Hans Walser, [20090928a] Eine Figur mit acht plus einem Kreis

Hans Walser, [20090928a]
Eine Figur mit acht plus einem Kreis
Anregungen: E. Chr. W. und P. G.
1 Worum geht es?
In der ebenen Geometrie scheinen sich Quadrat und regelmäßiges Dreieck zu „beißen“.
Es ist unmöglich, ein regelmäßiges Dreieck in ein Quadratraster zu legen, und umgekehrt passt auch kein Quadrat in das regelmäßige Dreiecksraster.
Gleichwohl gibt es eine auf Quadraten und Achtecken basierte Figur, welche regelmäßige Dreiecke, Sechsecke, Zwölfecke und ein 24-Eck enthält. Die Figur enthält zusätzlich einige schöne Eigenschaften. Historisch gesehen geht die Figur auf die Achteckskonstruktion in den Bauhütten der mittelalterlichen Kathedralen zurück.
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Aus der Bauhütte
2.1 Die Konstruktion
In den Bauhütten war folgende Konstruktion des Achteckes bekannt: Von den Ecken
eines Quadrates aus werden vier Kreise durch den Quadratmittelpunkt geschlagen. Die
Schnittpunkte dieser Kreise mit den Quadratseiten sind die Ecken eines regelmäßigen
Achtecks.
Konstruktion des Achteckes
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2.2 Beweise
Rein logisch genügt natürlich ein Beweis. Wenn wir versuchen, mehrere Beweise zu
finden, ergibt sich didaktischer Mehrwert (steuerfrei).
2.2.1 Forza brutale
Bezeichnungen
Wir rechnen. Bezeichnungen gemäß Figur. Unabhängig von der Bauhüttenkonstruktion
gilt:
y=x 2
x+y=a
Daraus ergibt sich durch Elimination von y:
x=
a
2 +1
=a
(
)
2 −1
Aus der Bauhüttenkonstruktion ergeben sich zwei Möglichkeiten, den Kreisradius r
auszudrücken: r = a 2 und r = a + x . Gleichsetzen liefert:
r =a 2 =a+x
x=a
(
)
2 −1
Also dasselbe Resultat für die halbe Achtecksseite x.
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2.2.2 Elegante
Beweisfigur
Diesen schönen Beweis verdanke ich Peter Gallin, Zürich. Der Kreisradius r = a + x
kann zum einen auf der Quadratseite und zum anderen auf der Diagonalen eingesehen
werden. Wenn wir noch das um 45° verdrehte Quadrat einzeichnen, ergibt sich ein
Proof without Words.
Proof w/o Words
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2.3 Die Achtkreisfigur
Jetzt ist es wohl an der Zeit, die Achtkreisfigur anzusehen. Die Zentren der acht Kreisbogen sind die Ecken der beiden Quadrate. — Vorläufig einfach eine ästhetisch schöne
Figur.
Achtkreisfigur
Hätten wir etwas mehr Geduld gehabt und die Bogen bis zum Umkreis der Figur geschlagen, hätten wir acht gleichseitige Dreiecke gefunden.
Acht kleine Dreiecke
Beweis: Sämtliche neuen beteiligten Kreise haben denselben Radius. Es genügt also, zu
zeigen, dass die an den Dreiecken beteiligten Kreisbogen denselben Zentriwinkel haben.
Dieser Zentriwinkel ist 15°, wie an der folgenden Figur eingesehen werden kann.
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Beweisfigur
Die beiden magenta Dreiecke sind gleichseitig, ihre Winkel also 60°. Daher gilt:
α = 135° − 2 ⋅ 60° = 15°
β = 60° − 45° = 15°
Wegen α = 15° und der Symmetrie der Figur bilden die 24 Punkte auf dem Umkreis
ein regelmäßiges 24-Eck.
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2.4 Das Zwölfeck
Die acht Schnittpunkte dieses Umkreises mit den vier Kreisen ergeben zusammen mit
den Quadratecken ein regelmäßiges Zwölfeck. Die Punkte sind ja eine alternierende
Auswahl aus den 24 Ecken des regelmäßigen 24-Eckes.
