Lösungen Rechnen mit Winkelfunktionen I

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
13.03.2010
Lösungen Rechnen mit Winkelfunktionen I
Ergebnisse
E1 Der Flieger ist etwa 76,604 m über dem Wasser.
E2 Der Anstellwinkel der Leine darf höchstens 11,5370 sein.
E3 Ergebnisse
a) b = 21, 418 cm ; α = 30,667 0 ; β = 59,333 0
b) c = 489,515 m ; β = 40,629 0 ; γ = 49,3710
c)
b = 34,527 cm ; α = 62,767 0 ; γ = 27,233 0
d)
β = 55,00 0 ; a = 9,063 cm ; b = 12,943 cm
e)
β = 49,7 0 ; a = 6,797 cm ; b = 8,008 cm
E4 Ergebnisse
a) h = 30,802 cm ; α = 44,177 0 ; β = 44,177 0 ; γ = 91,647 0
c
b)
β = 32,3 0 ; γ = 115, 4 0 ; h c = 61,183 m ; c = 193,566 m
c)
α = 43,9 0 ; γ = 92,2 0 ; a = 24,565 cm ; b = 24,565 cm ; h c = 17,033 cm
d)
β = 28,3 0 ; γ = 123, 4 0 ; c = 54,973 cm ; b = 31,218 cm ; a = 31,218 cm
e)
b = 146, 4 m ; β = 23,510 ; α = 23,510 ; γ = 132,98 0 ; c = 168, 495 m
E5 Die Tanne hat eine Höhe von 12,017 m.
E6 Die Sonnenstrahlen treffen unter einem Winkel von 7,360 auf den Boden.
E7 Für 250 wird die Treppenwange 5,916 m und die Ausladung 5,361 m.
Für 380 wird die Treppenwange 4,061 m und die Ausladung 3,2 m.
Für 450 wird die Treppenwange 3,536 m und die Ausladung 2,5 m.
E8 Die Treppenwange ist unter einem Winkel von 35,4170 zuzuschneiden.
E9
2
2
a2 + b2
a2 + b2
⎛a⎞ ⎛b⎞
c = a +b ⇔
=1 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =
=1
c2
c2
⎝c⎠ ⎝c⎠
2
2
2
E10 Ergebnisse
a) α = 68,749 0 ; β = 21,2510
b) γ = 42,502 0 ; δ = 137, 498 0
E11 Die Sehne hat eine Länge von 13,382 cm.
E12 Die Dammhöhe beträgt 5,959 m.
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 1 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 2
13.03.2010
Ausführliche Lösungen
Bemerkung zu den Ergebnissen:
Alle Teilergebnisse werden auf drei Stellen hinter dem Komma gerundet.
Da das Endergebnis aus diesen gerundeten Werten gebildet wurde, weicht es
geringfügig von der exakten Lösung ab.
A1 „Fliegen“ hinter dem Motorboot.
Till schätzt vom Boot aus den
l
Anstiegswinkel der 100 m langen, straff
gespannten Schleppleine auf etwa 500 .
α
Wie hoch ist der Flieger etwa über dem
α = 50 0 ; l = 100 m
Wasser?
h
sin ( α ) = ⇔ h = l ⋅ sin ( α ) mit α = 500 und l = 100 m wird
l
h
( )
h = l ⋅ sin ( α ) = 100 m ⋅ sin 500 = 76,604 m
h = 76,604 m
Der Flieger ist etwa 76,604 m über dem Wasser.
A2 Beim „Fliegen“ hinter dem Motorboot an
einer 100 m langen Leine soll aus
l
Sicherheitsgründen die Flughöhe von
20 m nicht überschritten werden.
α
Wie groß darf der Anstiegswinkel der
l = 100 m ; h = 20 m
Leine sein?
h
⎛h⎞
sin ( α ) = ⇔ α = arc sin ⎜ ⎟ mit h = 20 m und l = 100 m wird
l
⎝l⎠
⎛ 20 m ⎞
⎛h⎞
0
α = arc sin ⎜ ⎟ = arc sin ⎜
⎟ = 11,537
⎝l⎠
⎝ 100 m ⎠
h
α = 11,537 0
Der Anstellwinkel der Leine darf höchstens 11,5370 sein.
