Übungen mit Lösungen

Prof. Dr. Peter Plappert
Fachbereich Grundlagen
Tutorium Mathematik ITB1(B), WI1(B)
Aufgabenblatt F1 – Aufgaben zum Kapitel „Funktionen“
Aufgabe 1: Bestimmen Sie jeweils den maximal möglichen Definitionsbereich Dmax .
b) g ( x) = x 2 − 7
a) f ( x) = 5 ln( x − 3) + sin( x 2)
Aufgabe 2: Die Funktion K ( x) = x 3 − 10 x 2 + 60 x + 100 (vgl. die Skizze unten) beschreibt die
Gesamtkosten [in GE] bei der Produktion von x ME eines Gutes. Welchen ökonomisch
sinnvollen Definitionsbereich schlagen Sie hier vor?
y
600
K(x)
400
200
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
-200
-400
-600
Aufgabe 3
Lösen Sie diese Aufgabe ohne Taschenrechner!
30
.
3− x
Berechnen Sie die Kosten, die bei einer Herstellungsmenge von x = 0; 1; 1,5; 2 sowie
x = 2,5 ME anfallen.
Wie ist der Wert K (0) ökonomisch zu interpretieren?
Skizzieren Sie die Funktion K (x) unter Benutzung der Ergebnisse aus a).
Geben Sie einen möglichst großen ökonomisch sinnvollen Defintionsbereich an.
Lesen Sie aus der Skizze den zugehörigen Wertebereich ab.
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion.
Welche Menge kann höchstens hergestellt werden, wenn die Kosten K = 140 GE nicht
überschreiten dürfen?
Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K ( x) = 40 +
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
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Aufgabe 4
Betrachten Sie zunächst die Funktion f ( x) = 5 − 0,2 ⋅ ( x + 1) 2 .
a) Berechnen Sie die Nullstellen von f (x) .
b) Skizzieren Sie die Funktion.
Untersuchen Sie nun die Funktion p ( x) = 5 − 0,2 ⋅ ( x + 1) 2 , die beschreibt, welcher Preis p sich
erzielen lässt, wenn x ME eines bestimmten Gutes abgesetzt werden sollen.
c) Bestimmen Sie einen möglichst großen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich.
d) Wie lautet der entsprechende Wertebereich?
e) Ermitteln Sie die Funktion x( p ) , die beschreibt, welche Menge x zum Preis p abgesetzt
werden kann.
f) Welcher Preis lässt sich beim Absatz von 2 ME des Gutes erzielen?
g) Welche Menge lässt sich zum Preis von 2 GE/ME absetzen?
Aufgabe 5: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Symmetrie.
a) f ( x) = x 2 sin x
x
b) g ( x) = e + 1
c) h( x) = e x sin x
Aufgabe 6
Diese Aufgabe soll ohne Benutzung eines Rechners gelöst werden.
a) Skizzieren Sie die Funktionen y = e x , y = e 2 x und y = e 2 x − 2 in einem gemeinsamen
Koordinationsystem.
b) Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion y = e 2 x − 2 .
3 ⎛1
π⎞
Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktion f ( x) = sin ⎜ x − ⎟ .
2 ⎝2
4⎠
a) Bestimmen Sie Amplitude, Periode sowie alle Nullstellen.
b) Skizzieren Sie die Funktion.
c) Geben Sie alle im Intervall [0; 8π ] liegenden Lösungen der Gleichung
3 ⎛1
3
π⎞
sin ⎜ x − ⎟ = − an.
2 ⎝2
4⎠
2
Aufgabe 8
a) Zerlegen Sie das Polynom f ( x) = 3 x 3 + 3 x 2 − 24 x − 36 in Linearfaktoren.
b) Geben Sie diejenigen Werte x an, für die f ( x) > 0 gilt.
Aufgabe 9: Gegeben ist das Polynom f ( x) = −2 x 3 + 6 x − 5 .
a) Berechnen Sie f (−3); f (−2); f (−1); f (0); f (1) .
b) Skizzieren Sie den Funktionsgraphen.
c) Berechnen Sie unter Benutzung eines Taschenrechners die Nullstelle des Polynoms auf
vier Nachkommastellen genau.
