Formelsammlung
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Formelsammlung Vermessungskunde Trigonometrie Planimetrie Thomas Frei Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ....................................................................... 1 Allgemein................................................................................... 6 Vorsätze, Vielfache und Teile ...................................................... 7 Römische Zahlen ....................................................................... 7 Griechisches Alphabet................................................................ 8 Mathematische Zeichen.............................................................. 8 Winkel....................................................................................... 9 SI-Einheiten ............................................................................... 9 Vermessungskunde .................................................................... 10 Mittlerer Fehler ........................................................................ 11 Annäherung Pythagoras ........................................................... 12 Durchhang .............................................................................. 12 Messfehler ............................................................................... 12 Meteorologische Korrektur........................................................ 13 Temperatureinfluss ................................................................... 14 Zugstärkeneinfluss.................................................................... 14 Reduktion auf Meereshöhe ....................................................... 15 Korrektur Projektionssystem ....................................................... 15 Indirekte Längenmessung ......................................................... 16 Distanzfäden ........................................................................ 16 Basislatte ............................................................................. 16 Schrägdistanz .......................................................................... 17 Berechnung Einbinder .............................................................. 17 Formelsammlung Thomas Frei Seite 1 Berechnung von Radien............................................................ 18 Längs- und Querverschiebung .................................................. 18 Brechung des Lichtes ................................................................ 19 Planparallele Platte ............................................................... 19 Prismen................................................................................ 20 Linsen ..................................................................................... 20 Horizontkorrektur ..................................................................... 21 Erdkrümmung ...................................................................... 21 Refraktion ............................................................................ 21 Turmhöhenbestimmung ............................................................ 22 Vertikales Hilfsdreieck ........................................................... 22 Horizontales Hilfsdreieck ....................................................... 22 Kirchtürme ........................................................................... 