Aufgaben zu Kapitel 37

Aufgaben zu Kapitel 37
Aufgaben zu Kapitel 37
Verständnisfragen
Aufgabe 37.1
•
Zeigen Sie:
∞
i=1
∞
i=1
∞
∞ i=1 k=i
∞
∞ Ai = {alle x, die in mindestens einem Ai liegen}
Ai = {alle x, die in allen Ai liegen}
Ai = {alle x, die in unendlich vielen Ai liegen}
Ai = {alle x, die in fast allen Ai liegen}
i=1 k=i
Aufgabe 37.2
werden.
•
Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Dabei kann jeweils Kopf oder Zahl geworfen
a) Aus wie viel Elementen besteht die von allen möglichen Elementarereignissen erzeugte σ -Ereignisalgebra S0 ?
b) Aus welchen Ereignissen besteht die von den Ereignissen A =„Der erste Wurf ist Kopf“ und B =„Es wurde mindestens
einmal Kopf geworfen“ erzeugte σ -Ereignisalgebra S1 ? Enthält S1 auch: C = „Der zweite Wurf ist Kopf“?
Aufgabe 37.3 •
Sind bei einem idealen Kartenspiel mit jeweils 8 Karten in den vier Farben: „Herz“, „Karo“, „Pik“ und
„Kreuz“ (insgesamt 32 Karten) die Ereignisse: „Herz“ und „10“ voneinander stochastisch unabhängig?
Aufgabe 37.4
und B C .
••
Zeigen Sie: Sind A und B unabhängig, dann sind auch A und B C unabhängig, ebenso B und AC, AC
Aufgabe 37.5 ••• Scheich Abdul hat einen zauberhaften Ring, der die Gabe besitzt, in der Schlacht unverwundbar zu
machen. Er hat aber auch drei Söhne, Mechmed, Hassan und Suleiman, die er alle drei gleich liebt. Da er nicht einen vor dem
anderen vorziehen will, überlässt er Allah die Entscheidung, wer von den dreien den Schutzring erben soll. Er lässt vom besten
Goldschmied des Landes zwei Kopien des Rings herstellen, sodass am Ende alle drei Ringe äußerlich nicht zu unterscheiden
sind. Nun verlost er die drei Ringe an seine drei Söhne, die auch sofort die Ringe aufsetzen und nie wieder abnehmen.
Nach seinem Tod überfällt der böse Feind mit seinen Truppen das Land und alle Brüder wollen in den Krieg ziehen. Leider
hat Hassan Schnupfen, liegt im Bett und kann nicht mitkommen. Die Schlacht wird auch ohne ihn gewonnen. Leider aber ist
Suleiman in der Schlacht gefallen. Mechmed besucht Hassan im Krankenzimmer und erzählt. Da äußert Hassan eine Bitte: Er
will seinen Ring mit dem von Mechmed tauschen. Nach langem Zögern und Verhandeln willigt Mechmed ein, aber nur unter
einer Bedingung: Er möchte Hassans Lieblingssklavin Suleika dazu haben. Hassan willigt ein, die Ringe werden getauscht.
Da fragt Hassan: Sag mal, warum wolltest Du ausgerechnet Suleika haben? Da gesteht Mechmed: Weißt Du, ich war gar nicht
in der Schlacht, ich war die ganze Zeit bei Suleika.
Frage: Wie bewerten Sie den Tausch vor und nach dem Geständnis?
Aufgabe 37.6 ••• Vater Martin, Mutter Silke, die Kinder Anja und Dirk sowie Opa Arnold gehen gemeinsam zum
Picknick im Wald spazieren. Auf dem Nachhauseweg bemerken die Kinder plötzlich, dass der Opa nicht mehr da ist. Es gibt
drei Möglichkeiten:
(H ) : Opa ist schon zuhause und sitzt gemütlich in seinem Sessel.
(M) : Opa ist noch auf dem Picknick-Platz und flirtet mit jungen Mädchen.
(W ) : Opa ist in den nahegelegenen Wald gegangen und sucht Pilze.
Aufgrund der Gewohnheiten des Opas kennt man die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Ereignisse H, M und W:
P (H ) = 15 %;
P (M) = 80 %;
P (W ) = 5 %
Anja wird zurück zum Picknick-Platz und Dirk zum Waldrand geschickt, um den Opa zu suchen. Wenn Opa auf dem
Picknick–Platz ist, findet ihn Anja mit 90 %-iger Wahrscheinlichkeit, läuft er aber im Wald herum, wird ihn Dirk mit einer
Wahrscheinlichkeit von nur 50 % finden.
Arens et al., Mathematik, ISBN: 978-3-8274-1758-9, © Spektrum Akademischer Verlag, 2008
1
2
Aufgaben zu Kapitel 37
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anja den Opa findet?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Kinder den Opa finden wird?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, den Opa bei Rückkehr zuhause in seinem Sessel sitzend anzutreffen, falls die
Kinder ihn nicht finden sollten?
