Lösungshinweise

Mathe II für Naturwissenschaften
30.03.17
Dr. Christine Zehrt
Hinweise und Ergebnisse zur Übung 5
Uni Basel
Besprechung der Lösungen: 3.–6. April 2017 in den Übungsstunden
Lösungshinweise
Aufgabe 1
(a) Binomialverteilung
(n = 10, p = 21 )
(b) & (c) Näherung mit der Normalverteilung wie im Beispiel auf Seite 56.
Aufgabe 2
Binomialverteilung, Näherung mit der Normalverteilung wie im Beispiel auf Seite 56.
Aufgabe 3
Analog zu den Beispielen auf den Seiten 58–59. Für (b) kann die erste Tabelle auf Seite 60
benutzt werden. In (c) ist der Erwartungswert der Binomialverteilung mit n = 200 und
p = P (X < 96) gesucht.
Aufgabe 4
(a) Analog zum Beispiel auf Seite 62. H0 lautet: p = P (Antwort richtig) = 12 . Wir gehen
davon aus, dass Lernen die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort erhöht. Wir testen
daher einseitig (d.h. H1 : p > 12 ). Die Dozentin verwirft H0 , falls ein(e) Student(in) 8
oder mehr Fragen richtig beantwortet. Wie gross ist nun die Irrtumswahrscheinlichkeit
α (dies ist der Fehler erster Art), dass der/die Student(in) durch ausschliessliches Raten
8 oder mehr Fragen richtig beantwortet? Gesucht ist also α = P10 (k ≥ 8) mit p = 21 .
(b) Analog zum Beispiel auf Seite 64 unten, aber einseitig. Gesucht ist zunächst x, so dass
α = P10 (k ≥ x) ≤ 0, 05. Mit P10 (k ≥ x) = 1 − P10 (k ≤ x − 1) kann die Tabelle genutzt
werden. Danach ist α = P10 (k ≥ x) zu berechnen.
Aufgabe 5 (Zusatzaufgaben)
Mit Hilfe der Angaben und der Tabelle der Normalverteilung können zwei Gleichungen in µ
und σ aufgestellt werden. Gefragt ist µ.
Aufgabe 6 (Zusatzaufgaben)
Einseitiger Test. Analog zum Beispiel auf Seite 62.
Ergebnisse
Aufgabe 1
(a) (i) P10 (5) = 0, 246
(ii) P10 (4 ≤ k ≤ 6) = 0, 656
(b) Näherung mit Normalverteilung mit µ = 50 und σ = 5
(i) P100 (50) ≈ f (50) = 0, 0798 (ii) P100 (40 ≤ k ≤ 60) ≈ 0, 964
√
(c) Näherung mit Normalverteilung mit µ = 500 und σ = 250 = 15, 81
(i) P1000 (500) ≈ f (500) = 0, 0252 (ii) P1000 (400 ≤ k ≤ 600) ≈ 1
(d) Übersicht:
n = 10
n = 100
n = 1000
P10 (5) = 0, 246
P100 (50) ≈ 0, 0798
P1000 (500) ≈ 0, 0252
P10 (4 ≤ k ≤ 6) = 0, 656
P100 (40 ≤ k ≤ 60) ≈ 0, 964
P1000 (400 ≤ k ≤ 600) ≈ 1
Die Wahrscheinlichkeit, genau den Erwartungswert zu treffen, nimmt mit wachsendem n
ab.
Die Wahrscheinlichkeit, in eine “10 %-Umgebung” des Erwartungswerts zu kommen,
nimmt mit wachsendem n zu.
Aufgabe 2
Binomialverteilung mit n = 100, p = 0, 2. Näherung durch Normalverteilung mit µ = 20,
σ = 4.
(a) P (k ≤ 20) ≈ 0, 552 (b) P (k > 25) ≈ 0, 0838 (c) P (10 ≤ k ≤ 30) ≈ 0, 9915
Aufgabe 3
(a) P (X < 98, 5) + P (X > 101, 5) = 2 P (X < 98, 5) = 0, 453
(b) d = 1, 96 · σ = 3, 92
(c) Binomialverteilung mit n = 200 und p = P (X < 96) = 0, 02275.
Gefragt ist der Erwartungswert np = 4, 55.
Aufgabe 4
(a) α = P10 (k ≥ 8) = 5, 5 %
(H0 : p = P (Antwort richtig) =
1
2
)
(b) 9 oder 10 Fragen. Dann ist α = 1, 1 %.
Aufgabe 5 (Zusatzaufgaben)
Der Tabelle der Normalverteilung entnehmen wir Φ(1, 18) = 0, 881 und Φ(2, 33) = 0, 9901.
Damit gilt
µ + 1, 18 σ = 1, 82
µ + 2, 33 σ = 1, 87
Wir erhalten σ = 0, 043 und µ = 1, 77. Ein Mann ist also durchschnittlich 1,77 m gross.
Aufgabe 6 (Zusatzaufgaben)
H0 : p = P (Wurf einer 6) = 61 , H1 : p < 61 (einseitiger Test)
Verwerfungsbereich = {0, 1}, α = P30 (0) + P30 (1) = 0, 02949, d.h. α = 2, 9 %