Wahrscheinlichkeitsrechnung - uni

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Der Begriff der Wahrscheinlichkeit hat schon in der antiken griechischen Philosophie eine
Rolle gespielt. Der Gedanke, das in der Natur vorkommende Gesetze sich durch eine Menge
Zufälle durchsetzen, kam erst bei den antiken griechischen Materialisten auf.
Später spielten bei der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Aufgaben der
Glücksspiele, besonders Würfelspiele eine große Rolle und sie wurde auch bei Problemen der
Versicherung und Rente verwendet.
Heutzutage hat die moderne Wissenschaft entdeckt, dass die Anschauungsweise der
Wahrscheinlichkeit die Erscheinungen des Weltalls und die meisten Vorgänge der Natur
richtig erklärt.
Ereignisse
In unserem Leben schätzen wir oft bewusst oder instiktiv die Wahrscheinlichkeit von einem
Ereignis. Jeder, der einen Lottoschein oder einen Tippmix kauft, glaubt an die Möglichkeit
des großen Gewinns. Leidenschaftliche Spieler geben ein Vermögen für Glücksspiele aus,
trotzdem bleiben sie meistens arm. Im Flugzeug haben wir Angst, aber wir steigen ganz ruhig
auf ein Fahrrad. Viele protestieren gegen Atomkraftwerke, aber rauchen täglich eine
Schachtel Zigaretten. Obwohl eine Flugzeug- oder Atomkatastrophe eine viel geringere
Wahrscheinlichkeit haben, als ein Fahrradunfall, oder das jemand wegen des Rauchens stirbt
...
Mathematik ist geeignet für die Beschreibung und Behandlung der Zufallsereignisse. Schauen
wir uns dazu erst einige Definitionen an:
Definition
Beispiel
Zufallserscheinungen, sind Erscheinungen, Falls wir eine Münze werfen, wissen wir nicht
die durch die bekannten Bedingungen nicht
im Voraus auf welche Seite sie fallen wird.
eindeutig bestimmt sind. Die Erscheinungen
haben einen Grund, aber wir können es nicht
ganz enthüllen.
Wir führen ein Zufallsexperiment durch,
Wenn wir eine Münze werfen, können wir
falls wir eine Zufallserscheinung betrachten. eine Zahl oder ein Wappen erhalten. Es kann
Ein Zufallsexperiment kann unter den
sogar vorkommen, dass sie auf die Kante fällt.
gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt
werden.
Wir müssen ganz genau bestimmen was wir
Wir können die Chance vernachlässigen, das
als Ergebnis des Experiments betrachten. Zu sie auf die Kante fällt, deshalb betrachten wir
jedem Ergebnis des Experiments soll ein
nur die zwei Fälle, bei denen wir mit der
eindeutig bestimmbarer Ausgang gehören.
Münze eine Zahl oder ein Wappen werfen als
Ergebnis des Experiments.
Grundereignis nennen wir das Ergebnis der Grundereignisse: W (Wappen)
Zufallserscheinungen. Zu jedem Ergebnis
Z (Zahl)
gehört jeweils ein Grundereignis.
Ereignismenge ist die Menge der
H= {F,I}
Grundereignisse. Bezeichnung: H
1. Beispiel
Wir würfeln mit einem Würfel und betrachten die Augenzahl. Zähle die Grundereignisse auf,
und bestimme die Ereignismenge!
Lösung
Grundereignisse: wir würfeln eine 1, eine 2, eine 3, eine 4, eine 5, eine 6.
Ereignismenge: H= {1,2,3,4,5,6}.
2. Beispiel
Wir werfen eine 5-Ft.- und eine 10-Ft.-Münze. Beschreibe die Grundereignisse und die
Ereignismenge!
Lösung
Grundereignisse:
wir werfen mit der 5-Ft.- Münze Wappen, mit der 10-Ft.-Münze Zahl,
wir werfen mit der 5-Ft.- Münze Wappen, mit der 10-Ft.-Münze
Wappen,
wir werfen mit der 5-Ft.- Münze Zahl, mit der 10-Ft.-Münze Zahl,
wir werfen mit der 5-Ft.- Münze Zahl, mit der 10-Ft.-Münze Wappen.
Zuerst die Ergebnisse der Würfe mit der 5-Ft.- Münze, dann mit der 10-Ft.-Münze
beschreibend ist die Ereignismenge: H={WW,WZ,ZW,ZZ}
Definition:
Ereignis nennen wir die Teilmengen der Ereignismenge. Ein Ereignis erfolgt,
wenn das Ergebnis des Experiments die Teilmenge des Grundereignisses ist.
(1. Abbildung)
Die Ereignisse werden mit Grossbuchstaben gekennzeichnet.
Jedes Grundereignis ist ein Ereignis.
Definition:
Sicheres Ereignis ist ein Ereignis, das zur Menge H gehört, das auf jeden Fall
erfolgt.
Bezeichnung: H.
Definition:
Unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, das zur leeren Menge gehört, das auf
keinen Fall erfolgen kann.
