3.3.3 Volumen

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UNTERRICHT
ZUR VORBEREITUNG AUF DEN
UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN
REALSCHULREIFELEHRGANG
ODER
FACHSCHULREIFELEHRGANG
DER
BUNDESWEHRFACHSCHULE
M A T H E M A T I K
LEHREINHEIT 03
INHALT: Potenzen, Rechnen mit dem Taschenrechner,
Einheiten und Größen
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Stand: 01.07.2006
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INHALTSVERZEICHNIS ZUR LEHREINHEIT 03
Seite
3.
3.1.
POTENZEN; RECHNEN MIT DEM TASCHENRECHNER;
EINHEITEN UND GROESSEN
3 - 14
Potenzen
3 - 5
3.1.1 Das Rechnen mit Potenzen
4 - 5
3.1.2 Zehnerpotenzen
5
3.2
Rechnen mit dem Taschenrechner
6 - 7
3.3
Einheiten und Größen
8 - 12
3.3.1 Länge
8
3.3.2 Fläche
9 - 10
3.3.3 Volumen
10 - 11
3.3.4 Gewicht
11
3.3.5 Zeit
11 - 12
Aufgaben zur Lehreinheit 03
12
Lösungen der Übungen und Aufgaben
12 - 13
Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 03
14
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Stand: 01.07.2006
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3
POTENZEN; RECHNEN MIT DEM TASCHENRECHNER;
EINHEITEN UND GRÖSSEN
Ein Quadratmeter hat ………….Quadratzentimeter.
Zwei Hektar haben ……………. Quadratmeter.
Vier Kubikmeter haben …………….. Liter.
Können Sie derartige Umwandlungen ohne Probleme durchführen ?
Im dritten Teil dieser Lehreinheit sind alle wichtigen Einheiten und Größen mit den entsprechenden
Umwandlungen zusammen gestellt.
Die Antworten zu den obigen Aufgabenstellungen lauten in Kurzschreibweise:
1 m2 = 10 000 cm2 ; 2 ha = 20 000 m2 ; 4 m3 = 4000 l
In der Kurzschreibweise werden teilweise Hochzahlen benutzt. Hochzahlen können auch beim
Rechnen mit dem Taschenrechner auftreten.
Beispiel: 200 000 ∙ 13 000 000 ; Eingabe: 200 000 x 13 000 000 = . Als Ergebnis erscheint: 2.6 _ 12
Ohne Taschenrechner erhält man: 200 000 ∙ 13 000 000 = 2 600 000 000 000.
Hinter der 2 befinden sich noch 12 Stellen. Da die Anzeige im Taschenrechner nicht „breit genug“ ist,
wird die obige Kurzform benutzt. Sie lässt sich mit Hilfe von sog. Zehnerpotenzen erklären, wobei die
Zahl 12 ebenfalls eine Hochzahl ist.
Der Aufbau dieser Lehreinheit ist folgender:
•
In 3.1 werden Potenzen behandelt. Einen Schwerpunkt bilden dabei die Zehnerpotenzen.
•
In 3.2 folgen Beispiele und Tipps für das Rechnen mit dem Taschenrechner zu
dem bisherigen Stoff.
•
In 3.3 werden Einheiten und Größen behandelt.
3.1.
Potenzen
Der Potenzbegriff (mathematisch)
Berechnen Sie (das ist kein Scherz) mit dem Taschenrechner:
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3.
Das Ergebnis lautet 14 348 907, falls Sie sich nicht verzählt oder vertippt haben.
Das war doch ziemlich umständlich, oder? Für derartige Rechnungen gibt es eine Kurzschreibweise,
man schreibt in dem obigen Fall (die 3 kommt 15 mal vor):
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 315 (lies: 3 hoch 15).
315 ist eine Potenz. Sie gibt an, dass die Zahl 3 15 mal mit sich selbst multipliziert wird. Für die
Berechnung von 315 gibt es eine Taste auf dem Taschenrechner.
Mit der Eingabe 3 yx 15 = erhalten Sie das obige Ergebnis 14 348 907.
315 = 14 348 907 !
Dazu sollten Sie noch weitere Begriffe kennen:
315 ist die Potenz (s.o), 3 ist die Basis (Grundzahl), 15 ist der Exponent (Hochzahl),
14 348 907 ist der Potenzwert.
Ein weiteres Beispiel: 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 kann man kürzer als Potenz 54 schreiben. Die Basis ist 5, die
Hochzahl ist 4. Der Potenzwert ist 625.
Was sagen Ihnen die Zahlen: 1; 8; 27; 64; 125; 216 usw.?
Es sind Kubikzahlen, d. h. Potenzwerte zur Hochzahl 3
(13 = 1; 23 = 8; 33 = 27; 43 = 64; 53 = 125; 63 = 216).
Entsprechend sind Quadratzahlen Potenzwerte zur Hochzahl 2 (z. B. 42 = 16).
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3.1.1 Das Rechnen mit Potenzen
Für das Rechnen mit Potenzen gibt es bei gewissen Voraussetzungen nützliche Rechenregeln. Wenn
Sie z.B. einmal keinen Taschenrechner zur Hand haben und Sie wissen möchten, was 519: 517 ist,
dann sollten Sie die bald folgende Regel 2 beachten.
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
Es ist 23 ∙ 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 27 . Man kann direkt rechnen: 23 ∙ 24 = 2(3+4) = 27
Regel 1: Potenzen mit gleicher Basis multipliziert man, indem man ihre Exponenten addiert und
die Basis beibehält.
