2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige

2. VEKTORANALYSIS
2.1 Kurven
Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem
Intervall I = [a; b] ∈ R in den R𝑛 : f : I → R𝑛
• f ist in dem Fall ein Weg in R𝑛 .
• Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve in R𝑛 bezeichnet.
• f(a) ist Anfangspunkt und f(b) der Endpunkt der Kurve.
• Eine geschlossene Kurve liegt vor für f(a) = f(b).
Anmerkung:
Wir beschränken uns, wenn nicht anders gekennzeichnet, auf Wege
innerhalb des R𝑛 , nicht 𝐶 𝑛 .)
1
Parameterdarstellung der Kurve:
𝑥1 (𝑡)
𝑥2 (𝑡)
Eine stetige Funktion 𝑥(t) =
des Parameters t ∈ I und
⋮
𝑥𝑛 (𝑡)
I ∈ R wird als Parameterdarstellung der Kurve f(t) bezeichnet.
Beispiele:
a) Parabel:
R2
R→
𝒙∶
t → ( t, at 2 )
Dieser Parametergleichung entspricht den beiden Gleichungen:
x=t
y = at²
2
Beispiele:
b) Ellipse:
[ 0, 2π ]
𝐱∶
t
→ R2
→ (a cos (t), b sin (t) )
x = a cos (t)
y = b sin (t)

𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1(Ellipsengleichung)
Für a = b erhält man die Parameterdarstellung eines Kreises mit
dem Radius r = a.
3
Ein und dieselbe Kurve kann verschiedene Parameterdarstellungen (Wege) haben:
Zwei Parameterdarstellungen 𝐱 𝟏 : I1 → R𝑛 und 𝐱 𝟐 : I2 → R𝑛
beschreiben dieselbe Kurve, wenn es eine stetige, monoton
steigende Funktion g gibt mit 𝐱 𝟏 (t) = 𝐱 𝟐 (g(t))
Beispiel:
R2
R→
𝐱 𝟏 (t) =
t → (t, at 2 )
R2
R →
𝐱 𝟐 (t) = 3
t → (t 3 , at 6 )
g(t) = t³
4
Die Parameterdarstellung einer Kurve wird auch als
Vektordarstellung bezeichnet:
𝑥1 (t)
𝒙 (t) = 𝑥1 (t) 𝑒𝑥 + 𝑥2 (t) 𝑒𝑦 + 𝑥3 (t) 𝑒𝑧 = 𝑥2 (t) .
𝑥3 (t)
Hierbei sind 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 und 𝑒𝑧 die Einheitsvektoren eines
kartesischen Koordinatensystems:
1
𝑒x = 0 ,
0
0
𝑒y = 1 ,
0
0
𝑒z = 0 .
1
5
Eigenschaften einer Kurve:
Es sei I ⊂ R ein Intervall und 𝒙 (t) =
𝑥1 (t)
𝑥2 (t)
⋮
𝑥𝑛 (t)
für alle t ∈ I eine
Parameterdarstellung einer Kurve.
1. Die Kurve 𝒙 (t) ist genau dann stetig, wenn alle 𝑥𝑖 (t) stetig
sind.
2. Die Kurve 𝒙 (t) ist auf dem Intervall I differenzierbar, wenn
alle 𝑥𝑖 (t) auf I differenzierbar sind.
𝑥1 ´t)
𝑥2 ´(t)
3. Die erste Ableitung 𝒙´(t) ist gegeben zu 𝒙´(t) =
.
⋮
𝑥𝑛 ´(t)
6
4. Analog heißt eine Kurve n-fach differenzierbar, wenn alle
𝑥𝑖 (t) auf I n-fach differenzierbar sind.
5. Die n-te Ableitung ist gegeben zu 𝑥 (𝑛) (t) =
𝑥1 𝑛 𝑡
𝑥2 𝑛 𝑡
⋮
𝑥𝑛 𝑛 𝑡
.
7
2.2 Vektorielle Darstellung einer Kurve
Die Parameterdarstellung einer ebenen Kurve C in einem
kartesischen Koordinatensystem laute:
C: x = x(t) und y = y(t) mit t ∈ [ 𝑡1 ; 𝑡2 ]
Der zum Parameterwert t gehörige Kurvenpunkt P( x(t),y(t) ) ist
dann eindeutig durch seinen Ortsvektor
𝑥(𝑡)
𝑟(P) = x(t) 𝑒𝑥 + y(t) 𝑒𝑦 =
= 𝒓(t) gegeben.
