen: Maßeinheiten und deren Beziehung zueinander (kilo, hekto, dezi, centi, milli)
Was parallel erarbeitet werden muss (ab fünftem Schuljahr):
Bedeutung von Brüchen und Dezimalbrüchen (ab fünftem Schuljahr, Dezimalbrüche
vgl. Abschnitt 3.2)
Was unbedingt erarbeitet werden muss:
!
Größenvorstellung und Bezugsgrößen aufbauen, schätzen, runden
!
Analogie zwischen den Beziehungen im Bereich der ganzen Einheiten und der
gebrochenen Einheiten
!
Beziehungen zwischen den Maßeinheiten kennen, Analogien nutzen (z. B.
Kilometer und Kilogramm, Zentimeter und Zentiliter)
!
Größen umrechnen (z. B. Kilogramm in Gramm und umgekehrt)
!
Gängige Größenangaben in Bruchform mit anderen Schreibweisen verknüpfen:
1 m = 50 cm = 0,50 m)
2
3.3.1 Größen und Dezimalsystem
Die Einheiten der Längen-, Hohl-, Gewichtsmaße basieren auf dem Dezimalsystem.
Dieses muss daher sowohl im Bereich der natürlichen wie der nicht negativen rationalen Zahlen (vgl. Abschnitt 3.2) immer wieder eingeflochten werden.
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
Vorkenntnisse von Größenangaben mit Kommazahlen können ihrerseits dazu beitragen, Dezimalbrüche zu verstehen, wenn die beiden Bereiche immer wieder verknüpft werden: Die 5 in 0,5 km, in 0,5 m bzw. in 0,5 cm bedeutet immer 5 Zehntel
der jeweiligen Einheit, auch wenn die Größen jeweils als 500 m, 50 cm oder 5 mm
angegeben werden können. In diesem Zusammenhang soll auch besprochen und
notiert werden, dass die Wörter für die Vorsätze »kilo« für tausend, »hekto« für
hundert, »dezi« für Zehntel, »zenti« für Hundertstel und »milli« für Tausendstel
stehen und aus dem Griechischen und Lateinischen kommen. Die Einteilungen in
Millimeter, Zentimeter und Dezimeter auf Maßbändern visualisieren Tausendstel,
Hundertstel und Zehntel und tragen zugleich zur Verbindung von Größen und Dezimalbrüchen bei.
Der Umgang mit Größen erfordert auch die Fähigkeit, Skalen zu lesen. Schülerinnen und Schüler mit Lernschwierigkeiten verstehen die Bedeutung der verschiedenen Striche und Symbole zum Beispiel an einem Messbecher oder an einem Maßband nicht. Wichtig ist daher, dass zuerst anhand des Zahlenstrahls das Lesen einer
Skala erarbeitet wird (vgl. Abschnitt 3.2.2).
3.3.2 Größenvorstellungen und Beziehung »Einheit – Maßzahl«
Parallel zum Umgang mit konventionellen Maßeinheiten brauchen insbesondere
Schülerinnen und Schüler mit Lernschwierigkeiten immer wieder Gelegenheiten,
Größen miteinander zu vergleichen: Was ist schwerer, kürzer, höher, hat weniger
Inhalt? Solche Handlungen und Situationen werden aber mathematisch erst dann
bedeutsam, wenn sie mit den Begriffen »Maßeinheit«, »Maßzahl«, »Skala« in Verbindung gebracht werden können und wenn die Schülerinnen und Schüler dabei
individuelle Bezugsgrößen (»Stützpunktvorstellungen«) aufbauen.
1 cm = 10 mm • Fingernagelbreite, Höhe eines üblichen Spielwürfels
1 km = 1 000 m • die Strecke von … nach …
3 dl • Inhalt meiner Lieblingstasse
Eine Sammlung von individuellen Bezugsgrößen kann auf einem Plakat dargestellt
und gemeinsam besprochen werden. Vergleiche, Messhandlungen und Stützpunktvorstellungen sollen den Aufbau von Größenvorstellungen und das Rechnen mit
Maßeinheiten ständig begleiten. Beim Auslegen einer Länge mit Meter- bzw. Dezimeterstäben oder beim Füllen eines Litergefäßes mit kleinen bzw. großen Gläsern
wird die Beziehung »Einheit – Maßzahl« deutlich erlebt: Je kleiner die Einheit, desto
größer die Maßzahl.
3.3.3 Stellentafel für Größen
Gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern wird eine Stellentafel für Größen
entwickelt (Abbildung 8). Diese besteht aus vier Zeilen für die Größenbereiche der
181
182
Fördernder Arithmetikunterricht in der Sekundarstufe I
km
t
2
–
Ztr. (Zenter)**
ha
–
!
zehn Cent
Cent
dm
cm
–
dm
1
0
8
km
hundert m
zehn m
m
3
0
0
5
–
a
–
m
kg
2
mm
2
–
–
dag (Deka)*
g
–
–
mg
hl
zehn l
l
dl
cl
ml
* Österreich, ** Schweiz
Abb. 8: Stellentafel für Größen
Geldwerte, Längen, Gewichte, Rauminhalte (Volumina) sowie Leerzeilen zum Eintragen von Maßzahlen und zehn Spalten für die Einheiten. Zunächst werden nur die
Einheiten Euro, Meter, Kilogramm und Liter in eine Spalte eingetragen. Nun werden
die anderen gebräuchlichen Einheiten besprochen und eingetragen, wobei die links
stehenden Einheiten jeweils durch Multiplikation mit zehn, die rechts stehenden
Einheiten durch Division durch zehn entstehen. Wenn die Einheiten im deutschen
keine Namen haben, wird entweder ein Strich eingetragen oder die Maßzahl in Worten angegeben (»zehn m«).
