HTW Mathematik III KI-B Übung 1

HTW
Mathematik III
KI-B
Übung 1
(Komplexe Zahlen)
Darstellung komplexer Zahlen
1) Geben Sie Realteil, Imaginärteil und die konjugiert komplexe Zahl an!
a) z1 = − j + 1
b) z 2 = 5 − 2 j
c)
z3 = 2 − j
2) Zeigen Sie :
Für jede komplexe Zahl z = a+jb gilt:
a) z + z* =2Re(z)
b) z - z*= 2jIm(z)
3) Wie lautet die trigonometrische Form folgender komplexer Zahlen?
a) z1 = 1 + j
b) z2 = -j
c) z3 = -4
d) z4 = 2 e) z5=2-3j
4) Wie lautet die Normalform folgender komplexer Zahlen?
a) z1 = 2(cos(π ) + j sin(π )) b) z2= 4(cos(π / 2) − j sin(π / 2))
5) Stellen Sie folgende komplexen Zahlen als Zeiger im kartesischen Koordinatensystem dar!
Geben Sie dann alle Zahlen in EF (Eulerform) an!
a) z1 = − j + 1
b) z 2 = 5 − 2 j
c)
z3 = 2 − j
6) Stellen Sie folgende komplexen Zahlen in NF (Normalform) dar! Zeichnen Sie sie als
Zeiger im kartesischen Koordinatensystem! Geben Sie Real-und Imaginärteil und Betrag an!
a) z1 = 2e
j
π
2
b) z 2 = 3e
−j
π
4
c)
z 3 = 4e j 60°
Rechnen mit komplexen Zahlen
7) Berechnen Sie für z = 1 + 2 j und stellen Sie das Ergebnis ggf. in NF dar!
1
a)
b) jz c) z*
d) z/j
e) 2z
f) z(1+j)
g) z
h) z2
j
8) Berechnen Sie für z = 2e j 45° und stellen Sie das Ergebnis ggf. in EF dar!
z
a) z* b) 2z
c) z
d) ze j30°
e) j 90°
f) ze- j30° g) z2
e
Was bedeuten diese Operationen geometrisch?
8) Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen
0
z1 = −4 j
z2 = 3 − 2 j
z 3 = 2e − j 40
die folgenden Terme und geben Sie die Ergebnisse in Normalform und in Euler- Form an:
z
π
π
z1
z
a)
b) 1 ⋅ z 3
c) 1 − 3z 3* + 2(cos( ) + j sin( ))
d) ( z1 − z2* ) / ( z 2 z 3* )
z2
4
4
z2
z2
1
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(Komplexe Zahlen)
9) Zeigen Sie: a)
z1 | z1 |
=
z2 | z2 |
10) Berechnen Sie
1
!
3j+4
*
z1*
 z1 
b)   = *
z2
 z2 
2
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