Bezeichnung: 
3. Beispiel
Wir würfeln im Experiment und beobachten die Augenzahl. Zählen wir die Ereignisse auf,
und schreiben wir die Grundereignisse, die sie bilden auf.
Lösung
Wir würfeln eine gerade Zahl:
A   2, 4, 6 
Wir würfeln eine ungerade Zahl:
B  1, 3, 5 
Wir würfeln eine Primzahl
C   2, 3, 5
Wir würfeln mindestens 3:
D   3, 4, 5, 6 
Wir würfeln höchstens 2:
E  1, 2 
Wir würfeln 6
F  6 
Wir würfeln höchstens 6:
G  1, 2, 3, 4, 5, 6 
Im Ereignis G kann jedes Ereignis vorkommen, so wird dieses sicherlich erfolgen.
4. Beispiel
In der Eisdiele gibt es vor Ladenschluss nur drei Eissorten: Schokolade, Vanille, Himbeere
(von denen noch viel). Ein Käufer möchte 4 Kugeln Eis, aber er überlässt dem Verkäufer,
zufällig auszuwählen welche Sorten er bekommt ( die Reihenfolge der Kugeln zählt nicht.)
Wählen wir von folgenden Ereignissen jene aus, die sicher oder unmöglich sind:
A: Er hat von jeder Sorte bekommen.
B: Er hat von einer Sorte mindestens 2 Kugeln bekommen.
C: Jede Kugel ist verschieden.
D: Er hat 2 Kugeln Schokolade bekommen.
Lösung
A: Möglich, wenn er z.B. zwei Kugeln Schokolade, eine Kugel Vanille und eine Kugel
Himbeeren bekommen hat; aber es ist nicht sicher, denn alle vier Kugeln können auch
Schokolade sein.
B: Laut den Schachtelprinzip kann er nur so von drei Sorten erhalten haben, wenn er
mindestens von einer Sorte mindestens 2 Kugeln bekommen hat, deshalb ist das ein sicheres
Ereignis.
C: 4 Kugeln können nicht verschieden sein, wenn es nur 3 Sorten gibt, das ist ein
unmögliches Ereignis.
D: Es ist möglich wenn er z.B. 2 Kugeln Schokolade und 2 Kugeln Himbeeren bekommen
hat, ist aber nicht sicher, denn alle vier Kugeln können auch Vanille sein.
Es ist möglich, das die Menge der Grundereignisse unendlich ist: z.B. wenn wir während dem
Experiment auf eine Zielscheibe schießen und die Treffer beobachten, dann ist ein Treffer in
einem bestimmten Punkt der Zielscheibe ein Grundereignis. Eine Zielscheibe hat unendlich
viele Punkte, so haben wir unendlich viele Grundereignisse.
5. Beispiel
Wir schießen einmal zufällig auf eine kreisförmige Zielscheibe, und beobachten die Stelle, wo
wir getroffen haben. Bemalen wir die entsprechenden Punktmengen der folgenden Ereignisse:
A: Wir haben eine Zehn geschossen.
B: Wir haben mindestens eine Fünf geschossen.
C: Wir haben höchstens eine Sieben geschossen.
D: Wir haben mindestens eine Drei und höchstens eine Acht geschossen.
Lösung
Die Lösung ist abzulesen von Abbildung 2.
Aufgaben
1. Bestimme in folgenden Experimenten die Grundereignisse der Ereignismenge:
A, Wir werfen drei Münzen und beobachten bei jeder, ob wir Wappen oder Zahl geworfen
haben.
B, Wir werfen eine Münze viermal nacheinander und beobachten, ob wir Wappen oder Zahl
geworfen haben.
C, Wir werfen einen weißen und einen schwarzen Würfel und beobachten die geworfenen
Augenzahlen.
D, Wir werfen einen Würfel zweimal nacheinander und beobachten die geworfenen
Augenzahlen.
E, In einer Schachtel sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Wir nehmen aus der Schachtel
nacheinander zufällig (die Reihenfolge ist wichtig) drei Kugeln so, dass wir die
herausgenommenen, nicht zurücklegen.
F, Zwischen András, Béla, Csaba und Dezső wird ein Buch und ein Stift ausgelost so, dass
einer nur ein Geschenk gewinnen kann.
G, Zwischen András, Béla, Csaba und Dezső wird ein Buch und ein Stift ausgelost so, dass
einer auch mehrere Geschenke gewinnen kann.
H, Wir werfen mit einem Würfel, bis wir eine 6 werfen.
2. Wir werfen zwei Münzen und beobachten, ob wir Wappen oder Zahl geworfen haben.
Schreibe die Grundereignisse der folgenden Ereignisse auf:
A: Wir haben genau ein Wappen geworfen.
B: Wir haben mindestens ein Wappen geworfen.
C: Wir haben höchstens ein Wappen geworfen.
3. Wir würfeln mit einem roten und einem gelben Würfel und beobachten die geworfenen
Augenzahlen. Schreibe die Grundereignisse der folgenden Ereignisse auf:
A: Wir haben mit dem roten Würfel eine Sechs geworfen.