23 Additionskonstante ................................................................... 23 Kubaturenberechnung .............................................................. 24 aus Querprofil...................................................................... 24 Dreieckprismen .................................................................... 24 aus Höhenkurven ................................................................. 24 Trigonometrie ........................................................................... 26 Bezeichnungen ........................................................................ 27 Berechnung im rechtw. Dreieck ................................................. 27 Beziehung der Funktionen ........................................................ 28 Darstellung am Einheitskreis ..................................................... 28 Schaubild Funktionswerte ......................................................... 29 Sinussatz ................................................................................. 30 Formelsammlung Thomas Frei Seite 2 Grundaufgaben ................................................................... 30 Cosinussatz ............................................................................. 30 Koordinatenumrechnung .......................................................... 31 Azimutberechnung ................................................................... 31 Koordinatentransformation ....................................................... 32 Rücktransformation ............................................................... 32 Polygonzug .............................................................................. 33 Planimetrie ............................................................................... 36 Winkel..................................................................................... 37 Dreieck ................................................................................... 38 Mittelparallele ...................................................................... 38 Mittelsenkrechte ................................................................... 39 Winkelhalbierende................................................................ 39 Seitenhalbierende ................................................................. 40 Höhe ................................................................................... 40 Euler’sche Gerade ................................................................ 40 Sätze des rechtwinkligen Dreieck ........................................... 41 Viereck .................................................................................... 42 Trapez ................................................................................. 44 Tangentenviereck ................................................................. 45 Sehnenviereck ...................................................................... 45 Kreis ....................................................................................... 46 Kreisflächen ......................................................................... 47 Winkel am Kreis ................................................................... 47 Beziehungen am Kreis........................................................... 48 Formelsammlung Thomas Frei Seite 3 Flächenberechnung.................................................................. 