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Kontinuierliche Gleichverteilung
Kontinuierliche Verteilungen
f(x)
Verteilungskurve
(Verteilungsdichtefunktion):
für a ≤ x ≤ b
⎧ 1
f ( x) = ⎨ b − a
⎩ 0 sonst
f(x) statt P(x) !
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Verteilungsdichtefunktion
a
1
b−a
a
f(x)
α β
b
x
Erwartungswert und Varianz der kontinuierlichen Verteilungen
Ähnliche Definitionen als bei diskrete Verteilungen, aber statt Summierung
muss man integrieren:
μ = ∫ x f ( x)dx
−∞
∞
σ = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x)dx
2
Kummulative Verteilungsfunktion
x
p(α≤x≤β)
∞
Kummulative Wahrscheinlichkeitsvert.
b
f(x)
Wahrscheinlichkeit
entspricht die Fläche!
Die Gesamtfläche
unter der Kurve = 1
Vergleich der diskreten und kontinuierlichen Verteilungen
mit dem Beispiel der Gleichverteilung
1
b−a
−∞
Erwartungswert und Streuung der kont. Gleichverteilung
Erwartungswert:
Streuung:
μ=
a+b
2
σ=
b−a
12
Kontinuierliche Verteilungen:
Normalverteilung (Gauss-Verteilung)
Erwartungswert der Gleichverteilung:
∞
b
b
1
1
1 ⎡ x2 ⎤
dx =
xdx
μ = ∫ x f ( x)dx = ∫ x
=
⎢2⎥ =
∫
b
a
b
a
b
a
−
−
−
⎣ ⎦a
−∞
a
a
b
1 b2 − a2
1 (b − a )(b + a ) b + a
=
=
=
b−a 2
b−a
2
2
Kontinuierliche Verteilungen: Normalverteilung
Verteilungsfunktion:
−
1
f ( x) =
e
σ 2π
( x−μ )2
2σ 2
Normalverteilung
e− x
σ
x
−
1
e
σ 2π
x
μ
0
( x−μ )2
2σ 2
−
e
( x−μ )2
2σ 2
σ
σ
μ
≈1 ≈1
0
f(x)
σ
2
≈1 ≈1
Parameter der Normalverteilung: Erwartungswert: μ
Streuung: σ
Wendepunkte
e−( x−μ )
2
σ
σ
x
μ
x
x
μ
Normalverteilung
Normalverteilung
f(x)
f(x)
P(α ≤ x ≤ β)
P(μ−2σ ≤ x ≤μ+2σ)=95%
f(x)
x
α β
μ−2σ
P(μ−σ ≤ x ≤μ+σ)=68%
μ
x
μ+2σ
f(x)
P(μ−3σ ≤ x ≤μ+3σ)=99,7%
μ−σ
μ
x
μ+σ
μ−3σ
μ
μ+3σ
x
Überblickstabelle
Standard - Normalverteilung
Diskrete Verteilungen
2
1 − x2
e
2π
μ=0
1 1
σ=1
0
Transformation der Normalverteilungen zur Normalverteilung
diskrete Gleich-
Binomial-
pk
1
n
⎛n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ p ( 1 − p )n −k
⎝k ⎠
μ
n +1
2
np
λ
1
p
σ2
n2 − 1
12
np(1 − p )
λ
1− p
p2
Poisson-
λk
k!
e −λ
Geometrische
P( k ) = q k −1 p
Überblickstabelle
Verteilung von Summe der Zufallsgrößen: Beispiel
Kontinuierliche Verteilungen
kontinuir.
Gleich-
f (x )
1
,
b−a
a≤x≤b
μ
a+b
2
σ2
( b − a )2
12
Standardnormal-
Normal-
1
e
σ 2π
Wir werfen mit zwei Würfeln.
Die Augenzahl von einem Würfel hat eine Gleichverteilung.
Welche Verteilung hat die Summe der Augezahlen?
Keine Gleichverteilung!
