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Aufbau eines klassischen Analogons zu elektromagnetisch induzierter Transparenz Implementation of a Classical Analog of Electromagnetically Induced Transparency Bachelor-Thesis von Markus Habenberger November 2008 Fachbereich Physik Institut für Angewandte Physik Nichtlineare Optik und Quantenoptik Aufbau eines klassischen Analogons zu elektromagnetisch induzierter Transparenz Implementation of a Classical Analog of Electromagnetically Induced Transparency vorgelegte Bachelor-Thesis von Markus Habenberger 1. Gutachten: Prof. Dr. Thomas Halfmann 2. Gutachten: Dipl. Phys. Holger Münch Tag der Einreichung: Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Elektromagnetisch induzierte Transparenz 4 2 EIT analoge elektronische Schaltung 2.1 Verhalten eines einzelnen Schwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Verhalten von zwei gekoppelten Schwingkreisen . . . . . . . . . . . . . 7 8 9 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung 3.1 Bestimmung der Parameter der elektronischen Bauteile . . 3.2 Messung der Spannungsamplitude mit einer Diode . . . . . 3.3 Leistungsmessung mit einem IC . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Vergleich der Messung mit den theoretischen Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 15 16 4 Der Aufbau als Vorlesungsexperiment 25 5 Zusammenfassung 27 A Parameter zur numerischen Regression 28 B Gesamte Schaltung 30 1 Elektromagnetisch induzierte Transparenz Einleitung Die Verwendung kohärenter Strahlung in der Atomphysik ermöglicht die Beobachtung einer Vielfalt kohärenter Effekte. Einer dieser Effekte ist elektromagnetisch induzierte Transparenz (EIT). Es handelt sich dabei um das Verschwinden der Absorption eines Laserstrahls in einem Medium, wenn ein weiteres elektromagnetisches Feld eingestrahlt wird, sodass das Medium für den ursprünglich absorbierten Laserstrahl vollständig transparent wird. Da EIT ein quantenoptisches Phänomen ist, kann es mit Erklärungsansätzen der klassischen Physik nicht verstanden werden. Durch zwei gekoppelte elektrische Schwingkreise lässt sich jedoch ein klassisches System realisieren in dem die wesentlichen Effekte im Zusammenhang mit EIT beobachtet werden können. Im Rahmen dieser Bachelorarbeit soll ein solches EIT analoges System aufgebaut werden. Dabei ist geplant, das Experiment in entsprechenden Vorlesungen zur Demonstration einzusetzen, um Studenten ein intuitives Verständnis von kohärenten Prozessen zu ermöglichen. Deshalb ist außerdem der Entwurf eines Designs, welches eine sinnvolle Präsentation zulässt, ein Bestandteil dieser Arbeit. 1 Elektromagnetisch induzierte Transparenz Im Folgenden sollen die wesentlichen Grundzüge von elektromagnetisch induzierter Transparenz dargestellt werden. Dazu wird das in Abb. 1.1 gezeigte Drei-Niveau-System eines Atoms oder Moleküls betrachtet. Niveau |1i ist der Grundzustand des Systems und |3i ein metastabiler Zustand. Der Zustand |2i ist ein elektronisch angeregter Zustand. Auf Grund von Dipolauswahlregeln sind nur Übergänge zwischen |1i und |2i sowie zwischen |2i und |3i möglich.Außerdem soll als Anfangsbedingung alle Besetzung im Zustand |1i sein. Abbildung 1.1: Schematische Darstellung eines resonant gekoppelten Drei-NiveauSystem 4 1 Elektromagnetisch induzierte Transparenz Weiterhin befindet sich das System in resonanter Wechselwirkung mit zwei Laserfeldern. Einer der Laser wird resonant auf dem Übergang zwischen |2i und |3i eingestrahlt und wird im Folgenden als Kontrolllaser bezeichnet. Der andere Laser koppelt die Zustände |1i und |2i mit geringer Intensität und wird als Nachweislaser bezeichnet. Bei ausgeschaltetem Kontrolllaser wird der Nachweislaser absorbiert,wenn die Frequenz des Lasers auf die Übergangsfrequenz ω12 von |1i nach |2i eingestellt ist. Da der Zustand |2i nur eine endliche Lebensdauer τ besitzt, weist der Übergang zwischen |1i und |2i eine natürliche Linenbreite von 1/τ auf. Infolgedessen ist auch eine Anregung bei einer Verstimmung ∆ von der Resonanz mit geringerer Wahrscheinlichkeit möglich, solange |∆| < 1/τ gilt. Insgesamt ergibt sich ein lorentzförmiges spektrales Absorptionsprofil mit maximaler Absorption bei der Resonanzfrequenz (vgl. Abb. 1.2) [1]. Im Gegensatz zum schwachen Nachweislaser ist die elektrische Feldstärke des Kontrolllasers vergleichbar mit den atomaren Wechselwirkungen des Atoms. Wird zusätzlich zum Nachweislaser der Kontrolllaser eingestrahlt, bewirkt die Wechselwirkung des elektrischen Feldes mit dem Atom, dass sich neue Zustände bilden, die als dressed states bezeichnet werden. Abbildung 1.2: Absorption des Nachweislasers in Abhängikeit von Verstimmung von der Resonanzfrequenz ω12 [2] 5 1 Elektromagnetisch induzierte Transparenz Weil der Nachweislaser im Vergleich zum Kontrolllaser nur schwach mit dem Atom wechselwirkt, kann das Drei-Niveau-System auf ein stark gekoppeltes Zwei-NiveauSystem mit den Zuständen |2i und |3i vereinfacht werden. Der Zustand |1i ist nur noch schwach daran gekoppelt und hat keinen Einfluss auf die anderen Zustände. Die Dynamik des Zwei-Niveau-Systems wird durch die zeitabhängige Schrödingergleichung ∂ (1.1) ih̄ |Ψ23 i = Ĥ23 |Ψ23 i ∂t beschrieben. Dabei ist |Ψ23 i der Gesamtzustand des Zwei-Niveau-Systems und Ĥ23 der Hamiltonoperator des Systems. Ĥ23 setzt sich zusammen aus dem Hamiltonoperator Ĥ0 des Atoms mit den Energieeigenwerten ǫ2 und ǫ3 sowie den Beiträgen durch die Dipolwechselwirkungen V (t) mit dem elektrischen Feld E(t). In der Eigenbasis von Ĥ0 kann Ĥ23 folgendermaßen geschrieben werden: ǫ2 V23 (t) (1.2) Ĥ23 = V23 (t) ǫ3 mit V23 (t) = µ23 E(t) und µ23 dem Übergangsdipolmoment zwischen |2i und |3i. Im Diracschen Wechselwirkungsbild lässt sich dies nach Anwendung der rotating wave approximation schreiben als: 0 Ω (1.3) Ĥ23 = Ω 0 Dabei ist Ω = µ23 E0 /h̄ die Rabifrequenz. Hierbei wurde angenommen, dass die Verstimmung von der Resonanz Null ist, wodurch die Einträge auf der Diagonalen verschwinden. Durch Lösen des Eigenwertproblems Ĥ23 |a± i = h̄ω ± |a± i ergibt sich