Analytische Geometrie

Analytische Geometrie
Lexikon zur Klausur- und Abiturvorbereitung
1 Euro
Projekt des Mathe LKs 2006/2007:
Fabian Feddern
Kortine Kleinheinz
Simon Landsberg
Lennart Mou
Jan Overbeck
Katharina Schellhaus
Friederike Thun
Christopher Westphal
Analytische Geometrie – Inhalt
Seite
Thema
1
---/---
2
Inhalt
3
Grundbegriffe
4
Grundbegriffe
5
Darstellungen von Teilräumen des Rn
6
Winkelberechnungen
7
Winkelberechnungen/ Abstandsberechnungen
8
Abstandsberechnungen
9
Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
10
Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
11
Lagebeziehungen zwischen Ebenen
12
Lagebeziehungen zwischen Ebenen
13
Gegenseitige Lage von Geraden
14
Gegenseitige Lage von Geraden
Seite 2
Analytische Geometrie – Grundbegriffe
Seite 3
Ein Rechtssystem ist ein System aus drei räumlichen → Vektoren , die von einem
einzigen Ursprung ausgehen. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit dieser
untereinander bilden sie ein System, in dem sich räumlich bewegt werden kann.
 a
 
WT = V =  b 
 c
 
z
y
W
a
v
T
b
c
x
z
Ein Vektor ist in allgemeinster Form ein Element eines → Vektorraums, also ein
Objekt, das mit seinesgleichen addiert werden kann und mit Zahlen (=Elementen des
zugrunde liegenden Körpers) multipliziert werden kann.
In der Geometrie ist ein Vektor auffassbar als eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge
(Betrag), gleicher Richtung und gleicher Orientierung.
Vektoren haben normalerweise keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann daher
als die Menge aller "Pfeile", die kollinear (d.h. parallel sind, also die gleiche Richtung
besitzen), gleich lang und gleich orientiert sind, angesehen werden. Sie dienen im
Allgemeinen dazu, eine Richtung anzuzeigen.
Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ursprung (Ausgangspunkt).
Sie können zum Beispiel, als so genannte → Ortsvektoren, die Position eines
Punktes im Raum angeben.
Ein Vektor mit gleichem Betrag, gleicher Richtung aber entgegengesetzter
Orientierung eines anderen Vektors ist dessen Gegenvektor.
Ein Ortsvektor
y
P ist ein gebundener Vektor, durch den die Position (Lage, Ort) eines
Punktes P im Raum festgelegt wird. Um einen Ortsvektor angeben zu können, muss
ein eindeutiger Bezugspunkt definiert sein, der den Ursprung O eines
Koordinatensystems festlegt. Es gilt
P
O
P = OP .
x
 a1   a 2 
   
V1 *V2 =  b1  *  b2  = a1 * a 2 + b1 * b2 + c1 * c2
c  c 
 1  2
Das Skalarprodukt ordnet jeweils zwei → Vektoren
Im R³ ergibt sich aus dem Skalarprodukt
A
B eine reelle Zahl zu.
A* A der Betrag des Vektors A .
und
Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null
ist; zeigen sie hingegen in dieselbe Richtung, so ist das Skalarprodukt das
(gewöhnliche) Produkt ihrer Längen.
Analytische Geometrie – Grundbegriffe
 a1 
 
a × b =  a2  ×
a 
 3
 b1   a2b3 − a3b2 
  

 b2  =  a3b1 − a1b3  = c
b   ab − a b 
2 1
 3  1 2
 a
 
V =  b
 c
 
V =




V0 = 




Seite 4
Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) zweier → Vektoren in einem
dreidimensionalen → Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden
Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche
des Parallelogramms mit den Seiten die dem Betrag (dazu siehe → Einheitsvektor)
der beiden Vektoren entspricht.
Es gibt zwei solche Vektoren, die in entgegengesetzte Richtung weisen. Davon wird
einer ausgewählt, sodass die Vektoren mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein →
Rechtssystem bilden.
a2 + b2 + c2


