Markus 1

Aufbau eines klassischen
Analogons zu
elektromagnetisch
induzierter Transparenz
Implementation of a Classical Analog of Electromagnetically Induced Transparency
Bachelor-Thesis von Markus Habenberger
November 2008
Fachbereich Physik
Institut für Angewandte Physik
Nichtlineare Optik und Quantenoptik
Aufbau eines klassischen Analogons zu elektromagnetisch induzierter Transparenz
Implementation of a Classical Analog of Electromagnetically Induced Transparency
vorgelegte Bachelor-Thesis von Markus Habenberger
1. Gutachten: Prof. Dr. Thomas Halfmann
2. Gutachten: Dipl. Phys. Holger Münch
Tag der Einreichung:
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Elektromagnetisch induzierte Transparenz
4
2 EIT analoge elektronische Schaltung
2.1 Verhalten eines einzelnen Schwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Verhalten von zwei gekoppelten Schwingkreisen . . . . . . . . . . . . .
7
8
9
3 Experimentelle Realisierung der Schaltung
3.1 Bestimmung der Parameter der elektronischen Bauteile . .
3.2 Messung der Spannungsamplitude mit einer Diode . . . . .
3.3 Leistungsmessung mit einem IC . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Vergleich der Messung mit den theoretischen Erwartungen
.
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11
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15
16
4 Der Aufbau als Vorlesungsexperiment
25
5 Zusammenfassung
27
A Parameter zur numerischen Regression
28
B Gesamte Schaltung
30
1
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
Einleitung
Die Verwendung kohärenter Strahlung in der Atomphysik ermöglicht die Beobachtung
einer Vielfalt kohärenter Effekte. Einer dieser Effekte ist elektromagnetisch induzierte
Transparenz (EIT). Es handelt sich dabei um das Verschwinden der Absorption eines
Laserstrahls in einem Medium, wenn ein weiteres elektromagnetisches Feld eingestrahlt
wird, sodass das Medium für den ursprünglich absorbierten Laserstrahl vollständig
transparent wird.
Da EIT ein quantenoptisches Phänomen ist, kann es mit Erklärungsansätzen der klassischen Physik nicht verstanden werden. Durch zwei gekoppelte elektrische Schwingkreise
lässt sich jedoch ein klassisches System realisieren in dem die wesentlichen Effekte im
Zusammenhang mit EIT beobachtet werden können.
Im Rahmen dieser Bachelorarbeit soll ein solches EIT analoges System aufgebaut werden. Dabei ist geplant, das Experiment in entsprechenden Vorlesungen zur Demonstration einzusetzen, um Studenten ein intuitives Verständnis von kohärenten Prozessen zu
ermöglichen. Deshalb ist außerdem der Entwurf eines Designs, welches eine sinnvolle
Präsentation zulässt, ein Bestandteil dieser Arbeit.
1
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
Im Folgenden sollen die wesentlichen Grundzüge von elektromagnetisch induzierter
Transparenz dargestellt werden. Dazu wird das in Abb. 1.1 gezeigte Drei-Niveau-System
eines Atoms oder Moleküls betrachtet. Niveau |1i ist der Grundzustand des Systems
und |3i ein metastabiler Zustand. Der Zustand |2i ist ein elektronisch angeregter Zustand. Auf Grund von Dipolauswahlregeln sind nur Übergänge zwischen |1i und |2i
sowie zwischen |2i und |3i möglich.Außerdem soll als Anfangsbedingung alle Besetzung
im Zustand |1i sein.
Abbildung 1.1: Schematische Darstellung eines resonant gekoppelten Drei-NiveauSystem
4
1
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
Weiterhin befindet sich das System in resonanter Wechselwirkung mit zwei Laserfeldern. Einer der Laser wird resonant auf dem Übergang zwischen |2i und |3i eingestrahlt und wird im Folgenden als Kontrolllaser bezeichnet. Der andere Laser koppelt
die Zustände |1i und |2i mit geringer Intensität und wird als Nachweislaser bezeichnet.
Bei ausgeschaltetem Kontrolllaser wird der Nachweislaser absorbiert,wenn die Frequenz des Lasers auf die Übergangsfrequenz ω12 von |1i nach |2i eingestellt ist. Da der
Zustand |2i nur eine endliche Lebensdauer τ besitzt, weist der Übergang zwischen |1i
und |2i eine natürliche Linenbreite von 1/τ auf. Infolgedessen ist auch eine Anregung
bei einer Verstimmung ∆ von der Resonanz mit geringerer Wahrscheinlichkeit möglich,
solange |∆| < 1/τ gilt. Insgesamt ergibt sich ein lorentzförmiges spektrales Absorptionsprofil mit maximaler Absorption bei der Resonanzfrequenz (vgl. Abb. 1.2) [1].
Im Gegensatz zum schwachen Nachweislaser ist die elektrische Feldstärke des Kontrolllasers vergleichbar mit den atomaren Wechselwirkungen des Atoms. Wird zusätzlich
zum Nachweislaser der Kontrolllaser eingestrahlt, bewirkt die Wechselwirkung des elektrischen Feldes mit dem Atom, dass sich neue Zustände bilden, die als dressed states
bezeichnet werden.
Abbildung 1.2: Absorption des Nachweislasers in Abhängikeit von Verstimmung von
der Resonanzfrequenz ω12 [2]
5
1
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
Weil der Nachweislaser im Vergleich zum Kontrolllaser nur schwach mit dem Atom
wechselwirkt, kann das Drei-Niveau-System auf ein stark gekoppeltes Zwei-NiveauSystem mit den Zuständen |2i und |3i vereinfacht werden. Der Zustand |1i ist nur
noch schwach daran gekoppelt und hat keinen Einfluss auf die anderen Zustände.
Die Dynamik des Zwei-Niveau-Systems wird durch die zeitabhängige Schrödingergleichung
∂
(1.1)
ih̄ |Ψ23 i = Ĥ23 |Ψ23 i
∂t
beschrieben. Dabei ist |Ψ23 i der Gesamtzustand des Zwei-Niveau-Systems und Ĥ23 der
Hamiltonoperator des Systems. Ĥ23 setzt sich zusammen aus dem Hamiltonoperator
Ĥ0 des Atoms mit den Energieeigenwerten ǫ2 und ǫ3 sowie den Beiträgen durch die
Dipolwechselwirkungen V (t) mit dem elektrischen Feld E(t). In der Eigenbasis von Ĥ0
kann Ĥ23 folgendermaßen geschrieben werden:
ǫ2
V23 (t)
(1.2)
Ĥ23 =
V23 (t)
ǫ3
mit V23 (t) = µ23 E(t) und µ23 dem Übergangsdipolmoment zwischen |2i und |3i. Im
Diracschen Wechselwirkungsbild lässt sich dies nach Anwendung der rotating wave approximation schreiben als:
0 Ω
(1.3)
Ĥ23 =
Ω 0
Dabei ist Ω = µ23 E0 /h̄ die Rabifrequenz. Hierbei wurde angenommen, dass die Verstimmung von der Resonanz Null ist, wodurch die Einträge auf der Diagonalen verschwinden.
Durch Lösen des Eigenwertproblems Ĥ23 |a± i = h̄ω ± |a± i ergibt sich für die Eigenzustände |a± i von Ĥ23 :
r 1
±
|a i =
|3i ± |2i
(1.4)
2
Die zugehörigen Energieeigenwerte sind:
h̄
h̄ω ± = ± Ω
2
(1.5)
Die Zustände |a+ i und |a− i sind demnach während der Wechselwirkung mit dem Kontrolllaser (Ω 6= 0) relativ voneinander durch den Frequenzabstand Ω getrennt. Dies wird
als Autler-Townes Aufspaltung bezeichnet.