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 2 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 3
13.03.2010
A3a Skizziere das Dreieck ABC und
berechne die fehlenden Seiten und
Winkel.
γ = 90°
C
a
sin ( α ) =
( 24,9 cm )
2
β
α
a = 12,7 cm
c = 24,9 cm
a = 12,7 cm ; c = 24,9 cm ; γ = 90°
b = c 2 − a2 =
900
b
c
A
B
− (12,7 cm ) = 21, 418 cm
2
a
⎛a⎞
⇔ α = arc sin ⎜ ⎟ mit a = 12,7 cm und c = 24,9 cm wird
c
⎝c⎠
⎛ 12,7 cm ⎞
⎛a⎞
0
α = arc sin ⎜ ⎟ = arc sin ⎜
⎟ = 30,667
⎝c⎠
⎝ 24,9 cm ⎠
β = 90 0 − α = 90 0 − 30,667 0 = 59,333 0
b = 21, 418 cm ; α = 30,667 0 ; β = 59,333 0
A3b Skizziere das Dreieck ABC und
berechne die fehlenden Seiten und
Winkel.
α = 90°
C
γ
a
b
b = 420 m
a = 645 m
a = 645 m ; b = 420 m ; α = 90°
c = a2 − b2 =
sin ( β ) =
( 645 m )
2
β
900
A
c
B
− ( 420 m ) = 489,515 m
2
b
⎛b⎞
⇔ β = arc sin ⎜ ⎟ mit b = 420 m und a = 645 m wird
a
⎝a⎠
⎛ 420 m ⎞
⎛b⎞
0
β = arc sin ⎜ ⎟ = arc sin ⎜
⎟ = 40,629
⎝a⎠
⎝ 645 m ⎠
γ = 90 0 − β = 90 0 − 40,629 0 = 49,3710
c = 489,515 m ; β = 40,629 0 ; γ = 49,3710
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 3 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 4
13.03.2010
A3c Skizziere das Dreieck ABC und
berechne die fehlenden Seiten und
Winkel.
β = 90°
C
a
α
c = 15,8 cm
a = 30,7 cm
a = 30,7 cm ; c = 15,8 cm ; β = 90°
b = a2 + c 2 =
tan ( α ) =
( 30,7 cm )
2
γ
b
900
c
A
B
+ (15,8 cm ) = 34,527 cm
2
a
⎛a⎞
⇔ α = arc tan ⎜ ⎟ mit a = 30,7 cm und c = 15,8 cm wird
c
⎝c⎠
⎛ 30,7 cm ⎞
⎛a⎞
0
α = arc tan ⎜ ⎟ = arc tan ⎜
⎟ = 62,767
⎝c⎠
⎝ 15,8 cm ⎠
γ = 90 0 − α = 90 0 − 62,767 0 = 27,233 0
b = 34,527 cm ; α = 62,767 0 ; γ = 27,233 0
A3d Skizziere das Dreieck ABC und
berechne die fehlenden Seiten und
Winkel.
γ = 90°
α = 35°
c = 12,5 cm
C
900
b
a
β
α
A
c
B
c = 12,5 cm ; α = 35° ; γ = 900
β = 90 0 − α = 90 0 − 35 0 = 55 0
a
sin ( α ) = ⇔ a = c ⋅ sin ( α ) = 12,5 cm ⋅ sin ( 35° ) = 7,170 cm
c
b
cos ( α ) = ⇔ b = c ⋅ cos ( α ) = 12,5 cm ⋅ cos ( 35° ) = 10,239 cm
c
0
β = 55 ; a = 7,170 cm ; b = 10,239 cm
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 4 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 5
13.03.2010
A3e Skizziere das Dreieck ABC und
berechne die fehlenden Seiten und
Winkel.