Aufgabe 37.7 ••• Es seien α, β und γ drei Krankheitssymptome, die gemeinsam auftreten können. Dabei bedeute α C , dass
das Symptom α nicht aufgetreten ist; Analoges gilt für β C und γ C . Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationen
seien:
P αβγ C = 0
P (αβγ ) = 18
C 1
C 1
P αβ = 4
P αβ γ = 8
P α C βγ C = 41
P α C βγ = 18
C 1
C
P α γ = 8
P α =0
Dabei haben wir abkürzend αβγ für α ∩ β ∩ γ geschrieben. Analog in den übrigen Formeln.
Zeigen Sie: a) P (αβγ ) = P (α) P (β) P (γ ) . b) P (αβ) = P (α) P (β) .
Aufgabe 37.8 ••• Es seien die n Ereignisse Ai , i = 1, . . . , n disjunkt und V =
vom Ereignis B.
n
i=1 Ai . Weiter sei jedes Ai
unabhängig
a) Zeigen Sie, dass dann auch V und B unabhängig sind.
b) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass dies nicht mehr gilt, wenn die Ai nicht disjunkt sind.
Rechenaufgaben
Aufgabe 37.9 •
1. An der Frankfurter Börse wurde eine Gruppe von 70 Wertpapierbesitzern befragt. Es stellte sich
heraus, dass 50 von ihnen Aktien und 40 Pfandbriefe besitzen. Wie viele der Befragten besitzen sowohl Aktien als auch
Pfandbriefe?
2. Aus einer zweiten Umfrage unter allen Rechtsanwälten in Frankfurt wurde bekannt, dass 60 % der Anwälte ein Haus und
80 % ein Auto besitzen. 20 % der Anwälte sind Mitglied einer Partei.
Von allen Befragten sind 40 % Auto- und Hausbesitzer, 10 % Autobesitzer und Mitglied einer Partei und 15 % Hausbesitzer
und Mitglied einer Partei. Wie viel Prozent besitzen sowohl eine Auto als auch ein Haus und sind Mitglied einer Partei?
Aufgabe 37.10
•
Aufgabe 37.11 ••
9 Personen bilden?
Wie viele k-stellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern von 1 bis 9 bilden?
Wie viele verschiedene Arbeitsgruppen mit jeweils 4 Personen kann man aus einer Belegschaft von
Aufgabe 37.12 ••
An einem Wettkampf beteiligen sich 10 Sportler. Sie wollen die drei Medaillengewinner voraussagen.
Wie viele Tipps müssen Sie abgeben, damit Sie mit Sicherheit a) die drei Gewinner dabei haben? Wie viele Tipps brauchen
Sie, wenn b) auch noch die Rangfolge – Gold, Silber Bronze – stimmen soll?
Aufgabe 37.13 •
Wie viele verschiedene – nicht notwendig sinnvolle – Worte kann man aus allen Buchstaben der
folgenden Worte bilden? a) dort, b) gelesen, c) Ruderregatta.
Aufgabe 37.14 ••• Wie viele Arten gibt es, 8 Türme auf ein sonst leeres Schachbrett zu stellen, sodass sie sich nicht
schlagen können?
Aufgabe 37.15 •
Ein Autokennzeichen bestehe aus ein bis drei Buchstaben gefolgt von 4 Ziffern. Wie viele verschiedene
Kennzeichen können so erzeugt werden?
Aufgabe 37.16 ••
In einem Büro mit 3 Angestellten sind 4 Telefonate zu erledigen. Wie viele Möglichkeiten gibt es,
diese 4 Aufgaben auf die drei Personen zu verteilen?
Aufgabe 37.17 ••
Zu einer Feier wollen Ihre Gäste Weißwein trinken. Sie haben von drei Sorten jeweils 12 Flaschen
im Keller und wollen einige Flaschen im Kühlschrank kalt stellen. Der Kühlschrank fasst aber nur 6 Flaschen. Wie groß ist
die Anzahl der Möglichkeiten 6 Flaschen auszuwählen und im Kühlschrank zu verstauen?
Aufgabe 37.18 ••
a) Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich m verschiedene Kugeln auf n verschiedene Schubladen
aufteilen? b) Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich m gleiche Kugeln auf n verschiedene Schubladen aufteilen?
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Aufgaben zu Kapitel 37
Aufgabe 37.19 ••• Wir betrachten vier Spielkarten B Bube, D Dame, K König und den Joker J . Jede dieser
vier Karten werde mit gleicher Wahrscheinlichkeit 41 gezogen. Der Joker kann als Bube, Dame oder König gewertet werden.
Wir ziehen eine Karte und definieren die drei Ereignisse:
b
d
k
:={B ∪ J }
:={D ∪ J }
:={K ∪ J }
⇒
⇒
⇒
P (b) =
P (d) =
P (k) =
1
2
1
2
1
2
Zeigen Sie: Die Ereignisse b, d, k sind paarweise, aber nicht total unabhängig.
Aufgabe 37.20 ••• Gegeben sei eine Münze, die mit Wahrscheinlichkeit α Kopf und mit Wahrscheinlichkeit 1 − α Zahl
wirft: P (K) = α und P (Z) = 1 − α. Die Münze wird dreimal total unabhängig voneinander geworfen. Wir betrachten die
beiden Ereignisse A := „Es fällt höchstens einmal Zahl“ und B := „Es fällt jedesmal dasselbe Ereignis“. Für welche Werte
von α sind A und B unabhängig?