2
2
2 
a + b + c

b

a2 + b2 + c2 

c

a2 + b2 + c2 
a
In der linearen Algebra ist ein Einheitsvektor ein → Vektor mit der Länge Eins. Man
kann jeden Vektor zu einem Einheitsvektor machen, indem man ihn normiert, das heißt
alle Koordinaten durch den Betrag (→ Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst) des
Vektors teilt.
Ein Vektorraum ist eine mathematische Struktur und stellt das fundamentale Konzept
der Linearen Algebra dar. Vektorräume werden in fast allen Zweigen der Mathematik
verwendet.
Ein Vektorraum besteht aus einzelnen → Vektoren, die addiert oder mit einer skalaren
Zahl multipliziert werden können, so dass das Ergebnis jeweils wieder ein Vektor
desselben Vektorraums ist (siehe → Skalarprodukt). Da die skalaren Zahlen, mit
denen man einen Vektor multiplizieren kann, einem Körper entstammen, ist ein
Vektorraum immer ein Vektorraum „über“ einem bestimmten Körper. Man spricht
beispielsweise von einem Vektorraum über den reellen Zahlen.
Punktnormalenform einer Ebene:
  x1   1    0 
     
  x2  −  2   *  8  = 0
  x3   3    15 
 0
 
n =  8  = 17
 15 
 
HNF derselben Ebene:
 0   x1 
1     61
= 0
 8  *  x2  −
17     17
 15   x3 
Abstand Ursprung-Ebene:
61
d=
17
Die Hessesche Normalform (HNF) (nach Otto Hesse) ist in der analytischen
Geometrie eine Gleichung, die eine Ebene im R3 oder eine Gerade im R2 beschreibt:
Wenn
x
in einem gegebenen Koordinatensystem der Ortsvektor eines Punktes P der
Ebene E ist (kurz:
P ∈ E ), dann gilt
n0 * x = d
Dabei ist
n0
der normierte Normalenvektor (siehe → Einheitsvektor) von E und
d > 0 der Abstand der Ebene vom Ursprung des Koordinatensystems.
Die sich hieraus ergebende Gleichung
n0 * x − d = 0
ist die Hessesche Normalenform.
Analytische Geometrie – Darstellung von Teilräumen des Rn
Seite 5
Ein Punkt im R3 wird durch die X- ,Y- und Z-Koordinaten beschrieben.
P(X/Y/Z)
Ein Gerade wird durch im R3 zwei Punkte A und B beschrieben.
 a1 
 
g: x =  a 2  + r *
a 
 3
 b1 − a1 


 b2 − a 2 
b − a 
3 
 3
In einem R2 wird eine Gerade durch ihre Steigung und dem Schnittpunkt der YAchse beschrieben
y = m*x+c
oder durch einen senkrechten Vektor
0=

n* x−

n
 a1  
  
 a2  
Eine Ebene wird in einem R3 durch drei Punkte (A, B, C) oder zwei Geraden
oder einer Geraden und einem Punkt oder einem senkrechten Vektor
beschrieben.
 c1 − a1 


+ s*  c 2 − a 2 


 c3 − a3 
 n1 
 
1
(n * g )
*  n2  x +
(n1 ² + n2 ² + n3 ²)  
(n1 ² + n2 ² + n 3²)
 n3 
 a1 
 
E: x =  a 2  + r *
a 
 3
E: x =
 b1 − a1 


 b2 − a 2 
b − a 
3 
 3
Das Volumen eines Spates wird im R3 durch
V = |( a X
b )* c |
Ermittelt, wobei a und b
die Vektoren der Grundfläche sind und
c
die Höhe
ist.
Analytische Geometrie – Winkelberechnungen
Seite 6
Winkel zwischen 2 Vektoren
Der Winkel 180° − α zwischen zwei Vektoren wird über den Kosinussatz
b− a
berechnet. Aus
2
2
(b − a ) 2 = a + b − 2 a ⋅ b cosα
folgt:
a∗ b
a∗ b
= cos α
Beispiel:
 3
 