B: Die Augenzahlen der beiden Würfeln sind gleich.
C: Die Augenzahl des roten Würfels ist das Doppelte der gelben Augenzahl.
D: Die Augenzahl des roten Würfels ist größer als die gelbe Augenzahl.
4. Wir schießen auf eine viereckförmige Zielscheibe mit 5 cm Seitenlänge und beobachten die
Stelle der Treffer. Bemale an der Zielscheibe die entsprechenden Punktmengen folgender
Ereignisse:
A: Der Treffer ist mindestens 2 cm von einer markierten Seite des Vierecks.
B: Der Treffer ist mindestens 3 cm von einer markierten Spitze des Vierecks.
C: Der Treffer ist mindestens 4 cm von der nächstgelegenen Seite des Vierecks.
D: Der Treffer ist höchstens 1 cm vom Mittelpunkt des Vierecks entfernt.
5. Wir werfen drei verschiedene Münzen. Wähle von folgenden Ereignissen jene aus, die
sicher oder unmöglich sind:
A: Die Anzahl der Wappen ist größer, als die Anzahl der Zahlen.
B: Wir haben mindestens zwei Wappen, oder mindestens zwei Zahlen geworfen.
C: Die Anzahl der Wappen ist identisch mit der Anzahl der Zahlen.
D: Wir haben mindesten einen Wappen geworfen.
E: Die Anzahl der Wappen ist ungleich der Anzahl der Zahlen.
Spiel
Zwei Spieler werfen mit einer Münze. Sie werfen solange, bis eine der Reihenfolgen WWW
oder WZW erscheint. Wenn WWW zuerst erscheint, hat der erste Spieler gewonnen, wenn
WZW erscheint, der zweite.
Das Spiel kann auch so gespielt werden, dass jeder eine dreier Reihenfolge wählt, mit der er
gewinnt.
2. Operationen mit Ereignissen
Definition: Zwei Ereignisse sind gleich, wenn bei einem beliebigen Ergebnis des
Experimentes entweder beide zutreffen, oder keines von beiden zutrifft.
1. Beispiel
Wir werfen mit einem Würfel und beobachten folgende Ereignisse:
A: Wir werfen mindestens eine Drei;
B: Wir werfen höchstens eine Drei;
C. Die geworfene Zahl ist kleiner als drei;
D: Die geworfene Zahl ist nicht größer als drei.
Wählen wir jene Ereignisse auf, die gleich sind.
Lösung
Wenn C zutrifft, dann trifft auch A zu, weil wenn die geworfene Zahl kleiner ist als drei, dann
stimmt es, dass wir höchstens eine Drei geworfen haben. Aber umgekehrt stimmt es nicht,
denn es kann vorkommen, dass A zutrifft, aber C nicht, wenn wir genau drei werfen. Also ist
A nicht gleich C.
Wir können höchstens eine drei werfen, genau in dem Fall, wenn die geworfene Zahl nicht
größer ist als 3, so A=D.
Zwischen den Mengen gibt es keine weiteren Paare, die gleich sind.
Das können wir auch so entscheiden, wenn wir die Grundereignisse des Ereignisses
aufzählen:
A  1, 2, 3 , B   3, 4, 5, 6 , C  1, 2 , D  1, 2, 3   A  D
Definition: Das Komplement des Ereignisses A ist das Ereignis, das genau dann zutrifft, wenn
A nicht zutrifft. (Abbildung 3.)
Bezeichnung: A
Das Komplement des Ereignisses A wird von den Grundereignissen der Ereignismenge
gebildet, die in A nicht enthalten sind.
Das Komplement vom Komplement eines beliebigen Ereignisses ist das ursprüngliche
Ereignis: A  A
Das Komplement des sicheren Ereignisses ist das unmögliche Ereignis.
Das Komplement des unmöglichen Ereignisses ist das sichere Ereignis.
2. Beispiel
Wir würfeln und suchen die Komplemente folgender Ereignisse:
A: Wir würfeln höchstens eine Drei.
B: Wir würfeln mindestens eine Drei.
C: Die geworfene Zahl ist kleiner als Drei.
Lösung:
A: Wir würfeln höchstens eine Drei, A={1, 2, 3}, dann ist
Komplement A: die geworfene Zahl ist größer als 3, A  { 4, 5, 6} .
B: Wir würfeln mindestens eine Drei, B={3, 4, 5, 6}, dann ist
Komplement B: die geworfene Zahl ist kleiner als 3, B  {1, 2}  C .
C: Die geworfene Zahl ist kleiner als 3, C={1, 2}, dann ist
Komplement C: die geworfene Zahl ist mindestens 3, C  {3, 4, 5, 6}  B .
Definition: Die Summe beliebiger Ereignisse A und B trifft genau dann zu, wenn A oder B
zutrifft. (Abbildung 4)
Bezeichnung: A+B
Satz: Jedes Ereignis besteht aus der Summe von Grundereignissen.