Aufgabe 37.21 ••• Bei einem Münz-Wurf-Spiel wird eine Münze hintereinander mehrmals geworfen, die mit Wahrscheinlichkeit γ „Kopf“ wirft. Dabei seien die Würfe total unabhängig voneinander. Wird „Kopf“ geworfen, erhalten Sie
einen Euro, wird „Zahl“ geworfen, zahlen Sie einen Euro. Sie starten mit 0 €. Das Spiel bricht ab, wenn Ihr Spielkonto
entweder ein Guthaben von 2 € oder Schulden von 2 € aufweist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit α, dass Sie mit einem
Guthaben von 2 € das Spiel beenden?
Aufgabe 37.22 ••
Bei einer Klausur sind bei jeder Frage m Antwortmöglichkeiten angegeben. Mit Wahrscheinlichkeit
α weiß jeder Prüfling die richtige Antwort. Nehmen Sie an, dass ein Prüfling, der die korrekte Antwort nicht weiß, würfelt
und eine der m Antworten mit gleicher Wahrscheinlichkeit ankreuzt. Weiß er dagegen die Antwort, so kreuzt er mit Sicherheit
die richtige Antwort an. Angenommen, eine Frage sei richtig beantwortet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit γ , dass der
Prüfling die Antwort wusste?
Aufgabe 37.23
ausgelost.
••• n Ehepaare feiern gemeinsam Silvester. Um 24:00 Uhr wird getanzt. Dazu werden alle Tanzpaare
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand dabei mit seinem eigenen Ehepartner tanzt?
b) Gegen welche Zahl konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, falls n → ∞ geht?
Anwendungsprobleme
Aufgabe 37.24 •• Der zerstreute Professor verliert mitunter seine Schlüssel. Nun kommt er einmal abends nach Hause
und sucht wieder einmal den Schlüssel. Er weiß, dass er mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jeder seiner 10 Taschen stecken
kann. Neun Taschen hat er bereits erfolglos durchsucht. Er fragt sich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Schlüssel
in der letzten Tasche steckt, wenn er weiß, dass er auf dem Heimweg mit 5 % Wahrscheinlichkeit seine Schlüssel verliert.
Aufgabe 37.25 ••• Die Fußballmannschaften der Länder A, B, C, D stehen im Halbfinale. Hier wird A gegen B und C
gegen D kämpfen. Die Sieger der Spiele (A : B) und (C : D) kämpfen im Finale um den Sieg. Nehmen wir weiter an, dass im
Spiel der Sieg unabhängig davon ist, wie die Mannschaften früher gespielt haben und wie die anderen spielen. Aus langjähriger
Erfahrung kennt man die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Mannschaft gegen eine andere gewinnt. Diese Wahrscheinlichkeiten
mit der Zeilenmannschaft gegen Spaltenmannschaft siegt, sind in der folgenden Tabelle wiedergegeben:
A
B
A
B
C
D
−
0.7
0.2
0.4
−
0.8
0.6
−
0.1
C
Zum Beispiel gewinnt A gegen B, mit Wahrscheinlichkeit 0,7, im Symbol P (A B) = 0.7
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit siegt D im Finale?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit spielt D im Finale gegen A?
Aufgabe 37.26 ••• Ein Labor hat einen Alkoholtest entworfen. Aus den bisherigen Erfahrungen weiß man, dass 60 % der
von der Polizei kontrollierten Personen tatsächlich betrunken sind. Bezüglich der Funktionsweise des Tests wurde ermittelt,
dass in 95 % der Fälle der Test positiv reagiert, wenn die Person tatsächlich betrunken ist, in 97 % der Fälle der Test negativ
reagiert, wenn die Person nicht betrunken ist.
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Aufgaben zu Kapitel 37
1. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person ein negatives Testergebnis hat und trotzdem betrunken ist?
2.Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Test positiv ausfällt?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person betrunken ist, wenn der Test positiv reagiert?
Verwenden Sie die Symbole A für „Person ist betrunken“ und T für „der Test ist positiv“.
Aufgabe 37.27 ••• Im Nachlass des in der Forschung tätigen Arztes S. Impson wurde ein Karteikasten mit den Daten
über den Zusammenhang zwischen einem im Blut nachweisbaren Antikörper und dem Auftreten einer Krankheit gefunden.
Auf den Karteikarten sind die folgenden Merkmale notiert:
Geschlecht
Antikörper
Krankheit
M := Mann
A := vorhanden
K := krank
F := Frau
AC := nicht vorhanden
G := gesund
Die Auswertung der Karten erbrachte die in der folgenden Tabelle notierte Häufigkeitsverteilung:
krank K
gesund G
Summe
A
Antikörper
Männer
Frauen
AC Summe
A
AC Summe
1
4
5
20
20
40
21
24
45
36
9
45
9
1
10
45
10
55
1. Interpretieren
Sie relative Häufigkeiten
als (bedingte) Wahrscheinlichkeiten. Wie groß sind dann P (G |AM );
P G AC M ; P (G |AF ); P G AC F ? Spricht aufgrund dieser Tabelle das Vorliegen des Antikörpers eher für oder
eher gegen die Krankheit?