𝑦(𝑡)
8
2.2 Vektorielle Darstellung einer Kurve
Allgemein wird ein von einem reellen Parameter t abhängiger
Vektor 𝑎 = 𝑎(t) mit
𝑎𝑥 (t)
𝑎 = 𝑎(t) = 𝑎𝑥 (t) 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 (t) 𝑒𝑦 + 𝑎𝑧 (t) 𝑒𝑧 = 𝑎𝑦 (t) ; t ∈ [ 𝑡1 ; 𝑡2 ]
𝑎𝑧 (t)
als Vektorfunktion des Parameters t bezeichnet.
Die Vektorkoordinaten sind dabei reelle Funktionen des
Parameters t: 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 (t); 𝑎𝑦 = 𝑎𝑦 (t); 𝑎𝑧 = 𝑎𝑧 (t) .
9
2.2.1 Tangentenvektor
Die Differentiation eines parameterabhängigen Ortsvektors 𝑎(t)
nach dem Parameter t erfolgt komponentenweise und führt
wiederum zu einem Vektor, der als Tangentenvektor
bezeichnet wird:
z.B. Tangentenvektor einer Raumkurve
𝑎𝑥 (t)
𝑑
𝑎 = 𝑎 (t) = 𝑎𝑥 (t) 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 (t) 𝑒𝑦 + 𝑎𝑧 (t) 𝑒𝑧 = 𝑎𝑦 (t)
𝑑𝑡
𝑎𝑧 (t)
; t ∈ [ 𝑡1 ; 𝑡2 ]
Der Tangentenvektor 𝑎 (t) liegt in der Kurventangente (daher
stammt auch die Bezeichnung) und zeigt in die Richtung, in die
sich der Kurvenpunkt P mit wachsendem Parameterwert t
bewegen würde.
10
Ableitungsregeln für Summen und Produkte von Vektoren
Seien 𝑎(t), 𝑏(t) differenzierbare Vektorfunktionen und 𝜑(t) eine
differenzierbare Skalarfunktion, dann gelten folgende Regeln der
Differentiation:
•
•
•
•
𝑑
{ 𝑎 + 𝑏} = 𝑎 + 𝑏
𝑑𝑡
𝑑
{ 𝑎 • 𝑏} = 𝑎 • 𝑏 + 𝑎 • 𝑏
𝑑𝑡
𝑑
{ 𝑎 ⨯ 𝑏} = 𝑎 ⨯ 𝑏 + 𝑎 ⨯ 𝑏
𝑑𝑡
𝑑
{ 𝜑 • 𝑏} = 𝜑 • 𝑏 + 𝜑 • 𝑏
𝑑𝑡
Summenregel
Produktregel für Skalarprodukt
Produktregel für Vektorprodukt
Produktregel für skalare
Multiplikation
11
2.2.2 Bogenlänge einer Kurve
Liegt die Kurvengleichung in der expliziten Form y = f(x) vor, so
gilt für die Länge des Bogens vom Kurvenpunkt P1 bis zum
Kurvenpunkt P2 die Formel
𝑏2
s = 𝑎 1 + (𝑦´)2 𝑑𝑥.
Die Kurve kann man auch durch einen Ortsvektor beschreiben:
𝑥(𝑡)
𝑟(t) = x(t) • 𝑒𝑥 + y(t) • 𝑒𝑦 =
𝑦(𝑡)
mit t ∈ [ 𝑡1 , 𝑡2 ]
𝑟(t)
12
Bogenlänge einer Kurve
Zwischen der Tangentensteigung y´ und den Ableitungen 𝑥 und
𝑦 von 𝑟(t) besteht der Zusammenhang y´ =
 s=
=
=
𝑏2
𝑎
1 + (𝑦´)2 𝑑𝑥
𝑏 2 𝑥²+𝑦²
𝑑𝑥
𝑎
𝑥²
𝑡2 2
𝑥 ² + 𝑦²
𝑡1
=
𝑑𝑡
=
𝑏2
𝑎
𝑦
𝑥
.
