Vorlesung Statistik - Betriebswirtschaft.info

Prof. Dr. Schittenhelm
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Vorlesung Statistik
Übungsblatt - 5
Aufgabe 1)
Ein Kraftfahrzeughändler weiß aus jahrelanger Erfahrung, dass von den in Zahlung
genommenen Wagen 15% geringe, 60% mittelschwere und 25% sehr schwere Schäden
aufweisen. Er will die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass von den nächsten 10 Wagen, die
er in Zahlung nehmen wird, bei höchstens 8, genau 6 bzw. mindestens 3
(a) schwere, (b) geringe oder (c) mittelschwere
Schäden vorliegen. Diese Wahrscheinlichkeiten sind aus den entsprechenden Tabellen der
Binomialverteilung zu entnehmen.
Aufgabe 2)
Von einem bestimmten Geldautomaten werden an einem normalen Wochenende mindestens
5.000 €, oft jedoch wesentlich mehr als 5.000 € abgehoben. Nach den bisher vorliegenden
Erfahrungen kann die Nachfrage (d.h. die Summe der Abhebungen), als eine Zufallsvariable
X mit der Verteilungsfunktion
25.000.000
F ( x) = 1 −
, x > 5.000
x2
angesehen werden.
(a) Der Automat wird mit 50.000 € gefüllt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit deckt dieser
Betrag die Nachfrage nicht?
(b) Wie groß ist die mittlere Nachfrage E(X)
Aufgabe 3)
Das Gewicht von neugeborenen Kindern sei normalverteilt mit µ=3.200 g und σ= 800g.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes
a) mehr als 3.000g
b) weniger als 2.500g
c) zwischen 4.000g und 5.000g wiegt?
Wie schwer muss ein Neugeborenes sein, damit es zu den
d) 15% schwersten
e) 15% leichtesten gehört
Aufgabe 4)
Die Wahrscheinlichkeit, ein fehlerhaftes Stück eines Erzeugnisses zu erhalten, sei 0,01.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 100 Stück höchstens drei
fehlerhafte auftreten?
b) Bei großen n und kleinem p wird häufig die so genannte Poisson-Verteilung als
Näherung der Binomialverteilung verwendet. Es gilt:
P( X = k ) =
λk
⋅ e −λ , ( k = 0,1,2,3,...) ; λ = n ⋅ p ist der Parameter der Verteilung.
k!
Berechnen Sie obige Wahrscheinlichkeit nun mit Hilfe der Poisson-Verteilung.
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Lösung
Aufgabe 1)
(a) p=0,25
P( höchstens8) = B10;0,25 (8) = 1,0000
P(6) = b10;0, 25 (6) = 0,0162
P( mindestens3) = 1 − B10;0, 25 ( 2) = 1 − 0,5256 = 0,4744
(b) p=0,15
P( höchstens8) = B10;0,15 (8) = 1,0000
P (6) = b10;0,15 (6) = 0,0012
P( mindestens3) = 1 − B10;0,15 ( 2) = 1 − 0,8202 = 0,1798
(c) p=0,6
P( höchstens8) = B10;0,6 (8) = 1 − B10;0, 4 (1) = 1 − 0,0464 = 0,9536
P(6) = b10;0,6 (6) = b10;0, 4 ( 4) = 0,0012
P( mindestens3) = 1 − B10;0,6 ( 2) = 1 − (1 − B10;0,4 (7)) = B10;0, 4 (7) = 0,9877
Aufgabe 2)
(a) P( X > 50.000) = 1 − P( X ≤ 50.000) = 1 − F (50.000) = 1 − 0,99 = 0,01
25.000.000 50.000.000
(b) Dichte: F ′( x ) = f ( x ) = −( −2) ⋅
=
x3
x3
∞
50.000.000

E( X ) = ∫ x ⋅
dx = 50.000.000 ⋅ −
3
x

5.000
∞
1
50.000.000
=
= 10.000

5.000
x  5000
Aufgabe 3)
Normalverteilung
x−µ
es gilt N µ ,σ ( x ) = N 0,1 

 σ 
µ = 3.200g; σ = 800g
 x−µ
a) mehr als 3.000 g: P( X ≥ 3.000g) = 1 − Nµ,σ (3.000g) = 1 − N0,1 

 σ 
 3.000g − 3.200g 
1 − N0,1 
 = 1 − N0,1 ( −0, 25 ) = 1 − (1 − N0,1 ( 0, 25 )) = N0,1 ( 0, 25 ) = 0, 59871
800g


=59,87%
 x−µ
b) weniger al 2.500 g: P( X ≤ 2.500g) = Nµ,σ ( 2.500g) = N0,1 

 σ 
 2.500g − 3.200g 
N0,1 
 = N0,1 ( −0, 875 ) = 1 − N0,1 ( 0, 875 ) = 1 − 0, 8092 = 0,1908 =19,08%
800g


c) zwischen 4.000g und 5.000g:
P( 4.000g ≤ X ≤ 5.000g) = P(X ≤ 5.000g) − P(X ≤ 4.000g) = Nµ,σ (5.000g) − Nµ,σ ( 4.000g)
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 5.000g − 3.200g 
 4.000g − 3.200g 
N0,1 
 − N0,1 
 = N0,1 ( 2, 25 ) − N0,1 (1) = 0, 98778 − 0, 84134 = 0,14644
800g
800g




=14,64%
d) 15% schwersten Îumgekehrt betrachten (entspricht größer als die 85% leichtesten):
Nµ,σ (x) = 85%
Flächeninhalt ist
15%
 x − 3.200g 
N0,1 
 = 0, 85 ⇒ N0,1 (1, 038 ) = 0, 85
 800g 
Es gilt daher:
 x − 3.200g 

 = 1, 038 ⇒ x = 4030, 4g
 800g 
Ein Kind muss daher schwerer als 4030,4 g sein um zu den 15% schwersten zu gehören.
e) 15% leichtesten Îumgekehrt betrachten: Nµ,σ ( x) = 15%
 x − 3.200g 
N0,1 
 = 0,15 ⇒ N0,1 ( −1, 038 ) = 1 − 0,15 = 0, 85
 800g 
Es gilt daher:
 x − 3.200g 
−
 = 1, 038 ⇒ x = 2.369, 60g
800g 

Ein Kind muss daher leichter als 2.369,6 g sein um zu den 15% leichtesten zu gehören.
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Aufgabe 4)
100 
100 
100 
B100;0,01 (3) = 
(0,01) 0 ⋅ (0,99)100 + 
(0,01)1 ⋅ (0,99) 99 + 
(0,01) 2 ⋅ (0,99) 98 +
 0 
 1 
 2 
a)
100 
100 

(0,01) 2 ⋅ (0,99) 98 + 
(0,01) 3 ⋅ (0,99) 97 = 0,9816.
 0 
 3 
10 −1 11 −1 12 −1 13 −1
b) λ = n ⋅ p = 100 ⋅ 0,01 = 1 ⇒ P( X ≤ 3) ≈ e + e + e + e = 0,9810
0!
1!
2!
3!