für die Eigenzustände |a± i von Ĥ23 : r 1 ± |a i = |3i ± |2i (1.4) 2 Die zugehörigen Energieeigenwerte sind: h̄ h̄ω ± = ± Ω 2 (1.5) Die Zustände |a+ i und |a− i sind demnach während der Wechselwirkung mit dem Kontrolllaser (Ω 6= 0) relativ voneinander durch den Frequenzabstand Ω getrennt. Dies wird als Autler-Townes Aufspaltung bezeichnet. Zur Bestimmung der absoluten energetischen Position der Zustände kann die Anzahl n der Photonen im Laserfeld noch als zusätzliche Quantenzahl aufgefasst werden. Bei Anregung vom Grundzustand wird ein Photon absorbiert, womit noch n − 1 Photonen verbleiben. Die angeregten Zustände sind deshalb |n − 1, a± i. Weil der Kontrolllaser resonant auf dem Übergang zwischen |2i und |3i betrieben wird, entspricht der Zustand |n − 1i energetisch dem Zustand |2i. 6 2 EIT analoge elektronische Schaltung Die dressed states |n − 1, a± i liegen also symmetrisch um den Zustand |2i des Atoms und sind durch die Frequenz Ω voneinander getrennt. Bei Vernachlässigung der Phasen der Zustände und des eingestrahlten Nachweislasers ergibt sich die Absorption des Lasers in Abhängigkeit von der Verstimmung aus der Addition von zwei gleichgeformten Spektrallinien mit Abstand ω ± zur Resonanzfrequenz ω12 des ungestörten Systems. Für große Intensitäten des Kontrolllasers stellt dies eine gute Näherung dar, denn dann ist die Aufspaltung Ω größer als die Linienbreite 1/τ , so dass die Absorption an der Resonanz fast verschwindet. Bei geringen Aufspaltungen ist bei inkohärenter Anregung durch die natürliche Linienbreite der Zustände |n − 1, a± i immer noch eine große Wahrscheinlichkeit für die Absorption auf der Resonanz vorhanden. Bei kohärenter Anregung der Übergänge von |1i nach |n − 1, a± i reicht es hingegen nicht aus einfach nur die Beträge der einzelnen Übergangswahrscheinlichkeiten zu addieren. Es müssen auch noch die Phasen der Zustände und des elektrischen Feldes des Nachweislasers berücksichtigt werden. Für die Anregungswahrscheinlichkeit P von |1i nach |2i gilt dann [2]: P ∝ |µ1a+ + µ1a− |2 ∝ |h1|µ|2i − h1|µ|2i|2 = 0 (1.6) µ1a± = h1|µ|a± i ∝ h1|µ|3i ± h1|µ|2i = ±h1|µ|2i (1.7) mit und unter Berücksichtigung, dass der Übergang zwischen |1i und |3i verboten ist. Durch die Rechnung lässt sich zeigen, dass die Absorption des Nachweislasers bei kohärenter Anregung auf der Resonanz exakt Null ist. Dabei kommt es nicht auf die Größe der Aufspaltung an. Dieses Phänomen der kohärenten Optik wird als elektromagnetisch induzierte Transparenz bezeichnet. 2 EIT analoge elektronische Schaltung Durch eine elektronische Schaltung sollen die im vorangegangenen Abschnitt präsentierten Eigenschaften in einem klassischen System simuliert werden. Eine einfache Darstellung der Schaltung ist in Abb. 2.1 gegeben. Es handelt sich um zwei elektrische Schwingkreise, die über einen Kondenstor C gekoppelt werden und durch einen Schalter voneinander getrennt werden können. Der erste Schwingkreis bestehend aus der Induktivität L1, dem Widerstand R1 und den Kapazitäten C1 und C repräsentiert dabei die Kopplung zwischen den Zuständen |1i und |2i des Systems. Der zweite Schwingkreis mit L2, R2, C2 und C simuliert die Kopplung zwischen den Zuständen |2i und |3i und dient somit als Kontrolllaser. Der Nachweislaser wird durch ein externe Spannungquelle Us realisiert. 7 2 EIT analoge elektronische Schaltung Abbildung 2.1: Schematische Darstellung der elektronischen Schaltung zur Simulation von elektromagnetisch induzierter Transparenz. 2.1 Verhalten eines einzelnen Schwingkreises Bei geöffnetem Schalter, sind die Schwingkreise entkoppelt. Wird jetzt eine Wechselspannung Us (t, ω) mit variabler Frequenz ω angelegt, ergibt sich aus den Kirchhoffschen Gesetzen folgende Differenzialgleichung für den im ersten RLC-Kreis fließenden Strom I1 (t, ω) 1 : q1 = L1 · I˙1 + R1 · I1 + Ce1 C1 ·C Dabei ist Ce1 = C1 +C die Kapazität und q1 die Ladung im ersten Schwingkreis. Durch Differenziation nach der Zeit ergibt sich: U s I1 U̇s = L1 · I¨1 + R1 · I˙1 + Ce1 (2.1) (2.2) Mit dem Ansatz I1 (t, ω) = I0,1 · eiωt folgt für die Amplitude des Stroms I0,1 im ersten Schwingkreis: 1 · |U0 | (2.3) + (ωL1 − 1/ωCe1 )2 Wie oben erläutert repräsentiert Us den Nachweislaser. Die Absorption des Lasers wie im Fall von EIT kann mit der elektronischen Schaltung durch die Leistungsaufnahme des Schwingkreises beschrieben werden. Im ersten Schwingkreis wird die Leistung im wesentlichen am Widerstand R1 umgesetzt. Daher ergibt sich die Amplitude der Wirkleistung P1 (ω) zu: I0,1 = p R12 2 R1 = P1 (ω) = I0,1 R2 R1 · |Uo |2 + (ωL − 1/ωCe1 )2 (2.4) 1 Im Folgenden wird in den Gleichungen zur Übersichtlichkeit die Zeit- und Frequenzabhängigkeit von Spannung und Strom nicht explizit angegeben. 8 2 EIT analoge elektronische Schaltung Die Formel in Gleichung 2.4 beschreibt eine Resonanzkurve mit Resonanzfrequenz ω0 (siehe Abb. 2.2 rote Kurve). Das Verhalten eines einzelnen RLC-Kreises zeigt gewisse Parallen zu einem Zwei-Niveau-System, welches inkohärent angeregt wird. Ist die Anregungsfrequenz identisch mit der Resonanzfrequenz ω0 , so wird die maximale Leistung vom Schwingkreis absorbiert. Mit zunehmender Verstimmung von der Resonanz nimmt die Absorption ab und verschwindet für große Verstimmungen vollständig. Ein offensichtlicher Unterschied in der Kurve des Schwingkreises zum Zwei-NiveauSystem besteht in der Asymmetrie bezüglich der Resonanz, während die Absorption im Zwei-Niveau-System durch eine Lorentzkurve gegeben ist, welche symmetrisch zur Resonanz ist. Der Grund hierfür liegt in der Frequenzabhänigkeit von Gleichung 2.4. Durch den Term (ωL − 1/ωCe1 ) ergibt sich ein flacherer Abfall der Resonanzkurve bei großen Frequenzen und der steilere Anstieg bei kleinen Frequenzen für den Schwingkreis. Weiterhin ist zu beachten, dass für die Lage der Resonanzfrequenz ω0 gilt: ω0 = √ 1 LCe1 (2.5) Für verschiedene Kondensatorkapazitäten C verändert sich die Gesamtkapazität Ce1 im ersten Schwingkreis. Deshalb ist auch eine Verschiebung der Resonanzfrequenz bei Variation von C zu beobachten. 