49 Segmente............................................................................. 49 Korrekturen .......................................................................... 50 Bogenabsteckung .................................................................... 51 Absteckung von der Tangente ............................................... 53 Absteckung von der Sehne .................................................... 53 Polare Absteckung ................................................................ 54 Viertelmethode ..................................................................... 54 Fläche zwischen Bogen und Tangenten .................................. 55 Übergangsbogen ..................................................................... 55 Formelsammlung Thomas Frei Seite 4 Formelsammlung Thomas Frei Seite 5 Allgemein Formelsammlung Thomas Frei Seite 6 Vorsätze, Vielfache und Teile 1‘000‘000‘000‘000‘000‘000 1‘000‘000‘000‘000‘000 1‘000‘000‘000‘000 1‘000‘000‘000 1‘000‘000 1‘000 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.000‘001 0.000‘000‘001 0.000‘000‘000‘001 0.000‘000‘000‘000‘001 0.000‘000‘000‘000‘000‘001 % ‰ ppm ppb Prozent Promille parts per million parts per billion Trillionenfach Billiardenfach Billionenfach Milliardenfach Millionenfach Tausenfach Hundertfach Zehnfach Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka E P T G M k h da Zehntel Hundertstel Tausendstel Millionstel Milliardstel Billionstel Billiardstel Trillionstel Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto d c m μ n p f a Hundertstel Tausendstel Millionstel Milliardstel 0.01 0.001 0.000‘001 0.000‘000‘001 Römische Zahlen I 1 X 10 C 100 M 1‘000 ↂ 10‘000 Formelsammlung V L D ↁ Thomas Frei 5 50 500 5‘000 Seite 7 Griechisches Alphabet Α Ω Alpha Ν ε Ny Β Ϊ Γ Ϋ Beta Gamma Ξ ζ Ο η Xi Omikron Δ ά Delta Π θ Pi Ε έ Epsilon Ρ ι Rho Ζ ή Zeta κ Sigma Η ί Θ ΰ Eta Theta Σ λ Τ μ Tau Ypsilon Ι α Iota Υ ν Phi Κ β Λ γ Kappa Lambda Φ ξ Χ ο Chi Psi Μ δ My Ψ π Omega Mathematische Zeichen ̅̅̅̅ ∑ → Strecke A-B Winkel Summe daraus folgt Formelsammlung ∞ ∟ Δ Thomas Frei Unendlich rechter Winkel Differenz Seite 8 Winkel 0° 360° 270° 0 rad 2π rad 0 gon 400 gon 𝜋 3𝜋 90° 300 gon 100 gon 2 rad π rad 200 gon 180° 2 rad Alte Teilung (Grad, DEG) Neue Teilung (Gon, GRAD) Radiant (Bogenmass, RAD) Vollkreis: 360° (Grad) 1°=60‘ (Minuten) 1‘=60‚ (Sekunden) Format HMS (° ‘ ‚) z.T. dezimale Unterteilung Vollkreis: 400g (gon) 1g=100c (Neuminuten) Vollkreis: 2π (rad) c dezimale Unterteilung cc 1 =100 (Neusekunden) Neu dezimale Unterteilung und Beschriftung mit gon statt g. SI-Einheiten Basiseinheiten nach SI (Système international d’unités) Grösse Länge Masse Zeit Stromstärke Temperatur Stoffmenge Lichtstärke Formelsammlung Einheit Meter Kilogramm Sekunde Ampère Kelvin Mol Candela Thomas Frei Zeichen m kg s A K mol cd Seite 9 Vermessungskunde Formelsammlung Thomas Frei Seite 10 Mittlerer Fehler z z1 z2 … zn v=M–z v²=vv v1 v2 … vn v1² v2² … vn² 0 [vv] √ √ M z n v s Mittelwert Einzelwert Anzahl Einzelmessungen Verbesserung Standardabweichung (Genauigkeit der Einzelmessung) Genauigkeit des Mittelwerts Anzahl gleicher Werte m x √ Resultat: M±m Taschenrechner (TI-30XIIS) z1 x z2 x … zn x Bedeutung der Werte: n Anzahl der Werte Durchschnitt Sx Standardabweichung x Populationsstandardabweichung x Summe aller Werte x² Summe aller Werte im Quadrat Formelsammlung Thomas Frei Programm beenden: Seite 11 Annäherung Pythagoras 2 l a l a Δl Distanz (gemessen) Abweichung