Prof. Dr.-Ing. Herzig Übung Grundlagen der Elektrotechnik

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1
Aufgaben
04etu410
Inhaltsverzeichnis Teil 2
Kapitel 4: Elektromagnetische Felder
Seite
4.1
Grundlagen, Vektorprodukte
2
4.2
Elektrisches Strömungsfeld
3
4.3
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
Elektrostatisches Feld
Homogenes Feld
Inhomogenes Feld
Kondensatorschaltungen
Kraft und Energie
10
10
13
17
19
4.4
Magnetisches Feld
20
4.4.1.
4.4.2.
4.4.3.
4.4.4
4.4.5
4.4.6
Feldstärke, Durchflutungsgesetz
Fluss, Flussdichte
Magnetischer Kreis
Genormte Blechschnitte nach DIN 41302
Magnetisierungskurven
Biot-Savartsches Gesetz
Kräfte, Energien
Dauermagnetkreise
20
21
22
25
26
27
28
32
4.5
Quasistationäres elektromagnetisches Feld
36
4.5.1.
4.5.2.
4.5.3.
Induktionsgesetz (Ruheinduktion)
Induktionsgesetz (Bewegungsinduktion)
Selbst- und Gegeninduktion
36
39
45
Lösungen
49
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2
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4.1 Grundlagen, Vektorprodukte
4.1.01
Gegeben ist ein ebenes, homogenes elektrisches Feld mit der Feldstärke E. Der Betrag
des Feldstärkevektors ist E = 1 kV/m. Für die Spannung zwischen zwei Punkten A und B
gilt die Beziehung:
B
UAB = ∫ E ⋅ ds
A
Berechnen Sie die Spannungen U13; U12 und U23 !
Als Integrationsweg soll dabei jeweils die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten
gewählt werden.
s13 = 6cm; s12 = 7.21cm; s23 = 4cm
ds 1
α
3
E
ds 3
1
ds 2
2
4.1.02
Gegeben ist ein räumliches, homogenes elektrisches Strömungsfeld mit der
Stromdichte J . Der Betrag des Stromdichtevektors ist J = 10 A/m2.
Berechnen Sie den Strom I durch die unter dem Winkel α = 30o in das Strömungsfeld
gelegte quadratische Fläche mit der Kantenlänge a = 10 cm! Die Lage der Fläche wird
durch den senkrecht auf der Fläche stehenden Flächenvektor A definiert.
Für die Berechnung der Stromes gilt die Beziehung: I = J ⋅ A
J − Feld
A
J
α
A
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4.1.03
Das Magnetfeld eines stromdurchflossenen geraden
Leiters kann durch Feldlinien dargestellt werden, die
als konzentrische Kreise den Leiter umwirbeln. Der
Vektor der magnetischen Feldstärke H ist dabei
tangential zu den Feldlinien gerichtet, sein Betrag H
ist entlang der Feldlinie konstant.
I
r
ds
H
Berechnen Sie für H = 32 A/m und r = 5 cm folgendes
Ringintegral: ∫ H ⋅ ds
4.1.04
Auf der Oberfläche einer Kugelvolumens mit dem Radius r wird ein radial nach außen
gerichteter Verschiebungsdichtevektor D registriert. Der Betrag des Verschiebungsdichtevektors ist D = 1.59⋅10-5 As/m2, der Radius des Kugelvolumens beträgt r = 10 cm.
Berechnen Sie das Hüllintegral:
∫ D ⋅ dA !
4.1.05
Eine Elementarladung e = 1.6⋅10-19As wird mit der Geschwindigkeit v = 1 km/s in einem
Magnetfeld der Flussdichte B = 0.5 Vs/m2 bewegt und erfährt dabei die Kraft F.
Die Vektoren der Geschwindigkeit vund der Flussdichte B haben im Betrachtungszeitpunkt den Winkel α = 30o zueinander. Die Kraft auf die Ladung wird nach folgender
Beziehung bestimmt:
F = e ⋅ ( vxB)
a)
b)
Berechnen Sie den Betrag der Kraft F!
Stellen Sie für den Betrachtungszeitpunkt die Vektoren vund B in einer Skizze dar,
und tragen Sie den Vektor der Kraft ein!
4.2 Elektrisches Strömungsfeld
4.2.01
Im Freileitungsbau werden Leitungsseile aus Aluminium verwendet, die zur Erhöhung der
Zugfestigkeit eine Stahlseele haben. Das Verhältnis der Querschnitte sei AAI /AFe = 6.
Berechnen Sie das Verhältnis der Teilströme IAL/ IFe!
κAL = 34 Sm/mm2; κFE = 10 Sm/mm2
4.2.02
Die Leitfähigkeit von Polystyrol beträgt κ = 3 ⋅ 10-14 S/cm. Eine Polystyrolplatte der Stärke
d = 2 mm ist zwischen zwei planparallele Metallplatten geklemmt.
a)
b)
Berechnen Sie die Stromdichte, wenn zwischen den Platten ein homogenes
elektrisches Feld mit E = 100 kV/cm besteht!
Berechnen Sie die Spannung zwischen den Platten!
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4.2.03
Gegeben ist ein aus drei unterschiedlichen Stoffen in Reihenschaltung
zusammengesetzter Leiter mit dem quadratischen Querschnitt A, der vom Strom I
durchflossen wird. Jeder der drei Leiterteile hat die Länge s. Das Verhältnis der
Leitfähigkeiten ist κ1 : κ 2 : κ3 = 1: 1.5 : 3
a)
b)
c)
Im Leiterteil 1 liegen die Werte E1 und S1 vor. Berechnen Sie Feldstärke und
Stromdichte in den Teilen 2 und 3!
Zeichnen Sie das Feldstärke- und das Stromdichtefeld in jedem der drei Abschnitte!
Tragen Sie die Verläufe von Feldstärke, Stromdichte, Potenzial und Spannungsfall
längs des Leiters auf! Am Leiterende ist das Potenzial ϕ = 0.
4.2.04
Gegeben sind zwei Metallplatten gleicher Größe, die sich parallel gegenüberstehen.
Zwischen den Platten befindet sich ein Elektrolyt mit der Leitfähigkeit κ = 5 ⋅ 10-2 S/cm.
In dieser Anordnung soll eine elektrische Leistung P = 1 kW umgesetzt werden.
a)
b)
c)
Berechnen Sie die Fläche der Elektroden, wenn bei einem Plattenabstand d = 30 cm
die Feldstärke E = 0.6 V/cm bestehen soll!
Berechnen Sie Strom und Spannung!
Geben Sie die Beziehung zwischen Leistungsdichte p = P/V Feldstärke und
Stromdichte allgemein an!
4.2.05
Die Stromdichte in den Wicklungen eines Transformatoren soll J = 2 A/mm2 betragen.
Berechnen Sie die in den Wicklungsdrähten herrschende Feldstärke, wenn als
Leitermaterial
a)
b)
Kupfer
Aluminium verwendet wird!
4.2.06
Berechnen Sie die elektrische Feldstärke in den Drähten einer Kupferwicklung mit dem
Drahtdurchmesser d = 1.5 mm, durch die der Strom I = 6 A fließt!
4.2.07
Gegeben ist ein elektrolytische Anordnung, bei der sich zwischen zwei planparallelen
Metallplatten der Fläche A und des Abstands d ein Elektrolyt mit der Leitfähigkeit κ
befindet.
Berechnen Sie Feldstärke, Stromdichte, Spannungsabfall und Stromstärke im
Elektrolyten, wenn eine Leistungsaufnahme der Anordnung P = 750W vorliegt!
A = 4000cm2; d = 20mm; κ = 3 ⋅ 10-2 S/cm
5
a)
b)
c)
Zeichnen Sie mittels der Methode der quadratähnlichen
Figuren ein maßstäbliches Feldbild des Stromdichtevektors in
das Feldbild der Äquipotenziallinien der Leitpapiermessung
(Seite 6).
Werten Sie das Feldbild quantitativ aus und berechnen Sie
den Strom und den Gesamtwiderstand!
