Ueber die geometrischen Eigenschaften der

Einleitung.
1.
Begriff des Kreisbogenvierecks.
Unter
Kreisbogenviereck
o
einem
Stellung der Aufgabe.
verstehen
wir
Ebene ausgebreitete, einfach zusammenhängende, von
vier
'
Wird
grenzte Fläche.
Fläche zur Linken
die
Begrenzung so durchlaufen,
bestimmten Reihenfolge aufeinander.
sich unter reellen
erhält.
Wir bezeichnen
a,
b,
c,
und
d
die
in
einer
Kreisbogen be-
dafs das Innere der
so folgen die vier begrenzenden Kreise in einer
liegt,
mögen
eine
Je zwei aufeinanderfolgende Kreisbogen
Winkeln schneiden, so
diese
dafs die
Fläche vier Ecken
Ecken dem Umlaufssinn entsprechend mit
Winkel bezüglich mit
«,
ß,
7,
In den
rf.
wir Windungspunkte beliebig hoher Ordnung zu,
Ecken
lassen
im Innern der Fläche
dagegen keine Windungspunkte.
Werfen wir das Kreisbogenviereck durch
stereo-
graphischc Projektion auf eine Kugel, so liegen die
vier
Begrenzungskreise
in vier
„Kern"
deren Inbegriff wir als
Wir
vierecks bezeichnen.
Ebenen
ab, bc, cd, da,
(K) des Kreisbogen-
stellen ihn
wohl mit Hülfe
des von den Ebenen ein geschlossenen Tetraeders
anschaulichsten
erscheint als
Fig.
„Membran"
'
l
definieren zwölf
„Maafszahlen"
)
Cayley,
II,
p.
sixth
561.
memoir
des Kreisbogenvierecks (K).
diejenige projektive
Fundamentalfläche unsere Kugel
math. Papers
Kern eingehängt
ö
°
1).
Zur Bestimmung derselben wenden wir
an, deren
in diesen
selbst
1.
(Fig.
Wir
Das Kreisbogenviereck
vor.
am
ist.
4,
S.
573
ff.
1
)
Wir bestimmen den Winkel
lipon Quantics, Phil. Transactions,
Klein, Math. Ann.
Maafsbestimmung
(1871).
t.
149, (1859);
Collected
W. Ihlenburg, Über
zweier Ebenen,
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
den Winkel zweier Geraden
fernung zweier Punkte durch den Ausdruck \
B
das Doppel Verhältnis bedeutet,
Stufe
Ebene und
in
einer
log
B, wo
i
=
i/_
die Entist
J
im betreffenden Grundgebilde
das
zwischen den beiden Elementen
desselben,
7
und
erster
zum Fundamental-
die
und den beiden andern Elementen gebildet wird, deren
gebilde gehören,
Winkel oder Entfernung gemessen werden
soll.
Der Winkel zweier aufeinanderfolgender Ebenen unseres Kernes
wird infolge dieser Mafsbestimmung der elementar gemessene Winkel der
Kugeltangenten
in
diesen
Ebenen,
von
die
einem
Durchstofspunkte
der
Schnittgeraden der Ebenen ausgehen.
Zwei aufeinanderfolgende Ebenen,
in einer
Geraden durch
die
b,
B. ab
z.
Ebenen bc und cd
und
bc,
in einer
schneiden
Geraden durch
Beide Geraden bilden in der Ebene bc einen Winkel miteinander,
als
„Seite" unseres Kreisbogen Vierecks bezeichnen.
wir ab,
bc,
da.
cd,
Liegt
der Scheitel
hörigen Begrenzungskreises, so
sie
c.
den wir
Die Seiten nennen
der Seite innerhalb
des dazu
liegt er aufserhalb,
sie reell,
ist
sich
ge-
so enthält
einen imaginären Teil.
Die Scheitel zweier aufeinanderfolgender Seiten sind zwei Eckpunkte
Ihre Entfernung nennen wir eine
des Tetraeders.
Wir bezeichnen
die
u, ß, y, d;
Kanten mit A,
ab, bc, cd, da;
„Kante"
des Vierecks.
B, G, B.
A, B,
C,
B
sind
die
zwölf Maiszahlen des
Kerns oder des Kreisbogenvierecks.
Sie bleiben bei jeder projektiven Transformation des
welche
die
Kugel
zeichnen wir als
Jede solche Transformation be-
in sich selbst überführt.
Da im
„Bewegung".
Raumes ungeändert,
Sinne der Maisgeometrie die zwölf
Mafszahlen einen Kern bestimmen, haben wir
alle solche
Kerne
als äquivalent
zu betrachten, welche durch eine Bewegung ineinander übergeführt werden
können.
Ebene
Deuten wir
einer
die Ebene, in der die
komplexen Variabein
Transformation
r\ v
=
?],
so entspricht jede
ar)
\.
+o
,
yfj
Membran
in dieser
Ebene. 1 )
zuerst gegeben war, als
Bewegung
einer linearen
Diese Transformation
Kreisverwandtschaft und führt demnach Kreisbogenvierecke wieder
!)
Klein, Math. Ann.
selbst (1875);
9,
ist
in
Über binäre Formen mit linearen Transformationen
Erlanger Programm 1872.
eine
Kreis-
in sich
8
W. Ihlenburg,
bogen Vierecke
Transformation
—
betrachten.
Von den
D
A, B, C,
Membrane,
über.
bilden.
sechs Kanten des Tetraeders
eine
derartige
haben wir
die
Zwei aufeinanderfolgende Kanten liegen
die
Vierseits, die Seiten der
Das
vier
Winkel je zweier aufeinanderfolgender
Membran
sind die
Winkel
je zweier auf-
Membran
Wir bezeichnen
Vierseit besitzt vier Ecken.
bildet, mit
1,
die
% und
enthalten sein können,
-
hinzu.
Setzungen wie
andern entsprechend mit
2,
Study
die
in
Behandlung der sphärischen Trigonometrie.
Von den
Kugel
)
setzen wir eine Durchlaufungsrichtung
beiden Schnittpunkten jeder Kante mit der Kugel
man
bei positiver
Durchlaufung der Kante
an der Kugel von innen nach aufsen gelangt, und nennen
der Kanten
1
des Vierseits und auf jedem Schnittkreise der vier
markieren wir den, an welchem
Reihenfolge
log,
4.
nun zu den Mafszahlen Multipla von
treten
bei seiner
Vierseits mit der
als positiv fest.
3,
Bei Abzahlung dieser Zahlen benutzen wir ähnliche Fest-
Auf jeder Kante
Ebenen des
welche
diejenige,
Durch Anrechnung ganzer und halber Perioden des
D
sind
Vierseit repräsentiert.
den Scheitel von ah
- log
Kanten
Die Mafszahlen des Kreisbogenvierecks sind dem-
auch die des Vierseits.
am
identisch
in einer Ebene.
einanderfolgender Kanten des Vierseits, die Kantenlängen der
nach auch
lineare
welche zusammengenommen ein räumliches
Die Winkel unserer Membran sind
Ebenen des
durch
ineinander überführen lassen, werden wir als
herausgegriffen,
Vierseit
sieb
die
entsprechend
a,
b,
c,
diese
An jedem
d.
dieser
setzen wir als positiven Drehungssinn für die Ebenenwinkel den
Uhrzeigersinn entgegengesetzt
ist,
wenn wir von
Punkte der
aufsen auf die
fest,
Punkte
der
dem
Kugel sehen.
Die vier Geraden des Vierseits denken wir uns im Sinne der projektiven
Geometrie im Unendlichen geschlossen.
Ordnen wir einem Punkt einer Kante einen Drehungssinn zu,
kehrt
sich,
wenn wir den Punkt mitsamt dem Drehungssinn einmal durch
das Unendliche hindurchführen, der Drehungssinn gerade um.
')
Study,
Funktionen".
so
Abh.
„Sphärische
Trigonometrie,
orthogonale
der sächs. Gesellsch. d. Wiss., Bd.
Also gelangen
Substitutionen
XX, 1893.
und
elliptische
Über
die geometrischen
9
Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
wir erst nach zweimaligem Durchgang- zu dem ursprünglichen Punkte zurück.
Dann
Gerade
erst ist die
Mal durchlaufen.
ein volles
Wir bewegen uns nun von Punkt
Richtung nach
Wir
(Fig.
Um
durchlaufen.
in der
2
Ebene
bis
nach 3 weiter gelangen zu können, müssen wir uns
erst
dem Schnittpunkte
B
der Kanten
Liegt
drehen.
Seite
wenn wir über
kreises, so kehrt sich,
gezogene Tangente hinweggehen,
dieser
vom
die
Wir
soll.
die positive
schreiten jetzt auf
C von
Wollen wir nun nach 4 gelangen,
Richtung
in die
Schnittkreises
können wir
so
erst die
in
beliebig
positive
die
viele
volle
b
die
immer vom Innern zum
c,
so fällt deshalb stets
von
müssen wir, da wir uns
Ebene bc um
so
die
Kante C
B
Dabei
Wir
schreiten
Richtung weiter, nachdem
durchmessen
haben.
gelangen wir, in dieser Weise fortfahrend, nach 1, in
Richtung der Kante
in positiver
fällt.
ausführen.
in positiver
bis jetzt in
Richtung des
die positive
dafs
Umdrehungen
wir die Seite cd in positiver Richtung
in die
C.
Richtung des Kreises cd
dann auf dem Vierseit von 3 nach 4
Schnitt-
Richtung der Kante jedesmal
in
JB
des
sie
2 nach 3 in positiver Richtung weiter.
Ebene cd hineindrehen,
bc
Richtung
durchlaufen werden.
oft
ani'serhalb
Gelangen wir nach
Richtung der bewegten Kante
Ebene hc bewegt haben,
in positiver
Scheitel an den Schnittkreis
um, da dieselbe an dem herumwandernden Punkte
Äufsern der Kugel gehen
und C herumdrehen.
gehende Kante beständig mit, indem wir
die durch b
den Scheitel der
die positive
b
Die volle Peripherie kann dabei beliebig
c.
Dabei führen wir
der
Kante beliebig
die
voll
1).
führen hierzu auf dem Schnittkreise den Punkt
herum
um
Dabei können wir
in positiver
oft
auf
bc
B
auf der Kante
1
die
Schliefslich
Ebene bc und
zurück.
Hierbei wird längs der vier Geraden des Vierseits eine geschlossene
Kontur durchlaufen.
vier
Auf
der
Kugel
entsteht ferner ein geschlossener,
von
Kreisbogen gebildeter Linienzug.
Die Begrenzung
dieser Art.
Bei
der
eines
Kreisbogenvierecks
Membran werden wir
auf jedem Kreise den festsetzen,
ist
auch
als positiven
ein
Linienzug
Durchlaufungssinn
der durch den Umlaufssinn der
Membran
angegeben wird.
Jede Kante
möge geometrisch durch
die
auf
der
entsprechenden
Geraden des Vierseits durchlaufene Strecke, jede Seite durch den
Nova Acta XCI.
Nr.
1.
-
durcli-
10
W. Ihlenburg,
laufenen Bogen des
am
die
entsprechenden Schnittkreises, jeder Winkel durch die
entsprechende Kante herum
ausgeführte
Drehung
Ebenen des
der
Vierseits repräsentiert werden.
Perioden
Die
des log zählen wir nun in folgender Weise:
Bei den Winkeln
Schnittkreises
und bei den Seiten, deren Scheitel innerhalb des
messen wir
liegt,
die Multipla
von
.t
in
elementarer Weise.
Liegt aber der Scheitel der Seite ausserhalb oder handelt es sich
eine Kantenlänge, so deuten wir
die Mafszahl durch -
zu bestimmen
/
f
,
D
in der
komplexen Ebene und
wobei der Integrationsweg
um
definieren
in folgender
Weise
(Fig. 2).
ist
Während wir den Endpunkt
andern Endpunkt führen,
auf
einer Seite
dem
zum
Schnittkreis
oder während wir eine Kantenlänge durchlaufen,
durchläuft
I)
in
seiner
Ebene den Integrationsweg.
Sobald aber bei der Seite der Schenkel zur Tangente
wird oder bei der Kante die Kugel durchstofsen wird,
kommt man
an einen singulären Punkt des Integrals.
Dieser Punkt
Richtung
möge dann
entgegengesetzt
bei
die
dem Kreise
positive
die
ä und b gleich 2jt
der
Bogen
Dadurch wird
ab'
volle Peripherie wird gleich
=
2jt.
+ ab,
n
sonst
also für
aa'
=
jt,
Kehrt man auf
Richtung um, so wird die Seitenlänge zwischen
— üb.
Bei der Kantenlänge geht das Doppelverhältnis,
Kugel
in positiver
dem Uhrzeigersinn,
umgekehrt umkreist werden.
die Seite (Fig. 2)
Bewegung
wenn
der laufende
Werten mit entgegengesetztem Vorzeichen
Punkt
die
über.
Daher wird der Integrationsweg um den singulären Punkt herum
und die Kantenlänge wächst bei jedem Durchgang durch
ein Halbkreis,
Kugel
um—,
Vierseits also
durchstöfst, zu
bei
um
einer
2ji,
vollen Durchlaufung der betreffenden
die
Geraden des
da der laufende Punkt dann viermal durch die Kugel geht.
Diesem Vierseit kann noch das Polarvierseit zugeordnet werden,
unter
welchem
polare Figur
zu
die
zum ursprünglichem
verstellen
ist.
Vierseit
hinsichtlich
der
Kugel
In genau entsprechender Weise sind auch
Über
am
11
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
und
Richtungs-
Polarvierseit
zu
Drehungssinn
definieren
und
die
Perioden abzuzählen.
Die zwölf Mafszahlen eines Kreisbogenvierecks sind nicht voneinander
unabhängig.
Wir müssen zunächst
Gesamtheit der algebraisch unabhängigen
die
algebraischen Relationen
aufsuchen, welche zwischen den Sinus und
Kosinus der Mafszahlen bestehen.
In
welche
in
aber
die
Multipla
von
2jt,
den Mafszahlen enthalten sein können, nicht zur Wirkung.
Wenn
so
kommen
Sinus und Kosinus
diesen
wir bei dem zuletzt entwickelten Begriff des Yierseits bleiben,
können wir jeden Winkel, jede
viele Multipla
von
2jt
Seite
und jede Kantenlänge
Dann
vermehren.
besteht
um beliebig
also keine
Abhängigkeit
dieser Multipla voneinander.
Jeder von diesen Linienzügen kann jedoch nicht die Begrenzung
Membran
einer
Bei der
bilden.
Membran geraten deshalb
die
Umlaufs-
zahlen der Seiten in Abhängigkeit von den Winkeln, während die Kanten-
längen noch beliebig viele Multipla von 2n enthalten können.
von
Malen,
Membran
welche
in der
Peripherie
Begrenzung enthalten
einer Seite bezeichnen.
den
volle
die
ist,
eines
Die Anzahl
Begrenzungskreises
wollen wir als
der
Umlaufszahl
Die Relationen, welche die Abhängigkeit zwischen
Winkeln und den Umlaufszahlen der
„Ergänzungsrelationen"
(K) nennen, da
Seiten
sie die
angeben,
wollen
wir
algebraischen Relationen
ergänzen.
Nun
sind die Sinus
und Kosinus der Mafszahlen algebraische Funk-
tionen der Raumkoordinaten, die Mafszahlen selbst aber transzendente
tionen
Wir werden
derselben.
suchung
sprechen,
behandeln,
und Kosinus
den Sinus
"•,
also,
wenn wir
dies
als
die
Funk-
Beziehungen zwischen
„Algebraische Unter-
wenn wir von den Membranen und den Ergänzungsrelationen
dies
als
„Transzendente Untersuchung'-
bezeichnen.
Die
Untersuchuno soll im ersten Teil, die transzendente im zweiten
algebraische
*&'
-
Teil
der Arbeit
geführt
ö
werden.
Ferner sollen im zweiten Teil
alle für
uns in Betracht kommenden Vierecke tatsächlich konstruiert werden.
12
W. Ihlenburg,
Zusammenhang mit der Funktionentheorie.
2.
Für
die
transzendente Untersuchung
Kreisbogenpolygone
uns
gibt
der
Membran versehenen
mit
grundlegende
Funktionentheorie
die
Tatsachen.
Es können
nicht nur Kreisbogenvierecke,
sondern überhaupt Kreis-
bogenpolygone mit beliebig vielen Ecken betrachtet werden.
der
Ecken
sei n,
tj
Ebene des Polygons zu deutende komplexe
eine in der
Geben wir irgend
Variable.
Die Anzahl
Kreisbogenpolygon mit Membran vor, so
ein
wird die
konforme Abbildung
oberhalb
der
desselben
Membran) auf
seiner
(d. h.
die
Achse liegende Hälfte der Ebene einer komplexen
reellen
Yariabcln z durch ein Integral der Differentialgleichung vermittelt:
'
rT
•6
f
2
r
w,
1-
(z
An
(a„
+
wobei
?/",
—
a,)
a,) ..
.
.
.
.
(a„
{z
—
?/',
— a„_i)
4
Ableitungen von
wenn
•
•
(«i
—
««)
+
+ 2i,_^- +
?/
2)
a„)
2
Hierin werden,
reelle
—
—a
(«|
>/
nach
2i,- ä ^- s
.
.
.
+ IAA (K
)
z sind.
je zwei aufeinanderfolgende Kreise des Polygons
Winkel miteinander bilden
sämtlich
reelle
Gröfsen,
Polygons bestimmt werden.
Es
üi
Jedem
Intervalle
«,.
eines Begrenzungskreises.
durch
die
a v+J
gestaltlichen
die
Verhältnisse
sei:
<a-2
<
der
...
< a„.
reellen
In den Punkten
z-
Achse entspricht
a^ ... a„,
ein
Bogen
den singulären Punkten
der Differentialgleichung, aber nur in diesen, wird die Konformität der
bildung unterbrochen.
des
Sie entsprechen den n
Die Fläche eines hinreichend kleinen
um
«,,
Ecken des Kreisbogenpolygons.
in der
z- Ebene
beschriebenen
Halbkreises wird auf die Fläche eines kleinen Kreissektors in der
mit der Winkelöffnung X r 7t abgebildet.
Ab-
?j-
Ebene
Über
Die
13
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Differentialgleichung'
bleibt
Anwendung-
bei
einer
linearen
Transformation
=£a xl
*
ungeändert.
In
Integral.
die
Ist also
ein partikuläres Integral,
Bezug auf
durch
sich
rj
so ist
Differentialgleichung
die
a>?
j^
sind
das allgemeine
deshalb Polygone,
lineare Transformation ineinander überführen
eine
identisch zu
lassen, als
«H/5
betrachten.
Zu jedem vorgegebenen Kreisbogenpolygon
gehört also eine Differential-
gleichung dritter Ordnung.
Geben wir umgekehrt
existieren
bei
eine Differentialgleichung obiger Art vor,
beliebigen Werten
Dabei
Lösungen derselben.
Parameter der Differentialgleichung
der
wird
die
obere
Hälfte
der
auf eiuen einfach zusammenhängenden Bereich abgebildet,
?/
und
reelle
Werte von
vergenzbereichs
z
so
r\,
auch
die
immer
Begrenzung
sämtliche
und machen wir mit Hilfe der Taylorschen
rf reell
Reihe einen Ansatz für
r-Ebene
Wählen wir
der Halbebene auf die Begrenzung dieses Bereichs.
Parameter, auch
so
finden wir aus der Differentialgleichung für
reelle
liegendes Stück
Werte von
der
?;.
Ein innerhalb des Kon-
reellen ^-Achse
wird also durch ein
geeignet gewähltes partikuläres Integral auf ein Stück der reellen >;-Achse.
1
durch ein allgemeines Integral auf einen Kreisbogen abgebildet. )
singulären Punkten a v
An
den
wird die Konformität der Abbildung wieder derart
unterbrochen, dafs in der Begrenzung des Abbildes der halben ^-Ebene ein
Winkel von der Gröfse
Wir
X v -jc
entsteht.
erhalten also durch
Vorgabe eines Polygons nicht nur eine dazu
gehörige Differentialgleichung, sondern auch bei Vorgabe einer Differentialgleichung- ein dazu gehöriges Polygon.
So ergibt sich der Satz
„Jedes Kreisbogenpolygon kann durch ein Integral einer Differentialgleichung
dritter
Ordnung auf
existieren für beliebige reelle
immer Kreisbogenpolygone.
eine
Halbebene abgebildet werden.
Umgekehrt
Werte der Parameter der Differentialgleichung
Im besondern
existieren
Kreisbogenpolygone zu
beliebig vorgeschriebenen Winkeln."
i)
Riemann, Werke,
ges. Abh., S. 226.
2.
Aufl., S.
312
ff.;
Schwarz,
Crelles Journal, Bd. 75 (1872);
14
W. Ihlenburg,
Durch
reelle lineare
Transformation von« können wir in der Differential-
gleichung drei singulare Punkte an beliebige Stellen der reellen 2-Achse
verlegen.
Die übrigen
Punkte kommen dann unter Aufrecht-
singulären
erhaltung der Reihenfolge auch wieder auf die
reelle
Die
die
entstehende
Polygons wie
Differentialgleichung
die
vermittelt
auf eine Halbene.
vorige
Alle Differentialgleichungen,
können, sehen wir deshalb
Unter den n singulären Punkten sind also nur n
dazu kommen die n Gröfsen
wir
als
—
2,
.
.
.
X„
und
die n
Parameter
akzessorische
Differentialgleichung 3w
Es
—3
—3
äquivalent an.
als
A ^
Gröfsen
X u 1,.
^
n
.
.
.
sodafs
(K),
wesentliche Parameter
6
in ein-
wesentliche Parameter,
bezeichnen
Bei drei singulären Punkten sind also
lichen Parameter.
Abbildung desselben
unabhängigen Variabein
die durch reelle lineare Transformation der
ander übergeführt werden
^-Achse zu liegen.
A
,
die
unsere
enthält.
die einzigen wesent-
folgt:
„Ein Kreisbogendreieck
ist
durch seine drei Winkel bestimmt" (K).
Bei vier singulären Punkten erhalten wir einen akzessorischen Para-
später auf elementarem
Werden
Wege
in unserer Differentialgleichung die
die singulären
kommen
Lösungen
rj
Parameter kontinuierlich
kontinuierlich,
Punkte von einander getrennt
bleiben.
wenn nur
Demnach
be-
bilden
ein
wir das wichtige Resultat:
„Sämtliche
möglichen Kreisbogenvierecke
Kontinuum (ebenso wie
alle Dreiecke)."
Dieses Kontinuum der Vierecke
soll
seine Eigenschaften hin untersucht werden.
im zweiten Teil der Arbeit auf
Vor
allen
Dingen wollen wirdas
Kontinuum untersuchen, das unter Festhaltung der Winkel durchlaufen
wenn
wir
bestätigen werden.
verändert, so verändern sich auch die
immer
Parameter, was
Ein Kreisbogenviereck besitzt also sechs
meter.
sich der akzessorische
Parameter von
3.