der Geraden Längenänderung l p Δl Distanz (gemessen) Durchhang Distanzänderung Nur anwenden wenn: Durchhang p -l3 √ 3 3 Messfehler 2 2 2 Formelsammlung 2 2 2 3 l a Δl Thomas Frei Messung Ausweichung aus der Geraden Längenänderung Seite 12 Meteorologische Korrektur Korrekturen in mm auf 100 m Luftdruck in hPa = mbar 500 +15 550 +14 +13 600 +12 650 +11 +10 700 +9 +8 750 +7 +6 800 +5 Temperatur in °C Formelsammlung Thomas Frei Seite 13 50° 45° 40° 35° 30° 25° 20° 15° 10° -2 0 -5° -4 -20° -30° 1100 -5 -6 -7 -25° 1050 -3 -15° 1000 -1 -10° 950 5° 900 +4 +3 +2 +1 0° 850 Temperatureinfluss Δl α l Δt Längenänderung thermischer Ausdehnungskoeffizient Messlänge Temperaturdifferenz (Einsatztemperatur – Eichtemperatur) Thermischer Ausdehnungskoeffizient für Bandstahl: 11.5 ppm / °C Zugstärkeneinfluss 𝐹 Kraft 𝐴 Fläche 𝜍 Spannung 𝜀 relative Längenänderung 𝐸 Elastizitätsmodul 𝑙 Distanzänderung 𝑙 Distanz Kraft (F)= Angewandte Kraft – Eichkraft Standardmessbandfläche (A): 3.25mm² Elastizitätsmodul für Bandstahl (E): 210‘000 N / mm² Formelsammlung Thomas Frei Seite 14 Reduktion auf Meereshöhe Δl l H R Δl H l l Längenänderung Distanz auf Meereshöhe Höhe über Meer Erdradius R Standard für Erdradius: 6‘370 km = 6‘370‘000 m Korrektur Projektionssystem Δl l x +X B l A x Bern 0 / 0 +Y R Distanzänderung Distanz (gemessen) Mittlerer X-Wert der Landeskoordinaten Erdradius 2 2 Standard für Erdradius: 6‘370 km Formelsammlung Thomas Frei Seite 15 Indirekte Längenmessung Distanzfäden D L Horizontaldistanz Distanzablesung bei geneigter Visur: 𝐷𝑠 𝐿 cos 𝛽 𝐷ℎ 𝐿 ℎ cos 𝛽 𝐷ℎ tan 𝛽 Basislatte 2 tan γ = Ablesung rechts – Ablesung links Standard für b: 2m Formelsammlung Thomas Frei Seite 16 2 Schrägdistanz DS H β z DH sin cos z β DS DH H cos Zenitwinkel Höhenwinkel (+/–) Schrägdistanz Horizontaldistanz Höhe sin Berechnung Einbinder B X S=(AB) s=(AE) ΔY=YB –YA ΔX=XB –XA ΔYE=YE –YA ΔXE=XE –XA E A Y ℎ √ Toleranz für f: Formelsammlung 2 2 f = Sgerechnet – Sgemessen 3 Thomas Frei Seite 17 Berechnung von Radien s p r Sehnenlänge Pfeilhöhe Radius s 1 2 p s α 2 α' 2 2 Längs- und Querverschiebung ΔH Dkorr Dgem L Q Differenz zwischen Horizontalwinkel (Hsoll – Hist) Distanz zwischen Station und Neupunkt Distanz gemessen _ Längsverschiebung _ + Querverschiebung Neupunkt tan √ sin Formelsammlung + 2 2 cos Thomas Frei Seite 18 Brechung des Lichtes α α‘ α=α‘ Luft β sin 𝛼 sin 𝛽 Glas Reflexion (Spiegelung) 𝑛𝐺𝑙𝑎𝑠 𝑛𝐿𝑢𝑓𝑡 Refraktion (Brechung) Berechnung Brechungsindex (n): Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (300‘000 km/s) geteilt durch Lichtgeschwindigkeit im Medium nLuft: 1 nGlas: 1.5 nWasser: 1.33 Berechnung Grenzwinkel der Totalreflektion: zum Beispiel: sin 42° Planparallele Platte d s l Dicke der planparallelen Platte paralleler Versatz des Lichtstrahls Länge des Lichtstrahls in der Platte α 𝑠 d β l 𝑙 𝑑 sin 𝛼 𝛽 cos 𝛼 𝑑 cos 𝛽 s Formelsammlung Thomas Frei Seite 19 Prismen δ = α1 + α2 – γ Linsen Linsenformel: Formelsammlung Vergrösserung: Thomas Frei Seite 20 Horizontkorrektur 2 2 Erklärung siehe unten 2 Erdkrümmung B A Horizont d r H E r Erde Horizontaldistanz Erdradius Höhe gemessen Höhenkorrektur Standard für Erdradius: 6‘370 km 2 Refraktion Gebogener Lichtstrahl B A β β* Horizont d r H R r Erde Horizontaldistanz Erdradius Höhe gemessen Höhenkorrektur statt β wird β* gemessen 2 Standard für Erdradius: 6‘370 km k = 0.13 ± 25% Formelsammlung Thomas Frei Seite 21 Turmhöhenbestimmung T Vertikales Hilfsdreieck zB JB zA