 7 = a
 1
 
 9
 
 1 = b
 8
 
cos α =
a⋅ b
42
=
a⋅b
59 ⋅ 146
≈ 0.45 ⇒ α = 63.09°
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den beiden
Normalenvektoren der Ebenen. Auch hier verwendet man den umgestellten
Kosinussatz, der wie folgt lautet:
E2
n1
E1
n2
a∗ b
= cosα
a∗ b
,
a
b sind hierbei die
und
Normalenvektoren der Ebenen.
Hier ist es wichtig wie die Vektoren orientiert sind, deshalb rechnet man mit
Betragsstrichen im Zähler, um zu vermeiden, dass man den falschen (d.h. den
größeren) Schnittwinkel errechnet.
Beispiel:
 1
 0
 
 
n E1 =  2  n E 2 =  8 
 15 
 3
 
 
a⋅b
cos α =
a⋅b
=
62
14 ⋅ 289
≈ 0,97 ⇒ α = 12,9°
Winkel zwischen zwei Geraden:
Schneiden sich zwei Geraden g und h, so entstehen vier Winkel, je zwei der Größe α
und zwei der Größe 180°- α . Unter dem Schnittwinkel versteht man den, der kleiner
oder gleich 90° ist, also α .
Aus den Richtungsvektoren
Schnittwinkel:
α
180°-α
α

u
und

v
der Geraden g und h ergibt sich für den
 
u *v
cos α =  
u*v
Da der Schnittwinkel zwischen den Geraden auch der größere sein kann, man aber
den kleineren berechnen möchte, setzt man das Skalaprodukt in Betragsstriche,
dadurch wird der kleinere berechnet.
Beispielaufgabe:
Berechne den Schnittwinkel der zwei Geraden:
 2
1 
 
  
h : x =  2  + s  − 1
 3
3 
 
 
1
1
 
  
g : x =  1  + r 0 
 0
 3
 
 
cos α =
1 1 
  

 0 * − 1 
 3   − 3
  

1+ 0 + 9 * 1+ 1+ 9
=
1− 9
α=40,29°
10 * 11
(Ohne Betragsstriche hätte man den Winkel 180°-40,29°=139,71° berechnet.)
.
Analytische Geometrie – Winkelberechnungen/ Abstandsberechnung
Seite „XXX“
Seite 7
Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene:
Schneiden sich die Gerade g und die Ebene E, aber nicht im rechten Winkel, so gibt
es genau eine Ebene F, die senkrecht zur Ebene E ist und g enthält.
Die Gerade g bildet dann mit dem Normalenvektor n von E, der in F enthalten ist, den
Winkel 90°- α , wobei α der gesuchte Schnittwinkel zwischen g und E ist.
Cos(90°- α )=
cos(90°-
α
 
u *n
 
u*n
 
u *n
⇒ sin α =  
u*n
)=sin α
Beispielaufgabe:
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der Ebene E:
4 
  
g : x = t 3 
 − 1
 
sin α =
 5
  
E: 5x+y+z=22 Ein Normalenvektor von E ist: n = s 1 
1
 
 4   5
   
 3  *1 
 − 1  1 
   
26 * 27
=
22
26 * 27
α = 56,13°
Schnittpunkt P: 5*(4t)+(3t)-t=22
22t=22 t=1
P(4/3/-1)
1. Ebene – Ebene
Voraussetzungen: E1 || E2 ; E1 und E2 in HNF
Liegen beide Ebenen auf der selben Seite des Ursprungs (Vorzeichen der markierten
Terme gleich) den Betrag der Differenz, sonst den Betrag der Summe dieser Terme
(den Abständen zum Ursprung) bilden.
Beispiel:
E1 =
d = −
 4
  
⋅  3 ⋅ x −
34  
 3
1



− −
34



8
6
34




34 


6
= 0
d=
 4
  
⋅  3 ⋅ x −
34  
 3
1
E2 =
8
34
= 0
2
34
2. Ebene – Gerade
Voraussetzungen: E || g ; E in HNF, g in Parameterform
Mit dem Stützvektor der Geraden g und dem Normalenvektor der Ebene E eine
Ebene Eg, die g enthält und parallel zu E ist, bilden.
Dann fortfahren wie in 1.
Beispiel:
 4
 5
4 


1   
6
  
E:
⋅  3 ⋅ x −
= 0
g : x =  4 + r ⋅  − 2
34  
34
 3
 − 2
 


 3
Eg in Normalenform:

 5    4
     
Eg :  x −  4   ⋅  3  = 0
 3  3

   