α = 90°
C
γ
a
b
γ = 40,3°
a = 10,5 cm
β
900
c
A
B
a = 10,5 cm ; α = 90° ; γ = 40,30
β = 90 0 − γ = 90 0 − 40,3 0 = 49,7 0
c
sin ( γ ) = ⇔ c = a ⋅ sin ( γ ) = 10,5 cm ⋅ sin 40,30 = 6,791cm
a
b
cos ( γ ) = ⇔ b = a ⋅ cos ( γ ) = 10,5 cm ⋅ cos 40,30 = 8,008 cm
a
0
β = 49,7 ; c = 6,791cm ; b = 8,008 cm
(
)
(
)
C
A4a Berechne die fehlenden Seiten und
Winkel des gleichschenkligen Dreiecks
ABC mit a = b.
γ
a
b
a = 44,2 cm
hc
c = 63, 4 cm
β
α
A
c
x
B
a = 44,2 cm ; b = 44,2 cm ; c = 63, 4 cm
c
2
2
= 31,7 cm ⇒ hc = a2 − x 2 = ( 44,2 cm ) − ( 31,7 cm ) = 30,802 cm
2
⎛ 30,802 cm ⎞
h
⎛h ⎞
0
sin ( α ) = c ⇔ α = arc sin ⎜ c ⎟ = arc sin ⎜
⎟ = 44,177
b
b
44,2
cm
⎝ ⎠
⎝
⎠
x=
Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich α = β
γ = 1800 − 2α = 1800 − 88,3540 = 91,6460
hc = 30,802 cm ; α = 44,1770 ; β = 44,1770 ; γ = 91,6460
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 5 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 6
13.03.2010
C
A4b Berechne die fehlenden Seiten und
Winkel des gleichschenkligen Dreiecks
ABC mit a = b.
γ
a
b
a = 114,5 m
α = 32,3°
hc
β
α
c
A
x
B
a = 114,5 m ; b = 114,5 m ; α = 32,3°
β = α ⇒ β = 32,3°
γ = 1800 − 2α = 1800 − 64,60 = 115, 40
h
sin ( α ) = c ⇔ hc = b ⋅ sin ( α ) = 114,5 m ⋅ sin ( 32,3° ) = 61,183 m
b
x = a2 − h c2 =
( a = 114,5 m )
2
− ( 61,183 m ) = 96,783 m
2
c = 2 ⋅ x = 2 ⋅ 96,783 m = 193,566 m
β = 32,3° ; γ = 115, 40 ; hc = 61,183 m ; c = 193,566 m
C
A4c Berechne die fehlenden Seiten und
Winkel des gleichschenkligen Dreiecks
ABC mit a = b.
γ
b
c = 35, 4 cm
β = 43,9°
a
hc
β
α
A
c
x
B
c = 35, 4 cm ; β = 43,9°
β = α ⇒ α = 43,9°
γ = 1800 − 2α = 1800 − 87,80 = 92,20
c
= 17,7 cm
2
x
x
17,7 cm
cos ( β ) = ⇔ a =
=
= 24,565 cm
a
cos ( β ) cos ( 43,9° )
x=
b = a ⇒ b = 24,565 cm
hc
⇔ hc = x ⋅ tan ( β ) = 17,7 cm ⋅ tan ( 43,9° ) = 17,033 cm
x
α = 43,9° ; γ = 92,20 ; a = 24,565 cm ; b = 24,565 cm ; hc = 17,033 cm
tan ( β ) =
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 6 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 7
13.03.2010
C
A4d Berechne die fehlenden Seiten und
Winkel des gleichschenkligen Dreiecks
ABC mit a = b.
γ
b
a
hc
h c = 14,8 cm
α = 28,3°
β
α
A
c
x
B
h c = 14,8 cm ; α = 28,3°
α = β ⇒ β = 28,3°
γ = 1800 − 2α = 1800 − 56,60 = 123, 40
tan ( α ) =
hc
x
⇔x=
hc
14,8 cm
=
= 27, 487 cm
tan ( α ) tan ( 28,3° )
c = 2 ⋅ x ⇔ c = 2 ⋅ 27, 487 cm = 54,974 cm
sin ( α ) =
hc
hc
14,8 cm
⇔b=
=
= 31,218 cm
b
sin ( α ) sin ( 28,3° )
a = b ⇔ a = 31,218 cm
β = 28,3° ; γ = 123, 40 ; c = 54, 974 cm ; b = 31,218 cm ; a = 31,218 cm
C
A4e Berechne die fehlenden Seiten und
Winkel des gleichschenkligen Dreiecks
ABC mit a = b.
