Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Worum geht es in diesem Modul?
Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Maßzahlen theoretischer Verteilungen
Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz
Tschebyschev-Ungleichung
Worum geht es in diesem Modul?
Merkmale oder Variablen spielen eine zentrale Rolle im Bereich der deskriptiven
Statistik. Dieser Bedeutung entsprechend sind sie auch im Rahmen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung besonders wichtig. Zu der einfachen
Zuordnungsvorschrift kommt hier der Zufallscharakter der Beobachtung hinzu. Dies
führt zu dem Begriff der Zufallsvariablen. Mit Zufallsvariablen lassen sich Ereignisse
einfach beschreiben. Die grundlegenden Ereignisse führen dann auch zu theoretischen
Gegenstücken der empirischen Verteilungen, den Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktionen. Weiterhin werden theoretische Maßzahlen der Lage und
Streuung sowie des Zusammenhanges als theoretische Gegenstücke von arithmetischem
Mittel und Varianz eingeführt.
Zufallsvariablen
Wir betrachten zum Einstieg als Zufallsexperiment eine Untersuchung einer
Fachbibliothek über das Ausleihverhalten der Studierenden einer Universität. Die
Bibliothek notiert dazu für zufällig ausgewählte Besucher die Anzahl der jeweils von
diesen Besuchern ausgeliehenen Büchern. Die Variable
= "Anzahl der
ausgeliehenen Bücher" hat die Realisationsmöglichkeiten 0,1,2,3,.....,10. Mehr als 10
Bücher dürfen von einer Person nicht ausgeliehen werden. Null ausgeliehene Bücher
sind natürlich bei ausschließlichem Besuch des Lesesaals ebenfalls möglich. Durch die
verschiedenen Werte von
werden nun Ereignisse festgelegt, indem durch eben
diese Werte Teilmengen der Grundgesamtheit aller Studierenden bestimmt sind.
Page 1
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Als ein lässt sich beispielsweise "
nimmt den Wert 3 an" formulieren. Dieses
Ereignis tritt genau dann ein, wenn eine Person mit drei ausgeliehenen Büchern
ausgewählt wird. In diesem Sinn ist also der Wert von
zufällig.
Allgemein ist eine Zufallsvariable eine Variable, die jedem möglichen Ergebnis eines
Zufallsexperimentes eine Zahl zuordnet.
Das durch eine Zufallsvariable
wird als "
nimmt den Wert
bestimmte Ereignis
an" bezeichnet. Dafür wird
es ist also
Ereignis, dass
. Analog ist
einen Wert annimmt, welcher höchstens so groß ist wie
Entsprechend lassen sich weitere Ereignisse angeben.
In unserem Eingangsbeispiel der ausgeliehenen Bücher sind etwa:
Page 2
geschrieben;
das
.
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Weitere einfache Beispiele für Zufallsvariablen sind:
- Die Augenzahl beim Würfeln.
- Die Anzahl der Kraftfahrzeuge, die in einem festgelegten Zeitabschnitt durch eine
Straße fahren.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Definition von Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
Bei empirischen Datensätzen fassen wir die Verteilung der Beobachtungen durch die
bzw. durch die zusammen. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis der Form
gibt die Chance an, dass der entsprechende Wert beobachtet wird. Diese
Wahrscheinlichkeit ist gewissermaßen eine potenzielle relative Häufigkeit. Daher ist es
nahe liegend, von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu sprechen, die durch die
Zuordnung der Wahrscheinlichkeiten
zu den einzelnen Werten
bzw.
durch die Funktion
Die Zufallsvariable
von
gegeben ist.
habe die Realisationsmöglichkeiten
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen
. Die
ist definiert durch:
Die zugehörige theoretische
Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen
In der Regel wird
ist
.
nur für die Realisationsmöglichkeiten angegeben. Für
wird auch kurz
geschrieben.
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
Die Angabe der Wahrscheinlichkeitsverteilung mittels Wahrscheinlichkeitsfunktion
bzw. Verteilungsfunktion sind für Zufallsvariablen mit höchstens abzählbar vielen
Realisationsmöglichkeiten gleichwertig.
Das sei an einem einfachen Beispiel illustriert. Wird eine Ein-Euro-Münze dreimal
geworfen und notiert, ob die Zahl-Seite oder die Symbol-Seite nach oben zu liegen
kommt, so gibt es folgende Möglichkeiten für die Zufallsvariable
= "Anzahl der
Zahl-Seiten":
Page 3
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Nur die Realisationsmöglichkeiten mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind
angegeben. Für andere
ist ja
Auch
braucht nur
für die Realisationsmöglichkeiten angegeben zu werden. Die anderen Werte erhalten
wir damit zu
Es ist offensichtlich, wie
aus
und umgekehrt
zu gewinnen ist.
Allgemein gilt:
Als formale Eigenschaften halten wir fest:
(1)
nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. es ist
.
