Pfadintegrale in der Quantenmechanik

Pfadintegrale in der Quantenmechanik
Seminar zur Theorie der Atome, Kerne und kondensierten Materie im
Wintersemester 12/13
Oliver Ledwig, Michael Wigard
1 Motivation
Beim quantenmechanischen Pfadintegral handelt es sich um eine zur Wellen- und Matrizenmechanik äquivalente Formulierung der Quantenmechanik, die jedoch eine etwas andere Herangehensweise darstellt. Die Grundidee lässt sich am Doppelspalt veranschaulichen: Dort wird das
Interferenzmuster auf dem Schirm durch die Summe der Amplituden der Teilwellen durch die
beiden Spalte bestimmt. Werden weitere Blenden mit weiteren Spalten hinzugefügt, sind für das
Interferenzmuster nun alle Teilstrahlen zwischen zwei benachbarten Blenden relevant.
Etwas Ähnliches geschieht bei der Berechnung der Übergangsamplitude (beispielsweise für das
Elektron) mit Hilfe des Pfadintegrals, bei dem Beiträge aller möglichen Wege zwischen zwei
Punkten aufsummiert werden. Anschaulich berechnet man also das Interferenzmuster einer
Anordnung aus unendlich vielen Blenden mit jeweils unendlich vielen Spalten. Pfadintegrale nden vor allem in der Quantenfeldtheorie und der statistischen Mechanik, aber auch in der Festkörperphysik Anwendung.
2 Benötigte Grundlagen aus der QM
Zur Herleitung des Pfadintegrals sollen zunächst ein paar Grundlagen aus der Quantenmechanik
rekapituliert werden. In der Quantenmechanik wird die Zeitentwicklung eines quantenmechanis∂
chen Zustandes |ψ, ti durch die Schrödingergleichung i~ ∂t
ψ = Hψ beschrieben. Es ist hierbei
hilfreich, den Zeitentwicklungsoperator U (t, t0 ) wie folgt zu denieren:
|ψ, ti = U (t, t0 ) |ψ, t0 i
Einsetzen dieser Denition in die Schrödingergleichung liefert eine Bestimmungsgleichung für den
Zeitentwicklungsoperator:
i~
∂
U (t, t0 ) = H U (t, t0 )
∂t
Für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator folgt daraus
i
U (t, t0 ) = e− ~ H(t−t0 ) .
Damit können wir durch Anwenden dieses Operators die Wellenfunktion zu einem beliebigen
Zeitpunkt t erhalten. Da wir einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator betrachten, kann ohne
Beschränkung der Allgemeinheit immer t0 = 0 gewählt werden.
1
2.1 Orts- und Impulseigenfunktionen
Wir werden auch die Eigenfunktion des Orts- und Impulsoperators benötigen. Diese genügen den
Eigenwertgleichungen
Q |qi = q |qi , P |ki = ~k |ki .
Die Ortsdarstellung von |qi und |ki lautet
ψq (x) = δ(x − q), ψk (x) = eikx .
Sie bilden jeweils ein Orthonormalsystem und erfüllen damit die Vollständigkeitsrelationen
Z
dq |qi hq| = 1,
Z
dk
|ki hk| = 1.
2π
Das Produkt zwischen den beiden Eigenfunktionen, welches wir später des Öfteren benötigen
werden, ergibt sich unmittelbar aus der Ortsdarstellung:
hk|qi = e−ikq
2.2 Übergangsamplitude
Für zwei Zustände |αi und |βi nennt man den Ausdruck hβ|αi die Übergangsamplitude. Ihr
Betragsquadrat gibt die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von |αi nach |βi an. Betrachten
wir einen Übergang zwischen den Ortseigenzuständen |y, 0i und |x, ti:
i
hx, t|y, 0i = hx|U (t, 0)|yi ≡ K(x, t; y) = x| exp − Ht |y
~
Der Übersichtlichkeit halber setzen wir im folgenden ~ = 1. Für ein freies Teilchen ergibt sich mit
P2
für die Übergangsamplitude:
H = H0 = 2m
Z
P2
P2
dp x| exp −i
t |y = x| exp −i
t
|p p|y ,
2m
2m
2π
wobei die Vollständigkeitsrelation der Impulseigenfunktionen eingesetzt wurde. Man kann nun
den Impulsoperator wirken lassen und es ergibt sich
dp
p2
hx, t|y, 0i =
exp −i
t x|p p|y
2π
2m
Z
p2
dp
=
exp −i
t + i(x − y)p
2π
2m
r
m
m
=
exp i (x − y)2
2πit
2t
Z
denn das Integral hat Gauÿform und ist leicht zu lösen.