Beispiel: 32 ∙ 33 = 3(2+3) = 35 = 243
Division von Potenzen mit gleicher Basis
Es ist 27 : 24 =
2222222
= 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23 . Man kann direkt rechnen: 27 : 24 = 2(7-4) = 23
2222
Regel 2: Potenzen mit gleicher Basis dividiert man, indem man ihre Exponenten subtrahiert
und die Basis beibehält.
Beispiele: 519 : 517 = 52 = 25 ; 1,57 : 1,55 = 1,52 = 2,25
Mit Hilfe der Regel 2 aus dem obigen Kästchen lassen sich zwei zunächst etwas seltsam wirkende
Schreibweisen begründen, es handelt sich um Potenzen mit den Exponenten 1 oder 0.
Der Exponent 1
Es ist 2³ : 22 = 2(3-2) = 21. Andererseits ist 23 : 22 = 8 : 4 = 2. Daraus ergibt sich: 21 = 2.
Ebenso gilt: 71 = 7; 151 = 15 usw.
Eine Potenz mit der Hochzahl 1 ist gleich der Basis.
Der Exponent 0
Es ist 2³ : 2³ = 2(3-3) = 20. Andererseits ist 23 : 2³ = 8 : 8 = 1. Daraus ergibt sich: 20 = 1
Ebenso gilt: 70 = 1; 150 = 1 usw.
Eine Potenz mit der Hochzahl 0 ist gleich 1.
Übung 1: Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Regeln:
a) 24 ∙ 2² ; b) 4³ ∙ 42 ; c) 10² ∙ 105 ;
h) 2,58 : 2,56 ; i) 47 : 46 ; j) 53 : 5³ ;
d) 31 ∙ 34 ; e) 3 ∙ 34 ;
k) 5³ : 5 ; l) 5³ : 50
f) 30 ∙ 3 ;
g) 29 : 25
Rechnen mit Potenzen in Verbindung mit den Grundrechenarten
5 + 4 ∙ 3² = ?
;
5 + (4 ∙ 3)² = ? ;
(5 + 4) ∙ 3² = ?
In LE 01, 1.4 haben Sie Vorrangregeln beim Rechnen mit den Grundrechenarten kennen gelernt. Für
das Rechnen mit Potenzen in Verbindung mit den Grundrechenarten gilt:
Merke:
Wenn keine Klammern vorhanden sind, muss die Berechnung einer Potenz vor der Punktrechnung
erfolgen.
Das lässt sich anhand von 4 ∙ 32 leicht erklären: 4 ∙ 3² = 4 ∙ 3 ∙ 3 = 36, d.h. 4 ∙ 32 = 4 ∙ 9; 4 ∙ 32  12² .
Die obigen Aufgaben werden folgendermaßen gelöst:
5 + 4 ∙ 3²
5 + (4 ∙ 3 )²
=5+4∙9
= 5 + 12 ²
= 5 + 36
= 5 + 144
= 41
= 149
(5 + 4) ∙ 3²
= 9 ∙ 3²
=9∙9
= 81
Die Vorrangregeln in Kurzform:
Berechnung von Klammern vor Berechnung von Potenzen vor Punktrechnung vor Strichrechnung.
Übung 2: Berechnen Sie wie oben (ohne Taschenrechner):
a) 3 ∙ 42 + 8 ; b) 12 + 2 ∙ 5² ;
g) 215 ∙ 8² - 213 ∙ 8²
c) 4³ ∙ (5 - 3) ;
d) (8 - 5)4 : 9 ;
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e) (2 ∙ 3 )2 : 18 ;
f) 105 – 5² ∙ 3
Stand: 01.07.2006
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War Ihnen die Übung g) zu aufwendig? Wie gefällt Ihnen der folgende Lösungsweg?
215 ∙ 82 – 213 ∙ 8² = = 2 ∙ 8² = 2 ∙ 64 = 128 .
Das lässt sich so rechnen wie 215 € - 213 € = 2 € .
Wenn die Potenzen gleich sind, kann man sie durch Addition bzw. Subtraktion
zusammenfassen.
Beispiel: 5 ∙ 26 + 12 ∙ 26 – 14 ∙ 26 = 3 ∙ 26 = 3 ∙ 64 = 192
Übung 3: Berechnen Sie vorteilhaft:
a) 6∙ 54 – 4 ∙ 54 ;
b) 3 ∙ 103 + 8 ∙ 10³ - 9 ∙ 10³ ;
c) 6,7 ∙ 4² - 4,7 ∙ 4²
Übungen zu 3. 1. 1
1. Berechnen Sie mit Hilfe von Rechenregeln:
a) 38 : 35 ; b) (52 ∙ 58) : 59 ; c) (87 : 86 ) ∙ 81 ; d) 106 : ( 10³ ∙ 10² ) ; e) 106 : 10³ ∙ 10² ; f) 6 ∙ 62 ∙ 60
2. Berechnen Sie:
a) 5 + 2 ∙ 6² ; b) 20 - 42 ; c) 8 ∙ 53 – 7 ∙ 53 ; d) (15 - 9)8 : 66 ; e) 35 : 34 ∙ 2 ; f) 32 + 42
g) (20 : 10)3 : 2 ; h) (15 :10)2 ∙ 4 ; i) 1,4 ∙ 104 + 3,6 ∙ 104
3.1.2 Zehnerpotenzen
Diese Sorte ist besonders wichtig! Potenzen mit der Basis 10 heißen Zehnerpotenzen.