Zuerst
ist
Riemann
— oo
bis
+ oo
wird,
bewegt.
Historisches.
zu der Differentialgleichung
dritter
Ordnung
gelangt und hat auch die konforme Abbildung, die durch dieselbe vermittelt
wird, zuerst untersucht.
Er hat
in einer
Vorlesung über die hypergeometrische
Über
lo
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Reihe im W.-S. 1858/59 ') ausführlich über die Differentialinvariante und die
Ferner wird in der posthumen Abhandlung
Kreisbogendreiecke gesprochen.
„Über
in der
die
Flächen vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzuiig'
Abhandlung „Beispiele von Flächen kleinsten
Begrenzung"
2
)
Gedanke
der
und
Inhalts bei gegebener
konformen Abbildung
der
;
Kreisbogen-
des
polygons auf die Halbebene vollständig entwickelt.
Im Anschlufs an
Anregung desselben
hat auch H. A.
Kreisbogenpolygone behandelt.
Schwarz
konforme Abbildung der
die
In dieser Hinsicht
„Über
geworden:
grundlegend
Arbeit
Weierstrafs und auf
Untersuchungen von
die
vor allen Dingen die
ist
Fälle,
diejenigen
welchen die
in
Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Funktion ihres vierten
Elementes
darstellt."
Von den
sind
bis
jetzt
nur
in
Untersuchungen über Kreisbogenpolygone
über Kreisbogendreiecke zu einem gewissen
diejenigen
Schilling
F.
)
rein geometrischen
gekommen
Abschlufs
bei
3
Die vollständigsten Untersuchungen finden wir
(K).'
Dissertation
seiner
Theorie der Schwarzsehen
A.
„
):
Beiträge
zur geometrischen
s- Funktion."
Über Polygone mit mehr
nannten Vorlesungen
3
drei
als
von F. Klein
zu
Schön fliefs und von Van VI eck.
Ecken
sind
erwähnen,
zunächst die ge-
ferner
Arbeiten
Aus den Vorlesungen
ist
von
die Be-
handlung der Lameschen Polynome und der anschliefsenden Hermiteschen
Untersuchungen mit Hilfe von Vierecken zu nennen, welche für das
dieser Arbeit
Kapitel
besitzen
grundlegend anzusehen
als
wir die beiden
Arbeiten:
ist.
5
)
Von A.
„Über Kreisbogenpolygone
letzte
Schönfliefs
(erste
Ab-
handlung)" und „Über Kreisbogendreiecke und Kreisbogen Vierecke. -•'
In
der
ersten
Abhandlung behandelt
er
die geradlinigen
Polygone.
Die geradlinigen Polygone mit Membran werden konstruiert und es wird
2)
Riemanns Werken III, S. 79.
Kiemanns Werke, 2. Aufl., XVII, XXVII.
3)
Schwarz,
i)
S.
292
Nachträge zu
— 335
Preisschrift
(1872); ges. Abh.
I,
1867
S.
u.
6 u.
Crelles Journal Bd. 70 S.
II,
S.
105—120
1902.)
(1869), Bd. 75
65—83, 211—259.
573 (1890); Schilling, Math. Ann. 44. S. 161 1,1893).
„Über den Hermiteschen Fall der
*)
F. Klein, Math. Ann. 37,
5)
Vgl. auch F. Klein, Math. Ann. 40 (1891):
S.
(Leipzig. Teubner.
Lameschen Differentialgleichung"; Bocher, Math.Encykl.il, A7a (1900).
6) Math. Ann. 42, S. 377 (1892) u. 44, S. 105 (1893).
16
W. Ihlenburg, Über
die geometrischen
Winkeln des Polygons und der Anzahl
eine Relation abgeleitet zwischen den
von Malen,
die sich das Innere
und
die
Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Begrenzung durch das Unendliche ziehen.
In der zweiten Arbeit werden die allgemeinen von Kreisen begrenzten
Kreisbogenvierecke untersucht.
Die vorliegende Arbeit
soll
zum
Teil diese
Arbeit ergänzen.
Spezielle Fälle
Dissertation
equations
sertation
behandelt und
1
)
of the
second
der Abhandlung:
in
Order
allied
Arbeit
handelt, deren
)
Van Vleck
„On
in
seiner
certain differential
to Hermite's equation."
In der DisIn
werden diejenigen Kreisbogenvierecke erschöpfend be-
Winkel
=—
(mod
jt)
sind.
Zur Kettenbruchentwicklung Lamescher
und ähnlicher Integrale,
Göttingen, Baltimore 1893.
2)
hat
2
werden geradlinige Vierecke mit rechten Winkeln behandelt.
der zweiten
!)
von Kreisbogenvierecken
American Journal of Math. XXI,
p.
126 (1898).
Inaugural-Diss.
Erster Hauptteil:
Algebraische Untersuchung.
Wir
fragen, welches
ist
die
Gesamtheit der algebraisch unabhängigen
algebraischen Relationen
zwischen den Sinus und Kosinus der Mafszahlen
eines Kreisbogenvierecks
und welches
§
ist
ihr Geltungsbereich?
1.
Die Kosinus und Sinus der Mafszahlen.
Wenn
wir Relationen zwischen den
Mafszahlen eines Kreisbogen-
vierecks aufstellen wollen, müssen wir zunächst wissen, wie viele von ihnen
ein
Kreisbogenviereck
bestimmen.
Ein Kreis
in
der
Ebene
besitzt
drei
Parameter, die vier Kreise des Kreisbogenvierecks demnach zwölf Parameter.
Xun
sollen
aber
Kreisbogenvierecke
alle
als
gleichberechtigt
angesehen
werden, die bei jeder projektiven Transformation des Raumes ineinander
übergehen, welche die
rj-
Kugel
in sich überführt.
Da
aber eine allgemeine
projektive Transformation 15 Parameter enthält, eine Fläche zweiten Grades
neun, so
kommen
Parameter,
auf die projektive Transformation der verlangten Art sechs
so dafs wir von den zwölf Vierecksparametern sechs in
zu bringen haben.
Wir
Abzug
erhalten das Resultat:
„Ein Kreisbogenviereck besitzt sechs Parameter".
Den
Ableitung
bei
der
algebraischen
danken hat Herr Professor F. Klein
i
)
Vgl. auch
Nova Acta XCI.
Nr.
1.
Stephanos,
in
Relationen
angewandten Ge-
dem erwähnten Seminar
Bull, de la Societe
mitgeteilt.
Mathem. de France, 1882, X, 134
3
1
)
— 137.
W. Ihlenburg,
18
Wir benutzen das Tetraeder
des Viereckskernes
Koordinaten-
als
tetraeder eines projektivischen Koordinatensystems, dessen Koordinaten wir mit
Auf der Ebene ah
xA bezeichnen.
Xi, Zz, %3,
=
auf der Ebene cd x3
Kugel kann dann
Form
=
=
A
l>c
x2
=
0,
Die Gleichung- unserer
o.
4
4
fix*
auf der Ebene
o,
geschrieben werden:
VT
1
'V
= ^J 2J
Uik Xi Xk
=
°'
i
i
wobei wir
x
auf der Ebene da xx
o,
in der
sei
festsetzen, dai's
a ik
=
a ki
sein soll.
Die Determinante der quaternären Form
und möge mit
R
=
Da
sollen,
11
ir —
ist
«n
a !2
a Vi
ß| 4
Ü<1\
a-22
#23
«24
a 31
«:)2
«33
«34
a^\
«4-2
«43
«44
die Darstellung
Geraden des
vier Determinanten:
die
dritten Grades,
R ik
Kugel
Vierseits die
«, 2
2
— au
zum Element
die
geradlinigen
a-21
,
an
-
reell
— a^a,^,
schneiden
—a
a u i-
33
au
,
= ^* ^< R
it
1
Gleichung unserer Kugel
Wählt man nun
Mal'sbestimmung, so
die
(i
=
als
II,
sixth
p 584.
uu
u.h
w3
,
ua
.
Fundamentalfläche unserer projektiven
der Kosinus der Entfernung zweier Punkte mit
4)
bekanntlich aus der Formel berechnen:
1
)
Qx
^ij
(./,.
//,)
1
Cayley,
=
Ebenenkoordinaten
in
1, 2, 3,
cos
u( uk
1
Kugel
läfst sich
den Koordinaten xu y{
mathem. Papeva
a ik gehörige Unterdeterminante
4
4
)
nicht
so ist bekanntlich
</'„„
J
reellen
positiv.
Bezeichnen wir mit
die
einer
R < 0.
ferner die vier
sind
«44 «11
um
sich
Fläche handelt,
dann symmetrisch
ist
bezeichnet werden, so dafs:
R
Weil es
Q.xx
Sixx-V'^
memoir upon Quantics,
Phil.
Transactions,
t.
149 (1859);
coli,
Über
Hierin bedeutet
Qxy
die Bilinearform:
4
=
&x v
-
4
^j
"Y/
i
a ik
Xi<y k
.
i
Der Kosinus des Winkels zweier Ebenen drückt
duale
Formel aus, wenn
Ebenen
19
geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
die
v{
«,-,
(i
- -
l,
die
Koordinaten der beiden
die
4)
3,
2,
durch
sich
sind:
COS («j,
=
Vi)
-==—===.,
worin
4
4
= ^*
#„r
^£j
1
B
Uj v h
ik
ist.
1
Schneiden wir ferner die Kugel mit einer Koordinaten ebene,
wir
also
dieser
z.
B. x x
=
so
0,
Ebene mit den Linienkoordinaten uu
<Pu„
zu berechnen,
wo R4i
= T*
B
determinante zweiten Grades von
COS
u-2
m
,
:)
S'-Rl4,«««
(lljVi)
n
v.
Form:
Mi
bedeutet.
Es
=
t
—
zweier Geraden
h v 3 mit Hilfe der
vh
;
den Elementen au
zu
die
ik
,
W
des Winkels
der Kosinus
ist
setzen
,
a ik gehörende Unter-
ist:
worin
3
tfW
=
4'
^B
3
^V*
i
H
,
Uj v k
ik
ist,
i
der Kosinus des Winkels der beiden bezeichneten Geraden.
Aus
i
cos J.
Formeln
diesen
=
——
ß-23
-
\/a 22
-r»
cos i?
cos
=
=
•
:
-
'r
ab
=
—
,
,
/~
;
cos
I)
c
cos
cd
-=^7=;
]/ air\/<hz'
=
----
1
,
COS <fa
]
I
,
l/i^,,
—
-IS
22
•
;
•
\/B t 4
;
cos
n
jS
-
= ^j»""f
\/Bi-i,u-\'
-
Bn
,
cos y
=
33
=;
n'
l/j?|
•
1
I/Ä2
-ti)<\
,
1/
COS d
•
-"12
l/-Ki
:
\/B.W
-"11
-
I/-R331 22
'
33
cos«
|
-"241 V\
1/^22.
I
i
-
|/iJ|
^7
! •
-"13,
l/a.,.,
l/«l
—~-
-"42
-,--
\/B u
_---.:
'
cos
\/a 33
ßjl
l/«41
COSD
•
^'U
-
I/033
•-.
ergibt sich:
^22 V
'
B33
"
\/Bi3 -\/Bu
3*
W. Ihlenburg,
20
wo
im Vorzeichen
zwölf Quadratwurzeln
auftretenden
die
ganz
beliebig-
angenommen werden können.
Aus den Kosinus berechnen wir
Relationen
wo P
B
Determinante der
die
P
=\B a \=
ik
bedeutet;
pik
wo
R
zu
Pik die
Pik, im
Grades von
B
P
Rpg
.
sin
=
Br>
\/B^.
,—
i
1/
sin
=
C
«33
'
l/
ffl
sin
;
Wir
1
,
r
öc
=
U
rf
=
+
sin rfi
=
±
sin e
fest,
Dann
über die wir erst
Da
dafs
a it
au
,
die
a 2 2,
positiv,
^'
r-p
"
_Ä^i_
41
sin
a
=
±
8ln
^
=
+
^M^l
1'
#14:
1
treten hier
\
—7=n
]/S-]/Bit,
,
/
iZ-Rl
l/-ß-22' 3ü
Ä^S
•
;
I/-R22
'
;
sin
7
=
+
l^S
;
sin d
=
±
l^Ä
1
I/-R33
1
u
I/-B44
'
Kosinus
genommen werden
noch neue zwölf Vorzeichen
im Verlaufe der Untersuchung eine Festsetzung
im Vorzeichen auch noch willkürlich.
dieselben Vorzeichen
«41
nehmen
der Gleichung der
sie
sonst
Kugel noch
unbestimmt und können
Da nun
\/Wi'\Zau
Kosinus der Kanten A, B,
«33,
komplementäre Unter-
denselben Vorzeichen
sollen wie bei den Kosinus.
\fR ist
Rik, im
dafs bei den Sinus die zwölf schon bei den
mit
erhalten.
zu
,
1/^33,
auftretenden Quadratwurzeln
hinzu,
bedeutet;
gehörende Unterdeterminante zweiten
die
rs
+
|/0S2
setzen
B tm
l/-Rl 1)22
d.D=± ß^L;'
l/«l
ik ,
= ±7j/&^_
sin^
+ ffi^=;
•
P
Mit Hilfe dieser Relationen erhalten wir dann:
ß-^
±
und
bedeutet
determinante von B.
sinA= ±
R2. au
-ft'JXpq, rs
Im
ik,
zu den Elementen
die
=
Bekanntlich gelten die
&
gehörende Unterdeterminante von
ik
-*-
wo
die Sinus.
als
aber
C,
D
sämtlich reell sind, so folgt,
Wir wählen
haben müssen.
beliebig
fest
Dann
an.
die sechs Koeffizienten a n
,
«,,,
a 23
die
bleiben
,
a 34
,
in
a42 a l3
,
Parameter des Viereckskernes aufgefafst werden.
aber die algebraischen Relationen für die Gesamtheit der Vierecks-
kerne gelten sollen, müssen
sie
von diesen Parametern unabhängig
sein, also
Über
den
au
Identitäten
in
Relationen
zwischen
Gleichungen
darstellen, die
Wollen
werden.
den
welche
,
21
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Maiszahlen
demnach
wir
aufstellen,
die
haben
so
algebraischen
den
aus
wir
Kosinus und Sinus der Mafszahlen durch die a it
die
a« nur zu eliminieren.
2.
§
Die algebraischen Relationen und ihr Geltungsbereich.
Wir
getretenen Vorzeichen
diese
Annahme
Es
nun
eliminieren
indem wir
die a ik ,
den Sinus neu hinzu-
alle bei
nehmen und uns hinterher überzeugen,
positiv
bei den von uns betrachteten Vierseiten zulässig
dafs
ist.
ist:
-KlU
42
-Hu,
4-2
«24
77
l/«22«44
=
—
==
=
«24 «33
«23«34
cos
a 6 l/J?44,
cos
A
cos
1
1
•
-Ri
COS J. COS
i ,
=
2-2
B — sin A
sin
cos
B
B
a 33 [/a22«44
«&
A
sin
cos
C
cos
B
a33 l/a2 o«44
cos ab.
Durch zweimalige zyklische Vertauschung
«42
sin
«24«33
D — sin
C
findet
D
sin
man:
cos cd.
l/«44«22
Also
cos
a)
ist:
A
cos
B — sin A
B
sin
cos
ab
=
cos
C
cos
D — sin C
sin_D cos cd
A — sin I)
sin
und nach einmaliger zyklischer Vertauschung:
cos
b)
B
cos
C — sin B
sin
C
cos bc
=
cos I) cos
A
cos da.
Die Ebenenwinkel des Kernes entsprechen dual den Kantenlängen,
die Seitenlängen
für
die Sinus
Relationen
Es
entsprechen
dual
sich
selbst,
wie
und Kosinus der Mafszahlen erkennt.
aufstellen
man aus den Formeln
Man wird also zwei
können, die zu den Relationen
a)
und
b) dual sind.
ist:
-PlU 42
PH
,
42
—
=
^23^34— -^24^33
i?.jR33 ,.i4
=
COS
=
cos y cos
6
BK \/ll n Bu — B u Bi3
cd -ß*|/^22>33"-^33>44
=
COS C«" sin/.sind i?33 l/l?22
R44
W. Ihlenbuvg.
22
Also
ist:
cos 7 cos d
cos
v
sin
a cos ß
—
«
sin
sin
sin
cd
cos
cS
= 77%HuT
,
.
V-ti-n J Ui
man zweimal
Vertauscht
c)
—
zyklisch, so ergibt sich:
ß cos ab
=
cos 7 cos 6
—
sin
v sin 6 cos cd
—
sin
d
und daraus durch zyklische Vertauschung:
—
cos ß cos r
d)
"Wir wollen
Es
;,
=
«
sin
cos «
<)
=
..
j-
.
.
-tl
.
da-
sin «-sin
sin
sin
da
/A
I
ub-\
sin a/>
sin 1) sin J. sin j?-|/
:1:
« cos da.
——
„ 44-7X44,
i,
^-^
=
sin
«
sin
da
sin a7*
^=
sin
|3
sin
ab
sin fre sin
sin 1) sin
da
sin
«
=
sin
^
•
XI)
j, -IT
d
«22«^!
a u a n a 33 « 41
Nach einmaliger zyklischer Vertausehung
e)
sin
1/
#14.11
1
=
cos
ist:
-Kj4 • jKj j
•
sin«
=
y cos bc
sin
nur aus den Ausdrücken für die Sinus der Mafs-
jetzt
zahlen eliminieren.
i'
ß
sin
,
ergibt sieh:
sin I) sin ^i sin j5
sin
A
sin 2? sin C.
bc
sin
C
und hieraus durch zyklische Vertausehung:
sin
A
sin
ß ==
sin
7 sin cd
sin Z*.
E)
sin
B
sin //c sin 7 = —
sin
(5
sin
da
sin ^4.
h)
sin
C
sin
>in
«
sin
ab
sin
f)
und
h)
jedesmal
ti
Da
sind, erhält
die Relationen
Es
cot
C
sin 6
und
:
g),
B.
zueinander dual
Eliminationsprozefs keine neuen Formeln.
weitere Relationen zwischen sechs Mafszahlen ab-
ist:
«l4-/'\l-22
Also
cd
sin
man durch den dualen
Wir können noch
leiten.
e)
ab
+
«31 Rl3i22
+
=
«44^14)22
°-
ist:
sin
B [/au
a ::[
\
11^.^
Biui2 + cosi' ]/a
33
«44- cos
bc
\<
B ]uii
-
833,22
+
»4iJRui22
Über
oder:
•
C
cot
Ferner
sin
B+
B
cos
bc
cos
+
— ^^
J
-
1
""
+
-K|2-P42i33
+
B[oB,:i2,\\
+
=
-^11 -Pl4)33
oder
ii :1 -R
Demnach
1
-?'i 4.
22
=
'
0.
Gleichung:
bestellt die
-"11 -^415 33
#1
23
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
u ,22
+B B
ii
il
,
°
=
i2
0-
ist:
+
cos
(3
i?,
1
,
B22
cos
o b yB u
,
,
|
•
E2i
,
+ cot ß sin
ji
/S
|/jR,
j
J2, 2
(/
Ji 44
,
j
,
li,
,
22
=
oder:
cot
«
+
sin
cos ß cos ef&
-^14.
+
l/J?44i
1
1
• iZ-
^22i
=
gii^.
1 1
'
I/-R22
Also besteht die Gleichung:
cot
C
«
cot
Wir
B+
sin ß +
sin
cos
B
cos
/i
cos bc
\/a u
cos bc
\/BiilU
1/.ZÜ22
|/o 33 l/jR 2 2,33 |/i?i
__
sin
bc
sin
aö
1
erhalten die Relation:
(cot
i)
C
sin
B+
cos jB cos
sin
/;c)
a&
=
(cot
a
sin
Durch zyklische Vertauschung ergeben
Relationen
k),
1)
und
Wir haben
(3
+ cos ß cos a&)
sin
bc
sich hieraus noch drei weitere
m).
zwischen den Kosinus und Sinus der Mafszahlen
jetzt
zwölf Gleichungen aufgestellt,
denen noch zwölf weitere Gleichungen
zu
zwischen den Kosinus und Sinus jeder einzelnen Mafszahl treten:
-4-
=
a
sin 2
1
cos 2 «
USW.
Wenn
diese
Mannigfaltigkeit
24 Relationen dazu ausreichen
der Kosinus
und Sinus
aller
sollen,
in der
24 fachen
zwölf Mafszahlen diejenige
zwölf- dimensionale Mannigfaltigkeit zu bestimmen, welche von den Kosinus
und Sinus der Maafszahlen der Vierseite gebildet wird,
wenn wir
geben,
die
die
so
müssen
sich,
Kosinus und Sinus von sechs geeignet gewählten Mafszahlen
Kosinus
und
Sinus
der
übrigen
sechs
24 Relationen berechnen lassen und zwar eindeutig
Mafszahlen
bis auf die
aus
den
notwendig
r
unbestimmten A orzeichen.
Wir geben, um
a,
ß,
7,
ö
dies
zu zeigen,
und der Seiten da und
ab.
die
Kosinus und Sinus der Winkel
24
W. Ihlenburg,
Aus den Relationen
berechnen,
bc
sin
und
sin
und
c)
lassen
d)
und
sich cos bc
eindeutig
cos er?
cd sind dann auch bestimmt bis auf ihre Vorzeichen.
Zur Berechnung- der Kosinus der Kantenlängen benutzen wir
Relationen
in
i),
k),
1),
m), welche wir jnit Hilfe der Relationen
h) ergibt sich:
„
.
sin
=
B
—cd^
sin
<S
ab
sin
«
sin
,,
.
sin
V
sin
Setzen wir diesen Wert in
C
sin
cd
sin ö
+
cos
Wandeln wir
so erhalten wir vier
i)
so erhalten wir:
ein,
a
=
(cos
die Relationen k),
1),
m)
B
cos bc sin
ab
sin
a
sin
in
ß
cos
ß
sin
a cos ab)
sin bc.
entsprechender Weise um,
wenn wir
die Vorzeichen
von
bc
sin
und
cd festsetzen.
Die Sinus der Kantenlängen sind damit auch
Diese sind jedoch nicht ganz
bestimmt.
gewählt werden
sind
sin
+
Gleichungen, aus denen wir die Kosinus der Kanten-
liingen eindeutig berechnen können,
>in
g ), h)
f),
e),
folgender Weise umwandeln:
Aus
cos
die
-
C
die
,
Vorzeichen der vier Produkte
A
sin
Kante,
so
sin I) sin cd, sin I) sin
eines
Sinus
andern drei
einer
sin
da bestimmt.
müssen auch
Kanten geändert werden,
sondern müssen so
willkürlich,
und
die Relationen a)
dafs
bis auf ihre Vorzeichen
so
b)
A
sin
erfüllt
B
sin
ab,
Andern wir
Demnach
werden.
sin
B
sin
C
sin bc,
also das Vorzeichen
die
Vorzeichen der Sinus der
dafs
nur das Vorzeichen einer
die
obigen Kosinus und Sinus
einzigen Kantenlänge willkürlich bleibt.