Zur Bestimmung der absoluten energetischen Position der Zustände kann die Anzahl
n der Photonen im Laserfeld noch als zusätzliche Quantenzahl aufgefasst werden. Bei
Anregung vom Grundzustand wird ein Photon absorbiert, womit noch n − 1 Photonen
verbleiben. Die angeregten Zustände sind deshalb |n − 1, a± i. Weil der Kontrolllaser
resonant auf dem Übergang zwischen |2i und |3i betrieben wird, entspricht der Zustand
|n − 1i energetisch dem Zustand |2i.
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2
EIT analoge elektronische Schaltung
Die dressed states |n − 1, a± i liegen also symmetrisch um den Zustand |2i des Atoms
und sind durch die Frequenz Ω voneinander getrennt.
Bei Vernachlässigung der Phasen der Zustände und des eingestrahlten Nachweislasers
ergibt sich die Absorption des Lasers in Abhängigkeit von der Verstimmung aus der Addition von zwei gleichgeformten Spektrallinien mit Abstand ω ± zur Resonanzfrequenz
ω12 des ungestörten Systems. Für große Intensitäten des Kontrolllasers stellt dies eine
gute Näherung dar, denn dann ist die Aufspaltung Ω größer als die Linienbreite 1/τ ,
so dass die Absorption an der Resonanz fast verschwindet.
Bei geringen Aufspaltungen ist bei inkohärenter Anregung durch die natürliche Linienbreite der Zustände |n − 1, a± i immer noch eine große Wahrscheinlichkeit für die
Absorption auf der Resonanz vorhanden.
Bei kohärenter Anregung der Übergänge von |1i nach |n − 1, a± i reicht es hingegen
nicht aus einfach nur die Beträge der einzelnen Übergangswahrscheinlichkeiten zu addieren. Es müssen auch noch die Phasen der Zustände und des elektrischen Feldes des
Nachweislasers berücksichtigt werden. Für die Anregungswahrscheinlichkeit P von |1i
nach |2i gilt dann [2]:
P ∝ |µ1a+ + µ1a− |2 ∝ |h1|µ|2i − h1|µ|2i|2 = 0
(1.6)
µ1a± = h1|µ|a± i ∝ h1|µ|3i ± h1|µ|2i = ±h1|µ|2i
(1.7)
mit
und unter Berücksichtigung, dass der Übergang zwischen |1i und |3i verboten ist.
Durch die Rechnung lässt sich zeigen, dass die Absorption des Nachweislasers bei
kohärenter Anregung auf der Resonanz exakt Null ist. Dabei kommt es nicht auf die
Größe der Aufspaltung an. Dieses Phänomen der kohärenten Optik wird als elektromagnetisch induzierte Transparenz bezeichnet.
2
EIT analoge elektronische Schaltung
Durch eine elektronische Schaltung sollen die im vorangegangenen Abschnitt präsentierten
Eigenschaften in einem klassischen System simuliert werden. Eine einfache Darstellung
der Schaltung ist in Abb. 2.1 gegeben. Es handelt sich um zwei elektrische Schwingkreise, die über einen Kondenstor C gekoppelt werden und durch einen Schalter voneinander getrennt werden können. Der erste Schwingkreis bestehend aus der Induktivität
L1, dem Widerstand R1 und den Kapazitäten C1 und C repräsentiert dabei die Kopplung zwischen den Zuständen |1i und |2i des Systems. Der zweite Schwingkreis mit L2,
R2, C2 und C simuliert die Kopplung zwischen den Zuständen |2i und |3i und dient
somit als Kontrolllaser. Der Nachweislaser wird durch ein externe Spannungquelle Us
realisiert.
7
2
EIT analoge elektronische Schaltung
Abbildung 2.1: Schematische Darstellung der elektronischen Schaltung zur Simulation
von elektromagnetisch induzierter Transparenz.
2.1
Verhalten eines einzelnen Schwingkreises
Bei geöffnetem Schalter, sind die Schwingkreise entkoppelt. Wird jetzt eine Wechselspannung Us (t, ω) mit variabler Frequenz ω angelegt, ergibt sich aus den Kirchhoffschen
Gesetzen folgende Differenzialgleichung für den im ersten RLC-Kreis fließenden Strom
I1 (t, ω) 1 :
q1
= L1 · I˙1 + R1 · I1 + Ce1
C1 ·C
Dabei ist Ce1 = C1 +C die Kapazität und q1 die Ladung im ersten Schwingkreis.
Durch Differenziation nach der Zeit ergibt sich:
U
s
I1
U̇s = L1 · I¨1 + R1 · I˙1 +
Ce1
(2.1)
(2.2)
Mit dem Ansatz I1 (t, ω) = I0,1 · eiωt folgt für die Amplitude des Stroms I0,1 im ersten
Schwingkreis:
1
· |U0 |
(2.3)
+ (ωL1 − 1/ωCe1 )2
Wie oben erläutert repräsentiert Us den Nachweislaser. Die Absorption des Lasers
wie im Fall von EIT kann mit der elektronischen Schaltung durch die Leistungsaufnahme des Schwingkreises beschrieben werden. Im ersten Schwingkreis wird die Leistung
im wesentlichen am Widerstand R1 umgesetzt. Daher ergibt sich die Amplitude der
Wirkleistung P1 (ω) zu:
I0,1 = p
R12
2
R1 =
P1 (ω) = I0,1
R2
R1
· |Uo |2
+ (ωL − 1/ωCe1 )2
(2.4)
1
Im Folgenden wird in den Gleichungen zur Übersichtlichkeit die Zeit- und Frequenzabhängigkeit
von Spannung und Strom nicht explizit angegeben.
8
2
EIT analoge elektronische Schaltung
Die Formel in Gleichung 2.4 beschreibt eine Resonanzkurve mit Resonanzfrequenz ω0
(siehe Abb. 2.2 rote Kurve). Das Verhalten eines einzelnen RLC-Kreises zeigt gewisse
Parallen zu einem Zwei-Niveau-System, welches inkohärent angeregt wird. Ist die Anregungsfrequenz identisch mit der Resonanzfrequenz ω0 , so wird die maximale Leistung
vom Schwingkreis absorbiert. Mit zunehmender Verstimmung von der Resonanz nimmt
die Absorption ab und verschwindet für große Verstimmungen vollständig.
Ein offensichtlicher Unterschied in der Kurve des Schwingkreises zum Zwei-NiveauSystem besteht in der Asymmetrie bezüglich der Resonanz, während die Absorption
im Zwei-Niveau-System durch eine Lorentzkurve gegeben ist, welche symmetrisch zur
Resonanz ist. Der Grund hierfür liegt in der Frequenzabhänigkeit von Gleichung 2.4.
Durch den Term (ωL − 1/ωCe1 ) ergibt sich ein flacherer Abfall der Resonanzkurve bei
großen Frequenzen und der steilere Anstieg bei kleinen Frequenzen für den Schwingkreis. Weiterhin ist zu beachten, dass für die Lage der Resonanzfrequenz ω0 gilt:
ω0 = √
1
LCe1
(2.5)
Für verschiedene Kondensatorkapazitäten C verändert sich die Gesamtkapazität Ce1
im ersten Schwingkreis. Deshalb ist auch eine Verschiebung der Resonanzfrequenz bei
Variation von C zu beobachten.