Achtung! 100 = 1 ;
101 = 10 ;
102 = 100 ;
103 = 1000 ;
104 = 10000 ;
105 = 100 000 ; 106 = 1 000 000 ; 107 = 10 000 000 usw.
Der Exponent einer Zehnerpotenz gibt die Anzahl der Nullen des Potenzwertes an!
Beispiele:
a) 108 = 100 000 000 ; b) 109 = 1 000 000 000 ; c) 100 000 = 105 ; d) 1 000 000 000 000 = 1012
e) 4 ∙ 106 = 4 ∙ 1 000 000 = 4 000 000 ; f) 25 000 000 = 25 ∙ 1 000 000 = 25 ∙ 106
Häufig schreibt man große Zahlen wie folgt:
25 000 000 = 2,5 ∙ 107 , denn 25 000 000 = 25 ∙ 106 = 2,5 ∙ 101 ∙ 106 = 2,5 ∙ 107 ;
17 000 = 1,7 ∙ 104 ; 5 693 270 000 = 5,69327 ∙ 109
Diese Möglichkeit wird bei der Anzeige großer Zahlen im Taschenrechner genutzt. Die Basis 10 wird
allerdings, um Platz zu sparen, nicht angezeigt.
Beispiele:
a) 2 600 000 000 000 = 2,6 ∙ 1012 wird so angezeigt: 2.6 _ 12 .
b) Bei der Anzeige 5.714 _ 14 handelt es sich um die Zahl 5,714 ∙ 1014 = 571400 000 000 000
(14 Stellen nach dem Komma)
Übungen zu 3.1.2
1. Geben Sie für folgende Potenzen den Potenzwert an:
a) 104 ; b) 107 ; c) 5 ∙ 106 ; d) 20 ∙ 104 ; e) 14 ∙ 10³ ; f) 1,4 ∙ 104 ; g) 2,734 ∙ 108
2. Schreiben Sie bezüglich der Anzahl der Nullen mit Hilfe von Zehnerpotenzen:
a) 1000 ; b) 100 000 000 ; c) 40 000 ; d) 1 700 000
3. Schreiben Sie mit Hilfe von Zehnerpotenzen mit einer Stelle (nicht 0) vor dem Komma:
a) 5 300 ; b) 76 200 000 ; c) 10 472 300 000
4. Um welche Zahlen handelt es sich bei den folgenden Anzeigen auf dem Taschenrechner?
a) 4.7 11 ; b) 3.107 09 ; c) 4. 12
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3.2.
Rechnen mit dem Taschenrechner
Ein „Hoch" auf den Taschenrechner. Vielfach ist er unentbehrlich geworden. Früher musste der arme
Schüler Berechnungen wie 87 oder 138624,516 : 431,1 mit großen Mühen und viel Zeitaufwand
durchführen, mit dem Taschenrechner geht es in „Sekundenschnelle". Auf den Taschenrechner kann
sich der heutige Schüler verlassen. Je mehr er sich dem Abitur nähert, um so eher berechnet er
Aufgaben wie 60 : 5 oder 40 - 30 mit dem Taschenrechner.
Bewahren Sie sich die Fähigkeit des Kopfrechnens!
In vielen Teilbereichen der Mathematik kann man heute allerdings nicht mehr auf den Taschenrechner
verzichten. An dieser Stelle erfahren Sie einige wesentliche Hinweise zur Benutzung des
Taschenrechners zu dem bisherigen Stoff. Daneben sollten Sie natürlich nicht die Bedienungsanleitung Ihres Taschenrechners vergessen.
Entscheidend ist zunächst, dass Sie einen „nicht zu billigen' Taschenrechner benutzen (siehe 1.
Problemstellung im Lehrbrief 01), er muss die Vorrangregeln „beherrschen". Ist dies der Fall, dann
können Sie vielfach Aufgaben so eingeben, wie sie vorgegeben sind.
Die folgenden Beispiele sind so gewählt, dass sie durch Kopfrechnen leicht nachprüfbar sind.
Beispiele:
a) 5 + 6 ∙ 42 wird folgendermaßen eingegeben: 5 + 6 x 4 x2
=
.
Es erscheint als richtiges Ergebnis die Zahl 101, denn 5 + 6 ∙ 4 2 = 5 + 6 ∙ 16 = 5 + 96 = 101.
2
b) ( 5 + 6 ) ∙ 42 wird so eingegeben: ( 5 + 6) x 4 x
=
.
Das Ergebnis ist 176, denn ( 5 + 6 ) ∙ 42 = 11 ∙ 4² = 11 ∙ 16 = 176.
In gewissen Fällen können leicht Fehler gemacht werden, so etwa in der Bruchrechnung.
Beispiele:
40
a)
. Die Eingabe 40 :
25
Richtig ist: 40 :
40
2 x 5 = ist falsch, denn hierbei wird
 5 berechnet.
2
( 2 x 5) =
oder
40 :
2 :
5 =
mit dem Ergebnis 4.
Nützliche Tasten
Die Taste 1/x : Mit Hilfe dieser Taste wird der Kehrwert einer Zahl berechnet.
Beispiele: Der Kehrwert von 5: Eingabe 5 1/x , das Ergebnis ist 0.2 .
1
Der Kehrwert von 0.25 (=
) : Eingabe 0.25 1/x , das Ergebnis ist 4
4
2
Die Taste x : Mit Hilfe dieser Taste wird die Quadratzahl einer eingegebenen Zahl berechnet.