Unbestimmt bleiben
geben,
die Vorzeichen
von
also,
wenn wir
sin bc, sin
cd
vom
und
Sinus
einer
beliebigen
Kantenlänge.
Wir untersuchen nun
die
Geltung
unserer Relationen
für
die in
der Einleitung definierten Vierseite.
Wir haben
festzustellen,
Anfang von § 2 über
Vierseite zulässig
die
ob die willkürliche Festsetzung, die wir
am
Vorzeichen der Sinus getroffen haben, für unsere
ist.
Wir gehen von einem
E lerne ntarvierseit
Vierseit
bezeichnen.
Linien in Fig. 1 dargestellt sein.
einfachster
Dasselbe
soll
Art
aus,
durch
die
das
wir
als
verstärkten
Über
Wir drehen zunächst
Ebene
die
=
x-2
um
Der Punkt 2 möge dabei
und nach
wir uns
um
dabei
A
drehbar.
Längen
Seiten
Dreieck
das
jt
Winkel
den
=
o
=o
denken
wir
Werte,
die
in dieser in der
A', B',
C, B',
ab',
der ganz sich im Endlichen erstreckenden
Dreiecks:
dieses
x±
In der Grenze entsteht
Figur erkennbaren Grenzlage annehmen, mit
so sind die
o,
Sie fällt schliefslich
welche die Kanten und die Seiten ab und cd
cd',
—
etwa einen Kreis
Bezeichnen
1 2' 4.
x-,
o zusammenfällt (Fig. 3).
Die Ebene xt
zusammen.
Dreieck
geradliniges
ein
=
a? 4
=o
Ebene x3
gelangen.
Kante
die
auch mit der Ebene
in der
2'
Kante
die
=
des Tetraeders so weit, bis sie mit der Ebene xA
beschreiben
25
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
— A',
x
JB',
Es
ab'.
Fig. 3.
+ D' — C
Ferner besitzt
Relation
die
gilt
der
sphärischen
Trigonometrie
cos (m
=
+ D' — C)
cos
(jc
— A')
+ sin
B'
cos
(jr
— A')
sin
B'
cos ab'
oder
cos(D'
Nun
Da
ist
C")
cos
A'
cos
B'
—
A'
sin
B'
sin
cos ab'.
n.
die Relation
wenn wir
a),
übergeht,
Grrenzlage
der
=
cd
—
die
gilt
in ihr
cd'
Relation
=
n
a)
für
setzen, in die Relation
die
Mafszahlen
des
Elementarvierseits.
man
In entsprechender Weise beweist
Wir wählen
weiter die Grröfsen aik zunächst
des Vierseits im Innern der
dann (Fig.
4)
Kugel
liegen
die Schnittgerade der
Ebenen bc und da
dafs alle vier
so,
Ecken
und verschieben
Ebene ab des Tetraeders,
die
die Gültigkeit der Relation b).
bis sie
geht.
durch
Bezeichnen
wir die Werte, welche die Winkel des Eleinentarvierseits
und
die Seiten
mit
a',
ß',
y',
ö',
ab und cd
ab',
in der
Grenz läge annehmen,
so sind die Innenwinkel des ent-
cd',
n — /',
stehenden
sphärischen
und ferner
besitzt das Dreieck die Seite
Dreiecks
ji
—
cd'.
6',
n — a'
Es
—
ß'
Fig. 4.
gilt die
Relation der sphärischen Trigonometrie:
cos
(jc
— —
a'
ß')
=—
cos
(jt
—
y')
cos
(jt
—ö
1
)
+ sin
(jt
—y
1
)
sin (ji
oder
cos (a'
Nova Acta XCI. Nr.
1.
+ß
1
)
=
cos y' cos 6'
—
sin y' sin 6' cos cd'.
—
6')
cos cd'
26
W. Ihlenburg,
Nun
ab
für
=
in der
ist
Grenzlage
ah'
=
setzen, dieselbe in die obige
Mafszablen
die
o
und
wenn wir
da,
Beziehung übergeht,
in der Relation c)
zunächst unter
des Elementarvierseits
Relation
gilt die
besonderen
der
Da
Voraussetzung, dafs dessen vier Ecken im Innern der Kugel liegen.
diese Elementarvierseite
können, deren Ecken
aber
kontinuierlich
beliebig
zur Kugel
werden
solche übergeführt
in
liegen,
c)
die Relation c) für
gilt
jedes Elementarvierseit.
Entsprechend beweist man die Gültigkeit der Relation
d).
Sollte die Relation e) nicht gelten, so müfste für die Mafszablen des
Elementarvierseits statt ihrer die Relation bestehen
da
sin I) sin
Da
Kugel
sin
«
=—
sin
hc
sin
[i
sin C.
aber für ein Elementarvierseit, dessen vier Ecken im Innern der
Winkel und Seiten
liegen, die Sinus der
der Kanten
imaginäre positive Gröfsen
rein
und
reell
sind,
positiv, die
Sinus
das Bestehen obiger
ist
Relation ausgeschlossen.
Also gelten auch die Relationen
Wir dehnen
die
e)
i
für das Elementarvierseit.
aus.
um
die Mal'szahlen
so bleiben die Relationen umgeändert,
jt,
f)
Geltung der Relationen weiter
Vermehren oder vermindern wir
von
und
das Vielfache
weil die Sinus und Kosinus
umgeändert bleiben.
Wenn
\/an ,
V
«22
welche
?
in
kommen,
dadurch
I
«33
wir
'
1-
den 13 Wurzeln
in
«44>
1
Jln-ri-
1
B22133)
l'Ikuuv V^u-n-
1
Wl>
I/-B221 l/-ß3 3>
1'
&u:
1
B;
den Ausdrücken für die Sinus und Kosinus der Mal'szahlen vorsämtliche möglichen Vorzeichenkonibinationen
Gruppe von
eine
2
13
Substitutionen
bilden,
der
so entsteht
Maiszahlen.
Wir
zeigen, dafs unsere Relationen sich ihr gegenüber invariant verhalten.
Die Relationen
variant,
wenn
sie
Wir betrachten
verhalten
sich
der
ganzen
Gruppe gegenüber
in-
den Erzeugenden der Gruppe gegenüber invariant bleiben.
also die einzelnen erzeugenden Operationen.
Diese entstehen
durch jedesmalige Änderung des Vorzeichens einer der 13 Wurzeln.
Es bandelt
sich
um
die
Änderungen, welche
Vorzeichenänderung der Sinus und Kosinus
erleiden.
die
Mafszahlen bei der
Über
27
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Kehren wir das Vorzeichen von \/R n um,
so erleiden die Mafszahlen
die Substitution:
A
B
A
B
ab
C
C
I)
D
da
1n- -ah
a
n
hc
fc
ß.
JC
cd
cd
7
7
da
6
6
-f-
a
+
ß
Umkehr
Geometrisch entspricht dieser Substitution die
laufungssinnes des Kreises
des Durch-
ah.
Kehren wir das Vorzeichen von
um,
|/JS n , 22
so
erleiden
die Mafs-
zahlen die Substitution
A
B
A
in-B
ah
C
C
cd
cd
I)
1)
da
da
bc
;
x
-f-
ab
a\
a
ji
+
bc
ß
2x-ß
j
Geometrisch entspricht dieser Substitution die
der
Kante B, wobei
Umkehr
der Richtung
sich auch gleichzeitig- der Drehungssinn für den Ebenen-
winkel ß umkehrt.
Kehren wir das Vorzeichen von
\/a 33
um, so erleiden
die
Mafszahlen
die Substitution
A
B
ji
jt
+A
+B
ah
2n — ab
a
a
bc
bc
ß
ß
C
C
cd
cd
7
7
J)
1)
cfa
da
6
Ö
Geometrisch entspricht dieser Substitution die Umkehr des Durchlaufungssinnes einer Seite
am
polaren Vierseit.
Kehren wir das Vorzeichen von \/R um,
eine Substitution
so erleiden nur die
Winkel
und zwar folgende:
«
ß
I
2n-
2%
2
m
—ß
—y
2x—d
Geometrisch
entspricht
dieser Substitution
samen Drehungssinnes der Ebenenwinkel.
die
Umkehr
des gemein-
W. Ihlenburg,
28
Unsere Relationen verhalten sich allen diesen Substitutionen gegenüber invariant, folglich auch den durch zyklische Vertauschung aus diesen
zu bildenden Substitutionen und der ganzen Gruppe gegenüber.
Diesen
Vorzeichenwechseln
Elementarvierseit zu
Überlegung
gerade
entspricht
dem allgemeinsten
der
Übergang vom
Vierseit der Einleitung, wie folgende
zeigt:
Aus dem Elementarvierseit
erhalten wir sämtliche allgemeinen Vier-
indem wir erstens jeder Seite jeden der beiden möglichen Durchlaufungs-
seite,
zweitens jeder Kante jeden
sinne,
jeder
drittens
zugeordneten
des
Seite
der
möglichen Durchlaufungssinne
beiden
polaren
zuordnen.
möglichen Richtungssinne,
Vierseits jeden
Endlich
können
beiden
der
wir
zu jedem
Winkel, jeder Seite und jeder Kante beliebig viele Multipla von 2n hinzu-
Da
fügen.
bleiben,
ist
die Relationen
es zur
auch bei der Vorzeichenänderung von
j/jß
invariant
Geltung der Relationen zwar erforderlich, dafs
für alle
Winkel derselbe Drehungssinn genommen wird; aber der Sinn der Drehung
ist
dabei ganz beliebig.
Damit
ist
gezeigt:
Die Formelgruppe der algebraischen Relationen gilt für
sämtliche Vierseite, welche den in der Einleitung gegebenen
Festsetzungen Genüge leisten.
Diese Untersuchungen
gehen
—
parallel
mit
den
Studyschen
Unter-
suchungen über Dreiecke.
Die Formeln
analoger Weise wie
man
in der
der
sphärischen
Trigonometrie
lassen
sich
in
unsere sechs algebraischen Relationen ableiten
Ebene einen Kegelschnitt
einer projektiven
,
ganz
wenn
Mafsbestimmung
als
Fundamentalgebilde zu Grunde legt und die Relationen aufsucht, welche
zwischen Winkeln und Seiten eines Koordinatendreiecks bestehen, auf das
die
Gleichung des Kegelschnitts bezogen wird.
Da
bei der gewöhnlichen
sphärischen Trigonometrie, die sich auf gröfste Kugelkreise bezieht, Winkel
und Seiten immer
imaginärer
reell sind,
Kegelschnitt
der
so ist bei der Ableitung ihrer Relationen ein
Mafsbestimmung zu Grunde zu legen.
Der
Studyscfie Dreiecksbegriff mufs sich auf ein solches Koordinatendreieck unmittelber
übertragen lassen,
wenn man
für
jede Seite des Dreiecks einen
Richtungssinn und für jeden Winkel einen Drehungssinn vorschreibt.
Über
Wenn
wir nun gezeigt haben, dafs der Geltungsbereich unserer sechs
fundamentalen Relationen alle unsere Vierseite umfafst,
Ausdehnung
29
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
so
ist
hiermit eine
der Studyschen Entwicklungen nach zwei Richtungen hin vor-
genommen.
Da
bei der gewöhnlichen sphärischen Trigonometrie
ein imaginärer
Kegelschnitt zu Grunde gelegt werden mufs, so würde die unmittelbare Er-
weiterung der Studyschen Entwicklungen darin bestehen, dafs
Theorie
des
Koordinatentetraeders
eine
nicht
imaginäre Fläche zweiten Grades zu Grunde
zwölf Mafszahlen
sämtliche
legt.
Seitenwinkel
Kugel,
bei der
sondern eine
Nur dann werden immer
Der Studysche Dreiecksbegriff
reell.
auf das Koordinatentetraeder zu übertragen,
winkel und jeden
reelle
man
ist
dann
indem man für jeden Ebenen-
Drehungssinn und für jede Kante
einen
einen Richtungssinn in geeigneter Weise vorschreibt.
Die Erweiterung der Studyschen Entwicklungen
Richtung hin besteht
Übertragung dieser Theorie auf Koordinaten-
und Koordinatentetraeder, bei denen
dreiecke
eine
in der
reelle
Fläche zweiten Grades
-der
Im Räume mufs dann noch
werden.
nach der andern
ein
reeller Kegelschnitt
Mafsbestimmung zu Grunde gelegt
die
Mafsbestimmung auf geradlinigen
Flächen von der auf nicht geradlinigen unterschieden werden.
tinuierlicher Fortsetzung der imaginären
und
Bei kon-
Fundamentalgebilde in reelle bleiben
allerdings die algebraischen Relationen ungeändert
bestehen,
aber doch
ist
dann noch zu untersuchen, was hierbei aus der Studyschen Gruppe und
Gruppe wird, welche
unserer
die
Erweiterung
der
Studyschen
Gruppe
darstellen würde; jetzt liegen die Realitätsverhältnisse komplizierter als bei
durchweg
An
reellen Mafszahlen.
eine ähnliche Erweiterung bat offenbar auch Study gedacht, wie
man
aus den Worten im Schlufs seiner Arbeit sieht: „Wird es möglich sein
(wie
es
durch verschiedene Umstände wahrscheinlich gemacht wird), die
Theorie des Tetraeders, zunächst im nichteuklidischen Räume, in ähnlicher
Weise zu behandeln, wie
die des
Dreiecks?"
Zweiter Hauptteil.
Transzendente Untersuchung.
§
i.
Fragestellungen.
Wir wenden uns zu dem zweiten
und
suchung,
Wir
Membrane.
ausschliefslich
stellen folgende
Wie können
1.
mit
behandeln
bei
der
Teil,
die
in
transzendenten Unter-
Fragen:
Vorgabe der Winkel sämtliche Kreisbogen Vierecke
Winkeln konstruiert und übersichtlich
diesen
Kern eingehängten
den
kontinuier-
in eine
liche Folge gebracht werden?
2.
Welches sind
3.
Wenn
laufszahlen
Bewegung
der
die
Ergänzungsrelationen?
zwei Kreisbogenvierecke dieselben Winkel,
Seiten
besitzen
Deckung bringen
zur
und
wenn
lassen, sind
ihre
Kerne
dann
die
dieselben
Um-
durch
eine
sich
Membrane
selbst
identisch?
Wir denken
Wir zeichnen
uns, wie verabredet, das Viereck
es aber aus praktischen
Gründen
immer auf der Kugel.
in der
Dabei kann
Ebene.
allerdings das Unendliche stören.
Die
Faktor
.t
Winkel
nicht
des
Kreisbogenvierecks
immer schreiben zu müssen,
messen
Ein Winkel
von
von 360° den Wert 2 usw.
ISO
erhält
also
jetzt,
um
den
direkt durch die Exponenten-
differenzen der Differentialgleichung, welche wir
wollen.
wir
nun mit
jetzt
«.
ß,
den Wert
y,
1,
A
bezeichnen
ein
Winkel
W. Ihlenbnrg, Über
die geometrischen Eigenschaften der
31
Kreisbogen Vierecke.
Beduktions- und Erweiteriingsprozesse.
Wir werden im
„Reduktions- nnd Erweiterungs-
folgenden von den
prozessen" der Kreisbogenpolygone Gebrauch machen (K).
Wir
1.
hängung"
erweitern
Kreisbogenpolygon
ein
durch
gegenüberliegenden Seite einen Schnitt p
einer
Ein-
Wir führen von
einer Kreisscheibe in folgender Weise:
Ecke aus nach
„polare
(z.
einer
B. von
d nach ab, Fig. 5) und in einer Kreisscheibe, welche denselben Radius wie
der Begrenzungskreis ab besitzt, einen zu p kongruenten Schnitt
wir Polygon und Kreisscheibe,
vereinigen
aufeinanderlegen und die Ränder von p und
Jetzt
die
ein neues
ist
ist,
Umgekehrt kann
und eine
Seite
Dann
indem wir beide Flächenstücke
i>'
über Kreuz zusammenheften.
Kreisbogenpolygon entstanden,
Zahl zwei gewachsen
p'.
um
in
einen
Winkel
um
Umlauf zugenommen
hat.
welchem
ein
es auch möglich sein, sine Kreisscheibe polar aus-
zuhängen, worunter wir dann den entgegengesetzten Prozess verstehen.
Damit von
einer
Ecke d
einer
Membran bezüglich
grenzung eine polare Einhängung möglich
dafs sich
ist,
in
Zweige
demselben
Blatt
oder
verläuft wie
verschiedenen
Blättern
die
lasse,
Membran und
sich
kreuzenden
besitzt.
2.
oder
notwendig und hinreichend,
von d nach ab innerhalb der Membran ein Schnitt p ziehen
der ganz auf derselben Seite des Kreises ab
keine
ist
der Seite ab der Be-
Wir erweitern
durch
ein
Polygon durch Einhängung einer Vollkugel
„diagonale Einhängung", indem wir zwischen zwei
nicht
aufeinanderfolgenden Ecken einen Schnitt d ziehen, zwischen zAvei Punkten
einer Vollkugel
einen
zu d kongruenten Schnitt
d',
alsdann Polygon
und
Vollkugel so aufeinanderlegen, dafs die Schnitte aufein anderfallen und dann
die
Ränder der Schnitte kreuzweise vereinigen
der Seiten bleiben umgeändert, zwei
Umgekehrt kann
es auch
Winkel werden um
möglich
sein,
Membran von
Schnitt
führen
einer
lassen,
Ecke nach
der
keine
die
Zahl 2 vergröfsert.
diagonal auszuhängen.
Damit eine diagonale Einhängung möglich
der
Die Umlaufszahlen
(Fig. 6).
sei,
mufs sich innerhalb
einer nicht auf sie folgenden
in
Ecke
ein
demselben Blatt oder verschiedenen
Blättern sich kreuzenden Zweige besitzt.
W. Ihlenburg,
32
Wir
3.
iiiler
erweitern
Einhängung", indem
durch „transversale
begrenzten Ringstück einen zu
zwei Kreisen
wie bei
und
führen,
t
in
einem von
kongruenten Schnitt
t
V,
und
längs der Schnitte zusammenheften
die Flächenstücke
2.
wir zwischen Polygon-
Dabei mufs der Ring dem von den Kreisen der betreffenden beiden
7).
Seiten
1.
einen Schnitt
imaginär schneiden,
sich
die
seiten,
(Fig.
Polygon durch Einhängung' eines Kreisringes
ein
begrenzten Ring
kongruent
Die Winkel bleiben ungeändert,
sein.
aber die Umlaufszahlen von zwei Seiten werden
um
je 1 erhöht.
Eventuell kann auch transversal ausgehängt werden.
Damit
eine transversale
Einhängung möglich
dürfen die Kreise
sei,
der beiden Polygonseiten, zwischen denen eingehängt werden
reell
schneiden und
halb
der
Membran
beiden Kreisen
soll,
sich nicht
es mufs sich von einer Seite nach der anderen innerein Schnitt ziehen
begrenzten Ringes
der ganz innerhalb des von
lassen,
und keine
verläuft
demselben Blatt
in
oder verschiedenen Blättern sich kreuzenden Zweige besitzt.
4.
Wir
Kreisscheibe,
erweitern ein Polygon durch ..laterale
indem
jenige Kreisscheibe,
wir längs
einer
nicht
Anhängung"
umlaufenden Polygonseite
die-
welche die auf dem Innern der Seite liegende Kreis-
scheibe zu einer Vollkugel ergänzt, einfach anheften (Fig.
liegt
einer
Die Membran
8).
nach Anhängung der Kreisscheibe auf der anderen Seite des begrenzenden
Kreises, die anliegenden
Winkel werden beide um
Kreisbogen wird durch denjenigen Kreisbogen
vollen Peripherie
abgetrennt
ergänzt,
Damit
werden.
1 vermehrt, der
ersetzt,
zu einer
ihn
kann auch eine Kreisscheibe
Eventuell
angehängt werden
lateral
der
begrenzende
kann,
und hinreichend, dafs die betreffende Seite nicht umlaufend
ist
lateral
notwendig
ist.
Ein zur Ausführung eines Erweiterungsprozesses zu ziehender Schnitt
wenn
darf auch andere Schnitte durchsetzen,
Bedingungen
erfüllt.
Viereck der Fig. 9
ist.
die
sei
Hierzu
ist
diagonal eingehängt,
Membran aber nach Einhängung
transversale
verläuft,
so
Einhängung möglich
nur die oben angegebenen
folgendes Beispiel bemerkenswert.
Jetzt scheint keine transversale
schattierten Gebietes
er
die Linie d angedeutet
Anhängung mehr möglich zu
sein.
Da
der Vollkugel auch noch aufserhalb des
ist
ist.
was durch
In das
t
ein
Schnitt,
an dem entlang eine
Das Viereck hat dann zwei Windungs-
punkte und zwei einfach umlaufende Seiten.
Man
erhält dasselbe Viereck
Über
33
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
durch zwei polare Anhängungen, die in Fig. 10 durch, die Linien pu
p-2
an-
gedeutet sind.
Ein Polygon, das keine Aushängungs- (Reduktions-)prozesse der be-
mehr
zeichneten Art
nennen wir „reduziert" (K).
Sobald wir
Kreisbogenvierecke kennen, die möglich sind,
alle reduzierten
Anwendung
zuläfst,
es durch
ist
der obigen Erweiterungsprozesse möglich, aus ihnen alle Kreis-
bogenvierecke zu konstruieren, die es überhaupt
Kapitel
gibt.
I.
Konstruktion der Kreisbogenvierecke.
A. Konstruktion der reduzierten Vierecke.
Zur Konstruktion der reduzierten Vierecke werden wir mit einigen
Erweiterungen dieselben Methoden
Ann. 44 angewandt
Wir
benutzen,
Schönfliefs
die
in
Math.
hat.
wie Schönfliefs eine Reihe von Klassen reduzierter
bilden
Vierecke und suchen IJngleichheitsbedingnngen auf, die von den Winkeln
erfüllt
werden müssen, damit
wir jedoch,
indem wir
Weise verwerten,
ferner
für
die
die
Vierecke reduziert
Einmal werden
von Schönfliefs in etwas anderer
Methoden
eine andere Einteilung der reduzierten Vierecke erhalten,
werden wir engere Ungleichheitsbedingungen
jede Klasse
sind.
reduzierter Vierecke
ein Beispiel
ableiten,
zeichnen,
endlich auch
damit wir im
wesentlichen von den reduzierten Vierecken eine Vorstellung erhalten.
§
3.
Sätze über Kreisfoogendreiecke.
Wir
stellen
zusammen,
welche
!j
Son
Schwarz,
Acta XCI.
Nr.
1.
im folgenden
es
ges.
Wir
gibt.
Abh.
II,
alle
S.
234.
