Lösungen zum Mikro 1 Tutorium

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Lösungen zum Mikro 1 Tutorium
Thomas Rupp∗
Aufgaben 14 und 15
17. Dezember 2000
Was ist vollständige Konkurrenz?
• es gibt sehr (”unendlich”) viele Unternehmen und Konsumenten
• Konsumenten orientieren sich ausschliesslich am Preis (Unternehmen und Güter
können nicht unterschieden werden)
• Der Markt reagiert unendlich schnell (Preisänderungen hätten sofortige Auswirkungen)
• ⇒ Preis gleich Grenzkosten; Preis als exogen vorgegebener, konstanter Wert
• ⇒ Gewinne werden sofort wegkonkurriert; Unternehmen machen keine Gewinne
Aufgabe 14
Wir haben die Nachfragefunktion p = 20 − 5yD und die Angebotsfunktion p = 4yS (D
für demand und S für supply). Eigentlich schreibt man beide Funktionen in Abhängigkeit vom Preis, aber das spielt hier keine Rolle, denn
a)
wenn wir das Marktgleichgewicht berechnen wollen, müssen sich beide Funktionen
schneiden (dieser Schnittpunkt bleibt derselbe, egal ob wir vorher nach y auflösen
oder nicht). In jedem Fall muss die Bedingung Nachfrage gleich Angebot yD = yS = y ∗
erfüllt sein:
20
20 − 5y = 4y ⇔ 20 = 9y ⇒ y ∗ =
9
Im Marktgleichgewicht wird also die Menge 20/9 angeboten und nachgefragt; und zwar
zu einem Preis von 80/9 = p∗ .
b)
62
Der Höchstpreis beträgt also pH := 80
9 − 2 = 9 (eine Abweichung nach oben würde
keine Änderung am Markt verursachen). Die angebotene Menge ist nun
62
31
= 4yS ⇔ yS =
≈ 1.72.
9
18
Nachgefragt wird die Menge
62
118
= 20 − 5yD ⇔ yD =
≈ 2.62,
9
45
also mehr, als angeboten wird. Da am Markt nicht mehr nachgefragt als angeboten
∗
wird ist somit yS∗ = yD
= y ∗ = 31
18 .
Wir hätten natürlich die Sache einfacher machen können, wenn wir gleich Nachfrage
und Angebot in Abhängigkeit von p benutzt hätten:
∗ [email protected]
1
2
Angebotsfunktion yS = A(p) =
p
4
20−p
5
Nachfragefunktion yD = N (p) =
c)
Die Wohlfahrt ist Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente:
Konsumentenrente Alle Einheiten, die die Konsumenten bereit gewesen wären zu
einem höheren Preis zu kaufen, es aber nicht tun müssen, weil der Preis unter
ihrer ”Hemmschwelle” liegt. Also die Fläche unterhalb der Nachfragefunktion,
bei der der Preis oberhalb des Angebotspreises und die Menge unterhalb der
Nachfragemenge (die tatsächliche Nachfrage) liegt (siehe Zeichnung unten).
Produzentenrente Sie verhält sich analog zur Konsumentenrente. Bis zum Gleichgewichtspreis gibt es Produzenten, die bereit gewesen wären, zu einem geringerem
Preis (und geringere Menge) anzubieten. Sie profitieren also davon, dass der Preis
über ihrer ”Hemmschwelle” liegt. Dies sind alle Kombinationen über der Angebotsfunktion, bei denen der Preis unter dem Gleichgewichtspreis liegt.
Bei vollständiger Konkurrenz entspricht ja A−1 den Grenzkosten. Also gibt uns
die Fläche unter A−1 die variablen Kosten an (Fläche unter Funktion gleich
Integral, Integral der Grenzkosten gleich Stammfunktion der Ableitung der variablen Kosten gleich variable Kosten). Wir berücksichtigen also keine Fixkosten,
da diese nicht entscheidend sind. Die Produzentenrente entspricht somit dann
dem Deckungsbeitrag (Erlös minus variable Kosten).
Man kann diese Werte entweder mittels Integralen berechnen, oder bei linearen Angebots- und Nachfragefunktionen auch geometrisch:
p 6
N −1 (y)
@
@
@
@
@
@
@
KR
@
@
@
p∗
€
€
@
€
€ @
@
€
PR
€
−1
€A (y)
€
€
€
@
@
@
@
€
€
€
€ variable Kosten
€
@
@
@
@
@
y
∗
y
Also ist die Konsumentenrente
∗
ZyD
0
∗
N −1 (y)dy − p∗ · yD
oder geometrisch:
1 −1
∗
(N (0) − p∗ )yD
2
3
und die Produzentenrente ist
∗
∗
yS∗
p ·
∗
−
ZyS
A−1 (y)dy oder geometrisch:
0
1 ∗ ∗
(p · yS )
2
∗
yD
Meistens ins y =
= yS∗ . Da sich die Nachfragemenge yD auf die Konsumenten
bezieht, kann es zu Abweichungen kommen, wenn der Staat eingreift. Somit ist die
Wohlfahrt die Summe der beiden:
∗
∗
ZyD
0
N −1 (y)dy −
ZyS
A−1 (y)dy oder geometrisch:
0
1 −1
1
∗
(N (0) − p∗ )yD
+ (p∗ · yS∗ ).