Beispiel: 2,52 = ?
x
Die Taste y
Beispiele:
25
123
x2 . Das Ergebnis ist 6.25 .
Eingabe 2.5
(oder
xy
): Mit Hilfe dieser Taste werden Potenzwerte berechnet.
= ? Eingabe 2
yx
5 . Das Ergebnis ist 32.
x
y
= ? Eingabe 12
x
516 = ? Eingabe 5 y
3 . Das Ergebnis ist 1728.
16 . Gerundetes Ergebnis: 1.525 878 906 _ 11 = 152 587 890 600
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Große Zahlen
In 3.1.1 haben Sie bereits erfahren, wie große Zahlen im Taschenrechner angezeigt werden. Die
größte Zahl, die angegeben werden kann, hat als Faktor 1099.
Wie kann eine große Zahl eingegeben werden?
Beispiel: 2 830 000 000 000
x
Eingabe: 2.83 x 10 y 12 = . Das Ergebnis: 2.83_12
Mit der Taste exp geht es noch schneller: 2.83 exp 12.
Kleine Zahlen, die fast „Nullen“ sind.
Beispiel: Berechnen Sie mit Hilfe des Taschenrechners
1
!
209
Eingabe: 1 : 20 yx 9 = , angezeigt wird 1.953 125_-12
Das Minuszeichen vor der 12 bedeutet lediglich, dass man das Komma (den Punkt) nach links
verschieben muss, und zwar muss es in diesem Fall um 12 Stellen nach links verschoben werden
(die 1 steht an der 12. Stelle hinter dem Komma), es handelt sich um die Zahl
0, 000
000

000
001

 953 125
12 Stellen
Beispiele:
a) 0,000 000 000 000 0276 wird so angezeigt: 2.76 _ -14 .
b) Bei der Anzeige 6.7 _ -10 handelt es sich um die Zahl 0,000 000 000 67.
Randbemerkung:
Diese Schreibweise für kleine Zahlen lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Zehnerpotenzen erklären. Eine
Behandlung der dafür notwendigen mathematischen Zusammenhänge würde hier zu weit führen (sie
werden z.B. in den Fachschulreifelehrgängen der Bundeswehrfachschulen behandelt!).
Wie können derart kleine Zahlen im Taschenrechner eingeben werden?
Beispiele:
a) 0,000 000 000 0073 . Es geht mit den Tasten exp und +/- : 7.3 exp 12 +/b) Die Berechnung von 0,000
6.18
exp
10 +/-
x
2.5
000 000 618  25 000 000 000 000 lässt sich so durchführen:
exp
13 = , das Ergebnis heißt 15450.
Übungen zu 3.2
1. Berechnen Sie mit Hilfe des Taschenrechners:
a) 3 + (5  7) 2 ;
g)
b) 512  5 - 6 3 ;
64
; h) (1,7 + 6,3) 3 : 51,2 ;
23
c) 2 3+4 (Vorsicht! ) ;
i) (
d)
12
 34 ;
17
e)
120
;
8  12
f)
15 + 66
;
3
1 3
+ ) : 42
2 4
2. Um welche Zahlen handelt es sich bei den folgenden Anzeigen auf dem Taschenrechner?
a) 3.1_ - 11
b) 6.78 _10
c) 7.001_ - 15
3. Geben Sie folgende Zahlen in den Taschenrechner ein.
a) 0,000 000 000 61
b) 1780 000 000 000
4. Berechnen Sie mit Hilfe des Taschenrechners.
5,12  10 2
817
a)
; b) 56 : 0,000 000 000 028 ; c)
(Vorsicht! )
16 14
6,4  10 18
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3.3.
Einheiten und Größen
Wer hat nicht schon verlegen zur Seite geschaut, wenn Hektar in Quadratmeter umzuformen waren,
Kubikzentimeter in Liter usw.? So etwas sollte man doch wissen. Lesen Sie dazu die folgenden
Seiten.
Behandelt werden die Größen: Länge, Flächeninhalt, Rauminhalt, Masse und Zeit.
Größen wie 5 m oder 6,5 kg lassen sich zerlegen in ein Produkt aus Zahlenwert mal Einheit
z.B.:
5 m = 5 ∙ 1 m ; 6,5 kg = 6,5 ∙ 1 kg
3.3.1 Länge
Die wichtigsten Längeneinheiten sind:
1 Millimeter
=
1 mm
1 Zentimeter
=
1 cm
1 Dezimeter
=
1 dm
1 Meter
=
1m
1 Kilometer
=
1 km
Es gilt:
1 cm  10 mm 

1 dm  10 cm  Umwandlung szahl 10
1 m  10 dm 
1 km  1000 m
Das bedeutet:
1 km = 1000 m =
1m=
Anders ausgedrückt:
1 mm =
0,1 cm =
1 cm =
10000 dm =
10 dm =
1 dm =
0,01 dm =
0,1 dm =
1 dm =
100000 cm =
100 cm =
10 cm =
1 cm =
0,001 m =
0,01 m =
0,1 m =
1m=
1000000 mm
1000 mm
100 mm
10 mm
0,000 001 km
0,000 01 km
0,0001 km
0,001 km
Sehr kleine Längen kann man in Mikrometer (µm) angeben: 1 mm = 1000 µm bzw. 1µm = 0,001 mm.