2. Ignorieren Sie jeweils ein Merkmal und stellen Sie die zweidimensionale Häufigkeitstabelle für die beiden anderen Merkmale zusammen. Deuten Sie mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeiten deren Zusammenhang.
3. Die sichere Diagnose, ob die Krankheit wirklich bei einem Patienten vorliegt, sei sehr zeitaufwendig (14 Tage). Die
Feststellung, ob der Antikörper im Blut vorhanden ist, gehe sehr schnell (10 Minuten). Sie sind Leiter einer Unfallklinik. Bei
Unfallpatienten, die in die Erste-Hilfe-Station eingeliefert werden, hängt die richtige Behandlung davon ab, ob die Krankheit
K vorliegt oder nicht. (Es können sonst gefährliche Allergie-Reaktionen auftreten.) Wie würden Sie als behandelnder Arzt
entscheiden, wenn die Antikörperwerte des Patienten vorliegen?
4. In Ihrer Klinik wird eine Person Toni P. eingeliefert, die zu den Patienten von Dr. S. Impson gehörte. Bei P. liegen Antikörper
vor. Aus dem Krankenblatt geht nicht hervor, ob Toni P. männlich oder weiblich ist. Wie würden Sie entscheiden (Krankheit
K ja oder nein)?
5. Sie erfahren, dass Toni P. ein Mann ist. Ändert dies Ihre Entscheidung?
6. Aus einer anderen Untersuchung weiß man, dass in der Gesamtbevölkerung 15 % der Männer und 70 % der Frauen den
Antikörper in sich tragen. Weiter seien 52 % der Bevölkerung männlich. Wie groß schätzen Sie den Anteil der Kranken in
der Bevölkerung?
7. Welche Daten können Sie dazu aus den Unterlagen von Dr. Impson verwenden, wenn Sie wissen, dass er seine Auswertung
auf eine Zufallsstichprobe stützte, bei der 50 Personen mit und 50 Personen ohne Antikörper ausgewählt wurden?
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Hinweise zu Kapitel 37
Hinweise zu Kapitel 37
Verständnisfragen
Aufgabe 37.1
•
–
Aufgabe 37.2
•
–
Aufgabe 37.3
•
–
Aufgabe 37.4
••
–
Aufgabe 37.5
••• –
Aufgabe 37.6
••• –
Aufgabe 37.7 ••• Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm mit den drei Ereignissen und tragen Sie die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ein.
Aufgabe 37.8 ••• Betrachten Sie vier disjunkte gleichwahrscheinliche Ereignisse a, b, c, g mit P (a) = P (b) = P (c) =
P (g) = 41 und bilden Sie daraus die Ereignisse A = {a, g} , B = {b, g} und C = {c, g} . ( g wie gemeinsam!) Was sind die
Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse? Sind sie oder Vereinigungen aus ihnen von einander unabhängig?
Rechenaufgaben
Aufgabe 37.9 •
Interpretieren Sie relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten. Gehen Sie vereinfachend davon aus,
dass es nur die zwei genannten Arten von Wertpapieren gibt und dass für alle Hochschullehrer mindestens eins der drei
Merkmale zutrifft.
Aufgabe 37.10
•
9k .
Aufgabe 37.11
••
–
Aufgabe 37.12
••
–
Aufgabe 37.13
•
–
Aufgabe 37.14
••• –
Aufgabe 37.15
•
–
Aufgabe 37.16
••
–
Aufgabe 37.17
••
–
Aufgabe 37.18
••
–
Aufgabe 37.19
••• –
Aufgabe 37.20
••• –
Aufgabe 37.21
••• –
Aufgabe 37.22
••
Aufgabe 37.23
••• –
–
Anwendungsprobleme
Aufgabe 37.24
••
–
Aufgabe 37.25 ••• Zeichnen Sie den Bayes-Graph mit den für D relevanten Ereignissen. benutzen Sie die Symbole A : B
für das Spiel von A gegen B und A B für den Gewinn von A gegen B.
Aufgabe 37.26
••• –
Aufgabe 37.27
••• –
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5
6
Lösungen zu Kapitel 37
Lösungen zu Kapitel 37
Verständnisfragen
Aufgabe 37.1
•
–
Aufgabe 37.2
•
–
Aufgabe 37.3
•
Ja.
Aufgabe 37.4
••
Aus P (A ∩ B) = P (A) P (B) folgt
P (A) = P (A ∩ B) + P A ∩ B C
= P (A) P (B) + P A ∩ B C
P A ∩ B C = P (A) − P (A) P (B)
= P (A) (1 − P (B))
= P (A) P B C .
Also sind A und B C unabhängig. Vertauschen wir die Buchstaben A und B folgt die Unabhängigkeit von B und AC .Wenden
wir dieses Ergebnis erneut auf B und AC an erhalten wir die Unabhängigkeit von B C und AC .
Aufgabe 37.5 ••• Vor dem Geständnis besaß Mechmed mit Wahrscheinlichkeit 2/3 den wahren Ring und Hassan mit
Wahrscheinlichkeit 1/3. Nach dem Geständnis besitzen beide mit gleicher Wahrscheinlichkeit den wahren Ring.