1 + (𝑦 𝑥)2 𝑑𝑥
𝒕𝟐 2 𝑥²+𝑦² 𝑑𝑥
𝒅𝒕
𝒕𝟏
𝑥²
𝒅𝒕
𝑡2
= 𝑡 | 𝑟 | 𝑑𝑡 .
1
=
𝑡2
𝑡1
2
𝑥²+𝑦²
𝑥
𝑥 𝑑𝑡
Das Differential der Bogenlänge s lautet daher
ds =
𝟐
𝒙² + 𝒚² 𝒅𝒕 = | 𝒓 | 𝒅𝒕
und wird als Bogen- oder Linienelement, auch Bogendifferential bezeichnet.
13
Bogenlänge einer Raumkurve
Bei einer Raumkurve erweitert sich die Integralform
entsprechend um die 3.Dimension ( hier z )
𝑡 2
𝑡
 s = 𝑡 2 𝑥² + 𝑦² + 𝒛² 𝑑𝑡 = 𝑡 2 | 𝑟 | 𝑑𝑡 .
1
1
Das Differential der Bogenlänge s lautet daher
2
ds = 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² 𝑑𝑡 = | 𝑟 | 𝑑𝑡
14
2.3 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
Parameterdarstellung einer Geraden 𝐠(t) durch den Punkt
𝑥0
𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) :
𝐠 (t) = 𝑦0 + t 𝑎 ( = 𝑟0 + t 𝑎 = 𝑟(t) )
𝑧0
𝑎 ist Vektor, der parallel zu 𝐠 (t) ist.
Beispiel:
Die Parameterdarstellung der Tangente 𝐠 (s) an die Kurve 𝑥(t)
für t = 𝑡0 lautet: 𝐠 (s) = 𝑥(𝑡0 ) + s 𝑥0 (𝑡0 )
15
2.3 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
Parameterdarstellung einer Ebene:
Für die Parameterdarstellung einer Fläche im R³ werden 2
Parameter benötigt.
Das einfachstes Beispiel hierfür ist eine Ebene.
Eine Ebene im R³ wird von zwei linear unabhängigen Vektoren
𝑎 und 𝑏 aufgespannt.
Parameterdarstellung einer Ebene 𝒉 (r,s),
die den Punkt 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) enthält,
𝑥0
𝒉(r,s) = 𝑦0 + r 𝒂 + s 𝒃
𝑧0
𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) enthält, 𝒉(r,s) =
𝒓𝟎 + r 𝒂 + s 𝒃
16
Tangentialebene:
Eine Fläche im R³, die durch die Funktion f(x,y) = z beschrieben
wird, kann am Punkt P0 (x0 , y0 , z0 ) durch die Tangentialebene
approximiert werden (vgl. Mathe I).
Parameterdarstellung der Tangentialebene durch 𝐏𝟎 (𝐱𝟎 , 𝐲𝟎 , 𝐳𝟎 )
𝑥0
0
1
𝒉(r,s) = 𝑦0 + r 0 + s 1
𝑧0
𝑓𝑦
𝑓𝑥
Herleitung:
Das totale Differential dz lautet:
dz = 𝑓𝑥 dx + 𝑓𝑦 dy
 𝑓𝑥 dx beschreibt die Änderung von z in x-Richtung,
 𝑓𝑦 dy beschreibt die Änderung von z in y-Richtung.
17
Normalenvektor
Ebenen werden gerne durch einen Normalenvektor 𝒏
beschrieben.
𝒏 steht senkrecht zu allen Vektoren innerhalb der Ebene.
Vorteil:
Die Orientierung der Ebene im Raum kann durch einen
einzigen Vektor beschrieben werden.
Für eine Tangentialebene gilt:
0
1
𝒏= 0 x 1
𝑓𝑦
𝑓𝑥
−𝑓𝑦
=> 𝒏 = −𝑓𝑥
1
.
18
2.4 Skalar- und Vektorfelder
Ein Skalarfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt im Raum
einen Skalar zuordnet.
Definition
Es sei m ≥ 2 und A ⊂ R𝑚 . Eine Abbildung U : A → R wird als
Skalarfeld bzw. skalares Feld bezeichnet.