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem einer Anordnung,
bei der das Trägermaterial nur den Raum zwischen den
Elektroden beim Elektrodenabstand d = 200 mm ausfüllt.
b
b
U
b
4.2.08
Auf einen schwach leitenden Träger (κ = 0.1S/cm; Länge s = 10m;
Breite d = 200mm; Stärke b = 100 m ) werden bei s/2 = 5m zwei
quadratische Metallelektroden (Kantenlänge b = 100mm) genau
gegenüber gemäß nebenstehender Skizze aufgesetzt. Über den
Elektroden fällt die Spannung U = 10V ab.
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s/2
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s
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d
4.2.09
Ein schwach leitender Hohlzylinder (κ = 88.5mS/m) der Länge s = 1m hat die Radien
ri = 80mm und ra = 160mm und trägt auf der Innen- und Außenfläche Metallbeläge.
Über die Innenfläche fließt der Strom I = 8A in den Zylinder ein.
a)
b)
Zeichnen Sie in einen maßstäblichen Querschnitt des Hohlzylinders mittels der
Methode der quadratähnlichen Figuren das Feldbild des Stromdichtevektors und des
Potenzials! Der Außenzylinder hat das Potenzial ϕ = 0.
Bestimmen Sie aus der Zeichnung die Spannung zwischen den
Elektroden sowie
zwischen der Innenelektrode und einem Punkt mit dem Abstand r = 124mm von der
Mittelachse!
4.2.10
Überprüfen Sie das Ergebnis der Aufgabe 4.2.09 durch die Berechnung von Stromdichte,
Feldstärke, Potenzial und Spannung!
4.2.11
Den Erder eines Hochspannungsmastes kann man vereinfacht als Halbkugel auffassen
(Radius re = 1m), deren Mittelpunkt auf der Erdoberfläche liegt. Bei Kurzschluss soll über
den Erder der Strom I = 100A fließen.
a) Berechnen Sie den Stromdichte- und Feldstärkeverlauf an der Erdoberfläche!
(Leitfähigkeit des Erdbodens κ = 5 ⋅ 10-4 S/cm)!
b) Berechnen Sie den Potenzialverlauf (ϕ = 0 bei r = ∞)!
c) Berechnen Sie den Erderwiderstand!
d) Die Potenzialdifferenz, die an der Erdoberfläche im Abstand s = 1 m auftritt, wird
als Schrittspannung bezeichnet. Berechnen Sie deren maximalen Wert!
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ϕ = 0V
1V
Aufgabe 4.2.08
2V
6
Aufgaben
3V
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4V
5V
Äquipotenziallinien als Ergebnis einer Leitpapiermessung
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Aufgaben
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4.2.12
Berechnen Sie für eine koaxiale Anordnung den Widerstand R zwischen Innen- und
Außenleiter, wenn das zwischen den zylindrischen Elektroden liegende Medium die
Leitfähigkeit κ besitzt! Die Radien von Innen- und Außenleiter sind ri und ra, die
Anordnung hat die Länge s.
4.2.13
In einem Hochspannung-Einleiterkabel befindet sich ein stromführender Leiter, der von
einer Isolierstoffschicht und einem metallischen Außenmantel umgeben ist. Der
Isolierstoff besitzt eine geringfügige Leitfähigkeit. Da zwischen Mantel und Leiter eine
elektrische Spannung besteht, bildet sich im Isolierstoff ein schwaches Strömungsfeld
aus.
Berechnen Sie die Stromdichte des Strömungsfeldes, wenn gegeben sind:
Strom I; Außenradius ra;; Innenradius ri ; Kabellänge s; κ des Isolierstoffs
4.2.14
Ein schwach leitender halbierter
Hohlzylinder hat die Länge s = 50mm.
Er kann auf den Flächen A und B oder
auf den Flächen C und D mit Metallbelägen
kontaktiert werden. Das Zylindermaterial hat
die Leitfähigkeit κ = 0.2 S/cm.
Berechnen Sie für beide Kontaktierungsmöglichkeiten den Strom, wenn die
Gleichspannung U = 2 V angelegt wird
D
C
A
60
200
B
4.2.15
Gegeben ist ein sehr tief in der Erde (Leitfähigkeit κ) liegender Kugelerder mit dem
Radius r1, in den der Strom I eingespeist wird.
Berechnen Sie
a) J(r) für r1 ≤ r < ∞!
b) E(r) für r1 ≤ r < ∞!
c) ϕ (r) (ϕ = 0 bei r = ∞)
d) den Erderwiderstand Rü!
4.2.16
Ein zylindrischer Metallstab (Radius r1; Länge s) wird als Erder senkrecht vollständig in
das Erdreich (Leitfähigkeit κ) eingebracht. In den Erder wird der Strom I eingespeist.
Berechnen Sie
a) J(r) für r1 ≤ r < r2!
b) E (r) für r1 ≤ r < r2!
c) ϕ (r) (ϕ = 0 bei r = r2)!
d) den Erderwiderstand für r2 = 10⋅r1, r1 = 5cm; s = 2m; κ = 5 ⋅ 10-4 S/cm!
Aufgaben
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M
κ1
20
κ2
κ3
1
4.2.17
Ein Leiter ist aus drei Materialien mit den
Leitfähigkeiten
κ1 = 1 S/cm;
κ2 = 2 S/cm;
κ3 = 4 S/cm zusammengesetzt.
Über die Metallelektroden M fließt der Strom
I = 700 mA.
a) Berechnen Sie die Teilströme und
die Spannung!
b) Zeichnen Sie maßstäbliche ebene
Feldbilder für das Potenzial und
die Stromdichte!
8
40
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M
20
20
I
4.2.18
Eine kreisförmige Scheibe (r1 = 2cm; r2 = 4cm; r3 = 6cm; s = 1 cm) ist aus zwei
unterschiedlichen Materialien mit den Leitfähigkeiten κ1 = 1 S/cm; κ2 = 2 S/cm
zusammengesetzt.
Es fließt von innen nach außen der Strom I = 360 mA.
Berechnen Sie:
U2 U1
a) Stromdichte S = f(r)
b) Feldstärke E = f(r)!
c) Potenzial ϕ = f(r)!
s
κ1 κ2
κ2 κ1
(ϕ = 0 an der äußeren Elektrode)
2r1
d) Stellen Sie S, E und ϕ als Funktion
von r im Diagramm dar!
2r2
e) Berechnen Sie die Spannungen
2r3
U1 und U2!
4.2.19
Das Bild zeigt den Schnitt eines langen
Banderders aus zwei zylindrischen
Leitern (D = 10cm; s = 5 m), die im
Abstand a = 60cm und der Tiefe
h = 10cm im Erdreich (Leitfähigkeit
κ = 0.005 S/m) eingebracht sind.
a
h
D
R
Die fiktive Gegenelektrode wird durch einen Halbzylinder mit dem Radius R = 60cm
dargestellt. In die Erderleiter wird der Strom I = 100 A eingespeist.
Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der quadratähnlichen Figuren aus einem maßstäblichen ebenen Feldbild des Erders dessen Erderwiderstand Rü! Benutzen Sie dazu das
aus einer Leitpapiermessung gewonnene Feldbild der Äquipotenziallinien auf Seite 9!
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Aufgabe 4.2.19
9
Aufgaben
Äquipotenziallinien als Ergebnis einer Leitpapiermessung
4.2.20
Eine halbzylindrische Rinne
(Länge s = 60cm; ra = 5cm) ist mit einem
Elektrolyten der Leitfähigkeit
κ = 0.6 ⋅ 10 −3 S / cm gefüllt. In ihrer Mitte
befindet sich ein Kupferdraht
(Länge s = 60 cm; ri = 0.5mm), aus dem
der Gleichstrom I = 30mA durch den
Elektrolyten zur Rinne fließt.
a)
b)
c)
d)
e)
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Berechnen Sie die Stromdichte
im Punkt P1, der sich auf einer
Äquipotenzialfläche mit dem
Radius r1 = 3cm befindet.