Weiter wie oben.
Analytische Geometrie – Abstandsberechnungen
Seite „XXX“
Eg in HNF:
 4
  
41
Eg :
⋅  3 ⋅ x +
= 0
34  
34
 3
1
Seite 8
3. Ebene – Punkt
Voraussetzungen: E in HNF
Mit dem Ortsvektor des Punktes P und dem Normalenvektor der Ebene E eine Ebene
Ep bilden, die P enthält und parallel zu ist. Dann wie in 2 die Normalenform und die
HNF bilden und fortfahren wie in 1 oder P in die vereinfachte Formel einsetzen:
E in HNF (siehe 2.); P (1/2/3)
1 
 
d =  2 ⋅
 3
 
 4
 
⋅  3 −
34  
 3
1
6
34
4. Gerade – Gerade
Voraussetzungen: g1 und g2 in Parameterform,
∉ g1 ∩ g 2
Mit den Richtungsvektoren von g1 und g2 einen Normalenvektor von g1 und g2 finden.
Mit den Stützvektoren und dem neuen Normalenvektor zwei parallele Ebenen Eg1 und
Eg2 bilden, die g1 bzw. g2 enthalten. Dann fortfahren wie in 1.
Beispiel:
1 
 − 4


  
g2 : x =  0 + r ⋅  − 6
 3
2 
 


 3
 4
 
  
g1 : x =  6  + r ⋅  8 
 4
 2
 
 
Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt ermitteln.
 4
  
n =  8 ×
 2
 
 − 4  7 

  
 − 6 =  4
 2   2

  
Fortfahren wie in 2 und 1.
5. Gerade – Punkt
Voraussetzung F
∈ g in Parameterform
Für den kleinsten Abstand gehen wir davon aus, dass
Skalarprodukt Null ist.
Daher lässt sich der Vektor
OF
berechnen:
 2
 2
 
  
g : x =  3 + r ⋅  3
 4
1
 
 
   3
 2   4 
   
  
   2 + r ⋅  2  −  3  
 1
 1    2 
   
  
PF =

PF ⊥ u und damit das
P(4/3/2);
 3
 6
 2
 
 
 
⋅  2  = 0 → r = 2 → OF =  9  → PF =  6 
 0
 6
 4
 
 
 
56 = d
6. Punkt – Punkt
Die Punkte P(1/2/3) und Q(3/2/1) haben den Abstand, der sich aus dem Betrag der
Differenz ihrer beiden Ortsvektoren errechnen lässt.
Beispiel:
 3
1
2 
 
 


OQ 2  − OP 2  = PQ 0 
1
 3
 − 2
 
 


PQ = d =
8
Analytische Geometrie – Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Seite „XXX“
Seite 9
Die Gerade g : x = p + t * u ist parallel zu der Ebene E : x = q + r * v + s * w
und liegt nicht in der Ebene, wenn die Gleichung
p + t *u =q + r *v + s * w
keine
Lösung hat:;
1.
Bedingung: Der Richtungsvektor
u muss linear abhängig zu den
Richtungsvektoren v und w sein
2.
Bedingung: Die Differenz der beiden Stützvektoren
p − q muss linear
unabhängig von denen der beiden Richtungsvektoren der Ebene v und w sein
Beispiel 1):
Bestimmung einer Geraden die parallel zur Ebene ist und durch einen Punkt geht: Die
Ebene ist durch die Punkte A (1/0/2), B (0/2/1) und C (1/3/0) festgelegt. Die Gerade
geht durch den Punkt P (4/4/4). Daraus ergibt sich
 1
 0−
 

E : x =  0 + r *  2 −
 2
 1−
 

1
 1−


0 + s *  3 −
0−
2 

1   1
 − 1
 0 
  
 


0 =  0 + r *  2  + s *  3 
 − 1
 − 2
2   2 
 


Der Richtungsvektor und der Geraden g und die Spannvektoren müssen linear
abhängig sein.
 − 1
 