2.2
Verhalten von zwei gekoppelten Schwingkreisen
Bei geschlossenem Schalter sind die beiden Schwingkreise durch den Kondensator C
gekoppelt. Aus den Kirchhoffschen Gesetzen ergeben sich zwei gekoppelte Differenzialgleichungen für die elektrischen Ströme I1 und I2 in den beiden Schwingkreisen:
I1
I2
U̇s = L1 · I¨1 + R1 I˙1 +
−
Ce1 C
I1
I2
−
0 = L2 · I¨2 + R2 I˙2 +
Ce2 C
(2.6)
·C
Dabei ist Ce2 = CC22+C
die Kapazität im zweiten Schwingkreis.
Mit I1 (t, ω) = I0,1 · eiωt und I2 (t, ω) = I0,2 · eiωt lässt sich die am Widerstand R1
aufgenommene Leistung P2 (ω) nach [3] berechnen zu:
P2 (ω) =
p1 (ω)
· |U0 |2
2
2
p1 (ω) + p2 (ω)
(2.7)
wobei
R2 /(ωC)2
R22 + (ωL2 − 1/(ωCe2 ))2
(1/ωC)2 )(ωL2 − 1/(ωCe2 ))
p2 (ω) = ωL1 − 1/(ωCe1 ) −
R22 + (ωL2 − 1/(ωCe2 ))2
p1 (ω) = R1 +
(2.8)
(2.9)
9
2
EIT analoge elektronische Schaltung
Die Kopplung zwischen den beiden Formeln in Gleichung 2.6 ist durch den Faktor 1/C
gegeben. Dieser entspricht gerade der Kopplungsstärke zwischen den beiden Schwingkreisen.
In Abb. 2.2 sind als Beispiel die Resonanzkurven mit einem und zwei RLC-Kreisen für
verschiedene Kapazitäten C dargestellt.
Abbildung 2.2: Leistungsresonanzkurven für verschieden starke Kopplungen mit offenem Schalter (rot) und geschlossenem Schalter (grün). R1 = 100Ω, R2 = 0, L1 =
1mH, L2 = 1mH, C1 = 100nF, C2 = 100nF .
Wie sich erkennnen lässt, beschreibt die Leistungskurve mit schwacher Kopplung
(Abb. 2.2(a)) einen Verlauf, der der Absorptionskurve bei EIT sehr ähnlich ist (Abb. 1.2).
10
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Auf der Resonanz beträgt die Absorption Null, während sie schon für kleine Verstimmungen von der Resonanz stark ansteigt. Mit größerer Kopplung nimmt auch die Aufspaltung zu (Abb. 2.2(b)-(d)). Quantenoptisch entspricht dies dem Übergang von EIT
zur Autler-Townes-Aufspaltung (vgl. Abschnitt 1).
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Im folgenden Abschnitt wird die technische Umsetzung der in Abschnitt 2 vorgestellten Schaltung diskutiert. In Abschnitt 3.1 werden zunächst sinnvolle Parameter für die
einzelnen Bauteile bestimmt. In Abschnitt 3.2 und in Abschnitt 3.3 werden verschiedene Methoden zur Bestimmung der aufgenommenen Leistung erörtert. Die gewonnenen
Ergebnisse werden in Abschnitt 3.4 mit den theoretisch zu erwartenden Werten verglichen.
3.1
Bestimmung der Parameter der elektronischen Bauteile
Als Erstes ist es notwendig den Widerstand R2 möglichst klein zu halten, weil dies
dem EIT analogen Fall, in dem es keine Anregung durch den Kontrolllaser geben soll,
entspricht. In der Realität sind gewisse Restwiderstände durch die Spule und die Leiter
nicht zu vermeiden. Dies führt im Experiment dazu, dass die Transparenz bei kleiner
Kopplung nicht vollständig ist, wie es bei EIT zu beobachten wäre. Erst bei stärkeren
Kopplungen verschwindet die Absorption auf der Resonanzfrequenz ganz (vgl. Abschnitt 3.4). Es kann bereits abgeschätzt werden, dass der Widerstand R2 durch die
verwendete Spule L2 mindestens 2.6Ω betragen wird.
Eine weitere Bedingung ist, dass die Induktivitäten L1 und L2 sowie die Kapazitäten C1
und C2 in den beiden Schwingkreisen möglichst gleich sein sollten. Ist der Unterschied
hier zu groß, so können sich die aufgespaltenen Resonanzen sehr stark in Breite und
Amplitude unterscheiden. Aus diesem Grund√wird L1 = L2 und C1 = C2 gewählt.
Die Resonanzfrequenz wird durch ω0 = 1/ L1 Ce1 festgelegt. Wie sich in Abb. 2.2
zeigt, liegt diese für L1 = 1mH und C1 = C = 100nF im Bereich von 20 bis 30kHz.
Dieser Frequenzbereich bietet den Vorteil, dass elektronische Komponenten wie z.B.
ein Frequenzgenerator oder integrierte Schaltkreise einfach erhältlich sind. Weiterhin
nimmt die Störanfälligkeit von elektronischen Schaltungen mit steigender Frequenz
stark zu. Eine Verschiebung der Resonanz zu kleineren Frequenzen ist aus messtechnischen Überlegungen ebenfalls unerwünscht (vgl Abschnitt 3.2).
Der Widerstand R1 bestimmt im wesentlichen die Breite und Stärke der Resonanz. Er
muss daher klein genug sein, um überhaupt eine ausgeprägte Resonanz zuzulassen. Andererseits muss der Widerstand ausreichend dämpfen, damit die absorbierte Leistung
nicht zu groß wird, wodurch eine Zerstörung der Bauteile möglich wäre. Als optimal
erwies sich ein Widerstand R1 von 100Ω.
Der verwendete experimentelle Aufbau ist schematisch in Abb. 3.1 dargestellt. Während
des Experiments soll die Kopplungsstärke variiert werden. Dazu können über einen
11
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Drehschalter sechs verschiedene Kondensatoren mit Kapazitäten von 33nF bis 470nF
hinzugeschaltet werden.
Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des verwendeten experimentellen Aufbaus
3.2
Messung der Spannungsamplitude mit einer Diode
Neben der eigentlichen Schaltung ist die Messung der am Widerstand R1 umgesetzten
Leistung ein ebenso wichtiger Aspekt für die Realisierung des Experiments. Die einfachste Methode wäre hier durch eine Bestimmung der Stromstärke I1 (ω, t) mit einem
Ampèremeter gegeben. Die Leistung würde sich dann direkt aus Gleichung 2.4 berechnen lassen. Dabei müsste man allerdings sehr viele Einzelmessungen durchführen, was
im Hinblick auf die Verwendung als Vorlesungsexperiment sicher nicht geeignet wäre.
Es wird stattdessen die Spannung U1 (ω, t) am Widerstand R1 mittels eines Oszilloskops
gemessen. Mit dem Ohmschen Gesetz folgt daraus die Leistung zu:
P R1 =
I12
U2
· R1 = 1
R1
(3.1)
Zusätzlich wird ein Frequenzgenerator verwendet, der eine Sweep-Funktion besitzt.