Aufgabe 37.6
•••
Mit dem Symbol G für das Ereignis Opa wird gefunden, gilt
P (G ∩ M) = 0.72 , P (G) = 0.745, P H |GC = 0.588.
3
Aufgabe 37.7 ••• a) Es ist P (α) = P (β) = P (γ ) = 21 und P (αβγ ) = 18 = 21 = P (α) P (β) P (γ ) .
b) P (αβ) =
1
8
=
2
1
2
= P (α) P (β) .
n
P (V
∩ B) = P
Aufgabe 37.8 ••• a) Sind
die Ai disjunkt, so folgt
i=1 (Ai ∩ B)
n
n
n
i=1 P (Ai ) P (B) = P (B)
i=1 P (Ai ) = P (B) P
i=1 Ai = P (B) P (V ) .
=
n
i=1 P
(Ai ∩ B) =
b) Für die drei im Hinweis zu dieser Aufgabe genannten Ereignisse A = {a, g} , B = {b, g} und C = {c, g} gilt erstens P (A) =
P (B) = P (C) = 21 , zweitens P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 41 . Daher sind A, B und C unabhängig, denn z. B.
P (A ∩ B) = P (g) = 41 = P (A) P (B) = 21 · 21 . Aber P ((A ∪ B) ∩ C) = P (g) = 41 = 43 · 21 = P (A ∪ B) · P (C) . Daher
sind A ∪ B und C abhängig.
Rechenaufgaben
Aufgabe 37.9 •
20 der Befragten besitzen beide Arten von Wertpapieren. Fünf Prozent der befragten Anwälte sind
autofahrende, hausbesitzende Mitglieder einer Partei.
Aufgabe 37.10
•
Aufgabe 37.11
••
Aufgabe 37.12
••
Aufgabe 37.13
•
a) 4! = 24, b)
Aufgabe 37.14
•••
Es gibt 8! = 403 20 Positionen.
Aufgabe 37.15
•
Aufgabe 37.16
••
263 · 104 +262 · 104 +263 · 104 = 3. 582 8 × 108
3−1+4
6
=
= 15.
4
4
–
9
= 126.
4
8
8
a)
= 56, b)
3! = 336.
3
3
7!
3!
12!
= 840; c) 3!2!2!2!
= 9. 979 2 × 106 .
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Lösungen zu Kapitel 37
Aufgabe 37.17
••
Aufgabe 37.18
••
3−1+6
= 28.
6
m−1+n
a) nm , b)
m
Aufgabe 37.19 ••• Es ist P (b ∩ d) = P (b ∩ k) = P (d ∩ k) = P (J ) = 41 = 21 · 21 = P (b) P (d) usw. Die Ereignisse
b, d, k sind demnach paarweise unabhängig. Sie sind aber nicht total unabhängig, denn:
P (b ∩ d ∩ k) = P (J ) =
Aufgabe 37.20
•••
Aufgabe 37.21
•••
Nur für α = 0, α = 1 und α =
1
1
= P (b) P (d) P (k) = .
4
8
1
2
sind A und B unabhängig.
−1
1−γ 2
+
1
. Bei einer fairen Münze ist γ =
Die Wahrscheinlichkeit ist α =
γ
1
2.
Dann ist
P (A gewinnt ) = P (B gewinnt ) .
Aufgabe 37.22 ••
Sei W die Abkürzung für „Der Student weiß die Antwort“ und R die Abkürzung für „Die Antwort
war richtig“. Dann gilt:
P ( R| W ) P (W )
P ( R| W ) P (W ) + P R| W P W
mα
α
=
.
=
1
α (m − 1) + 1
α+ m
(1 − α)
P ( W | R) =
••• a) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 1 − P
n
−1
b) limn→∞ 1 − P
i=1 Ai = e .
Aufgabe 37.23
n
i=1 Ai
=
n
i=0
(−1)i
i! .
Anwendungsprobleme
Aufgabe 37.24
••
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schlüssel in der letzten Tasche steckt, ist 0.655.
Aufgabe 37.25
0.63 gegen A
•••
D gewinnt das Finale mit Wahrscheinlichkeit 0.486 und spielt im Finale mit der Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 37.26
•••
1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt P A ∩ T̄ = 0.03 , P (T ) = 0.582, P (A|T ) = 0.979.
Aufgabe 37.27
•••
1. Bei Frauen wie bei Männern gilt: Das Vorliegen der Antikörper ist eher ein Indikator für Gesundheit (G) als für Krankheit
(K).
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau erkrankt ist, ist fast doppelt so groß wie bei einem Mann. Bei Frauen sind Antikörper
mehr als 7 mal so häufig wie bei Männern. Die Wahrscheinlichkeit, dass Patienten mit Antikörpern erkrankt sind, ist fast
anderthalb mal so groß wie bei den Patienten ohne Antikörpern. Das Vorliegen von Antikörpern ist ein Indikator für
Krankheit!
3. Wegen PM (G |A ) > PM G AC und PF (G |A ) > PF G AC sollten Sie bei Vorliegen der Werte von A auf K setzen.
37
29
4. P (K |A ) = 50
= 0.74 und P K AC = 50
= 0.58. Sie entscheiden auf das Vorliegen von K.