2
(1)
3 Übergangsamplitude und Pfadintegral
Nun betrachten wir die Übergangsamplitude
für ein Teilchen im Potential V . Diese ergibt sich
zunächst einfach zu A = x| exp − ~i (H0 + V )T |y . Dieser Ausdruck lässt sich jedoch im Allgemeinen nicht geschlossen berechnen. Es erweist sich wie so oft als zweckmäÿig, das Problem
zu zerlegen. Dazu teilen wir das Zeitintervall T in N Intervalle der Länge δ = NT . So ergibt sich
N AN = x| e−iHδ |y . Durch (N −1)-faches Einfügen der Vollständigkeitsrelation der Ortseigenfunktionen ergibt sich der folgende Ausdruck:
AN
Z
Z
= x|e
dx1 |x1 x1 |e
dx2 |x2 ... xN −1 |e−iHδ |y
Z
= dx1 ...dxN −1 K(x, δ; x1 )K(x1 , δ; x2 )...K(xN −1 , δ; y)
−iHδ
−iHδ
AN entspricht damit einem Integral über die Übergangsamplituden aller geradlinigen Wege zwis-
chen zwei benachbarten Stützstellen.
q
q
q’=q
N
. . . .
q=q
0
δ
2δ
3δ
T
t
Die Ausdrücke der Form K(x, δ; x1 ) können wir nun berechnen, da es sich bei δ um eine sehr
kurze Zeit handelt. Wir benutzen dazu die folgende Approximation:
δ
exp (−iδH) = exp −i V
2
δ
exp (−iδH0 ) exp −i V
2
+ O(δ 3 )
Diese Approximation scheint zunächst trivialerweise bereits ohne O(δ 3 ) Terme erfüllt, es muss
jedoch beachtet werden, dass im Argument der Exponentialfunktion Operatoren stehen. Einen
Beweis der Approximation liefern wir hier nicht1 . Bei Vernachlässigung der Terme der Ordnung
1
Der Beweis ist recht einfach und ist zum Beispiel in [3] zu nden. Dort benden sich auch detaillierte Überlegungen zu dem im folgenden durchgeführten Kontinuumsübergang.
3
O(δ 3 ) lässt sich die Übergangsamplitude für ein Zeitintervall der Länge δ nun berechnen:
δ
δ
K(x, δ; y) =
x| exp −i V exp (−iδH0 ) exp −i V |y
2
2
δ
δ
= exp −i V (x) hx| exp (−iδH0 ) |yi exp −i V (y)
2
2
r
m
m
δ
2
=
exp i (x − y) − i [V (x) + V (y)]
2πiδ
2δ
2
(2)
Hierbei wurde das vorherige Ergebnis (1) für das freie Teilchen benutzt. Die Potentialterme dürfen
aus dem Skalarprodukt herausgezogen werden, da sie hier auf Ortseigenfunktionen wirken.
3.1 Übergang zum Pfadintegral
Um das Pfadintegral zu erhalten, wollen wir nun unsere Aufteilung der Zeitachse so fein machen,
dass sie kontinuierlich wird:
Z
A =
dx1 ...dxN −1 K(x, δ; x1 )K(x1 , δ; x2 )...K(xN −1 , δ; y) + O(δ 2 )
Z
=
dx1 ...dxN −1 K(x, δ; x1 )K(x1 , δ; x2 )...K(xN −1 , δ; y)
lim
N →∞
Hierbei treten in unserem Ausdruck vor dem Grenzübergang Terme der Ordnung O(δ 2 ) auf,
da dieser aus einem N -fachen Produkt der K(x, δ; y) besteht. Durch dieses Produkt treten N
Terme der Ordnung O(δ 3 ), und mit einer geeigneten Abschätzung lässt sich sofort zeigen, dass
wegen N = Tδ im resultierenden Ausdruck noch Terme der Ordnung O(δ 2 ) dazukommen. Im
Grenzübergang, also für N → ∞ und damit δ → 0 laufen diese Terme jedoch gegen Null.