Dadurch lässt sich die Anregungsfrequenz innerhalb einer einstellbaren Zeit in einem
wählbaren Frequenzintervall linear verändern. Die Zeitachse des Oszilloskops kann somit
direkt als umskalierte Frequenzachse betrachtet werden. Der Proportionalitätsfaktor
12
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
lässt sich unter Kenntnis der Sweep-Geschwindigkeit berechnen. Damit ließe sich bereits
die Resonanzkurve von U1 (ω, t) in einer einfachen Weise auf dem Oszilloskop darstellen. Mit Durchstimmen der Frequenz ändert sich die Amplitude der Spannung. Folglich
sieht man eine gefüllte Fläche symmetrisch um die Nulllinie, wobei die Einhüllende der
Resonanzkurve entspricht. Dies wäre jedoch keine sehr schöne Darstellung der Resonanz, weil sich nicht das gewohnte Bild einer einzelnen Linie ergibt und die Einhüllende
sowohl bei positiver als auch bei negativer Spannung erscheint.
Im Folgenden wird deshalb eine bessere Methode vorgestellt, bei der die Spannungsamplitude in ein entsprechendes Gleichspannungssignal umgewandelt wird.Außerdem wird
später noch die Funktionaltität eines integrierten Schaltkreises (IC) beschrieben, durch
den sich die Spannung analog quadrieren lässt, damit am Ende ein Signal erzeugt wird,
welches proportional zur absorbierten Leistung ist.
Um die Amplitude der Spannung am Widerstand in ein
Gleichspannungssignal umzuwandeln wird die in Abb. 3.2
gezeigte Schaltung verwendet. Ein Kondensator C lädt
sich über eine Shottky-Diode auf. Durch die Diode ist
dabei nur ein einseitiger Stromfluss möglich, so dass sich
der Kondensator C nur in einer Richtung auflädt und
nach einigen Perioden die Scheitelspannung anliegt, wel
che dann als Signal abgegriffen werden kann.
Zusätzlich ist es jedoch nötig den Kondensator über einen
hochohmigen Widerstand R zu entladen, da sonst keine
niedrigeren Amplituden gemessen werden können, wenn
bereits eine höhere Spannung am Kondensator anlag. Dies
hätte zur Folge, dass zwar die ansteigende Seite der Resonanzkurve, nicht aber die abfallende Flanke aufgenom
men werden könnte.
In Abb. 3.3(a) ist der zeitliche Verlauf der Spannung am
Kondensator C bei fester Anregungsfrequenz fs aufgetragen. Zusätzlich ist in Abb. 3.3(b) noch die Anregungsspannung durch den Frequenzgenerator dargestellt.
3.2: Schaltbild
Auf Grund nichtlinearer Eigenschaften der Diode soll hier Abbildung
um die Amplitude einer
auf eine exakte mathematische Behandlung des SignalverWechselspannung
in
ein
laufs verzichtet werden. Das Verhalten lässt sich jedoch
Gleichspannungssignal umzuqualitativ recht gut verstehen. Wenn die Anregungsspan- wandeln
nung einen bestimmten positiven Wert überschreitet, lädt
sich der Kondensator relativ schnell auf und entlädt sich danach wieder langsam bis die
Anregungsspannung erneut ansteigt.
Im Allgemeinen nimmt beim Entladevorgang eines Kondensators
seine Spannung ex
ponentiell ab. Dabei ist nach der Zeit τ = RC die Spannung auf den Anteil 1/e des Anfangswerts gesunken. Zwar kann hier wegen der periodischen äußeren Anregung nicht
von einer exponentiellen Entladung ausgegangen werden, aber es lässt sich folgern, dass
13
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
die Wahl des Widerstands R und der Kapazität C einen entscheidenden Einfluß auf den
Entladevorgang hat.
Demnach müssen R und C so gewählt werden, dass sich ein geeigneter Verlauf ergibt. Ist RC zu klein entlädt sich der Kondensator zwischenzeitlich zu stark, wodurch
der sägezahnförmige Verlauf wie in Abb. 3.3(a) noch ausgeprägter wird. Im Extremfall
würde sich der Kondensator sogar jedes mal vollständig entladen. Dies ist zum einen deshalb unerwünscht, weil dadurch der Stromfluss auf den Kondensator beim Aufladen wesentlich größer wird. Damit wäre eine starke Beeinflussung des ursprünglichen Schwingkreises durch die Messung verbunden. Weiterhin soll die Amplitude der Wechselspannung durch ein Gleichspannungssignal wiedergegeben werden, weshalb eine möglichst
geringe Schwankung der Spannung am Kondensator wünschenswert ist, sofern die Amplitude der Wechselspannung gleich bleibt.
Andererseits darf RC auch nicht zu groß sein, da sonst die Dynamik der Messung zu
träge ist, um eine Leistungskurve bei einer sinnvollen Sweepgeschwindigkeit aufzunehmen. Ein Kondensator mit großer Kapazität könnte beispielweise zu lange brauchen
um sich aufzuladen, sodass ansteigende Flanken der Absorptionskurven nicht korrekt
oder nur verzögert wiedergegeben werden, während die Anregungsfrequenz linear mit
der Zeit verändert wird. Genauso werden abfallende Flanken nur verzögert gemessen,
falls der Enladevorgang zu lange dauert, weil RC zu groß ist.
Geeignete Werte für R und C wurden experimentell unter Beachtung der oben genannten Kriterien ermittelt. Dabei erwiesen sich ein Widerstand von R = 1M Ω und eine
Kapazität von C = 10nF als geeignet.
Um zu zeigen, dass mit dieser Wahl RC ausreichend groß ist, wurde in Abb. 3.3(a)
bis (d) der zeitliche Spannungsverlauf am Kondensator für eine Anregungsfrequenz von
fS = 1kHz und fS = 30kHz mit den jeweiligen Anregungsspannungen durch den Frequenzgenerator aufgetragen.
Es ist zu erkennen, dass die Schwankungen der Spannung am Kondensator bei
fs = 1kHz noch sehr groß sind. Im Vergleich zur Signalstärke machen sie etwa 20%
aus. Allerdings ist eine schnelle Abnahme der Schwankungen mit zunehmender Frequenz zu erwarten, da die Entladezeit dann abnimmt. Dies wird durch die Abbildung
des Signalverlaufs bei fs = 30kHz bestätigt. Hier kann keine anregungsbedingte Spannungsschwankung mehr erkannt werden. Es ist nur ein gleichbleibendes Signal mit einem
stochastischen Rauschen zu erkennen, was die beste Annäherung an den gewünschten
Signalverlauf darstellt.
14
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Abbildung 3.3: zeitl. Spannungsverlauf mit der Diodenschaltung für zwei verschiedene Anregungsfrequenzen (obere Hälfte) mit jeweiligem Signal vom Frequenzgenerator
(untere Hälfte)
Damit RC nicht zu groß ist, wurde im Experiment überprüft, ob sich der Verlauf
der Absorptionskurven bei verschiedenen Zeiten für den Frequenzsweep verändert. Dabei wurde insbesondere auf die steilsten Flanken geachtet, denn dort würde sich eine
Trägheit des Messverfahrens zuerst bemerkbar machen. Weil sich auch nach Sweepzeiten
von mehr als dem 50 fachen der später im Experiment verwendeten keine Veränderung
des Verlaufs festgestellen ließ, darf von einer ausreichenden Reaktionsgeschwindigkeit
dieser Messmethode ausgegangen werden.
3.3
Leistungsmessung mit einem IC
Durch Quadrieren der am Kondensator gemessenen Spannungsamplitude (siehe Abschnitt 3.2) lässt sich ein Signal generieren, welches proportional zur absorbierten Leistung ist. Die Leistung lässt sich dann nach Gleichung 3.1 berechnen.