− ( x − μ )2
1
e
2π
2σ 2
μ
1/
6
1/
6
1 2 3 4 5 6 Augenzahl
P(Augenzahl)
0
1/
6
σ2
P(Augenzahl)
P(Augenzahl)
−x2
2
1
1/
36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 Augenzahl
Σ Augenzahl
Hausaufgabe: Berechnen Sie die (theoretische) Streuung der obigen Verteilungen!
(Siehe die Vorlesung der letzte Woche für die Definition!)
Verteilung von Summe der Zufallsgrössen
Verteilung von Summe der Zufallsgrössen
x1 und x2 sind unabhängige Zufallsgrößen. Beide folgen eine Verteilung mit
Erwartungswerte μ1 bzw. μ2 und Streuungen σ1 bzw. σ2.
Welche Verteilung folgt die Summe: x = x1 + x2 ?
f(x2)
f( x1)
μ1
x1
Die Normalverteilung, die Bionomialverteilung, und die PoissonVerteilung sind stabile Verteilungen.
f( x )
μ2
Die Gleichverteilungen sind nicht stabil!
σ
σ2
σ1
Der Verteilungstyp ist stabil wenn die Summe von zwei unabhängigen
Zufallsgrößen wieder eine Verteilung desselben Typs gibt.
x2
μ
x hat eine Verteilung mit Erwartungswert μ=μ1+μ2
und Varianz σ 2 = σ 12 + σ 22
Die Varianzen sind Additive, nicht die Streuungen!!!
x
Beispiel
Verteilung der linearen Funktion einer Zufallsvariable
x ist eine Zufallsvariable mit einem Erwartungswert von μ und
theoretischen Streuung von σ.
Sei y=2·x
Welche Erwartungswert und theor. Streuung hat y?
μy=2·μ
σy=2·σ
(Allgemein: wenn y=a·x, μy=a·μ, σy=a·σ)
Sei z= x+3
Welche Erwartungswert und theor. Streuung hat z?
σz=σ
μz=μ+3
Hans spielt ein Brettspiel, wo er mit einem Würfel wirft.
Nach dem Wurf bekommt er Spielgeld: 50-mal die
Augenzahl.
Wie viel Geld kann er durchschnittlich erwarten nach
einem Wurf? (Wie viel ist der Erwartungswert des
Geldes, was er nach einem Wurf bekommt?)
Wie viel ist der Erwartungswert des Gewinnes, wenn
Hans muss 200 Spielgeld für jede Würfe bezahlen?
(Allgemein: wenn z=x+a, μz=μ+α, σz=σ)
Sei: t=a·x+b dann
μt=a·μ+b
σt=a·σ
Verteilung von Durchschnitt der Zufallsgrößen
Verteilung des Durchschnittes
x1 und x2 sind unabhängige Zufallsgrößen.
Beide folgen eine Normalverteilung mit Erwartungswerte
μ1 bzw. μ2 und Streuungen σ1 bzw. σ2.
Welche Verteilung folgt der Durchschnitt x = (x1 + x2)/2 ?
x hat eine Normalverteilung mit Erwartungswert μ=(μ1+μ2)/2
und Varianz σ 2 = (σ 12 + σ 22 ) / 4
(σ = σ 12 + σ 22 / 2)
x1 und x2 sind unabhängige Zufallsgrößen. Beide folgen eine Normalverteilung
mit derselben Erwartungswerte μ und Streuungen σ .
Welche Verteilung folgt der Durchschnitt x = (x1 + x2)/2 ?
Normalverteilung, mit den folgenden Parametern:
Messwerte
x1 , x2
Summe
Durchschnitt
Allgemein für n Messwerte
x1+x2
x = (x1 + x2)/2
x = (x1 + …+xn)/n
μ
μ +μ=2μ
μ
μ
σ2
σ2 +σ2 =2σ2
σ
2σ
σ/ 2
σ/ n
Zentraler Grenzwertsatz
Die x1, x2,….xn unabhängige Zufallsgrößen alle derselben
n
Verteilung haben. Die Verteilung der Summe S n = ∑ xi eine
i =1
Normalverteilung annähert wenn n→∞ .
