Objekt Parameter Matrix Driftstrecke Länge L>0 m0 (L) = 1 L
Werbung
Transversale Optik, SS 09 Objekt Parameter Matrix Driftstrecke Länge L>0 ⎛ 1 L ⎞ m0 (L) = ⎜ ⎝ 0 1 ⎟⎠ Quadrupol (generell) Länge L>0, Stärke k ⎛ ⎜ Cos( k L) mQ (L, k) = ⎜ ⎜ − kSin( k L) ⎝ ⎞ 1 Sin( k L) ⎟ k ⎟ Cos( k L) ⎟⎠ Quadrupol fokussierend Länge L>0, Stärke k > 0 ⎛ ⎜ Cos( k L) mQF (L, k) = ⎜ ⎜ − kSin( k L) ⎝ ⎞ 1 Sin( k L) ⎟ k ⎟ Cos( k L) ⎟⎠ Quadrupol defokussierend Länge L>0, Stärke k < 0 ⎛ Cosh( k L) ⎜ mQD (L, k) = ⎜ ⎜ ⎜⎝ − k Sinh( k L) 1 ⎞ Sinh( k L) ⎟ ⎟ ⎟ Cosh( k L) ⎟⎠ k Dipol (Sektor), Ablenkebene Länge L>0, Orbitradius ρ ⎛ Cos(L / ρ ) ρ Sin(L / ρ ) mDx (L, ρ ) = ⎜ 1 ⎜⎝ − ρ Sin(L / ρ ) Cos(L / ρ ) Dipol (Sektor), ⊥ zur Ablenkebene Länge L>0, Orbitradius ρ ⎛ 1 L ⎞ mDy (L, ρ ) = ⎜ ⎝ 0 1 ⎟⎠ Dipolkante, Ablenkebene Winkel zur Senkrechten β, Orbitradius Dipol ρ ⎛ mKx (β , ρ ) = ⎜ ⎜⎝ Winkel zur Senkrechten β, Orbitradius Dipol ρ ⎛ 1 mKy (β , ρ ) = ⎜ tan β ⎜⎝ − ρ Dipolkante, ⊥ zur Ablenkebene 1 tan β ρ ⎞ ⎟ ⎟⎠ 0 ⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎠ 0 ⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎠ Die Matrix für eine bestimmt Abfolge optischer Elemente ist durch das Produkt der Elementematrizen gegeben wobei auf die Reihenfolge zu achten ist. Die Kantenmatrizen der Dipolfelder berücksichtigen die Tatsache, dass Stirnflächen von Dipolen die nicht senkrecht auf dem Orbit stehen Effekte in erster (linearer) Ordnung auf die Teilchenbewegung haben die hier berücksichtigt werden müssen. Der Effekt in der Ablenkebene ergibt sich daraus, dass die Länge des wirksamen Magnetfeld von der horizontalen Ablage abhängt, dies wird durch einen zusätzlichen „kick“ berücksichtigt. Der Effekt in der vertikalen Ebene ist anderer Natur. Er resultiert daraus, dass es in den Randzonen des Dipols transversale Magnetfelder gibt die zu einer Ablenkung in vertikaler Richtung führen. In erster (linearer) Näherung ergibt sich der o.g. Ausdruck. Dass vertikaler und horizontaler Effekt gleich gross sind ist eher ein Zufall. Transversale Optik, SS 09 Twiss - Darstellung der Transformationsmatrix für eine Periode ⎛ α (s) β (s) ⎞ ⎛ cos µ + α (s)sin µ ⎞ ⎛ C(s) S(s) ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ β (s)sin µ M p (s) = ⎜ + sin µ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = cos µ ⎜ sin µ cos µ − α (s)sin µ ⎠ ⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎝ C '(s) S '(s) ⎠ ⎝ −γ (s) −α (s) ⎠ ⎝ Die Funktionen α, β und γ hängen vom Startpunkt s ab, der Phasenvorschub μ ist vom Startpunkt unabhängig. Der Phasenvorschub errechnet sich aus, cos µ = 1 2 Spur(M p ) unabhängig von der Wahl der Darstellung von Mp und unabhängig vom Startpunkt s. Stabile transversale Bewegung ist gegebene wenn cos( µ ) < 1 ist, d.h. wenn die Spur der Periodenmatrix kleiner 2 ist. Allgemeine Lösung der Hillʻschen DG für periodische Strukturen Für den Fall, dass K(s) eine periodische Funktion von s ist, kann die allgemeine Lösung der transversalen Bewegungsgleichung geschrieben werden als u(s) =A β (s)Cos(φ (s) + δ ) u '(s) = −A / β (s) ( Sin(φ (s) + δ ) + α (s) Cos(φ (s) + δ )) Dabei sind β(s) und φ(s) periodische Funktionen von s. Die individuellen Teilcheneigenschaften stecken in A und δ während β(s) die (eindeutige), nur vom Ort abhängige Betafunktion ist. Für einen festen Ort s bilden die Phasenraumpunkte vieler Umläufe eine Ellipse, deren Orientierung und Halbachsenverhältnis durch β und α sowie die Fläche durch π A2 gegeben ist. Es gelten folgende Zusammenhänge : 1 α (s) = − 12 β '(s) ; φ '(s) = β (s) Am Ort einer Strahltaille (Maximum oder Minimum von β) ist α=0, die Halbachsen der Maschinenellipse stimmen mit u und uʻ überein. Courant - Snyder - Invariante Im Falle rein konservativer Kräfte und bei konstantem Longitudinalimpuls ist die Größe A 2 = γ u(s)2 + 2α u(s)u '(s) + β u '(s)2 = Fläche / π Transversale Optik, SS 09 unabhängig von s. Emittanz des Strahls Die Emittanz des Strahls bestimmt sich aus der Fläche der Ellipse die einen definierten Anteil aller Strahlteilchen umschliesst. Dabei wird die Geometrie der Ellipse (β, α) so angepasst, dass die ermittelte Emittanz minimal ist. Je nach Bedarf, kann man eine 100% Emittanz, eine 90% Emittanz, eine 1σ Emittanz oder andere sinnvolle Definitionen benutzen. Stimmen die Parameter (β, α) des Strahls mit denen der Optik an dieser Stelle überein, so ist der Strahl „angepasst“ (matched).