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Blatt F1 Seite 2/7
Aufgabe 10: Gesucht ist die Nullstelle der Funktion f ( x) = e x − 3 x . Es soll das NewtonVerfahren mit Startwert x0 = 0 angewendet werden.
a) Berechnen Sie x1 ohne Benutzung eines Taschenrechners.
b) Berechnen Sie weitere Näherungen mit Rechner, bis Sie die Nullstelle auf vier Nachkommastellen genau ermittelt haben.
Aufgabe 11:
Zerlegen Sie Zähler und Nenner der Funktion f ( x) =
x 3 − 7 x 2 + 8 x + 16
2 x 2 − 4 x − 16
in Linearfaktoren.
Aufgabe 12*: Berechnen Sie alle Nullstellen des Polynoms f ( x) = 2 x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 − 4 x + 4 .
Ergebnisse zum Aufgabenblatt F1
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Aufgabe 1:
a) Es muss x − 3 > 0 sein, also Dmax = (3; ∞)
{
}
b) Es muss x 2 − 7 ≥ 0 sein, also Dmax = x | x ≤ − 7 oder x ≥ 7 .
Aufgabe 2: Da negative Produktionsmengen x sinnlos sind: Dökon = [0; ∞)
Aufgabe 3
a) K (0) = 50 ; K (1) = 55 ; K (1,5) = 60 ; K (2) = 70 ; K (2,5) = 100 [GE]
b) K (0) = Fixkosten, die auch dann entstehen, wenn nichts produziert wird.
c) Skizze:
150
K(x)
125
y
100
75
50
25
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x
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d) Dökon = [0; 3) . Beachten Sie, dass K (x) für x = 3 nicht definiert ist und für x > 3 negativ
werden kann, und vergleichen Sie auch die Skizze.
e) W = [50; ∞)
30
30
nach x liefert x = 3 −
f) Auflösen von K = 40 +
. Diese Umkehrfunktion x(K )
3− x
K − 40
hat Definitionsbereich D = [50; ∞) und Wertebereich W = [0; 3) .
g) x(140) = 2,7 [ME]
Aufgabe 4
a) x = −6 und x = 4 .
b) Skizze:
5
4
f(x)
3
2
1
y
0
-8
-6
-4
-2
-1
0
2
4
6
-2
-3
-4
-5
x
c) Da sowohl x ≥ 0 als auch p ≥ 0 gelten soll, ergibt sich Dökon = [0; 4] , vgl. Skizze.
d) Wegen p (0) = 4,8 ergibt sich W = [0; 4,8] .
e) Auflösen von p = 5 − 0,2 ⋅ ( x + 1) 2 nach x liefert x = 25 − 5 p − 1 . Diese Umkehrfunktion
x( p) hat Definitionsbereich D = [0; 4,8] und Wertebereich W = [0; 4] .
(Hinweis: das negative Vorzeichen vor der Wurzel x = − 25 − 5 p − 1 kommt nicht in
Betracht, da dann x selbst negativ wäre.)
f) p (2) = 3,2 [GE/ME]
g) x(2) = 15 − 1 ≈ 2,87 [ME]
Aufgabe 5:
a) f (− x) = (− x) 2 sin( − x) = x 2 ⋅ (− sin x) = − x 2 sin x = − f ( x) ⇒
−x
x
b) g (− x) = e + 1 = e + 1 = g ( x) ⇒
c) keine Symmetrie
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Symmetrie zum Ursprung
Symmetrie zur y-Achse
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Aufgabe 6
a) y = e x
Strecken in x-Richtung mit Faktor 1 2 , siehe Ergänzungen zu Kap. 1, S. 5 Nr. f)
y = e2x
Verschieben um 2 Einheiten nach unten, siehe Ergänzungen zu Kap. 1, S. 5 Nr. b)
y = e2x − 2
Skizze: siehe unten
b) e 2 x − 2 = 0 ⇔ 2 x = ln 2 ⇔
x = (ln 2) 2 .
8
7
6
y=e
y = ex
2x
5
4
y
3
2
y = e2x − 2
1
0
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
-2
x
π⎞
3 ⎛1
Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktion f ( x) = sin ⎜ x − ⎟ .
2 ⎝2
4⎠
3
π
a) Amplitude = ; Periode = 4π ; Nullstellen + k ⋅ 2π ; k ∈ Z
2
2
b) Skizzieren Sie die Funktion.