Zum Beispiel beim Würfeln:
2  4, 6    2, 4, 6   wir würfel n eine gerade Zahl  2 4 6.
Definition: Das Produkt beliebiger Ereignisse A und B trifft genau dann zu, wenn A und B
gleichzeitig zutreffen. (Abbildung 5)
Bezeichnung: A  B
Zum Beispiel beim Würfeln:
wir würfel n höchstens und mindestens eine Drei  1, 2, 3   3, 4, 5, 6   3
Definition: Beliebige Ereignisse A und B schließen einander aus, wenn sie nie gleichzeitig
zutreffen, das heißt A  B   (Abbildung 6).
Zum Beispiel beim Würfeln:
A: wir würfeln höchstens eine 2,
B: wir würfeln mindestens 4;
A  B  1, 2   4, 5, 6   
Identitäten bezüglich Operationen mit Ereignissen, die von den Mengenoperationen folgen:
Addition
Multiplikation
Kommutation
A B  B A
A B  B  A
Assoziativität
A  B  C  A  B  C 
A  B  C  A  B  C 
Distributivität
A  B  C    A  B    A  C 
A  B  C    A  B    A  C 
A A  A
A A  A
Unmögliches Ereignis
A  A
A   
Sicheres Ereignis
A H  H
A H  A
A A H
A A  
De Morganische Gesetze
A  B  A B
A B  A  B
3. Beispiel
Wir würfeln und es seien A, B, C, D folgende Ereignisse: A={wir würfeln gerade Zahlen},
B={wir würfeln höchstens eine Drei}, C={wir würfeln mindestens eine Drei}, D={wir
würfeln ungerade Zahlen}.
Definiere folgende Ereignisse: a: A+B; b: B+C; c: A+D; d: A  B ; e: B  C ; f: A  D .
Lösung
a: A+B={wir haben gerade, oder höchstens 3 gewürfelt}={ 2, 4, 6, 1, 3}={wir haben keine
Fünf gewürfelt}
A  B   2, 4, 6  1, 2, 3   1, 2, 3, 4, 6 
b: B+C={wir haben höchstens 3, oder mindestens 3 gewürfelt}={eine beliebige Zahl haben
wir gewürfelt}=sicheres Ereignis
B  C  1, 2, 3   3, 4, 5, 6   1   H . ?????????
c: A+D BEIRNI
A  D   2, 4, 6  1, 3, 5   1, 2, 3, 4, 5, 6   H .
d: A  B BEIRNI
A  B   2, 4, 6  1, 2, 3    2 .
e: B  C BEIRNI
B  C  1, 2, 3   3, 4, 5, 6    3 .
f: A  D BEIRNI
A  D   2, 4, 6  1, 3, 5   
4. Beispiel
Ein zufälliger Schuss gelangt auf eine quadratförmige Zielscheibe. Bezeichne A, B, C dass
dieser Schuss ins rot gefärbte Gebiet getroffen hat.
Zeichnen wir die folgenden Ereignisse : A+B; A+C; A  B ; B  C .
Lösung
Siehe Abbildung 7.
5. Beispiel
In einem Zimmer gibt es drei verschiedene Lampen. A ist das Ereignis, dass der Kronleuchter
durchbrennt, B ist das Ereignis, dass die Stehlampe durchbrennt, C ist das Ereignis, dass die
Leselampe durchbrennt. Schreiben wir mit den Ereignissen A, B, C folgendes auf:
a; jede Lampe brennt durch
b; keine der Lampen brennt durch
c; eine Lampe brennt durch
d; genau eine Lampe brennt durch
e; es gibt eine Lampe, die leuchtet.
Lösung
a;  jede Lampe brennt durch   A  B  C
b;  keine der Lampen brennt durch   A  B  C
eine Lampe brennt durch  
c;   entweder der Kronleucht er, oder die Stehlampe, oder die Leselampe brennt durch  
  es ist nicht wahr , daß keine der Lampen ausgegeang en ist   A  B  C  A  B  C
d; {genau eine Lampe brennt durch}=
 entweder der Kronleucht er ist durchgebra nnt, aber die beiden anderen nicht, oder die Stehlampe, aber die bei
nicht, oder die Leselampe, aber die beiden anderen nicht 
 A  BC  A  BC  A  BC.
e; {es gibt eine solche Lampe, die leuchtet}=
  entweder der Kronleucht er, oder die Stehlampe, oder die Leselampe brennt nicht durch  
 es ist nicht wahr , daß alle von den Lampen ausgegegan gen sind   A  B  C  A  B  C
Aufgaben:
1.
Gib das Komplement folgender Ereignisse an. Bestimme die Grundereignisse der
Ereignisse, und ihre Komplemente:
A: BEIRNI
B:
C:
D: wir werfen drei Münzen und es wird keine Zahl geworfen.
E: wir werfen drei Münzen, und alle drei zeigen die selbe Seite.
2.
BEIRNI
3.
BEIRNI
4.