Uq
I
Elektrolyt
Rinne
∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼ ∼
∼ r
∼
ra ∼ 1
∼
∼∼
P1
∼ ∼∼
∼ ∼
Draht
∼ ∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼ ∼
∼ ∼∼∼
∼ ∼
∼ ∼
Bestimmen Sie Betrag und Richtung der im Punkt P1 herrschenden Feldstärke!
Berechnen Sie die Quellenspannung der Gleichspannungsquelle!
Innerhalb der Rinne wird ein halbzylindrisches Kupferdrahtnetz mit dem Radius
r2 = 2cm koaxial angeordnet. Berechnen Sie das Potenzial des Netzes!
Die Rinne hat das Potenzial ϕ = 0 .
Berechnen Sie die Energieänderung ∆W , die ein zweiwertiges negatives Ion
erfährt, dass sich vom Kupfernetz zum Draht bewegt!
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10
Aufgaben
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4.3
Elektrostatisches Feld
4.3.1
Homogenes Feld
4.3.1.01
Zwischen den Elektroden eines Plattenkondensators beträgt die Feldstärke E = 100 kV/m.
Berechnen Sie für den Plattenabstand d = 5 cm
a)
b)
den Potentialverlauf zwischen den Platten!
die Spannung zwischen den Platten!
4.3.1.02
Berechnen Sie den Plattenabstand eines Kondensators, der auf die Spannung
U = 135 V aufgeladen ist und im Dielektrikum das Feld die konstante Feldstärke
E = 8.5kV/m hat!
4.3.1.03
Zwischen zwei ebenen Elektroden befindet sich eine Schicht mit der
Durchschlagsfestigkeit Ed
a)
b)
c)
ABS (Acrylnitril-Butadien-Styrol)
PVC-hart (Polyvinylchlorid)
PP (Polyprophylen)
Ed = 40kV/mm
Ed = 35kV/mm
Ed = 80kV/mm
Berechnen Sie die Schichtdicke, die von der Spannung U = 3.8kV durchschlagen wird!
4.3.1.04
Zwischen die Elektroden (A = 250cm2) eines Plattenkondensators werden nacheinander
folgende Tafeln aus Isolierstoff gebracht
a)
b)
c)
d)
Hartgummi
Glimmer
Polystyrol (PS)
Pertinax
d = 2mm
d = 0.2mm
d = 5mm
d = 8mm
εr = 3.0
εr = 7.0
εr = 2.5
εr = 5.4
Berechnen Sie die Ladung auf den Platten bei der Spannung U = 900V zwischen den
Platten!
4.3.1.05
Zwischen zwei Schichten aus festem Isolierstoff (εr = 4) befindet sich eine dünne
Luftschicht. Die Feldstärke im Isolierstoff beträgt E = 20kV/cm, der Feldstärkevektor steht
senkrecht auf der Grenzfläche (Querschichtung).
Berechnen Sie die Feldstärke in der Luftschicht!
4.3.1.06
Ein Plattenkondensator hat folgende Abmessungen:
Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators!
A = 1m2; d = 1cm; εr = 1
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Aufgaben
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4.3.1.07
Gegeben ist eine Plattenkondensator mit quadratischen Metallplatten der Fläche
A = 25cm2 und quergeschichtetem Dielektrikum. Die relativen Dielektrizitätskonstanten
betragen εr1 = 1 und εr2 = 3, die Schichtstärken sind d1 = 4mm und d2 = 6mm. Die
Plattenspannung beträgt U = 2kV, das Feld zwischen den Platten ist homogen.
a) Berechnen Sie allgemein und für die gegebenen Zahlenwerte Verschiebungsdichte,
Ladung, Kapazität sowie die Feldstärken in den beiden Medien!
b) Berechnen und zeichnen Sie den Potenzialverlauf im geschichteten Dielekrikum im
Vergleich zu einem Kondensator mit einheitlichen Dielektrikum mit εr = 1!
c) Berechen Sie die relative Ersatzdielektrizitätskonstante eines Kondensators gleicher
Kapazität bei gleicher Plattengeometrie mit einheitlichem Dielektrikum!
4.3.1.08
Im Dielektrikum eines Plattenkondenstors (A, d, εo), der die Ladung Q trägt und dessen
Feld als homogen angenommen wird, befindet sich im Abstand x von Platte L (linke
Platte) parallel zu den Äquipotenzialflächen eine Metallfolie der Größe A.
Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators in Abhängigkeit von der Lage x der
Folie!
a)
b)
c)
Folie ist mit der Platte R (rechte Platte) leitend verbunden.
Folie ist mit der Platte L leitend verbunden.
Folie ist isoliert angeordnet.
4.3.1.09
Ein Luftdrehkondensator Cmax = 500pF; Cmin = 50pF hat eine lineare Abhängigkeit der
Kapazität vom Drehwinkel α (0° ≤ α ≤ 180°). Er wird mit einem Festkondenstor
C2 = 200pF
a) parallel
b) in Reihe geschaltet.
Berechnen Sie die Abhängigkeit der Gesamtkapazität vom Drehwinkel und stellen Sie
diese Abhängigkeit grafisch dar!
4.3.1.10
Gegeben ist ein Plattenkondensator mit planparallelen quadratischen Metallplatten
(A = 90cm2; d = 0.8mm; Dielektrikum Luft, U1 = 200V).
a)
b)
c)
Berechnen Sie Kapazität C1 und Ladung Q1 des Kondensators!
Nach Abklemmen von der Spannungsquelle wird der Kondensator vollständig mit
Glimmer (εr = 8.0) gefüllt.
Berechnen Sie jetzt Kapazität C2, Ladung Q2 und Spannung U2!
Wie ändern sich Feldstärke und Verschiebungsdichte des Feldes im Kondensator
durch das Einbringen des Glimmers?
4.3.1.11
Berechnen Sie die Kapazität eines Wickelkondensators, der zwei paraffinierte
Papierstreifen (εr = 2.2) von 0.02 mm Stärke und zwei Metallfolien von je 12m Länge und
4cm Breite enthält!
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Aufgaben
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4.3.1.12
Der aus Polypropylenfolien (εr =2.3) mit aufgedampfter Metallschicht bestehende Wickel
eines Wickelkondensators mit der Kapazität C = 2.2µF hat das Volumen V = 3.9cm3.
Berechnen Sie Fläche A und Stärke d der verwendeten Folie, wobei die aufgedampfte
Metallschicht volumenmäßig nicht berücksichtigt werden soll!
4.3.1.13
Zur Bestimmung der Stärke einer Papierbahn wird die Kapazität eines
Plattenkondensator mit der Plattenfläche A = 0.4m2 und dem Plattenabstand d1 = 1mm
gemessen, durch dessen mit Luft gefüllten Plattenzwischenraum die Papierbahn (εr = 2.3)
gezogen wird. Die Messung ergab C = 4.0 nF.
Berechnen Sie die Stärke d der Papierbahn!
4.3.1.14
U
Ein Plattenkondensator mit quadratischen Platten
(A=a2; a=10cm), dem Plattenabstand d = 3mm und
dem Dielektrikum Luft (ε0 = 8.85⋅10-12As/Vm) ist auf
die Spannung U = 12V geladen.
U2
Luft
A
Öl
a
Luft
a/3
Berechnen Sie die Kondensatorspannung U2,
wenn der geladene Kondensator bis zur Höhe h =
a/3 in Isolieröl (εr = 2.3) eingetaucht wird!
h2
4.3.1.15
Ein einfacher kapazitiver Füllstandssensor taucht in einen Tank ein.
Der Sensor besteht aus zwei parallelen Platten der
Breite b, die im Abstand s isoliert voneinander
voll
fixiert sind. Zwischen den Platten kann die
Tankflüssigkeit eindringen.
a) Bestimmen Sie die Kapazität der Anordnung
εr
bei vollem und halbgefülltem Tank!
halbvoll
s
leer
h0
h1
b)
Bestimmen Sie die maximale Kapazitätsänderung, wenn die Füllstandshöhen
ho = 1cm; h1 = 81cm; h2 = 161cm sind. Die
Elektrodenbreite ist b = 5cm; der Elektrodenabstand s = 5mm; die relative Dielektrizitätszahl der Flüssigkeit εr = 5.