Typen
reduzierter Kreisbogendreiecke
unterscheiden
nach
Schwarz
1
)
dabei
34
W. Ihlenburg,
Dreiecke erster Art, bei denen der Scheitel des Kerns, der hier von drei Ebenen
Kugel
gebildet wird, im Innern der
liegt,
Dreiecke zweiter Art, bei denen
Kugel
er auf der Kugel, Dreiecke dritter Art, bei denen er aufserhalb der
Die Dreiecke
erster
Art werden begrenzt von
einem Punkte schneiden.
1
»reiecke durch drei
man
Wirft
Kreisen ohne
drei
von Kreisen,
reellen Orthogonalkreis, die Dreiecke zweiter Art
liegt.
die sich in
diesen nach Unendlich, so werden die
Gerade begrenzt.
Die Begrenzungskreise der Dreiecke
Art besitzen einen reellen Orthogonalkreis.
dritter
Alle Dreiecksmembranen, welche in denselben Kern eingehängt sind,
Unter allen verwandten Dreiecken hat
nennen wir „verwandte" Dreiecke.
jedesmal eines, das „Minimaldreieck", die kleinste Winkelsumme.
Sind
X,
erster Art: X
I«,
v die
Winkel des Minimaldreiecks,
+ + v>l,
zweiter Art: X
(i
so
+ + v = 1,
ist
bei den Dreiecken
dritter Art: X
/i
+ +v<
fi
1,
sodafs die Dreiecke der drei Arten durch das Minimaldreieck charakterisiert
werden.
Wir wollen nun
Kern
wir
alle
Typen
erster Art sind 16 reduzierte Dreiecke,
nichts
Kern
über den Umlautssinn
dritter
Art ebenfalls
Kern
1
2
X,
{i,
1—v
1—v
1—X, 1—,«,
2—v
II
2
111
1
IV
wozu
—
—
v
//,
X,
l—/i,
X,
2
bei
2
—
bestimmen,
erster,
1
+
X,
X,
//,
1
X,
+
//,
fi,
den Kernen zweiter und
—v
—
im Kern zweiter Art, wenn
19
V
1—X,
1—v
X,
—v
—
v
2
1
1
+ X,
X,
dritter
Typus gezeichnet
(K).
+
ft,
2—v
1
—
2'
X,
1
—
1+V
1—n,
V
1—X,
fi,
2—|»,
V
2—X,
fi,
[x,
1
1—X, l+(i,
—v
v
1
+v
v
Art noch die Dreiecke kommen:
—
der beigegebenen letzten Figurentafel
2
1
1—v,
Auf
X,
Die Winkel
4
[i,
1—fi,
1
im
zweiter und dritter Art sind:
+ X,
1
reduzierte Dreiecke,
3
1—X, 1—fi,
Im
zeichnen.
19 reduzierte Dreiecke enthalten.
der reduzierten Dreiecke im
I
Dreiecke
reduzierter
X,
1—fi, 2
ist
+v
ein
Dreieck eines jeden
Über
Vor allen Dingen beachten wir
die
Dreiecke das Typus
2
Ferner brauchen
Schönfliefs
.,
1
35
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
—
t
wir
folgende
dal« in
dem Kern
dritter
Art
sich
überschlagende Seite haben.
Sätze,
welche wir der Arbeit von
eine
v
u,
X,
liier,
entnehmen:
)
Jedes Dreieck, das zwei konvexe Winkel enthält,
ist
reduzierbar."
einem Dreieck kann nur eine Seite umlaufend sein."
.,In
und mit Winkeln:
..Reduzierte Dreiecke ohne umlaufende Seiten
^«^
existieren für jeden
0^/3^1
1
Wert:
0<:-/£l
+ a + ß<
3."
„Reduzierte Dreiecke mit umlaufender Seite existieren für jeden Wert:
1
+a+ß<y<
§
2."
4.
Geometrische Hülfsniittcl.
Wir werden im folgenden mit geringer Modifikation
Schönfliefs anwenden und uns auch dessen Nomenklatur
Hülfsmittel von
anschliefsen.
2
)
Ist die Seite ah eine
1.
nicht umlaufende
so drehen wir den begrenzenden
vierecks,
allmählich in die
des Vierecks
Membran
an stufst.
kreis" übergegangen
b
Seite eines Kreisbogen-
Bogen ah um
Endpunkte
seine
hinein (Fig. 11), bis derselbe an der Begrenzung
Wir wollen sagen,
dafs
er
dann
in
den
„
Grenz -
ist.
Der Grenzkreis kann
den Ecken
die geometrischen
eine der benachbarten Seiten
hc
oder
da
in
oder a berühren.
Ferner kann er cd berühren.
Dann nennen wir
ihn
„Tangential-
kreis".
Geht
kreis"
ist
er durch einen der
heifsen.
grüfser
1
8
als 1
und das Viereck
i)
Math. Ann. 44,
1.
S.
c.
so soll er
,,Diagonal-
Der Winkel an der vom Diagonalkreis getroffenen Ecke
2)
c.
Eckpunkte d oder
109.
8. 112,
114.
ist
in
diesem Falle von a oder von
c
aus
W. Ihlenburg,
36
des Grenzkreises
längs
abtrennbar,
lateral
zwei Dreiecke zerlegt.
in
Bogen ab
der
sobald
eine
Eine Kreisscheibe
ganze Kreiescheibe
ist
durch-
laufen kann, ehe er den Grenzkreis erreicht.
Den
2.
Grenzkreis, der durch a und
Ist die Seite
Begrenzung entlang
der
a',
geht, wollen wir mit
Er beginnt im Eckpunkt
dem nächsten
in
Dann kann
in
Berührt er cd, was auch in
„Tangentialkreis"
cd imaginär und
man kann
in
und endet
a
c
in einen
a berührt, in die
Mem-
Punkt zusammen-
Er mufs
„Grenzkreis"
also
übergehen.
oder d geschehen kann, so nennen wir
Dann
(Fig. 12).
in
Wir
liegt
verschiedenen Blättern liegen.
irgendwo an der Begrenzung anstofsen,
ihn
bezeichnen.
(Fig. 12).
über a
Blatte
sich der Kreis nicht auf einen
Eckpunkte
ziehen, da seine
ub
umlaufend, so läfst sich jedenfalls dicht an der
innerhalb der Membran ein Kreis ziehen, der den
ziehen nun den Kreis, während er beständig ab
bran hinein.
l;
ab
Kreis ab im Punkte a berührt.
dem Punkte
b
schneiden sich die Kreise ab und
einen zu einer transversalen
Einhängung geeigneten
Schnitt führen.
Stöfst der
Viereck
läfst
an die Ecke
Grenzkreis
so mufs
c,
sich längs des Grenzkreises in
y>l
zwei Dreiecke zerlegen.
nennen wir den Grenzkreis „eigentlichen Diagonalkreis".
Grenzkreis
an
die
Ecke
d
,
so
mufs
6
und das
sein,
>1
sein
und
wir
Dann
Stöfst der
nennen
ihn
„uneigentlichen Diagonalkreis".
Den Grenzkreis,
Im besonderen
der ab
ist
kreis
/.„/.,«>
die Seite
/,
„<,(„>.
h ab oder h uH „) eine
ganze
Enthält er cd, so kann cd nicht umlaufend sein, der
da, so
Diagonalkreis anzusehen.
ist
berührt, bezeichnen wir mit
dann als uneigentlicher Diagonalkreis anzusehen. Enthält der Grenz-
Kreis
ß -= 0,
a
kann der Grenzkreis
Fall
Polygonseite enthalten.
in
die Seite ab
ist
«
=
o,
und der Kreis
Enthält der Grenzkreis
umspannt
ist
£„<,<„)
als uneigentlicher
die Seite bc, so ist
die Peripherie gerade einmal
als eigentlicher Diagonalkreis anzusehen.
und der Kreis
37
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Über
§
6.
Konstruktion sämtlicher Vierecke, bei denen transversale
Einhängungen möglich sind.
wollen wir alle
YA\e wir die reduzierten Vierecke selbst behandeln,
Vierecke konstruieren, bei denen transversale Einhängungen zwischen zwei
möglich
Seiten
Denn
sind.
die
Beherrschung
dieser
beim Studieren der andern Vierecke gute Dienste
Kann
ein
in
Viereck
Vierecke wird uns
leisten.
von ab nach cd hinüber
transversal
ein-
gehängt werden, so transformieren wir das Viereck durch eine lineare Substitution so, dafs die
Kreise ab und
Hängen wir
cd konzentrisch werden.
dann eine Anzahl von Kreisringen ein, so wird ein Stück der Membran
von einem Kreisring gebildet, den wir zeichnen (Fig.
selbst
können wir dann
Seite ab
a'
und
a"
in zwei aufeinanderfolgenden Blättern zwei
so auswählen, dafs der Grenzkreis, der ab
ein Tangentialkreis wird, der
cd in
E
Verschiebung entweder
Ecke
d.
a'
und
a"
Punkte
berührt,
Membran
so
in der
durch den
dafs cd
und ab
Die Endpunkte des Halbkreises bezeichnen wir
E
während der Bewegung immer mit
und
Schliefslich mufs bei dieser
a'.
auf die Ecke a der Vierecke stofsen, oder
a'
vom Halbkreis
Dafs die Seite da von innen
nur im Punkte a möglich,
in
in der
angedeuteten Richtung immer weiter verschieben,
beständig berührt werden.
die
in
der
berühren möge.
Das Halbkreisstück Ea' wollen wir
Pfeil
Auf
13).
wobei dann a
einem andern Punkte kann nicht
—
o sein mufs.
E
auf
berührt wird,
ist
Eine Berührung
denn dann läge der Kreis
stattfinden,
da ganz innerhalb des Kreises Ea' und könnte mit dem Kreise ab keinen
reellen
Winkel
bilden.
Stöfst der
Halbkreis auf
Grenzlage des Halbkreises an ihm entlang
0,
d
vom Viereck
Stöfst der
kreis
Ea" auf
d
ein
a,
so
läfst sich in dieser
Dreieck mit den Winkeln
a,
abtrennen.
Halbkreis auf d,
und «
den Punkt d stofsen
zu.
und es
Dreieck mit den Winkeln
a,
so
bewegen wir
statt seiner
den Halb-
E
auf
ihm entlang
ein
Dieser wird dann mit seinem Endpunkt
läfst
o, 6
Wir können nun ebenso
sich
jetzt
wieder an
abtrennen.
die
Halbkreise nach der entgegengesetzten
W. Ihlenburg,
38
und
Richtung-, nach b
können
Dreieck mit den Winkeln
ein
Man kann
ß,
Ecke
stofsen auf die
hin, verschieben,
c
und
c
7 abtrennen.
0,
sämtliche Vierecke mit den Winkeln
also
oder
b
«, ß,
y,
in
6,
nach cd transversal eingehängt werden kann, auf folgende Weise
die von ab
konstruieren
„Man
setze
welche
ß,
ausgehenden Seite an,
konstruiere
es an das
und füge
7
0,
ist,
0,
ausgehenden Seite
Dreieck C mit
das
weiter
0,
0,
an,
den
Ringstück längs einer vom Winkel
umlaufend
die nicht
mit den Winkeln
(Fig. 14)
vom Winkel
längs einer
umlaufend
nicht
Winkeln
B
Ringstück
ein
A
das Dreieck
konstruiere
ist.
Ein Beispiel gibt Fig. 14.
Sämtliche sonst noch existierenden Vierecke dieser Art mit den Winkeln
a,
ß,
und
man
6 erhält
7,
cd
noch
aus den so konstruierten, indem man die Bögen von ab
oder
verlängert
Dies geschieht, unter Festhaltung
verkürzt.
der
Winkel durch Verschiebung der Kreise
und
cd, die dabei festgehalten werden."
Wir bemerken
können, weil
Da
in
sie
«,
;?,
und da längs der Kreise
ab
(Fig. 15 u. § 9.)
noch, dais die Seiten bc und da nicht umlaufend sein
den beiden Dreiecken einem Winkel
Werten von
bei beliebigen
den Winkeln
bc
und
7,
a,
ß,
7,
ö auch
existieren, erhalten wir
6,
gegenüberliegen.
immer Dreiecke mit
den Satz:
„Für beliebig vorgeschriebene Werte von a, ß 7, 6 gibt es
stets sowohl Kreisbogenvierecke, bei denen sich von ab nach cd,
als auch Kreisbogenvierecke, bei denen sich von bc nach da
hinüber transversale Einhängungen machen lassen."
y
Es
ist
nun nicht schwer,
die
Typen
aller
reduzierten Vierecke
an-
zugeben, bei denen sieh von ab nach cd hinüber transversale Einhängungen
machen
Wenn
lassen.
wir zunächst die Vierecke bei Seite lassen, die durch
Verkürzung der Bögen ab und cd ans
den
Weise konstruierten Vierecken entstehen,
den
Winkeln
a,
o,
ö
Viereck reduziert sein
und
soll.
7,
0,
angegebene
auf die
so ist klar, dafs die Dreiecke mit
ß selbst reduziert
sein
müssen, wenn das
Aus den Ungleichheitsbedingungen am
des § 3
ergeben sich, wenn wir
und
verschiedenen Dreieckstypen
die
zunächst
sie
auf die Dreiecke
A
und
B
SchluJs
anwenden,
auf alle möglichen Arten nach der
beschriebenen Konstruktionsmethode zusammensetzen, folgende Viereckstypen
1.
Keine Dreiecksseite
ist
umlaufend:
a)
0<:«<l;
0<p'<;i;
0<iy£l+ß;
b)
0<a<:i + d; 0^/3^1;
0£y£l + ß;
2.
3.
Die Seite eines der beiden Dreiecke
a)
0<iß<l;
0£y<l+ß;
b)
0£ß<l + y,
0<Ly<;l;
l
4.
0£ö£l+a
0£6£l
ist
+ 0<y<2;
l
tf
+ «<d<2
(Fig. 14).
(Fig. 16).
umlaufend:
+«< <2
l + «<<5<2
1
der beiden Dreiecke bat längs
Jedes
39
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Über
(Fig. 17).
(Fig. 18).
eine umlaufende Seite:
ab
(Fig. 19).
Die Seiten der Dreiecke längs ab und cd sind umlaufend:
l+ß<y<2;
Im Typus
l
+ d<a<2
(Fig. 20).
noch Vierecke enthalten, bei denen zwei
1 a) oder 1 b) sind
gegenüberliegende Seiten umlaufend sind, ohne dafs sich ein Kreisring aus-
hängen
Dann mufs
(§ 6, Fig. 25).
läfst
0<a-r-ß<l;
sein:
<:
Sie sind die einzigen Vierecke dieser Art
Im Typus
2
und
a)
fach umlaufenden Seite
noch
ein
vorkommen
(S
1.
(vgl. § 14).
einer zwei-
(Fig. 19).
sind nicht reduziert, sondern es läfst sich
4.
Den Typus
abtrennen.
Kreisring
+ <
können reduzierte Vierecke mit
3)
Die Vierecke des Typus
stets
}'
dann
der
erhaltenen
reduzierten Vierecke gibt Fig. 21.
Erweitern wir diese Viereckstypen durch polare Anhängungen an
und cd und
die Seiten ab
so
ist
laterale
es möglich, dafs nach
Sinne von Fig. 15)
ausführt,
Kreisscheiben
Man
und cd
erkennt
der
reduzierten
dies
nur
bei
Hängen wir
hier
nicht
sich
Typen
dafs
aber,
Vierecke
dem Typus von
mehr abtrennen
wenn man
die
Typus von
und da,
2<-a\
ß
und
es
+ i3<3;
< y -f ö <
1.
Prozesse
vorkommen kann.
die
mehr abtrennen
ist:
die
bei allen bisher
von a nach cd polar ein und verkürzen
Fig. 22
lassen,
angegebenen
Fig. 25
so weit, bis sich diese Kreisscheibe nicht
entsteht der
die Seiten bc
genügender Verkürzung der Bogen ab und cd (im
vorher eingehängt waren.
betrachteten
Anhängungen an
Bogen ab
läfst,
so
40
W. Ihlenburg,
Hängen wir an da
Bogen ab und cd
lateral
Fig. 23 und es
1<;«;
Wir wollen nun
und verkürzen
läfst,
die
so er-
ist:
+ ß<2; 1<
a
an
mehr abtrennen
so lange, bis sie sich nicht
Typus
halten wir den
eine Kreisscheibe
6.
systematisch alle reduzierten Vierecke konstruieren
und möglichst für jeden Typus ein Beispiel zeichnen.
Die Vierecke,
die
wir nach Erfüllung der Ungleichheitsbedingungen für die Winkel erhalten,
werden zwar nicht unter allen Umständen reduziert
immer
sie
alle
als
aber doch sind
sein,
Ausgangsvierecke zu brauchen, durch deren Erweiterung wir
Vierecke erhalten können.
§
6.
mehr
Konstruktion sämtlicher reduzierten Vierecke mit
als
einer umlaufenden Seite.
1.
Wir suchen zunächst
benachbarte Seiten umlaufend
die reduzierten Vierecke auf, bei
sind.
Ist ein solches reduziertes
laufend, so mufs der Grenzkreis
wäre
kreis,
Viereck vorgelegt und sind da und ab um-
&„»(a)
so
sich
liefse
von der schon
könnte nicht umlaufend
da
ein Kreisring
Denn
eigentlicher Diagonalkreis sein.
er uneigentlicher Diagonalkreis, so lägen die
selben Blatte und
denen zwei
sein.
Ecken d und a
Und wäre
in
dem-
er Tangential-
einhängen und wir hätten ein Viereck
5 behandelten Art vor uns, und bei diesem kann auch
in §
da nicht umlaufend
sein.
sind, entstehen also
durch Zusammensetzung zweier reduzierter Dreiecke mit
Diese Vierecke, bei denen da und ab umlaufend
umlaufenden Seiten, von denen das Dreieck übe bei
Es
folgt dafs bc
und cd nicht umlaufend
sind.
«
den Winkel
Fig. 24 gibt den
Typus
hat.
eines
solchen reduzierten Vierecks, und zwar in groi'ser Allgemeinheit, denn von
den zu benutzenden reduzierten Dreiecken mit einer umlaufenden Seite gibt
es nur den
Typus §
Nun
ableiten,
die
c,
IV,
2, 3, 4.
wollen wir noch die Ungleichheitsbedingungen für die Winkel
für
beide Dreiecke
bei
3,
diesen Viereckstypus bestehen müssen.
für
so ist (§ 3):
sich
reduziert
sein.
Sind also f
und
Zunächst müssen
y"
ihre
Winkel
Über
41
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
+ ß < /' < 2
+ a + 6 < j" < 2
o + S + a +
ß< 7 <4.
1
1
Damit
mm
sich
nicht noch polar eingehängte Kreisscheiben abtrennen
dürfen die beiden in der Figur mit einem Minuszeichen versehenen
lassen,
Zweiecke nicht von der Membran bedeckt werden.
dafs die Kreise cd,
sich einen Dreieckskern dritter Art bilden, es
Wir
sein.
+ ß < 1;
Wir suchen nun
vorgelegt
und
und
ab
sind
<5
bc
notwendig,
jedesmal für
+ «<i,
«
+ /?<i
+ a<l
Ist ein
umlaufend,
cd
bei
auf,
denen zwei
solches reduziertes Viereck
so
ziehen
wir den
Grenz-
Tc ah(a) .
Ö<a + ß<l;
Sind
/
6
reduzierten Vierecke
die
haben wir den Typus des § 5
Ist dieser Tangentialkreis, so
und
mufs also
+ d+« + /3<7<4;
2
gegenüberliegende Seiten umlaufend sind.
kreis
ist
erhalten also als notwendig die Winkelbedingungen:
a
2.
Dazu
ab und ebenso die Kreise da, ab,
da,
lc
ah(a)
und
> l + ß. Wir
a
und von
ß
zu Null werden.
nach
b
c
~k
ah(b)
£/+6 <
1
(Fig. 25).
beide uneigentliche Diagonalkreise, so
ist 6'•> l
+a
können dann an den Grenzkreisen entlang von d nach
hinüber Zweiecke abtrennen, so dafs die Winkel a und
Tun wir
dies,
so mufs der Grenzkreis
Jc C
d(o
Tangential-
gegenüberliegenden Winkel
<
kreis
weiden
sind;
wir haben also wieder ein Viereck des § 5 vor uns, das wir bereits
,
weil jetzt die der Seite
cd
l
kennen.
Auf einen neuen Typus von Vierecken kommen wir
wenn
oder & a6fJ) eigentlicher Diagonalkreis
k ab(a)
ist.
also nur dann,
Ist k ab(a)
eigentlicher
Diagonalkreis, so läfst sich das Viereck in die zwei Dreiecke mit den
a. b,
c
nnd
d, a,
c
zerlegen, die beide reduziert sein
umlaufende Seite haben.
und cd
man
sie
so
müssen und beide eine
zusammen,
dafs die Kreise ab
man aus der Zeichnung, dafs eine
und man also wieder ein Viereck des § 5
sich imaginär schneiden, so sieht
transversale
Einhängung möglich
vor sich hat (Fig. 20).
so
Setzt
Ecken
müssen
sich ab
Xova Acta XCI.
Nr.
1.
Wollen wir also einen neuen Viereckstypus erhalten,
und cd
abc bei a den Winkel
ist
reell schneiden (Fig. 26).
Es
folgt,
da Dreieck
hat:
6
W. Ihlenburg,
42
1
wo
7'
und
7" die
+ 6 + 7" <«<2; l+/3</'<2,
Winkel der Dreiecke
bei
c
sind.
Ziehen wir nun noch den Grenzkreis h cd(c) so niufs dieser, weil ß
ergibt sich durch die analoge Be-
Es
eigentlicher Diagonalkreis sein.
ist,
trachtung wie vorher für « jetzt für 7 die obere Grenze
l
als
+ 6<a<2;
l
<1
Wir haben
2.
also:
+ ß<7<2
notwendige Bedingung für die Winkel.
7.
§
Reduzierte Vierecke mit nur einer umlaufenden Seite.
bei denen nur eine Seite
Wir kommen zu den reduzierten Vierecken,
umlaufend
Ein
ist.
reduziertes Viereck
solches
sei
vorgelegt und ab sei
so
haben wir schon be-
umlaufend.
Ist
der
Grenzkreis
Jc
Tangentialkreis
at(a)
,
handelte Vierecke vor uns.
Ist
Viereck
äac,
Jcab(a)
Diagonalkreis,
eigentlicher
läfst sich
von denen das Dreieck abc eine umlaufende Seite
lateral
abtrennen
läfst.
7'
und
Wir drehen das Stück
größerung von
um
7'
>
und das
Beim Dreieck
hat.
Kreisscheibe
sein, weil sich sonst eine
1
7" seien die
Winkel der beiden Dreiecke
des Diagonalkreises zwischen a und
Endpunkte
seine
keine Kreisscheibe
aus sich
c,
zusammensetzen aus zwei reduzierten Dreiecken abc und
dac darf nur ein einziger Winkel
c
geht er durch
so
nur soweit drehen lassen, dafs
a
und
c
(Fig. 27
—
c.
unter Ver-
c
30.)
bei
Damit von
polar abtrennen läfst,
darf dies Stück sich
<2
/
7'
Ehe
bleibt.
also
=
2
geworden
ist,
mufs das bewegliche Stück des Diagonalkreises entweder
in c berühren, oder
die Seite
2.
auf die
3.
da in a berühren.