Regelmäßiges Zwölfeck
Geben wir noch einen drauf und zeichnen die Kreise vollständig. Das liefert erneut
gleichseitige Dreiecke. Die an diesen Dreiecken beteiligten Kreisbogen haben den
Zentriwinkel 30°. Und wir können das Zwölfeck zusammen mit den vier Dreiecken in
ein Quadrat einpacken.
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Mit Dreiecken und Außenquadrat
3 Die kanonische Achtkreisfigur
Wir zeichnen acht kongruente Kreise, deren Zentren ein regelmäßiges Achteck mit einem neunten kongruenten Kreis als Umkreis bilden.
Acht Kreise und ein neunter
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4 Vermutungen
Die wechselseitigen Schnittpunkte der Kreise sowie deren Zentren, also die Ecken des
Ausgangsachteckes, lassen einige Vermutungen zu.
4.1 Das regelmäßige 24-Eck
Wie wir schon gesehen haben, bilden die 24 Punkte auf dem Umkreis des Achteckes ein
regelmäßiges 24-Eck. Durch Auswahl geeigneter Punkte erhalten wir also ein regelmäßiges Dreieck, ein Quadrat, ein regelmäßiges Sechseck und ein regelmäßiges Zwölfeck.
Das Achteck haben wir schon.
Als Beispiel ein regelmäßiges Dreieck.
Regelmäßiges Dreieck
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4.2 Die lieben Kleinen
Ganz neckisch sind die kleinen und ganz kleinen gleichseitigen Dreiecke. Wir haben
diese in der Bauhütte schon angetroffen.
Zweimal acht kleine gleichseitige Dreiecke
4.3 Quadrate
Wir finden einen Kranz von Quadraten.
Quadrate
Um einzusehen, dass das wirklich Quadrate sind, ergänzen wir noch mit weiteren Vierecken.
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Rhomben
An der folgenden Figur können wir einsehen, dass es sich wirklich um Rhomben handelt. Sie haben den spitzen Winkel 45°, die Seiten gehören zu Kreisbogen mit dem
Zentriwinkel 45°.
Beweisfigur
Die magenta Linien zeigen, dass die Schenkel des inneren gleichschenkligen Dreiecks
der Vierecke zu Bögen mit dem Zentriwinkel 45° gehören. Die blaue Linie spiegelt das
innere Dreieck auf das äußere.
Mit einigen Zusatzüberlegungen kann nun gezeigt werden, dass die gelben Vierecke
rechtwinklige Rhomben derselben Seitenlänge sind, also Quadrate.
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4.4 Kozyklische Punkte
Nun ja, wir finden nun neun Kreise mit kleinerem Radius (der Radius ist
2 sin ( 22.5° ) ≈ 0.7654 mal der Radius der bisherigen Kreise) welche durch mehrere
Punkte unserer Figur laufen.
Noch mehr Kreise
4.5 Kollineare Punkte
Es gibt Tripel, Quadrupel, Quintupel und Hexatupel von kollinearen Punkten.
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4.5.1 Punktetripel
Kollineare Punktetripel
Die Trägergeraden der Punktetripel bilden zwei um 45° verdrehte Quadrate. Im Prinzip
haben wir diese Konfiguration schon beim Zwölfeck mit den aufgesetzten gleichseitigen Dreiecken angetroffen.
4.5.2 Punktequadrupel
Die folgenden zwei Figuren sind eine unmittelbare Folge der Figur mit den acht gelben
Quadraten.
Kollineare Punktequadrupel
Die Trägergeraden bilden zwei um 45° verdrehte Quadrate.
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Eine zweite Schar von kollinearen Punktequadrupeln
Die Trägergeraden bilden einen achtspitzigen Stern.
4.5.3 Punktequintupel
Kollineare Punktequintupel
Auf den Symmetrieachsen liegen je fünf Punkte.
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4.5.4 Punktehexatupel
Auch diese Figur ergibt sich aus der Konfiguration mit den acht gelben Quadraten.
Kollineare Punktehexatupel
Die trägergeraden bilden einen achtspitzigen Stern.
4.5.5 Integrales Bild
Kollineare Punkte mit Trägergeraden
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4.6 Bild des 4D-Hyperwürfels
Wir erkennen eine isometrische Darstellung des 4D-Hyperwürfels. Die Figur ergibt sich
aus der Figur mit den Punktehexatupeln.
Bild des 4D-Hyperwürfels