Stochastik 2 - KIT - Fakultät für Mathematik

Institut für Stochastik
Universität Karlsruhe
Prof. Dr. N. Bäuerle
Dipl.-Math. oec. A. Mundt
WS 2006/07
Blatt 0
Übungen zur Vorlesung
Stochastik 2
Beispielaufgaben
Hinweis: Zu diesem Aufgaben werden in der Regel keine getippten Lösungen zur Verfügung gestellt,
sie werden aber in den Hörsaalübungen ausführlich besprochen.
1. Übung, 25.10.2006
Aufgabe B1 (keine Abgabe)
Sei Ω eine nicht-leere Menge. Zeigen Sie, dass das Mengensystem A definiert durch
A := {A ⊂ Ω | A abzählbar oder Ac abzählbar}
dann eine σ−Algebra ist.
Aufgabe B2 (keine Abgabe)
Es sei A eine σ-Algebra und für jedes k ∈ N sei Ak ∈ A. Zeigen Sie, dass dann für alle n ∈ N auch
die folgenden Mengen Elemente von A sind:
n
[
k=1
Ak ,
n
\
k=1
Ak und
∞
\
Ak .
k=n
Aufgabe B3 (keine Abgabe)
Sei Ω = R. Existiert der Grenzwert der folgenden Mengenfolgen? Bestimmen Sie diesen gegebenenfalls!
(a) An := (−n, n), n ∈ N, (b) Bn := (−1/n, 1/n), n ∈ N.
Aufgabe B4 (keine Abgabe)
Sei Ω = R. Bestimmen Sie Limes Superior und Limes Inferior der folgenden Mengenfolge:
An :=
(
[1, 1 + 1/n),
n gerade,
(−1 − 1/n, −1], n ungerade.
Aufgabe B5 (keine Abgabe)
P
Es sei {An } eine Folge von Ereignissen aus A mit der Eigenschaft ∞
n=1 P (An ) < ∞. Zeigen Sie,
dass dann P (lim supn→∞ An ) = 0 gilt.
2. Übung, 8.11.2006
Aufgabe B6 ()
Zeigen Sie, daß die durch f (x) = x−1 · sin x, (x > 0, f (0) := 1) definierte Funktion f nicht Lebesgue–
integrierbar über R≥0 ist.
Aufgabe B7 ()
Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und f, f1 , f2 , . . . : Ω → R messbare Funktionen mit f, f1 , f2 , . . . ≥ 0.
Zeigen Sie:
Z X
∞
∞ Z
X
fn dµ =
fn dµ.
n=1
Aufgabe B8 ()
Sei (Ω, A, µ) = (R, B, λ) und fn = n · 1(0,
n=1
1
)
n2
.
(a) Berechnen Sie f := limn→∞ fn .
R
(b) Berechnen Sie limn→∞ fn dµ auf direktem Weg.
(c) Zeigen Sie ohne Berechnung des Integrals, dass limn→∞
R
fn dµ =
R
f dµ = 0.
3. Übung, 15.11.2006
Aufgabe B9 (nicht behandelt)
P
+
Zeigem Sie für µ := ∞
n=1 µn und f ∈ E
Z
f dµ =
∞ Z
X
f dµn .
n=1
Aufgabe B10 ()
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Zufallsvariable mit V ar(X) = 0. Zeigen Sie,
dass X P -f.s. gleich ihrem Erwartungswert ist. Was gilt für die Umkehrung?
Aufgabe B11 (nicht behandelt)
Es gelte limn→∞ fn = f µ-f.ü.. Existiert dann eine µ-integrierbare Funktion g : Ω → R mit der
Eigenschaft, dass für alle n ∈ N
|fn | ≤ g µ-f.ü.
gilt, so folgt
lim
n→∞
Z
fn dµ =
Z
f dµ.
Aufgabe B12 ()
Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Weisen Sie in Teil (a)–(c) ν ≪ µ nach. Geben Sie jeweils eine Radon–
Nikodym–Dichte f von ν bzgl. µ an.
(a) (Ω, A) beliebig, µ ein beliebiges Maß auf A, A0 ∈ A fest, ν(A) := µ(A ∩ A0 ) (A ∈ A).
(b) (Ω, A) := (N, P(N)), P und Q beliebige Wahrscheinlichkeitsmaße auf P(N), µ := P + Q,
ν := P .
(c) (Ω, A) beliebig, λ ein σ–endliches Maß auf A, P und Q Wahrscheinlichkeitsmaße auf A mit
Dichten f bzw. g bzgl. λ (P = f λ, Q = gλ), µ := P + Q, ν := P .