γ
a
b
a = 146, 4 m
h c = 58, 4 m
hc
β
α
A
c
x
B
a = 146, 4 m ; h c = 58, 4 m
b = a ⇔ b = 146, 4 m
⎛ hc ⎞
⎛ 58, 4 m ⎞
0
⇔ β = arc sin ⎜ ⎟ = arc sin ⎜
⎟ = 23,51
a
a
146,
4
m
⎝
⎠
⎝ ⎠
Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich
sin ( β ) =
hc
α = β ⇔ α = 23,510
γ = 1800 − 2α = 1800 − 47,020 = 132,980
hc
hc
58, 4 m
=
= 134,247 m
tan ( β ) =
⇔x=
x
tan ( β ) tan 23,510
(
)
c = 2 ⋅ x = 2 ⋅ 134,247 m = 268, 494 m
b = 146, 4 m ; β = 23,510 ; α = 23,510 ; γ = 132,980 ; c = 268, 494 m
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 7 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 8
A5 Eine Tanne wirft einen 20 m langen
Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen
dabei unter einem Winkel von 310 auf
die Erde. Wie hoch ist die Tanne?
13.03.2010
h
β
900
x
x = 20 m ; β = 31
h
tan ( β ) = ⇔ h = x ⋅ tan ( β ) = 20 m ⋅ tan 310 = 12,017 m
x
h = 12,017 m
0
( )
Die Tanne ist 12,017 m hoch.
A6 Bei tief stehender Abendsonne wirft
Luise, sie ist 1,55 m groß, auf ebener
Straße einen 12 m langen Schatten.
Unter welchem Winkel treffen die
Sonnenstrahlen auf den Boden?
x = 12m ; h = 1,55 m
tan ( β ) =
h
β
900
x
⎛ 1,55 m ⎞
h
⎛h⎞
0
⇔ β = arc tan ⎜ ⎟ = arc tan ⎜
⎟ = 7,36
x
⎝x⎠
⎝ 12m ⎠
β = 7,360
Die Sonnenstrahlen treffen unter einem Winkel von 7,360 auf den Boden.
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 8 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 9
13.03.2010
A7 Der Steigungswinkel von Treppen soll
laut DIN-Norm für Haupttreppen
250 - 380 , für Nebentreppen 380 - 450
betragen. Die Geschosshöhe beträgt
2,50 m. Wie lang wird die
Treppenwange für 250 ; 380 ; 450 ?
Berechne auch die Ausladung.
h = 2,5 m ; α1 = 250
ng
Wa
w
e
h
α
x Ausladung
tan ( α1 ) =
h
h
2,5 m
⇔ x1 =
=
= 5,361m
x1
tan ( α1 ) tan 250
sin ( α1 ) =
h
h
2,5 m
⇔ w1 =
=
= 5,916 m
w1
sin ( α1 ) sin 250
( )
( )
Ausladung = 5,361m ; Wange = 5,916 m
h = 2,5 m ; α 2 = 380
tan ( α 2 ) =
h
h
2,5 m
⇔ x2 =
=
= 3,2m
x1
tan ( α 2 ) tan 380
sin ( α 2 ) =
h
h
2,5 m
⇔ w2 =
=
= 4,061m
w1
sin ( α 2 ) sin 380
( )
( )
Ausladung = 3,2m ; Wange = 4,061m
h = 2,5 m ; α 2 = 450
tan ( α 3 ) =
h
h
2,5 m
⇔ x3 =
=
= 2,5 m
x3
tan ( α3 ) tan 450
sin ( α 3 ) =
h
h
2,5 m
⇔ w3 =
=
= 3,536 m
w3
sin ( α3 ) sin 450
(
(
)
)
Ausladung = 2,5 m ; Wange = 3,536 m
A8 Um eine Geschosshöhe von 3,20 m
durch eine Treppe zu überbrücken,
stehen für die Ausladung 4,50 m zur
Verfügung.