Beispiele:
• Temperatur
• Potential einer Ladung
• Dichte
• Luftdruck
Mathematisch gesehen entspricht ein Skalarfeld einer
Funktion von m Variablen: U = U(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ).
19
Wichtige Skalarfelder:
1. Ebenes Feld: U(x, y, z) = 𝑈0 = constant
2. Zentralsymmetrisches Feld: U(x,y,z) = V( 𝑥² + 𝑦² + 𝑧²) =V(r)
Beispiel: Potential einer Punktladung mit
𝑞 1
U(x,y,z) =
4𝜋𝜀0 𝑟
3. Axialsymmetrisches Feld:
U(x,y,z) = V( 𝑥² + 𝑦²) =V(r)
20
2.4 Skalar- und Vektorfelder
Niveauflächen:
Als Niveauflächen eines Skalarfeldes U(x,y,z) bezeichnet man
die Flächen, auf denen der Wert von U konstant ist.
Entsprechend spricht man von Niveaulinien für U(x,y).
Stationäre Skalarfelder:
In der Realität ist es durchaus nicht selten, dass U von der Zeit
abhängt: U(t) = U( x(t) , y(t), z(t) ).
Beispiel 1: Änderung der Temperatur in der Umgebung einer
Herdplatte, die gerade eingeschaltet worden ist.
Beispiel 2: Meerestemperatur
Bei einem Skalarfeld beschränkt man sich auf zeitunabhängige
(stationäre) Phänomene.
21
2.4 Skalar- und Vektorfelder
Ein Vektorfeld ist eine Abbildung, die jeden Punkt eines
Raumes einen Vektor zuordnet.
Definition:
Es sei m ≥ 2 und A ⊂ R𝑚 . Eine Abbildung V: A → R𝑚 wird als
Vektorfeld bezeichnet.
Beispiel: allgemeines Vektorfeld im R³
𝑉1 (x,y,z)
𝐕 (x,y,z) = 𝑉2 (x,y,z)
𝑉3 (x,y,z)
22
Beispiele:
• Elektrische Feld
• Geschwindigkeit der Teilchen einer strömenden Flüssigkeit
⋮
Darstellungen eines Vektorfeldes:
•
•
⋮
Feldlinien
Vektorschar
23
Elektrische Feld
In der Chemie befasst man sich mit Elektronen im Feld von
Atomkernen. Im weiteren werden wir daher das elektrische Feld
näher betrachten:
• Eine positive Punktladung 𝐪𝟏 = Z • e führt in ihrer Umgebung
zu einem elektrischen Feld. 𝐪𝟏 sei im Ursprung des
Koordinatensystems ( Protonen im Atomkern ).
• Auf eine negative Punktladung 𝒒𝟐 = 1•(-e) ( Hüllelektron ) wirkt
eine zum Ursprung gerichtete Kraft 𝑭 .
𝒒
• Nach dem Coulomb-Gesetz gilt: ( F ~ - 𝒊 )
𝑭=𝜺𝟎
r
𝒆𝒓 =
𝒓
𝒓
𝟏 𝒒𝟏 |𝒒𝟐 |
𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒓²
𝒓
𝒆𝒓
(Material-) Konstante,
Abstand zwischen 𝑞1 und 𝑞2
Einheitsvektor, der von 𝑞1 nach 𝑞2 zeigt
24
Wenn 𝐪𝟐 die Koordinaten x, y, z hat, gilt:
𝐅 hängt vom Ort x, y, z (Abstand r) und der Ladung 𝐪𝟐 ab.
Die Ladung 𝐪𝟐 ist in der Regel konstant.
Wir betrachten den Fall 𝐪𝟐 = -1 (z.B. für ein Elektron).
 Über das Coulomb-Gesetz wird jedem Punkt im Raum ein
Vektor 𝑭 zugeordnet. Es liegt ein Vektorfeld 𝐄 vor.
Elektrische Feld 𝐄 = -
𝑞1 1
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝑒𝑟 .
Die Niveauflächen von dem
elektrische Feld 𝑬 sind
Kugelschalen mit dem Radius 𝑟0 = | 𝑟 |.
Bild © Uni Graz
25
Elektrisches Feld und Skalarfeld:
Dem elektrische Feld 𝑬(𝒓) kann ein Skalarfeld W(r) zugeordnet
werden, wenn man die Arbeit W betrachtet, die benötigt wird um
eine Ladung 𝑞2 im Raum zu bewegen.