Wir wählen aus einer Klasse zufällig einen Schüler. Seien A, B, C folgende
Ereignisse:
A: der gewählte Schüler ist ein Mädchen.
B: der gewählte Schüler lernt Englisch
C: der gewählte Schüler besucht den Chor
a; Schreibe folgende Ereignisse auf: BEIRNI
b; Bei welchen Bedingungen gilt, dass BEIRNI
5.
Wir schießen zufälliger Weise auf eine runde Zielscheibe, es seien A, B, C, D
folgende Ereignisse: A={der Schuss trifft die linke Seite der Zielscheibe}, B=={der Schuss
trifft die untere Seite der Zielscheibe}, C={der Schuss trifft die Zielscheibe links unten},
D={der Schuss trifft die Zielscheibe in einem konzentrischen Kreis mit halb so großem
Radius wie die der Zielscheibe}
6.
In einen Kreisverkehr kann man von der Meise-, Fink- oder Drossel-Straße einfahren.
Seien A, B, C, folgende Ereignisse:
A: ein Auto kommt aus der Meise-Straße
B BEIRNI
3. Zufallsexperimente, Häufigkeit, relative Häufigkeit,
Wahrscheinlichkeit
Sei ein Experiment, in dem wir würfeln und die geworfenen Augenzahlen beobachten.
Ereignis A bedeutet, wir würfeln eine Sechs. Wir wiederholen dieses Experiment 100-mal
und zählen zusammen, dass Ereignis A 15-mal zutrifft, das heißt die Häufigkeit von Ereignis
A ist 15. In 15/100=3/20 Teilen des Experimentes traf Ereignis A zu, das heißt die relative
Häufigkeit von Ereignis A ist 15/100.
Definition: Falls von n Experimenten das Ereignis A k-mal zutrifft, nennen wir k die
Häufigkeit des Ereignisses A, k/n die relative Häufigkeit von Ereignis A.
1.
Beispiel
Würfeln wir 100-mal und bestimmen wir die Häufigkeit und die relative Häufigkeit folgender
Ereignisse:
A: wir haben eine gerade Primzahl erhalten
B: wir haben eine ungerade Primzahl erhalten
C: wir haben eine Primzahl erhalten
D: die Augenzahl ist höchstens 6
Lösung
Nach dem Ergebnis der Würfe können wir die entsprechenden Häufigkeiten und relative
Häufigkeiten bestimmen:
Ergebnisse der Würfe
Augenzahl 1: 15-mal
Augenzahl 2: 17-mal
Augenzahl 3: 15-mal
Augenzahl 4: 18-mal
Augenzahl 5: 19-mal
Augenzahl 6: 16-mal
A={2} Häufigkeit: 17, relative Häufigkeit: 17/100.
B={3, 5}
Häufigkeit: 34, relative Häufigkeit: 34/100.
C={2, 3, 5} Häufigkeit: 51, relative Häufigkeit: 51/100.
D={1, 2, 3, 4, 5, 6} Häufigkeit von einem sicheren Ereignis: 100, relative Häufigkeit: 1.
Wir beobachten, dass A und B einander ausschließen: A  B   . Die Häufigkeit von
A  B  C ist gleich der Summe der Häufigkeiten von A und B , die relative Häufigkeit von
A  B ist die Summe der relativen Häufigkeit der einzelnen Glieder.
Die relative Häufigkeit kann nicht negativ sein, weil 0  k  n , und 0  n ,
k
deshalb 0   1 .
n
Ein sicheres Ereignis hat die relative Häufigkeit 1, weil ein sicheres Experiment immer
zutrifft.
Die relative Häufigkeit der Summe der ausschließenden Ereignisse ist gleich der Summe
der relativen Häufigkeiten der einzelnen Glieder.
Wir könnten viele ähnliche Experimente durchführen, und beobachten, dass die relative
Häufigkeit von einem bestimmten Ereignis um eine Zahl schwankt. Je mehr Experimente wir
durchführen, desto geringer wird diese Schwankung.
Als Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses betrachten wir die Zahl, um die
die relative Häufigkeit schwankt.
Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: P(A).
Bemerkung: Die Wahrscheinlichkeit wird nicht definiert, sondern durch Axiome bestimmt, die
auf den Eigenschaften der relativen Häufigkeit beruhen, und sich aus Erfahrungen ergeben.
Axiom I. : Falls A ein beliebiges Ereignis ist, ist P A  0
Axiom II. : PH   1
Axiom III. : Falls A und B beliebige Ereignisse sind, für die A  B   gilt, dann
P A  B  P A  PB .
2.
Beispiel
Das Problem der drei Würfel: Der Herzog von Toscana hat einen Brief an Galileo Galilei
geschrieben und das folgende Problem erwähnt. Damals wurden viele Würfelspiele gespielt
z.B. wurden 3 Würfel gleichzeitig geworfen und die Summe der Augenzahlen wurde
berechnet. Sie haben zusammengezählt, dass sie auf 6 verschiedene Weisen die 9, und ebenso
auf 6 verschiedene Weisen die 10 erhalten, nämlich:
9  1 2  6  1 3  5  1 4  4  2  2  5  2  3  4  3  3  3
10  1  3  6  1  4  5  2  2  6  2  3  5  2  4  4  3  3  4 .