Setzen wir nun Ergebnis für K aus (2) ein, so erhalten wir
m N Z
2
A = lim
dx1 ...dxN −1 eiSδ ,
N →∞ 2πiδ
wobei wir die Abkürzung
Sδ ≡
N
X
k=1
"
m
δ
2
xk − xk−1
δ
2
−
V (xk ) + V (xk+1 )
2
#
eingeführt haben. Dem aufmerksamen Leser wird aufgefallen sein, dass diese Summe eine Riemannsche Summe ist. Im Grenzübergang N → ∞, also δ → 0, wird diese zu einem Integral:
ZT
lim Sδ =
δ→0
dt0
hm
2
i
ẋ2 − V (x(t0 )) ≡ S
0
S ≡ S [x] ist die Wirkung für ein klassisches Teilchen, das sich entlang des Weges x(t) durch das
Potential bewegt. Dabei symbolisieren die eckigen Klammern, dass es sich bei der Wirkung um
ein Funktional handelt, dass von der Funktion x(t) abhängt. Für das Pfadintegral können wir nun
Z
A=
Dx eiS[x(t)]
4
schreiben, mit einer weiteren Abkürzung
m N
2
dx(t1 )...dx(tN −1 ).
N →∞ 2πiδ
Dx ≡ lim
Dx bezeichnet also ein Integrationsmaÿ, dass alle Pfade x(t) beinhaltet, die sich in der Zeit T
von y nach x bewegen. Aus den Pfaden die aus geradlinigen Wegen zwischen zwei Stützstellen
zusammengesetzt waren, sind nun beliebige Kurven geworden.
q
q’=x
q=y
T
t
4 Beispielrechnung: Harmonischer Oszillator
Nachdem wir einen allgemeinen Ausdruck für die quantenmechanische Übergangsamplitude eines
Teilchens im Potential V (x) hergeleitet haben, und dabei das Pfadintegral als Lösung erhielten,
könnte man sich unter Anderem fragen, ob dieses Pfadintegral Ergebnisse liefert, die mit der uns
bekannten Formulierung der Quantenmechanik übereinstimmen. Dass dies in der Tat der Fall ist,
werden wir zumindest für den Fall des harmonischen Oszillators im Folgenden zeigen.
4.1 Klassische Betrachtung
Der klassische harmonische Oszillator kann durch seine Lagrangefunktion beschrieben werden.
Diese lautet
L (x(t), ẋ(t)) =
m 2 mω 2 2
ẋ −
x .
2
2
Damit ergibt sich für die Wirkung auf bekannte Art und Weise:
Z
S [x(t)] =
m
Ldt =
2
Z
ẋ2 − ω 2 x2 dt
Für die klassische Lösung xc (t) gilt die Bewegungsgleichung ẍc (t) + ω 2 xc (t) = 0. Dies wollen wir
uns zu Nutze machen, indem wir eine Variablentransformation durchführen, und die Pfade, über
die wir später integrieren wollen, als Kombination der klassischen Lösung und einer Störung y(t)
darstellen, also x(t) = xc (t) + y(t). Die Störung muss dabei die Randbedingung y(0) = y(T ) = 0
5
erfüllen, da wir nur Pfade mit gleichem Anfangs- und Endpunkt betrachten wollen. Die Wirkung
können wir nun so schreiben:
S[x] =
m
2
ZT h
i
(ẋc + ẏ)2 − ω 2 (xc + y)2 dt
0
Mit einer partiellen Integration und der Randbedingung ergibt sich
 T

Z
ZT
m
ẋ2c + 2ẋc ẏ + ẏ 2 dt − ω 2
S[x] =
x2c + 2xc y + y 2 dt
2
0
=
m
2
ZT
0
h
0
i
−2 (ω 2 xc + ẍc ) y + ẋ2c − ω 2 x2c + ẏ 2 − ω 2 y 2 dt
| {z } | {z }
|
{z
}
liefert S[y]
liefert S[xc ]
=0
(3)
= S [xc ] + S [y] ,
wobei die Bewegungsgleichung für die klassische Lösung ausgenutzt wurde.