Um das Signal zu quadrieren, wird ein integrierter Schaltkreis (IC) vom Typ AD633JN
15
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
verwendet. Mit diesem können analoge Spannungssignale miteinander multipliziert werden. Die hierfür notwendige Beschaltung ist in Abb. 3.4 gezeigt.
Der IC hat insgesamt fünf Pole als Signaleingänge: X1, X2, Y1, Y2 und Z. Das Ausgangssignal W ergibt sich aus der Funktion [4]:
W =
(X1 − X2)(Y 1 − Y 2)
+Z
10V
(3.2)
Bei der in Abb. 3.4 angegebenen Schaltung werden die Pole für X2,Y2 und Z auf das
Masseniveau der Schaltung gelegt, während das Eingangssignal E auf die Pole für X1
und Y1 gegeben wird. Damit folgt für die Ausgangsfunktion:
W =
E2
10V
(3.3)
Das Signal wird demnach wie
gewollt quadriert und um einen
zusätzlichen Faktor skaliert. Für
die Spannungsversorgung des IC
wird eine externe Spannungsquelle mit +15V und -15V benötigt.
Diese wurde im Experiment durch
Netzgeräte realisiert. Dabei wurde festgestellt, dass für Eingangssignale von weniger als 4V Amplitude die korrekte Funktion des IC
auch schon bei einer Versorgungsspannung von ±9V gewährleistet
ist. Im endgültigen Aufbau wird
daher die Spannungsversorgung Abbildung 3.4: Beschaltung des IC zur Signalquadurch 9V Batterien sichergestellt drierung [4]
(vgl. Abschnitt 4).
3.4
Vergleich der Messung mit den theoretischen Erwartungen
Um zu zeigen, dass der experimentelle Aufbau zu den gewünschten Kurvenverläufen
führt, werden nun die gemessenen Kurven dargestellt und mit den theoretisch zu erwartenden Werten, die sich aus den in Abschnitt 2 beschriebenen Formeln ergeben,
verglichen.
Dazu wird zunächst ein einzelner Schwingkreis betrachtet. Die Amplitude des Stroms
I0,1 (ω) innerhalb des RLC-Kreis ergibt sich theoretisch nach Gleichung 2.3. Es muss
aber beachtet werden, dass der gesamte Widerstand im Schwingkreis nicht nur aus
dem Widerstand R1 = 100Ω besteht. Zusätzlich ist noch der Innenwiderstand des Frequenzgenerators von 50Ω und der Widerstand der Spule von 2.6Ω sowie die geringen
16
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Widerstände der Leitungen zu berücksichtigen. Unter Vernachlässigung der Leitungswiderstände ist theoretisch ein Gesamtwiderstand von RGes = 152.6Ω zu erwarten. Für
die Amplitude des Stroms gilt damit:
I0,1 (ω) = p
1
2
RGes
+ (ωL1 − 1/ωCe1 )2
· |U0 |
(3.4)
Die Amplitude des zugehörigen Spannungsabfalls am Widerstand R1 ergibt sich dann
mit dem Ohmschen Gesetz zu:
R1
U0,1 (ω) = p 2
· |U0 |
RGes + (ωL1 − 1/ωCe1 )2
(3.5)
In Abb. 3.5 ist der gemessene Spannungsverlauf des einzelnen Schwingkreises für die
verschiedenen Kondensatoreinstellungen C über der Frequenz aufgetragen. Die Eichung
der Frequenzachse erfolgte dabei unter Kenntnis der Sweepgeschwindigkeit, die hier und
in allen weiteren Messungen jeweils 59kHz
betrug.
1.9s
Weiterhin ist jeweils der theoretische Kurvenverlauf eingetragen, welcher sich mit Gleichung 3.5 und Verwendung der vom Hersteller angegebenen Größen der einzelnen Bauteile ergibt.
In der Abbildung zeigt sich, dass die Messdaten durch die Theoriekurven bereits recht
gut beschrieben werden. Jedoch sind gewisse Abweichungen festzustellen. Deshalb wurde zusätzlich noch an jede Messreihe die Funktion aus Gleichung 3.5 gefittet, wobei die
Größen R1 , RGes , L1 und Ce1 als Fitparameter gewählt wurden. In den Abbildungen
lässt sich erkennen, dass die Funktionen aus den Fits die Kurven sehr gut beschreiben.
Als Ursache für die Abweichung der Theoriekurven wurde die Toleranz der Bauteile
identifiziert, welche für jedes Bauteil ±5% beträgt.
Obwohl das Fitten auf Grund der großen Abhängigkeit der einzelnen Parameter sehr
stark fehlerbehaftet ist und die Ergebnisse stark mit den Anfangsbedingungen varrieren,
liegen die meisten Werte im Toleranzbereich (siehe Anhang A). Lediglich die Zahlen
für die Kapazitäten Ce1 sind etwas zu groß. Beispielsweise liegt für C = 330nF der
gefittete Wert bei Ce1 = 86.4nF , während theoretisch nur Ce1 = 76.7nF zu erwarten
sind. Dies hängt wahrscheinlich mit den Lötverbindungen auf der Platine zusammen,
durch die die Kapazität des Schwingkreises etwas erhöht sein könnte. Die Abweichung
der Bauteile im Rahmen ihrer Toleranz kann demnach durchaus als mögliche Erkärung
für die Abweichung zur Theorie in Betracht gezogen werden.
17
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Abbildung 3.5: Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz für einzelne
RLC-Kreise mit verschiedenen Kapazitäten C
Ein anderer Effekt, der nicht berücksichtigt wurde, könnte durch die Amplitudenmessung mit Aufladen eines Kondensators über eine Diode (vgl. Abschnitt 3.2) gegeben
sein. Charakteristisch für eine Diode ist ihre Strom-Spannungs-Kennlinie. Nach dieser
muss bei einem bestimmten Strom durch die Diode auch eine gewisse Spannung an der
Diode anliegen. Diese Spannung steht dann zum Aufladen des Kondensators nicht zu
18
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Verfügung, so dass dieser nicht ganz die Spannungsamplitude erreicht. Auf Grund dieser
Überlegung wurde keine herkömmliche Halbleiter-Diode, sondern eine Schottky-Diode
verwendet, weil bei dieser die Kennlinie einen anderen Verlauf hat und sich somit nur
ein sehr geringerer Fehlbetrag für die Spannung ergeben müsste.
Um den Einfluss der Diode wenigstens geringfügig zu berücksichtigen wurde versucht,
eine konstante Spannung K zu U0,1 (ω) hinzuzuaddieren und als weiteren Fitparameter
genauer zu bestimmen. Die Werte für K waren alle negativ, was durch die vorangegangene Überlegung zu erwarten ist, allerdings varierten die einzelnen Werte sehr stark
und ihr Einfluss auf die Kurvenverläufe war nur sehr gering, weshalb der Faktor K im
weiteren vernachlässigt wird.
Die Werte für R1 sind mit 97 bis 98Ω alle niedriger als der theoretische Wert von 100Ω.
Dies könnte ebenfalls ein Hinweis auf den Effekt durch die Diode sein, denn die Spannung U0,1 (ω) wächst linear mit R1 und ein Fehlbetrag in der Spannung würde sich
hauptsächlich durch einen kleineren Wert von R1 bemerkbar machen.
Als Nächstes werden die aufgenommenen Leistungskurven im einfachen Schwingkreis
mit den theoretisch zu erwartenden Verläufen verglichen, um damit die Funktionalität
des Aufbaus mit dem IC zu prüfen. Weil kein Intresse an den absoluten Werten der
absorbierten Leistungen besteht, wird hier nur das Quadrat der Spannungsamplitude
angegeben, womit lediglich die relativen Verhältnisse wiedergeben werden.