2.2 Verhalten von zwei gekoppelten Schwingkreisen Bei geschlossenem Schalter sind die beiden Schwingkreise durch den Kondensator C gekoppelt. Aus den Kirchhoffschen Gesetzen ergeben sich zwei gekoppelte Differenzialgleichungen für die elektrischen Ströme I1 und I2 in den beiden Schwingkreisen: I1 I2 U̇s = L1 · I¨1 + R1 I˙1 + − Ce1 C I1 I2 − 0 = L2 · I¨2 + R2 I˙2 + Ce2 C (2.6) ·C Dabei ist Ce2 = CC22+C die Kapazität im zweiten Schwingkreis. Mit I1 (t, ω) = I0,1 · eiωt und I2 (t, ω) = I0,2 · eiωt lässt sich die am Widerstand R1 aufgenommene Leistung P2 (ω) nach [3] berechnen zu: P2 (ω) = p1 (ω) · |U0 |2 2 2 p1 (ω) + p2 (ω) (2.7) wobei R2 /(ωC)2 R22 + (ωL2 − 1/(ωCe2 ))2 (1/ωC)2 )(ωL2 − 1/(ωCe2 )) p2 (ω) = ωL1 − 1/(ωCe1 ) − R22 + (ωL2 − 1/(ωCe2 ))2 p1 (ω) = R1 + (2.8) (2.9) 9 2 EIT analoge elektronische Schaltung Die Kopplung zwischen den beiden Formeln in Gleichung 2.6 ist durch den Faktor 1/C gegeben. Dieser entspricht gerade der Kopplungsstärke zwischen den beiden Schwingkreisen. In Abb. 2.2 sind als Beispiel die Resonanzkurven mit einem und zwei RLC-Kreisen für verschiedene Kapazitäten C dargestellt. Abbildung 2.2: Leistungsresonanzkurven für verschieden starke Kopplungen mit offenem Schalter (rot) und geschlossenem Schalter (grün). R1 = 100Ω, R2 = 0, L1 = 1mH, L2 = 1mH, C1 = 100nF, C2 = 100nF . Wie sich erkennnen lässt, beschreibt die Leistungskurve mit schwacher Kopplung (Abb. 2.2(a)) einen Verlauf, der der Absorptionskurve bei EIT sehr ähnlich ist (Abb. 1.2). 10 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Auf der Resonanz beträgt die Absorption Null, während sie schon für kleine Verstimmungen von der Resonanz stark ansteigt. Mit größerer Kopplung nimmt auch die Aufspaltung zu (Abb. 2.2(b)-(d)). Quantenoptisch entspricht dies dem Übergang von EIT zur Autler-Townes-Aufspaltung (vgl. Abschnitt 1). 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Im folgenden Abschnitt wird die technische Umsetzung der in Abschnitt 2 vorgestellten Schaltung diskutiert. In Abschnitt 3.1 werden zunächst sinnvolle Parameter für die einzelnen Bauteile bestimmt. In Abschnitt 3.2 und in Abschnitt 3.3 werden verschiedene Methoden zur Bestimmung der aufgenommenen Leistung erörtert. Die gewonnenen Ergebnisse werden in Abschnitt 3.4 mit den theoretisch zu erwartenden Werten verglichen. 3.1 Bestimmung der Parameter der elektronischen Bauteile Als Erstes ist es notwendig den Widerstand R2 möglichst klein zu halten, weil dies dem EIT analogen Fall, in dem es keine Anregung durch den Kontrolllaser geben soll, entspricht. In der Realität sind gewisse Restwiderstände durch die Spule und die Leiter nicht zu vermeiden. Dies führt im Experiment dazu, dass die Transparenz bei kleiner Kopplung nicht vollständig ist, wie es bei EIT zu beobachten wäre. Erst bei stärkeren Kopplungen verschwindet die Absorption auf der Resonanzfrequenz ganz (vgl. Abschnitt 3.4). Es kann bereits abgeschätzt werden, dass der Widerstand R2 durch die verwendete Spule L2 mindestens 2.6Ω betragen wird. Eine weitere Bedingung ist, dass die Induktivitäten L1 und L2 sowie die Kapazitäten C1 und C2 in den beiden Schwingkreisen möglichst gleich sein sollten. Ist der Unterschied hier zu groß, so können sich die aufgespaltenen Resonanzen sehr stark in Breite und Amplitude unterscheiden. Aus diesem Grund√wird L1 = L2 und C1 = C2 gewählt. Die Resonanzfrequenz wird durch ω0 = 1/ L1 Ce1 festgelegt. Wie sich in Abb. 2.2 zeigt, liegt diese für L1 = 1mH und C1 = C = 100nF im Bereich von 20 bis 30kHz. Dieser Frequenzbereich bietet den Vorteil, dass elektronische Komponenten wie z.B. ein Frequenzgenerator oder integrierte Schaltkreise einfach erhältlich sind. Weiterhin nimmt die Störanfälligkeit von elektronischen Schaltungen mit steigender Frequenz stark zu. Eine Verschiebung der Resonanz zu kleineren Frequenzen ist aus messtechnischen Überlegungen ebenfalls unerwünscht (vgl Abschnitt 3.2). Der Widerstand R1 bestimmt im wesentlichen die Breite und Stärke der Resonanz. Er muss daher klein genug sein, um überhaupt eine ausgeprägte Resonanz zuzulassen. Andererseits muss der Widerstand ausreichend dämpfen, damit die absorbierte Leistung nicht zu groß wird, wodurch eine Zerstörung der Bauteile möglich wäre. Als optimal erwies sich ein Widerstand R1 von 100Ω. Der verwendete experimentelle Aufbau ist schematisch in Abb. 3.1 dargestellt. Während des Experiments soll die Kopplungsstärke variiert werden. Dazu können über einen 11 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Drehschalter sechs verschiedene Kondensatoren mit Kapazitäten von 33nF bis 470nF hinzugeschaltet werden. Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des verwendeten experimentellen Aufbaus 3.2 Messung der Spannungsamplitude mit einer Diode Neben der eigentlichen Schaltung ist die Messung der am Widerstand R1 umgesetzten Leistung ein ebenso wichtiger Aspekt für die Realisierung des Experiments. Die einfachste Methode wäre hier durch eine Bestimmung der Stromstärke I1 (ω, t) mit einem Ampèremeter gegeben. Die Leistung würde sich dann direkt aus Gleichung 2.4 berechnen lassen. Dabei müsste man allerdings sehr viele Einzelmessungen durchführen, was im Hinblick auf die Verwendung als Vorlesungsexperiment sicher nicht geeignet wäre. Es wird stattdessen die Spannung U1 (ω, t) am Widerstand R1 mittels eines Oszilloskops gemessen. Mit dem Ohmschen Gesetz folgt daraus die Leistung zu: P R1 = I12 U2 · R1 = 1 R1 (3.1) Zusätzlich wird ein Frequenzgenerator verwendet, der eine Sweep-Funktion besitzt. Dadurch lässt sich die Anregungsfrequenz innerhalb einer einstellbaren Zeit in einem wählbaren Frequenzintervall linear verändern. Die Zeitachse des Oszilloskops kann somit direkt als umskalierte Frequenzachse betrachtet werden. Der Proportionalitätsfaktor 12 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung lässt sich unter Kenntnis der Sweep-Geschwindigkeit berechnen. Damit ließe sich bereits die Resonanzkurve von U1 (ω, t) in einer einfachen Weise auf dem Oszilloskop darstellen. Mit Durchstimmen der Frequenz ändert sich die Amplitude der Spannung. Folglich sieht man eine gefüllte