Trotzdem haben sie während des Spiels erfahren, das sie die Summe 10 öfter erhalten als die
Summe 9. Warum widerspricht die Erfahrung der Rechnung?
Lösung:
Bemalen wir die Würfel rot, blau und grün. Haben wir bei der Rechnung 1, 2, 6 gewürfelt, so
haben wir das als einen einzigen Fall betrachtet. Jetzt sind die Würfel bunt, also sehen wir,
dass es nicht egal ist ob wir mit dem roten oder dem blauen Würfel eine 1 würfeln. Zählen wir
die verschiedenen Fälle zusammen, so dass wir die Farben auch betrachten. Falls wir 3
verschiedene Zahlen gewürfelt haben, hatten wir dafür 3  2  1 Möglichkeiten, mit dem roten
Würfel konnten wir noch 3, dann mit dem blauen 2, mit dem grünen 1 Augenzahl erhalten.
Falls zwei der geworfenen Augenzahlen übereinstimmen, wie z.B. 1+4+4, dann konnten wir
die 1 auf 3 verschiedenen Würfeln erhalten, deshalb bedeutet das 3 Fälle mit den bunten
Würfeln. Falls alle drei Augenzahlen gleich sind, ist das auch mit den bunten Würfeln nur 1
Fall. So ergibt sich, dass wir 25 Möglichkeiten haben eine Summe von 9 zu erhalten, und 27
die 10 zu erhalten. Die Erfahrung zeigt, dass sie öfter die 10 erhalten haben, deshalb müssen
wir die Würfel als verschieden betrachten. In Wirklichkeit sind 2 Würfel immer verschieden,
auch dann, wenn es nicht sichtbar ist.
Aufgaben
1. Führe 100 Versuche mit 2 verschiedenfarbigen Würfeln (weiß, schwarz) durch, und
betrachte die Häufigkeit und die relative Häufigkeit der folgenden Ereignisse:
A: die zwei Augenzahlen sind gleich
B: die Augenzahl auf dem schwarzen Würfel ist größer, als die auf dem weißen.
C: die Augenzahl auf dem weißen Würfel ist größer, als die auf dem schwarzen.
2. Führe einen Versuch mit zwei Münzen durch. Wirf die Münzen 100-mal
nacheinander, und betrachte die Häufigkeit und die relative Häufigkeit der folgenden
Ereignisse: die Anzahl der Wappen ist 0, 1, 2.
3. In einen Hut legen wir 4 Zettel, auf den Zetteln stehen die Zahlen 1, 2, 3, 4. Im
Versuch ziehen wir 3-mal zufällig einen Zettel aus dem Hut, schreiben die Zahl auf
und legen dann den Zettel zurück. So erhalten wir eine dreistellige Zahl. Wir
wiederholen den Versuch 30-mal und betrachten die Häufigkeit und die relative
Häufigkeit der folgenden Ereignisse:
A: die Zahl ist gerade
B: die Zahl ist durch 3 teilbar.
Was erfahren wir, wenn wir den Versuch 60-mal, 90-mal durchführen?
4. Wir würfeln mit drei verschiedenfarbigen Würfeln, wir gewinnen, falls die Summe der
Augenzahlen größer ist als 10. Wie viele Möglichkeiten haben wir zu gewinnen?
Spiel
BEIRNI
4.
Klassisches Modell der Wahrscheinlichkeit
In den Beispielen, wo die Grundereignisse die selbe Wahrscheinlichkeit haben, können
wir sehen, das die relative Häufigkeit eines Ereignis umso größer ist, je mehr
Grundereignisse das Ereignis bilden, eben deshalb wird die Wahrscheinlichkeit von einem
Ereignis umso größer, je mehr Grundereignisse das Ereignis bilden.
Das klassische Modell der Wahrscheinlichkeit können wir dann verwenden, wenn die
Ergebnismenge eines Experiments aus endlich vielen Grundereignissen besteht, die die
selbe Wahrscheinlichkeit haben.
So ist die Wahrscheinlichkeit direkt proportional zu der Anzahl der Grundereignisse, die
das Ereignis bilden:
Anzahl der Grundereig nisse die das Ereignis bilden
Die Wahrschei nlichkeit des Ereignisse s 
Anzahl aller Grundereig nisse
Bemerkung: Oben genannte Formel lässt sich von den Axiomen der Wahrscheinlichkeit
ableiten, denn bei n Grundereignissen mit der Wahrscheinlichkeit von p ist P(H)=1, denn
die Grundereignisse schließen einander paarweise aus, und H ist die Summe der
1
Grundereignisse, wegen des III. Axioms n  p  1 , so ist p  . Falls ein Ereignis A die
n
Summe k einander ausschließender Grundereignisse ist, dann ist wegen des III. Axioms
1 k
P ( A)  k   .
n n
In der Praxis sind die Bedingungen des klassischen Modells oft nicht erfüllt, deshalb
müssen wir es mit statistischen Untersuchungen überprüfen.