Zur Berechnung des theoretischen Kurvenverlaufs muss dazu Gleichung 3.5 quadriert
1
wegen der Ausgabefunktion des IC hinzugefügt werden
werden und noch ein Faktor 10V
(vgl. Abschnitt 3.3). Damit gilt:
2
(ω) =
U0,1
R12
1
· 2
· |U0 |2
10V RGes + (ωL1 − 1/ωCe1 )2
(3.6)
Neben den theoretischen Kurven wurde auch hierbei wieder versucht eine bessere Be2
schreibung der Messdaten durch einen Fit der Funktion U0,1
(ω) mit den freien Parametern R1 , RGes , L1 und Ce1 zu finden.
Die Auftragung der Messwerte mit den Kurven aus der Theorie und dem Fit findet
sich in Abb. 3.6. Anhand der Abildungen lässt sich erkennen, dass die Abweichung von
Theorie zu Messdaten und Fit viel größer als zuvor ist, weil das Signal quadriert wurde,
wodurch die Unterschiede zunehmen. Dieser stärkere Einfluss der exakten Werte auf
den Kurvenverlauf äußerte sich insbesondere auch im etwas besseren Konvergenzverhalten beim Fitten an die Werte.
Außerdem zeigt sich in den Abildungen, dass die gefitteten Funktionen ebenso wie zuvor die Messdaten ziemlich gut wiedergeben. Die zugehörigen Parameter sind zu denen
der ersten Messungen sehr ähnlich, obwohl die Werte für R1 mit 93Ω teilweise etwas zu
niedrig sind. Insgesamt ließen sich also auch hier wieder alle Abweichungen mit den in
diesem Abschnitt bereits genannten Ursachen erklären.
19
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Abbildung 3.6: Quadrat der Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz für
einzelne RLC-Kreise mit verschiedenen Kapazitäten C
Schließlich wurden die Messungen der Spannungsamplitude und ihres Quadrats
ebenfalls für die Schaltung mit zwei gekoppelen Schwingkreisen durchgeführt.
Als Erstes wird nur die Amplitude der Spannung untersucht. Aus einer ähnlichen
20
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Überlegung wie beim einzelnen Schwingkreis ergibt sich mit Gleichung 2.7 für den
Spannungsabfall U0,2 (ω) am Widerstand R1 :
U0,2 (ω) = p
R1
p1 (ω)2 + p2 (ω)2
· |U0 |
(3.7)
Dabei muss aber noch der Gesamtwiderstand RGes des ersten Schwingkreises, welcher
nicht identisch ist mit R1 , berücksichtigt werden. Es gilt deshalb:
R2 /(ωC)2
R22 + (ωL2 − 1/(ωCe2 ))2
(1/ωC)2 )(ωL2 − 1/(ωCe2 ))
p2 (ω) = ωL1 − 1/(ωCe1 ) − 2
RGes + (ωL2 − 1/(ωCe2 ))2
p1 (ω) = RGes +
(3.8)
(3.9)
Für RGes ist wieder ein theoretischer Wert von 152.6Ω zu erwarten, wenn die Leitungswiderstände vernachlässigt werden. Der Widerstand R2 im zweiten Schwingkreis sollte
idealerweise verschwinden. Durch die Spule L2 sollte der Widerstand R2 jedoch mindestens 2.6Ω betragen.
Die gemessenen Werte mit den jeweiligen theoretischen Kurvenverläufen nach Gleichung 3.7 sind in Abb. 3.7 aufgetragen. Darin ist zu sehen, dass die Theoriekurven
die Messdaten bereits ziemlich gut beschreiben. Für schwache Kopplungen zeigt sich
aber eine geringere Tiefe des Einschnitts an der Resonanzfrequenz bei den gemessenen
Werten im Gegensatz zu den Theoriekurven. Naheliegend wäre als Ursache dafür eine
zu große Trägheit der Messung anzunehmen, sodass die schnelle Änderung nicht ganz
korrekt wiedergegeben wird (vgl. Abschnitt 3.2). Durch Variation der Messgeschwindigkeit konnte dies aber widerlegt werden.
Geht man von gewissen Abweichungen der einzelnen Parameter von ihren theoretischen
Werten als Erklärungsansatz aus, so kann aus den Beobachtungen in Abschnitt 3.1 vermutet werden, dass besonders Änderungen der Größe R2 einen großen Einfluss auf die
Tiefe des Einschnitts an der Resonanz haben müssten. Damit die gemessene Kurve an
der Resonanz höher liegt müsste R2 größer sein als der theoretisch angenommene Wert
von 2.6Ω.
Um das Verhalten näher zu untersuchen wurde versucht, ebenso wie bei den vorigen
Messungen, eine Funktion mit den Größen der Bauteile als freie Parameter an die Daten zu fitten. Während es vorher mit nur einem Schwingkreis und nur vier Parametern
schon schwierig war einen vernünftiges Ergebnis beim Fitten zu bekommen, gelang es
hier nicht mit den möglichen sieben Parametern eine Funktion zu fitten. Als Ursache
dafür ist vermutlich nicht allein die Zahl der Fitparameter zu nennen, sondern ebenfalls
die starke Abhängigkeit der Werte voneinander, womit ein schlechtes Konvergenzverhalten verbunden ist.
21
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Abbildung 3.7: Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz für zwei gekoppelte Schwingkreise mit verschiedenen Kopplungsstärken
Deshalb konnte nur ein Teil der Größen als freie Parameter zum Fitten gewählt werden. Dabei wurden für eine numerische Anpassung die Größen R2 , L1 , L2 , Ce1 , Ce2
gewählt, während die Werte für R1 und RGes mit Hilfe der Ergebnisse aus den vorigen
Fits abgeschätzt wurden.
22
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
Im Gegensatz zu den Fitergebnissen beim einfachen Schwingkreis, zeigen sich hier immer
wieder vereinzelt große Abweichungen von den Theoriewerten, die nicht mit den Toleranzen der Bauteile erklärt werden können. Auffällig ist hierbei besonders der Wert für
R2 , welcher wie erwartet höher als der theoretische Wert liegt. Allerdings überschreitet
R2 den zuvor angenommenen Widerstand von 2.6Ω etwa um das Doppelte.
Beim Vergleich von Theoriekurven und Fit in Abb. 3.7 stellt sich heraus, dass die gefitteten Funktionen die Messdaten besser beschreiben, obwohl die Kurven nicht ganz so
gut auf den Messpunkten liegen wie bei den früheren Messreihen.
Vielleicht ist die Ursache dafür im nur eingeschränkten Fit zu suchen durch den nicht
alle relevanten Parameter optimal an die Messdaten angepasst werden. Möglicherweise
würde bei einem vollständigen Fit aller Parameter auch die teilweise zu große Abweichung von den Theoriewerten verschwinden.
Nachdem der Spannungsverlauf untersucht wurde, wird nun das Quadrat der Span1
nungsamplitude beobachtet. Dazu wird Gleichung 3.7 quadriert und der Faktor 10V
wegen der Ausgabefunktion des IC hinzugefügt. Damit gilt:
2
(ω) =
U0,2
R12
1
·
· |U0 |2
10V p1 (ω)2 + p2 (ω)2
(3.10)
Die gemessenen Werte sind mit den Theoriekurven und den Fits in Abb. 3.8 dargestellt.