Ist die Stellentafel fertig ausgefüllt, wird nach Analogien gesucht: zum Beispiel
Dezimeter und Deziliter, Zentimeter und Zentiliter, Kilogramm und Kilometer. Einheiten mit dem gleichen Vorsatz haben jeweils die gleiche Beziehung zu einander:
zum Beispiel 1 cm = 10 mm, 1 cl = 10 ml.
Jede Schülerin, jeder Schüler stellt eine persönliche Stellentafel her, die für das
Umrechnen von Größen in eine Klarsichtmappe gelegt wird. Mit wasserlöslichem
Filzstift wird eine Größe, zum Beispiel 3 km 5 m, stellengerecht eintragen, wobei die
leeren Stellen mit Nullen beschriftet werden. Umrechnungen können abgelesen wer2
2
2
2
den: 3 km 5 m = 3 005 m = 3,005 km; 1 m 8 dm = 108 dm = 1,08 m (s. Abbildung
8). Das Ergebnis soll aber nicht nur abgelesen, sondern jeweils kontrolliert werden:
Beim Umrechnen in eine kleinere Einheit muss die Maßzahl größer werden und
umgekehrt (Moser Opitz/Schmassmann 2007).
Beim Umrechnen von Größen müssen die Abstände zwischen den Einheiten besonders beachtet werden: So liegen Kilogramm und Gramm, Meter und Zentimeter
nicht nebeneinander, was zu häufigen Fehlern führt: 1 kg = 10 g, 1 m = 10 cm
oder 1 cm = 0,1 m. Trägt man die Maßzahlen in die Stellentafel für Größen ein, so
werden diese Abstände deutlich und es ergibt sich: 1 kg = 1 000 g, 1 m = 100 cm,
1 cm = 0,01 m.
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
–
hl
–
l
dl
cl
ml
–
–
–
1
1
m
0
3
0
0
dm
3
cm
3
mm
3
Abb. 9: Hohlmaße und Kubikmaße
Die Stellentafel kann mit den Maßeinheiten für Fläche und für Volumen erweitert
3
werden. Ausgehend von der Definition »1 l = 1 dm « verdeutlicht die Verknüpfung
3
von Hohlmaßen und Kubikmaßen (Abbildung 9) Beziehungen wie 1 m = 1 000
3
3
dm = 1 000 l, 1 ml = 1 cm .
3.3.4 Runden von Zahlen und Größenangaben, Überschlagen
Meistens sind im Alltag innerhalb eines Sachkontextes Längen, Gewichte, Rauminhalte jeweils in derselben Einheit angegeben: Das Gewicht von Lastwagen in Tonnen,
von Paketen in Kilogramm, von Briefen in Gramm, Maße von Möbeln in Zentimetern, von Bilderrahmen in Millimetern. Innerhalb eines Kontextes muss nur dann
umgerechnet werden, wenn zum Beispiel ein Schreiner (Schreiner messen prinzipiell
in Millimetern) ein Möbel nachbaut, dessen Maße in Zentimetern angegeben sind.
Ungeachtet dessen wird im Unterricht viel Zeit für das Umwandeln von Größen
aufgewendet. Wichtiger ist das Erarbeiten von Stützpunktvorstellungen, das Schätzen, Runden, Überschlagen sowie der Umgang mit dem Taschenrechner.
Runden von Zahlen und Größen erfordert den Verzicht auf Genauigkeit zugunsten von Größenordnungen. Dies fällt Schülerinnen und Schülern mit Lernschwierigkeiten schwer, da sie häufig im Detail verhaftet bleiben und Mühe haben, das Wesentliche zu erkennen (Schmassmann/Moser Opitz 2009).
Runden erfolgt nach einer vorgegebenen Regel: Wenn die Ziffer rechts der Rundungsstelle 0, 1, 2, 3 oder 4 heißt, wird abgerundet, wenn sie 5, 6, 7, 8 oder 9 heißt,
wird aufgerundet. Das Überschlagen ist ein Rechnen mit gerundeten Zahlen, um
Größenordnung des Ergebnisses abschätzen zu können (Moser Opitz 2007). Voraussetzung für das Runden ist die Kenntnis des Zahlaufbaus im Dezimalsystem, insbesondere das Finden der größeren und kleineren Nachbareinheiten einer Zahl (vgl.
Abschnitt 3.2.3).