4. Übung, 22.11.2006
Aufgabe B13 ()
Zeigen Sie: Ist in der Situation von Aufgabe 15 (Ω, A, µ) = (R, B, λ) und sind f, g stetig, so gilt
f (x) = g(x) für alle x ∈ R.
Aufgabe B14 (nicht behandelt)
Es sei X eine Zufallsvariable mit der λ–Dichte
fα (x) :=
x−(α+1)
· 1[1,∞)(x)
α
(α > 0).
(a) Zeigen Sie: E|X|p < ∞ ⇐⇒ p < α.
(b) Konstruieren Sie eine Zufallsvariable Y mit der Eigenschaft E|Y |p = ∞ für jedes p > 0.
Aufgabe B15 ()
Es sei X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Zeigen Sie Lyapunovs
Ungleichung:
1
1
(E|X|s ) s ≤ E|X|t t ,
0 < s < t.
Aufgabe B16 ()
Es seien (Ωj , Aj ) Messräume und Mj ⊂ Aj mit σ(Mj ) = Aj (j = 1, . . . , n). In Mj existiere
eine Folge (Mjk )k≥1 mit Mjk ↑ Ωj bei k → ∞. πj : Ω1 × · · · × Ωn → Ωj bezeichne die j–te
Projektionsabbildung und
M1 × · · · × Mn := {M1 × · · · × Mn : Mj ∈ Mj (j = 1, . . . , n)}
das System aller „meßbaren Rechtecke mit Seiten aus M1 , . . . , Mn “. Zeigen Sie (s. Beispiel 3.1 aus
der Vorlesung):


n
[
(a) M1 × · · · × Mn ⊂ σ  {πj−1 (Mj ) | Mj ∈ Mj }.
j=1
(b)
n
[
{πj−1 (Mj ) | Mj ∈ Mj } ⊂ σ(M1 × · · · × Mn ).
j=1
(c)
n
O
j=1
Aj = σ(M1 × · · · × Mn ).
Man vergleiche auch mit Beispielaufgabe B18 aus Stochastik 1.
5. Übung, 29.11.2006
Aufgabe B17 ()
Seien (Ωj , Aj , µj ) σ-endliche Maßräume und fj : Ωj → R nichtnegative (Aj ,B)–messbare Funktion,
j = 1, . . . , n, n ≥ 2. Weiter sei νj das durch
Z
νj (Aj ) =
fj dµj , Aj ∈ Aj ,
Aj
definierte Maß auf Aj , j = 1, ..., n. Zeigen Sie:
n
N
(a) Das Produktmaß
νj ist eindeutig definiert.
j=1
(b) Die Funktion
f : Ω1 × · · · × Ωn → R,
ist eine Dichte von
n
N
νj bezüglich
j=1
n
N
f (ω1 , . . . , ωn ) :=
n
Y
fj (ωj )
j=1
µj .
j=1
Aufgabe B18 ()
Es sei (ai,j )i,j∈N eine Doppelfolge reeller Zahlen mit
(⋆)
∞
X
i,j=1
|ai,j | < ∞.
Zeigen Sie mit maßtheoretischen Hilfsmitteln, dass dann
∞ X
∞
X
i=1 j=1
ai,j =
∞ X
∞
X
ai,j
j=1 i=1
gilt. Ist die Bedingung (⋆) überflüssig?
Aufgabe B19 (nicht behandelt)
Sei (Ω1 , F1 , P1 ) Wahrscheinlichkeitsraum, f : (Ω1 , F1 ) → (R, B) eine messbare Funktion mit f ≥ 0
und λ das Lebesgue-Maß. Die Menge A sei definiert durch
A := {(x1 , x2 ) ∈ Ω1 × R | 0 ≤ x2 ≤ f (x1 )}.
Zeigen Sie:
Z
und
f ∈ L1 (Ω1 , F1 , P1 )
f dP1 = (P1 ⊗ λ)(A)
⇐⇒
1A ∈ L1 (Ω1 × R, F1 ⊗ B, P1 ⊗ λ).
Hinweis: Sie können die Gültigkeit des Satzes von Fubini für σ-endliche Maße voraussetzen.
Aufgabe B20 ()
Berechnen Sie den Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariable mit der Darstellungsformel für den Erwartungswert.
Aufgabe B21 ()
Es seien X1 , X2 , . . . stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit stetigen Verteilungsfunktionen
F1 , F2 , . . . . Zeigen Sie:


[
P  {Xj = Xk } = 0.
j6=k
6. Übung, 6.12.2006
Aufgabe B22 ()
Es seien X, Y unabhängig, X ∼ U(−1, 1), Y ∼ Exp(λ). Weiter seien
V :=
π π √
√
Y · cos
X , W := Y · sin
X .