Für die gefitten Funktionen wurden die selben Parameter als variabel gewählt, wie bereits beim einfachen Spannungsverlauf. Die Abschätzung der verbleibenden Parameter
erfolgte ebenfalls mit den vorangegangenen Ergebnissen.
Es lässt sich feststellen, dass die Unterschiede zwischen den theoretischen Kurvenverläufen und den Messpunkten durch die Signalquadrierung zunehmen. Weiterhin ist
auch wieder eine bessere Beschreibung der Messdaten durch die gefitteten Funktionen
zu beobachten. Es ließ sich jedoch teilweise eine recht große Abweichungen zwischen
den theoretischen Werten und den Fitergebnissen erkennen. Insbesondere der Wert R2
ist zweimal bis dreimal größer als der theoretisch erwartete Wert. Dies kann sicher nicht
mehr nur mit den Toleranzen der Bauteile oder den eingeschränkten Fits erklärt werden.
Eine weitere Auffälligkeit zeigt sich außerdem bei starker Kopplung der Schwingkreise.
Besonders bei C = 33nF sind die Amplituden der beiden aufgespaltenen Resonanzen
nicht ungefähr auf gleicher Höhe, wie es bei der gefitteten Funktionen und der Theoriekurve der Fall ist.
Solch ein Verhalten kann zwar durch die Funktion in Gleichung 3.10 schon wiedergegeben werden, falls es Unterschiede zwischen den Induktivitäten und Kapazitäten in den
verschiedenen Schwingkreisen gibt. Es konnte aber keine bessere Beschreibung der Daten, als mit den hier vorgestellten gefitteten Funktionen erzielt werden. Deshalb bleibt
auch die Ursache für diese Abweichung unklar.
Insgesamt lässt sich jedoch zu allen Messungen sagen, dass einige mögliche Erklärungen
für die Abweichungen zur Theorie gefunden wurden. Außerdem sind die Unterschiede
23
3
Experimentelle Realisierung der Schaltung
keinesfalls so gravierend, dass sich nicht die wesentlichen Parallelen zu EIT erkennen
ließen.
Abbildung 3.8: Quadrat der Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz für
zwei gekoppelte Schwingkreise mit verschiedenen Kopplungsstärken
24
4
4
Der Aufbau als Vorlesungsexperiment
Der Aufbau als Vorlesungsexperiment
Nachdem zuvor die Aspekte der elektronischen Schaltung ausführlich diskutiert wurden, soll jetzt auf das äußere Design des Aufbaus zur Demonstration in der Vorlesung
eingegangen werden.
Da die elektronischen Bauteile sehr klein sind, wurden die wichtigsten Elemente der
Schaltung (siehe Abb. 2.1) auf einer Holzplatte aufgezeichnet, damit auch im hinteren
Bereich des Hörsaals alle wesentlichen Teile des Experiments erfasst werden können.
Damit der Aufbau frei stehen kann sind an der Rückseite zwei Holzkeile angebracht.
Diese bewirken eine leichte Verkippung der Platte nach hinten, wodurch einerseits ein
Umfallen nach vorne vermieden wird und die Zuschauer im meist schräg ansteigenden
Hörsaal senkrecht auf die Vorderseite blicken können.
Auf der Rückseite der Platte befindet sich in einem Kunststoffgehäuse die elektronische
Schaltung (siehe Abb. 4.1). Von dem Gehäuse gehen zwei BNC-Kabel aus. Diese stellen
über Verbindungsstecker einen BNC-Anschluss mit der Bezeichnung In“ für die Anre”
gungsspannung vom Frequenzgenerator und einen BNC-Anschluss mit der Bezeichnung
Out“ für die Leistungsdarstellung auf dem Oszilloskop auf der Vorderseite der Platte
”
bereit. Außerhalb des Gehäuses befindet sich außerdem noch ein von der Vorderseite
zugänglicher Kippschalter mit dem die Schwingkreise entkoppelt werden können. Über
zwei Drähte ist er mit der Schaltung im Gehäuse verbunden.
Abbildung 4.1: Rückansicht des Aufbaus für die Vorlesung
25
4
Der Aufbau als Vorlesungsexperiment
Weiterhin befindet sich eine Bohrung im Gehäuse, durch die der Drehschalter zum
Verändern der kapazitiven Kopplung C zur Vorderseite hindurchgeführt ist.
Für die Spannungsversorgung des IC werden zwei hintereinander geschaltete 9V Batterien verwendet. Über einen Mittelabgriff wird das Massepotential der Schaltung festgelegt. Die beiden äußeren Pole liefern dann ±9V gegenüber dem Massepotential. Wie
bereits in Abschnitt 3.3 erwähnt zeigte sich im Experiment, dass diese Spannung für Anregungsamplituden von weniger als 4V für die Spannungsversorgung des IC ausreicht.
Die Batterien befinden sich direkt neben dem Gehäuse in einem kleinen Kästchen und
können leicht herausgenommen oder eingesetzt werden.
Nach den Datenblättern des Herstellers liegt der Stromverbrauch des IC zwischen 4
und 6mA. Mit der Ladung einer handelsüblichen 9V Batterie von ca. 600mAh sollte ein
Dauerbetrieb von 100 bis 150 Stunden möglich sein.
Es ist dabei noch zu beachten, dass der IC auch dann Strom verbraucht, wenn kein
Signal vom Frequenzgenerator anliegt. Denn dies entspricht einem Signal mit Spannung Null und einem gewissen stochastischen Rauschen, welches vom IC umgewandelt
wird. Deshalb ist es zu empfehlen die Batterien nur während des Experiments einzulegen. Auf den Einbau eines äußeren Schalters und eines Kontrolllämpchens, um die
Spannungsversorgung zu kontrollieren, wurde verzichtet. Damit wäre ein zusätzlicher
Spannungsabfall verbunden gewesen, wodurch die resultierende Versorgungsspannung
am IC nicht mehr ausreichen würde.
Zur Inbetriebnahme des Experiments werden neben dem Aufbau aus Abb. 4.1 noch ein
Frequenzgenerator mit Sweep-Funktion und ein Oszilloskop, von dem die Messkurven
auf einen Beamer übertragen werden können, sowie zwei Steckdosen benötigt. Zwei
BNC-Kabel werden außerdem zum Anschluss von Oszilloskop und Frequenzgenerator
an das Experiment gebraucht. Zusätzlich ist ein drittes BNC-Kabel für die ext. Triggerung des Oszilloskops durch den Frequenzgenerator nötig. Ansonsten werden keine
weiteren externen Komponenten für die Durchführung gebraucht.
Für eine sinnvolle Vorführung des Experiments empfiehlt es sich, die Anregungsspannung auf 8V pp einzustellen, um einerseits ein gutes Signal zu Rauschverhältnis zu haben
und andererseits die korrekte Funktion des IC zu gewährleisten. Der Bereich in dem
die Anregungsfrequenz für eine geeignete Darstellung der Kurven durchlaufen werden
sollte, beträgt 1 bis 60kHz. Als Sweeptime sollte 200 bis 300ms gewählt werden, damit nicht zu lange Wartezeiten während der Durchführung auftreten und trotzdem
die Reaktion der Messschaltung nicht zu träge ist. Idealerweise ist die Sweeptime mit
der Zeitskala des Oszilloskops abzustimmen. Kann auf dem verwendeten Oszilloskop
beispielsweise eine Zeitspanne von 250ms angezeigt werden, so sollte die Sweeptime
ebenso groß oder sogar etwas größer sein, um störende Randeffekte beim Zurückfahren
der Frequenz auszublenden.
