1. Übungsblatt - Fachrichtung Mathematik

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Prof. Dr. U. Baumann, J. Greiner
Wintersemester 2016/17
1. Übungsblatt zur Vorlesung
«Algebra für Informationssystemtechniker»
Mengen und Graphen
V1. Vorbereitungsaufgabe, bitte vor Beginn dieser Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
a) Welche der folgenden Punkte beschreiben eine Menge?
i. t 7, 0, 1 u
ii. t 0, 1, 2, . . . u = N
iii. [ H, a]
iv. t1, 1, t 2, 2 u
v. t 1, Otto, α,
, t 1, 2 u, f u
vi. tu
b) Zeichnen Sie ein Graphendiagramm für den Graphen (V, E) mit
V := t 1, 2, 3, 4 u
E := t t 1, 2 u, t 3, 1 u u.
c) Formulieren Sie eine Frage zum Stoff dieser Übung oder der Vorlesung.
Ü2. Gegeben seien die folgenden Mengen:
A := t x P R | x2 + 1 = 0 u
C : = t x P N | | x ´ 2| ă 4 u
B := t x P R | x2 ´ 1 ď 0 u
D := t 1, 2, 2 u
a) Bestimmen Sie die Kardinalitäten der Mengen.
b) Bestimmen Sie alle Ď-Beziehungen und zeichnen Sie das zugehörige Ordnungsdiagramm.
c) Wie viele Teilmengen mit 2,3 oder 5 Elementen hat C?
Ü3. Geben Sie zu folgendem Ordnungsdiagramm Mengen A, B, . . . , I an, die dieses Ordnungsdiagramm besitzen.
I
H
E
F
C
D
A
B
G
Ü4. Wir definieren eine Familie von Graphen G (n, k ) = (V, E) folgendermaßen:
V := t M Ď t 1, 2, . . . , n u | | M | = k u
E := t t M1 , M2 u | M1 X M2 ‰ H u
a) Geben Sie (beschriftete) Diagramme der Graphen G (4, 2) und G (4, 3) an.
b) Beweisen Sie: In Graphen G (n, 2) besitzt jeder Knoten Grad 2n ´ 4.
H5. Hausaufgabe, bitte vor Beginn der nächsten Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
Für Mengen X, Y sei XzY definiert als t x P X | x R Y u.
Durch X ∆ Y := ( XzY ) Y (YzX ) ist damit die symmetrische Differenz zwischen Mengen
X und Y definiert.
a) Ermitteln Sie A ∆ B für die Mengen
A = t ( x, y) P N ˆ N | 1 ă x + y ă 5 u und
B = t ( x, y) | x, y P t 0, 1, 2, 3, 4 u und 2 ist ein Teiler von x + y u.
b) Ermitteln Sie P(t 0, 1, 2 u) ∆ P(t 1, 3 u).
E6. Auf dem Spielfeld, das ein Streifen aus vier nebeneinander- liegenden Quadraten ist, liegen zwei runde und ein quadrati- scher Spielstein jeweils in einem Feld; ein Feld bleibt leer.
In einem Spielzug darf man einen Spielstein in ein benachbartes leeres Feld schieben (2
Strafpunkte) oder über einen Spielstein in ein leeres Feld springen (1 Strafpunkt).
a) Wie viele Spielsituationen sind möglich?
b) Für welche Spielsituationen muss man die meisten Strafpunkte sammeln, um sie
von der angegebenen aus zu erreichen?
c) Ist es möglich, so zu ziehen, dass alle möglichen Spielsituationen genau einmal
auftreten und danach zur Ausgangssituation zurückgekehrt wird?
d) Welche Paare von Spielsituationen bringen die meisten Strafpunkte ein, wenn
man von der einen zur anderen kommen will?