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4.3.2 Inhomogenes Feld
4.3.2.01
In Abhängigkeit vom Weg x ändert sich das elektrische Potenzial nach der Gleichung
c
ϕ( x ) =
x
a) Berechnen Sie den Feldstärkeverlauf E(x)!
b) Welcher Ladungsanordnung entspricht der berechnete Feldstärkeverlauf?
4.3.2.02
Die Kapazität einer Kugel mit dem Radius R gegen eine sehr weit entfernte konzentrische
Kugelschale ist C = 4π ⋅ ε0 ⋅ R .
Berechnen Sie die Feldstärke an der Kugeloberfläche, wenn die Spannung U zwischen
Kugel und Gegenelektrode gegeben ist!
4.3.2.03
Auf einer Metallkugel mit dem Radius R = 5cm ist die Ladungsmenge Q = 5 ⋅ 10-9 As
gleichmäßig verteilt.
Berechnen Sie die Verschiebungsdichte an der Kugeloberfläche!
4.3.2.04
a) Berechnen Sie die Kapazität eines Kugelkondensators, der aus zwei konzentrischen
Metallkugeln mit den Radien ri und ra besteht und leiten Sie daraus die Kapazität
einer frei in Luft hängenden Metallkugel mit demRadius R = 10 cm ab!
b) Wie groß muss der Radius der Gegenelektrode mindesten sein, damit die Kapazität
gegenüber einer Kugelschale mit ra = ∞ nicht mehr als 10% abweicht?
4.3.2.05
Der Raum zwischen den Elektroden eines Zylinderkondensators (ra = 8.0mm; l = 4.0 cm)
ist mit einem Dielektrikum (εr = 75) gefüllt.
Berechnen Sie den Radius ri der Innenelektrode, damit der Kondensator die Kapazität
C = 0.25nF hat!
4.3.2.06
Ein Hochspannung (U = 63.5kV) führender Leiter (r1 = 1cm) wird koaxial durch ein
geerdetes Rohr (r4 = 4cm, s = 0.2m) geführt. Der Zwischenraum ist gefüllt
a)
b)
mit isotropem Dielektrikum (εr = 3).
mit geschichtetem Dielektrikum εr1 = 3 von r1 bis r2; εr2 = 2 von r2 bis r3;
εr3 = 1 von r3 bis r4; r2 = 2cm; r3 = 3cm.
Berechnen Sie für beide Fälle Feldstärke- und Potenzialverlauf zwischen Leiter und Rohr!
4.3.2.07
Berechnen Sie die Kapazität einer s = 10m langen luftisolierten Koaxialleitung,
deren Innenleiter den Durchmesser di = 4mm und deren Außenleiter den
Innendurchmesser da = 16mm hat.
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14
Aufgaben
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4.3.2.08
a) Berechnen Sie allgemein die Kapazität einer Doppelleitung der Länge s in
Luft mit dem Leiterradius rL und dem Leiterabstand 2a.
Dabei sollen folgende Bedingungen gelten: s >> 2a; 2a >> rL.
b) Berechnen Sie die Kapazität für s = 1km; rL = 1mm; 2a = 40cm!
4.3.2.09
Es soll ein Zylinderkondensator mit der Kapazität C = 30pF hergestellt werden,
dessen wirksame Länge s = 45cm beträgt. Als Dielektrikum wird das Isoliergas
SF6 (εr = 1) verwendet. Der Maximalwert der Feldstärke soll Emax = 60 kV/cm bei der
Spannung U = 140kV betragen.
Berechnen Sie die Durchmesser di und da der Elektroden!
4.3.2.10
Berechnen Sie die Kapazität des Leiterseiles einer Freileitung von s = 5km Länge
gegenüber der Erde! Das Leiterseil hat den Durchmesser d = 10 mm und wird in der
Höhe h = 8m über der Erde geführt.
4.3.2.11
Zwei Metallkugeln mit dem Radius ro , die die Ladungen Q1 =+Q und Q2 = -Q tragen, sind
in einem Isolierstoff mit der Permittivität εo so angeordnet, dass der Abstand ihrer
Mittelpunkte a beträgt.
a)
b)
Leiten Sie eine Gleichung für die Berechnung der Kapazität der Anordnung her unter
der Annahme, dass sich die Ladungen gleichmäßig auf den Kugeloberflächen
verteilen!
Bestimmen Sie die Kapazität für ro = 5cm; a = 50cm!
4.3.2.12
Eine Metallkugel mit dem Radius ro ist in Luft über einer ebenen, geerdeten Metallplatte
isoliert angebracht und trägt die Ladung Q. Der Kugelmittelpunkt befindet sich im Abstand
h über der Platte.
Berechnen Sie die Kapazität der Anordnung!
4.3.2.13
Ein Koaxialkabel besteht aus metallischem Innen- und
Außenleiter sowie einem dreifach geschichtetem
Dielektrikum.
ri
r3
r2
ε1
r
ε2 1
ε3
Bestimmen Sie die längenbezogene
C
Kapazität
der Anordnung für die Werte:
s
εr1 = 2.5; εr2 = 5; εr3 = 10
ri = 10mm; r1 = 15mm; r2 = 20mm; r3 = 30mm!
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
15
Aufgaben
04etu410
4.3.2.14
ϕ
di
ε2
ε1
In einem Zylinderkondensator der Länge s befindet sich
ein längsgeschichtetes Dielektrikum mit den beiden
relativen Dielektrizitätskonstanten εr1 und εr2.
a) Ermitteln Sie die Kapazität pro Längeneinheit
C
= f ( ϕ) !
s
C
b) Bestimmen Sie
für die beiden
s
Sonderfälle ϕ= 180o und ϕ = 120o!
da
4.3.2.15
Zwei zylindrische Metallrohre haben
die gleiche Länge a = 0.2m. Das Rohr
mit dem Durchmesser di = 5cm ist in
das Rohr mit dem Durchmesser
da = 5.1cm koaxial bis zur
Überdeckung a/2 hineingeschoben.
a)
b)
c)
d)
e)
Berechnen Sie die Kapazität
der Anordnung (Feldmedium
ist Luft)!
a
a/2
di
da
a
Verschiebung
Zwischen den Metallrohren wird eine Spannungsquelle mit Uq = 200V
angeschlossen. Berechnen Sie den Betrag der auf jedes der Rohre aufgebrachten
Ladung!
Das innere Rohr wird nun so weit in axialer Richtung verschoben, bis vollständige
Überdeckung beider Rohre vorliegt. Berechnen Sie die Kapazität der Anordnung!
Formulieren Sie gleichungsmäßig den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v des inneren Rohres während der Verschiebung und dem Strom i in der
Zuleitung zur Quelle i = f(v)! Berechnen Sie den Strom für v = 0.02m/s!
Bestimmen Sie die Energieänderung während der Verschiebung des inneren
Rohres und berechnen Sie die in der Anordnung nach der Verschiebung
gespeicherte Energie!
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
16
Aufgaben
4.3.2.16
Mittels eines kapazitiven Sensors soll die Höhe h
des Wasserstandes in einem Gefäß überwacht
werden. Hierzu wird die Kapazität C eines aus zwei
koaxialen Rohren (da = 42mm; di = 40mm;
s = 700mm) gebildeten Kondensators benutzt.
a)
04etu410
da
Gefäß
di
Geben Sie den Zusammenhang
C = f(h) in allgemeiner Form an
und stellen Sie die Funktion
grafisch dar!
s
h
b)
c)
Tragen Sie in das Diagramm die Werte Cmin für h = 0 und Cmax für h = s ein!
Berechnen Sie die Werte Cmin und Cmax!
Berechnen Sie die Kapazität des Sensors für h = 80 mm!