2
2
Bestimmen Sie eine gemeinsame Dichte von V und W .
Aufgabe B23 ()
Die Cauchy-Verteilung ist das Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R, B) mit der Lebesgue-Dichte
f : R → R,
f (x) :=
1
.
π(1 + x2 )
Im R2 wird auf der Linie {(1, y) : y ∈ R} ein zufälliger Punkt (1, Y ) so gewählt, dass die Verbindungslinie zum Koordinatenursprung (0, 0) mit der x-Achse einen auf dem Intervall (− π2 , π2 )
gleichverteilten Winkel einschließt. Zeigen Sie, dass Y Cauchy-verteilt ist.
7. Übung, 13.12.2006
Aufgabe B24 ()
Es seien X, X1 , X2 , ... Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) und h : R → R Borel–messbar mit der Eigenschaft P (X ∈ {x : h nicht stetig in x}) = 0. Zeigen Sie, dass dann gilt:
f.s.
f.s.
Xn −→ X ⇒ h(Xn ) −→ h(X).
Aufgabe B25 ()
Es sei (Xn )n∈N eine Folge von unabhängigen, mit Parameter λ > 0 exponentialverteilten Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass der Limes superior der Folge (Xn / log n)n∈N mit Wahrscheinlichkeit 1 den
Wert 1/λ hat.
Aufgabe B26 ()
Es sei (Xn )n≥1 eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P )
(a) Es gelte EX1+ = ∞ und EX1− < ∞. Zeigen Sie:
n
1X
Xj
n
j=1
f.s.
−→ ∞ .
(b) Es gelte 0 < σ 2 := V (X1 ) < ∞ und es seien
n
1X
Xi
X̄n :=
n
und
i=1
Zeigen Sie, dass
Sn2
fast sicher gegen
n
Sn2
1 X
:=
(Xi − X̄n )2 .
n−1
i=1
σ2
konvergiert.
Aufgabe B27 ()
(a) Aus Stochastik 1 ist bekannt, dass für zwei unabhängige mit Parameter 1 exponentialverteilte
Zufallsvariablen X und Y die Differenz X − Y die Dichte
1
f : R → R,
f (x) = e−|x| ,
2
hat. Bestimmen Sie die zugehörige charakteristische Funktion. Man nennt diese Verteilung
auch die zweiseitige Exponentialverteilung oder Laplace-Verteilung
(b) Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion zu einer Cauchy-verteilten Zufallsgröße gegeben
wird durch ϕ(θ) = exp(−|θ|), θ ∈ R.
(c) Die Zufallsvariablen X1 , ..., Xn seien unabhängig und Cauchy-verteilt. Bestimmen Sie die VerPn
teilung des Mittelwerts X̄n := n1
i=1 Xi .
8. Übung, 20.12.2006
Aufgabe B28 ()
Es seien Yn , n ∈ N, unabhängige, auf {0, 1, . . . , 9} gleichverteilte Zufallsvariablen sowie Y eine auf
[0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Ferner sei
Xn :=
n
X
k=1
Yk · 10−k ,
n ∈ N.
(a) Berechnen Sie die charakteristischen Funktionen von Y, Xn und Yn für n ∈ N.
d
(b) Zeigen Sie Xn −→ Y .
(c) Zeigen Sie, dass Xn → X P -f.s. für eine auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable X gilt.
Aufgabe B29 ()
√
d
Es seien Z, X1 , X2 , ... Zufallsvariablen mit der Eigenschaft n(Xn − a) −→ Z, wobei a ∈ R eine
Konstante ist. Weiter sei φ : R → R Borel-messbar und in a differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann
d
√
n φ(Xn ) − φ(a) −→ φ′ (a) · Z
gilt.
9. Übung, 9.1.2007
Aufgabe B30 ()
Für eine Folge X1 , X2 , . . . stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit
0 < σ 2 := V ar(X1 ) und EX14 < ∞ sei
Sn2 :=
n
X
1
·
(Xj − X n )2
n−1
j=1
n
die sog. Stichprobenvarianz, wobei X n
1X
:=
Xj . Es sei ferner τ 2 := E (X1 − µ)4 − σ 4 > 0,
n
j=1
wobei µ := EX1 ist. Zeigen Sie
√
d
n · Sn2 − σ 2 −→ N 0, τ 2 .
Aufgabe B31 ()
∞
P
(Xn )n≥1 sei eine unabhängige Folge von Indikatorvariablen. Zeigen Sie, dass aus
V ar(Xn ) = ∞
n=1
die Gültigkeit des Zentralen Grenzwertsatzes folgt.