Unter welchem Steigungswinkel ist die
Treppenwange zuzuschneiden?
h = 3,2m ; x = 4,5 m
tan ( α ) =
h
α
x
⎛ 3,2m ⎞
h
⎛h⎞
0
⇔ α = arc tan ⎜ ⎟ = arc tan ⎜
⎟ = 35, 417
x
x
4,5
m
⎝ ⎠
⎝
⎠
α = 35, 4170
Die Treppenwange ist unter einem Steigungswinkel von 35,4170 zuzuschneiden.
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 9 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 10
13.03.2010
B
A9 Begründe mit dem Satz des
Pythagoras.
c
⎡⎣ sin ( α ) ⎤⎦ + ⎡⎣cos ( α ) ⎤⎦ = 1
2
2
a
α
b
A
C
a
b
; cos ( α ) =
c
c
2
2
Pythagoras : a + b = c 2
sin ( α ) =
2
⎛a⎞ ⎛b⎞
⎣⎡ sin ( α ) ⎦⎤ + ⎣⎡cos ( α ) ⎦⎤ = ⎜ c ⎟ + ⎜ c ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
=
2
a2 b2 a2 + b2 c 2
+
=
= 2 =1
c2 c2
c2
c
D
A10 Skizziere ein Rechteck mit den Seiten
a = 7 cm
und
b = 18 cm
und berechne die Winkel
C
γ δ
β
b
α
A
a
B
a) zwischen einer Diagonalen und den Seiten
a = 7 cm ; b = 18 cm
tan ( α ) =
⎛ 18 cm ⎞
b
⎛b⎞
0
⇔ α = arc tan ⎜ ⎟ = arc tan ⎜
⎟ = 68,749
a
a
7
cm
⎝ ⎠
⎝
⎠
β = 900 − α = 900 − 68,7490 = 21,2510
α = 68,7490 ; β = 21,2510
b) zwischen beiden Diagonalen
α = 68,7490 ; β = 21,2510
γ = 1800 − 2 ⋅ α = 1800 − 2 ⋅ 68,7490 = 42,5020
δ = 1800 − γ = 1800 − 42,5020 = 137, 4980
γ = 42,5020 ; δ = 137, 4980
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 10 von 11
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 11
13.03.2010
A11 Im Kreis mit dem Radius r = 10 cm
gehört zur Sehne s der
Mittelpunkswinkel
α = 84°.
Sehne x
α
2
r
M
Wie lang ist die Sehne?
r = 10 cm ; α = 840
⎛α⎞ x
⎛α⎞
sin ⎜ ⎟ = ⇔ x = r ⋅ sin ⎜ ⎟ = 10 cm ⋅ sin 420 = 6,691cm
⎝2⎠ r
⎝2⎠
Sehne = 2 ⋅ x = 2 ⋅ 6,691cm = 13,382 cm
Sehne = 13,382 cm
( )
Die Länge der Sehne beträgt 13,382 cm.
b
A12 In 50 m Länge soll ein Damm mit
trapezförmigem Querschnitt
aufgeschüttet werden.
Unten soll er 18 m breit sein, oben 8
m. Der Böschungswinkel soll 500
betragen.
h
α
Berechne die Dammhöhe.
x
x
a
Die Länge des Dammes ist für die Höhenberechnung ohne Belang.
a = 18 m ; b = 8 m ; α = 50 0
a − b 18 m − 8 m
x=
=
= 5m
2
2
h
tan ( α ) = ⇔ h = x ⋅ tan ( α ) = 5 m ⋅ tan 500 = 5,959 m
x
h = 5,959 m
( )
Die Dammhöhe beträgt 5,959 m.
Erstellt von R. Brinkmann p30_winkelfunktionen_01_e.doc
08.03.2010 20:55
Seite 11 von 11