(2)
steigt für wachsendes
monoton an, d.h. es gilt
Darstellung von Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
Die Darstellung der theoretischen Verteilungsfunktion und der
Page 4
aus
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsfunktion geschieht einfach entsprechend der empirischen Situation
als Treppenfunktion und Stabdiagramm.
Titel: Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion "Anzahl Zahlseiten" bei drei Münzwürfen
Quelle: Eigene Berechnungen
Zufallsvariablen im Gleichmöglichkeitsmodell
Gegeben sei eine endliche Grundgesamtheit mit
Elementen. Das Merkmal
habe
die Realisationsmöglichkeiten . Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen
bzgl. des Gleichmöglichkeitsmodells ist dann gerade die Häufigkeitsfunktion von
in
der Grundgesamtheit, wenn die Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit
bezeichnet, bei denen das Merkmal den Wert annimmt:
.
Hamburger Würfelbude
Quelle: K.Lange (1980): Zahlenlotto; Ravensburg, Otto Maier Verlag
Die Hamburger Würfel-Bude hat folgenden Gewinnplan: Der Einsatz beträgt zwei
Euro. Bei einmaligem Werfen mit einem Würfel erhalten wir
Augenzahl
Auszahlung
6
4 Euro
1
3 Euro
3
Freispiel
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion der
Zufallsvariablen "Auszahlung" für den Fall, dass nur ein Freispiel möglich ist, d.h. Sie
dürfen bei der zweiten Drei nicht mehr weiterwürfeln. Stellen Sie diese Funktionen
grafisch dar.
Link zur Lösung (
: b6b.pdf )
Maßzahlen theoretischer Verteilungen
Die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse haben wir als potenzielle relative Häufigkeiten
bezeichnet. Damit kann die analog zum gebildete Maßzahl als "potenzielles
arithmetisches Mittel" bezeichnet werden. Wie ist aber zu interpretieren? Betrachten wir
dazu die stark vereinfachte Situation einer Versicherung, bei der nur eine begrenzte
Anzahl von Schäden mit zugehörigen Wahrscheinlichkeiten auftreten können.
Schadenshöhe
Wahrscheinlichkeit
0
0.984
1000
0.010
2000
0.003
Page 5
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3000
0.002
4000
0.001
Bei Zugrundelegung dieser Schadensverteilung wird die Versicherung bei insgesamt
1000 Verträgen mit folgendem Geschehen rechnen müssen:
Erwartete Anzahl von Schäden bei Schadenshöhe
1000 Verträgen
Gesamtschaden
984
0
0
10
1000
10000
3
2000
6000
2
3000
6000
1
4000
4000
Insgesamt sind es also 26000 Euro, die voraussichtlich zur Schadensdeckung nötig
werden. Wird dieser erwartete Schaden gleichmäßig auf alle Verträge verteilt, so sind
pro Vertrag 26 Euro einzukalkulieren, um den erwarteten Gesamtschaden abzudecken.
Dies ist der erwartete Schaden pro Vertrag.
Die Überlegung basiert darauf, dass bei einer großen Anzahl von
Versuchsdurchführungen die relativen Häufigkeiten der einzelnen Realisationen der
interessierenden Variablen in etwa mit den Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen. Das
Resultat ist eine Maßzahl, die angibt, mit welchem Wert wir im Durchschnitt zu
rechnen haben, welchen Wert wir erwarten.
Ein gleichartiges Vorgehen führt zur theoretischen Varianz als Gegenstück zur .
Definition von Erwartungswert und Varianz
Für eine Zufallsvariable mit den Realisationsmöglichkeiten
zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
wird der Lageparameter der
Wahrscheinlichkeitsverteilung, das potenzielle arithmetische Mittel, als
Erwartungswert bezeichnet, i.Z.:
Die theoretische Varianz ist
Page 6
und den
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
und die theoretische Standardabweichung
ist die Wurzel aus
der Varianz:
Für die vereinfachte Versicherungssituation erhalten wir mit dem bereits bekannten
Wert :
0
0.984
665.184
1000
0.010
9486.760
2000
0.003
11690.028
3000
0.002
17689.352
4000
0.001
15792.676
55324.000
Wieder ist die Standardabweichung die eigentliche Maßzahl zur Beurteilung der
Streuung. Hier ist Je geringer die Standardabweichung ist, desto eher werden sich die
Durchschnittswerte der einzelnen Schäden bei 26 Euro befinden.
Die Hamburger Würfelspiel-Bude hat folgenden Gewinnplan:
Der Einsatz beträgt zwei Euro; bei einmaligem Werfen mit einem Würfel gibt es:
Augenzahl
Auszahlung
6
4 Euro
1
3 Euro
3
Freispiel
Welche Auszahlung können Sie erwarten, wenn nur ein Freispiel möglich ist, d.h. Sie
dürfen bei der zweiten Drei nicht mehr weiterwürfeln?