2
2
Unsere Wohlfahrt vor dem Höchstpreis war
1
80 20 1 80 20
200
(20 − ) + ·
·
=
.
2
9 9
2 9 9
9
Unsere Wohlfahrt nach dem Höchstpreis lässt sich nun nichtmehr so einfach berechnen,
da die Konsumentenrente kein Dreieck mehr ist. Also nehmen wir das Integral zu Hilfe
31
Z18
0
31
20 − 5ydy −
Z18
0
Π31
’ “2
Π18
31 9
5
31
1519
4ydy = 20y − y 2 − 2y 2 ŒŒ = 20 − ·
=
2
18
2
18
72
0
Somit haben wir einen Wohlfahrtsverlust von
9
200 1519
−
= = 1.125
9
72
8
Geometrisch sieht der Wohlfahrtsverlust (WV) so aus:
p 6
N −1 (y)
@
@
@
@
@
@
KR
@
@
−1
@
p∗
€
@ €
@
WV €
€ @
@
€
@
€
€
PR €
€
€
€
(y)
@
€
p∗H
€A
€
€
@
@
@
@
∗
yH
∗
y =
∗
yD
=
yS∗
@
@
@
y
Wir hätten natürlich den Wohlfahrtsverlust auch gleich mit dem Integral ausrechnen
R y∗
können: W V = y∗ N −1 (y) − A−1 (y)dy. Da kommt natürlich dasselbbe raus. Fazit:
H
Preiseingriffe bei vollständiger Konkurrenz verursachen immer einen Wohlfahrtsverlust.
4
Aufgabe 15
a)
Bei vollständiger Konkurrenz ist der Gleichgewichtspreis im Schnittpunkt von Angebot
und Nachfrage erreicht. Also, wie vorhin
y ∗ = yD = yS ⇔ 400 − 2y = 3y ⇔ 5y = 400 ⇒ y ∗ = 80, ⇒ p∗ = 240
b)
Nehmen wir die Formeln von vorhin (hier mal das Integral, geometrisch kann das mal
jeder selber machen)
∗
KR
=
ZyD
0
=
PR
W
=
∗
=
N −1 (y)dy − p∗ · yD
400y −
∗
p ·
yS∗
Œ
80
y 2 Œ0
∗
ZyS
−
Z80
0
400 − 2ydy − 240 · 80
− 19200 = 400 · 80 − 802 − 19200 = 6400
A
−1
0
(y)dy = 240 · 80 −
Z80
3ydy
0
Œ80
3
3 2 ŒŒ
= 19200 − y Œ = 19200 − · 802 = 9600
2 0
2
= KR + P R = 6400 + 9600 = 16000
Nun garantiert der Staat einen Preis von 300. Das freut erstmal die Unternehmen, weil
sie jetzt mehr bekommen als vorher. Das Nachfrageverhalten der Konsumenten ändert
∗
sich entsprechend nach unten, sie fragen jetzt 300 = 400 − 2yD ⇒ yD
= 50 nach. Nach
−1
∗
der Angebotsfunkion A = 3yS = p folgt 300 = 3yS ⇒ yS = 100. Die Unternehmen
produzieren also yS = 100. Da die Konsumenten nur 50 abnehmen, muss der Staat die
übrigen 50 aufkaufen.
c)
Jetzt müssen wir bei KR und PR zwischen yD (bei KR) und yS (bei PR) unterscheiden.
Die Wohlfahrt ist jetzt die Summe aus KR und PR abzüglich der Aufwendungen des
Staates (G).
∗
KR
=
ZyD
N
−1
0
=
PR
W
=
400y −
∗
p ·
yS∗
∗
(y)dy − p ·
Œ
50
y 2 Œ0
∗
ZyS
−
=
Z50
0
400 − 2ydy − 300 · 50
− 15000 = 400 · 50 − 502 − 15000 = 2500
−1
A
0
∗
yD
Z100
(y)dy = 300 · 100 −
3ydy
0
Œ100
3
3 2 ŒŒ
= 30000 − · 1002 = 15000
= 30000 − y Œ
2 0
2
= KR + P R − G = 2500 + 15000 − 300 · 50 = 2500
Geometrisch sieht das Ganze dann so aus:
5
p 6
@
N −1 (y)
@
@
@
@
@
@
@
KR
300
@ C €
@ €
@ D
B €
€ @
@
€
240
@
€
€
€
€
80
@
@
€
€
50
@
@
E
€
(y)
@
€
A
−1
€A
€
100
@
@
@
y
Damit wäre PR=A+B+C und G=B+C+D+E und somit W=KR+A-D-E. (Siehe hierzu auch Folie 51)
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