C 5. Wegen P (K |AM ) = 0.2 < P G A M = 0.8 entscheiden Sie auf das Vorliegen von G.
6. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt 0. 625 4.
Arens et al., Mathematik, ISBN: 978-3-8274-1758-9, © Spektrum Akademischer Verlag, 2008
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8
Lösungswege zu Kapitel 37
Lösungswege zu Kapitel 37
Verständnisfragen
Aufgabe
Die ersten beiden Aussagen folgen unmittelbar
aus der Definition von Vereinigung und Durchschnitt.
∞ •
∞
37.1
x∈ ∞
i=1 k=i Ai gilt genau dann, wenn für alle i gilt: x ∈
k=i Ai . Dies wäre ausgeschlossen, wenn x nur in endlichen
vielen Ai liegen würde.
∞
∞
x∈ ∞
i=1 k=i Ai gilt genau dann, wenn x ∈
k=i Ai für mindestens ein k. Dann aber liegt x in allen Ai mit i ≥ k.
Aufgabe 37.2 •
a) Es sind vier Elementarereignisse möglich: (KK) , (KZ) , (ZK) , (ZZ) . Dabei bedeute z. B. (KZ) :
der erste Wurf ist Kopf, der zweite Wurf ist Zahl. Die von diesen vier Elementarereignissen erzeugte σ -Ereignisalgebra S0 ist
die Potenzmenge mit 24 Elementen.
b) S1 wird von den Mengen A = {(KK) , (KZ)} und B = {(KK) , (KZ) , (ZK)} erzeugt. Dann ist B C = (ZZ) und
B\A = (ZK) . Die drei Ereignisse (ZK) , (ZZ) und {(KK) , (KZ)} sind disjunkt, ihre Potenzmenge ist die von A und B
erzeugte σ -Ereignisalgebra S1 . Diese enthält 23 Elemente. Die Menge C = {(KK) , (ZK)} ist nicht in S1 enthalten.
Aufgabe 37.3
•
Bei dem genannten idealen Kartenspiel ist P (Herz) =
P (Herz ∩ 10) =
Aufgabe 37.4
••
Aufgabe 37.5
••• –
Aufgabe 37.6
•••
8
32 ,
P (10) =
4
32
und
8 4
1
=
·
= P (Herz) · P (10) .
32
32 32
–
Ereignis
Wahrscheinlichkeit
Opa zu Hause
Opa flirtet
Opa sammelt Pilze
Opa wird gefunden
Anja findet Opa, falls er flirtet
Dirk findet Opa, falls er Pilze sammelt
P (H )
K (M )
P (W )
P (G)
P (G|M )
P (G|W )
0.15
0.80
0.05
?
0.9
0.5
Die Wahrscheinlichkeit, dass Anja den Opa findet, ist
P (G ∩ M) = P (G|M) · P (M) = 0.9 · 0.8 = 0.72.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Dirk den Opa findet ist
P (G ∩ W ) = P (G|W ) · P (W ) = 0.5 · 0.05 = 0.025.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Kinder den Opa finden wird, ist
P (G) = P (G ∩ M) + P (G ∩ W ) = 0.72 + 0.025 = 0.745.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, den Opa bei Rückkehr zuhause in seinem Sessel sitzend anzutreffen, ist
P GC |H · P (H )
P H ∩ GC
=
P H |GC
=
P GC
P GC
P (H )
1 · P (H )
=
=
C
1 − P (G)
P G
=
0.15
= 0.588 235.
0.255
Aufgabe 37.7 ••• Wenn man nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse α, β, γ aus dem Venn-Diagramm
ablesen will, kann man sie auch – etwas mühsamer – wie folgt berechnen:
Die Ereignisse αβγ und αβγ C sind disjunkt. Außerdem ist αβγ ∪ αβγ C = αβ. Daher folgt nach dem dritten Axiom:
1
1
P (αβ) = P (αβγ ) + P αβγ C = + 0 = .
8
8
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Lösungswege zu Kapitel 37
Analog erhalten wir:
1 1
3
αβ C γ + P αβ C = + =
8 4
8
1 1
3
α C βγ + P α C βγ C = + =
8 4
8
1 1
2
P (αγ ) = P (αβγ ) + P αβ C γ = + =
8
8 8
1 1
2
P α C γ = P α C βγ + P α C γ = + =
8 8
8
P αβ C = P
P αC β = P
Fassen wir in gleicher Weise weiter zusammen, erhalten wir
P (α) = P (β) = P (γ ) =
Aufgabe 37.8
1
.
2
••• –
Rechenaufgaben
Aufgabe 37.9
•
Teil 1. Folgende Bezeichnungen werden verwendet:
P (A)
=
Befragter besitzt Aktien.
P (B)
=
Befragter besitzt Pfandbriefe.
Da nur diese beiden Arten von Wertpapieren betrachtet werden gilt:
P (A ∪ B) = 1
Aus dem Additionssatz folgt dann:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
50 40
1=
+
− P (A ∩ B)
70 70
70 50 40
−
−
= −P (A ∩ B)
70 70 70
20
.
