MATHEMATIK K1 Einige Stichworte: • Bruchrechnen: bei Addition

MATHEMATIK K1
EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR)
Einige Stichworte:
• Bruchrechnen: bei Addition und Subtraktion beide Brüche auf
den Hauptnenner bringen. Man teilt durch einen Bruch, indem
man mit dessen Kehrwert malnimmt.
• Binomische Formeln: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (a + b)(a − b) =
a2 − b 2
• Potenzgesetze gibt es nur für · und :, bei Summen und Differenzen hilft nur Ausklammern. Ansonsten müssen Grundzahlen
oder Hochzahlen gleich sein: am · an = am+n , am : an = am−n ,
am bm = (ab)m , (am )n = amn .
• Steigung einer Geraden durch P1 (x1 |y1 ) und P2 (x2 |y2 ) ist m =
y2 −y1
. Den y-Achsenabschnitt erhält man immer durch Einsetx2 −x1
zen eines Punkts.
• Ein Bogenmaß von 2π entspricht dem Vollwinkel 360◦ . Alles
andere mit Dreisatz. Dass π2 einem rechten Winkel entspricht,
darf man aber wissen.
Die Schaubilder von sin x und cos x muss man jederzeit skizzieren können, um z.B. Gleichungen wie sin x = −1 lösen zu
können.
• Gleichungslösen: abc-Formel, Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Substitution
Ableitungen
Grundlegende Ableitungsregeln:
• Potenzregel: Die Ableitung von f (x) = xn ist f 0 (x) = xn−1 .
0
Spezialfälle: f (x)
0 (konstante Summanden fallen
√ = 1, f1/2(x) =
0
weg); f (x) = x = x , f (x) = 21 x−1/2 ; f (x) = x1 = x−1 ,
f 0 (x) = −x−2 = −1/x2 .
• Faktorregel: (cf )0 = c · f 0 ; konstante Faktoren werden mitgezogen. f (x) = 2x3 , f 0 (x) = 2 · (3x2 ) = 6x2 .
• Summenregel: (f + g)0 = f 0 + g 0 . Bsp.: f (x) = x3 + x2 , f 0 (x) =
3x2 + 2x.
• f (x) = sin(x), f 0 (x) = cos(x), bzw. f (x) = cos(x), f 0 (x) =
− sin(x).
1
2
EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR)
Funktionsuntersuchung
Das volle Programm geht so:
(1) Nullstellen: f (x) = 0 setzen
(2) Extrema: f 0 (x) = 0 setzen; die Lösungen in f (x) einsetzen zum
Ausrechnen der Funktionswerte, und in f 00 (x), um herauszubekommen, ob Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen f 00 (x0 ) < 0:
Hochpunkt; f 00 (x0 ) > 0: Tiefpunkt.
Wichtig: in Funktionen wie f (x), f 0 (x), etc. werden nur xWerte eingesetzt. Eine zweite Ableitung wird niemals nirgendwo
nicht eingesetzt.
(3) Wendestellen: f 00 (x) = 0 setzen und testen, ob f 000 (x0 ) 6= 0 ist.
Tangente an das Schaubild in x0 : die Steigung ist m = f 0 (x0 ), Einsetzen von (x0 , y0 ) mit dem Funktionswert y0 = f (x0 ) gibt den yAchsenabschitt b in y = mx + b.
Vektoren
Stichwörter:
−→
−→
−→
• AB = OB − OA (hinten minus vorne)
• Abstand zwischen P1 (x1 |y1 |z1 ) und P2 (x2 |y2 |z2 ) ist
p
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ).
• Geraden durch zwei Punkte ~x = p~ + t~u. Hier zeigt der Stützvektor p~ auf einen Punkt der Geraden, während der Richtungsvektor ~u zwei Punkte auf der Geraden verbindet. Punktprobe:
Punkt in Gerade einsetzen; stimmt die Gleichung, so liegt der
Punkt auf der Geraden, bei Widerspruch nicht.
• Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
• Linearkombinationen sind Ausdrücke wie a~u + b~v .
• Schnittpunkt von Geraden: Gleichsetzen und Gleichungssystem
lösen. Eindeutige Lösung ergibt den Schnittpunkt. 0 = 0 bedeutet, dass beide Geraden gleich sind, und Widersprüche wie
0 = 1, dass sie sich nicht schneiden. Sind die beiden Geraden
nicht parallel, nennt man sie windschief.
Wahrscheinlichkeit
Pfadregel; Gegenereignis; Baumdiagramm; Erwartungswert
Binomialverteilung bei Bernoulliexperimenten
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3
(1) Berechne
3 4
− =
5 7
(a − 2b)2 =
13 · 17 =
x5 · x7 =
3(a − bc) + b(3c − a) =
2(2x − 1) =
x3 y 5
=
x2 y
1 1
· =
a b
1 1
: =
a b
4% von 40 =
(a − b)2
=
a−b
1 1
+ =
a b
1 1
− =
a√ b
3
64 =
1, 2 m2 + 25 dm2 =
0, 3 · 0, 3 =
2 · 10−5 g =
2 : 0, 1 =
kg
(2) Schätze ab (Extrapunkte für intelligente Näherungen):
√
24 ≈
37 · 43 ≈
√
3
121 ≈
13, 25 · 84, 21 ≈
(3) Forme um nach p:
t=
1+p
.
1−p
(4) Durch welche Eigenschaften zeichnen sich folgende Vielecke aus?
gleichschenkliges Dreieick
Parallelogramm
Drachen
Raute
Trapez
Rechteck
(5) Erkläre den Satz des Pythagoras an einem Beispiel.
(6) Erkläre den Strahlensatz an einem Beispiel.
(7) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wo A(0|0), B(4, 0)
und C(4, 5) ist.
(8) Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Höhe
5 cm, wenn das Quadrat Kantenlänge 6 cm hat.
4
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(9) In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Katheten a =
BC, b = AC und der Hypotenuse c = AB gelten für den Winkel
α = ∠BAC die Gleichungen
sin α =
,
tan α =
.
(10) Berechne eine Wertetabelle für die Gerade y = 2x − 1 und
zeichne sie.
(11) Berechne die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Geraden
durch (7|5) und (9|9).
(12) Gegeben ist f (x) = 21 x2 . Berechne
f (−1) =
f (2) =
0
f (5) =
0
f (−1) =
f 00 (0) =
f (2) =
(13) Bilde die erste Ableitung folgender Funktionen:
1
f (x) = x2 − 3x + 1
g(x) =
x
3
1
h(x) = 2 sin(x)
r(x) = − 2
x x
√
2
f (t) =
g(t) = a t
3t
(14) Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel y = 2x2 − 6x + 3.
(15) Bestimme Nullstellen, Hoch- Tief- und Wendepunkte von
f (x) = x3 − 3x.
(16) Bestimme die Gleichung der Tangente an das Schaubild von
f (x) = x1 in x = 2.
(17) Löse die Gleichung x4 − 3x2 + 2 = 0.
(18) Löse die Gleichung x3 − 5x2 + 6x = 0.
(19) Löse die Gleichung 2(x − 13)(x2 − 81) = 0.
(20) Löse die Gleichung 3 · 2n = 32 .
(21) Wandle in Bogenmaß um:
90◦ =
;
45◦ =
;
360◦ =
(22) Skizziere die Schaubilder von f (x) = sin x und g(x) = cos x. An
welchen Stellen im Intervall 0 ≤ x ≤ 2π gilt cos x = 0?
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(23) Bestimme die Gleichung der Geraden durch A(0| − 1|1) und
B(2|1|1). Liegt C(6|5|1) auf dieser Geraden?
(24) Welche Gleichung hat die x2 -Achse?
(25) Bestimme den Abstand von P (3| − 2|5) und Q(5| − 3|3).