4.3.2.17
Die Leiter einer 380-kV-Freileitung bilden
ein gleichseitiges Dreieck mit der
Seitenlänge a = 7.5m, dessen Basis sich in
der Höhe h = 8m über dem Erdboden
befindet. Der Durchmesser eines
Leiterseiles beträgt d = 22mm. Es liegt ein
symmetrisches Drehstromsystem der LeiterLeiter-Spannungen vor. Der Durchhang der
Leiterseile wird nicht berücksichtigt.
L3
L1
L2
a
h
y
x
a)
b)
c)
Bestimmen Sie die Spannung zwischen einem Leiterseil und der Erde
(Leiter-Erde-Spannung)!
Zum Zeitpunkt t = 0 hat die Spannung zwischen Leiter L1 und der Erde ihr
positives Maximum. Bestimmen Sie die Augenblickswerte des Leiter-ErdeSpannungen der Leiter L2 und L3 sowie die Leiter-Leiter-Spannungen zwischen
den drei Leitern!
Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke in 1.8m Höhe über dem Erdboden
lotrecht unter dem Leiter L1 (x = 0; y = 1.8m) zum Zeitpunkt t = 0!
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
4.3.3
17
Aufgaben
04etu410
Kondensatorschaltungen
4.3.3.01
Einem auf U0 = 480V aufgeladenen Kondensator C1 = 22µF wird der ungeladene
Kondensator C2 = 10µF über einen Widerstand R parallel geschaltet. Nach dem
Parallelschalten wird der Ladungsausgleich abgewartet.
a)
b)
Berechnen Sie die Spannungen über C1 und C2!
Berechnen Sie die Energie, die während des Ladungsausgleichs im Widerstand R in
Wärme umgewandelt wurde!
4.3.3.02
Zwei Kondensatoren C1 = 0.1µF und C2 = 2.2. µF haben jeweils die Nennspannung
UN = 100V.
Berechnen Sie den maximal zulässigen Wert der Spannung Umax, an der die
Kondensatoren in Reihenschaltung betrieben werden dürfen, ohne dass bei einem die
Nennspannung überschritten wird!
4.3.3.03
Gegeben ist untenstehende Schaltung, wobei an C6 die Spannung U6 = 36V
gemessen wird.
Berechnen Sie die Spannungen an den anderen Kondensatoren sowie die
Klemmenspannung UAB!
C1 = 1µF
C2 = 2µF
C3 = 3µF
C4 = 4µF
C5 = 3µF
C6 = 2µF
A
C1
C2
C5
C3
C4
B
C6
U6
4.3.3.04
Eine Doppelleitung mit Metallumhüllung besitzt eine Teilkapazität C12 zwischen den Adern
1 - 2 und zwei gleichgroße Teilkapazitäten zwischen den Adern und dem Metallmantel.
Bestimmen Sie für die folgenden Betriebsarten der Leitung die Ersatzkapazität:
a)
1
C10
C12
b)
2
C20
c)
Ca zwischen den Leitern 1 und 2, wenn die
Abschirmung geerdet ist!
Cb1 zwischen der Leitung 1 und der geerdeten
Abschirmung, wenn die Leitung 2 ebenfalls auf
Erdpotential liegt!
Cb2 zwischen Leitung 1 und der geerdeten
Abschirmung, wenn Leitung 2 isoliert betrieben
wird!
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18
Aufgaben
04etu410
4.3.3.05
Ein 3-Leiter-Kabel ist von einem Metallrohr umhüllt. Zwischen den Leitern bestehen die
Teilkapazitäten C12; C23; C31. Weiterhin ist jeweils eine Teilkapazität C10; C20; C30
zwischen jedem Leiter und dem Metallrohr vorhanden. Mit einem Kapazitätsmessgerät
sollen die Kapazitäten C12 und C10 bestimmt werden.
a) Wie muss eine äußere Beschaltung der Adern
vorgenommen werden, damit aus einer
Kapazitätsmessung zwischen den Adern bzw. dem
Metallmantel die Kapazität C10 bestimmt werden
kann?
b) Wie muss eine äußere Beschaltung der Adern
vorgenommen werden, damit aus einer zweiten
Kapazitätsmessung die
Kapazität C12 ermittelt
werden kann?
C10
1
C31
C12
C20
C30
3
C23
2
4.3.3.06
Alle Kondensatoren der Schaltung sind entladen.
Bestimmen Sie alle Spannungen im statischen Zustand für t>>0, wenn der Schalter zur
Zeit t = 0 geschlossen wird!
C2
R2
Uq
R1
C4
C1
R3
C3
C5
Uq = 120V
R1 = 100kΩ
R2 = 200kΩ
R3 = 300kΩ
C1 = 1µF C2 = 2µF
C3 = 5µF C4 = 2µF
C5 = 1µF
4.3.3.07
Alle Kondensatoren der Schaltung sind vollständig entladen.
Der Schalter SA wird geschlossen gehalten, bis sich ein statischer Zustand A einstellt.
Danach wird der Schalter SA geöffnet und SB geschlossen gehalten bis sich ein statischer
Zustand B einstellt.
Bestimmen Sie alle Spannungen für die statischen Zustände A und B!
SA
Uq
R1
C1
C2
Uq = 260V
C1 = C4 = 1µF
C2 = C3 = 2µF
C5 = 0.5µF
C6 = 2µF
C3
C5
SB
C6
C4
R2
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
19
Aufgaben
04etu410
4.3.3.08
Alle Kondensatoren der Schaltung sind vollständig entladen.
a) Zunächst wird Schalter SX geschlossen, bis sich ein statischer Zustand X einstellt.
Berechnen Sie alle Kondensatorspannungen!
b) Danach wird der Schalter SX wieder geöffnet und SY geschlossen bis sich ein
statischer Zustand Y einstellt.
Berechnen Sie alle Kondensatorspannungen für den Zustand Y!
Uq2
R2
C7
SY
C2
SX
Uq1 = Uq2 = 70V
C1 = C2 = C3 = C4 = 14µF
C5 = C6 = 7µF
C7 = 12µF
R1 =R2 = 30kΩ
Uq1
C6
C1
R1
C3
C5
C4
4.3.4
Kraft und Energie
4.3.4.01
Ein Plattenkondensator besitzt quergeschichtetes Dielektrikum.
a) Berechnen Sie die Kraft auf die Trennfläche der Dielektrika!
b) Bestimmen Sie die Kraftrichtung!
4.3.4.02
Berechnen Sie die Energiedichte eines homogenen elektrischen Feldes in Luft bei
Grenzfeldstärke (Ed = 30kV/cm)!
4.3.4.03
Ein Teilchen mit der positiven Ladung Qp und der Masse m wird mit der Geschwindigkeit
v0 senkrecht in ein homogenes elektrisches Feld der Feldstärke E geschossen.
Berechnen Sie die Bahnkurve des Teilchens, wobei nur die Kräfte des elektrischen
Feldes wirken sollen!
4.3.4.04
Ein Teilchen mit der positiven Ladung Qp und der Masse m wird senkrecht durch ein Loch
in der positiven Platte eines Plattenkondensators in dessen Feld der Feldstärke E mit der
Geschwindigkeit v0 geschossen.
Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des Teilchens
zwischen
den Platten!
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
20
Aufgaben
04etu410
4.3.4.05
Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators, der bei der Betriebsspannung
U = 400 V die gleiche Energie wie eine Autobatterie (12V; 44Ah) gespeichert hat!
4.3.06
Zwei Metallplatten mit der Fläche A = 1.2m2 und
dem Abstand s1 = 1mm bilden einen
Plattenkondensator (Feldmedium Luft), an dem die
Spannungsquelle mit Uq = 1500V angeschlossen
ist. Die rechte Platte wird mit der Geschwindigkeit
v = 0.1m/s so lange verschoben, bis der Abstand
s2 = 0.5mm beträgt.
a)
b)
c)
d)
Berechnen Sie die im Kondensator vor
und nach der Verschiebung gespeicherte
Energie!
Berechnen und skizzieren Sie die Zeitfunktion
i(t) des Stromes während der Verschiebung!