Fläche symmetrisch um die Nulllinie, wobei die Einhüllende der Resonanzkurve entspricht. Dies wäre jedoch keine sehr schöne Darstellung der Resonanz, weil sich nicht das gewohnte Bild einer einzelnen Linie ergibt und die Einhüllende sowohl bei positiver als auch bei negativer Spannung erscheint. Im Folgenden wird deshalb eine bessere Methode vorgestellt, bei der die Spannungsamplitude in ein entsprechendes Gleichspannungssignal umgewandelt wird.Außerdem wird später noch die Funktionaltität eines integrierten Schaltkreises (IC) beschrieben, durch den sich die Spannung analog quadrieren lässt, damit am Ende ein Signal erzeugt wird, welches proportional zur absorbierten Leistung ist. Um die Amplitude der Spannung am Widerstand in ein Gleichspannungssignal umzuwandeln wird die in Abb. 3.2 gezeigte Schaltung verwendet. Ein Kondensator C lädt sich über eine Shottky-Diode auf. Durch die Diode ist dabei nur ein einseitiger Stromfluss möglich, so dass sich der Kondensator C nur in einer Richtung auflädt und nach einigen Perioden die Scheitelspannung anliegt, wel che dann als Signal abgegriffen werden kann. Zusätzlich ist es jedoch nötig den Kondensator über einen hochohmigen Widerstand R zu entladen, da sonst keine niedrigeren Amplituden gemessen werden können, wenn bereits eine höhere Spannung am Kondensator anlag. Dies hätte zur Folge, dass zwar die ansteigende Seite der Resonanzkurve, nicht aber die abfallende Flanke aufgenom men werden könnte. In Abb. 3.3(a) ist der zeitliche Verlauf der Spannung am Kondensator C bei fester Anregungsfrequenz fs aufgetragen. Zusätzlich ist in Abb. 3.3(b) noch die Anregungsspannung durch den Frequenzgenerator dargestellt. 3.2: Schaltbild Auf Grund nichtlinearer Eigenschaften der Diode soll hier Abbildung um die Amplitude einer auf eine exakte mathematische Behandlung des SignalverWechselspannung in ein laufs verzichtet werden. Das Verhalten lässt sich jedoch Gleichspannungssignal umzuqualitativ recht gut verstehen. Wenn die Anregungsspan- wandeln nung einen bestimmten positiven Wert überschreitet, lädt sich der Kondensator relativ schnell auf und entlädt sich danach wieder langsam bis die Anregungsspannung erneut ansteigt. Im Allgemeinen nimmt beim Entladevorgang eines Kondensators seine Spannung ex ponentiell ab. Dabei ist nach der Zeit τ = RC die Spannung auf den Anteil 1/e des Anfangswerts gesunken. Zwar kann hier wegen der periodischen äußeren Anregung nicht von einer exponentiellen Entladung ausgegangen werden, aber es lässt sich folgern, dass 13 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung die Wahl des Widerstands R und der Kapazität C einen entscheidenden Einfluß auf den Entladevorgang hat. Demnach müssen R und C so gewählt werden, dass sich ein geeigneter Verlauf ergibt. Ist RC zu klein entlädt sich der Kondensator zwischenzeitlich zu stark, wodurch der sägezahnförmige Verlauf wie in Abb. 3.3(a) noch ausgeprägter wird. Im Extremfall würde sich der Kondensator sogar jedes mal vollständig entladen. Dies ist zum einen deshalb unerwünscht, weil dadurch der Stromfluss auf den Kondensator beim Aufladen wesentlich größer wird. Damit wäre eine starke Beeinflussung des ursprünglichen Schwingkreises durch die Messung verbunden. Weiterhin soll die Amplitude der Wechselspannung durch ein Gleichspannungssignal wiedergegeben werden, weshalb eine möglichst geringe Schwankung der Spannung am Kondensator wünschenswert ist, sofern die Amplitude der Wechselspannung gleich bleibt. Andererseits darf RC auch nicht zu groß sein, da sonst die Dynamik der Messung zu träge ist, um eine Leistungskurve bei einer sinnvollen Sweepgeschwindigkeit aufzunehmen. Ein Kondensator mit großer Kapazität könnte beispielweise zu lange brauchen um sich aufzuladen, sodass ansteigende Flanken der Absorptionskurven nicht korrekt oder nur verzögert wiedergegeben werden, während die Anregungsfrequenz linear mit der Zeit verändert wird. Genauso werden abfallende Flanken nur verzögert gemessen, falls der Enladevorgang zu lange dauert, weil RC zu groß ist. Geeignete Werte für R und C wurden experimentell unter Beachtung der oben genannten Kriterien ermittelt. Dabei erwiesen sich ein Widerstand von R = 1M Ω und eine Kapazität von C = 10nF als geeignet. Um zu zeigen, dass mit dieser Wahl RC ausreichend groß ist, wurde in Abb. 3.3(a) bis (d) der zeitliche Spannungsverlauf am Kondensator für eine Anregungsfrequenz von fS = 1kHz und fS = 30kHz mit den jeweiligen Anregungsspannungen durch den Frequenzgenerator aufgetragen. Es ist zu erkennen, dass die Schwankungen der Spannung am Kondensator bei fs = 1kHz noch sehr groß sind. Im Vergleich zur Signalstärke machen sie etwa 20% aus. Allerdings ist eine schnelle Abnahme der Schwankungen mit zunehmender Frequenz zu erwarten, da die Entladezeit dann abnimmt. Dies wird durch die Abbildung des Signalverlaufs bei fs = 30kHz bestätigt. Hier kann keine anregungsbedingte Spannungsschwankung mehr erkannt werden. Es ist nur ein gleichbleibendes Signal mit einem stochastischen Rauschen zu erkennen, was die beste Annäherung an den gewünschten Signalverlauf darstellt. 14 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Abbildung 3.3: zeitl. Spannungsverlauf mit der Diodenschaltung für zwei verschiedene Anregungsfrequenzen (obere Hälfte) mit jeweiligem Signal vom Frequenzgenerator (untere Hälfte) Damit RC nicht zu groß ist, wurde im Experiment überprüft, ob sich der Verlauf der Absorptionskurven bei verschiedenen Zeiten für den Frequenzsweep verändert. Dabei wurde insbesondere auf die steilsten Flanken geachtet, denn dort würde sich eine Trägheit des Messverfahrens zuerst bemerkbar machen. Weil sich auch nach Sweepzeiten von mehr als dem 50 fachen der später im Experiment verwendeten keine Veränderung des Verlaufs festgestellen ließ, darf von einer ausreichenden Reaktionsgeschwindigkeit dieser Messmethode ausgegangen werden. 