Als Richtungsvektor kann man einen der Spannvektoren nehmen, z.B.  2 
 − 1
 
Die Gerade
 4
 − 1
 


g : x =  4 + t *  2 
 4
 − 1
 


ist parallel zur Ebene
 4
 
 − 1


 1
 
 − 1


 0 


 4
 
 − 1


 2
 
 − 1


 − 2


Beispiel 2): g : x =  4  + t *  2  ; E : x =  0  + r *  2  + s *  3  ;
Prüfen der beiden
 − 1
 − 1
 0 
 
 


Bedingen?:  2  = a *  2  + b *  3  a=1; b=0 linear
 − 1
 − 1
 − 2
 
 


 4  1
 − 1
 0 
   




 4  −  0  = a *  2  + b *  3  linear unabhängig;
 4  2
 − 1
 − 2
   




abhängig;
 − 1
 0 
 4
 − 1  1 
 


 
   
 4 + t * 2  =  0  + r *  2  + s *  3 
 4
 − 1  2 
 − 1
 − 2
 
   
 


3=1r+t
4=2r+3s-2t
2=-r-2s+t
Die Gerade
Das LGS hat keine Lösung
g : x = p + t *u
die Gleichung
1.
liegt in der Ebene E: x
= q + r * v + s * w , wenn
p + t * u = q + r * v + s * w unendlich viele Lösungen hat:
Bedingung: Der Richtungsvektor
u muss linear abhängig zu den
Richtungsvektoren v und w sein
2.
Bedingung: Die Differenz der beiden Stützvektoren p − q muss linear
abhängig von denen der beiden Richtungsvektoren der Ebene v und w sein
Beispiel:
 9
 5
 4   18 
 9  9
 5
 4
 
 
   
   
 
 
E : x =  5  + r *  3  + s *  2  ;  10  + t *  5  =  5  + r *  3  + s *  2 
 3
 1
 2  6 
 3  3
 1
 2
   
 
 
   
 
 
 9
 5
 4
 
 
 
Prüfen der beiden Bedingen:  5  = a *  3  + s *  2  linear abhängig ;
 3
 1
 2
 
 
 
 18   9 
 5
 4
   
 
 
 10  −  5  = a *  3  + b *  2  linear abhängig
 6   3
 1
 2
   
 
 
 18 
 9
 
 
g : x =  10  + t *  5  ;
 6
 3
 
 
9=5r+4s-9t
5=3r+2s-5t
3=1r+2s-3t
Das LGS hat unendlich viele Lösungen
Analytische Geometrie – Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Seite „XXX“
Seite 10
Ebene - Gerade:
Durchstoßpunkt:
Parameterform:
E:
x = p + t*w
und g:
x = p + r * u1 + s * v 1
Die gerade g schneidet die Ebene E im Punkt P. Um diesen Schnittpunkt zu ermitteln
muss man die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen und erhält eine
Variable. Diese ergibt in die jeweilige Gleichung eingesetzt den Vektor zum Punkt P:
 1
 2
 − 1
 
 
 
 1  + r  0  + s − 1 = x
 5
 1
 3
 
 
 
E1:
und g:
 2
 1
 
 
x =  2  + t *  − 1
 1
 1
 
 
Gleichsetzung im LGS:
I. 1+ 2 r- s= 2+ t èGleichung III. mit 2 multipliziert und subtrahiert von
II. 1s= 2 – t Gleichung I.
III.5+ r+3s= 1+ t
II -1 + s=2- t è III subtrahiert von II.
III’. -9- 7s= -t
2=8+8sè- 6=8s ès= -
4
1
1
, eingesetzt: t=; r=3
3
3
 1 1 2
1 /2 / 
 3 3 3
t eingesetzt in g ergibt: P
Ebene-Gerade:
Durchstoßpunkt:
Koordinatengleichung:
x = p + t *w
g:
E: 2x1+5x2-x3=49
Zur Bestimmung des Durchstoßpunktes muss die Geradengleichung in
Koordinatenform gebracht werden:
 3
 2
 
 
x =  4 + t *  1 
 7
 − 1
 
 
g:
è x1= 3 +2 t; x2= 4+ t; x3= 7- t
eingesetzt in Koordinatengleichung:
2*(3+2t)+5*(4+t)-(7-t)=49
è10t +19=49, also t=3
eingesetzt in g ergibt Durchstoßpunkt P(9/7/4)
Ebene-Gerade:
Normalengleichung:
(x −p )* n
E1:
1
1
und g:
=
0
x = p2 + t * w
Die Geradengleichung wird in die Ebenengleichung eingesetzt und somit t ermittelt.
(p
E:
2


 x−

+
t *w −
p1
 1   1 
  

 1  *  5  = 0
 5   − 2 
  

)
*n
1
und g:
 1 
 1   1 


 