• Da lim 𝐸(𝑟) = 0, wird r = ∞ als Bezugspunkt (Nullpunkt)
𝑟→∞
•
•
•
•
•
gewählt.
Betrachtet wird per Definition eine positive Elementarladung:
𝑞2 = 1.
Zentralsymmetrische Potential: Es wird nur der Abstand r
betrachtet.
W(r) ist die Arbeit, die erforderlich ist, um die Punktladung 𝑞2
von 𝑟1 = ∞ nach r zu bringen.
W(r) ist unabhängig vom Weg.
Jedem Punkt r im Raum wird ein Skalar W(r) zugeordnet.
26
2.5 Gradient
Gradient
Am Beispiel des elektrischen Feldes haben wir gesehen, dass
ein enger Zusammenhang zwischen Skalarfelder und
Vektorfeldern besteht.
In diesem Abschnitt wird eine Funktion vorgestellt, die einem
partiell differenzierbaren Skalarfeld U(x, y, z) ein Vektorfeld
𝐕 (x, y, z) zuordnet. Das Vektorfeld soll die Änderung von U
bei einer Bewegung vom Ort 𝑟 = (x, y, z) zum Ort 𝑟 + d 𝑟
beschreiben.
Voraussetzung hierzu ist, dass U(x, y, z) partiell differenzierbar
ist.
27
1. Wie ändert sich der U(x, y, z) bei einer kleinen Bewegung im
Raum?
∆𝑥
Betrachtet wird zunächst eine kleine Bewegung um ∆ 𝑟 = ∆𝑦
∆𝑧
Es gilt:
U(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) = U(x, y, z) + ∆U
∆U
= U(x+∆x, y+∆y, z+∆z) - U(x, y, z)
2. U(x+∆x,y+∆y,z+∆z) kann durch eine Taylorentwicklung
approximiert werden
𝝏𝑼
𝝏𝑼
𝝏𝑼
U(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) ≈ U(x, y, z) + ∆x + ∆y + ∆z +…
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
U(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) - U(x, y, z) = ∆U
∆U
≈
𝝏𝑼
∆x
𝝏𝒙
+
𝝏𝑼
∆y
𝝏𝒚
+
𝝏𝑼
∆z
𝝏𝒛
28
3. Beim Übergang von einer kleinen Änderung ∆𝒓 zu einer
𝑑𝑥
beliebig kleinen (infinitesimalen) Änderung 𝐝𝒓 = 𝑑𝑦 gilt:
𝑑𝑧
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
∆U → 𝒅U
≈
𝑑x + 𝑑y + 𝑑z
𝒅U
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
≈ 𝑼𝒙 𝒅x +𝑼𝒚 𝒅y + 𝑼𝒛 𝒅z
Die gleichen Überlegungen führten in „Mathematik 1“ bei der
Herleitung des totalen Differentials zum selben Ergebnis.
dU ist das totale Differential der Funktion U(x,y,z).
An dieser Stelle soll das totale Differential im Rahmen der
Vektoranalysis behandelt werden.
29
3. Beim Übergang von einer kleinen Änderung ∆𝒓 zu einer
𝑑𝑥
beliebig kleinen (infinitesimalen) Änderung 𝐝𝒓 = 𝑑𝑦 gilt:
𝑑𝑧
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
∆U → 𝒅U
≈
𝑑x + 𝑑y + 𝑑z
𝒅U
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
≈ 𝑼𝒙 𝒅x +𝑼𝒚 𝒅y + 𝑼𝒛 𝒅z
„Skalarprodukt“
30
𝒅𝒙
d𝒓 = 𝒅𝒚 sei der Vektor, der eine beliebig kleine Änderung im
𝒅𝒛
R³ beschreibt. Für die Änderung dU eines partiell differenzierbaren Skalarfeldes U(x,y,z) bei einer Bewegung in
Richtung d𝑟 gilt:
dU =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝜕𝑧
•
𝒅𝒙
𝒅𝒚 .
𝒅𝒛
Das totale Differential dU entspricht dem Skalarprodukt von
d𝒓 mit einem Vektor, der die 1.partiellen Ableitungen von U nach
x, y bzw. z enthält.