26
5
5
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Im Rahmen dieser Bachelorarbeit wurde eine EIT analoge elektronische Schaltung wie
in [3] beschrieben aufgebaut. Dabei wurden zunächst geeignete Werte für die einzelnen
Komponenten ermittelt. Es wurden außerdem Messtechniken entwickelt mit denen die
Darstellung der absorbierten Leistung einfach und schnell erfolgen kann. Dazu wurde eine Schaltung entwickelt mit der die Amplitude eines Wechselsspannungssignals in
ein Gleichspannungssignal umgewandelt wird. Unter Verwendung eines IC kann dieses
dann in ein Leistungssignal umgewandelt werden.
Weiterhin wurde durch Vergleich von experimentellen Messdaten und theoretischen
Kurvenverläufen gezeigt, dass die Methoden zur Leistungsmessung funktionieren. Zusätzlich konnten einige Ursachen für die geringen Abweichungen der Messungen von den
theoretischen Kurven gefunden werden.
Schließlich wurde noch das Design für ein Vorlesungsexperiment erstellt, mit dem sich
die relevanten Kurven mit wenigen Handgriffen sinnvoll darstellen lassen und die wesentlichen Aspekte des Experiments für Studenten leicht zu erfassen sind.
27
A
A
Parameter zur numerischen Regression
Parameter zur numerischen Regression
C [nF ]
R1 [Ω]
RGes [Ω]
L1 [mH]
Ce1 [nF ]
470
96.7
154.7
1.03
89.4
330
97.8
153.9
1.00
86.4
Fitparameter
180
100
98.3
97.5
153.6 152.6
1.00
0.97
72.1
56.7
56
98.3
155.2
1.02
38.6
33
97.8
156.7
1.04
25.7
470
100
152.6
1.00
82.5
Parameter Theorie
330
180
100
56
100
100
100
100
152.6 152.6 152.6 152.6
1.00
1.00
1.00
1.00
76.7
64.3
50.0
35.9
33
100
152.6
1.00
24.8
Tabelle A.1: Parameter zu den Kurven in Abb. 3.5
C [nF ]
R1 [Ω]
RGes [Ω]
L1 [mH]
Ce1 [nF ]
470
95.3
155.5
1.00
90.2
330
95.3
155.5
1.00
85.1
Fitparameter
180
100
95.3
92.8
155.5 152.2
1.00
0.96
70.9
57.0
56
92.5
152.0
0.99
40.1
33
93.2
154.5
1.02
28.0
470
100
152.6
1.00
82.5
Parameter Theorie
330
180
100
56
100
100
100
100
152.6 152.6 152.6 152.6
1.00
1.00
1.00
1.00
76.7
64.3
50.0
35.9
33
100
152.6
1.00
24.8
Tabelle A.2: Parameter zu den Kurven in Abb. 3.6
C [nF ]
R1 [Ω]
RGes [Ω]
R2 [Ω]
L1 [mH]
L2 [mH]
Ce1 [nF ]
Ce2 [nF ]
470
95
154.6
5.3
1.02
1.05
85.6
80.6
330
95
154.6
5.3
1.02
1.03
79.6
76.0
Fitparameter
180
100
95
95
154.6 154.6
5.0
7.5
1.02
1.04
1.03
1.10
66.3
51.1
64.4
47.3
56
95
154.6
4.8
1.05
0.98
35.0
37.7
33
95
154.6
5.3
1.06
0.92
23.7
26.7
470
100
152.6
2.6
1.00
1.00
82.5
82.5
Parameter Theorie
330
180
100
56
100
100
100
100
152.6 152.6 152.6 152.6
2.6
2.6
2.6
2.6
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
76.7
64.3
50.0
35.9
76.7
64.3
50.0
35.9
Tabelle A.3: Parameter zu den Kurven in Abb. 3.7
28
33
100
152.6
2.6
1.00
1.00
24.8
24.8
A
C [nF ]
R1 [Ω]
RGes [Ω]
R2 [Ω]
L1 [mH]
L2 [mH]
Ce1 [nF ]
Ce2 [nF ]
470
95
154.6
5.8
1.00
0.97
85.7
87.8
330
95
154.6
5.9
1.02
0.99
79.5
79.3
Fitparameter
180
100
95
95
154.6 154.6
6.5
10.9
1.02
1.03
1.05
1.15
66.5
53.2
63.7
45.1
Parameter zur numerischen Regression
56
95
154.6
8.5
1.03
1.05
37.5
34.8
33
95
154.6
8.8
1.02
1.02
26.0
24.2
470
100
152.6
2.6
1.00
1.00
82.5
82.5
Parameter Theorie
330
180
100
56
100
100
100
100
152.6 152.6 152.6 152.6
2.6
2.6
2.6
2.6
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
76.7
64.3
50.0
35.9
76.7
64.3
50.0
35.9
Tabelle A.4: Parameter zu den Kurven in Abb. 3.8
29
33
100
152.6
2.6
1.00
1.00
24.8
24.8
B
B
Gesamte Schaltung
Gesamte Schaltung
Abbildung B.1: Schematische Darstellung des Schwingkreises mit Schaltung zur Leistungsmessung
30
Literatur
Literatur
[1] H. Haken, H. C. Wolf, Atom und Quantenphysik: Einführung in die experimentellen
und theoretischen Grundlagen (8. Auflage), Springer 2004.
[2] Fabian Beil. Diplomarbeit, Fachbereich Physik, Technische Universität Kaiserslautern, März 2007.
[3] C. L. Garrido Alzar, M. A. G. Martinez, P. Nussenzveig. Am. J. Phys. v. 70 (1),
Classical Anlog of Electromagnetically Induced Transparency, 10 jul 2001.
[4] Analog Devices. Datasheet AD633.
31
Danksagung
Ich möchte mich hier noch mal kurz bei den Personen bedanken, durch die diese Arbeit
überhaupt zustande gekommen ist.
Mein erster Dank gilt Herrn Erwin Nungeßer, meinem ehemaligen Physiklehrer. Er
hat bei mir zuerst das Interesse für Physik geweckt und ist nachweislich schuld daran,
dass ich mich für ein Physikstudium entschieden habe.
Als Nächstes möchte ich mich bei meinen Komilitonen bedanken, die mit mir zusammen so manche Mathe- und Theorievorlesung tapfer durchgestanden haben. Ohne sie
wäre ich wahrscheinlich in meinem Studium nicht weit gekommen.
Natürlich möchte ich mich auch bei den Mitgliedern der AG Halfmann bedanken.
Dabei gilt mein Dank besonders Holger, der mich während meiner Bachelorzeit betreut
hat und meine vorläufigen Arbeiten immer verlässlich und zeitnah korrigiert hat. Gerade als es knapp wurde war dies sehr wichtig.
Außerdem möchte ich Fabian danken, der sich teilweise sehr viel Zeit genommen hat,
um mir die richtigen Techniken zum Löten beizubringen.
Weiterhin danke ich noch den Masterstudenten, die immer für meine Fragen offen waren und für ein angenehmes Arbeitsklima gesorgt haben. Vor allem Vladimir hatte für
mich immer einige gute Anregungen zum Umgang mit der Elektronik.
Ich möchte mich auch noch bei Herrn Halfmann bedanken für die Möglichkeit meine
Bachelorarbeit in dieser AG durchzuführen.
Zum Schluss danke ich meiner Familie, die mich immer unterstützt hat und stets für
mich da war.