2
(26) Schreibe 34 als Linearkombination von 11 und −1
.
(27) Ergänze das Dreieck A(1|2| − 1), B(2|1|1), C(−1|4|5) zu einem
Parallelogramm.
(28) Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
5 1
4
1
−2
0
0
~x =
+s
und ~x =
+t 2
6
1
7
3
(29) Aus einer Urne mit 4 gelben und 3 roten Kugeln werden zwei
Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man zwei gleichfarbige Kugeln?
(30) In einer Urne befinden sich zwei gelbe und drei blaue Kugeln.
Bei einem Spiel mit einem Einsatz von 50 ct werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen; hat man eine gelbe, gibt es den
Einsatz zurück, bei zwei gelben werden 2 Euro ausbezahlt. Berechne den Erwartungswert für
(a) die Anzahl der gezogenen gelben Kugeln;
(b) die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln;
(c) die Auszahlung;
(d) den Gewinn.
(31) Wie oft muss man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit
von mindestens 99% mindestens eine 6 zu werfen?
(32) Berechne die Wahrscheinlichkeit, beim 10maligen Werfen einer
Münze
(a) keine Zahl
(b) genau eine Zahl
(c) mindestens eine Zahl
zu werfen.
(1) Löse nach p auf:
1+p
x+1=
.
1−p
(2) Berechne, Vereinfache, wandle um:
(a) (1 + x) · (1 + 2x) =
(b) (a + 2bc)2 =
(c) x2 (2x + 3) =
1
(d) 17 − 15
· 32 =
6
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(3) Löse die folgenden Gleichungen:
3
2
x+1= x+2
4
3
2
3x − 4x + 1 = 0
1 2 3
x + x=2
2
2
3
2
3x − 4x + x = 0
2x4 − 3x2 + 1 = 0
(4) Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
f (x)
3x4 − 2x3 + 2
√
√
x− 2
f 0 (x)
2
x
2
3x
+
3
√
2 x
√
(5) Berechne f (4) und f 0 (4) für f (x) = 2 x.
(6) Berechne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von
f (x) = x4 − 2x2 − 3.
(7) Berechne die Extrema von
f (x) = 2x3 − 3x2 + 6.
(8) Berechne den Wendepunkt und die Wendetangente von
f (x) = x3 − 3x2 + 3.
(9) Berechne die Tangente an f (x) = x2 + 1 in x = 2.
(10) Stelle die Gleichung einer Geraden durch die Punkte P (1|2|−1)
und Q(−1| − 2|1) auf.
−→
(11) Berechne den Verbindungsvektor AB der Punkte A(−3|4| − 2)
und B(−4| − 1|2).
1 2
(12) Berechne die Länge des Vektors −2
.
(13) Zeige, dass der Punkt C(0|0|3) auf der Geraden durch A(1|2|1)
und B(2|4| − 1) liegt.
(14) Zeige, dass das Dreieck ABC mit A(1|2|1), B(2|4| − 1) und
C(3|3|3) gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist.
(15) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden
3 −5 3 2
g : ~x = −4 + s 5
und h : ~x = −5 + t −2 .
2
1
3
−1
(16) Wie erkennt man, ob zwei gegebene Geraden parallel sind?
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7
(17) Ergänze A(2| − 1|1), B(3|1|3) und C(−1|2|2) zum Parallelogramm ABCD.
(18) Eine Urne enthält 5 blaue und 7 grüne Kugeln. Es werden
zufällig zwei Kugeln mit einem Griff gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben beide Kugeln die gleiche Farbe?
(19) Ein Schütze trifft sein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Berechne bei 25 Schuss die Wahrscheinlichkeit für
(a) genau 20 Treffer;
(b) mindestens 20 Treffer;
(c) höchstens 18 Treffer;
(d) zwischen einschließlich 19 und 23 Treffer.