4.2 Quantenmechanische Übergangsamplitude
Mit dem Resultat (3) für die Wirkung erhalten wir für die Übergangsamplitude des quantenmechanischen harmonischen Oszillators:
Z
hxb , T |xa , 0i =
Dx e
iS[x]
iS[xc ]
Z
=e
Dy eiS[y]
Wir haben also durch die Variablentransformation das Problem reduziert, denn xc (t) ist bekannt
und S[xc ] elementar berechenbar. Mit den entsprechenden Randbedingungen für Ausgangs- und
Endposition ergibt sich:
2
mω
(xb + x2a ) cos(ωT ) − 2xa xb
2 sin(ωT )
R
Wir müssen nun nur noch das Pfadintegral Dy eiS[y] für die Störung berechnen, wobei wir uns
S[xc ] =
die Randbedingung
(4)
y(0) = y(T ) = 0
der Störung zu Nutze machen können. Es gilt
S[y] =
m
2
ZT
ẏ 2 − ω 2 y 2 dt
0
und nach einer partiellen Integration und mit der Randbedingung (4)
m
S[y] =
2
ZT
2 2
−y ÿ − ω y
m
dt =
2
0
ZT
y(−
0
6
d2
− ω 2 )y dt
dt2
An dieser Stelle könnte dem aufmerksamen Leser aufgefallen sein, dass dies nichts anderes als
2
der Erwartungswert eines Operators (− ddt2 − ω 2 ) ist. Wie sich leicht überprüfen lässt, hat dieser
Operator die Eigenfunktionen
r
yn (t) =
nπt
2
sin(
), n ∈ N,
T
T
die die Randbedingung (4) erfüllen. Durch Anwenden des Operators erhalten wir die Eigenwerte
λn =
n2 π 2
2
−ω ,
T2
und stellen fest, dass die Eigenfunktionen ein vollständiges Orthonormalsystem bilden, es gelten
also Orthonormalität
ZT
yn (t)ym (t)dt = δnm
0
und eine Vollständigkeitsrelation:
y(t) =
∞
X
an yn (t).
n=1
Es handelt sich dabei im Übrigen um nichts anderes, als einen Teil der reellen Fourierreihe.
Zerlegen wir nun y(t) mit Hilfe der Vollständigkeitsrelation in die Eigenfunktionen yn (t) so ergibt
sich:
S[y] =
m
2
ZT
y(−
0
=
=
=
ZT X
∞
m
2
m
2
m
2
d2
− ω 2 )y dt
dt2
a m ym
0 m=1
∞ X
∞
X
∞
X
λn an yn dt
n=1
λn am an δmn
m=1 n=1
∞
X
λn a2n
n=1
Wir wollen nun die Integration Dy über alle Pfade y(t) ausführen, jedoch enthält unser Ausdruck
für die Wirkung nur noch die Fourierkoezienten an . Es ist anschaulich, dass die Integration über
alle Pfade einer Integration über alle Fourierkoezienten an entspricht:
Dy = J da1 da2 ... = J
∞
Y
dan
n=1
Formal haben wir hier eine Koordinatentransformation durchgeführt, weswegen wir bei einer
Integration über Dy die Jacobi-Determinante J berücksichtigen müssen.
7
Wir können nun für das Pfadintegral über die Störungen schreiben:
Z
Dy exp(iS[y]) = J
Z Y
∞
m
2
dan exp(i λn a2n )
n=1
= J
= J
∞ Z
Y
n=1
∞ Y
n=1
m
2
dan exp(i λn a2n )
m − 12
λn
2πi
Da der harmonische Oszillator für ω = 0 in das freie Teilchen übergeht, kann J ohne weiterführende Überlegungen aus dem Vergleich mit dem freien Teilchen bestimmt werden:
m 1
2
2πiT
= J
∞ Y
m ω=0 − 12
λ
2πi n
n=1
Stellt man diese Beziehung nach J um, kann das Pfadintegral berechnet werden:
Z
1
∞ m 1 Y
λn − 2
2
Dy exp(iS[y]) =
2πiT
λω=0
n
n=1
∞
m 1 Y
2
=
2πiT
n=1
n2 π 2
−
T2
2
n π2
T2
ω2
!− 1
2
− 21
∞ m 1 Y
ω2T 2
2
=
1− 2 2
2πiT
n π
n=1
Gauÿ hat gezeigt, dass sich dieses unschöne Produkt unendlich vieler Faktoren vereinfachen lässt,
und so ergibt sich (ohne Beweis):
Z
1
m 1 sin(ωT ) − 12 2
mω
2
Dy exp(iS[y]) =
=
2πiT
ωT
2πi sin(ωT )
Für die Übergangsamplitude erhält man schlieÿlich
K(xb , T |xa , 0) = eiS[xc ]
Z
= exp i
Dy eiS[y]
2
mω
(xb + x2a ) cos(ωT ) − 2xa xb
2 sin(ωT )
mω
2πi sin(ωT )
1
2
,
die sogenannte Mehlerformel. Wir wollen jetzt überprüfen, ob dieses Ergebnis unsere bekannten
Ergebnisse der Wellenmechanik widerspiegelt. Wir betrachten dazu die Spur des Zeitentwicklungsoperators. Es gilt:
Sp(e
−iHT
Z∞
) =
Z∞
dx hx, T |x, 0i
dx K(x, T ; x) =
−∞
−∞
8
Abbildung 1: Versuchsaufbau zum Nachweis des Aharonov-Bohm-Eekts (Quelle: [6])
Wir setzen nun die Mehlerformel ein und berechnen dieses Integral:
ω
Sp(e
−iHT
1
e−i 2 T
)=
=
ω
2i sin( 2 T )
1 − e−iωT
∞
X
1
=
e−iω(n+ 2 )T
n=0
Es muss aber auch gelten:
Sp(e
−iHT
)=
∞
X
e−iEn T
n=0
Wir können also sofort die Energieeigenwerte
1
En = ω(n + )
2
ablesen, und sehen, dass sie mit dem altbekannten Ergebnis übereinstimmen.