Verwandlungen
Beispiele:
a) km in m : 8,4 km = 8,4  1km = 8,4  1000 m = 8400 m
b) m in km : 327 m = 327  1m = 327  0,001 km = 0,327 km
Übungen zu 3.3.1
1. Verwandeln Sie:
a) 29 km in m ; b) 2,98 m in cm ; c) 64,2 dm in cm ; d) 9,8 cm in mm ; e) 4,27 km in dm ;
f) 34 m in km ; g) 7349 mm in m ; h) 0,5 cm in dm ; i) 0,07 mm in cm ; j) 432 dm in km ;
k) 12,7 m in cm ; l) 0,007 m in cm
2. Geben Sie folgende Längen in µm an.
a) Der Draht einer Kupferlitze hat 0,15 mm Durchmesser.
b) Ein Menschenhaar hat einen Durchmesser von rund 0,06 mm.
c) Der Draht einer Glühlampenwendel hat 0,015 mm Durchmesser.
d) Ein Spinnwebfaden hat einen Durchmesser von 0,005 mm.
e) Die Wellenlänge des roten Lichtes ist rund 0,0008 mm.
f) Die Wellenlänge der Röntgenstrahlen liegt bei 0,000 0005 mm.
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3.3.2 Fläche
Ein Bauer sagt: „Heute habe ich 4 Morgen gepflügt“.
Morgen? Eine Besonderheit unter den Flächeneinheiten! 1 Morgen = 2 500 m², 4 Morgen = 1 Hektar.
Die „normalen“ Flächeneinheiten folgen jetzt.
Ein Viereck mit 4 gleichen Seiten und 4 Winkeln mit je 90 o ist ein Quadrat.
1 Quadratzentimeter = 1 cm² entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 cm.
Die wichtigsten Flächeneinheiten sind:
1 Quadratmillimeter
=
1 mm²
1 Quadratzentimeter
=
1 cm²
1 Quadratdezimeter
=
1 dm²
1 Quadratmeter
=
1 m²
1 Ar
=
1a
1 Hektar
=
1 ha
1 Quadratkilometer
=
1 km²
Es gilt:
100 dm2=
1 dm2 =
Anders ausgedrückt
1 m2 =
0,01 a =
1a =
1 mm2 =
(Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge 10 m)
(Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge 100 m)
1 cm 2  100 mm 2 
1 dm 2  100 cm 2 
1m 2  100 dm 2  Verwandlu ngszahl 100

1a
 100 m 2 
1 ha  100 a

2
1 km  100 ha 
Das bedeutet:
1 km2 =
100 ha =
1 ha =
1 m2 =
1cm
1 cm
0,01 cm2 =
1 cm2 =
10000 a =
100 a =
1a=
1000000 m2
10000 m2
100 m2
10000 cm2 =
100 cm2 =
1 cm2 =
1000000 mm2
10000 mm2
100 mm2
0,0001 ha =
0,01 ha =
1 ha =
0,000001 km2
0,0001 km2
0,01 km2
0,0001 dm2 =
0,01 dm2 =
1 dm2 =
0,000001 m2
0,0001 m2
0,01 m2
Verwandlungen
Beispiele:
a) m 2 in dm 2 : 7 m 2 = 7  1 m 2 = 7  100 dm 2 = 700 dm 2
b) m 2 in ha : 6710 m 2 = 6710  1 m 2 = 6710  0,0001 ha = 0,671 ha
c) ha in m 2 : 7,98 ha = 7,98  1 ha = 7,98  10000 m 2 = 79800 m 2
Übungen zu 3.3.2
1. Verwandeln Sie jeweils in die nächst kleinere Einheit:
a) 47,3 cm² ; b) 0,27 cm² ; c) 0,082 cm² ; d) 0,238 dm² ; e) 0,648 m² ; f) 1,7 m²
g) 0,06 a ; h) 7,263 ha ; i) 1,2 km² ; j) 0,0048 km²
2. Verwandeln Sie jeweils in die nächst größere Einheit:
a) 3,7 ha ; b) 0,523 a ; c) 0,03 m² ; d) 52,7 dm² ; e) 286 cm² ; f) 3490 dm² ;
g) 8000 mm² ; h) 940 m² ; i) 723,4 m² ; k) 1,47 dm²
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3. Schreiben Sie jeweils wie in dem Beispiel nur mit der größten angegebenen Einheit:
Beispiel: 3 m² 4 dm² 10 cm² = 3,041 m²
a) 5 a 24 m² ; b) 19 a 5 m² ; c) 4 ha 15 a 26m² ; d) 32 ha 8 a 9 m² ; e) 2 km² 15 ha 29 a 37 m²
4. Zerlegen Sie die folgenden Angaben in einzelne Einheiten:
Beispiel: 4,628 m² = 4 m² 62 dm² 80 cm²
a) 4,6283 m² ; b) 2,0048 m² ; c) 15,6248 dm² ; d) 18,3 cm²
3.3.3 Volumen
Was ist ein Würfel?
Antwort aus dem Lexikon: 1. von sechs Quadraten begrenzter Körper ; 2. Spielstein .
An dieser Stelle wird verständlicherweise seine Bedeutung als ein von sechs
Quadraten begrenzter Körper benötigt.
1 Kubikzentimeter = cm³ entspricht dem Rauminhalt eines Würfels mit der
Kantenlänge 1 cm. Statt Rauminhalt sagt man auch Volumen.