  1  + t  − 1  *  5  = 0


 1    − 2

 

  − 4 
è
=
0
 2
 1
 
 
x =  2  + t *  − 1
 1
 1
 
 
-6 t -2=0 è t=-1/3
eingesetzt in g ergibt Durchstoßpunkt P
 1 1 2
1 /2 / 
 3 3 3
Analytische Geometrie – Lagebeziehungen zwischen Ebenen
Seite „XXX“
Seite 11
Ebenen parallel:
Normalengleichung:
(x
E1:
−p1
)* n
1
(
x
E2:
=
0
)* n
−p 2
2
=
0
Bedingung: Die beiden Normalenvektoren sind linear abhängig:
E1:


x−

 2 
 
 1 
 4 
 
 1 


*  − 2 = 0
 1 




x−

und E2:
 3 
 
 5 
 6 
 
r * n1 = n2
 2 


*  − 4 = 0
 2 


Rechnung:
 1   2 

 

2 *  − 2 =  − 4
 1   2 

 

Ebenen Parallel:
Parametergleichung:
E1:
E 2:
x = p + r * u1 + s * v 1
x = p + r * u2 + s * v 2
Bedingung: Die Beiden Richtungsvektoren von der Ebene E1 sind linear abhängig von
den Richtungsvektoren der Ebene E2:
und
r * u1 + s * v1 = u 2
E1:
 2
 1
 0
 
 
 
 5  + r  0  + s 1  = x
 3
 1
 0
 
 
 
r * u1 + s * v1 = v 2
 4
 1
 1
 
 
 
 0  + r  1 + s 3  = x
 
 1
 1
 3
 
 
E2:
Rechnung:
 1   0   1
     
 0  +  1  =  1
 1   0   1
     
und
 1  0  1
     
 0 +  3 =  3
 1  0  1
     
Ebenen identisch:
Parametergleichungen:
E1:
E2:
x = p + r * u1 + s * v 1
x = p + r * u2 + s * v 2
Bedingung: Wurde bereits geprüft, ob die Ebenen parallel sind, so besteht nun noch
die Möglichkeit, dass sie identisch sind. Dies prüft man, indem man die beiden
Stützvektoren voneinander subtrahiert:
p1 − p 2 = p 3
Sind die Ebenen nun identisch, so muss
p3
linear abhängig von
u1
und
v1
sein:
r * u1 −s * v1 = p 3
E1:
 2
 0
 1
 
 
 
 2 + r *  1 + s *  0 = x
 2
 0
 1
 
 
 
 2
 
 2
 2
 
Rechnung:
 1
 0
 1
 
 
 
 1 + r *  1  + s *  0  = x
 
 0
 1
 1
 
 
E2:
 1  1
   
−  1 =  1
 1  1
   
 1   0   1
     
 0  +  1  =  1
 1   0   1
     
und
Ebenen identisch:
(x −p )* n
Normalengleichung: E1:
1
1
=
0
E2:
(
x
−p2
)* n
2
=
0
Bedingung: Wurde bereits geprüft, ob die Ebenen parallel sind, so besteht nun noch
die Möglichkeit, dass sie identisch sind. Geprüft wird dieses durch das Subtrahieren
der beiden Stützvektoren und der anschließenden Prüfung, ob der neue Vektor
senkrecht zum Normalenvektor ist:
p1 − p 2 = p3
E1:


x−

 5 
 
 5 
 5 
 
und
 0 


*  − 5 = 0
 8 


p 3 * n1 = 0
und E2:


x−

 2 


 − 3 
 0 


 0 


*  − 5 = 0
 8 


Rechnung:
 5  2   3
  
  
 5  −  − 3 =  8 
 5  0   5
  
  
und
 3
 
 8
 5
 
 0
 
*  − 5 = 0
 8 
 
Analytische Geometrie – Lagebeziehungen zwischen Ebenen
Seite „XXX“
Seite 12
Schnittgeradenbestimmung:
Parametergleichungen:
E1:
E2:
x = p + r * u1 + s * v 1
x = p + r * u2 + s * v 2
Sind die Ebenen nicht parallel zueinander oder setzt man die beiden
Ebenengleichungen gleich und erhält unendlich viele Lösungen, so ergibt sich eine
Schnittgerade in der sich die Ebenen schneiden:
p 2 + r * u2 + s * v 2 = p1 + r * u1 + s * v1
 1
 