Soll eine Zahl, zum Beispiel 2,846, auf Hundertstel, Zehntel oder Einer genau gerundet werden, werden zuerst die beiden Nachbar-Hundertstel, -Zehntel oder -Einer
gesucht und anschließend wird gemäß Rundungsregel auf- oder abgerundet. Die gerundeten Zahlen sind 2,85 sowie 2,8 und 3 (vgl. Abbildung 10).
Das Runden kann an Ausschnitten des Zahlenstrahls verdeutlicht werden (Abbildung 11). Die Nachbar-Zehntel und -Einer sind eingetragen, die auf Zehntel gerundete Zahl ist 2,8, die auf Einer gerundete ist 3.
183
184
Fördernder Arithmetikunterricht in der Sekundarstufe I
kleinerer
Einer
kleineres
NachbarZehntel
kleineres
Zahl
NachbarHundertstel
größeres
NachbarHundertstel
größeres
NachbarZehntel
größerer
NachbarEiner
2
2,8
2,84
2,85
2,9
3
2,846
Abb. 10: Nachbareinheiten und Runden
2,846
2,8
2
2,9
3
Abb. 11: Runden am Zahlenstrahl
Für das Runden von Größenangaben muss zunächst das Schätzen geübt werden,
wobei die Schülerinnen und Schülern die geschätzten Längen, Gewichte, Rauminhalte in eine Tabelle eintragen und mit der gemessenen Größe vergleichen. Zudem
ist die Kenntnis der Maßeinheiten und ihrer Beziehungen eine Voraussetzung. Soll
eine Größenangabe wie 2,846 m auf Zentimeter, Dezimeter oder Meter genau gerundet werden, so wird gleich vorgegangen wie beim Runden von Zahlen. Runden
auf Zentimeter bedeutet in Bezug auf die Einheit »Meter« dasselbe wie Runden auf
Hundertstel, Runden auf Dezimeter dasselbe wie Runden auf Zehntel und Runden
auf Meter dasselbe wie Runden auf Einer. Die gerundeten Ergebnisse von 2,846 m
sind: 2,85 gerundet auf cm bzw. 2,8 gerundet auf dm oder 3 gerundet auf m.
Weitere Übungen zum Basisstoff der ersten vier Schuljahre und zu »Dezimalbrüche, Größen und Runden«:
!
!
!
!
!
Wittmann, E. Ch./Müller, G. N. (2006): Kartei »Blitzrechnen 3. Basiskurs Zahlen«.
Stuttgart: Ernst Klett. Übungen: »1 000 teilen«, »Mal 10/durch 10«
Wittmann, E. Ch./Müller, G. N. (2007): Kartei »Blitzrechnen 4. Basiskurs Zahlen.
Stuttgart: Ernst Klett. Übungen: »Stufenzahlen teilen«, »In Schritten zählen«,
»Stelleneinmaleins«
Wittmann, E. Ch./Müller, G. N. (2007): Karteien »Sachrechnen im Kopf 1/2 und 3/4,
Basiskurs Größen«. Leipzig: Klett Grundschulverlag. Alle Übungen zu »Größen«.
Wittmann, E. Ch./Müller, G. N. (2007): CD-ROM Blitzrechnen Teil 1 und 2. Stuttgart:
Ernst Klett.
Affolter, W./Wieland, G. (2007): CD-ROM Rechentraining – Kopfrechnen ab 6.
Schuljahr. Zug: Klett und Balmer. Übungen: »Brüche – Dezimalbrüche – Prozente«,
»Schätzen –überschlagen«.
Schmassmann: »Geht das hier ewig weiter?«
Rückblick und Ausblick: Die vernetzte Förderung im Bereich »Dezimalbrüche,
Größen und Runden« beruht auf dem Wissen um die fachlichen Zusammenhänge und erfordert Ausdauer und Durchhaltevermögen sowohl von Seiten der Lehrenden als auch der Lernenden. Sie ermöglicht es den Schülerinnen und Schülern mit Lernschwierigkeiten, ihren Lernrückstand so zu verringern, dass sie den
Anforderungen von Schule und Alltag besser gewachsen sind.
Literatur
Gaidoschik, M. (2008): »Rechenschwäche« in der Sekundarstufe: Was tun? In: Journal für Mathematikdidaktik. Zeitschrift der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, 49, 3/4, S. 287–294.
Hengartner, E./Hirt, U./Wälti, B. (2006): Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte.
Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. 1. Auflage. Zug: Klett und Balmer.
Moser Opitz, E. (2007): Rechenschwäche/Dyskalkulie. Theoretische Klärungen und empirische
Studien an betroffenen Schülerinnen und Schülern. 1. Auflage. Bern/Stuttgart/Wien: Haupt.
Moser Opitz, E./ Schmassmann, M. (20072): Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch
5+6. 1. Auflage. Zug: Klett und Balmer.
Schmassmann, M./Moser Opitz, E. (2008): Heilpädagogischer Kommentar zum Schweizer Zahlenbuch 3, 1. Auflage. Zug: Klett und Balmer.
Schmassmann, M./Moser Opitz, E. (2009): Heilpädagogischer Kommentar zum Schweizer Zahlenbuch 4. 1. Auflage. Zug: Klett und Balmer.
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