3.3 Leistungsmessung mit einem IC Durch Quadrieren der am Kondensator gemessenen Spannungsamplitude (siehe Abschnitt 3.2) lässt sich ein Signal generieren, welches proportional zur absorbierten Leistung ist. Die Leistung lässt sich dann nach Gleichung 3.1 berechnen. Um das Signal zu quadrieren, wird ein integrierter Schaltkreis (IC) vom Typ AD633JN 15 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung verwendet. Mit diesem können analoge Spannungssignale miteinander multipliziert werden. Die hierfür notwendige Beschaltung ist in Abb. 3.4 gezeigt. Der IC hat insgesamt fünf Pole als Signaleingänge: X1, X2, Y1, Y2 und Z. Das Ausgangssignal W ergibt sich aus der Funktion [4]: W = (X1 − X2)(Y 1 − Y 2) +Z 10V (3.2) Bei der in Abb. 3.4 angegebenen Schaltung werden die Pole für X2,Y2 und Z auf das Masseniveau der Schaltung gelegt, während das Eingangssignal E auf die Pole für X1 und Y1 gegeben wird. Damit folgt für die Ausgangsfunktion: W = E2 10V (3.3) Das Signal wird demnach wie gewollt quadriert und um einen zusätzlichen Faktor skaliert. Für die Spannungsversorgung des IC wird eine externe Spannungsquelle mit +15V und -15V benötigt. Diese wurde im Experiment durch Netzgeräte realisiert. Dabei wurde festgestellt, dass für Eingangssignale von weniger als 4V Amplitude die korrekte Funktion des IC auch schon bei einer Versorgungsspannung von ±9V gewährleistet ist. Im endgültigen Aufbau wird daher die Spannungsversorgung Abbildung 3.4: Beschaltung des IC zur Signalquadurch 9V Batterien sichergestellt drierung [4] (vgl. Abschnitt 4). 3.4 Vergleich der Messung mit den theoretischen Erwartungen Um zu zeigen, dass der experimentelle Aufbau zu den gewünschten Kurvenverläufen führt, werden nun die gemessenen Kurven dargestellt und mit den theoretisch zu erwartenden Werten, die sich aus den in Abschnitt 2 beschriebenen Formeln ergeben, verglichen. Dazu wird zunächst ein einzelner Schwingkreis betrachtet. Die Amplitude des Stroms I0,1 (ω) innerhalb des RLC-Kreis ergibt sich theoretisch nach Gleichung 2.3. Es muss aber beachtet werden, dass der gesamte Widerstand im Schwingkreis nicht nur aus dem Widerstand R1 = 100Ω besteht. Zusätzlich ist noch der Innenwiderstand des Frequenzgenerators von 50Ω und der Widerstand der Spule von 2.6Ω sowie die geringen 16 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Widerstände der Leitungen zu berücksichtigen. Unter Vernachlässigung der Leitungswiderstände ist theoretisch ein Gesamtwiderstand von RGes = 152.6Ω zu erwarten. Für die Amplitude des Stroms gilt damit: I0,1 (ω) = p 1 2 RGes + (ωL1 − 1/ωCe1 )2 · |U0 | (3.4) Die Amplitude des zugehörigen Spannungsabfalls am Widerstand R1 ergibt sich dann mit dem Ohmschen Gesetz zu: R1 U0,1 (ω) = p 2 · |U0 | RGes + (ωL1 − 1/ωCe1 )2 (3.5) In Abb. 3.5 ist der gemessene Spannungsverlauf des einzelnen Schwingkreises für die verschiedenen Kondensatoreinstellungen C über der Frequenz aufgetragen. Die Eichung der Frequenzachse erfolgte dabei unter Kenntnis der Sweepgeschwindigkeit, die hier und in allen weiteren Messungen jeweils 59kHz betrug. 1.9s Weiterhin ist jeweils der theoretische Kurvenverlauf eingetragen, welcher sich mit Gleichung 3.5 und Verwendung der vom Hersteller angegebenen Größen der einzelnen Bauteile ergibt. In der Abbildung zeigt sich, dass die Messdaten durch die Theoriekurven bereits recht gut beschrieben werden. Jedoch sind gewisse Abweichungen festzustellen. Deshalb wurde zusätzlich noch an jede Messreihe die Funktion aus Gleichung 3.5 gefittet, wobei die Größen R1 , RGes , L1 und Ce1 als Fitparameter gewählt wurden. In den Abbildungen lässt sich erkennen, dass die Funktionen aus den Fits die Kurven sehr gut beschreiben. Als Ursache für die Abweichung der Theoriekurven wurde die Toleranz der Bauteile identifiziert, welche für jedes Bauteil ±5% beträgt. Obwohl das Fitten auf Grund der großen Abhängigkeit der einzelnen Parameter sehr stark fehlerbehaftet ist und die Ergebnisse stark mit den Anfangsbedingungen varrieren, liegen die meisten Werte im Toleranzbereich (siehe Anhang A). Lediglich die Zahlen für die Kapazitäten Ce1 sind etwas zu groß. Beispielsweise liegt für C = 330nF der gefittete Wert bei Ce1 = 86.4nF , während theoretisch nur Ce1 = 76.7nF zu erwarten sind. Dies hängt wahrscheinlich mit den Lötverbindungen auf der Platine zusammen, durch die die Kapazität des Schwingkreises etwas erhöht sein könnte. Die Abweichung der Bauteile im Rahmen ihrer Toleranz kann demnach durchaus als mögliche Erkärung für die Abweichung zur Theorie in Betracht gezogen werden. 17 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Abbildung 3.5: Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz für einzelne RLC-Kreise mit verschiedenen Kapazitäten C Ein anderer Effekt, der nicht berücksichtigt wurde, könnte durch die Amplitudenmessung mit Aufladen eines Kondensators über eine Diode (vgl. Abschnitt 3.2) gegeben sein. Charakteristisch für eine Diode ist ihre Strom-Spannungs-Kennlinie. Nach dieser muss bei einem bestimmten Strom durch die Diode auch eine gewisse Spannung an der Diode anliegen. Diese Spannung steht dann zum Aufladen des Kondensators nicht zu 18 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Verfügung, so dass dieser nicht ganz die Spannungsamplitude erreicht. Auf Grund dieser Überlegung wurde keine herkömmliche Halbleiter-Diode, sondern eine Schottky-Diode verwendet, weil bei dieser die Kennlinie einen anderen Verlauf hat und sich somit nur ein sehr geringerer Fehlbetrag für die Spannung ergeben müsste. Um den Einfluss der Diode wenigstens geringfügig zu berücksichtigen wurde versucht, eine konstante Spannung K zu U0,1 (ω) hinzuzuaddieren und als weiteren Fitparameter genauer zu bestimmen. Die Werte für K waren alle negativ, was durch die vorangegangene Überlegung zu erwarten ist, allerdings varierten die einzelnen Werte sehr stark und ihr Einfluss auf die Kurvenverläufe war nur sehr gering, weshalb der Faktor K im weiteren vernachlässigt wird. Die Werte für R1 sind mit 97 bis 98Ω alle niedriger als der theoretische Wert von 100Ω. Dies könnte ebenfalls ein Hinweis auf den Effekt durch die Diode sein, denn die Spannung U0,1 (ω) wächst linear mit R1 und ein Fehlbetrag in der Spannung würde sich hauptsächlich durch einen kleineren Wert von R1 bemerkbar