1

 3
 
 − 1
 
 1
 
 − 2


 2
 


0 
 4
 
 2
 
 2
 
 3 


E1:  3  + r  − 2  + s 1  = x E2:  5  + k  1  + m 1  = x
Ermittlung einer Schnittgeraden im LGS:
I. 1+ r+ 3s= -1+ k - 2m è Gleichung I. mit 2 multipliziert und
II . 3- 2r+ s= 5 + k + m
mit II. addiert
III. 2 + 4s= 2 + 2k+ 3m
II. 7s-3k+3m= -2 èGleichung II mit 7 multipliziert und Gleichung III mit 4 multi4s-2k -3m= 0 pliziert. Anschließend III-II gerechnet:
III’. –2k - 33m=8 è k=-4 - 33/2m in E2 eingesetzt: g:
III.
 − 5
 37 


 
x =  1  + m *  31 
 − 6
 60 


 
Dieser Variante werden die beiden folgenden vorgezogen!!!!!!
Schnittgeradenbestimmung:
Normalengleichung+ Parametergleichung:
(x −p )* n
E1:
1
1
=
0
E2:
x = p + r * u2 + s * v 2
Die Parametergleichung wird in die Normalengleichung eingesetzt für:
x
(
p
2
+
r *u +
s *v −
p1

 1
 
 − 8



 2
 
 7 




E1:  x −  3   *  − 4  = 0 E2:
)
*n
1
=
0
 − 1
 1
 − 2


 


 5  + r  1  + s 1  = x
 2
 2
 3 


 


eingesetzt:
  − 1
 1
 − 2  1    − 8 


 

   

 5  + r *  1  + s *  1  −  3  *  − 4 = 0
 2 
 2
 3   2   7 

 

    

 
für r= -4 –16,5s
eingesetzt in E2:
g:
 − 5
 − 37 




x =  1  + s *  − 31 
 − 6
 − 60 




Schnittegeradenbestimmung:
Koordinatengleichung:
E1: -8x1-4x2+7x3= - 6 und E2: x1 -7x2-x3= - 30
Im LGS einen Wert für ein x ermitteln und einsetzen.
I. -8x1-4x2+7x3= - 6 Gleichung II mit 8 multipliziert und mit I
II. x1- 7x2 +3x3 = - 30 addiert:
-60x2 +31x3= -246 für x2 =31t eingesetzt è x3 = 246/31+ 60t
eingesetzt in II:
x1= -
477
+ 37t
62
x2= -0+
x3=
31t
246
+ 60t
31
Analytische Geometrie – Gegenseitige Lage von Geraden
Seite „XXX“



g:x= 



477 

 37 
62 


0  + m *  31 
246 
 60 


31 
Seite 13
Die Geraden g : x = p + r * u und h :
die Vektorgleichung
x = q + t * v sind identisch, wenn
p + r * u = q + t * v unendlich viele Lösungen hat
1. Bedingung: Der Richtungsvektor
u muss linear abhängig zu den Richtungsvektor
v sein
3.
Bedingung: Der Richtungsvektor
u muss linear abhängig zu der Differenz der
beiden Stützvektoren p − q sein
Beispiel:
 1
 2
 3
 4   1
 2
 
 
 
   
 
g : x =  2 + r *  4 ; h : x =  6  + t *  8  ;  2 + r * 4 =
 1
 4
 2   3
 3
 1
 
 
   
 
 