P (A ∩ B) =
70
D. h. 20 der Befragten besitzen beide Arten von Wertpapieren.
Teil 2: Es wurden folgende Wahrscheinlichkeiten angegeben:
Anwalt besitzt ein Haus
Anwalt besitzt ein Auto
Anwalt ist Mitglied einer Partei
=P
=P
=P
=P
=P
=P
(H )
(A)
(M)
(A ∩ H )
(A ∩ M)
(H ∩ M)
= 0.6
= 0.8
= 0.2
= 0.4
= 0.1
= 0.15
Gefragt ist hierbei nach P (A ∩ H ∩ M). Da für alle Elemente der Stichprobe mindestens ein Merkmal zutrifft, gilt:
P (A ∪ H ∪ M) = 1. Für die Vereinigungsmenge gilt
P (A ∪ H ∪ M) = P (A) + P (H ) + P (M) − P (A ∩ H )
−P (H ∩ M) − P (M ∩ A) + P (A ∩ H ∩ M) .
Also:
1 = 0.8 + 0.6 + 0.2 − 0.4 − 0.15 − 0.1 + P (A ∩ H ∩ M)
daraus folgt:
P (A ∩ H ∩ M) = 1 − 0.8 − 0.6 − 0.2 + 0.4 + 0.15 + 0.1 = 0.05.
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9
10
Lösungswege zu Kapitel 37
Fünf Prozent der befragten Hochschullehrer sind autofahrende, hausbesitzende Parteimitglieder.
Aufgabe 37.10
•
–
Aufgabe 37.11
••
–
Aufgabe 37.12
••
–
Aufgabe 37.13
•
–
Aufgabe 37.14 ••• Jede solche Konstellation kann durch eine Permutation der Spalten auf eine Position zurückgeführt
werden, bei der alle Türme auf der Diagonale von links unten (a1) nach rechts oben (h8) stehen. Umgekehrt können sich die
Türme auf jeder Position, die durch Spaltenpermutation der Diagonalposition ergibt, nicht gegenseitig schlagen. Also gibt es
8! = 403 20Positionen.
Aufgabe 37.15
•
–
Aufgabe 37.16
••
–
Aufgabe 37.17
••
–
Aufgabe 37.18
••
–
Aufgabe 37.19
••• –
Aufgabe 37.20
•••
P (A) = α 3 + 3α 2 (1 − α)
P (B) = α 3 + (1 − α)3
P (A ∩ B) = α 3
A und B sind genau dann unabhängig, wenn α 3 = α 3 + 3α 2 (1 − α) α 3 + (1 − α)3 gilt. Diese Gleichung hat genau die
drei Resultate α = 0, α = 1 und α = 21 .
Aufgabe 37.21 ••• Die erste Runde besteht aus zwei Würfen. Danach sind die folgenden drei Kontostände
möglich: +2; 0; −2. Dabei ist
P (+2) = γ 2 ,
P (0) = 2γ (1 − γ ) θ,
P (−2) = (1 − γ )2 .
Im ersten und dritten Fall ist das Spiel beendet. Im zweiten Fall ist wieder die Ausgangssituation hergestellt. Dann geht das
Spiel in die zweite Runde. In dieser ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel mit einem Guthaben von zwei Euro für Sie
beendet wird, wiederum γ 2 . Auch hier geht das Spiel mit Wahrscheinlichkeit θ in die nächst Runde. Und so weiter. Die totale
Wahrscheinlichkeit für das Endergebnis „+2“ ist damit
α = γ 2 + θγ 2 + θ 2 γ 2 + θ 3 γ 2 + · · ·
∞
γ2
γ2
=
1−θ
1 − 2γ (1 − γ )
k=0
−1
1−γ 2
+1
.
=
γ
= γ2
Aufgabe 37.22
••
θk =
–
Aufgabe 37.23 ••• Sei Ai das Ereignis, dass beim Eröffnungstanz das i-te Ehepaar zusammen tanzt. Dann ist nach der
Laplace-Regel für i = j bzw. für i1 = i2 = · · · = ik
1
(n − 1)!
= ,
n!
n
(n − 2)!
1
P Ai Aj =
=
,
n!
n (n − 1)
(n − k)!
1
=
.
P Ai1 Ai2 · · · Aik =
n!
n (n − 1) · · · (n − k + 1)
P (Ai ) =
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Lösungswege zu Kapitel 37
Nach der Siebformel ist dann
n
Ai =
P (Ai ) −
P Ai ∩ Aj +
P Ai ∩ Aj ∩ Ak + · · ·
P
i
i=1
i<j
i<j <k
1
1
1 + n3
= n · − n2
n (n − 1)
n (n − 1) (n − 2)
n
1
+ · · · + (−1)n−1 nn
n!
1
1
1
= 1 − + − · · · + (−1)n−1
2!
3!
n!
n
n
(−1)i
Ai =
.
1−P
i!
i=1
i=0
Folglich ist
1 − lim P
n→∞
n
Ai
=
i=1
∞
(−1)i
i!
i=0
= e−1 .