machen. Als Nächstes werden die aufgenommenen Leistungskurven im einfachen Schwingkreis mit den theoretisch zu erwartenden Verläufen verglichen, um damit die Funktionalität des Aufbaus mit dem IC zu prüfen. Weil kein Intresse an den absoluten Werten der absorbierten Leistungen besteht, wird hier nur das Quadrat der Spannungsamplitude angegeben, womit lediglich die relativen Verhältnisse wiedergeben werden. Zur Berechnung des theoretischen Kurvenverlaufs muss dazu Gleichung 3.5 quadriert 1 wegen der Ausgabefunktion des IC hinzugefügt werden werden und noch ein Faktor 10V (vgl. Abschnitt 3.3). Damit gilt: 2 (ω) = U0,1 R12 1 · 2 · |U0 |2 10V RGes + (ωL1 − 1/ωCe1 )2 (3.6) Neben den theoretischen Kurven wurde auch hierbei wieder versucht eine bessere Be2 schreibung der Messdaten durch einen Fit der Funktion U0,1 (ω) mit den freien Parametern R1 , RGes , L1 und Ce1 zu finden. Die Auftragung der Messwerte mit den Kurven aus der Theorie und dem Fit findet sich in Abb. 3.6. Anhand der Abildungen lässt sich erkennen, dass die Abweichung von Theorie zu Messdaten und Fit viel größer als zuvor ist, weil das Signal quadriert wurde, wodurch die Unterschiede zunehmen. Dieser stärkere Einfluss der exakten Werte auf den Kurvenverlauf äußerte sich insbesondere auch im etwas besseren Konvergenzverhalten beim Fitten an die Werte. Außerdem zeigt sich in den Abildungen, dass die gefitteten Funktionen ebenso wie zuvor die Messdaten ziemlich gut wiedergeben. Die zugehörigen Parameter sind zu denen der ersten Messungen sehr ähnlich, obwohl die Werte für R1 mit 93Ω teilweise etwas zu niedrig sind. Insgesamt ließen sich also auch hier wieder alle Abweichungen mit den in diesem Abschnitt bereits genannten Ursachen erklären. 19 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Abbildung 3.6: Quadrat der Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz für einzelne RLC-Kreise mit verschiedenen Kapazitäten C Schließlich wurden die Messungen der Spannungsamplitude und ihres Quadrats ebenfalls für die Schaltung mit zwei gekoppelen Schwingkreisen durchgeführt. Als Erstes wird nur die Amplitude der Spannung untersucht. Aus einer ähnlichen 20 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Überlegung wie beim einzelnen Schwingkreis ergibt sich mit Gleichung 2.7 für den Spannungsabfall U0,2 (ω) am Widerstand R1 : U0,2 (ω) = p R1 p1 (ω)2 + p2 (ω)2 · |U0 | (3.7) Dabei muss aber noch der Gesamtwiderstand RGes des ersten Schwingkreises, welcher nicht identisch ist mit R1 , berücksichtigt werden. Es gilt deshalb: R2 /(ωC)2 R22 + (ωL2 − 1/(ωCe2 ))2 (1/ωC)2 )(ωL2 − 1/(ωCe2 )) p2 (ω) = ωL1 − 1/(ωCe1 ) − 2 RGes + (ωL2 − 1/(ωCe2 ))2 p1 (ω) = RGes + (3.8) (3.9) Für RGes ist wieder ein theoretischer Wert von 152.6Ω zu erwarten, wenn die Leitungswiderstände vernachlässigt werden. Der Widerstand R2 im zweiten Schwingkreis sollte idealerweise verschwinden. Durch die Spule L2 sollte der Widerstand R2 jedoch mindestens 2.6Ω betragen. Die gemessenen Werte mit den jeweiligen theoretischen Kurvenverläufen nach Gleichung 3.7 sind in Abb. 3.7 aufgetragen. Darin ist zu sehen, dass die Theoriekurven die Messdaten bereits ziemlich gut beschreiben. Für schwache Kopplungen zeigt sich aber eine geringere Tiefe des Einschnitts an der Resonanzfrequenz bei den gemessenen Werten im Gegensatz zu den Theoriekurven. Naheliegend wäre als Ursache dafür eine zu große Trägheit der Messung anzunehmen, sodass die schnelle Änderung nicht ganz korrekt wiedergegeben wird (vgl. Abschnitt 3.2). Durch Variation der Messgeschwindigkeit konnte dies aber widerlegt werden. Geht man von gewissen Abweichungen der einzelnen Parameter von ihren theoretischen Werten als Erklärungsansatz aus, so kann aus den Beobachtungen in Abschnitt 3.1 vermutet werden, dass besonders Änderungen der Größe R2 einen großen Einfluss auf die Tiefe des Einschnitts an der Resonanz haben müssten. Damit die gemessene Kurve an der Resonanz höher liegt müsste R2 größer sein als der theoretisch angenommene Wert von 2.6Ω. Um das Verhalten näher zu untersuchen wurde versucht, ebenso wie bei den vorigen Messungen, eine Funktion mit den Größen der Bauteile als freie Parameter an die Daten zu fitten. Während es vorher mit nur einem Schwingkreis und nur vier Parametern schon schwierig war einen vernünftiges Ergebnis beim Fitten zu bekommen, gelang es hier nicht mit den möglichen sieben Parametern eine Funktion zu fitten. Als Ursache dafür ist vermutlich nicht allein die Zahl der Fitparameter zu nennen, sondern ebenfalls die starke Abhängigkeit der Werte voneinander, womit ein schlechtes Konvergenzverhalten verbunden ist. 21 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Abbildung 3.7: Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz für zwei gekoppelte Schwingkreise mit verschiedenen Kopplungsstärken Deshalb konnte nur ein Teil der Größen als freie Parameter zum Fitten gewählt werden. Dabei wurden für eine numerische Anpassung die Größen R2 , L1 , L2 , Ce1 , Ce2 gewählt, während die Werte für R1 und RGes mit Hilfe der Ergebnisse aus den vorigen Fits abgeschätzt wurden. 22 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung Im Gegensatz zu den Fitergebnissen beim einfachen Schwingkreis, zeigen sich hier immer wieder vereinzelt große Abweichungen von den Theoriewerten, die nicht mit den Toleranzen der Bauteile erklärt werden können. Auffällig ist hierbei besonders der Wert für R2 , welcher wie erwartet höher als der theoretische Wert liegt. Allerdings überschreitet R2 den zuvor angenommenen Widerstand von 2.6Ω etwa um das Doppelte. Beim Vergleich von Theoriekurven und Fit in Abb. 3.7 stellt sich heraus, dass die gefitteten Funktionen die Messdaten besser beschreiben, obwohl die Kurven nicht ganz so gut auf den Messpunkten liegen wie bei den früheren Messreihen. Vielleicht ist die Ursache dafür im nur eingeschränkten Fit zu suchen durch den nicht alle relevanten Parameter optimal an die Messdaten angepasst werden. Möglicherweise würde bei einem vollständigen Fit aller Parameter auch die teilweise zu große Abweichung von den Theoriewerten