B JA A x b tan tan Horizontales Hilfsdreieck Seitenriss Grundriss T T zA JA x y y zB A α x B sin JB A β B b sin sin sin tan Formelsammlung tan Thomas Frei 2 Seite 22 Kirchtürme A B d h h b a A/B P h i Z Türme mit gleicher Höhe Stationspunkt Höhenuterschied Instrumentenhöhe Zenitwinkel ω Horizontalwinkel zwischen A und B i P ℎ √ 2 tan 2 tan 2 tan tan cos ℎ ℎ tan ℎ tan Additionskonstante A B C a Additionskonstante bei jeder Messung vorhanden a = (AC) – (AB + BC) Formelsammlung Thomas Frei Seite 23 Kubaturenberechnung aus Querprofil 2 Fläche aus Querprofilen (Mittel) mal Distanz Dreieckprismen Z h Punkthöhe Höhe Prismaboden 3 ℎ aus Höhenkurven steiles Gelände: ℎ ha: Äquidistanz 2 3 2 Ax: Höhenkurvenfläche flaches Gelände: ℎ Formelsammlung h G D M Thomas Frei Höhe Grundfläche Deckfläche Fläche auf halber Höhe Seite 24 Formelsammlung Thomas Frei Seite 25 Trigonometrie Formelsammlung Thomas Frei Seite 26 Bezeichnungen H A G ω H G ω Hypotenuse Ankathete Gegenkathete gegebener Winkel A Folgende Bezeichnungen werden in der Praxis nicht gebraucht: Berechnung im rechtw. Dreieck Winkel ω Gegenkathete gegeben gegeben gegeben gegeben tan tan sin gegeben sin gegeben cos Formelsammlung √ 2 Ankathete Hypotenuse tan sin gegeben cos gegeben √ 2 Thomas Frei 2 gegeben cos gegeben √ 2 2 gegeben gegeben Seite 27 2 Beziehung der Funktionen gegeben cos α sin α sin α gesucht cos α tan α √ --√ sin 2 sin √ tan 2 --√ sin cos tan α 2 cos cos √ tan 2 √ tan 2 2 --- Darstellung am Einheitskreis sin 0 gon = 0 sin 100 gon = 1 cos 0 gon = 1 cos 100 gon = 0 tan 0 gon = 0 tan 50 gon = 1 tan 100 gon = ∞ tan sin arc arc 0 gon = 0 arc 100 gon = 2 sin cos cos cos sin 2 Formelsammlung Thomas Frei Seite 28 Schaubild Funktionswerte sin cos tan arc 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 -1 -2 -3 sin sin tan cos tan cos Quadrant Y X Sinus Cosinus Tangens 1. 0<ω<100 + + + + + 2. 100<ω<200 + + 3. 200<ω<300 - + 4. 300<ω<400 - + + - Formelsammlung Thomas Frei Seite 29 400 Sinussatz sin sin sin Grundaufgaben 1. Dreieck gegeben: 1 Seite, 2 Winkel sin sin sin sin 2. Dreieck gegeben: 2 Seiten, Winkel der grösseren Seite gegenüber sin sin sin sin 3. Dreieck gegeben: 2 Seiten, Winkel der kleineren Seite gegenüber ACHTUNG: 2 Lösungen! sin sin sin sin 2 Cosinussatz √ 2 2 cos cos √ 2 2 cos cos √ 2 2 cos cos Für Dreiecke, bei denen 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. Formelsammlung Thomas Frei 2 2 2 Für Dreiecke, bei denen alle Seiten gegeben sind. Seite 30 Koordinatenumrechnung gegeben: Distanz (d), Azimut (α) gesucht: Y-Wert, X-Wert sin cos Taschenrechner (TI-30XIIS) Y=dα X=dα gegeben: Y-Wert, X-Wert gesucht: Distanz (d), Azimut (α) tan ist X-Wert negativ, dann α + 200 gon √ 2 2 sin cos Taschenrechner (TI-30XIIS) d=XY α=XY Azimutberechnung tan Formelsammlung Z A B Thomas Frei Azimut Standpunkt Zielpunkt Seite 31 Koordinatentransformation A B P Z a b sin cos k cos Standpunkt Zielpunkt Polygonseite Zielpunkt Azimut Abszissenmass Ordinatenmass (wenn links, dann –) Korrekturwert (Massstab) sin ̅̅̅̅ mit a und eventuell mit b multiplizieren ̅̅̅̅ Rücktransformation sin cos cos sin Formelsammlung Thomas Frei Seite 32 Polygonzug A C 1-3 Anschlusspunkt (0) Endpunkt (n) Neupunkte (2,3,…) B D Z Anfangspunkt (1) Abschlusspunkt (n+1) Azimut ∑ gerechnetes Azi Winkelabschlussfehler (fβ) = gerechnetes Azi – gemessenes Azi Toleranz (Instruktion II): Hauptzug: √ Nebenzug: √ Winkelfehler gleichmässig auf die Messungen