1. Beispiel
Wir würfeln, und betrachten die Augenzahl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir
eine Zahl größer als 2 würfeln?
Lösung:
H  1, 2, 3, 4, 5, 6 , es gibt endlich viele Grundereignisse, deren Wahrscheinlichkeit
nach Erfahrung gleich groß ist, deshalb können wir das klassische Modell verwenden um
die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Die Anzahl der Grundereignisse ist n=6, A   3, 4, 5, 6 , so ist die Anzahl der günstigen
4 2
Grundereignisse: k=4, also P A   .
6 3
2. Beispiel
Wir werfen eine Münze dreimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir
mindestens ein Wappen erhalten haben?
Lösung
Grundereignisse sind z.B.: WWW, WWZ, WZW usw. Das klassische Model können wir
verwenden, die Anzahl der Grundereignisse ist 2  2  2  8 , und die haben die selbe
Wahrscheinlichkeit.
Günstige Ereignisse sind: WWW, WWZ, WZW, ZWW, WZZ, ZWZ, ZZW, die Anzahl
7
von denen ist 7, so erhalten wir: Pmindestens ein Wappen  
8
Die günstigen Ereignisse können wir folgenderweise einfacher zusammenzählen:
insgesamt sind 8 Ereignisse, „mindestens ein Wappen“ trifft nur dann nicht zu, wenn wir
auf allen Münzen eine Zahl erhalten haben, also nur einmal. So ist die Anzahl der
günstigen Ereignisse: 8-1=7.
Die Bestimmung der Anzahl der günstigen Ereignisse war einfacher, als wir das
Komplement betrachtet haben, das kann bei mehreren Aufgaben vorteilhaft sein:
P  A  1  P A .


Bemerkung: P A  1  P A gilt nicht nur bei einem klassischen Modell, denn für
beliebige Eigenschaften stimmt, dass A  A  H und A  A   , wegen des II. und
III. Axioms 1  PH   P A  A  P A  P A .
3. Beispiel
Wir würfeln mit einem gelben und einem roten Würfel, und berechnen die Augensumme.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Summe 7 ist?
Lösung
Veranschaulichen wir die Ergebnisse mit einem Quadrat, indem wir es in sechs gleich
große Teile sowohl horizontal als auch vertikal aufteilen. Die einzelnen Spalten sollen
bedeuten, dass wir mit dem gelben Würfel eine 1, 2, 3, 4, 5, 6 gewürfelt haben, und die
Zeilen, dass wir mit dem roten Würfel eine 1, 2, 3, 4, 5, 6 gewürfelt haben. So können wir
36 verschiedene Zahlpaare erhalten, also ist die Anzahl der Grundereignisse gleich 36.
In Abbildung 8 haben wir die Augensummen eingeschrieben, so können wir einfach
ablesen, dass wir auf 6 verschiedene Weisen die Sieben erhalten. Also ist die
6 1
 .
Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 : P7  
36 6
Alle anderen Augensummen haben eine geringere Wahrscheinlichkeit:
2
3
4
1
P2  P12 
; P3  P11 
; P4   P10  
; P5  P9  
;
36
36
36
36
5
P6   P8 
.
36
Wir können beobachten, dass die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 genau so groß
ist wie eine bestimmte Zahl zwischen 1 und 6 zu würfeln. Was kann der Grund dafür sein?



Mit dem ersten Würfel können wir eine beliebige Zahl würfeln und dann haben wir nur
noch eine Möglichkeit mit dem zweiten Wurf die Augensumme 7 zu erhalten:
1 6  2  5  3  4  4  3  5  2  6 1  7 .
Die Wahrscheinlichkeit mit dem zweiten Wurf genau die entsprechende Zahl zu erhalten
1
ist: .
6
4. Beispiel
Andras hat einen schwarzen und einen grünen Hut. In den schwarzen Hut hat er 5 rote und
6 blaue Kugeln, in den grünen 3 rote, und 4 blaue Kugeln gelegt. Bela hat ebenso einen
schwarzen und einen grünen Hut. In den schwarzen Hut hat er 6 rote, 3 blaue Kugeln, in
den grünen hat er 9 rote, und 5 blaue Kugeln gelegt. Sie haben festgestellt, dass die
Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen beim schwarzen Hut größer ist. Was
erfahren wir, wenn wir die Kugeln der beiden schwarzen und die der beiden grünen Hüte
vermischen?
Lösung
Andras zieht aus dem schwarzen Hut mit
5
3
, aus dem grünen mit
Wahrscheinlichkeit
11
7
5 3
 , also kann er von dem schwarzen Hut mit einer höheren
11 7
Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel erhalten. (Abbildung 9.)
