2.Test Angabe+Lösung

Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
Matrnr.:
M3 ET 15.1.09 A
Aussage
Die Funktion f (x) = 12 e−|x| ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Funktion F (x) = 12 + π1 arctan(x) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
Ist F eine stetige, streng monotone Verteilungsfunktion, so gibt es zu jedem
α ∈ IR ein α-Quantil zα
Sind die Zufallsvariablen X, Y : Ω → IR unabhängig, so gilt E(XY ) =
E(X)E(Y )
Ist die Variable Z nach N (0, 1) verteilt, so ist die Variable aZ + b für positives
a stets N (a, b) verteilt
0
0
Sind die Variablen
pX, Y jeweils N (µ, σ) bzw. N (µ , σ ) verteilt, so ist X + Y
2
gemäß N (µ + µ0 , σ 2 + σ 0 ) verteilt
Die Tschebischeffsche Ungleichung benötigt man zur Konstruktion gewisser
Punktschätzer
Der Erwartungswert µ := E(X) einerP
Zufallsvariablen X soll geschätzt werden.
1
Der Schätzer Z(X1 , . . . , Xn ) := n+1
i Xi ist erwartungstreu
Es soll für einen Parameter θ in einer Verteilung F (x, θ) eine Intervallschätzung
für θ gefunden werden. Dabei geht es darum, Schätzfunktionen θ(X1 , . . . , Xn )
und θ̄(X1 , . . . , Xn ) anzugeben, sodaß für eine Stichprobe (x1 , . . . , xn ) sich
der zu schätzende Parameter θ im Intervall (θ(x1 , . . . , xn ), θ̄(x1 , . . . , xn )
mit Wahrscheinlichkeit höchstens α (vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit)
befindet P
P
1
2
2
Es ist n+1
i Xi − (
i Xi ) ein erwartungstreuer Schätzer der Varianz von X
J/N
J
J
N
J
N
N
N
N
N
N
Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
Matrnr.:
M3 ET 15.1.09 B
Aussage
Die Funktion f (x) = 13 e−|x| ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Funktion F (x) = 12 + π1 arctan(2x) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
Ist F eine stetige, streng monotone Verteilungsfunktion, so gibt es zu jedem
positiven α ∈ IR ein α-Quantil zα
Sind die Zufallsvariablen X, Y : Ω → IR unabhängig, so gilt E(XY ) =
E(X)E(Y )
Ist die Variable Z nach N (0, 1) verteilt, so ist die Variable aZ + b stets N (b, a)
verteilt
Sind die unabhängigen Zufallsvariablen
X, Y jeweils N (0, σ) bzw. N (0, σ 0 )
p
verteilt, so ist X − Y gemäß N (0, σ 2 + σ 0 2 ) verteilt
Die Tschebischeffsche Ungleichung lautet P (|X − µ| ≥ ) ≤ 1 V (X)
Der Erwartungswert µ := E(X) einerP
Zufallsvariablen X soll geschätzt werden.
1
Der Schätzer Z(X1 , . . . , Xn ) := n−1
i Xi ist für n ≥ 2 erwartungstreu
Es soll für einen Parameter θ in einer Verteilung F (x, θ) eine Intervallschätzung
für θ gefunden werden. Dabei geht es darum, Schätzfunktionen θ(X1 , . . . , Xn )
und θ̄(X1 , . . . , Xn ) anzugeben, sodaß für eine Stichprobe (x1 , . . . , xn ) sich der
zu schätzende Parameter θ im Intervall (θ(x1 , . . . , xn ), θ̄(x1 , . . . , xn ) höchstens
mit Irrtumswahrscheinlichkeit
α nicht befindet
P 2
1
Es ist n+1
X
ein
erwartungstreuer
Schätzer für E(X 2 )
i i
J/N
N
J
N
J
N
J
N
N
J
N
Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
Matrnr.:
M3 ET 16.1.09 Nachtest
Aussage
Die Funktion f (x) = e−2|x| ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Funktion F (x) = 12 + π1 arctan(x + 6) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
Ist F eine stetige, streng monotone Verteilungsfunktion, so gibt es zu jedem
α ∈ (0, 0.1) ein α-Quantil zα
Sind die Zufallsvariablen X, Y : Ω → IR unabhängig, so gilt E(X + Y ) =
E(X) + E(Y )
Ist die Variable Z nach N (0, 1) verteilt, so ist die Variable 3Z −4 nach N (3, −4)
verteilt
Sind die Variablen X, Y jeweils N (µ, σ) bzw. N (µ0 , σ 0 ) verteilt, so ist E(XY ) =
µµ0
Die Tschebischeffsche Ungleichung benötigt man zur Konstruktion gewisser
Intervallschätzer
Der Erwartungswert µ := E(X) einerP
Zufallsvariablen X soll geschätzt werden.
1
Der Schätzer Z(X1 , . . . , Xn ) := n+1
i Xi ist konsistent
Es soll für einen Parameter θ in einer Verteilung F (x, θ) eine Intervallschätzung
für θ gefunden werden. Dabei geht es darum, Schätzfunktionen θ(X1 , . . . , Xn )
und θ̄(X1 , . . . , Xn ) anzugeben, sodaß für eine Stichprobe (x1 , . . . , xn ) sich
der zu schätzende Parameter θ im Intervall (θ(x1 , . . . , xn ), θ̄(x1 , . . . , xn ) bei
vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit α mit Wahrscheinlichkeit höchstens
1 − α nicht
P befindet
Es ist n1 i Xi2 ein erwartungstreuer Schätzer von E(X 2 )
J/N
J
J
J
J
N
N
J
J
N
J
Erklärungen
1. Eine Dichtefunktion f darf nichtnegativ sein und Gesamtintegral mit Wert 1 haben. Das trifft in
A) und beim Nachtest, nicht aber in B) zu.