Statistische Schätzungen,
In Worten: Die Verteilungsfunktionen der Summe konvergieren
gegen eine Normalverteilung auch wenn die einzelne
Zufallsgrößen keine Normalverteilung haben.
Biologische Bedeutung: Wenn ein Parameter (zB Körperhöhe,
Blutzuckerkonzentration, …) durch vielen (n →∞) anderen
Faktoren (Zufallsgrößen) beeinflusst wird, dieser Parameter folgt
eine Normalverteilung.
Analytische Statistik
Aufgabe der Schätztheorie
Aus einer Stichprobe Schätzwerte für
Population
N = „unendlich”
Theoretische Verteilung
Erwartungswert
Theoretische Streuung
¾
Wahrscheinlichkeiten
¾
Erwartungswert
¾
Streuung
Stichprobe
¾
oder andere Parametern
n = endlich
einer Verteilung zu ermitteln.
Typen der Schätzungen:
Häufigkeitsverteilung
Durchschnitt
Standardabweichung
• Punktschätzung
• Intervallschätzung
Punktschätzungen
Punktschätzungen
Wir wollen jetzt die Parameter einer Verteilung (μ,σ) aus den
konkreten Werten x1,...xn einer Stichprobe „möglichst gut“
bestimmen, d.h. einen „Näherungswert“ errechnen.
Der Parameter wird mit einem Wert geschätzt.
Relative Häufigkeit
ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit
Kriterien:
Erwartungstreue
(unverzerrt)
Konsistenz
Effizienz (wirksam)
Exhaustivität
(erschöpfend)
Durchschnitt
ist ein Schätzwert für den Erwartungswert
Erwartungswert der
Schätzwerte = zu
schätzender Parameter
n ↑ bessere Schätzung
kleine Streuung
berücksichtigt alle
Informationen
Standardabweichung
ist ein Schätzwert für die Streuung
Punktschätzungen sagen
nichts über die Genauigkeit bzw. Sicherheit
der Schätzung!
Intervallschätzungen
Intervallschätzungen
Intervallschätzung oder Konfidenzschätzung gibt zu einer
vorgewählten Sicherheitswahrscheinlichkeit γ, (Konfidenzniveau)
ein Intervall (c1,c2) an, in dem der unbekannte Parameter (zB. μ
oder σ) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens γ liegt.
Wie große γ soll gewählt werden?
Wie große sind die Schaden bei einer falschen Schätzung?
Sozialwissenschaft γ=0,9
Medizin γ=0,95
c1
c2
Zb.: Erwartungswert der Pulszahl ist bei
95% Konfidenzniveau: 74±6 1/Min
Technik γ=0,99
x
Einfluss der Streuung und des Stichprobenumfanges
27
α=1-γ Irrtumswahrscheinlichkeit
28
Verteilung von Durchschnitt der Zufallsgrössen
Konfidenzintervall für den Erwartungswert
x1 und x2 sind unabhängige Zufallsgrößen. Beide folgen eine Normalverteilung
mit derselben Erwartungswerte μ und Streuungen σ .
Welche Verteilung folgt der Durchschnitt x = (x1 + x2)/2 ?
Normalverteilung, mit den folgenden Parametern:
Messwerte
Summe
x1 , x2
x1+x2
μ +μ=2μ
μ
Zu
Durchschnitt
σ2
σ2 +σ2
σ
2σ
rE
rin
ne
r un
g
Allgemein für n Messwerte
x = (x1 + x2)/2
x = (x1 + …+xn)/n
μ
μ
f(x)
μ−σ μ μ+σ
f(x )
σ
σ/ n
μx = μ
29
Standardfehler
σx =
≈=s x?
Streuung
n
=2σ2
σ/ 2
x zB:Körperhöhe
≤σ
x zB: durchschnittliche Körperhöhe in einem
Studentengruppe von n
Studenten
30