Bei jedem
einen
cd
1.
Ecke d
Typus
stofsen oder
entstehen
Winkel des Dreiecks
noch Unterfälle, je nachdem wir den
welcher
acd,
>l
sein
kann, an
die
Ecke
a,
c
oder d verlegen.
Im
letzteren Falle
ist
Stück des Diagonalkreises, das
kern
dritter
Art einschliefsen.
<;
«
d~a
+ß<
1,
berührt,
denn
die Kreise ab, fc
müssen für
und
das
sich einen Dreiecks-
Über
Wir
erhalten die Viereckstypen:
<; a
1)
a
<j
< 2 + d; 1+ß <y <2; O^rf^l
1 + ß < / < 2;
< 1;
^ <1+«
(Fig. 27)
(Fig. 28)
tf
0^«<1; 0<;/3<l, 1 + |3<7<3; 1 <^ < 2 + a
0<a + ß<l; 1 + a + ß < 7 <3;
d < 2
0^« + j3<l; l + « + /3<7<3 + ö; O^d^l
2)
(Fig. 29)
rf
(Fig. 30)
-g.
3)
48
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Wir
erhalten noch neue Viereckstypen,
Dann
eigentliche Diagonalkreise sind.
sind /
(Fig. 31).
wenn kabw und
und
6 beide
>
k a i<b) heide un-
l.
Wir
suchen,
nachdem wir längs der G-renzkreise Zweiecke mit den Winkelöffnungen
und ß abgetrennt haben, sodafs
Seite
die
den Grenzkreis
cd
Winkel bei
scheibe lateral abtrennen
eines
am
nahe
5> l
Grenzkreise
und
sind
und
verlaufenden
mit
dann von cd eine Kreis-
sich
Also berührt er ab.
liefse.
Kreisbogens ein Zweieck
sind, für die
Dieser kann bc oder da nicht berühren, da
auf.
und d noch
c
und ß zu null geworden
jetzt a
«
den Ecken
Schneiden wir längs
durch
c
und d gehenden
und d ab, so haben wir
c
ein
Viereck des § 5 vor uns.
Diese reduzierten Vierecke entstehen also aus reduzierten Vierecken
des §
bei denen ab umlaufend
5,
und cd nicht umlaufend
den Bogen cd unter Festhaltung von
c
indem man
ist,
und d solange nach auswärts
dreht,
als sich längs cd keine Kreisscheibe lateral abtrennen läfst.
Es bestehen
<a<
1
die
Bedingungen
< ß < 1;
;
l
Im besonderen kann
+ ß<7<2+ß;
die
ab
Seite
1
+ a <ö <2 +
zweimal
auch
a
(Fig. 32).
umlaufend
sein
(Fig. 33).
8.
§
Reduzierte Vierecke ohne umlaufende Seiten.
Wir suchen nun
auf.
Für
1.
reduzierten Vierecke
ohne umlaufende Seiten
die Seite ab konstruieren wir den Grenzkreis.
Ist
dieser Diagonalkreis
und das Viereck
legen.
die
läfst sich
und geht
längs ac
Im Dreieck abc muls nun
in
ß
<
er
etwa durch
c,
so
ist
/>l
zwei Dreiecke abc und dac zerl
sein,
denn sonst wären in dem
6*
44
W. Ihlenburg,
Dreieck abc zwei Winkel
kann längs der
l
J>
noch eine Kreisscheibe lateral angehängt
Seite ac
dem
Viereckstypus herstellen, bei
< 1,
>
>
ist.
Den
Beim zweiten Typus
inufs,
d
(und /
l
l)
Im Dreieck acd
wäre reduzierbar.
es
Wir können
Viereck reduzierbar zu werden braucht.
dafs das
ß
und
6
<
l
<
und ß
l
einen ersten
zweiten,
einen
ist,
ohne
sein,
wo
werden wir unter
ersten Viereckstypus
4.
behandeln.
kann,
durch
]
6
>
>
und «
l
also derselbe, bei
>iesen
lc
Tangentialkreis
cd
dem
Sind hier
k ab
Kreisscheibe abtrennen, wie
und cd berührt.
ist
jetzt unter 2.
kann zweitens Tangentialkreis
und y beide >l, so
B. ß
z.
liefse sich,
Der zweite Typus
der Grenzkreis h at Tangentialkreis
Der Grenzkreis
berühren.
Diagonalkreis
er
eine Kreisscheibe abtrennen.)
ist,
l
Typus behandeln wir nun
2.
(Wäre
sein.
wäre das Viereck wieder reduzierbar. denn längs da
so
a,
da dann
ist
Grenzkreis
der
damit das Viereck nicht reduziert werden
läfst
wenn man
sich
sein
und cd
längs bc eine
man
leicht sieht,
dafs
auch wenigstens einer der Winkel « oder
für bc den Grenz-
kreis zu konstruieren sucht.
Wir
kleiner als
d
analog,
folgern
ist.
l
Wir nehmen
Grenzkreises,
<
und
l
so
Wir erhalten
;
Den
a
Fall 6
Setzen wir
wenn wir
setzen,
«
<
l
oder
6
<
l
Bedingungen:
die
<; y
einen
<J,
1 <;
von den
ß
< l, / <
/ < l, d<l
Fall «
< 2+
y,
Drittens kann der Grenzkreis
im Eckpunkte berühren.
1 <:
neuen Typus erhalten wollen.
Den
sein.
1< < 2 +
3.
< 1 + ß, 0<<5<l + a
< l, ß < l behandeln A\ir unter 4.
y < l voraus, so müssen wir weiter
den hiervon verschiedenen Typus
er
Zweieck mit einem Winkel
ein
von denen an einer Ecke jedes den Winkel
Q<.ß <\,
: 1,
Zerschneiden wir längs des
an.
das Viereck in
zerfällt
zwei Dreiecke,
in
null hat.
«<l, ß<i
zuerst
Ist
<
<; y
/.„&
l
ß
<2+
y voraus-
Ferner mufs noch
behandeln wir unter
4.,
für
bestehen die Bedingungen:
1,
eine
0<<J<1
(Fig. 35).
benachbarte Vierecksseite
dies die Seite bc, so
vorigen Vierecken verschiedenen
(Fig. 34).
mufs
ß<l
sein.
Einen
Typus werden wir nur dann
er-
Über
wenn
halten,
kleiner
als
Indem wir
Vierecks
<
ß
l,
<J
<l
voraussetzen, halten wir die vier
um
seine
Soll das Viereck dabei dieselben
innen (Fig. 36).
sein.
l
denen zwei gegenüberliegende Winkel
bei
und drehen den Bogen ab
fest
eintritt.
haben wir uns noch eine Anschauung zu verschaffen.
sind,
l
<
Winkel
also wenigstens zwei gegenüberliegende
Von den Vierecken,
4.
an jeder Vierecksseite
des Grenzkreises
dieser Fall
Dann müssen
45
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Ecken des
Endpunkte a und
Winkel
b
behalten, so
nach
müssen
wir die Seiten bc und da nach aufsen, die Seite cd nach innen drehen und
zwar
um
denselben Winkel,
wir mit der
um
Fahren
den wir die Seite ab gedreht haben.
Drehung immer weiter
müssen
so
fort,
schliefslich die Teile der
Begrenzung zusammenstofsen. Wir wollen sagen, unser Viereck befinde sich
dann
„Grenzlage".
in der
sich berühren
In
(Fig. 38).
stofsen
erstens so möglich,
ist
zweitens so,
(Fig. 37),
Ecke
liegende
Diese
Vierecksmembran Kreisbogendreiecke
und
dafs ab
dafs ab oder cd auf eine gegenüber-
der Grenzlage
Aus
ab.
trennen
sich
von der
der Grenzlage, die wir also
ohne weiteres konstruieren können, erhalten wir dann das Viereck
indem wir
der Grenzlage
—
herausdrehen.
eine Vierecksseite,
Es
ist
überführen,
Membran
die
im besonderen noch möglich, dafs
dafs wir den Kreis ab in die Kreise
im Punkte a (und
ihn
b)
berühren (Fig. 45)
in
unserm reduzierten Viereck ß
<
beim Eintreten der Grenzlage der ersten Art
diesen
0,
ß,
y
und
Typus gelten
0^a£l +
o,
6,
in
a,
die das
und
l
6
die Seite ab.
aber
d,
Viereck
O<0<1, 0</<:i+A
der
sein soll, so sind
l
Dreiecke mit den
Für
reduziert.
zerfällt,
^d<
reduziert
1
(Fig. 39).
falle die
der Grenzlage hat die Winkel
zu sein,
nachdem im Dreieck der Grenzlage
a,
Ecke
6,
y
c
auf
— ß—l,
sondern längs seiner Seite ac darf
noch eine Kreisscheibe lateral angehängt
je
in
also die Ungleichheitsbedingungen:
Das Dreieck abc
nicht
<
die beiden
Beim Eintreten der Grenzlage der zweiten Art
braucht
und
liegen.
Da
Winkeln
Dann
B. ab, die Peripherie gerade einmal umspannt.
z.
wir die Grenzlage so herbei,
führen
selbst,
Festhaltung der Eckpunkte und Winkel aus
unter
Seiten
die
cd,
sein.
Wir
erhalten zwei Typen,
(nachdem längs ac eventuell eine
46
W. Ihlenburg,
Kreissekeibe lateral abgetrennt
>
l
Winkel « oder der Winkel y
der
— —
/3
1
sein kann.
D <)<;«<;— ß + y + s,
2)
ist)
^a<
<| ß
2,
Wir
<
i+/?^/<;3 + j3<4,
1,
o
<;
t>
<
(Fig. 40).
1
<d<
l+i3</^2 + ß+(J + ^<6,
(Fig. 41).
1
nun noch folgende Sätze über reduzierte Kreisbogen-
stellen
vierecke zusammen,
die
sich
aus
den vorstehenden Entwicklungen direkt
ergeben
in
1.
„In einem reduzierten Viereck sind stets zwei Winkel kleiner als 1".
2.
„In einem reduzierten Viereck
den Ecken nie gröfser
3.
ist
die
Summe
der Windungszahlen
als 2".
„In einem reduzierten Viereck
ist
Summe
die
der Umlaufszahlen
der Seiten nie gröfser als 2".
4.
in
„In einem reduzierten Viereck
ist
die
Summe
der Windungszalilen
den Ecken und der Umlaufszahlen der Seiten nie gröfser als 3".
B.
Direkte Konstruktion der allgemeinen Vierecke.
Aus den
reduzierten Vierecken können wir die allgemeinen Vierecke
mit Hilfe der Erweiterungsnrozesse konstruieren.
Auf dem
geschilderten
Wege
haben wir damit eine genaue und sichere Anschauung von den Membranen
gewonnen und durch
lichen
ihrer Gestalt
alle
Vierecke im wesent-
nach als bekannt zu betrachten.
Darauf beruht der
die gezeichneten
Figuren sind
Vorteil dieser Konstruktionsmethode.
Aber
es wird durch die vielen Fallunterscheidungen Unübersichtlichkeit
hervorgerufen.
Es
treten ferner nicht
wenige Fälle auf, wo dasselbe
all-
gemeine Viereck durch geeignete Erweiterung aus verschiedenen reduzierten
Vierecken erhalten werden kann. Erweitert man also auf alle möglichen Arten
die reduzierten Vierecke, so gibt es unter den erhaltenen Vierecken identische.
Durch
in
die
die folgende
soll
Übersicht und Ordnung
gesamten Vierecksmembranen gebracht werden.
mögliche Viereck
Vorteil
Konstruktionsmethode
der
gerade
einmal konstruiert.
vorigen Methode;
von den Vierecken.
man
erhält
Doch
keine
Dabei wird jedes
besitzt
sie
anschauliche
nicht
den
Vorstellung
Über
47
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
§
9-
Geometrische Deutung der Vierecksparameter.
Wie können
metrisch deuten?
wir an der
Membran
ihre sechs reellen Parameter geo-
Vier Parameter können wir bei jedem Viereck durch die
Winkel des Vierecks
deuten, die wir uns ein für allemal als gegeben denken.
Die Deutung der andern zwei Parameter
läfst sich
auf verschiedene Weisen
geben, von denen wir folgende zwei Arten bevorzugen:
1.
irgend ein Kreisbogenviereck vorgelegt, so können die Kreise
Ist
zweier gegenüberliegender Vierecksseiten
B. ab
(z.
und
cd)
imaginär
sich
oder reell schneiden oder sich berühren.
Im
zentrische Kreise.
Dann
schieben, wobei die
Winkel des Vierecks und
lassen sich die Kreise bc und da
da ungeändert bleiben (Fig.
zwei kon-
auf ihnen ver-
Radien der Kreise bc und
die
reell,
so transformieren wir sie
zwei Gerade, indem wir den einen Schnittpunkt ins Unendliche werfen
Alle Kreise, welche mit ab und cd dieselben Winkel bilden, be-
(Fig. 43).
sitzen
den
zentrum.
resp.
zweiten
Schnittpunkt
Kreise,
In
da ähnlich
die
liegen,
werfen
Kreise ab und
der
Bezug auf
in
können wir also
unter Festhaltung der Winkel.
so
in
42).
Schneiden sich die Kreise ab und cd
in
und cd
ersten Falle transformieren wir die Kreise ab
Wenn
cd als Ähnlichkeits-
Zentrum zu dem Kreise
dies
die Kreise
bc
und da überführen
bc
sich die Kreise ab
und cd berühren,
den Berührungspunkt ins Unendliche, wodurch die beiden
wir
Kreise zu zwei parallelen Geraden werden.
Die Kreise bc und
da ver-
schieben wir dann auf diesen Geraden (Fig. 44), indem wir ihre Radien und
die
Viereckswinkel festhalten.
Diesen Fall betrachten wir als Ausartung
des ersten der drei Fälle.
Wir können
die
Parameter bei
Weise deuten: Bei Veränderung des
bc (oder da)
in
der
zweiten der Kreis
2.
Vierecke.
ecks
fest
Den
ab
beschriebenen
(oder
jedem
Viereck nun auf folgende
möge
ersten Parameters
Weise bewegen,
bei
sich der Kreis
Veränderung des
cd).
bereits in § 8 benutzteu Prozefs übertragen wir auf allgemeine
Wir denken uns
also
die
vier
Ecken
und drehen eine Seite des Vierecks
(z.
B.
eines
ab)
allgemeinen Vier-
um
ihre
Endpunkte
48
W. Ihlenburg,
dann die Viereckswinkel ungeäudert bleiben
Sollen
(Fig. 36).
wir die Seiten
bc,
da und cd ebenfalls
um
Sinne drehen und zwar
mögen umlaufende
ausführen, sie
Nur
Ausdruck gebrauchen,
in
müssen
geeignetem
welchen wir ab gedreht
allen Kreisbogenvierecken
Seiten haben oder nicht.
Wir wollen von
die
Seite
in
diesem Falle den
Veränderung des Vierecks so vornehmen,
wir den Kreis der betreffenden Seite
Endpunkten der
diese
der
dafs sie sich „gerade schliefst".
Dann wollen wir
Auf
um
sich bei
läfst
Endpunkte
so
darf keine Vierecksseite die Peripherie gerade eine ganze Anzahl
von Malen umspannen.
ihn in den
ihre
denselben Winkel,
Diese Drehung der Seiten
hatten.
um
,
in
dafs
diejenigen Kreise überführen, welche
Seite berühren (Fig. 45).
Weise werden wir den einen Parameter des Vierecks geoDie Deutung des zweiten Parameters wird sich im nächsten
metrisch deuten.
Paragraphen ergeben.
Bei der Drehung der Seiten bleiben ihre Umlaufszahlen ungeändert,
da die Endpunkte einer jeden Seite festgehalten werden und bei dem kontinuierlichen Prozefs
Nun können
Richtungen drehen.
Drehung
der
nicht übereinander hinweggleiten können.
wir aber die Vierecksseiten
Wir
deshalb
definieren
nach zwei verschiedenen
einen „positiven" und „nega-
tiven" Drehungssinn in folgender Weise:
„Positiv"
Winkels
ist
Drehung, bei der
diejenige
sich
die
Schenkel des
welche wir uns durch die Tangeuten im Punkte a an die Kreis-
«,
bögen ab und da gebildet denken, entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn bewegen, „negativ"
In
ist die
dem besondern
Drehung von entgegengesetzter Drehungsrichtung.
Falle,
wo
eine Seite sich gerade schliefst, wollen
wir unter positiver Drehung diejenige Veränderung der Seite verstehen, bei
welcher der bewegte Kreis in das Innere der Membran hineingezogen wird,
unter negativer
eine negative
Drehung
die entgegengesetzte
Drehung ausgeführt
Bewegung,
sodafs in Fig.
48
ist.
§ io.
Die Grenzlagen.
Wir
lassen
jetzt
das Viereck
die wir schon in § 8 benutzt hatten.
in
seine
„Grenzlagen"
übergehen,
49
Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Unter Benutzung-
der
schieben wir den Kreis
Sobald
was jedoch
Begrenzung
der
immer
nicht
ver-
bc beständig in einer Richtung.
Teile
die
Deutung der Vierecksparameter
ersten
Membran zusammenstofsen,
der
einzutreten braucht, wollen wir sagen, das Viereck
.jbefindet sich in der Grenzlage'\
Dabei können
dieser
Deutung der Parameter.
Oder
kann
es
was wir
Grenzlage
Diese
(Fig. 46).
Erstens können sich zwei Seiten berühren
wir
bezeichnen
Eckpunkt an
erster Art.
Grenzlage
als
eine Seite des Viereckes stofsen (Fig. 47),
Grenzlage zweiter Art bezeichnen.
als
Eckpunkte
ein
von Grenzlagen eintreten bei
vier verschiedene Arten
zusammen,
Oder
es fallen die beiden
so dafs der begrenzende
Bogen zwischen
ihnen ganz verschwindet, was wir als Grenzlage dritter
Art bezeichnen
einer Seite
kann
(Fig. 48).
Oder
schneiden,
der Kreis bc
es
wenn
schliefslich,
ganz
sich
in
und cd
sich die Kreise ab
reell
der beiden Schnittpunkte zu-
einen
sammenziehen, so dafs er vollständig verschwindet (Fig.
49).
Diese Grenz-
lage bezeichnen wir als Grenzlage vierter Art.
Die Bewegung des Kreises bc
läfst sich
unter Umständen unbegrenzt
weiterführen.
Die Kreise ab und cd müssen sich dann immer imaginär schneiden,
weil sonst,
wenn keine andere Grenzlage vorher
lage vierter Art
eintritt,
immer
Ferner müssen die Bogen ab und cd
eintritt.
Grenz-
die
sich
beständig vergrößern und schliefslich beliebig oft umlaufend werden.
würde
Bogen
ein
Grenzlage
dritter
liegt,
Punkt der
wenn ab und
wir,
Seite
ab
so
müfste
schliefslich
die
cd
umlaufend geworden sind, für
mit keinem Eckpunkt in demselben Blatte
der
,
den Grenzkreis, so
haben wir
verkleinern,
Denn
Art eintreten.
Konstruieren
einen
beständig
sich
dabei
niufs
dieser Tangentialkreis
ein Viereck vor uns, bei
dem
werden.
sich von ab nach
Demnach
cd Kreisringe
einhängen lassen.
Läfst sich also der Kreis bc unbegrenzt bewegen, so haben wir ein
Viereck dieser Art vor uns.
Umgekehrt kann
bei
jedem Viereck dieser Art der Kreis
einer Richtung hin unbegrenzt
Nova Acta XCI.
Nr.
1.
bewegt werden.
Es
bc
folgt also:
7
nach
50
W. Ihlenburg,
„Bei
Kreises bc
der
Deutung der Parameter
ersten
die
ist
Bewegung des
begrenzt aufser bei den Vierecken, bei denen sieb von
stets
nach cd transversal einhängen
aber hier
läfst;
sie
ist
j~6
auch nur nach einer
Richtung hin unbegrenzt".
kommt man
Bei geeigneter Bewegungsrichtuug des Kreises bc
also
zu einer Grenzlage.
stets
Führen
der Seiten
wir
immer
immer
hierbei
der
bei
weiter, so
und zweiter Art
wie wir sogleich zeigen werden,
schliefslich.
tritt
Doch
eine Grenzlage ein.
sind hier, da die
von Grenzlagen möglich, nämlich
bleiben, nur zwei Arten
erster
zweiten Deutung der Parameter die Drehung
(Fig. 37
Wir
zeigen, dafs die
Wir
betrachten
und
Eckpunkte
die
fest-
Grenzlagen
38).
Drehung der Vierecksseiten immer begrenzt
zunächst Vierecke mit umlaufenden Seiten,
ab
ist.
sei
umlaufend.
Grenzkreis
Ist der
c
Jc
a t(a)
immer
mit Teilen der Seite ab
sich,
wenn wir
weit führen,
läfst
Art
ein,
Im
die
eine Grenzlage
Ist der
Eckpunkte
Grenzkreis
c
und d
lc„ b(a)
tritt
durch
d,
7c
o6(0j
Punkte
Würde
fest.
stöfst,
v
wird,
sein.
so zeigt
c
und d
Entweder
man
auf dieselbe Weise,
Bei der
liegen.
läfst sich
cd,
Drehung
ab so weit drehen,
womit eine Grenzlage eingetreten
in die
ist,
ein.
ohne umlaufende Seiten.
Membran
hinein, so
wenn wir den Grenzkreis
der Grenzkreis Diagonalkreis
schliefslich
eine Grenzlage
n zweiter
Tangentialkreis, so liegen mit der Seite ab
die Vierecke
Drehen wir die Seite ab
als
ab entweder so
demselben Blatte oder solche Punkte der Seite
in
Wir betrachten nun
so,
läfst
oder die Drehung
o
stöfst,
tritt
Dann
Bewegung schon vorher begrenzt
schon vorher eine Grenzlage
Bogen ab gerade
Seite
67).
so liegt
c,
eintritt.
der Seiten bleiben diese Punkte
bis es an einen dieser
c
ersten Falle
unter oder über denen in anderen Blättern
oder es
Ecke
schon eine Grenzlage eingetreten
Geht der Grenzkreis
die
Drehung der
die
bis sie auf die festbleibende
im zweiten Falle, wo
immer
demselben Blatte (Fig.
in
die Seiten drehen,
sich nicht so weit führen.
mul's damit
dafs
Diagonalkreis und geht er durch
bewegt sich der
k ab konstuieren
würden.
werden, so wird auch die Seite ab
durch eine der gegenüberliegenden Ecken
gehen, wenn nicht
Über
51
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogen Vierecke.
schon vorher eine Grenzlage
Würde
eintritt.
der Grenzkreis Tangential-
kreis werden, so "wird, da die Seite cd auch in die
Membran
der Seite ab entgegengedreht wird,
auch cd berühren, wenn
ab
schliefslich
nicht eine andere Grenzlage vorher eingetreten
Es
auch
also
tritt
in
diesem Falle
stets
Bei der zweiten Deutung der Parameter
der Seite hinein,
ist.
eine Grenzlage ein.
ist
also die
Bewegung
stets
begrenzt.