 4  2
   
Prüfen der Bedingungen: a *  8  =  4  a=0,5 ; linear abhängig;
 2  1
   
−

b * −
−

2   2
  
4  =  4
1   1 
 3
 4
 
 
 6 + t * 8
 4
 2
 
 
b=-1; linear abhängig
1+2r=3+4t
2r-4t=2
2+4r=6+8t
4r-8t=4
3+1r=4+2t
1r-2t=1
Das LGS hat unendlich viele Lösungen
Die Geraden g : x
= p + r *u
wenn die Vektorgleichung
und
h : x = q + t *v
p + r *u = q + t *v
sind zueinander parallel,
keine Lösung hat
( Achtung: Auch bei Windschief)
1. Bedingung: Der Richtungsvektor
u muss linear abhängig zu den Richtungsvektor
v sein
2.
Bedingung: Der Richtungsvektor
u muss linear
Differenz der beiden Stützvektoren
unabhängig zu der
p − q sein
Beispiel:
 6
 10 
 
 
g : x =  4  + r *  10  ; h : x =
 2
 10 
 
 
 3
 5  6 
 10   3 
 5
 
   
   
 
=
2
+
t
*
2
+
t
*
5
4
+
r
*
10
;
 5
 
   
   


 5
 7
 5  2 
 10   7 
 
 
   
 
 10   5 
   
Prüfen der Bedingungen: a *  10  =  5  a=0,5; linear abhängig
 10   5 
   
 10   6   3 
     
a *  10  =  4  −  2  keine Lösung; linear unabhängig
 10   2   7 
     
3=5t-10r
2=5t-10r
-5=5t-10r
Das LGS hat keine Lösung
Analytische Geometrie – Gegenseitige Lage von Geraden
Seite „XXX“
Seite 14
Die Geraden g : x
= p + r *u
und
Punkt, wenn die Vektorgleichung
1.
v
schneiden sich in einem
p + r *u = q + t *v
Bedingung: Der Richtungsvektor
Richtungsvektor
2.
h : x = q + t *v
eine Lösungen hat
u muss linear unabhängig zu dem
sein
Bedingung: Die Differenz der beiden Stützvektoren
p − q muss linear
abhängig von denen der beiden Richtungsvektoren der Ebene
v und u
sein
Beispiel:
 7 
 − 2




g : x − 2  + r *  − 3 
 2 
 − 1




 3 


 1
 
 7
 
 − 2  3 
   
 1
 
 5 


 2
 
 2
 
 − 1  5 
   
 2
 
; h : x − 7  + t *  1  ;  − 2  + r *  − 3  =  − 7  + t *  1 
 2
 
 1
 
 1
 
 2
 
Prüfen der Bedingung: a *  3  =  1  keine Lösung; linear unabhängig
 − 2
 1  4


   
a *  − 3  + b *  1  =  5  a=-1; b=2 , linear abhängig
 − 1
 2  5


   
I. 4=1t+2r I-II ergibt r=1
II. 5=1t+3r r einsetzen in I, II oder III ergibt t=2
III. -3=-2t+r
t oder r in die jeweilige Vektorgleichung einsetzen ergibt den Schnittpunkt
Die Geraden g : x
= p + r * u und h : x = q + t * v sind zueinander windschief,
wenn die Vektorgleichung
p + r * u = q + t * v keine Lösung
hat ( Achtung:
Auch bei Parallel)
1. Bedingung: Der Richtungsvektor
Richtungsvektor
u muss linear unabhängig zu dem
v sein
2. Bedingung: Die Differenz der beiden Stützvektoren p − q muss linear unabhängig
von denen der beiden Richtungsvektoren der Ebene
v und u
sein
Beispiel:
 7
 2  3 
 1
 7 
 2
 3 
 1
 
   
 


 


 
g : x − 2  + r *  3  ; h : x  − 7  + t *  1  ;  − 2  + r *  3  =  − 7  + t *  1 
 4 
 2
 2 
 1
 2
 1  4 
 2


 


 
 
   
 
 2  1
   
Prüfen der Bedingungen: a *  3  =  1  keine Lösung; linear unabhängig
 1   2
   
 2
 1  7   3 
 
  
 

a *  3  + b *  1  =  − 2  −  − 7  keine Lösung; zueinander windschief
 1
 2  2   4 
 
  
 

4=1t-2r
5=1t-3r
-2=-2t-r
Das LGS hat keine Lösung