2. Eine Verteilungsfunktion hat F (−∞) = 0, F (∞) = 1 zu erfüllen, muß monoton und linksstetig sein.
Beim arctan ist der Hauptzweig gemeint. Deshalb gilt limx→±∞ arctan(x) = ± π2 , und da überdies
arctan streng monoton und stetig ( sogar stetig differenzierbar mit Ableitung ist x21+1 > 0) ist, liegt
in A),B) und im Nachtest jeweils eine Verteilungsfunktion vor.
3. Für jedes α ∈ (0, 1) kann bei streng monotonem, stetigen F die Gleichung α = F (z) eindeutig gelöst
werden (mit Lösung zα ). Deshalb sind A), B) mit N, und der Nachtest mit J zu beantworten.
4. Aus der Unabhängigkeit von X, Y folgt stets E(XY ) = E(X)E(Y ), also die Unkorreliertheit. Die
Umkehrung ist im allgemeinen falsch, jedoch für Gaussverteilte Variable richtig.
Im Nachtest ist E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) stets richtig, ganz gleich, ob X, Y unabhängig sind,
oder nicht.
5. Es ist E(aZ + b) = aE(Z) + E(b) = 0 + b = b und V (aZ + b) = E((aZ + b)2 ) − E(aZ + b)2 =
E(a2 Z 2 + 2Zb + b2 ) − b2 = a2 E(Z 2 ) + 2bE(Z) + b2 E(1) − b2 = a2 E(Z 2 ) = a2 (weil E(Z) = 0 und
V (Z) = 1 ist – weil Z laut Angabe N (0, 1)-verteilt ist), somit ist aZ + b gemäß N (b, |a|) verteilt.
Deshalb sind die entsprechenden Behauptungen alle falsch.
6. Sind X, Y unabhängige Gaussverteilte Variable, so gilt der Additionssatz, als die Formel in A). Die
Unabhängigkeit war in A) nicht gefordert worden, somit gilt in solch einem Fall die Aussage im
allgemeinen nicht.
In B) sind die Variablen X und −Y auch unabhängig. Dann ist wegen E(Y ) = 0 die Variable
N (0, σ 0 )-verteilt und der Additionssatz ergibt “J” als Antwort.
Im Nachtest ist die Formel nur für unabhängige Variable X, Y richtig, also ist die Antwort “N”.
lautet, spielt eine Rolle zur Kon7. Die Tschebischeffungleichung, welche P (|X − µ| ≥ ) ≤ V (X)
2
struktion gewisser Intervallschätzer. Deshalb sind A) falsch, B) falsch (2 sollte rechts im Nenner
stehen), und der Nachtest richtig.
P
1
n
8. Wäre Z in A) erwartungstreu, so hätte man µ = E(Z) = n+1
i E(Xi ) = n+1 µ, was für µ 6= 0
sicher falsch ist. Daher ist in A) die Antwort “N”.
Ganz ähnlich ergibt sich das “N” in B).
Nun zum Nachtest. Die Konsistenz ist gezeigt, wenn P (|µ − Z| ≥ ) gegen Null für n → ∞ gilt. Der
Beweis ist nun analog wie im Skriptum. Die Tschebischeffsche Ungleichung ergibt P (|E(Z) − Z| ≥
n
n
) ≤ 12 V (Z). Es ist E(Z) = n+1
µ und V (Z) = · · · = (n+1)
2 V (X).
Es sei ω ∈ Ω mit |µ − Z(ω)| ≥ (jetzt sind wir ein bisschen präziser!) Für dieses ω verwenden wir
die Dreiecksungleichung in der Form |a + b| ≥ |a| − |b| wie folgt:
|Z(ω) − µ| = |(Z(ω) − E(Z)) + (E(Z) − µ)| ≥ |Z(ω) −
n
n+1 µ|
n
− | n+1
µ − µ|
und schätzen rechts für hinreichend große n weiter nach unten ab:
≥−
1
n+1 |µ|
≥−
2
=
2
Somit erfüllt jedes ω mit |E(Z) − Z(w)| ≥ auch die Ungleichung |Z(w) − µ| ≥ / 2. Demnach
strebt die Wahrscheinlichkeit P (|µ − Z| ≥ ) unter Verwendung der Tschebischeffungl. und oben
berechneter Varianz (für n → ∞) gegen 0, womit die Konsistenz gezeigt ist.
9. In A) sollte die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 − α (Konfidenzniveau) sein. In B) sollte der
geschätzte Parameter mit mindestens Wahrscheinlichkeit 1 − α sehr wohl im angegebenen Intervall
liegen. Beim Nachtest sollte die Wahrscheinlichkeit, im Intervall zu liegen “mindestens” 1 − α sein.
P 2
1
n
2
2
10. Bei B) und im Nachtest ist die Rechnung leicht: E( n+1
i Xi ) = n+1 E(X ) 6= E(X ), falls
2
E(X ) 6= 0, also “N”. Beim Nachtest ergibt die analoge Rechnung “J”.
Nun zu A). Hier genügt es, sich die Erwartungstreue für n = 1 zu überlegen. Dann hat man
Z = 21 X12 − X12 = − 12 X12 , somit ist E(Z) = − 21 E(X 2 ) sicher negativ, sobald E(X 2 ) positiv ist.
Deshalb ist A) mit “N” zu beantworten.