Berechnen Sie die dem Kondensator
während der Verschiebung zugeführte
Energie!
Bestimmen Sie zur Verschiebung notwendige
mechanische Arbeit!
4.4
4.4.1
s1
s2
A
v
i
Uq
Magnetisches Feld
Feldstärke, Durchflutungsgesetz
4.4.1.01
Ein dünner gerader Leiter wird von dem Gleichstrom I = 3.5A durchflossen.
Berechnen Sie die Feldstärke H in einer Entfernung r1 = 5cm, r2 = 10cm, und r3 = 18 cm
von der Leitermitte!
4.4.1.02
In einem geraden Leiter mit kreisförmigem Querschnitt (Radius R) fließt ein Gleichstrom I.
Berechnen Sie den Abstand r von der Mittelachse des Leiters, bei dem außerhalb des
Leiters der Betrag der Feldstärke 1% des Maximalwertes beträgt!
4.4.1.03
Ein gerader Kupferleiter mit kreisförmigem Querschnitt (d = 2cm) wird von einem
Gleichstrom I = 100 A durchflossen.
a)
b)
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke im Leiterinneren und außerhalb des
Leiters!
Stellen Sie den Feldstärkeverlauf über einer Koordinate r dar! (r = 0 in Leitermitte)
4.4.1.04
Berechnen Sie den minimalen und den maximalen Wert der magnetischen Flussdichte im
Innenraum einer Luft-Kreisringspule.
Außendurchmesser da = 20cm; Innendurchmesser di = 15cm; I = 2A; N = 600;
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
21
Aufgaben
04etu410
4.4.1.05
Ein Keramikring (da = 60mm, di = 50mm) hat quadratischen Querschnitt und ist mit
N = 300 Windungen Kupferdraht von d = 0.8mm Durchmesser gleichmäßig bewickelt.
Die Wicklung wird von einem Gleichstrom I = 1.5 A durchflossen.
Berechnen Sie Feldstärke, Induktion und Fluss im Ring!
4.4.1.06
Eine Luft-Zylinderspule (s = 23cm; d = 2.5cm) hat N = 210 Windungen. Der Spulenstrom
beträgt I = 1.8A.
Berechnen Sie mit einem Näherungsansatz Feldstärke, Induktion und Fluss in der Spule!
4.4.1.07
Gegeben ist eine s = 60cm lange Luft-Zylinderspule mit N = 800. Sie wird vom Strom
I = 1.5A durchflossen.
a) Berechnen Sie die magnetische Feldstärke in der Spulenmitte!
b) Berechnen Sie den maximalen Windungsdurchmesser, bei dem die Abweichung der
Näherungslösung vom exakten Wert nicht mehr als 1% beträgt!
4.4.1.08
Drei parallele gerade Leiter bilden ein gleichseitiges Dreieck
von a = 35cm Seitenlänge. Die Ströme der drei Leiter sind
in den angegeben Richtungen I1 = I2 = 40A; I3 = 80A.
Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke in den
Punkten A und B!
I1
B
A
I3
4.4.2
I2
Fluss, Flussdichte
4.4.2.01
Bestimmen Sie die Feldstärken, die zur Erzeugung der Flussdichten
B = 1.5 T; 1.22 T; 1.2 T; 0.85 T; 0.6 T; 0.2 T in folgenden Stoffen notwendig sind!
a) Luft
b) kaltgewalztes Elektroblech V 400-50 A; Stahlguss
c) kornorientiertes Elektroblech VM 97-30 N in Walzrichtung
d) Grauguss
4.4.2.02
Bestimmen Sie die relative Permeabilität µr im Bereich 0.1T ≤ B ≤ 1.6T in Schritten von
0.1T für die unten angegebenen Werkstoffe und stellen Sie µr =f(H) grafisch dar!
a) kaltgewalztes Elektroblech V 400-50 A, Stahlguss
b) kornorientiertes Elektroblech VM 97-30 N in Walzrichtung
c) Grauguss
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
Aufgaben
04etu410
40
B
8
4.4.2.03
In dem im Bild gezeigten Stahlgussteil
mit kreisförmigem Querschnitt ist ein
magnetischer Fluss Φ = 1⋅10-4 Wb
vorhanden.
a) Berechnen Sie die Induktion als
Funktion einer x-Koordinate über
die Länge des Teils!
b) Stellen Sie den Verlauf grafisch
dar!
22
60
4.4.2.04
Ein Lautsprechermagnet hat einen ringförmigen Spalt
von d1 = 24mm, d2 = 22mm und h = 8mm zur Aufnahme
der Schwingspule. Im Spalt soll eine Induktion von B =
0.75T herrschen.
a) Berechnen Sie den über den Spalt tretenden Fluss!
b) Bestimmen Sie den Fluss im übrigen magnetischen
Kreis des Magneten, wenn Sie damit rechnen
müssen, dass 15% dieses Flusses sich nicht über
den Luftspalt schließen (Streuung)!
4.4.3
x
h
d1
d2
Magnetischer Kreis
4.4.3.01
a) Berechnen Sie die Windungszahl einer Ringspule, in der ein Gleichstrom I = 0.2A
eine mittlere Flussdichte B = 0.65⋅10-3 T erzeugt! Die mittlere Feldlinienlänge beträgt
ist µr = 1.
sm = 28.5 cm, die relative Permeabilität des Kerns
b) Berechnen Sie die Flussdichte, wenn als Kernmaterial kaltgewalztes Elektroblech
V 400-50 A verwendet wird und die in a) berechnete Durchflutung vorliegt!
4.4.3.02
Nach dem Anziehen der Montageschrauben stieg der magnetische Fluss in einem
Stahlgussrahmen (Querschnitt A = 1.5cm x 2.6cm) von Φ1 = 6.0 ⋅ 10−4 Vs auf
Φ1 = 6.5 ⋅ 10−4 Vs . Die mittlere Feldlinienlänge beträgt sm = 28cm.
Berechnen Sie die Summe der vor dem Anziehen vorhandenen Luftspalte!
a
I
N
b
δ
4.4.3.03
Für den angegebenen magnetischen Kreis aus
kaltgewalztem Elektroblech V 400-50 A sollen
magnetischer Fluss Φ, Induktion B sowie die
Feldstärken im Eisen HFe und Luftspalt H0 berechnet
werden. Θ = 500A; a = 40cm; b =30 cm; δ =1 mm;
A = (4x4)cm2! Rechnen Sie dabei mit einem
Eisenfüllfaktor:
a) ϕFe = 1
b) ϕFe = 0.95
23
Aufgaben
04etu410
4.4.3.04
Gegeben ist ein magnetischer Kreis vom Typ eines
Mantelkerns.
Entwickeln Sie für diesen Kreis das elektrische
Ersatzschaltbild!
Berechnen Sie den Gesamtfluss und die Teilflüsse
sowie die magnetische Feldstärke in den einzelnen
Schenkeln.
a) A = (5x5)cm2; a = 20cm; b = 40cm; I = 5A; N = 120;
µr = 1200
b) Der Kern besteht aus kaltgewalztem Elektroblech
V400-50A, ϕFe = 0.95.
A
b
A
C
D
A
100
A
20
20
160
8
4.4.3.06
a) Berechnen Sie die Durchflutung, die in der nebenstehenden Anordnung aus kornorientiertem Blech
VM 97-30 N den magnetischen Fluss Φ = 5 ⋅ 10-5 Vs
erzeugt!
b) Berechnen Sie den Fluss in der Anordnung, wenn
der Luftspalt bei gleicher Durchflutung auf δ = 1mm
erweitert wird!