6 2
9
Bela zieht aus dem schwarzen Hut mit  , aus dem grünen mit
14
9 3
2 9
Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel,  , also kann er von dem schwarzen Hut mit
3 14
einer höheren Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel erhalten.
Falls sie die Kugeln vermischen, dann sind im schwarzen Hut 11+9=20 Kugeln, davon
11
5+6=11 rote, so wird die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu erhalten
.
20
Im grünen werden insgesamt 7+14=21 Kugeln sein, von denen 3+9 rot sind, so ist die
12
Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu erhalten
.
21
11 12
 , ist nach dem Vermischen eine rote Kugel zu erhalten wahrscheinlicher bei
Da
20 21
dem grünen Hut als beim schwarzen.
Diese Merkwürdigkeit, dass das einzelne Ziehen einer roten Kugel aus den schwarzen
Hüten eine größere Wahrscheinlichkeit hatte, aber nachdem die Kugeln vermischt
wurden, es beim grünen größer wurde, nennen wir Simpsonisches- Paradox.
eine rote Kugel,
Aufgaben
1. Wir würfeln einmal. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
A: wir haben eine gerade Primzahl gewürfelt
B: wir haben eine ungerade Primzahl gewürfelt
C: wir haben eine Primzahl gewürfelt
D: die Zahl ist höchstens 6.
2. Wirf zwei Münzen und suche die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: die
Anzahl der Wappen ist 0, 1, 2.
3. Legen wir 4 Zettel in einen Hut, auf denen die Zahlen 1, 2, 3, 4 stehen. Sei unser
Experiment, dass wir mit Zurücklegen der Zettel 3-mal nacheinander von dem Hut
ziehen und die Zahlen aufschreiben. So erhalten wir eine dreistellige Zahl. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: die dreistellige Zahl ist gerade
B: die dreistellige Zahl ist durch drei teilbar?
4. Welches Ereignis hat eine größere Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln mindestens eine
1 zu würfeln, oder mit 4 Würfeln mindestens zwei 2-er zu würfeln?
5. Wir ziehen zufällig eine Karte aus einem ungarischen Kartenspiel mit 32 Karten.
Seien A, B, C, D folgende Ereignisse:
A: die gezogene Karte ist Rot,
B: die gezogene Karte ist eine Sieben,
C: die gezogene Karte ist ein König oder ein As,
D: die gezogene Karte ist Eichel, oder Grün, oder Schellen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse?
Zählen wir die folgenden Ereignisse auf und bestimmen wir ihre
Wahrscheinlichkeiten: A  B; A  B; A  C; A  D; C  D; C  D; A  C; B  C; B  C .
6. Auf einem Parkplatz gibt es acht benachbarte Plätze. Jeden Tag um 8 Uhr stehen 4
Autos auf je einem Platz. Ein Bus bringt Leute von einem Ausflug und kann nur dann
parken, wenn vier Parkplätze nebeneinander frei sind. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass der Bus parken kann, wenn die Autos mit gleicher
Wahrscheinlichkeit die einzelnen Parkplätze wählen?
7. In einer Klasse gibt es 15 Jungen, die klatschen. Einer erzählt eine Geschichte einem
anderen, und dieser erzählt es weiter an einen Dritten. Der Dritte weiß nicht, von wem
der Zweite die Geschichte gehört hat und erzählt es einem Jungen weiter. Jeder Junge
wählt mit gleicher Wahrscheinlichkeit denjenigen aus, dem er die Geschichte erzählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Geschichte 10-mal so weitergeben,
dass es keinem Jungen zweimal erzählt wird?
8. In einem Spiel ist es die Aufgabe eine 6 zu würfeln. Wir können wählen, ob wir mit
einem Standardwürfel werfen und die geworfene Augenzahl betrachten, oder mit zwei
Würfeln werfen, und die Augensumme nehmen. Welche Variante sollen wir wählen,
um mit größerer Wahrscheinlichkeit eine 6 zu bekommen?
9. Wir nehmen zwei Würfeln und bemalen von einem die Seite 1, und vom anderen die
Seite 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir mit den zwei Würfeln eine
Augensumme 7 erhalten?
10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir mit zwei Würfeln mindestens 4-mal
würfeln müssen um zuerst die Augensumme 7 zu erhalten?
11. Was ist am wahrscheinlichsten, wenn wir mit zwei regelmäßigen (von 1 bis 8
nummeriert) „Wurfoktaedern“ würfeln? (Die Wahrscheinlichkeit einzelne Zahlen zu
werfen ist bei beiden Oktaedern gleich.)
12. In einer Schachtel sind 7 Kugeln, nummeriert von 1 bis 7. Ohne die Kugeln
zurückzulegen, ziehen wir die Kugeln nacheinander heraus. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass wir zuerst die ungeraden Zahlen gezogen haben?
13. In einem Becher sind 10, von 1 bis 10 nummerierte Kugeln. Jancsi zieht zufällig eine
dieser Kugeln. Danach zieht Juliska eine andere Kugel aus dem Becher. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der beiden Zahlen eine gerade Zahl ergibt?
14.