1 cm
1 cm
1 cm
Die wichtigsten Volumeneinheiten sind:
1 Kubikmillimeter
= 1 mm³
1 Kubikzentimeter = 1 cm³
1 Kubikdezimeter
= 1 dm³
1 Kubikmeter
= 1 m³
Es gilt
1 cm3 = 1000 mm 3 

1 dm 3 = 1000 cm3  Verwandlu ngszahl 1000
1m 3 = 1000 dm 3 

Das bedeutet:
1 m³ =
1000 dm³ =
1000000 cm³ =
1000000000 mm³
1 dm³ =
1000 cm³ =
1000000 mm³
1 cm³ =
1000 mm³
Anders ausgedrückt:
1 mm³ =
0,001 cm³ =
0,000001 dm³ =
0,000000001 m³
1 cm³ =
0,001 dm³ =
0,000001 m³
1 dm³ =
0,001 m³
Vorwiegend zum Messen des Volumens von Flüssigkeiten dienen diese Einheiten:
1 Hektoliter = 1 h, 1 Liter = 1 , 1 Zentiliter = 1 c, 1 Milliliter = 1 m
Dafür gilt: 1 h = 100  ; 1 = 1 dm³ = 100 c = 1000 m ; 1 c = 10 m ; 1 m = 1 cm³
Verwandlungen
Beispiele:
a) dm 3 in cm3 : 81 dm 3 = 81  1 dm 3 = 81  1000 cm3 = 81000 cm3
b) dm 3 in m3 : 796 dm 3 = 796  1 dm 3 = 796  0,001 m3 = 0,796 m3
Übungen zu 3.3.3
1. Verwandeln Sie jeweils in die nächst kleinere Einheit.
a) 312 cm³ ; b) 68 dm³ ; c) 0,3 dm³ ; d) 5,08 m3 ; e) 0,6 dm³ ; f) 27,32 cm³
2. Verwandeln Sie jeweils in die nächst größere Einheit.
a) 1400 mm³ ; b) 19600 cm³ ; c) 450 dm ; d) 3 860000 dm³ ; e) 25070 mm³
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3. Schreiben Sie folgende Angaben nur mit der größten angegebenen Einheit.
a) 3 m³ 253 dm³ 716cm³ ;
b) 14 m³ 50 dm³ ;
c) 8 dm³ 7 cm³
4. Zerlegen Sie folgende Angaben in die einzelnen Einheiten.
a) 5,072 m³ ; b) 6,53 dm³ ; c) 3,007 cm³ ; d) 0,2784 dm³ ; e) 0,00823 dm³
5. Verwandeln Sie in die in den Klammern angegebene Einheit.
a) 17,3  (h) ; b) 9370  (h ) ; c) 5 h 47  (h) ; d) 7  (h)
e) 9,4 h () ; f) 3,2 dm³ (m) ; g) 5,03  (m)
3.3.4 Gewicht
Ein Erfolg: Frau X wog 75,2 kg. Sie nahm 5 1/2 Pfund ab. Wie viel wiegt Sie jetzt?
Die wichtigsten Einheiten zum Messen von Gewichten sind:
1 Milligramm =
1 mg
1 Gramm
=
1g
1 Kilogramm =
1 kg
1 Tonne
=
1t
Es gilt
1 g = 1000 mg

1kg = 1000 g  Verwandlu ngszahl 1000
1 t = 1000 kg 

Das bedeutet:
1t
= 1000 kg
1 kg
=
=
Anders ausgedrückt:
1 mg =
0,001 g =
1g=
1000000 g
1000 g
1g
=
=
=
0,000001 kg =
0,001 kg =
1 kg =
1000000000 mg
1 000000 mg
1000 mg
0,000000001 t
0,000001 t
0,001 t
Ferner werden benutzt: 1 Zentner = 1 z , 1 Doppelzentner = 1 dz .
Dafür gilt : 1 z = 50 kg ; 1 dz = 100 kg
1
Veraltet ist der Begriff „Pfund“: 1 Pfund = kg
2
Übungen zu 3.3.4
1. Verwandeln Sie in die nächst kleinere Einheit.
a) 428 g ; b) 59 kg ; c) 0,7 kg ; d) 3,09 t ; e) 0,09 t
2. Verwandeln Sie in die in den Klammern angegebene Einheit.
a) 2700 mg (g) ; b) 29 300 g (dz) ; c) 640 kg (t) ; d) 7 350 000 kg (t)
3. Schreiben Sie nur mit der größten angegebenen Einheit.
a) 6 t 372 kg 49 g ; b) 23 t 74 kg ; c) 3 kg 9 g
4. Zerlegen Sie in einzelne Einheiten.
a) 5,023 t ;
b) 7,48 t ; c) 2,009 g ;
d) 0,35647 kg ; e) 0,00418 kg
3.3.5 Zeit
Was ist Zeit?
In einem Fußballspiel führt Mannschaft A gegen Mannschaft B ab der 85. Minute mit 1 : 0. Sind Sie
ein Anhänger von A, dann dauern die letzten 5 Minuten viel zu lange; fiebern Sie für B, dann gehen
sie viel zu schnell vorbei.
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Die wichtigsten Zeiteinheiten sind:
1 Stunde
=
1h
1 Minute
=
1 min
1 Sekunde
=
1s
Es gilt:
1min  60s 
Verwandlun gszahl 60
1h
 60min 

Das bedeutet: 1 h = 60 min = 3600 s
Anders ausgedrückt:
1
1
1
1s =
min =
h ; 1min =
h
60
3600
60
Verwandlungen
Können Sie es noch? Wie viel Minuten sind 3,7 Stunden?