Während
der
sammenhängend.
der
Drehung
Das
Membran durch
die
Eintreten der Grenzlage
Membran immer
kommt
einfach zu-
einer Zerschneidung
Linien gleich, die zwischen zwei Punkten der Begrenzung
verlaufen und deshalb die
Flächen zerlegen.
nun
bleibt
Membran
mehrere einfach zusammenhängende
in
Diese müssen Kreisbogenpolygone einfacherer Art sein
und sind also Kreisbogenzweiecke und Kreisbogendreiecke.
Wir müssen noch auf
Eigenschaften
die
jeder
dieser
Grenzlagen
etwas eingehen.
Die
1.
Grenzlage erster
Berühren sich
Art.
die Seiten
ab und
cd in der Grenzlage, so bezeichnen wir dies als die Grenzlage (ab, cd).
Sind zwischen ab und cd Kreisringe eingehängt, so können diese in
der Grenzlage herausfallen.
Die Membran
7
und
sind,
ohne
sich
in
Wir können daher
a.
0, 6,
zerteilt
weiteres
zwei Dreiecke mit den Winkeln
die Grenzlage,
konstruieren.
.
Diese
wenn
Grenzlagen
die
0,
ß,
Winkel gegeben
existieren
also
für
beliebige Winkel.
Die Seiten ab und cd
können
Blättern
übereinander berühren.
dann
so
in
viel
einfach
sich
auch
mehrmals
in
mehreren
Die ganze Fläche des Vierecks
zusammenhängende Flächen mehr.
zerfällt
Jedes durch
zwei aufeinanderfolgende Berührungen sich abschnürende Flächenstück
ein
Zweieck mit dem Winkel
null, also ein in der
ist
Grenzlage herausgefallener
Kreisring.
In
der
Grenzlage
meters entstanden
ist,
mufs,
da
sie
durch Variation nur eines Para-
noch ein Parameter enthalten
sein.
Bei seiner Ver-
änderung möge sich etwa der Kreis bc längs der Kreise ab und cd, unter
Festhaltuno;
der
Viereckswinkel verschieben.
Hierdurch wollen
wir bei
W. Ihlenburg,
52
Deutung-
zweiten
unserer
Vierecksparameter
der
den
Parameter
zweiten
veranschaulichen.
Grenzlage zweiter
Die
2.
so bezeichnen wir dies
Die Membran
mit
dem Winkel
als
Grenzlage
ab(d).
Kreisbogendreieck bcd und ein Zweieck ab
zerfällt in ein
dem Zweieck schnüren
Mit
«.
Fällt in der Grenzlage d auf ab,
Art.
sich sämtliche an da lateral
angehängten Kreisscheiben von der Membran ab.
von d nach ab
Ist
scheiben
und
werden
b
längs
Winkel
alle
diese
am
l
wenn p ah (a>
,
Kreis-
Dreieck acd
Das Dreieck der Grenzlage hat demnach
db.
— « — — 2p al>m
d
fallen
Grenzlage zu lateralen Anhängungen
in der
der Seite
so
nicht umlaufend.
ist
Diagonale Einhängungen zwischen d
Grenzlage heraus.
der
in
eingehängt,
polar
da
die
Anzahl der
der
in
bei d
den
Grenzlage
herausfallenden Kreisscheiben bedeutet.
Die Ecke d kann auch noch
als
einem Blatt auf die Seite
durch zwei solche aufeinanderfolgende Stellen sich ab-
Jedes
ab stossen.
mehr
in
schnürende Flächenstück wird zu
einer Kreisscheibe,
demnach von d
die
bezüglich ab polar eingehängt war.
Damit
bei einem Viereck diese Grenzlage eintreten kann, mufs
6
lage
Bedingung
Ist diese
sein.
,
so
kann auch ohne weiteres
die
Grenz-
immer konstruiert werden.
Wenn
ab im
=
6
Punkte d
+ 2 p a b(d)
a
l +-
fallen
In der Grenzlage
änderung der Kreis da
unserer
Parameter
zweiten
so
ist
Ist
und
von
ge-
dann beim Übergang
in die
cd nach
ab
Grenzlage heraus.
noch ein Parameter enthalten, bei dessen Ver-
in die
andern Kreise übergeht, die ihn in d berühren.
Deutung der Vierecksparameter werden wir diesen
den zweiten Parameter des Vierecks betrachten.
als
punkte a und
berühren sich die Kreise cd
Transversale
Die Grenzlage dritter Art.
3.
zusammen,
b
von
a
nach
gehängt, so fallen
sämtlich
ist,
Grenzlage.
der
in
machte Einhängungen
Bei
erfüllt
> l+«
heraus.
Fallen in der Grenzlage die Eck-
so bezeichnen wir dies als Grenzlage (ab).
bc hinüber
oder
diese Kreisscheiben
von
b
nach da hinüber polar
beim Übergang
Laterale Anhängungen können
sich
in
die
längs
ein-
Grenzlage
der Seite ab
Über
auch
die geometri sehen
Diagonale Einhängungen
abschnüren.
53
Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
B.
z.
,
die
zwischen a und
werden bei dem Dreieck der Grenzlage zu lateralen Anhängungen längs
Damit bei einem Viereck diese Grenzlage
+
«
sein.
Ecken hat
Anhängungen
gemeinen
(vgl.
+ß
Auf
bei
den beiden zusammen-
weder laterale noch polare
erfüllt,
so
existieren
im All-
§ 14) unter allen Vierecken mit gleichen Winkeln auch solche,
Grenzlage übergehen.
=
i,
so fallen transversale von da nach
hängungen beim Übergang
4.
+ ß — l, wenn
obige Ungleichheitsbedingung
die in die dritte
Ist a
eintreten kann, mufs
herausfallen.
die
Ist
die Gröfse a
ac.
<s;> l
Der Winkel des entstehenden Dreiecks
fallenden
c,
gemachte Ein-
Grenzlage heraus.
in die
die Eigenschaften
bc
der
vierten Grenzlage brauchen wir
nicht weiter einzugehen.
Zwei Grenzlagen,
die sich nur
sollen als Grenzlagen von
durch den Paraineterwert unterscheiden,
„gleichem Typus"
bezeichnet werden.
§ 11,
Konstruktion aller zu gegebenen Winkeln möglichen Vierecke.
Nun können
gebenen Winkeln
leicht
alle
Vierecke konstruiert werden, die es zu ge-
gibt.
Durch Drehung der Seiten um
die festen
Eckpunkte gehen
ecke in die Grenzlagen erster oder zweiter Art über.
lagen
diese Grenz-
können wir nach dem im vorigen Paragraphen Gesagten
Grenzlage entstehen,
heraus in
selbst, die
Um
Winkeln
leicht
kon-
da wir ja die Konstruktion der Kreisbogendreiecke, welche in der
struieren,
lagen
Aber
die Vier-
als
bekannt voraussetzen.
Indem wir aus den Grenz-
umgekehrter Richtung drehen, erhalten wir die Vierecke
zu den konstruierten Grenzlagen gehören.
nun sämtliche Vierecke zu konstruieren,
gibt,
haben wir nur sämtliche
lagen zu konstruieren.
für diese
Indem wir noch den
Parameter verändern, erhalten wir
die
die es
zu gegebenen
Winkel möglichen Grenz-
in jeder
Grenzlage enthaltenen
gesamte zweiparametrige Schar der
verlangten Vierecke durch Herausdrehen aus den Grenzlagen.
54
W. Ihlenburg,
Jedes Viereck geht, je nachdem positiv oder negativ gedreht wird,
in
zwei Grenzlagen über.
Konstruiert
man
also aus sämtlichen zu
Winkeln möglichen Grenzlagen Vierecke,
Um
Viereck gerade zweimal.
man von den
konstruierten
jedes
jedes Viereck nur einmal zu
verlangte
erhalten,
hat
Grenzlagen beispielsweise nur diejenigen
man durch
denen
aus
benutzen,
man
erhält
so
gegebenen
zu
Drehung zum Viereck gelangt
negative
oder hat in der in § 16 näher bezeichneten Weise zu verfahren.
Bei den Grenzlagen der ersten Art
man durch
kennen, ob
d auf ab,
Seite ab
kann
so
dieselbe
Drehung aus ihnen herausgelangt,
positive oder negative
Grenzlagen zweiter Art dagegen
bei den
Veränderung
bei
schwer, unmittelbar zu er-
ist es oft
ist
Parameters
des
zum
Fällt
dies leicht.
der
Anzahl von Umläufen bekommen wie
Grenzlage
die
Seite db
des
die
Dreiecks der Grenzlage oder noch einen Umlauf mehr (Fig. 51
man durch
ersten Falle gelangt
Beispiel
Im
u. 52).
negative, im zweiten durch positive
Drehung
aus der Grenzlage heraus.
Bei
erster Art, (ab, cd)
in
gegebenen
beliebig
und
da),
(bc,
Winkeln
können
konstruiert werden.
Grenzlagen
beide
stets
Die besonderen Fälle,
denen diese Grenzlagen zur Konstruktion nicht brauchbar sind, werden
Es
wir im folgenden Paragraphen besprechen.
Grenzlage herausdreht, nachträglich Kreisringe
sind,
in der
wenn man aus
Zahl
0,
1,
2,
3
der
.
.
.
einzuhängen.
Was
sind,
6 ;>
l
+ «.
sei
polar
d ;> l
ist
eingehängte Kreisscheiben
beispielsweise
+«
die
zum Bestehen
Enthält
erfüllt.
der
die
gerechnet werden.
Ist
nacheinander die Grenzlagen
p
die
zu beachten, dafs
herausgefallen
Grenzlage
Zahl
können dieselben ganz oder zum Teil auf
scheiben
Bedingungen des Typus
sämtlicher
Bei Verwendung dieser Grenzlagen
Bedingung
so
Grenzlagen zweiter Art bei gegebenen Winkeln möglich
man durch Aufsuchen
erkennt
Grenzlagen
Es
für
6— a — l
sein
in
den
können.
ab{d) notwendige
Vielfache von
2,
die herausgefallenen Kreis-
Anzahl dieser Vielfachen, so sind
zu konstruieren, bei denen die Dreiecke bei
d die Winkel:
d
bei b
und
c
—a—
1;
(J
—a—
die AVinkel ß
3;
6
—a—
und y besitzen.
5;
...
ö
— a — — 2p,
1
Nachträglich sind dann, während
Über
wir
aus
Anzahl
Weise
Grenzlage herausdrehen,
der
0,
2
1,
.
sämtliche zur Bedingung; ö
Die
Art.
noch Kreisscheiben
bezw. in der
Auf
p von d nach ab hinüber polar einzuhängen.
.
man
erhält
zweiter
.
55
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
bei
Konstruktion
der
2r l
noch
+a
diese
gehörigen Grenzlagen
möglichen
Ausnahmefälle
besprechen wir im folgenden Paragraphen.
§ 12-
Ausnahmefälle.
wenn
Alan kommt,
1.
die
Winkel des Vierecks gewissen Bedingungen
genügen, bei unmittelbarer Benutzung der gegebenen Regeln zu Grenzlagen,
man durch Drehung der Seiten nicht herausgelangen kann,
Hülfe man also auch kein Viereck konstruieren kann.
aus denen
deren
Wenn
a
und
b,
Grenzlage
bei der
(ab, cd)
zwei benachbarte Eckpunkte, z.B.
den Berührungspunkt der Kreise ab und cd fallen (Fig.
in
Parameter der Grenzlage so bestimmt wird,
gerade schliefst (Fig. 54).
B. d
53), so
aus der Grenzlage ein Viereck nur dann konstruieren, wenn der
läfst sich
(z.
mit
und
b)
in
Wenn
dai's
auch die Seite
ferner zwei gegenüberliegende
cd sich
Eckpunkte
den Berührungspunkt der Kreise ab und cd fallen (Fig. 55),
so ist es überhaupt nicht möglich, ein Viereck zu erhalten.
Wenn
wir
bei
beiden
Grenzlagen
nun
den Berührungspunkt der
Kreise ab und cd ins Unendliche werfen, so gehen die beiden Dreiecke der
Grenzlage
in
geradlinige Dreiecke
über.
Dabei werden von den Winkeln
der Dreiecke die Bedingungen erfüllt:
ö
wo m und
—« =
2«t+l;
ß
—y =
2n+l
1
n zwei positive oder negative ganze Zahlen bedeuten. )
Vierecke,
deren
Winkel diesen Bedingungen genügen, gehen
nicht in die gewöhnliche Grenzlage
(ab, cd)
über,
wenn
nicht ab
also
und cd
die
Peripherie eine volle Anzahl von Malen umspannen.
Genügen
die
Winkel diesen Bedingungen
nicht, so
kann
lage (ab, cd) zur Konstruktion von Vierecken verwandt werden.
i)
Schilling, Math. Ann. 44, 8.222.
die
Grenz-
56
W. Ihlenburg,
Fällt
lich,
bei
der Grenzlage zweiter Art d auf ab, so
ist
mög-
es nicht
aus der Grenzlage ein Viereck zu konstruieren, wenn im Dreieck bcd
cd oder db
bc oder
sich gerade schliefst,
Fällen auch ab sich immer gerade
wenn
schliefst.
Transformieren wir beim ersten Fall
ins Unendliche,
so
nicht in den ersten beiden
beim zweiten und
b,
dritten d
wird das Dreieck der Grenzlage in allen drei Fällen
Die Bedingung dafür wird:
geradlinig.
{ö— a— 1) — ß — /
beim ersten
Fall,
wo pabw
gehängten Kreisscheiben
eingehängten
bedeutet,
Zahl der von d nach
erhalten
ein-
bc polar
wir unter Ver-
Bedingungen:
die
— a—ß—y
a + ß—/—6
a — ß +y — S
3)
die
drei Fälle
die
Z(p a b{d) +Pbc(A)
ö
2)
+ 2pab(d) + 2inc(,i)
p bC (d)
Für
wendung analoger Bezeichnungen
1)
1
Anzahl der von d nach ab hinüber polar
die
Kreisscheiben.
=
+
2(2>cd(b)
Pabulj)
2(Pab(c)
Pttbl.d))-
Sobald eine dieser Gleichungen
erfüllt wird,
1)
kann
die
Grenzlage ab(d)
nicht zur Konstruktion von Vierecken benutzt werden.
Genügen
die
Winkel diesen Bedingungen
nicht, so ist die
zweiter Art zur Konstruktion von Vierecken zu gebrauchen.
2.
um
Ferner
die festen
eintreten.
ist
Ecken
Diese so
der besondere Fall möglich, dafs bei
gleichzeitig zwei
Grenzlage
-
Drehung der Seiten
Grenzlagen von verschiedenem Typus
entstehenden Grenzlagen
sind also auch noch bei der
Konstruktion der Vierecke zu verwenden.
Dafs
möglich.
so
zwei Grenzlagen
Tritt eine
müssen zwei
eines
Grenzlage
Kreise sich
Bogens berühren,
so
erster
Art
erster
und eine zweiter Art gleichzeitig
nicht
dafs
die
gleichzeitig
eintreten,
nur in einem Punkte,
beiden
ist
sondern
nicht
ein,
längs
Kreise ganz zusammenfallen
Fallen die Kreise ab und cd zusammen, so mufs die Bedingung
(Fig. 56).
erfüllt sein:
d—a
wo m und
aber
= 2m+l;
ß
—7 =
2«
+
l,
n zwei positive oder negative ganze Zahlen bedeuten.
dieselben Bedingungen,
bei
denen
die
Dies sind
gewöhnliche Grenzlage erster
Über
57
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Art unbrauchbar war.
Dieselbe
durch
also
ist
neue Grenzlage zu
diese
ersetzen.
Dafs zwei Grenzlagen zweiter Art gleichzeitig eintreten,
möglich
ist
auf dreierlei typische Arten:
a)
und
ä fällt auf ab
6
Aus
gleichzeitig auf bc
—a—ß—y —
dieser Grenzlage
2(p a b(d)+Pic(d)
ist:
+ l)
aber nur dann durch Drehung ein
sich
läfst
Dann
(Fig. 57).
Viereck erzeugen, wenn nach Absonderung aller polar eingehängten Kreisscheiben,
laufend
wie in der Figur, entweder ab
ist,
wenn
oder
die
allein oder bc
Parameter so bestimmt
allein
sind, dafs
noch um-
ab .und bc sich
gerade schliefsen.
b)
d
fällt
auf ab und gleichzeitig
a
Aus
+ ß—y— ö
nicht
mehr umlaufend
Aus
ß
dann ein Viereck erzeugen,
Grenzlage
dieser
nach Abtrennung
aller
oder zweimal umlaufend
die
geeignete Be-
=
c
auf ab (Fig. 60).
2(Pab(c)
Dann
wenn ab
eingehängten Kreisscheiben keinmal,
ist (Fig.
61
—
a,
63).
b,
c,
ist:
Pab(d))-
sich ein Viereck konstruieren,
läfst
polar
sich durch
läfst.
Ö
ab die Eckpunkte in der Ordnung
Die für
was
sind (Fig. 59),
+7
ist:
2(p C d(.b)—(pabw),
d fällt auf ab und gleichzeitig
«
Dann
eingehängten Kreisscheiben ab und cd
aller polar
stimmung der Parameter erreichen
c)
auf cd (Fig. 58).
dieser Grenzlage läfst sich aber nur
wenn nach Absonderung
beide
=
b
einmal
Doch müssen dabei auf dem Kreise
d oder
a,
b,
d,
c
aufeinander folgen.
Winkel gefundenen Gleichungen stimmen aber mit den
oben gefundenen überein, bei deren Bestehen die Grenzlage ab(d) zur Konstruktion
Vierecks unbrauchbar war.
eines
lagen sind also
zeitig eintreten.
Nova Acta XCI.
Nr.
1.
diejenigen
zu setzen,
bei
An
die
Stelle
dieser
Grenz-
denen zwei Grenzlagen gleich-
58
W. Ihlcnburg,
Kapitel
II.
Die Ergänzungsrelatioiien.
§ 13-
Prinzip bei der Ableitung der Ergänzungsrelationen.
Wir
welches sind die Relationen,
fragen,
welche die Abhängigkeit
zwischen den Umlaufszahlen der Seiten eines Kreisbogenvierecks und den
AVinkeln darstellen?
Wir zählen aber
Umlauf
einen
ganze Peripherie auch wirklich durch den Bogen überschritten
Die Uralaufszahlen bezeichnen wir mit u a
Es bezeichnet im Dreieck mit den Ecken
i,,
u,JC
a, i, c
wenn
erst dann,
,
u cd
,
die
ist.
n.,„.
und den Winkeln
a, ß,
y
^fa-ß-Y+ l'
Umlaufszahl
die
E
a
(
-r
-
)
der
dem
Winkel a
gegenüberliegenden
diejenige gröfste ganze positive Zahl
Seite,
wobei
oder Null bedeutet,
t
welche von
Die
nennt
man
—^—
-
für
-
die
überschritten wird.')
dadurch
Seiten
gegebenen
Uligleichheitsbedingungen
Ergänzungsrelationen.
Lassen wir das Viereck, indem wir Ecken und Winkel
durch Drehung der Seiten
in eine
festhalten,
Grenzlage übergehen, so kennt man also
für die in derselben entstehenden Dreiecke die Ergänzungsrelationen.
Grenzlage lassen sich deshalb
leicht
die
Beziehungen zwischen den
laufszahlen der Seiten und den Winkeln aufstellen.
zum Viereck
Für
die
Um-
Da nun beim Übergang
aber sowohl die Winkel, wie auch die Umlaufszahlen der Seiten
erhalten bleiben, gilt die erhaltene Relation ohne weiteres für das Viereck selbst.
Indem wir an allen zu gegebenen Winkeln möglichen Grenzlagen
die Relationen
aufstellen,
erhalten
wir
die
Ergänzungsrelationen für alle
Vierecke, welche zu gegebenen Winkeln existieren.
Die Vierecke, welche aus Grenzlagen
die Vierecke,
hervorgehen
und
welche aus Grenzlagen zweiter Art hervorgehen, behandeln
wir besonders.
i)
erster Art
Klein, Math. Ann. 37,
S.
585.
Über
59
die geometrischen Eigenschaften der Kveisbogenviereeke.
§ 14.
Die Ergäiizuiigsrelationeii der Vierecke, welche aus Grenzlagen
erster Art entstehen.
mögen
In der Grenzlage erster Art
sich
ab und cd berühren.
Wir
könnten nun in jedem Dreieck der Grenzlage die Umlaufszahlen für sich
da wir aber sogleich für die ganze Schar der Vierecke, die aus
zählen;
der Grenzlage
erster
Art hervorgehen können,
die
müssen wir einen etwas anderen
ableiten wollen,
Ergänzungsrelationen
Weg
einschlagen,
denn
auf die angegebene Art ergibt sich nicht, wie die Umlaufszahlen der Vierecksseiten
von dem Parameter der Grenzlage abhängen.
Wenn
ein Viereck
wir aus der Grenzlage herausdrehen,
vor uns, bei dem
Einhängungen machen
Für
sich
so
haben wir zunächst
von ab nach cd hinüber transversale
lassen.
welche aus der Grenzlage erster Art entstehen,
die Vierecke,
müssen demnach dieselben Ergänzungsrelationen gelten wie für
ecke,
Einhängungen machen
die sich transversale
in
ein
transversale Einhängungen
und cd
in
die
die ver-
Relationen
Wir verfahren dabei folgendermafsen
dieser Vierecke ableiten.
Wir denken uns
Um
lassen.
Ergänzungsrelationen zu finden, können wir also
langten
die Vier-
Viereck vorgelegt, in das sich von ab nach cd
machen lassen und transformieren
die Kreise ab
zwei konzentrische.
Wir bewegen, indem wir einen Vierecksparameter auf die erste Weise
deuten, den Kreis bc. Die Bewegung ist nach einer Richtung hin unbegrenzt,
denn die Einhängung eines Kreisringes kommt jedesmal einem Herumführen
des Kreises bc um einen Vollkreis gleich.
Bei der Bewegung nach der
andern Richtung tritt aber stets eine Grenzlage ein. Während das Viereck
sich in dieser
Grenzlage
erhalten wir
zwar
vierecks
,
Seiten ab
bc
nicht
befindet,
die
berechnen wir die Umlaufszahlen.
Dabei
Umlaufszahlen für die Seiten des Ausgangs-
denn bei der Bewegung des Kreises bc sind Umlaufszahlen der
und cd
ev. verloren
genau kennen, lassen sich
mitteln, so dafs
man
gegangen.
die
Da
wir aber die Bewegung von
verloren gegangenen Unilaufszahlen er-
die Relationen des vorgelegten Vierecks erhalten kann.