verschwinden. Nachdem der Spannungsverlauf untersucht wurde, wird nun das Quadrat der Span1 nungsamplitude beobachtet. Dazu wird Gleichung 3.7 quadriert und der Faktor 10V wegen der Ausgabefunktion des IC hinzugefügt. Damit gilt: 2 (ω) = U0,2 R12 1 · · |U0 |2 10V p1 (ω)2 + p2 (ω)2 (3.10) Die gemessenen Werte sind mit den Theoriekurven und den Fits in Abb. 3.8 dargestellt. Für die gefitten Funktionen wurden die selben Parameter als variabel gewählt, wie bereits beim einfachen Spannungsverlauf. Die Abschätzung der verbleibenden Parameter erfolgte ebenfalls mit den vorangegangenen Ergebnissen. Es lässt sich feststellen, dass die Unterschiede zwischen den theoretischen Kurvenverläufen und den Messpunkten durch die Signalquadrierung zunehmen. Weiterhin ist auch wieder eine bessere Beschreibung der Messdaten durch die gefitteten Funktionen zu beobachten. Es ließ sich jedoch teilweise eine recht große Abweichungen zwischen den theoretischen Werten und den Fitergebnissen erkennen. Insbesondere der Wert R2 ist zweimal bis dreimal größer als der theoretisch erwartete Wert. Dies kann sicher nicht mehr nur mit den Toleranzen der Bauteile oder den eingeschränkten Fits erklärt werden. Eine weitere Auffälligkeit zeigt sich außerdem bei starker Kopplung der Schwingkreise. Besonders bei C = 33nF sind die Amplituden der beiden aufgespaltenen Resonanzen nicht ungefähr auf gleicher Höhe, wie es bei der gefitteten Funktionen und der Theoriekurve der Fall ist. Solch ein Verhalten kann zwar durch die Funktion in Gleichung 3.10 schon wiedergegeben werden, falls es Unterschiede zwischen den Induktivitäten und Kapazitäten in den verschiedenen Schwingkreisen gibt. Es konnte aber keine bessere Beschreibung der Daten, als mit den hier vorgestellten gefitteten Funktionen erzielt werden. Deshalb bleibt auch die Ursache für diese Abweichung unklar. Insgesamt lässt sich jedoch zu allen Messungen sagen, dass einige mögliche Erklärungen für die Abweichungen zur Theorie gefunden wurden. Außerdem sind die Unterschiede 23 3 Experimentelle Realisierung der Schaltung keinesfalls so gravierend, dass sich nicht die wesentlichen Parallelen zu EIT erkennen ließen. Abbildung 3.8: Quadrat der Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz für zwei gekoppelte Schwingkreise mit verschiedenen Kopplungsstärken 24 4 4 Der Aufbau als Vorlesungsexperiment Der Aufbau als Vorlesungsexperiment Nachdem zuvor die Aspekte der elektronischen Schaltung ausführlich diskutiert wurden, soll jetzt auf das äußere Design des Aufbaus zur Demonstration in der Vorlesung eingegangen werden. Da die elektronischen Bauteile sehr klein sind, wurden die wichtigsten Elemente der Schaltung (siehe Abb. 2.1) auf einer Holzplatte aufgezeichnet, damit auch im hinteren Bereich des Hörsaals alle wesentlichen Teile des Experiments erfasst werden können. Damit der Aufbau frei stehen kann sind an der Rückseite zwei Holzkeile angebracht. Diese bewirken eine leichte Verkippung der Platte nach hinten, wodurch einerseits ein Umfallen nach vorne vermieden wird und die Zuschauer im meist schräg ansteigenden Hörsaal senkrecht auf die Vorderseite blicken können. Auf der Rückseite der Platte befindet sich in einem Kunststoffgehäuse die elektronische Schaltung (siehe Abb. 4.1). Von dem Gehäuse gehen zwei BNC-Kabel aus. Diese stellen über Verbindungsstecker einen BNC-Anschluss mit der Bezeichnung In“ für die Anre” gungsspannung vom Frequenzgenerator und einen BNC-Anschluss mit der Bezeichnung Out“ für die Leistungsdarstellung auf dem Oszilloskop auf der Vorderseite der Platte ” bereit. Außerhalb des Gehäuses befindet sich außerdem noch ein von der Vorderseite zugänglicher Kippschalter mit dem die Schwingkreise entkoppelt werden können. Über zwei Drähte ist er mit der Schaltung im Gehäuse verbunden. Abbildung 4.1: Rückansicht des Aufbaus für die Vorlesung 25 4 Der Aufbau als Vorlesungsexperiment Weiterhin befindet sich eine Bohrung im Gehäuse, durch die der Drehschalter zum Verändern der kapazitiven Kopplung C zur Vorderseite hindurchgeführt ist. Für die Spannungsversorgung des IC werden zwei hintereinander geschaltete 9V Batterien verwendet. Über einen Mittelabgriff wird das Massepotential der Schaltung festgelegt. Die beiden äußeren Pole liefern dann ±9V gegenüber dem Massepotential. Wie bereits in Abschnitt 3.3 erwähnt zeigte sich im Experiment, dass diese Spannung für Anregungsamplituden von weniger als 4V für die Spannungsversorgung des IC ausreicht. Die Batterien befinden sich direkt neben dem Gehäuse in einem kleinen Kästchen und können leicht herausgenommen oder eingesetzt werden. Nach den Datenblättern des Herstellers liegt der Stromverbrauch des IC zwischen 4 und 6mA. Mit der Ladung einer handelsüblichen 9V Batterie von ca. 600mAh sollte ein Dauerbetrieb von 100 bis 150 Stunden möglich sein. Es ist dabei noch zu beachten, dass der IC auch dann Strom verbraucht, wenn kein Signal vom Frequenzgenerator anliegt. Denn dies entspricht einem Signal mit Spannung Null und einem gewissen stochastischen Rauschen, welches vom IC umgewandelt wird. Deshalb ist es zu empfehlen die Batterien nur während des Experiments einzulegen. Auf den Einbau eines äußeren Schalters und eines Kontrolllämpchens, um die Spannungsversorgung zu kontrollieren, wurde verzichtet. Damit wäre ein zusätzlicher Spannungsabfall verbunden gewesen, wodurch die resultierende Versorgungsspannung am IC nicht mehr ausreichen würde. Zur Inbetriebnahme des Experiments werden neben dem Aufbau aus Abb. 4.1 noch ein Frequenzgenerator mit Sweep-Funktion und ein Oszilloskop, von dem die Messkurven auf einen Beamer übertragen werden können, sowie zwei Steckdosen benötigt. Zwei BNC-Kabel werden außerdem zum Anschluss von Oszilloskop und Frequenzgenerator an das Experiment gebraucht. Zusätzlich ist ein drittes BNC-Kabel für die ext. Triggerung des Oszilloskops durch den Frequenzgenerator nötig. Ansonsten werden keine weiteren externen Komponenten für die Durchführung gebraucht. Für eine sinnvolle Vorführung des Experiments empfiehlt es sich, die Anregungsspannung auf 8V pp einzustellen, um einerseits ein gutes Signal zu Rauschverhältnis zu haben und andererseits die korrekte Funktion des IC zu gewährleisten. Der Bereich in dem die Anregungsfrequenz für eine geeignete Darstellung der Kurven durchlaufen werden sollte, beträgt 1 bis 60kHz. Als Sweeptime sollte 200 bis 300ms gewählt werden, damit nicht zu lange Wartezeiten während der Durchführung auftreten und trotzdem die Reaktion der Messschaltung nicht zu träge ist. Idealerweise ist die Sweeptime mit der Zeitskala des Oszilloskops abzustimmen. Kann auf dem verwendeten Oszilloskop beispielsweise eine Zeitspanne von 250ms angezeigt werden, so sollte die Sweeptime ebenso groß oder sogar etwas größer sein, um störende Randeffekte beim Zurückfahren der Frequenz auszublenden. 