Beispiele:
a) h in min : 3,7 h = 3,7  1h = 3,7  60 min = 222 min
1
18
b) min in h : 438 min = 438 
h=7
h = 7,3 h (18 : 60 = 0,3)
60
60
c) h in h und min : 3,7 h = 3 h + 0,7 h = 3 h + 0,7  60 min = 3 h + 42 min
16
d) h und min in h : 7h 16min = 7 h + 16 min = 7 h +
h = 7 h + 0,2 6 h = 7,2 6 h
60
Übungen zu 3.3.5
2
h ; d) 75 s ; e) 216 s ; f) 2 h 10 min 6 s
3
2. Schreiben Sie in h und min: a) 8,3 h ; b) 1,15 h ; c) 2,4 h
1. Schreiben Sie in min: a) 4,5 h ; b) 2,05 h
; c)
3. Schreiben Sie in h: a) 4 h 24 min ; b) 3 h 6 min ; c) 1 h 32 min
AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 03
1. Berechnen Sie ohne Taschenrechner.
a) 4 7 : 4 5
;
b) 6 9  612 : 6 20 ; c) 7 3  7 0 : 7 ;
d) (8 - 5) 2 : 32
e) 6 + 4  2 3 ; f) (6 + 4)  2 3 ; g) 3  10 5 + 6,7  10 5 ; h) 12,3  10 4 - 7,2  10 4
2. Berechnen Sie mit Hilfe des Taschenrechners.
1
; e) 6 2  3 + 4
54
3,6  10 12
84
62
f)
; g)
; h) 3 7000000000  5 ; i) 72 : 0,00000000 0003 ; j)
37
6+2
4,8  10 9
a) 68700  920000 ; b) 0,0036 : 80000000 ; c) 210 ; d)
3. Schreiben sie mit Hilfe von Zehnerpotenzen mit einer Stelle (nicht 0) vor dem Komma.
a) Die Erde hat einen Durchmesser von rund 13 000 km.
b) Der Durchmesser der Sonne ist rund 1 400 000 km lang.
c) Die Entfernung von der Erde zum Mond beträgt rund 380 000 km.
d) Die Entfernung von der Erde zur Sonne beträgt rund 150 000 000 km.
4. Verwandeln Sie.
a) 123 dm² in cm² ; b) 3687 cm³in dm³ ; c) 8,2 cm in m ; d) 7,65 ha in m² ; e) 3,98 kg in g
f) 54 kg in t ; g) 5,7 l in cm³ ; h) 246 min in h ; i) 3,4 h in min ; j) 5,73 hl in dm³
Sie haben nun bereits 1/4 der Lehreinheiten bearbeitet. Gönnen Sie sich dafür ein Gläschen Wein
(20000 mm³). Falls Sie heute noch mit dem Auto fahren, genügen auch 200 cm³ Traubensaft.
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LÖSUNGEN DER ÜBUNGEN UND AUFGABEN
3.1.1, Übung 1:
a) 26 = 64 ; b) 45 = 1024 ; c) 107 = 10000000 ; d), e) 35 = 243 ; f) 3 = 3 ;
g) 24 = 16 ; h) 2,52 = 6,25 ; i) 41= 4 ; i) 50 = 1 ; k) 52 = 25 ; l) 53 = 125
3.1.1, Übung 2:
a) 56 ; b) 62 ; c) 128 ; d) 9 ; e) 2 ; f) 30 ; g) 128
3.1.1, Übung 3:
a) 2  5 4 = 1250 ; b) 2  103 = 2000 ; c) 2  4 2 = 32
Übungen zu 3.1.1: 1. a) 33 = 27 ; b) 51 = 5 ; c) 82 = 64 ; d) 101 = 10 ; e) 105 = 100000 ; f) 6³ =
216
2. a) 77 ; b) 4 ; c) 1 ∙ 5³ = 125 ; d) 62 =36 ; e) 31 ∙ 2 = 6 ; f) 25 ;
g) 22 = 4 ; h) 9 ; i) 5 ∙ 104 = 50000
Übungen zu 3.1.2: 1. a) 10 000 ; b) 10 000 000 ; c) 5 000 000 ; d) 200 000 ; e) 14 000
f) 14 000 ; g) 273 400 000
2. a) 10³ ; b) 108 ; c) 4 ∙ 104 ; d) 17 ∙ 105
3. a) 5,3 ∙103 ; b) 7,62 ∙ 107 ; c) 1,04723 ∙ 1010
4. a) 470 000 000 000 ; b) 3 107 000 000 ; c) 4 000 000 000 000
Übungen zu 3.2:
1. a) 1228 ; b) 2344 ; c) 128 ; d) 24 ; e) 1,25 ; f) 27 ;
g) 162 ; h) 10 ; i) 0,078125
2. a) 0,000 000 000 031 ; b) 67 800 000 000 ; c) 0,000 000 000 000 007 001
3. a) 6.1 exp 10 +/- ;
b) 1.78 exp 12
4. a) 0,03125 ; b) 2 000 000 000 000 ; c) 0,000 000 000 000 000 08
Übungen zu 3.3.1: 1. a) 29000 m ; b) 298 cm ; c) 642 cm ; d) 98 mm ; e) 42700dm ; f) 0,034km
g) 7,349 m ; h) 0,05 dm ; i) 0,007 cm ; j) 0,0432 dm ; k) 1270 cm ; l) 0,7 cm
2. a) 150 m ; b) 60 m ; c) 15 m ; d) 5 m ; e) 0,8 mm ; f) 0,0005 m