8
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Lösungen
(1) Nenner weg; alles mit p auf eine Seite; ausklammern
3
(2) 2x2 + 3x + 1; a2 + 4abc + 4b2 c2 ; 2x3 + 3x2 ; 70
.
1
(3) x = 12; x1 = 3 , x2 = 1; x1 = −4, x2 = 1; x0 = 0, x1 = 13 ,
√
x2 = 1; x1,2 = ±1, x3,4 = ± 2/2.
(4)
f (x)
f 0 (x)
3x4 − 2x3 + 2 12x3 − 6x2
√
√
x − 2 2√1 x
2
− x22
x
2
+ 2√3 x − 32 x2 − 34 x−3/2
3x
0
(5) f (4) =
√4, f (4) = 0,√5 (Kontrolle: 2nd calc dy/dx, dann x=4)
(6) N1 (− 3√|0), N2 (− 3 |0), T1√
(−1| − 4), T2 (1| − 4), H(0| − 3),
W1 (−1/ 3 | − 32/9), W2 (1/ 3 | − 32/9).
(7) H(0|6), T (1|5).
(8) W (1|1); t : y = −3x + 4. Kontrolle mit draw tangent.
1
1
(9) m = f 0 (2)
=− 2 ; P (2|2);
t : y = − 2 x+ 3.
1
2
(10) g : ~x = −1
+r
−→
−1
(11) AB = −5
−→
−2
−4
2
oder g : ~x =
1
2
−1
+r
1
2
−1
.
4
(12) |AB| = 3
1 1
2
2
(13) Punktprobe: C in g : ~x =
+ t −2
einsetzen gibt t = −1.
1
−→
−→
−→
√
(14) |AB| = 3, |AC| = 3, |BC| = 18.
(15) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden
3 −5 3 2
−4
g : ~x =
+s 5
und h : ~x = −5 + t −2 .
2
(16)
(17)
(18)
(19)
1
3
−1
Gleichsetzen ergibt s = −1 und t = 2, also S(1| − 9|1).
Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren
Vielfache
voneinander
sind.
−→
−→
Aus AB = DC folgt D(−1|0|0).
4
20
7
6
42
62
5
· 11
= 132
, p(gg) = 12
· 11
= 132
, p = 132
= 31
.
p(bb) = 12
66
X = Anzahl der Treffer, n = 25, p = 0, 8, also
p(X = 20) = binompdf(25, 0.8, 20) = 0.196,
p(X ≥ 20) = 1 − binomcdf(25, 0.8, 19) = 0.617,
p(X ≤ 18) = binomcdf(25, 0.8, 18) = 0.22,
p(19 ≤ X ≤ 23) = binomcdf(25, 0.8, 23) − binomcdf(25, 0.8, 18) = 0.753.
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1. Probeklausur
(1) Löse folgende Gleichung nach w auf:
u+k+w
r=
m+w
(2) Löse die Gleichung
1 2 1
1
x + x − = 0.
3
6
2
(3) Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
f (x)
√
1 4
x −3 x
2
f 0 (x)
3
5x
sin(x) + πx
(4) Berechne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von
f (x) = x4 − 6x2 + 5.
√
(5) Berechne die Tangente an f (x) = 2 x + 1 in x = 4.
(6) Stelle die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P (3|−2|4)
und Q(2|2| − 1) auf. Liegt der Punkt R(0|10| − 11) auf g?
(7) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden
3 3 1
2
−4
−1
2
g : ~x =
+s
und h : ~x =
+t 1 .
2
0
2
0
(8) Es werden zwei Münzen geworfen.
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass beide Münzen
“Zahl” zeigen?
b) Jetzt werden zwei Münzen 50 mal geworfen. Die Zufallsvariable X zählt, wie oft beide Münzen “Zahl” zeigen. Bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeiten
(a) p(X = 12)
(b) p(X ≥ 12)
und interpretieren Sie diese (die Wahrscheinlichkeit wovon wird
mit p(X = 12) bzw. p(X ≥ 12) berechnet?).