als normalverteilung
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g. Zufallsvariable
Man definiert eine (neue) Zufallsvariable, wenn man jedem Element
von Ω nach einer Rechenregel eine Zahl zuordnet.
Man erhält dadurch einen neuen Ereignisraum und kann nach den
Wahrscheinlichkeiten für den Wert dieser Zufallsvariablen fragen.
Beispiel: : Ein Würfelexperiment mit 2 Würfeln hat 36 Ausprägungen,
{1,1},{1,2},...{6,6}. Die Elemente des Ereignisraumes seien diejenigen
Zahlen, die sich als „Summe der Würfelzahlen“ ergeben:
1+1=2 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+6=7 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+5=7 2+6=8 3+1=4 3+2=5
3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9 4+6=10 5+1=6 5+2=7 5+3=8
5+4=9 5+5=10 5+6=11 6+1=7 6+2=8 6+3=9 6+4=10 6+5=11 6+6=12
54
Erei
gnis
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
abs.
Häuf
igkei
t f(X)
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
rel.
Häuf
igkei
t
P(X)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Die Summe der pi = P(X=i+1) ist gleich 1 (i läuft von 1 bis 11 !)
55
7
6
5
f(X)
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
56
Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen X kann durch ihre Lage und
Streuung charakterisiert werden; man verwendet dafür deren Erwartungswert
E(X) (auch "1. Moment") und Varianz Var(X) (auch "2. Moment"):
E(X) = μ =
p x
i
i
i
Var(X) = σ =
2
2
p
(
x
)
i i
i
Die Wurzel aus Var(X) heißt Standardabweichung σ (auch Streuung), diese
wird in denselben Einheiten gemessen wie der Erwartungswert und ist deshalb
oft sinnvoller zu verwenden.
Beispiel: die obigen Daten ergeben Erwartungswert 7 und Varianz =
1/36*(2-7)2 + 2/36*(3-7)2 + ... =5.833 und die Standardabweichung σ =
2.42
57
Satz: Für alle Zufallsvariablen X, Y und alle reellen Zahlen a,b gilt
E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y)
Satz: Für jede Zufallsvariable X gilt Var(X) = E(X2) – E(X)2
Satz: Für jede Zufallsvariable X gilt Var(aX) = a2 Var(X)
Satz: Sind die Zufallsvariablen X, Y unabhängig, dann gilt E(XY) = E(X) E(Y) und
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) [die Umkehrung gilt auch]
Satz: (√n - Gesetz): X sei eine Zufallsvariable. Bei n-maliger unabhängiger
Wiederholung des Zufallsversuchs sei Xi der Wert von X beim i-ten Versuch. Für
die Mittelwertgröße
M:= 1/n (X1 + .... + Xn)
gilt dann E(M) = E(X) und σ(M) = σ(X)/√n
58
höhere Momente
das 3. Moment ist die Schiefe (Asymmetrie), definiert durch
Schiefe(X) =
3
p
(
x
)
/ σ3
i i
i
(<0: „linksschief“="rechtsgipflig"; >0: „rechtsschief“="linksgipflig")
das 4. Moment ist die Kurtosis (Wölbung, Exzess), definiert durch
Kurtosis(X) = p ( x
i
i
i
)4 /
σ4 – 3
! Achtung : Definition mit -3
(<0: flacher als Normalverteilung; >0 spitzer als Normalverteilung)
59
kontinuierliche Verteilungen
b
P(a≤x≤b) =
f ( x)dx
, wobei a und b reelle Zahlen sind
a
f(x) = Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion, >=0
∞
a
P(x=a) =
f ( x)dx
=0 ;
a
Ptot =
70
P(60≤x≤70) =
f ( x)dx
∫−∞ f ( x)dx
=1
, wenn f(x) die
60
Dichtefunktion für die Gewichte ist.
60
70
P(-∞≤x≤70) =
f ( x)dx
y
und allgemein P(-∞≤x≤y) =
f ( x)dx
= F(y)
F(y) wird Verteilungsfunktion genannt, es ist die
Stammfunktion von f(y) .
61
E(X) und Var(X) bei kontinuierlichen Verteilungen
E(X) = μ =
f ( x) xdx
Var(X) = σ =
2
f ( x)( x ) 2 dx
f ( x)( x E ( x)) 2 dx
62
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1. Gleichverteilung
(diskret / kontinuierlich)
2. Binomialverteilung
(diskret)
3. Poissonverteilung
(diskret)
4. Normalverteilung
(kontinuierlich)
63
2. Binomialverteilung
Wir betrachten eine Folge von Einzelversuchen (EV)
a)
die EV seien dichotom mit möglichen Ausgängen "Erfolg"= S und
"Mißerfolg"=F
b)
die EV sind voneinander unabhängig mit p=P(S) und q=P(F) und p+q=1
c)
wir interessieren uns für die Anzahl X der eingetroffenen Erfolge S
d)
die Anzahl n der EV ist vorher festgelegt, d.h. X kann nicht größer als n
werden
Dann ist X gemäß der sog. Binomialverteilung verteilt, d.h. die Zufallsvariable X
"ist binomialverteilt mit Parametern n und p", und es gilt:
b)
n k
P( X k ) p (1 p) n k
k
E(X) = n p
c)
Var(X) = n p (1-p) = n p q
d)
0 < Var(X)/E(X) < 1
a)
für k=0,1,2,...,n
d.h. Var(X) < E(X)
Aus experimentellen Daten kann man p abschätzen durch
p̂ = Messwert/n
64