Übungen zu 3.3.2: 1. a) 4730 mm² ; b) 27 mm 2 ; c) 8,2 mm² ; d) 23,8 cm² ; e) 64.8 dm²
f) 170 dm² ; g) 6 m² ; h) 726,3 a ; i) 120 ha ; j) 0,48 ha
2. a) 0,037 km² ; b) 0,00523 ha ; c) 0,0003 a ; d) 0,527 m² ; e) 2,86 dm²
f) 34,90 m² ; g) 80 cm² ; h) 9,4 a ; i) 7,234 a ; j) 0,0147 m²
3. a) 5,24 a ; b) 19,05 a ; c) 4,1526 ha ; d) 32,0809 ha ; e) 2,152937 km²
4. a) 4 m² 62 dm² 83 cm² ; b) 2 m 2 48 cm² ;
c) 15 dm² 62 cm² 48 mm 2 ; d) 18 cm² 30 mm²
Übungen zu 3.3.3: 1. a) 312 000 mm³ ; b) 68 000 cm 3 ; c) 300 cm³ ; d) 5080 dm 3 ;
e) 600 cm3 ; f) 27 320 mm3
2. a) 1,4 cm³ ; b) 19,6 dm³ ; c) 0,45 m³ ; d) 3860 m³ ; e) 25,07 cm³
3. a) 3,253 716 m 3 ; b) 14,050 m3 ; c) 8,007 dm3
4. a) 5 m³ 72 dm³ ; b) 6 dm³ 530 cm³ ; c) 3 cm³ 7mm³ ;
d) 278 cm³ 400 mm³
e) 8 cm³ 230 mm³
5. a) 0,173 hl ; b) 93,7 hl ; c) 5,47 hl ; d) 0,07 hl ; e) 940 l ; f) 3200 ml ; g) 5030 ml
Übungen zu 3.3.4: 1. a) 428 000 mg ; b) 59 000 g ; c) 700 g ; d) 3090 kg ; e) 90 kg
2. a) 2,7 g ; b) 0,293 dz ; c) 0,64 t ; d) 7350 t
3. a) 6,372049 t ; b) 23,074 t ; c) 3,009 kg
4. a) 5 t 23 kg ; b) 7 t 480 kg ; c) 2 g 9 mg ; d) 356 g 470 mg ; e) 4 g 180 mg
Übungen zu 3.3.5: 1. a) 270 min ; b) 123 min ; c) 40 min ; d) 1,25 min ; e) 3,6 min ; f) 130,1 min
2. a) 8 h 18 min ; b) 1 h 9 min ; c) 2 h 24 min
3. a) 4,4 h ; b) 3,1 h ; c) 1,53 h
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Aufgabe 1: a) 4² = 16 ; b) 61 = 6 ; c) 7² = 49 ; d) 3² = 9 ; e)
g) 9,7  10 5 = 970000 ; h) 5,1  10 4 = 51000
6 + 4  8 = 38 ; f) 10  8 = 80
Aufgabe 2: a) 6,3204 ∙ 1010 = 63 204 000 000
b) 4,5  10 -11 = 0,000 000 000 045 ; c) 1024 ; d) 0,0016 ; e) 112 ; f) 4 ;
g) 7,75 ; h) 1,85  10 11 = 185 000 000 000 ; i) 2,4  10 13 = 24 000 000 000 000 ; j) 750
Aufgabe 3: a) 1,3  104 km ; b) 1,4  106 km; c) 3,8  105 km ; d) 1,5  108 km
Aufgabe 4: a) 12 300 cm² ; b) 3,687 dm³ ; c) 0,082 m ; d) 76 500 m² ; e) 3 980 g
f) 0,054 t ; g) 5700 cm³ ; h) 4,1 h ; i) 204 min ; j) 573 dm3
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UNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE
Dienstgrad; Name,
Vorname
Einheit
Standort
DZE
Privatanschrift
Datum
Email
1. Berechnen sie mit Hilfe von Rechenregeln (z. B. 5 2  5 3 = 5 5 = 3125 ).
a) 312 : 310
;
d) 4  10 6 + 2,8  10 6 - 5,7  10 6
b) 2 2  21  2 3
;
; e) 4 2  8 - 7  4 2 ;
c) 20 - 2  3 2
f) 4 4  4 8 : 2 6
2. Berechnen Sie mit Hilfe des Taschenrechners.
2
3
12  7
a) 8 4    ; b)
4
22  2
e) 15 : 0, 000 000 000 02 ;
3. Verwandeln Sie:
a) 12 m2 in dm2
d) 20 000 mm3 in l
g) 43 g in mg
j) 0,000 04 m2 in cm²
10240
3  10 4  46  10 3
; d)
;
4
2
3,8  10 14
f) 17 000 000 000 000  0,000 000 000 000 04
; c)
b) 140 cm2 in dm2
e) 20 ha in m2
h) 0,2 cm in dm
k) 2,8 h in min
c) 30 m in km
f) 43 g in kg
i) 2,45 l in cm3
l) 138 min in h
Senden Sie die Lösungen an die für Sie zuständige Bundeswehrfachschule
(Name, Adresse und Email nicht vergessen!).
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Stand: 01.07.2006
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DStG
Name
Vorname
Blatt:
Lösungen zu den Einsendeaufgaben LE 03
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