8*
60
W. Ihlenburg,
"Wenn wir den Kreis
bc
zur Grenzlage
bis
verschieben,
so
die
ist
Grenzlage vierter Art nicht möglich, da sich die Kreise ah und cd imaginär
Auch
schneiden.
a auf
Grenzlage zweiter Art
die
so könnte der Kreis bc nach
bc,
ist
nicht möglich.
keiner Richtung
Fiele
z.
B.
unbegrenzt bewegt
werden.
Also
nur die Grenzlage erster Art (bc,da) oder eine der Grenz-
ist
lagen dritter Art
Tritt die
(a,
und
b)
erste
möglich.
d)
(c,
Grenzlage
ein,
mufs,
so
während das Viereck
sich
nahezu in derselben befindet, ein zur Einhängimg von Kreisringen geeigneter
Schnitt, der
von der Seite ab nach cd geht, zwischen der von bc und da ge-
Wir müssen
bildeten Einschnürung hindurchgefühlt werden.
dabei von der
Grenzlage die Eigenschaft verlangen, dafs dieser Schnitt vollständig innerhalb
des
von den Kreisen ab und cd gebildeten
geführt werden kann.
7,
6,
Die einzigen Dreiecke mit den Winkeln
hindurcha,
ß,
und
o
Grenzlage mit dieser Eigenschaft zusammensetzen
die sich zu einer
o,
Ringgebietes
lassen, sind aber diejenigen, bei denen
+ ß<l
/ + 6 < 1
a
Dies ergibt
sich,
wenn man
ist.
die reduzierten Dreiecke aller
Typen zu
einer Grenzlage mit der verlangten Eigenschaft zusammenzusetzen sucht.
Alle übrigen Vierecke der betrachteten Art gehen bei der erwähnten
Verschiebung von bc also
noch
lateral
die dritte
in
Grenzlage über, wobei weder polar
angehängte Kreisscheiben herausfallen.
Welche notwendige und hinreichende Bedingung mufs nun zwischen
den Winkeln bestehen, wenn ein Viereck der betrachteten Art,
Zusammenfallen der Eckpunkte
soll?
c
und d
in die dritte
z.
B. durch
Grenzlage übergehen
Offenbar lassen sich dann im Dreieck der Grenzlage nach der Seite
ab hinüber polare Anhängungen machen.
Damit
Seite a b
+ 1 >0
nun im Dreieck mit den Winkeln
hinüber eine polare
sein,
Anhängung möglich
da dann die Zahl
£
y
ist,
+
6
—
mufs
"~
y
/
9
um 1 wachsen
Wenn demnach e
)>
l,
(7
«,
ß
nach der
+ 6 — l) — « — ß
welche die
wenn man
Um-
+ 6 — 1 um
laufszahl der Seite ab angibt,
mufs,
den Betrag 2 vergrößert.
und d zusammenfallen, so
y
+ 6 — a — ß>
0.
y
ist
Über
Diese Bedingung
Grenzlage
möglich,
(c, et)
die
61
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
mit der Bedingung y
ist
Denn
auch hinreichend.
Grenzlage
ebenfalls
(a, b)
+ 6^>i zum
Grenzlage
die erste
dann a
weil
nicht,
Eintreten der
dann nicht
ist
+ ß — y — d>
sein müfste.
Wir berechnen nun
während das Viereck
die Umlaufszahlen,
sich in
der Grenzlage befindet.
Aus
=
§ 5 wissen wir bereits, dafs u ic
=
u da
ist.
Wenn nun
y
1)
ist,
+ 6 — a — ß>0
Umlaufszahl von ab
so ist die
Grenzlage gleich
in der
'
E
2
Verschieben wir jetzt bc in umgekehrter Richtung, so dafs aus der
Grenzlage Vierecke entstehen,
so
wird
wenn wir immer
hierbei,
um
verschieben, im allgemeinen zuerst die Umlaufszahl von ab
zunehmen
Während
(Fig. 64).
E
Umlaufszahl von ab gleich
e
=
und
Ist
£
also
noch nicht
cel
— —
fy+6
(-
2
=
1
aber y
)
+ e,
weiter
eine Einheit
umlaufend
ist,
die
ist
wobei im allgemeinen für
Vierecke existieren.
+ ö—a—ß
Grenzlage sich gerade
noch nicht umlaufend
eine
so ist die
schliefst,
ist,
Hängen wir
jetzt
von ab und cd immer
um
Uab
Umlaufszahl von
beständig gerade
der Grenzlage, sodafs also dann für
—
Ucd
um
während
ab,
genommen werden
wachsen
so
ein,
der
in
cel
eine Einheit gröfser als in
nur der Wert 1
£
Kreisringe
dieselbe
sodafs ab
gerade positive Zahl,
die
darf.
Umlaufszahlen
Anzahl von Einheiten, sodaß
—
+ Er— ——-
-
)
+
£
ist.
Wenn
y
2)
ist,
so
geht bei
+ ö—a — ß
der Konstruktion
des
=
Dreiecks der Grenzlage
gegenüberliegende Spitze
Kreis ab durch die
des
Dreiecks,
Grenzlage nicht zur Konstruktion eines Vierecks brauchbar
also in diesem Fall,
wenn wir im gegebenen Viereck den Kreis
auch nicht zu dieser Grenzlage gelangen.
Fall
ein.
Die
ist.
dritte
Grenzlage
tritt
Es
tritt
d)
(c,
sodafs
der
diese
Wir werden
verschieben,
deshalb ein spezieller
gleichzeitig an den Seiten ab
und cd
62
W. Ihlenburg,
sodafs
ein,
Zweieck entsteht mit dem Winkel a + ß—l
ein
= 7 + 6—1.
Führen wir den Kreis bc wieder aus der Grenzlage heraus, so nehmen
Umlaufszahlen von ab und c2 immer gleichzeitig
%i
Wenn
so
dann aber
dieser
ist in
=
s
oben
die
entstanden,
also stets:
licd'
abgeleitete Gleichung noch gelten
soll,
so
finden
die Vierecke zurück,
die aus der
Grenzlage
wir aus Fig. 65 die Bedingung dafür, dafs
ab sich beim Herumführen des Kreises bc früher überschlägt als
die Seite
cd.
——
ist
o zu nehmen.
Gehen wir wieder auf
{bc, da)
ab
Es
zu.
die
In der Figur
geführt,
bis
und
c
<
Winkelsumme
der Kreis bc noch über die Grenzlage hinaus nach db'
ist
Es
zusammenfallen.
d
weil
ist,
im Dreieck
die
eab'
sein mufs,
l
(1— 7— 6) + a+ß<l
y
Wenn
y
+ 6— a—ß
cd sich gleichzeitig beim
diese Vierecke die
In
handeln
dem
ist,
=
+ 6 —a—ß>0.
o ist,
so
müssen auch
Herumführen von
y
überschlagen, sodafs also für
bc
oben erhaltenen Regeln bestehen bleiben.
54
speziellen Falle der Fig.
ist
und
hier die Seiten ab
+
6
—«
bleibt hier bestehen, sobald
eine
ß
man
t
§ 12,
in
Die abgeleitete Relation
gerade Zahl.
=
der hier noch zu be-
setzt.
l
Die Vierecke, die aus Grenzlagen vom Typus der Fig. 56 entstehen,
behandeln wir im nächsten Paragraphen.
Wir
fassen
zusammen:
Für diejenigen Vierecke, welche aus der Grenzlage
entstehen,
I.
{ab,
eil)
ist:
Uab
=
Ucd
— —-
+ Er
+ i;
uic
=
u,,„
=
J
wenn
y
+ ö—a — ß > o
Es gibt Vierecke nur für
gerade positive Zahl, nur für e
sonst für £ = l und für t = o.
e
=
=
o,
ist.
wenn y + ö — a —
wenn y + ö — a — ß —
1,
eine
;i
Q
ist,
Über
Wir können an
Beweis erbringen,
von ab nach cd
sind,
dieser Stelle leicht den ans § 5 noch rückständigen
die
dai's
Winkel der reduzierten Vierecke,
Kreisring'
ein
den Bedingungen «
+ß<
die aus der dritten
Vierecken,
überliegende
63
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.-
einhängen
l,
y
+6<
reduzierten Vierecke
und ab und cd umlaufend
läfst,
genügen müssen.
Grenzlage entstehen,
umlaufend sind,
Seiten
l
stets
Grenzlage entstehen, bei der «
+ß<
y
.1,
ist,
ein Kreisring
verlangten Art können
der
bei denen sich
+6<
l
Denn
bei
den
wenn zwei gegenDie
eingehängt.
nur aus der ersten
also
ist.
§ 15.
Die Ergänzungsrelationen der Tierecke, welche aus Grenzlagen
zweiter Art entstehen.
Wir
betrachten als Beispiel die Grenzlage zweiter Art ab(d).
In derselben entsteht ein Dreieck mit den Winkeln:
d—a—l — 2p aW)
,
ß,
y-
Durch Anwendung der Ergänzungsrelation des Dreiecks
ergibt sich
demnach:
(a
tiali
Uic
ÜJ
+ 2\
I
w (a
+ ß—y — 3+2paT>(a)+
2
J-'
=
0.
Hierin hat p a
i,
w
nacheinander alle ganzzahligen Werte zu
laufen, für die
E'(
E' (-
ab(d)
w (6— — a — ß — 7 — 2pab(d)
=
Med
U.lu
— ß + y — S+2p
P<tvi<
—
6
~a~1
soll die gröfste
)^PaHd>^0
ist.
ganze nicht negative
in
J
Zahl bedeuten,
•5
=--
-
——a —
1
.
sodai's,
-,
wird.
wenn
—|—
-
eine
durch-
ganze Zahl
—
ist,
enthaltene
E'l-
~
j
64
W. Ihlenburg,
Im allgemeinen
gibt
es
stets
für
t
=
und
o
s
=
1
Vierecke,
die
durch Variation des Parameters der Grenzlage entstehen.
Für
für die
Umlaufszahlen nicht ohne weiteres, da sich
keine
dort
12 behandelten Ausnahmefälle gelten jedoch diese Symbole
die in §
Grenzlage ah iß)
Wir müssen
dies
Umlaufszahlen zeigen unmittelbar,
dafs,
Kreisbogendreiecke
eigentlichen
in der
abtrennen.
nachher berücksichtigen.
Die obigen Formeln für
wenn pabw und
die
e
die
nacheinander
ihnen zukommenden Werte annehmen,
die
dann ergebende Zahlenreihe jeder Umlaufszahl keine Lücke be-
sich
sofern die Umlaufszahlen sich überhaupt verändern.
sitzt,
Wir
nun
stellen
zwischen
die
—
Umlaufszahlen
den
bestehenden
Relationen auf.
Ist
zunächst:
«
so findet
man durch Hinzufügen
2 (d
dafs «
W—
d
+ ß—r — ö + 2
ist
in
~
+2>
-)
0,
der Bedingung:
_ a _ _ 2 E 6 -"- 1 )) >
i
l
— ß + y — 6+2JE' (-—|- —\ <
Also
a
-
0,
ist.
diesem Falle für jeden Wert von p U b<,i,:
Uab
=
JPaV(d)
+£
Solange nun die Bedingung:
a
+ ß — y—ö + 2p«
b(ll)
+2>
erfüllt bleibt, ergibt sich:
=
„fa + ß —
~y — 6\1+1
= Uab + h[
Ui c
und ferner:
Ucd
wenn im besonderen
Wenn
Ucd
a
+ ß — y — 6>o
dagegen im besonderen
6—a
+ E (7 +
S.
ist.
a-\-
ß
— y — d <o
ist,
so
ist:
— ß\ = E + ß — 7 — Ö + 2 p, + 2\ E (7 + ö= Pab(d) = U
Uab = Ucd + E — —— - J+S.
fcc
l ,,
( ., J
[
ab
I
£
über
DO
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Setzen wir in der ersten der beiden Relationen, die zwischen u ai und
noch
u cd bestehen,
für
e
Solange a + ß
l
so ergibt sich:
e,
— y— 6 + 2p
a b(d>
+2 >
Grenzlage
der Vierecke, die aus der
Ist der
—
Ergänzungsrelation I
gilt die
ist,
entstehen.
(ab, cd)
Winkel des Dreiecks der Grenzlage
bei d
null,
so
können
Kreisringe zwischen ab und cd herausgefallen sein, was die Relationen auch
berücksichtigen.
Treten nun die in den Fig. 56, 58, 59 gezeichneten speziellen Grenz-
lagen
ein,
nach § 12:
so ist
a+ß—y—6 =
Uab
= Pab(d) +
wo beide Zahlen s entweder
Demnach ist in diesem Falle:
Ucd
U cd
6;
+ ß—y—6
eine gerade Zahl
Nimmt pabw noch
ist,
«sc ist zunächst ebenfalls
dagegen
für u bc das
u^ + Ubc
n.
Ucd
Tritt
aber
die
in ihr
müssen.
sein
=
1
setzen, sobald
+ ß — y — d = o ist.
+ ß — y — 6 + 2p ab + 2 <
(d)
Wird
null.
a b(d)
Argument
da
=
"
0.
~^ 7
l
s
sobald a
0,
so wird a
= E r~~
=u =
in Fig. 57
=
e
ö—a — ß — y — 2p
dem Symbol
1
j
wenn wir
noch
.
zugleich
oder
„
weiter ab,
£,
+ ß — Y—ö
- a
~U a b
Ucd
so ist in
Pab(d))
zugleich
sodafs die Relation I bestehen bleibt,
a
—
= Pcd(b) +
2(Pcd(b)
schliefslich
> 0,
und demnach
positiv,
~
j
+
ist jetzt:
s;
0.
gezeichnete
Grenzlage
spezielle
ein,
nach § 12:
ist
—a—ß—y =
= Pab(d) +
U
2(pab ( d)+Pbcfd)+
ö
ab
wo
beide Zahlen
Demnach
s,
^1
!
Ubc
2.
Pbc(d)
+
l)
1
entweder zugleich o oder zugleich
ist in
£li
l
sein müssen.
diesem Falle:
6—a—ß—y
=
—5
Nova Acta XCI. Nr.
=
u ai
+ u bc
.
9
so
66
W. Ihlenburg,
Die Relation II
£
=
gerade schliefsen, so
zu setzen.
dann u a
ist
ihr
Fig. 57 so, dafs ab und bc beide sich
= Pam?,
i,
—
u ic
anfangs gestellte Bedingung nicht
Ist die
a
ist
in
setzt.
i
Wählt man aber den Fall der
so
wenn man
diese Vierecke,
für
also
gilt
stets Ucd
=
+ ß— 7 -6+2JE'(
u bc
O.
6
=p
wendig wie im vorigen Falle w a4
und
in II
s
=
o
sondern
+ 2<0,
)
zunächst ebenfalls
ist
b c(d>
erfüllt,
1
°
=p
+
a i<d)
Doch
null.
ist
nicht not-
s.
Wird aber wieder
6
so wird auch
Wir
wiederum u ab
fassen
— « — ß — y — 2pab(d)>
= p + sodafs wieder die Relation II besteht.
0,
t,
a b<d>
zusammen:
Bei den Vierecken, die aus der Grenzlage ab(d) hervorgehen, erteile
man p a b(d>
nacheinander alle ganzzahligen Werte, für die
E' (—
—g—-) ^Pai d)7>0
(
ist.
Solange wie
«
ist, gilt
die Relation
+ 8 — 7—6 +
I (S. 62)
ipabw
+2>
der aus der Grenzlage
(ab, cd)
ent-
stehenden Vierecke nebst den Bestimmungen über die Zahl
e.
Solange wie dann weiter
6—a — ß — y — 2p
ist,
a b(d)>
gilt die Relation:
H.
Uab
+ Ubc
Ucd
wobei
ElU da
=
=
—^
L
J-t£;
0,
und i
l Vierecke gibt.
nimmt hier der Reihe nach alle Werte an, für welche:
es stets für
u ab
=
=
=
g(—^)+^(
g
s
o
"^ +y ~ d+8g (~»~)
)>^>-g(
a
~ g+
r J+
-) ist
-
Über
die geometrischen Eigenschaften der
Für diejenigen Werte von
Bedingungen erfüllen, ist
=
Übe
und
iiab
nimmt
alle
Werte
Ua a
=
die in
an,
welche keine der obigen
Pabw,
=
Ucd
67
Kreisbogen Vierecke.
0,
und
I
vorkommen
nicht
II
können.
Aus den Figuren 60
wo
speziellen Falle,
«
— 63
ergibt sich noch, dafs in
—ß + y—ö
eine gerade Zahl
dem noch übrigen
die aus diesen
ist,
Grenz-
lagen konstruierten Vierecke zu der zuletzt erwähnten Art gehören.
lassen sich auch stets so anordnen,
Werte von u a b
dafs die
Sie
bei ihnen eine
ununterbrochene Folge ganzer Zahlen bilden.
Die für u ab angegebene obere, Grenze
läfst sich
so
umformen, dafs
wir sagen:
Der
gröfste
Wert von u a
b
ist
gleich
EJö-p^\
Für
pat(d)
=
E'(
^
Übe
]
=
0;
7 -pll\
E (_
Qder
.
um
^.^
ergibt sich ferner:
iß
= E[ — y + l\
Uaa =
u cd
'-
1
oder
um
1 kleiner.
o.
Für
Pab(d)
u ed
=
ergibt sich noch:
= El—^-
—
'-
Uj a
1;
=
Übe
=
^
El
-1
0.
§ 16-
Die wesentlichsten Eigenschaften der vollständigen zu gegebenen
Winkeln möglichen Schar von Vierecken.
Wir
betrachten jetzt die
zweidimensionale Schar sämtlicher zu
fest
gegebenen Winkeln vorhandenen Vierecke.
Wie
in § 5 gezeigt
ist,
Vierecke, bei denen u a t und
gibt es bei beliebigen
w^ zwar
Winkeln sowohl
stets
voneinander abhängig sind, im übrigen
aber beliebig grofs vorgeschrieben werden können,
als
auch Vierecke,
9*
bei
68
W. Ihlenbnrg,
denen u at
=
Ferner gibt es auch
ist.
stets
Vierecke,
bei denen
und u da entsprechend verhalten.
sich uic
Aus
Hülfe der Funktionentheorie erschlossenen Tatsache,
mit
der
Vierecke ein Kontinuum bilden,
sämtliche
dafs
=
u cd
dafs
folgt,
Vierecke für
sämtliche Zwischenwerte der Umlaufszahlen vorhanden sein müssen.
Wir wollen
Vierecksschar so
die
anordnen, dafs die Werte jeder
Umlaufszahl eine unterbrochene Folge bilden, für
Wertequadrupel derselben
die
dabei
zeigen
die in
dafs
In der getroffenen
die
was
möglich
stets
Anordnung müssen
ander.
Man
Auch
gezeigt worden
ist,
Grenzlage ab(d)
die
die
—
j
+ 6 — a — ß>0
6
+ a— ß— 7^0
ist.
aller
Vierecke, die aus
konstruiert werden können, lückenlos anein-
(ab, cd)
erreicht dies,
ringe einhängt.
dann
Bezeichnung derart, dafs
Zunächst schliefsen sich die Umlaufszahlen
Grenzlagen erster Art
sich
alle
Vierecke kontinuierlich aneinanderschliefsen.
und
ist,
Dann
angegebener Weise konstruierte Vierecksschar
die konstruierten
Wir wählen
und
dieser Reihenfolge Vierecke konstruieren
in
möglichen Vierecke enthält.
notwendig
zusammengehörigen
zugehörigen Ergänzungsrelationen angeben.
auftretenden
wir,
alle
indem man zunächst
0,
dann
1,
dann 2
.
.
.
Kreis-
bei Grenzlagen zweiter Art schliefsen sich, wie in § 15
Umlaufszahlen lückenlos aneinander, wenn
Zahl p ab(d nacheinander die Werte E*(
)
z.
B. bei der
——
^
),...i, o
annimmt.
Aus den Grenzlagen
(ab, cd) erhalten
ringen Vierecke für alle Werte von u ab
K
sind.
Dieser Wert selbst
Dreiecke der
die gröfser oder gleich
d= ±i + r +J
f ) ^( -"l )
ist
der
kleinste,
der
aus der Grenzlage (ab,
cd)
man durch Anwendung der Dreiecksrelation auf
Grenzlage findet. Zu diesem Wert von u ab gehört
erhalten werden kann, wie
die
,
wir durch Einhängen von Kreis-
Über
A)
a—6>i.
Wert von u cd
dieser
Ist
69
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Durch Hinzunahrne von
ersten Falle noch
d— a >
>
y
so
o,
+ ö— a — ß^>0
im zweiten noch
1,
entweder ß
ist
y
ergibt
—ß >
l
—y >
sich,
l
oder
dafs
im
ist.
Wenn
ab{d)
—a >
d
1.
und
l
und zugleich ß
—y >
l
Grenzlagen
so existieren die
ist,
cd(b).
Die gröfsten aus der Grenzlage ab(d) sich ergebenden Werte von
Uab
und u C d
lagen
schliefsen
ohne Lücke an die kleinsten aus den Grenz-
sich
erhaltenen Werte an.
(ab, cd)
Die kleinsten aus der Grenzlage ab(d) sich ergebenden Werte von
Uab
und
sind in diesem Falle:
itcd
u<d
E( a + ß -l- 6 + * )=0.
=
Wenn
2.
a
—
d
>
l
und zugleich./
der Grenzlagen ab{c) in
aus den Grenzlagen
—ß >
l
ergibt sich durch Betrachtung
ist,
genau entsprechender Weise, dafs man von den
(ab, cd)
entstehenden Vierecken aus unter Durchlaufung
sämtlicher Zwischenwerte der Umlaufszahlen wieder zu Vierecken gelangt,
bei denen u a b
B)
=
Wenn
u cd
=
ist.
in der letzten
ß
Jetzt
o
kann u ah
—y <
Grenzlage erster Art bereits u
und zugleich
l
in dieser
«
—d <
C
d
=
ist,
so ist
l.
Grenzlage erster Art ebenfalls bereits null
oder noch gröfser als null sein.
Im
-/
— ß>l
sich
letzteren Falle
erfüllt.
wenigstens eine der Bedingungen d
ist
Die aus diesen
jetzt
— «>l;
vorhandenen Grenzlagen zweiter Art
ergebenden Umlaufszahlen setzen wieder ohne Unterbrechung die aus
der ersten Grenzlage sich ergebenden
Existiert die
Grenzlage ab(d), so
E
gebende Wert von u ab gleich
Ist
dieser
Werte der Umlaufszahlen
Wert noch
(-
nicht
ist
der
^
null,
kleinste
fort.
aus ihr sich
er-
j.
so
mufs
y—ß>l
sein.
Bei den
Vierecken der nun sicher existierenden Grenzlage ab(c) wird dann aber der
kleinste
Wert von u ah
—
E\-
—~—
)
=
0.
Zugleich
ist
auch M cd =o.
W. Ihlenburg,
70
Existiert nicht die
ecke
Uab
=
Grenzlage
der
0;
=
Ucd
ab(c)
zu
allein
Vierecken
man
durch die Vier-
den
Umlaufszahlen
mit
0.