31
dU =
𝝏𝑼
𝝏𝒙
𝝏𝑼
𝝏𝒚
𝝏𝑼
𝝏𝒛
𝒅𝒙
𝒅𝒚 .
𝒅𝒛
•
Dieser Vektor wird als Gradient von U bezeichnet.
Schreibweise: grad U
grad U =
𝝏𝑼
𝝏𝒙
𝝏𝑼
𝝏𝒚
𝝏𝑼
𝝏𝒛
=
𝑼𝒙
𝑼𝒚 .
𝑼𝒛
32
Verallgemeinerung auf den 𝑹𝒏
Gegeben sei ein skalares Feld U(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), dessen partielle
Ableitungen 𝑈𝑥𝑖 für alle 𝑥𝑖 existieren.
Der Gradient von U, grad U, ist ein Vektor des Rn , der gegeben ist
zu:
𝑈𝑥1
𝑈𝑥2
grad U =
= 𝑈𝑥1 𝑒𝑥1 +𝑈𝑥2 𝑒𝑥2 + …. + 𝑈𝑥𝑛 𝑒𝑥𝑛
⋮
𝑈𝑥𝑛
Das totale Differential dU ist das Skalarprodukt von grad U mit d𝑟:
𝑈𝑥1
𝑑𝑥1
𝑈𝑥2
𝑑𝑥2
dU =
•
= 𝐠𝐫𝐚𝐝 𝐔 • d𝒓
⋮
⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑈𝑥𝑛
Bem.: Die Menge der Gradienten von U bilden ein Vektorfeld. 33
Nabla-Operator:
Für die Beschreibung des Gradienten wird gerne der
sogenannten Nabla-Operator 𝜵 verwendet.
Der Nabla-Operator ist ein vektorartiger Operator des Rn .
𝜕
Komponenten sind die partiellen Ableitungsoperatoren
.
𝜕𝑥𝑖
Als Symbol verwendet man 𝛻 oder 𝛻
𝜵=
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒛
im R3 bzw. 𝜵 =
𝝏
𝝏𝒙𝟏
𝝏
𝝏𝒙𝟐
⋮
im Rn
𝝏
𝝏𝒙𝒏
34
In Kugelkoordinaten lautet der Nabla-Operator:
𝛻=
𝝏
𝒆r
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓
𝝏
𝒆𝜗
𝝏𝝑
+
𝟏
𝒓 𝒔𝒊𝒏𝝑
𝝏
𝒆𝜑
𝝏𝝋
Die Vektoren 𝒆r, 𝒆𝜗 und 𝒆𝜑 sind die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten.
Die Anwendung des Nabla-Operator auf ein Skalarfeld ergibt
das Vektorfeld der Gradienten:
𝜵 • U = grad U
( = grad U )
35
Eigenschaften des Gradienten:
• Für das totale Differential dU gilt:
dU = grad U • d𝑟 = < grad U, d𝑟 > = | grad U | |d𝑟| cos (𝜑)
Hierbei ist 𝜑 der Winkel zwischen gradU und d𝑟.
• dU wird maximal, wenn cos (𝜑) = 1 mit 𝜑 = 0,
d.h. wenn d𝑟 parallel zu grad U ist.
Der Vektor grad U zeigt daher in Richtung des größten
Anstieges von U.
• Bei einer Bewegung entlang einer Niveaufläche gilt:
dU = 0 => grad U • d𝑟 = 0  grad U ┴ d𝑟
d.h. der Gradient steht in jedem Punkt P senkrecht
zu der Niveauflächen durch P.
36
Beispiel:
Das Skalarfeld U(x,y,z) ist gegeben zu U = x² + y² + z².
Speziell:
2𝑥
gradU = 2𝑦 = 2 𝑟 mit
2𝑧
2
grad U(1,2,3) = 4 = 2
6
𝑥
𝑟= 𝑦
𝑧
1
2
3
Die Niveauflächen von U stellen Kugelschalen um den
Ursprung mit dem Radius r = x² + y² + z² dar.
37
Beispiel 2:
Elektrisches Potential einer Punktladung 𝑞2 = -1 im Abstand r
von der positiven Punktladung 𝑞1 = 1.