5 Aharonov-Bohm-Eekt
Wir wollen nun den Aharonov-Bohm-Eekt diskutieren. Dabei handelt es sich um einen quantenmechanischen Eekt, der mit Hilfe des Pfadintegrals besonders leicht verständlich gemacht
werden kann. Um den Eekt sichtbar zu machen, baut man zunächst einen Doppelspaltversuch
mit Elektronen auf. Zwischen die beiden Spalte bringt man jedoch eine lange, dünne Spule, die
so abgeschirmt ist, dass die Elektronen sie nicht durchdringen können.
Da das Magnetfeld nur innerhalb der Spule vorhanden ist, erwartet man bei klassischer Betrachtung, dass das Hinzufügen der Spule keinen Eekt hat. Man beobachtet jedoch bei Durchführung
des Versuchs, dass sich das Interferenzmuster verschiebt, sobald in der Spule ein Magnetfeld
erzeugt wird.
9
Abbildung 2: Experimentelle Bestätigung des Aharonov-Bohm-Eekts: Das Bild wurde beim Doppelspaltexperiment aufgenommen und stellt den Verlauf des Interferenzmusters bei
steigender Magnetfeldfeldstärke dar. (Quelle: [7])
Dieser Eekt soll nun mit Hilfe des Pfadintegrals erklärt werden. Dazu betrachten wir die Übergangsamplitude h~r(t), t|~r(0), 0i. Rufen wir uns zunächst ins Gedächtnis, dass ein Magnetfeld durch
~ = ∇ × A(~
~ r). Das Vektorpotential kann
ein Vektorpotential beschrieben werden kann, mit B
auch
in den feldfreien Raumbereichen nicht verschwinden, da für ein geschlossenes Wegintegral
H
~ r0 ) · d~r0 = Φ gelten muss, wobei Φ der magnetische Fluss durch die eingeschlossene Fläche
A(~
ist. Die Lagrangefunktion für ein Elektron lautet dann
m ˙2
~ r)
~r + e~r˙ · A(~
2
~ r),
= L0 (~r, ~r˙ ) + e~r˙ · A(~
L(~r, ~r˙ ) =
wobei L0 einfach die Lagrangefunktion des freien Teilchens ist. Für das Wirkungsintegral gilt
somit:
Zt
S =
L(~r(t ), ~r˙ (t0 ))dt0 = S0 + e
0
0
Zt
~ r(t0 ))dt0
~r˙ (t0 ) · A(~
0
Z~r(t)
= S0 + e
~ r0 ) · d~r0
A(~
(5)
~
r(0)
Wir wollen uns überlegen, wie sich das in der Wirkung auftretende Wegintegral
verhält. Zu diesem
R
i
Zweck überlegen wir uns, dass ein Pfad, dessen Wirkung in das Pfadintegral Dx e ~ S[~x(t)] eingeht,
entweder links oder rechts an der Spule vorbeilaufen kann. Für zwei Pfade C und D, die auf der
selben Seite an der Spule vorbeilaufen gilt:
Z
C
~ r0 ) · d~r0 −
A(~
Z
~ r0 ) · d~r0 =
A(~
H
C−D
~ r0 ) · d~r0
A(~
D
~ · df~ =
= F (∇ × A)
R
Z
F
10
~ · df~ = 0
B
Hier wurde der Satz von Stokes
des Vektorpotentials benutzt. Daraus, dass
H und die0 Eigenschaft
0
~
das geschlossene Wegintegral C−D A(~r ) · d~r null ergibt, folgt dass alle Integrale entlang einer beliebigen Kurve auf der selben Seite der Spule den gleichen Wert haben, das Integral also
wegunabhängig ist:
Z
~ r0 ) · d~r0 = αL/R
A(~
CL/R
Wir teilen nun bei der Berechnung der Übergangsamplitude das Pfadintegral in zwei Anteile auf.