Wir können
„Um
Grenzlage ab(d), so gelangt
jetzt sagen:
unter der Voraussetzung:
— a — ß^
6+a— ß — /^O
/
Vierecke
-+-
cS
der Reihenfolge zu erhalten,
in
von u ab und u cd an
Uralaufszahlen
bis
zu den Werten u ab
von beliebig grofsen Werten
=
=
u cd
konstruiere
man zunächst Vierecke aus den Grenzlagen
Kreisringe
so
dafs
ein,
ihre
o
die
Werte
Zahlen
ganzer
Folge
ununterbrochene
eine
dafs
aller
durchlaufen,
(ab, cd)
und hänge
Anzahl mit einer beliebig grofsen Zahl be-
ginnend ununterbrochen die Reihe der ganzen Zahlen bis
einschliefslich
durchläuft.
„Kommt
so
bei
man
konstruiere
diesen Vierecken
weiter
der
Wert
=
u ab
noch nicht
Vierecke aus sämtlichen existierenden
vor,
Grenz-
lagen ab(d).
„Existieren
Wert
itab
=
nicht
diese
vor,
so
sind
oder
kommt auch
Grenzlagen ab(c)
bei ihnen noch nicht der
genügender Anzahl vor-
in
handen, mit Hülfe deren sich die Vierecksreihe dann bis zu Vierecken mit
der Umlaufszahl u ab
=
o fortsetzen
läfst.
„Kreisscheiben sind ev. polar bei den Grenzlagen zweiter Art nachträglich
bis
einzuhängen,
so
ihre
Anzahl
die
Reihe der ganzen Zahlen
einschliefslich durchläuft.
„Die Konstruktion
in
dafs
läfst
sich offenbar von den letzten Vierecken aus
analoger Weise fortsetzen bis zu Vierecken,
Werte annehmen."
liebig grofse
Für
also nach §
denen u bc und u da be-
bei
die
Umlaufszahlen der
14 und 15 zunächst
I.
Uab
=
für beliebig grofse
Ucd
+ E I-
)
entstehen,
Vierecksschar gelten
+
£,"
Ute
=
Uda
=
zum Werte u cd = 0.
vom Typus II können
bis
einer Relation
den Grenzlagen ab(c)
konstruierten
die Relationen:
Werte von u cd
Vierecke mit
so
denn
die
hierzu
z.
B. nicht aus
notwendige Bedingung
Über
7
6
—«
ß
>
würde
o
Sie entstehen
stehen.
was wir
Ist,
71
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
in
Widerspruch mit der Voraussetzung 6 + a
— ß — /j>0
demnach nur aus den Grenzlagen ab(d) und
bc(d).
vorerst voraussetzen wollen,
6— a— ß— 7>0,
1)
so gibt es Vierecke mit den Relationen:
Uab+Ubc
IL
wo
=
—
E{-
-)
+ £;
Ucd
=
Uda
=
0,
wir utc alle Werte
„
^
> -n(&
<u
<E<-
— a—ß—
bc
2
Dies
erteilen.
dann also die einzigen Vierecke mit Relationen von
sind
diesem Typus.
Sollte die aus II sich ergehende Wertereihe sich nicht
erhaltene Wertereihe anschliefsen
=
=
Ucd
=
U da
I
so gibt es für die dazwischen fehlenden
,
Werte von u al auch noch Vierecke,
Übe
an die aus
für
welche dann
aufserdem immer
0. ist.
Die Relation II enthält bereits
die Vierecke, für die u ab
=
o
ist.
Zuletzt gibt es Vierecke mit den Relationen:
=
Ute
III.
Uda
—-r
+ Ei-
Die aus II und III sich
notwendig,
—J +
U ab
=
U cd
=
0.
ergebende Wertereihe für u bc
entsprechender Weise
in
8;
zu vervollständigen
ist,
wenn
wie die Werte-
reihe für Uab.
Ist
nun
6
2)
so
haben wir
in §
15
— a — ß — y5^0,
die Relation II
zwar nicht
für diese Fälle abgeleitet.
Stellen wir sie trotzdem auf, so reduziert sie sich auf:
Uab
Für
u bc
=
£
und
für
t
=
Uab
=
l
wird
= 0;
+ Ubc
=
=
durch u ab
Im allgemeinen
Ucd
«;
erste
die
Übe
=
=
U da
Gleichung
—
0.
befriedigt
durch:
u ab
=
1;
1,
u hc
—
0.
sind Vierecke mit diesen Umlaufszahlen vorhanden.
72
W. Ihlenburg,
jedoch
Ist
für
=
£
y+d—a — ß =
Da
= Med =
Ist
ebenfalls
y
+ 6—a—ß>o
==
£
Ist
o,
so sind
=
Übe
0;
ist.
1
y
es,
=
s
Angaben schon
o zu nehmen.
+ a — ß— 7
6
=
genügt
so
0,
0.
+ ö—a — =
und
(3
zugleich
ö
+
a
—ß—y =
so
0,
nur
ist
zulässig.
Regel für
die
eine der Gleichungen y
=-
und
£
auch
aber
zahlen null
sind,
bei
immer
aufstellen,
wenn wir
ist
nur
=
£
+ 6—a—ß
=
vorzuschreiben,
—7 =
+ «—
6
0;
wenn wenigstens
erfüllt ist,
sonst
== 1."
Wegen
vom Typus
die Relation II
so fassen:
£
„In der Relation II
y
=
Uda
und gleichzeitig
Wir können demnach
£
+ a—ß—7 >
dieselben aber durch die übrigen Relationen und
berücksichtigt werden, genügt
=
6
o nur die Vierecke vorhanden, für welche
UBb
£
und zugleich
o
unserer Voraussetzung
der
Relationen
keine
Vierecke
und
von
keine
denen in c
=
u cd
=
u da
Art
=
weiteren
Relationen
Der Voraussetzung wegen
III.
der
es
weiter
und
w„&
wo
auf,
Denn nach § 15 mufs„ damit
sind.
+ 6—a—ß >
I
gibt
z.
drei
B. Vierecke
treten
Umlaufs
vorhanden
von Null verschieden
ist,
sein.
Die den obigen Relationen genügenden Wertequadrupel der Umlaufszahlen sind demnach sämtliche, die zu den gegebenen Winkeln auftreten.
Wir haben
in diesem
Paragraphen
bereits gezeigt, wie zu
jedem
—
dieser
Wertequadrupel aus einer Grenzlage Vierecke konstruiert werden können.
Wir untersuchen
keit
diese Konstruktion
noch
auf ihre Vollständig-
hin.
Wir
legen die Tatsache zugrunde,
dafs alle zu
gegebenen Winkeln
möglichen Vierecke ein Kontinuum bilden.
Wir geben neben den Winkeln auch noch
relationen
diesen
genügende Umlaufszahlen
Winkeln und Umlaufszahlen
einer Grenzlage, so gelangen wir,
vor.
in
feste
Konstruieren
den Ergänzungswir Vierecke mit
der vorher angegebenen Weise aus
wenn wir aus
demselben Sinne weiter drehen, schliefslich
in eine
dieser heraus beständig in
bestimmte zweite Grenzlage.
Über
73
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Verändern wir den Parameter der ersten Grenzlage, so ändert sich der
Typus der zugehörigen zweiten Grenzlage
Veränderung ihres Parameters
eine Grenzlage von
wegen nur über
ein.
Winkel
der Fall
eine
Lage hinweg möglich,
eine
aber
sie
ist
dies der Kontinuität
aber nach § 12
was im allgemeinen
nicht
so bleiben wir
solchen Gleichung,
einer
nichts als die
zweite Grenzlage in
Dann müssen
eintreten.
Veränderung des Parameters immer
bei
tritt
bei der die beiden Grenzlagen
besondere Gleichung erfüllen,
Genügen
ist.
Denn würde jene
anderem Typus übergehen, so
von verschiedenem Typus zugleich
die
sondern es
nicht,
bei Vierecken, die in dieselben aus-
gearteten Grenzlagen übergehen.
Umgekehrt hat auch
Grenzlage
die
Veränderung des Parameters der zweiten
nur die Veränderung des Parameters der ersten Grenzlage
stets
zur Folge.
Die Parameter der zusammengehörigen ersten und zweiten Grenzlage
ki'mnen wir
wegen der
vorgegebenen Umlaufszahlen mir so weit ver-
fest
ändern, bis eine Seite sich gerade schliefst.
Geht nun
ein Viereck z. B. in die
so entsteht auf diese
ist
Weise
Grenzlagen ab(d) und
cd(b) über,
von Vierecken, das begrenzt
ein Teilkontinuum
von einem Viereck, bei dem ab sich gerade
schliefst,
dem
lagen ab(d) und cd(b) und von einem Viereck, bei
von den Grenz-
cd sich gerade schliefst.
Bei diesen Vierecken und Grenzlagen hört die Existenzmöglichkeit
für
die
Membrane mit den vorgegebenen Umlaufszahlen und Winkeln
zu-
nächst auf.
Könnten wir nun aus anderen Grenzlagen noch weitere Vierecke
müssen
mit denselben Umlaufszahlen
konstruieren,
so
konstruierten Vierecke
kontinuierlich
überführen
zuerst
sich
diese
lassen,
in
die
was aber
nur über solche Vierecke hinweg möglich erscheint, bei denen sich eine
Seite
gerade
schliefst.
Es müfste
also
ein Viereck
mit einer sich gerade
schliefsenden Seite geben, das sich kontinuierlich in zwei verschiedene Grenz-
lagen überführen
läfst.
Ein derartiges Viereck gibt es aber nicht, da ein
Viereck mit einer sich gerade schliefsenden Seite nur einen Parameter besitzt
(Fig. 45),
bei
dessen Veränderung es nur in
eine Grenzlage über-
gehen kann.
Wir können das Ergebnis
Nova Acta XCI. Nr.
1.
der
letzten
Überlegung so aussprechen:
10
74
W. Ihlenburg,
„Alle Vierecke mit denselben Winkeln, die
gänzungsrelationen genügenden Umlaufszahlen
einzigen diese Umlaufszahlen und
wenn dem Parameter
es zu
lassen
gibt,
den Er-
festen,
aus einer
sich
Winkel besitzenden Grenzlage konstruieren,
Wert gegeben und um jeden
derselben jeder mögliche
möglichen Betrag aus der Grenzlage herausgedreht wird."
Es
noch die Frage, wie wir bei der
bleibt
in
diesem Paragraphen
anfangs angegebenen Konstruktion des zweidimensionalen Kontinuums auch
jedes mögliche Viereck nur einmal
ecke nur
wenn zwei
konstruiert,
benutzende Grenzlagen dieselben
ist
dann also
Es
ergibt sich also:
beiden
bei
Zweimal werden
erhalten.
Vier-
angegebenen Konstruktion zu
der
Umlauf szahl-en
besitzen.
Von
diesen
—
stets eine auszuschalten.
Benutzt man die vorher angegebenen Grenzlagen zur
Konstruktion des Kontinuums, so erhält man hierbei auchsämtliche Vierecke, die zu den gegebenen Winkeln existieren.
Benutzt man von zwei Grenzlagen von verschiedenem Typus,
welche dieselben Umlaufszahlen der Seiten ergeben, jedesmal
nur eine zur Konstruktion, so erhält man jedes Viereck auch
nur einmal.
Wir
fassen die über die Ergänzungsrelationen erhaltenen Ergebnisse
zusammen:
Die Bezeichnung werde so gewählt, dafs
y
+ d — a — ß^O
d
+ a — ß — y>0
u n (1
Dann
man zunächst Vierecke
hat
"
I.
al,
^- Ucd
Hierin hat
ist,
8
gibt
=
1,
es
gerade Zahl
=
o
>l
bc
=
Uda
=
0.
+
Für jeden Wert von
vorzuschreiben.
Vierecke für
nur für e = l.
nur
ist,
s
£-,
positiven ganzen Zahlen von
zu durchlaufen.
dann
mit den Relationen:
,
u c a die
(einschliefslich)
zuerst
fy + 6—a—ß\
+ E [—
-) +
„
ist.
£
=
0,
oo bis
a cd
ist
+ 6—a—ß = o
wenn y + d — a—ß eine
Wenn
y
Über
nK
(O
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Ferner hat man Vierecke mit den Relationen:
tt
IL
+ Übe
,
II
worin für
ab
die
«»„
=
-n
(ö
-
Jb
— a—— ß — y\ +
,
'-
Werte von
bis
Ucd
£;
—
_E(
~~1>
— Uda =
—
0,
(einschliefslich)
-]
zu setzen sind. Ist wenigstens eine der Gleichungen y+6— a— ß
ö+a—ß—y
=
so
erfüllt,
gibt es stets Vierecke für
Sollte die aus
an die aus
I
II
nur
ist
s
=
o
£
=
o
e
=
und
= 0;
vorzuschreiben, sonst
l.
erhaltene Wertereihe für u ab sich nicht
erhaltene anschliefsen, so gibt es für die da-
zwischen fehlenden Werte von
dann aufserdem immer
Ube
u ab
=U =
cd
auch Vierecke, für welche
U da
=
ist.
Endlich hat man Vierecke mit den Relationen:
III.
II
bc
=
u,i a
+ E(
~)
+ e;
Uat
=
Ucd
=
0.
Hier hat u da mit
beginnend die Reihe der positiven
ganzen Zahlen zu durchlaufen, und für jeden Wert ist zuerst
a = o,
dann s = l vorzuschreiben. Aufserdem gilt in den Ausnahmefällen für s die analoge Regel wie bei I.
Die aus II und III erhaltene Wertereihe für u bc ist, wenn
notwendig, in entsprechender Weise zu vervollständigen, wie
die Wertereihe für u ab
.
Hat man unter Benutzung dieser Regeln sämtliche zusammengehörigen Werte der Zahlen u ab u bc u u; u da ermittelt,
so existieren für jedes dieser Wertequadrupel auch Vierecke,
welche die gegebenen Winkel und die gefundenen Umlaufszahlen besitzen. Zugleich sind diese Vierecke sämtliche, die
zu den gegebenen Winkeln existieren. Sie bilden in der bei
den Relationen angegebenen Reihenfolge ein zweidimensionales
Kontinuum.
,
,
c
10*
W. Ihlenburg,
76
kann man nach Herrn E. Hilb
die
Regel für die Ergänzungsrelationen noch folgendermal'sen vereinfachen,
so-
Durch
eine andere Schreibweise
bald mindestens eine Seite umlaufend
Man nenne
1
)
ist:
umlaufende Seite
die
Dann
ah.
„ (ö — a — ß — 7 —
= JKlUab +
-
Uic
-
gelten die Relationen:
1-
v (a + ß — y — ö
=
u<i«
wo
£
im allgemeinen
„
(y
L{'
— ö———a — ß
u ab
+
l
—
t
oder 1 sein kann.
§ 17.
Herstellung des Kontimmins aller vorhandenen Vierecke.
Wir wollen
sechsdimensionale
Wir verändern
jetzt
geometrisch
Kontinuum
das
herstellen
für
die
Schar aller überhaupt existierenden Kreisbogenvierecke.
also
jetzt
Um
auch die Winkel.
geschlossenes Kon-
ein
tinuum herzustellen, haben wir aber nur nötig, an den Grenzen unserer
zweidimensionalen Kontinua
eine
also nur bei den Vierecken,
bei denen transversale
sind, kontinuierlich die
Überleitung
herzustellen,
wir brauchen
Einhängungen möglich
Winkel zu verändern.
Wir behandeln zunächst
die Vierecke, bei
denen sich von ab nach cd
hinüber Kreisringe einhängen lassen.
Wir gehen aus von einem Viereck mit den Winkeln
Wir können
beliebig
einmal, während wir den
Wert
Genau
während man
den Wert
für
«
hinterher unter Festhaltung der
wärts drehen, wodurch «
werden können
gröfsert
')
Vgl. die in der
für 6 festhalten, den
Winkel
«
indem wir den Eckpunkt a festhalten und d auf dem
vergröfsern,
Kreise weiter führen (Fig. 66).
lassen,
(Fig. 66).
0, 0, 0,
und
so
kann man auch
d
(Fig. 66).
Vorbemerkung
um
wachsen
Zweitens kann man
festhält.
Eckpunkte ä und
ö allein
a den
Bogen da nach aus-
einen beliebigen gleichen Betrag ver-
Auf
diese
Weise kann man jeden Wert
bereits genannte
Note
in
den Göttinger Nachrichten.
Über
der
Winkel
«
(i
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
und
Genau
6 kontinuierlich erreichen.
so
kann man
bei den
"Winkeln ß und y jeden Wert kontinuierlich erreichen.
Man kann zwischen den
Weise
zweidimensionalen Kontinua in entsprechender
Verbindung durch Vierecke herstellen, bei denen sich von bc
eine
nach da hinüber Kreisringe einhängen lassen.
Auf
ein
diese
Kontinuum
Weise
sämtliche Kreisbogenvierecke übersichtlich in
sind
eingeordnet.
§ 18.
Die Eindeutigkeitsfrage.
Wir haben noch
die
Frage zu erledigen:
zwei Membrane,
Sind
algebraischen und
die
den
in
welche den
zwölf Mafszahlen,
Ergänzungsrelationen genügen müssen, und
dem Kern
übereinstimmen, identisch?
Sind zwei solche Membrane nicht identisch,
so
können doch ihre
Begrenzungen, denen dann auch derselbe Umlaufssinn zugeordnet
ist,
stets
zur Deckung gebracht werden.
Alle Vierecke mit fest gegebenen Winkeln und Umlaufszahlen können
nach § 16
aus einer einzigen Grenzlage unter Abänderung des Parameters
derselben konstruiert werden.
Bei dieser Konstruktion können
die
Grenzlagen
aus
erster
Art von
die
Begrenzungen zweier Vierecke,
gleichem Typus, aber verschiedenem
Parameterwert konstruiert sind, nicht identisch sein und auch nicht durch
lineare
Transformation
möglich,
.so
dann wieder
würden
in
sie
zur
Deckung gebracht werden.
die beiden
Denn wäre
Grenzlagen erster Art, wenn
die
dies
Vierecke
übergeführt werden, dieselben Ecken und demnach auch
den gleichen Parameterwert besitzen.
Verändern wir
bleiben drei
Ecken
in einer
fest,
eine
Grenzlage zweiter Art deren Parameter, so
Ecke wird verschoben.
Die aus zwei Grenz-
lagen zweiter Art von gleichem Typus, aber verschiedenem Parameterwert
konstruierten Vierecke können
also nie in der
Begrenzung übereinstimmen.
Vierecke mit demselben Kern, denselben Winkeln und Umlaufszahlen,
die doch nicht identisch sind,
müssen sich
also,
wenn
sie
überhaupt möglich
78
W. Ihlenburg,
sind,
aus ein und derselben Grenzlage mit festem Parameterwert konstruieren
und durch Drehung
um
Ecken ineinander überführen
die festen
um
Messen wir durch den Winkel,
winkels hierbei gedreht werden,
lassen.
den die Schenkel eines Vierecks-
den Betrag der Drehung,
so
mufs dieser
Betrag bei der Drehung von einer dieser Membrane zur andern gleich einem
ganzzahligen Vielfachen von 360°
Erhaltung
Umlaufssinnes
des
sein,
denn nur dann kehrt unter
Begrenzungskreis
ein
wieder
seine
in
ur-
Lage zurück.
sprüngliche
nun ein Viereck eine oder mehrere umlaufende Seiten, so
Besitzt
Drehung, durch
erreicht der Betrag der
die es in eine
Grenzlage übergeht,
nie 180°.
Um
dies zu zeigen,
nehmen wir
an, dafs
180° erreicht werden können.
ab sei umlaufend.
Wir wollen den vom Kreise
ab
umschlossenen Teil der Vollebene,
Umlanfnng der Membran zur Linken
der bei positiver
als das „Innere"
liegt,
des Kreises ab, den anderen als das „Aufsere" bezeichnen.
Die Eckpunkte
soll erreichen
und ä müfsten nun, wenn der Drehungswinkel 180°
c
können, auf verschiedenen Seiten des Kreises ab liegen.
Denn würden
beide im Aufsern des Kreises üb liegen, so
Grenzkreis für die Seite
nicht Tangentialkreis
die
Ecken
c
;
nicht
Diagonalkreis sein können, aber auch
denn dann müfste der ganze Kreis cd und also auch
und d im Innern des Kreises ab
der Grenzkreis auf einen
Würden
sie
ab
Demnach müfste
liegen.
Punkt zusammenziehen
was
lassen,
und d beide im Innern des Kreises ab
c
würde der
sich
nicht möglich
liegen, -so
ist.
würden
nach Ausführung der Drehung von 180° im Aufsern liegen, was, wie
eben gezeigt, nicht möglich
ist.
c
und d liegen also auf verschiedenen
Seiten von ab.
Es möge
Der Grenzkreis
c
im Innern des Kreises ab
7c„Ma)
liegen, d
mufs dann notwendig durch
c
im Aufsern (Fig.
67).
Während
der
gehen.
Drehung führen wir nun den Grenzkreis mit, indem wir
ständiger
Drehung
Berührung:
von
'6
ab
um
die
Punkte a und
so weit fortgeführt, dafs der Kreis ab durch
vorher eine andere Grenzlage eingetreten,
so
fällt
c
c
ihn
unter be-
drehen.
geht und
Ist
nicht,
die
schon
der Grenzkreis mit
dem
79
die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke.
Über
Kreis ab zusammen.
Damit
ist
die
Grenzlage
ab(c)
und der
eingetreten
Betrag der Drehung noch kleiner als 180°.
Stets
die andere
tritt
Grenzlage also
ein,
ehe der Betrag der Drehung
180° erreicht hat.
Zwei Membrane, welche in den
zwölf Mafszahlen nebst den Umlaufszahlen und dem Kern
ühereinstimmen, sind stets identisch, wenn wenigstens eine
Seite umlaufend ist.
Es
ergibt
Ist
aber
sich
demnach:
keine Seite umlaufend,
so
kann der Drehungswinkel
von einer Grenzlage des Vierecks zur andern gröfser
als
360°
Deshalb
sein.
brauchen zwei Membrane der bezeichneten Art dann nicht identisch zu
sein.
Beispiele sind leicht zu konstruieren:
Aus dem
neue.
Das
in
Fig. 34
erste erhalten wir,
indem wir an
die Seiten ab
Beide Vierecke stimmen
linien,
demnach
gestaltlich
dieselbe
in allen
gezeichneten Viereck konstruieren
indem wir an
die Seiten bc
und da, das
und cd je zwei Kreisscheiben
nun
in
wir zwei
lateral
zweite,
anhängen.
den Winkeln und in den Begrenzungs-
zwölf Mafszahlen und im Kern überein, aber sind
doch vollkommen voneinander verschieden.
Man kann
sich auf
Weise aus jedem beliebigen Viereck ohne umlaufende Seiten Vier-
ecke der bezeichneten Art verschaffen.