Anwendungsprobleme
Aufgabe 37.24 •• Es seien S das Ereignis, dass er den Schlüssel dabei hat und T das Ereignis, dass die ersten t Taschen
leer sind sowie γ = P (S). Dann ist
P ( S| T ) =
=
P ( T | S) P (S)
P ( T | S) P (S)
=
P (T )
P ( T | S) P (S) + P T | S C P S C
n−t
n γ
n−t
n γ
+ 1 · (1 − γ )
Im konkreten Fall also
P ( S| T ) =
Aufgabe 37.25
•••
=
(n − t) γ
.
n − tγ
(10 − 9) · 0.95
= 0.655 172
10 − 9 · 0.95
Die Abbildung 37.8 zeigt den Bayesgraph.
D:C
DC
CD
0.9
AB
BA
0.7
0.3
D:A
DA
D:B
AD
DB
Finalsieger
BD
0.4
0.6
Finalsieger
Abbildung 37.8
Daraus lässt sich ablesen:
P (D : A) = P (D C) P (A B)
= 0.9 · 0.7 = 0.63
P (D gewinnt)) = P (D C) P (A B) P (D A)
+P (D C) P (B A) P (D B)
= 0.9 · 0.7 · 0.6 + 0.9 · 0.3 · 0.4 = 0.486
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11
12
Lösungswege zu Kapitel 37
Aufgabe 37.26
•••
Folgende Werte sind gegeben:
P (Person ist betrunken) = P (A) = 0.6
P (Test ist pos., wenn Person betrunken ist) = P (T | A) = 0.95
P (Test ist neg., wenn Person nicht betrunken ist) P T C | Ā = 0.97
1. Gesucht wird P A ∩ T C
P A ∩ T C = P T C |A · P (A)
= (1 − P (T |A)) · P (A)
= (1 − 0.95) · 0.6
= 0.03
2. Gesucht wird P (T ) . Nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:
P (T ) = P (T |A) · P (A) + P T |AC · P AC
= P (T |A) · P (A) + 1 − P T C |AC · (1 − P (A))
= 0.95 · 0.6 + (1 − 0.97) · (1 − 0.6)
= 0.582
3. Gesucht wird P (A|T ). Nach dem Satz von Bayes giltP (T ) = 0.582
P (A|T ) =
Aufgabe 37.27
P (T |A) · P (A)
0.95 · 0.6
=
= 0.979
P (T )
0.582
•••
1. Bei den Männern (M) gilt
P (K |AM ) = 15 = 0.2
C 20
P K A M = 40 = 0.5
P (G |AM ) = 45 = 0.8
P G AC M = 20
= 0.5
40
Bei den Männern (M) gilt 0.8 = P G AC M > P K AC M = 0.5. Unter den Patienten mit Antikörper (A), ist der
Anteil der Gesunden (G) größer als unter den Patienten ohne Antikörper.
Bei den Frauen (F ) gilt
P (K |AF ) =
P K AC F =
36
45
9
10
= 0.8
= 0.9
9
P (G |AF ) = 45
= 0.2
C 1
P G A F = 10 = 0.1
Bei den Frauen (F ) gilt analog 0.2 = P (G |AF ) > P G AC F = 0.1. Unter den Patientinnen mit Antikörper (A), ist
der Anteil der Gesunden (G) größer als unter den Patientinnen ohne Antikörper. Bei Frauen wie bei Männern gilt also:
Das Vorliegen der Antikörper ist eher ein Indikator für Gesundheit (G) als für Krankheit (K) .
2. Ignoriert man die Antikörper und gliedert nur nach Geschlecht und Krankheit, erhält man
P(K |M ) = 21
45 = 0.47 und P(K |F ) =
groß wie bei einem Mann.
45
55
M
F
Summe
krank K
21
45
66
gesund G
24
10
34
Summe
45
55
100
= 0.82. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau erkrankt ist, ist fast doppelt so
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Lösungswege zu Kapitel 37
Ignoriert man die Krankheit und gliedert nur nach Geschlecht und Antikörper, erhält man
A
AC
Summe
Mann M
5
40
45
Frau F
45
10
55
Summe
50
50
100
5
P(A |M ) = 45
= 0.11 und P(A |F ) = 45
55 = 0.82.
3. Ignoriert man das Geschlecht und gliedert nur nach Krankheit und Antikörper, erhält man
6. P (K |A ) =
37
50
= 0.74 und P K AC =
A
AC
Summe
gesund G
13
21
34
krank K
37
29
66
Summe
50
50
100
29
50
= 0.58.
P (K) = P (KA) + P KAC
= P (KAM) + P (KAF )
+ P KAC M + P KAC F
P (KAM) P (AM)
P (M)
P (AM) P (M)
= P (K |AM ) P (A |M ) P (M)
P (KAM) =
= 0.2 × 0.15 × 0.52 = 0.015 6
P (KAF ) = P (K |AF ) P (A |F ) P (F )
= P (K |AF ) P (A |F ) P (F )
= 0.8 × 0.90 × 0.48 = 0.345 6
P KAC M = P K AC M P AC |M P (M)
= 0.5 × 0.85 × 0.52 = 0. 221 0
P KA F = P K AC F P AC |F P (F )
C
= 0.9 × 0.10 × 0.48 = 0.0 432
Nun ist 0.015 6 + 0.345 6 + 0.221 0 + 0.0 432 = 0.625 4.
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