B
45
4.4.3.05
a) Durch die Fensterfläche des angegebenen
Kreises aus Stahlguss werden N = 580
Windungen gewickelt. Berechnen Sie beim
Spulenstrom I = 0.2A Feldstärke und Induktion!
b) Der magnetische Kreis wird an der Stelle A-A quer
durchgesägt, wodurch ein Luftspalt von δ = 4mm
entsteht. Berechnen Sie die Stromstärke, bei der
jetzt im Kreis die Induktion B = 0.87 T entwickelt
wird!
a
δ = 0.1
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
10
5
30
10
4.4.3.07
a) Berechnen Sie die Länge des Luftspaltes δ in einem magnetischen Kreis aus
kaltgewalztem Blech V 400-50 A mit der mittleren Feldlinienlänge im Eisen
sm = 35cm, damit bei einer Durchflutung Θ = 7000A die Induktion B = Bo = BFe = 1.7T
entsteht!
b) Der Luftspalt wird bei gleicher Durchflutung auf δ = 2.8mm verändert. Berechnen Sie
die jetzt vorliegende Induktion!
c) Berechnen Sie die Induktion, wenn bei δ = 2.8 mm die Stromstärke halbiert wird!
4.4.3.08
Im Kern einer Drosselspule mit dem Luftspalt δ = 0.5mm (Kern aus kaltgewalztem Blech
V 400-50 A; ϕFe = 0.95) liegt bei der Durchflutung Θ die Feldstärke HFe = 10kA/m vor die
mittlere Feldlinienlänge im Kern beträgt sFe = 30cm.
Bestimmen Sie die Induktionen im Kern bei gleicher Durchflutung für unterschiedliche
Luftspalte im Bereich 0.5mm ≤ δ ≤ 8mm und stellen Sie die Induktion als Funktion der
Luftspaltlänge grafisch dar!
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
24
Aufgaben
04etu410
4.4.3.09
Im Luftspalt eines Mantelkerns M 65 (Schichthöhe 27mm; ϕFe = 0.9; Kernmaterial
kaltgewalztes Elektroblech V 400-50 A) soll die Flussdichte B = 1.2T herrschen.
Berechnen Sie die dafür notwendige Durchflutung bei Vernachlässigung der Streuung!
4.4.3.10
Ein ringförmiger Eisenkern aus kaltgewalzten Elektroblechen V 400-50 A hat folgende
Daten:
dm = 0.2m
mittlerer Durchmesser
2
Kernquerschnitt
A = 16cm
ϕFe = 0.9
Eisenfüllfaktor
δ = 1mm
Luftspaltlänge
Die Flussdichte im Luftspalt soll im Bereich 0 ≤ Bo ≤ 1.4T mit dem Erregerstrom eingestellt
werden.
a) Berechnen Sie die dafür notwendige Durchflutung und zeichnen Sie die Kennlinie
Φ = f(Θ) des magnetischen Kreises!
b) Bestimmen Sie den magnetischen Leitwert für den annähernd linearen Bereich der
Kennlinie bei vernachlässigter Streuung!
c) Der Ringkern wird aus Grauguss hergestellt. In der Erregerspule (N = 500) fließt der
Strom I = 2A. Bestimmen Sie den Arbeitspunkt des magnetischen Kreises auf der
Magnetisierungskennlinie. Bestimmen Sie die Flussdichte im Luftspalt und
berechnen Sie den magnetischen Fluss im Eisen!
4.4.3.11
Ein Kern E 150 aus kaltgewalzten Elektroblechen V 400-50 A mit Luftspalt δ = 0.5mm im
Mittelschenkel erhält auf jedem Schenkel eine Spule mit N = 100 Windungen. Der
Eisenfüllfaktor beträgt ϕFe = 0.9. Sämtliche Spulen werden in Reihenschaltung betrieben,
ihre Durchflutungen sind so gerichtet, dass ein möglichst großer Fluss im Mittelschenkel
entsteht.
Berechnen Sie den für B0= 0.8T im Luftspalt notwendigen Strom!
4.4.3.12
Für ein Schütz ist die benötigte Durchflutung zu
berechnen. Im Luftspalt ist die Flussdichte
B0 = 0.5T gefordert. Der Magnetkreis ist aus
Blechen V400-50A mit ϕFe = 0.95 hergestellt und
hat der folgende Maße.
A = 300mm2
sFe1 = 100mm
sFe2 = 40mm
δ = 2mm
Die Streuung wird mit 10% angenommen
( ΦH = 0.9 ⋅ ( ΦH + Φ σ ) ).
sFe1
ΦH
Φσ
A
B0
δ
sFe2
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
25
Aufgaben
04etu410
Genormte Blechschnitte nach DIN 41302
EI
U
c
g
g
c
f
a
b
a
e
b
b
e
d
c
c
M
c
f
c
a
a
a
b
c
e
f
g
d
M 30
30
30
5
20
7
6.5
0.3
M 42
42
42
6
30
12
9
0.5
M 65
65
65
10
45
20
12.5
1.0
M 85
85
85
14.5
56
29
13.5
2.0
EI 30
30
20
5
15
10
5
EI 48
48
32
8
24
16
8
EI 84
84
56
14
42
28
14
EI 150
150
100
25
75
50
25
UI 30
30
40
10
UI 48
48
64
16
UI 75
75
100
25
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
26
Aufgaben
04etu410
Magnetisierungskurven
a) kaltgewalztes Elektroblech V400-50A; Stahlguss
b) kornorientiertes Elektroblech VM97-30N; Magnetisierung in Walzrichtung
c) Grauguss
B/T
2.0
a
b
1.8
1.4
c
1.0
0.8
8
4
12
16
H
24 kA / m
20
B/T
1.6
b
a
1.4
1.2
1.0
0.8
c
0.6
0.4
0.2
Kurve a und c: 400
Kurve b: 20 40 60
1200
800
80 100
1600
2000
2400
H
A /m
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
4.4.4
27
Aufgaben
04etu410
Biot-Savartsches Gesetz
4.4.4.01
Berechnen Sie die Länge s eines geraden linienhaften Leiters, damit er im Punkt P
untenstehender Skizze 90% des Feldstärkewertes erzeugt, den er bei unendlicher Länge
erzeugen würde.
P
a
I
s
2
s
2
s
4.4.4.02
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke in der Mitte einer kreisförmigen,
stromdurchflossenen Leiterschleife! Radius der Schleife R = 5cm; I = 10A
4.4.4.03
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke in der Mitte einer quadratischen,
stromdurchflossenen Leiterschleife! Seitenlänge der Schleife a = 12cm, I = 2.5A
4.4.4.04
Ein unendlich langer, gerader Leiter ist
rechtwinklig geknickt.
Berechnen Sie die magnetische
Feldstärke im Punkt P der Skizze!
Gegeben: I = 3.2A; a = 2.4cm
a
∞
I
∞
P
60
4.4.4.05
Auf einen flachen Spulenkörper in der
abgebildeten Form ist eine Spule mit
N = 200 Windungen gewickelt. Sie wird von
einem Strom I = 30mA durchflossen.
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke
im Punkt P!
Maßangaben in mm
30
P
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Übung Grundlagen der Elektrotechnik
28
Aufgaben
04etu410
4.4.4.06
s
2
l
P0
d
Gegeben ist eine Zylinderspule
entsprechend der Skizze.
a) Berechnen Sie die magnetische
Feldstärke als Funktion einer
Wegkoordinate x entlang der S
pulenachse mit x = 0 in Spulenmitte!
b) Diskutieren Sie das Ergebnis für x = 0
und x = 0.5 s!
P1
x=0
x
s
I⋅N
s
Berechnen Sie H(x) mit den angegebenen Werten und stellen Sie
den Verlauf H/H0 = f(x) dar! (H0 = H(x = 0))
d = 2cm; s = 10cm; I = 1A; N = 200
c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Näherungsformel H =
d)
4.4.5
Kraft und Energie
4.4.5.01
Ein Bündel aus 45 geraden Drähten, von denen jeder von dem Strom I = 5A durchflossen
wird, führt senkrecht durch ein 2.5 cm breites Magnetfeld der Dichte B = 0.4T.
Berechnen Sie die auf das Leiterbündel wirkende Kraft F !
4.4.5.02
Im Luftspalt des Lautsprechermagneten der Aufgabe 4.4.2.04 ist die Flussdichte B = 0.8T.