26 5 5 Zusammenfassung Zusammenfassung Im Rahmen dieser Bachelorarbeit wurde eine EIT analoge elektronische Schaltung wie in [3] beschrieben aufgebaut. Dabei wurden zunächst geeignete Werte für die einzelnen Komponenten ermittelt. Es wurden außerdem Messtechniken entwickelt mit denen die Darstellung der absorbierten Leistung einfach und schnell erfolgen kann. Dazu wurde eine Schaltung entwickelt mit der die Amplitude eines Wechselsspannungssignals in ein Gleichspannungssignal umgewandelt wird. Unter Verwendung eines IC kann dieses dann in ein Leistungssignal umgewandelt werden. Weiterhin wurde durch Vergleich von experimentellen Messdaten und theoretischen Kurvenverläufen gezeigt, dass die Methoden zur Leistungsmessung funktionieren. Zusätzlich konnten einige Ursachen für die geringen Abweichungen der Messungen von den theoretischen Kurven gefunden werden. Schließlich wurde noch das Design für ein Vorlesungsexperiment erstellt, mit dem sich die relevanten Kurven mit wenigen Handgriffen sinnvoll darstellen lassen und die wesentlichen Aspekte des Experiments für Studenten leicht zu erfassen sind. 27 A A Parameter zur numerischen Regression Parameter zur numerischen Regression C [nF ] R1 [Ω] RGes [Ω] L1 [mH] Ce1 [nF ] 470 96.7 154.7 1.03 89.4 330 97.8 153.9 1.00 86.4 Fitparameter 180 100 98.3 97.5 153.6 152.6 1.00 0.97 72.1 56.7 56 98.3 155.2 1.02 38.6 33 97.8 156.7 1.04 25.7 470 100 152.6 1.00 82.5 Parameter Theorie 330 180 100 56 100 100 100 100 152.6 152.6 152.6 152.6 1.00 1.00 1.00 1.00 76.7 64.3 50.0 35.9 33 100 152.6 1.00 24.8 Tabelle A.1: Parameter zu den Kurven in Abb. 3.5 C [nF ] R1 [Ω] RGes [Ω] L1 [mH] Ce1 [nF ] 470 95.3 155.5 1.00 90.2 330 95.3 155.5 1.00 85.1 Fitparameter 180 100 95.3 92.8 155.5 152.2 1.00 0.96 70.9 57.0 56 92.5 152.0 0.99 40.1 33 93.2 154.5 1.02 28.0 470 100 152.6 1.00 82.5 Parameter Theorie 330 180 100 56 100 100 100 100 152.6 152.6 152.6 152.6 1.00 1.00 1.00 1.00 76.7 64.3 50.0 35.9 33 100 152.6 1.00 24.8 Tabelle A.2: Parameter zu den Kurven in Abb. 3.6 C [nF ] R1 [Ω] RGes [Ω] R2 [Ω] L1 [mH] L2 [mH] Ce1 [nF ] Ce2 [nF ] 470 95 154.6 5.3 1.02 1.05 85.6 80.6 330 95 154.6 5.3 1.02 1.03 79.6 76.0 Fitparameter 180 100 95 95 154.6 154.6 5.0 7.5 1.02 1.04 1.03 1.10 66.3 51.1 64.4 47.3 56 95 154.6 4.8 1.05 0.98 35.0 37.7 33 95 154.6 5.3 1.06 0.92 23.7 26.7 470 100 152.6 2.6 1.00 1.00 82.5 82.5 Parameter Theorie 330 180 100 56 100 100 100 100 152.6 152.6 152.6 152.6 2.6 2.6 2.6 2.6 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 76.7 64.3 50.0 35.9 76.7 64.3 50.0 35.9 Tabelle A.3: Parameter zu den Kurven in Abb. 3.7 28 33 100 152.6 2.6 1.00 1.00 24.8 24.8 A C [nF ] R1 [Ω] RGes [Ω] R2 [Ω] L1 [mH] L2 [mH] Ce1 [nF ] Ce2 [nF ] 470 95 154.6 5.8 1.00 0.97 85.7 87.8 330 95 154.6 5.9 1.02 0.99 79.5 79.3 Fitparameter 180 100 95 95 154.6 154.6 6.5 10.9 1.02 1.03 1.05 1.15 66.5 53.2 63.7 45.1 Parameter zur numerischen Regression 56 95 154.6 8.5 1.03 1.05 37.5 34.8 33 95 154.6 8.8 1.02 1.02 26.0 24.2 470 100 152.6 2.6 1.00 1.00 82.5 82.5 Parameter Theorie 330 180 100 56 100 100 100 100 152.6 152.6 152.6 152.6 2.6 2.6 2.6 2.6 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 76.7 64.3 50.0 35.9 76.7 64.3 50.0 35.9 Tabelle A.4: Parameter zu den Kurven in Abb. 3.8 29 33 100 152.6 2.6 1.00 1.00 24.8 24.8 B B Gesamte Schaltung Gesamte Schaltung Abbildung B.1: Schematische Darstellung des Schwingkreises mit Schaltung zur Leistungsmessung 30 Literatur Literatur [1] H. Haken, H. C. Wolf, Atom und Quantenphysik: Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen (8. Auflage), Springer 2004. [2] Fabian Beil. Diplomarbeit, Fachbereich Physik, Technische Universität Kaiserslautern, März 2007. [3] C. L. Garrido Alzar, M. A. G. Martinez, P. Nussenzveig. Am. J. Phys. v. 70 (1), Classical Anlog of Electromagnetically Induced Transparency, 10 jul 2001. [4] Analog Devices. Datasheet AD633. 31 Danksagung Ich möchte mich hier noch mal kurz bei den Personen bedanken, durch die diese Arbeit überhaupt zustande gekommen ist. Mein erster Dank gilt Herrn Erwin Nungeßer, meinem ehemaligen Physiklehrer. Er hat bei mir zuerst das Interesse für Physik geweckt und ist nachweislich schuld daran, dass ich mich für ein Physikstudium entschieden habe. Als Nächstes möchte ich mich bei meinen Komilitonen bedanken, die mit mir zusammen so manche Mathe- und Theorievorlesung tapfer durchgestanden haben. Ohne sie wäre ich wahrscheinlich in meinem Studium nicht weit gekommen. Natürlich möchte ich mich auch bei den Mitgliedern der AG Halfmann bedanken. Dabei gilt mein Dank besonders Holger, der mich während meiner Bachelorzeit betreut hat und meine vorläufigen Arbeiten immer verlässlich und zeitnah korrigiert hat. Gerade als es knapp wurde war dies sehr wichtig. Außerdem möchte ich Fabian danken, der sich teilweise sehr viel Zeit genommen hat, um mir die richtigen Techniken zum Löten beizubringen. Weiterhin danke ich noch den Masterstudenten, die immer für meine Fragen offen waren und für ein angenehmes Arbeitsklima gesorgt haben. Vor allem Vladimir hatte für mich immer einige gute Anregungen zum Umgang mit der Elektronik. Ich möchte mich auch noch bei Herrn Halfmann bedanken für die Möglichkeit meine Bachelorarbeit in dieser AG durchzuführen. Zum Schluss danke ich meiner Familie, die mich immer unterstützt hat und stets für mich da war.