Aufgabe B32 ()
Für jedes n ∈ N seien Xn1 , ..., Xnrn unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ωn , An , Pn ). Wir setzen voraus, dass |Xnk | ≤ Mn für alle n ∈ N, k = 1, ..., rn mit Konstanten
Pn
Mn ∈ R gilt; s2n := rk=1
V ar(Xnk ).
Zeigen Sie, dass
rn
1 X
d
(Xnk − EXnk ) −→ Z, Z ∼ N (0, 1)
sn
k=1
gilt, wenn die Bedingung Mn = o(sn ) erfüllt ist.
10. Übung, 17.1.2007
Aufgabe B33 ()
Es sei X = (X1 , . . . , Xd )T ein d–dimensionaler Zufallsvektor. ϕX bzw. ϕXj bezeichne die charakteristische Funktion von X bzw. Xj . Zeigen Sie:
X1 , . . . , Xd unabhängig
⇐⇒
ϕX (t) =
Aufgabe B34 ()
Es seien X ∼ Nd (0, Id ) und s, t ∈ Rd . Zeigen Sie:
(a) E(sT XtT X) = sT t.
(b) E (sT X)2 (tT X)2 = ||s||2 ||t||2 + 2(sT t)2 .
d
Y
j=1
ϕXj (tj ) ∀ t = (t1 , . . . , td ) ∈ Rd .
Aufgabe B35 ()
Es seien X = (X1 , . . . , Xk )T , Y = (Y1 , . . . , Yl )T auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum
definierte Zufallsvektoren. Der Zufallsvektor X
Y besitze eine (k + l)–dimesionale Normalverteilung.
Zeigen Sie:
(a) X, Y unabhängig
⇔
Cov(Xr , Xs ) = 0 (r = 1, . . . , k, s = 1, . . . , l).
(b) Ist X = (X1 , . . . , Xd ) ∼ Nd (µ, Σ), dann gilt
X1 , . . . , Xd sind stochastisch unabhängig
⇔
Σ ist eine Diagonalmatrix.
11. Übung, 24.1.2007
Aufgabe B36 ()
Es seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X eine reelle Zufallsvariable auf Ω mit E|X| < ∞
sowie G ⊂ A eine Sub–σ–Algebra von A. Zeigen Sie:
(a) E[X G] ≤ E[|X| G] P –fast sicher.
(b) E E[X G] ≤ E|X| P –fast sicher.
Aufgabe B37 ()
Es seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, F eine Unter-σ-Algebra von A, X : Ω → R eine
Zufallsvariable mit E|X| < ∞ und schließlich Y : Ω → R eine F-messbare Abbildung, ebenfalls mit
E|Y | < ∞.
Zeigen Sie:
Z
Z
F
Y dP ≤
F
X dP ∀ F ∈ F =⇒ Y ≤ E[X|F].
Aufgabe B38 (Lemma von Fatou für bedingte Erwartungswerte)
Es seien Xn ∈ L1 (Ω, A, P ), Xn ≥ 0 (n ≥ 1) sowie G eine Sub–σ–Algebra von A. Zeigen Sie: Falls
E(lim inf n→∞ Xn ) < ∞, so gilt
h
i
E lim inf Xn | G ≤ lim inf E[Xn | G]
P –fast sicher.
n→∞
n→∞
Aufgabe B39 () 1
1
1
Es sei (Ω, A, P ) := [−1, 1], B ∩ Ω, 2 · λ |Ω sowie X(ω) := ω 2 , ω ∈ Ω. Zeigen Sie:
(a)
(i) σ(X) = {A ∈ A : A = −A}, wobei −A := {−ω : ω ∈ A} ist.
(ii) P (A) = P (−A) ∀A ∈ A.
(iii) Für A ∈ A gilt P (A | σ(X)) = ( 1A + 1−A )/2 P –fast sicher.
(b) Es sei Y (ω) := ω 4 , ω ∈ Ω. Bestimmen Sie eine Version von P (A | σ(Y )).
12. Übung, 31.1.2007
Aufgabe B40 ()
Das Wahrscheinlichkeitsmaß mit der λ–Dichte
f (t) =
tα−1
exp(−t/β) 1[0,∞) (t)
β α Γ(α)
(α, β > 0)
heißt Gamma–Verteilung mit Parametern α und β, kurz: Γ(α, β).
Es seien n ∈ N und p ∈ (0, 1). Y und Z seien Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) mit Y ∼ Γ(n, (1 − p)/p) und
P (Z = k|Y = y) =
yk
exp(−y)
k!
(k = 0, 1, . . . ).
