Anwendungen in der Physik

Anwendungen in der Physik
1. In der Elektrotechnik werden Widerstände von Spulen und Kondensatoren durch
komplexe Zahlen ausgedrückt, um der Phasenverschiebung von Strom und Spannung
in diesen Bauteilen Rechnung zu tragen.
Der Widerstand eines Kondensators mit der Kapazität C berechnet sich nach der
Formel
1
RC =
.
iωC
Der Widerstand einer Spule mit der Induktivität L berechnet sich nach der Formel
RL = iωL .
ω = 2πf , wobei f die Frequenz der angelegten Spannung ist.
Werden ohmsche Widerstände, Spulen und Kondensatoren in Serie geschaltet, lässt
sich der Ersatzwiderstand durch Addition der Einzelwiderstände berechnen. Der
Betrag des Ersatzwiderstandes gibt das Verhältnis von Spannung und Stomstärke
im Kreis an (|Rges | = UI ).
Bei den folgenden Aufgaben kann ohne Einheiten gerechnet werden.
Berechnen sie den Ersatzwiderstand einer Serienschaltung aus
(a) einem ohmschen Widerstand mit 5 Ω und einer Spule mit der Induktivität
L = 0,01 H bei einer Frequenz von 50 Hz.
(b) einem ohmschen Widerstand mit 5 Ω und einem Kondensator mit der Kapazität
C = 0,001 F bei einer Frequenz von 50 Hz.
(c) einem ohmschen Widerstand mit 5 Ω, einem Kondensator mit der Kapazität
C = 0,001 F und einer Spule mit der Induktivität L = 0,01 H bei einer Frequenz
von 50 Hz.
Lösung: (a) Rges = 5 + i · 2π · 50 · 0,01 = 5 + πi, |Rges | ≈ 5,9
1
10
(b) Rges = 5 +
= 5 − i, |Rges | ≈ 5,9
i · 2π · 50 · 0,001
π
10
1
+ i · 2π · 50 · 0,01 = 5 + π −
i, |Rges | ≈ 5,0
(c) Rges = 5 +
i · 2π · 50 · 0,001
π
2. Berechnen sie für folgende Schaltungen allgemein den Ersatzwiderstand und diskutieren sie die Abhängigkeit des Ersatzwiderstands von der Kreisfrequenz ω.
(a) Serienschaltung eines ohmschen Widerstands und einer Spule.
(b) Serienschaltung eines ohmschen Widerstands und eines Kondensators.
(c) Serienschaltung eines ohmschen Widerstands, einer Spule und eines Kondensators.
√
Lösung: (a) Rges = R + iωL =⇒ |Rges | = R2 + ω 2 L2 .
Mit steigendem ω nimmt der Widerstand der Schaltung zu. lim Rges = R und
ω→0
lim Rges = ∞.
ω→∞
1
r
1
1
=⇒ |Rges | = R2 + 2 2 .
(b) Rges = R +
iωC
ω C
Mit steigendem ω nimmt der Widerstand der Schaltung ab. lim Rges = ∞ und
ω→0
lim Rges = R.
ω→∞
1
1
(c) Rges = R + iωL +
= R + (ωL −
)i =⇒
iωC
ωC
r
1 2
) .
|Rges | = R2 + (ωL −
ωC
1
ein Minimum. Der Widerstand hat dann den Wert
Der Widerstand hat für ω = √
LC
R.
lim Rges = lim Rges = R.
ω→0
ω→∞
3. Werden ohmsche Widerstände, Spulen und Kondensatoren parallel geschaltet, lässt
sich der Kehrwert des Ersatzwiderstandes durch Addition der Kehrwerte der Einzelwiderstände berechnen. Der Betrag des Ersatzwiderstandes gibt das Verhältnis
von Spannung und Stomstärke im Kreis an (|Rges | = UI ).
Bei den folgenden Aufgaben kann ohne Einheiten gerechnet werden.
Berechnen sie den Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung aus
(a) einem ohmschen Widerstand mit 5 Ω und einer Spule mit der Induktivität
L = 0,01 H bei einer Frequenz von 50 Hz.
(b) einem ohmschen Widerstand mit 5 Ω und einem Kondensator mit der Kapazität
C = 0,001 F bei einer Frequenz von 50 Hz.
(c) einem Kondensator mit der Kapazität C = 0,001 F und einer Spule mit der
Induktivität L = 0,01 H bei einer Frequenz von 50 Hz.
Lösung: (a)
(b)
1
1
1
1
1
= +
= +
Rges
5 i · 2π · 50 · 0,01
5 πi
5π 2 + 25πi
, |Rges | ≈ 2,7
π 2 + 25
1
− 0,1πi
=⇒ Rges = 5
,
0,04 + 0,01π 2
=⇒ Rges =
1
1
1
= + i · 2π · 50 · 0,001 = + 0,1πi
Rges
5
5
|Rges | ≈ 2,7
π
1
1
1
=
−
= i · 2π · 50 · 0,001 +
(c)
i, |Rges | ≈ 241
Rges
i · 2π · 50 · 0,01
10 π
4. Berechnen sie für folgende Schaltungen allgemein den Ersatzwiderstand und diskutieren sie die Abhängigkeit des Ersatzwiderstands von der Kreisfrequenz ω.
(a) Parallelschaltung eines ohmschen Widerstands und einer Spule.
(b) Parallelschaltung eines ohmschen Widerstands und eines Kondensators.
(c) Parallelschaltung einer Spule und eines Kondensators.
2
Lösung: (a)
1
1
1
= +
Rges
R iωL
ωLR
.
+ ω 2 L2
Mit steigendem ω nimmt der Widerstand der Schaltung zu.
=⇒
|Rges | = √
R2
lim Rges = 0 und lim Rges = R.
ω→∞
ω→0
1
1
1
= + iωC = (1 + RCωi)
(b)
Rges
R
R
=⇒
R
|Rges | = √
.
1 + R2 C 2 ω 2
Mit steigendem ω nimmt der Widerstand der Schaltung ab.
Rges =
R
1 + RCωi
=⇒
lim Rges = R und lim Rges = 0.
ω→0
ω→∞
1
1
1
(c)
=
+ iωC = (ωC −
)i
Rges
iωL
ωL
lim Rges = 0 = lim Rges und
ω→∞
ω→0
=⇒
|Rges | =
lim Rges = ∞.
ω→ √ 1
LC
3
ωL
.
− 1|
|ω 2 CL