Wie groß ist dann die Standardabweichung?
Interpretieren Sie die beiden Maßzahlen im Hinblick auf viele Spiele!
Page 7
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Link zur Lösung (
: d10.pdf )
Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz
Die wichtigsten Eigenschaften der beiden theoretischen Maßzahlen spiegeln die
Eigenschaften der entsprechenden empirischen Maßzahlen, dem arithmetischen Mittel
und der empirischen Varianz, wider:
Der Erwartungswert einer Lineartransformation ist also gleich dem linear
transformierten Erwartungswert. Bei der Varianz verändert eine Verschiebung nichts;
die Multiplikation mit einem Faktor verändert die Varianz in der Weise, dass der Faktor
quadratisch herausgezogen wird. Dies ist vernünftig, ergibt es doch für die
Standardabweichung die Relation
.
Über die Beziehung lässt sich die Varianz häufig einfacher berechnen.
Standardisierte Zufallsvariablen
Wir können vermuten, dass Verteilungen von Zufallsvariablen mit und zueinander
ähnlich sind. Wir führen daher eine besondere Bezeichnung ein:
Eine Zufallsvariable heißt standardisiert, wenn ihr Erwartungswert den Wert 0 und ihre
Standardabweichung den Wert 1 haben.
Durch eine einfache Transformation kann jede Zufallsvariable mit in eine
standardisierte Zufallsvariable transformiert werden. Die Transformation wird als
Standardisierung bezeichnet:
.
Generell gilt, dass der IQ in der Normalbevölkerung eine Verteilung besitzt mit und
Neue Intelligenztests müssen zur Herstellung der Vergleichbarkeit auf diese Normen
gebracht werden.
Bei einem neuen Test beträgt nun der Erwartungswert und die Varianz Wie muss die
Variable transformiert werden, damit die Ergebnisse vergleichbar werden?
Link zur Lösung (
: d66.pdf )
Tschebyschev-Ungleichung
Bei empirischen Verteilungen gibt die Standardabweichung an, wie stark die Werte um
den Mittelwert des Merkmals streuen. Bei einer kleinen Streuung haben wir weniger
große Abweichungen vom Mittelwert als bei einer größeren Streuung. Dies drückt auch
die empirische Variante der Tschebyschev-Ungleichung aus.
Titel: P.L. Tschebyschev, 1821-1894
Quelle: Bartth, F. und Haller, R. (1985): Stochastik; München: Ehrenwirth Verlag
Die theoretische Version der Tschebyschev-Ungleichung erfasst nun, dass wir bei einer
kleinen Streuung seltener eine große Abweichung vom Erwartungswert beobachten
werden als bei einer größeren Streuung.
Für eine Zufallsvariable mit Erwartungswert und Varianz
gilt bei beliebigem die
Page 8
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Tschebyschev-Ungleichung
Die Tschebyschev-Ungleichung gibt eine Mindestwahrscheinlichkeit dafür an, dass eine
Zufallsvariable einen Wert aus einem Schwankungsintervall annimmt, dessen Grenzen
das k-fache der Standardabweichung vom Erwartungswert weg liegen. Für verschiedene
Werte von k erhalten wir:
1
0
2
0.75
3
0.88889
4
0.9375
Für k=1 ist die Abschätzung praktisch wertlos, da Wahrscheinlichkeiten sowieso größer
oder gleich null sind. Bei k=2 sehen wir aber, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Wert
aus dem Intervall um zu beobachten, schon ¾ beträgt; bei k=3 ist sie praktisch
gleich 0.9 usw. Für die meisten Verteilungen, mit denen wir im Rahmen dieser
Einführung zu tun haben, ist die Abschätzung recht grob. Wenn aber sonst keine
Voraussetzungen gemacht werden, geht es nicht besser.
Ein Sägewerk erhält eine neue Maschine für den automatischen Zuschnitt von
Holzlatten. Der Hersteller teilt mit, dass die Maschine mit einer Varianz von
cm2 arbeitet.
Die Maschine wird so eingestellt, dass die mittlere Lattenlänge cm beträgt. Mit welcher
Mindestwahrscheinlichkeit liegt die Lattenlänge einer zufällig der Produktion
entnommenen Latte zwischen 148 cm und 152 cm?
Link zur Lösung (
: de5.pdf )
Erwartungswert
ExplanationStandardabweichung, theoretische
ExplanationStandardisierung
ExplanationTschebyschev-Ungleichung
ExplanationVarianz, theoretische
ExplanationVerteilungsfunktion, theoretische
ExplanationWahrscheinlichkeitsfunktion
ExplanationWahrscheinlichkeitsverteilung
ExplanationZufallsvariable
ExplanationZufallsvariable, standardisierte
Page 9
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Explanation
(c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme
Kontakt: http://www.neuestatistik.de
Page 10