2
f(x)
1,5
1
y
0,5
0
-0,5
π
4π
2π
6π
8π
-1
-1,5
-2
x
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π⎞
π⎞ 3
3 ⎛1
3
3 ⎛1
sin ⎜ x − ⎟ = − und von sin ⎜ x − ⎟ = sind die Lösungen
2 ⎝2
4⎠
2
2 ⎝2
4⎠ 2
π⎞
π⎞
⎛1
⎛1
von sin ⎜ x − ⎟ = − 1 bzw. von sin ⎜ x − ⎟ = 1 , d. h. die Tief- bzw. Hochpunkte der
4⎠
4⎠
⎝2
⎝2
Funktion. Die zugehörigen x-Werte liegen also in der Mitte zwischen zwei Nullstellen.
3
Aus der Skizze (oder durch Einsetzen von z. B. x = π ) sieht man, dass die Lösungen
2
π⎞
3 ⎛1
3
7
von sin ⎜ x − ⎟ = − gegeben sind durch x = π + k ⋅ 4π , k ∈ Z . Im Intervall
2 ⎝2
4⎠
2
2
7
15
[0; 8π ] liegen nur die beiden Lösungen x = π sowie . x = π .
2
2
c) Die Lösungen von
Aufgabe 8
a) Methode: durch 3 dividieren, eine Nullstelle raten, Polynomdivision.
Ergebnis: f ( x) = 3( x + 2) 2 ( x − 3)
b) Die Funktion f (x) kann höchstens an den Stellen x = −2 und x = 3 das Vorzeichen
wechseln.
Für x < −2 ist ( x + 2) 2 > 0 und ( x − 3) < 0 , also f ( x) < 0 .
Für − 2 < x < 3 ist ebenfalls ( x + 2) 2 > 0 und ( x − 3) < 0 , also f ( x) < 0
Für x > 3 ist ( x + 2) 2 > 0 und ( x − 3) > 0 , also f ( x) > 0 .
Antwort: f ( x) > 0 nur für x > 3 .
(Anmerkung: an der Stelle x = −2 wechselt f (x) das Vorzeichen nicht, da hier eine
doppelte Nullstelle vorliegt.
Skizze zur Verdeutlichung – war bei der Aufgabe nicht verlangt):
80
60
f(x)
40
20
y
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-20
-40
-60
-80
x
Aufgabe 9: Gegeben ist das Polynom f ( x) = −2 x 3 + 6 x − 5 .
a) f (−3) = 31; f (−2) = −1; f (−1) − 9; f (0) = −5; f (1) = −1 .
b) Skizzieren des Funktionsgraphen: siehe nächste Seite.
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c) Die Nullstelle kann hier nicht durch „Raten und Polynomdivision“ gefunden werden; es
muss daher das Newton-Verfahren angewendet werden.
Ein sinnvoller Startwert ist x0 = −2 , siehe Skizze unten.
Wegen f ′( x) = −6 x 2 + 6 lautet die Berechnungsformel
x n +1 = x n −
f ( xn )
− 2 xn 3 + 6 xn − 5
= xn −
.
f ′( xn )
− 6 xn 2 + 6
Damit ergibt sich (bei Rechnung mit 4 Nachkommastellen) x1 = −2,0556 und
x2 = −2,0536 = x3 . Die gesuchte Nullstelle lautet also x ≈ −2,0536 .
40
30
20
y
f(x)
10
0
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
-10
x
Aufgabe 10:
Es ist f ′( x) = e x − 3 . Die Berechnungsformel des Newton-Verfahrens lautet also
f ( xn )
e x n − 3 xn
= xn − x
f ′( xn )
e n −3
x n +1 = x n −
e0 − 3 ⋅ 0
1
= 0,5
2
e −3
b) Bei Rechnung mit 4 Nachkommastellen ist x2 = 0,6101 , x3 = 0,6190 , x3 = 0,6191 = x4 .
a) x1 = 0 −
0
=
Aufgabe 11:
Methode: Zähler: eine Nullstelle raten, dann Polynomdivision; Nenner: quadr. Gleichung.
( x + 1)( x − 4) 2
Ergebnis: f ( x) =
2( x + 2)( x − 4)
Aufgabe 12*:
Diese Aufgabe ist ziemlich aufwendig. Methode: durch Faktor 2 dividieren, zweimal (!) eine
Nullstelle raten mit jeweils anschließender Polynomdivision; zuletzt quadratische Gleichung.
Ergebnis: f ( x) = 2( x − 1)( x + 1)( x + 1 − 3 )( x + 1 + 3 ) .
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