(Poisson–Verteilung mit Parameter y). Bestimmen Sie die Verteilung von Z.
Aufgabe B41 ()
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Y1 , Y2 , . . . unabhängige und identisch verteilte
positive Zufallsvariablen hierauf. Unter welchen Voraussetzungen ist (Sn ) definiert durch
S0 := 1,
Sn :=
n
Y
Yi ,
i=1
n ∈ N,
ein Martingal/Submartingal/Supermartingal bezüglich der natürlichen Filtration?
Aufgabe B42 ()
Sei (Zn )n∈N0 ein Verzweigungsprozess, d.h.
Z0 = 1,
Zn+1 =
Zn
X
Yk,n+1
k=1
mit E|Yk,n | < ∞, Yk,n unabhängig und identisch verteilt, und Yk,n ∈ N0 für alle k, n ∈ N. Sei weiter
Zn
m := E[Yk,n ] und Fn = σ(Z0 , Z1 , . . . , Zn ). Zeigen Sie, dass m
ein (Fn )n∈N0 –Martingal ist.
n
13. Übung, 7.2.2007
Aufgabe B43 ()
Es sei (Fn )n∈N0 eine Filtration auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und τ eine Stoppzeit.
Zeigen Sie:
(1) Für n0 ∈ N0 ist min{τ, n0 } An0 –messbar.
(2) Ist σ eine weitere Stoppzeit und A ∈ Aσ , so gilt A ∩ {σ ≤ τ } ∈ Aτ .
Aufgabe B44 ()
P
Seien Y1 , Y2 , . . . i.i.d. und S0 = 0, Sn = ni=1 Yn , n ∈ N, Fn = σ(Y1 , . . . , Yn ). Es gelte EY1 < 0, so
dass limn→∞ Sn = −∞. Definiere die sogenannte Ruinwahrscheinlichkeit durch
ψ(u) := P sup Sn > u , u ≥ 0.
n∈N
(a) Sei g(r) := EerY1 , r ∈ R. Zeigen Sie, dass es höchstens zwei Lösungen der Gleichung g(r) = 1
gibt und dass für die zweite Lösung R gilt R > 0.
(b) Wir nehmen an, dass R existiert. Zeigen Sie, dass Mn := eRSn ein (Fn )n∈N0 –Martingal definiert.
(c) Sei τu := inf{n ∈ N | Sn > u} der Ruinzeitpunkt bei Anfangskapital u ≥ 0 (Stoppzeit!). Zeigen
Sie P (τu ≤ n) ≤ e−Ru für alle n ∈ N0 und folgern Sie ψ(u) ≤ e−Ru .
(d) Zeigen Sie
ψ(u) =
1
.
E[eRSτu |τu < ∞]
14. Übung, 14.2.2007
Aufgabe B45 ()
Sei X = (Xn )n=1,...,N ein (Fn )n=1,...,N –adaptierter stochastischer Prozess und Z = (Zn )n=1,...,N die
Snell-Einhüllende von X. Es gelte außerdem Xn ≥ E[Xn+1 |Fn ] für alle n = n0 , . . . , N mit einem
n0 ∈ {0, . . . , N }. Zeigen Sie, dass dann gilt
Zn = Xn ,
n = n0 , . . . , N.
Aufgabe B46 ()
Wir betrachten folgendes Würfelspiel: Ein Spieler wirft nacheinander einen fairen Würfel. Solange
er keine Eins würfelt, werden die Augenzahlen eines jeden Wurfes addiert. Bei einer Eins verliert der
Spieler seine gesamten erspielten Punkte und muss den Würfelbecher weitergeben. Maximal darf
nur T -mal gewürfelt werden. Der Spieler kann aber jederzeit aufhören und sich die erzielten Punkte
gutschreiben lassen.
Mathematisch lässt sich dieses Spiel nun wie folgt modellieren: Sei (Yn )n=1,2,...,N eine Folge von
i.i.d. Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ), wobei Yn die Augenzahl im n-ten
Pn
Qn
(n) :=
Wurf angibt. Definiere βn durch βn = 1{Yn >1} . Mit Sn :=
i=1 Yi und β
i=1 βi ist die
Gewinnfunktion nach dem n-ten Wurf damit gegeben durch
Xn :=Sn β (n) .
(a) Wann ist die Bedingung E[Xn+1 |Fn ] > Xn erfüllt? Zeigen Sie, dass es in diesem Fall optimal
ist weiterzuwürfeln.
(b) Wie lässt sich die optimale Stoppzeit τ0 des Stopproblems nun vereinfacht darstellen?
(c) Wie lautet die optimale Stoppregel für das anfangs genannte Würfelspiel?