Die Schwingspule hat N = 45 Windungen und wird von einem Gleichstrom I = 150 mA
durchflossen.
Berechnen Sie die auf die Schwingspule wirkende Kraft F und geben Sie deren Richtung
bezogen auf die Stromrichtung an!
4.4.5.03
Im Luftspalt des Magneten eines Drehspulinstrumentes
herrscht eine Flussdichte
B = 0.85T. Die Abmessungen der Drehspule sind:
2r = 12mm
h = 8mm
N = 50
Spulenbreite;;
im Feld liegende Spulenlänge
Windungszahl.
Berechnen Sie das Drehmoment, wenn das Instrument
einen Strom I = 5 mA anzeigt!
F2
N
S
N
2r
F1
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Übung Grundlagen der Elektrotechnik
29
Aufgaben
04etu410
4.4.5.04
Der Läufer einer Gleichstrommaschine (Durchmesser D = 44cm; Eisenlänge s = 20cm)
entwickelt das Drehmoment M = 150Nm. Im Luftspalt der Maschine herrscht die mittlere
Flussdichte B = 0.65T.
I⋅ z
!
Berechnen Sie den dafür notwendigen Läuferstrombelag A i =
Dπ
4.4.5.05
Ein Verbraucher wird mit dem Gleichstrom I = 120A über eine Freileitung (Länge s = 50m;
Leiterabstand a = 50cm) gespeist.
a)
b)
Berechnen Sie die Abstoßungskraft der Leiter!
Berechnen Sie die Kraft bei Kurzschluss IK = 5000A!
4.4.5.06
Bei Kurzschluss wurde eine der beiden 3m langen Stromschienen, die im Abstand
a = 10 cm parallel zueinander angeordnet waren, aus ihrer Befestigung gerissen. Die
dazu notwendige Kraft wurde auf F = 2500N geschätzt.
Berechnen Sie den Kurzschlussstrom!
4.4.5.07
In Innenraumschaltanlagen werden parallele Leiter auf Stützerisolatoren aus Porzellan
oder Gießharz befestigt. Die auf jeden Leiter wirkende Umbruchkraft muss auch bei
Kurzschluss von den Stützern aufgenommen werden.
Berechnen Sie die Umbruchkraft pro Meter Leiterlänge bei IK = 50kA und dem
Leiterabstand a = 0.2m!
4.4.5.08
Ein Elektron (mo = 9.11⋅10-31 kg; e = 1.6⋅10-19 As) wird mit der Geschwindigkeit
v = 10000 km/s senkrecht zur Feldrichtung in ein homogenes Magnetfeld der Dichte
B = 1mT geschossen.
Berechnen Sie den Radius der Flugbahn im Magnetfeld!
B
UH0
d
4.4.5.09
Ein Kupferleiter (Skizze) wird von einem
Gleichstrom I durchflossen. Senkrecht zu
seiner Oberfläche wird der Leiter von einem
homogenen Magnetfeld der Dichte B
durchsetzt.
Berechnen Sie die an den Klemmen
auftretende Leerlauf-Hallspannung UH0
a) allgemein und für
b) I = 10A; B = 1T; d = 0.1mm; b = 5mm;
nCu = 8.6⋅1022cm-3; e = 1.6⋅10-19As!
b
I
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Übung Grundlagen der Elektrotechnik
30
Aufgaben
04etu410
4.4.5.10
Berechnen Sie die Elektronendichte n eines Hallgenerators mit der Stärke d = 0.1mm,
dessen Leerlauf-Hallspannung bei I = 100mA und B = 1T UH0 = 125 mV beträgt!
4.4.5.11
Eine Ringspule hat folgende Abmessungen und Werte:
Dm = 28cm
dm = 6cm
µr = 1
N = 800
mittlerer Durchmesser
mittlerer Windungsdurchmesser
relative Permeabilität des Kerns
Windungszahl
Berechnen Sie die zum Aufbau des Magnetfeldes notwendige Energie bei einem
Spulenstrom I = 3A!
4.4.5.12
Berechnen Sie die magnetische Energie einer Spule mit der Induktivität L = 0.02mH beim
Strom I = 2.5A!
4.4.5.13
Berechnen Sie die magnetische Energie im Luftspalt und im übrigen Eisenkreis eines
gleichsinnig geschichteten Kerns M 65 aus Elektroblech V400-50A, Schichthöhe
h = 20mm, Füllfaktor ϕFe = 097 bei der Luftspaltinduktion B = 1.9T !
4.4.5.14
An den beiden Polen von je A = 270mm2 Polfläche eines U-förmigen Dauermagneten
herrscht die Induktion B = 0.64T.
a)
b)
Berechnen Sie die Gewichtskraft, mit der ein an beiden Polen hängender Anker
gerade festgehalten wird!
Berechnen Sie die notwendige Induktion, wenn der Anker mit der Kraft F = 120N
festgehalten werden soll!
4.4.5.15
Der I-Teil eines gleichsinnig geschichteten Kerns EI 150 aus Elektroblech V400-50A ;
Schichthöhe h = 40mm; Füllfaktor ϕFe = 0.95 soll unter Zwischenlage eines
Aluminiumstreifens d = 0.8mm mit einer Kraft F = 500N festgehalten werden.
a)
b)
c)
Berechnen Sie die Induktion an den Polen!
Berechnen Sie die notwendige Durchflutung!
Berechnen Sie die Verlustleistung der Spule aus Kupferdraht bei einer mittleren
Windungslänge sm = 20cm und einer Stromdichte J = 3.5 A/mm2!
4.4.5.16
Berechnen Sie die Zugkraft des Ankers eines Relais, durch dessen kreisförmige Polfläche
(d = 1.5cm) ein Fluss Φ = 8.5⋅10-5 Wb tritt!
4.4.5.17
Der in der Skizze angegebene Magnetkreis
aus Stahlguss von quadratischem
Querschnitt wird mit der Durchflutung
Θ = 500A erregt.
Berechnen Sie die Zugkraft in Abhängigkeit
vom Ankerabstand δ im Bereich :
0.05mm ≤ δ ≤ 1mm!
31
Aufgaben
04etu410
100
80
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Übung Grundlagen der Elektrotechnik
20 δ
20
4.4.5.18
Der Läufer eines Elektromotors mit dem Durchmesser D = 28 cm und der Länge
s = 17cm hat zN = 51 Nuten, in denen jeweils zL = 40 Leiter untergebracht sind. Der
Leiterstrom beträgtIL = 14A , die mittlere Induktion im Luftspalt ist B = 0.65T.
a)
b)
Berechnen Sie das Drehmoment des Motors!
Berechnen Sie die Motorleistung, wenn das Drehmoment bei einer Drehzahl
n = 960min-1 erbracht wird!
4.4.5.19
Gegeben ist eine Anordnung einer
rotierenden elektrischen Maschine
entsprechend nebenstehender Skizze
(Ringankermaschine, D = 10cm; axiale
Eisenlänge s = 5cm ).
Im Luftspalt soll unter den Polen der
Polbreite bp = 110mm die konstante
Flussdichte B0 = 1.1T bestehen, außerhalb der Pole wird B = 0 angenommen.
Die einlagige Wicklung besteht aus
Kupferlackdraht mit (d = 0.5mm;
κCu = 56.2Sm/mm2) und ist als in sich
geschlossene Torroidspule (mittlere
Windungslänge sw = 145mm; N = 300)
ausgeführt.
a)
b)
c)
d)
N
I
D
M
I
S
Tragen Sie die Flussdichte als Funktion einer Wegkoordinate x entlang des
Läuferumfangs auf mit x = 0 in der Pollücke.
Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert der Flussdichte über eine Polteilung
(halber Läuferumfang)!
Berechnen Sie das Drehmoment, das ein unter einem Pol befindlicher Leiter
entwickelt und tragen Sie die Richtung dieses Drehmomentes ein.
Berechnen Sie das Drehmoment als Wirkung aller stromdurchflossenen Leiter der
Läuferwicklung!