verteilen. Nur bis kleinste Ableseeinheit (wie bei Nivellement) Formelsammlung Thomas Frei Seite 33 Koordinaten provisorisch berechnen fy = Ysoll – Yprovisorisch fx = Xsoll – Xprovisorisch 2 Distanzabschlussfehler √( ) Toleranz (Instruktion II): Hauptzug: √ s = Summe aller Polygonseiten Nebenzug: √ 2 Abschlussfehler proportional zur Polygonseite verteilen. ̅̅̅̅ ℎ ̅̅̅̅ ℎ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ℎ ℎ Auf Vorzeichen achten! Formelsammlung Thomas Frei Seite 34 Formelsammlung Thomas Frei Seite 35 Planimetrie Formelsammlung Thomas Frei Seite 36 Winkel spitzer Winkel (0–100 gon) rechter Winkel (100 gon) stumpfer Winkel (100–200 gon) gestreckter Winkel (200 gon) überstumpfer Winkel (200–400 gon) Vollwinkel (400 gon) Komplementwinkel: α+β = 100 gon Supplementwinkel: α+β = 200 gon Implementwinkel: α+β = 400 gon α=α‘ β=β‘ α=α‘‘ β=β‘‘ α' Scheitelwinkel α=200 gon – β β=200 gon – α α=α‘‘‘ β=β‘‘‘ α Stufenwinkel β''' Nebenwinkel β'' β α'' β' α''' Wechselwinkel α=200 gon – β‘‘‘ β‘‘=200 gon – α‘ Formelsammlung Gegenwinkel Thomas Frei (äusserer) (innerer) Seite 37 Dreieck B β Ecken: A, B, C Seiten: a, b, c Winkel: α, β, γ α γ A C b ℎ 2 ℎ 2 ℎ 2 sin 2 √ sin 2 sin 2 2 √3 4 gleichseitiges Dreieck Inkreisradius Mittelparallele 𝑏 𝑝𝑎 𝑐 𝑎 2 𝑝𝑏 𝑏 2 𝑝𝑐 𝑐 2 pa 𝑏 𝑐 pc 𝑎 Formelsammlung pb Die kleinen Dreiecke sind alle gleich und halb so gross wie das grosse Dreieck. 𝑎 Thomas Frei Seite 38 Mittelsenkrechte 𝑏 𝑐 Schnittpunkt M = Zentrum Umkreis mb 𝑏 𝑐 M 4 mc 2 sin ma 𝑎 𝑎 Winkelhalbierende Schnittpunkt M = Zentrum Inkreis b2 wα c ρ 𝜌 b1 𝛾 wγ M wβ 𝑏 𝑏2 𝑎 𝐴 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 a Formelsammlung Thomas Frei Seite 39 Seitenhalbierende 𝑏 𝑐 Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 sc 𝑏 𝑐 S sa sb 𝑎 𝑎 Höhe 𝑎 𝑏 𝑐 ℎ𝑎 ℎ𝑏 ℎ𝑐 ha b c H hc hb a Euler’sche Gerade Die Schnittpunkte der Höhen (H), der Seitenhalbierenden (S) und der Winkelhalbierenden (M) liegen auf einer Geraden. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Formelsammlung Thomas Frei Seite 40 Sätze des rechtwinkligen Dreieck a b h q p c c=p+q Satz des Pythagoras: Kathetensatz: Höhensatz: Formelsammlung 2 2 2 2 2 ℎ2 Thomas Frei Seite 41 Viereck B β α A Ecken: A, B, C, D Seiten: a, b, c, d Winkel: α, β, γ, δ Diagonalen: e, f C γ δ D d Viereck Tangentenviereck Drachenviereck Trapez Rhomboid Rhombus Sehnenviereck gleichsch. Trapez Rechteck Quadrat Formelsammlung Thomas Frei Seite 42 Parallelogramme Trapeze Viereck je zwei gegenüberliegende gleich 4∟ Trapez 4∟ die nicht parallelen gleich je zwei anstossende gleich alle gleich gleichsch. Trapez rechtw. Trapez Rhomboid Rechteck Rhombus Quadrat Drachen (Deltoid) zwei Seiten parallel je zwei gegenüberliegende parallel 2∟ Summe Innenwinkel 400 gon Winkel zwischen 2 ungleichen Seiten gleich Zwei aufeinanderfolgende Innenwinkel Innenwinkel am gleichen sind supplementär Schenkel sind supplementär Winkel an gleicher Grundlinie sind gleich gegenüberliegende Winkel sind gleich Inkreis Ja Inkreis Nein Umkreis Umkreis Umkreis Umkreis Umkreis i.d.R. Nein Ja Nein Ja Nein Formelsammlung Thomas Frei Inkreis i.d.R. Nein Umkreis i.d.R. Nein Umkreis Ja Umkreis i.d.R. Nein Seite 43 Diagonalen gleich Diagonalen gleich Diagonalen gleich eine Diagonale wird halbiert Diagonalen halbieren sich gegenseitig Diagonalen stehen rechtwinklig aufeinander sin sin 2 2 ℎ ℎ sin sin D ℎ 2 c Trapez C b h B sin 2 ℎ Formelsammlung d A, B, C, D a, b, c, d α, β, γ, δ h A a ℎ Ecken: Seiten: Winkel: Höhe: sin sin sin 2( Thomas Frei ) Seite 44 Tangentenviereck 2 2 2 2 Sehnenviereck √ 4 4 4 √ Formelsammlung √ Thomas Frei Seite 45 Kreis u b r Z Z r d u b s p α A Ar Zentrum Radius Durchmesser Umfang Bogenlänge Sehnenlänge Pfeilhöhe Zentriwinkel Kreisfläche Kreisringfläche R grosser Radius r kleiner Radius 2 Formelsammlung Thomas Frei Seite 46 Kreisflächen Kreisringsektor Kreisabschnitt Segment Kreisausschnitt Sektor 2 2 2 2 4 ( 4 2 ) 4 (2 sin ) Winkel am Kreis α β γ Zentriwinkel Peripheriewinkel Sehnentangentenwinkel 𝛼 Formelsammlung Thomas Frei 𝛽 𝛾 Seite 47 Beziehungen am Kreis C A Sehnensatz: ̅̅̅̅ 𝐵𝑆 ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 S ̅̅̅̅ 𝐷𝑆 ̅̅̅̅ 𝐶𝑆 B D A Senkantensatz: C ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 ̅̅̅̅ 𝐵𝑆 ̅𝐶𝑆 ̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐷𝑆 B D S A Tangentensatz: B S ̅̅̅̅ 2 𝑇𝑆 ̅̅̅̅ 𝐵𝑆 ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 T Formelsammlung Thomas Frei Seite 48 Flächenberechnung y2 · x 1 y3 · x 2 y4 · x 3 … y1 · x n y1 · x 2 y2 · x 3 y3 · x 4 … yn · x 1 1 2 𝐴 Segmente sin 2 2 2 2 ( sin ) Linkskurve = Minussegment Rechtskurve = Plussegment Formelsammlung Thomas Frei Seite 49 Korrekturen 1 Punkt schieben: g ΔA h B Strecke B-C Flächendifferenz Querverschiebung ℎ g 𝐴 𝑔 ΔA C‘ aus Schnitt Gerade-Gerade C-B Quer h, C-D h C C‘ D 2 Punkte schieben: 3 2 4 2‘ S AD h ΔA A 5 g 6 1‘ 1 A AD ΔA S g h Fläche 1-2-3-4-5-6-7 Fläche 1-S-2 Flächendifferenz Schnittpunkt 1-7, 2-3 Stecke 1-2 Querverschiebung 7 ℎ √ Formelsammlung Thomas Frei Seite 50 Bogenabsteckung r α t b a s s‘ p ϕ Z TP BA BM BE tan 2 Radius Zentriwinkel Tangentenlänge Bogenlänge Bogenabstand Hauptsehne Teilsehne Pfeilhöhe Tangentenwinkel Zentrum Tangentenschnittpunkt Bogenanfang Bogenmitte Bogenende 2 sin 2 cos cos 2 Nach r aufgelöst: 2 tan cos cos 2 ( ) 2 Formelsammlung 2 Thomas Frei Seite 51 Spezialfall a und b gegeben: 2 2 ( ) cos 2 grün: bekannt cos Beispiel: a=20.32 2 b=81.26 Annahme: α=95,000 gon 2,891 gon Annahme: α=97,000 gon 0,261 gon Ergebnis: α=92,109 gon Δ= Ergebnis: α=97,261 gon Δ=- Differenz: 2,000 gon ↓ durch 3,152 3 Satz: 0,635 gon ↓ mal 2,891 Ergebnis: 1,835 gon 3,152 gon 1,000 gon 2,891 gon Lösung: 95,000 gon + 1,835 gon = 96,835 gon Annahme: α=96,835 gon Δ=0,009 gon Annahme: α=96,840 gon Δ=0,000 gon Resultat: α=96,840 gon Formelsammlung Ergebnis: α=96,825 gon Ergebnis: α=96,840 gon Rest aus vorherigen Formeln Thomas Frei Seite 52 Absteckung von der Tangente 𝑥 𝑟 sin 𝛽 𝑦 𝑟 cos 𝛽 α durch n teilen (n gerade Zahl) ergibt β für B1 β verwenden, B2 2β, B3 3β, … bei Ordinatenwerte (y) grösser 30m aufhören (zu ungenau) Absteckung von der Sehne 𝑥 𝑟 sin 𝛽 𝑦 𝑟 (cos 𝛽 Für BM: x = 0 y = p Für BA / BE: x = s / 2 y = 0 Formelsammlung Thomas Frei Seite 53 𝛼 2 cos ) Polare Absteckung 2 sin sin Viertelmethode Brauchbar solange Formelsammlung Thomas Frei Seite 54 Fläche zwischen Bogen und Tangenten 𝐴 𝑟 2 (tan 𝛼 𝛼 𝜋 ) 𝑔𝑜𝑛 Übergangsbogen Gegeben: Strecke BA-TP = a beide Radien (R, r) Winkel BA-TP-P = α 1. Tangentenlänge des kleinen Bogen rechnen 𝑡 2. 3. 4. 𝑟 tan 2 1. Koordinaten BA: 0 / 0 TP: a / 0 Zr: 0 / r 𝑔𝑜𝑛 𝛼 2 2. ZR aus Schnitt G-K G: TP-BA +α , Quer: –R K: Zr, Radius: R–r 3. Zentriwinkel berechnen x rechnen 𝑥 𝑎 𝑡 p rechnen 𝑝 𝑥 sin 𝛼 Zentriwinkel berechnen ZR: cos 𝛽 𝑅 𝑟 𝑝 𝑅 𝑟 Zr: 𝛾 𝑔𝑜𝑛 Formelsammlung 𝛽 𝛼 𝛽 Thomas Frei Seite 55 Formelsammlung Thomas Frei Seite 56 Formelsammlung Thomas Frei Seite 57 Formelsammlung Thomas Frei Seite 58