Im einen Anteil sollen nur die Pfade berücksichtigt werden, die links an der Spule vorbeigehen,
im andern solche, die sie rechts passieren und setzen (5) ein.
Z
h~r(t), t|~r(0), 0i =
Z
i
Dx e ~ S[~x(t)]
(L)
i
Dx e ~ S[~x(t)] +
(R)
Z
i
Dx e ~ S[~x(t)]
Z (L)
Z (R)
i
i
(S
[~
x
(t)]+eα
)
0
L
Dx e ~
=
Dx e ~ (S0 [~x(t)]+eαR )
+
=
Wir stellen den Term noch etwas um und erhalten
i
= e ~ eαL
i
Z
(L)
i
i
Dx e ~ S0 [~x(t)] + e ~ eαR
Z
(R)
i
Dx e ~ S0 [~x(t)]
i
= e ~ eαL KL + e ~ eαR KR
i
i
= e ~ eαL (KL + e ~ e(αR −αL ) KR ),
wobei wir die Pfadintegrale, die nur noch die Wirkung des freien Teilchens enthalten, also KL
und KR abgekürzt haben. Entscheidend für das Interferenzmuster ist das Betragsquadrat der
Übergangsamplitude. Für dieses ergibt sich:
i
2
i
|h~r(t), t|~r(0), 0i|2 = e ~ eαL (KL + e ~ e(αR −αL ) KR )
2
i
= KL + e ~ e(αR −αL ) KR i
Demnach steckt die Erklärung des beobachteten Eekts vollständig in dem Faktor e ~ e(αR −αL ) .
Die Gröÿe αR − αL lässt sich einfach berechnen. Wir hatten ja αL/R über die Wegintegrale die in
der Wirkung auftauchen deniert. Es gilt also
Z
αR − αL =
~ r0 ) · d~r0 −
A(~
CR
Z
~ r0 ) · d~r0
A(~
CL
I
=
~ r0 ) · d~r0
A(~
CR −CL
Z
=
~ · df~ =
(∇ × A)
F
Z
F
11
~ · df~ = Φ.
B
Da die Spule von dem so zusammengesetzten Weg eingeschlossen wird, ist das Integral nicht mehr
null, sondern entspricht dem magnetischen Fluss durch die Spule. Wir erhalten also letztendlich
für die Übergangsamplitude:
2
i
|h~r(t), t|~r(0), 0i|2 = KL + e ~ eΦ KR Das Interferenzmuster hängt also vom magnetischen Fluss Φ innerhalb der Spule ab, obwohl die
Elektronen sich nur in feldfreien Raumbereichen bewegen! Dass die Elektronen vom Vektorpotential beeinusst werden sollen, mag zunächst unphysikalisch erscheinen, da das Vektorpotential
ja nicht eindeutig bestimmt ist. Die entscheidende Gröÿe, der magnetische Fluss Φ, ist jedoch
eichinvariant, denn es gilt:
~ r) + ∇f (~r)) = ∇ × A(~
~ r) = B(~
~ r)
∇ × (A(~
Man sieht auÿerdem, dass für eΦ
~ = 2πn, n ∈ Z der Eekt verschwinden sollte. Dies konnte
experimentell bestätigt werden. Zuletzt sei erwähnt, dass man genau genommen mehr Pfade
berücksichtigen müsste, als die, die links oder rechts an der Spule vorbeigehen, nämlich solche die
sie ein- oder mehrmals umrunden. Diese liefern jedoch nur einen kleinen Beitrag zum Ergebnis
und wurden daher der Anschaulichkeit halber vernachlässigt.
Literatur
[1] G. Münster Quantentheorie, 2. Auage de Gruyter, 2010
[2] R. MacKenzie Path Integral Methods and Applications. arXiv:quantph/0004090
[3] L. S. Schulman Techniques and Applications of Path Integration Dover
Publications
[4] A. Das Field Theory: A Path Integral Approach World Scientic Pub Co
Inc
[5] Feynman, Hibbs Quantum Mechanics and Path Integrals McGraw-Hill
Companies
[6] http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Aharonov-bohm.
png&filetimestamp=20080415221620
[7] http://www.quantum.physik.uni-mainz.de/lectures/2005/ss05_
quantenphysik/AharonovBohm.pdf
12