(𝑞1 liege im Ursprung, d.h. 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 0, 𝑧0 = 0):
Das Skalarfeld U(r) lautet U(r)= U(r)
==-
𝑞1
4𝜋𝜀0
𝑞1
4𝜋𝜀0
•1
•1
𝑞1 1
4𝜋𝜀0 𝑟
=-
𝑞1 1
4𝜋𝜀0 𝑟
=
(x−𝑥0 )² + (y−𝑦0 )² + (z−𝑧0 )²
x² + y² + z²
38
Beispiel 2:
𝑞1 1
4𝜋𝜀0 𝑟
Elektrisches Potential einer Punktladung U(r)= U(r)
=-
1
𝑞1
4𝜋𝜀0
mit r =
x² + y² + z²
x² + y² + z²
Die Berechnung des Gradienten grad U(r) liefert
𝜵U =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
3
𝜵U =
𝑞1
4𝜋𝜀0
(-
𝑞1
4𝜋𝜀0
1
x² + y² + z²
𝑥
x² + y² + z²
𝑦
3
x² + y² + z²
𝑧
3
)
x² + y² + z²
=
𝑞1
4𝜋𝜀0
𝑥
𝑟³
𝑦
𝑟³
𝑧
𝑟³
39
Beispiel 2:
Elektrisches Potential einer Punktladung U(r)= U(r)
=-
𝑞1
4𝜋𝜀0
1
x² + y² + z²
𝑞1 1
4𝜋𝜀0 𝑟
x² + y² + z²
mit r =
𝑥
3
𝜵U =
x² + y² + z²
𝑦
𝑞1
4𝜋𝜀0
3
x² + y² + z²
=
𝑥
𝑟³
𝑦
𝑟³
𝑧
𝑟³
𝑞1
4𝜋𝜀0
𝑧
3
𝜵U =
𝑞1
4𝜋𝜀0
•
x² + y² + z²
1
𝑟²
𝑒𝑟 mit 𝑒𝑟 =
𝑥
𝑟
𝑦
𝑟
𝑧
𝑟
=
1
𝑟
𝑞1 1
4𝜋𝜀0 𝑟²
=
𝑥
𝑦
𝑧
𝑥
𝑟
𝑦
𝑟
𝑧
𝑟
.
40
Beispiel 2:
Vergleich : Elektrische Feld 𝐸 = -
𝑞1 1
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝑒𝑟 mit 𝛻U =
𝑞1
4𝜋𝜀0
•
1
𝑟²
𝑒𝑟
Bis auf einen Faktor von -1 ist dies das elektrische Feld.
=> Das Elektrisches Feld kann als der negativer Gradient des
elektrischen Potentials beschrieben werden:
𝑬 = -𝜵U = −𝒈𝒓𝒂𝒅 U.
Bitte beachten:
Bei einem zentralsymmetrischen Problem wird auch in
kartesischen Koordinaten sehr gerne die Abkürzung
r = x² + y² + z² verwendet.
Wenn partielle Ableitungen berechnet werden, muss man in
dem Fall daran denken, dass r von x, y und z abhängt.
41
Richtungsableitung:
Der Gradient grad U zeigt in die Richtung der maximalen
Änderung von U.
𝝏𝑼
Die Richtungsableitung
beschreibt die Änderung von U in
Richtung des Vektor 𝑎:
Beispiel:
𝝏𝒂
𝝏𝑼
𝝏𝒂
= (grad U ) •
𝒂
|𝒂|
.
U(x,y) = x² + y²
𝑥
gradU = 2 𝑦
2
Die Richtungsableitung in Richtung 𝑎 =
:
0
𝜕𝑈
1 2
= grad U
= 2x.
𝜕𝑎
2 0
42
Rechenregeln:
•
•
•
•
•
grad c
grad c U
grad ( U + V )
grad (U+c)
grad ( U V )
= 0, wenn c eine Konstante ist.
= c grad U
= grad U + grad V
= grad U
= U grad V + V grad U
Rechenregeln:
•
•
•
•
•
𝜵c
𝜵cU
𝜵(U+V)
𝜵(U+c)
𝜵(UV)
= 0, wenn c eine Konstante ist.
=c𝜵U
=𝜵U+𝜵V
=𝜵U
=U𝜵V+V𝜵U
43