4.3

09.12.2012
4.3 Komplexe Wurzeln
j
-1
=
1
1
-1
=
=
1
j
=
-1
j2 = 1
?
-1 = 1
In den reellen Zahlen definiert man
1.)
a2 = x
2.)
a > 0
x
als reelle Zahl a mit den Eigenschaften
Da es keine komplexen Ungleichungen gibt, lässt sich die zweite Eigenschaft nicht
auf die komplexen Zahlen übertragen.
Daher ist es nicht sinnvoll möglich, die komplexen Wurzeln eindeutig zu definieren.
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Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 4.3
Folie 1
Daher bedeutet eine komplexe Quadratwurzel nicht eine eindeutig bestimmte Zahl
( wie man es von den reellen Quadratwurzeln gewohnt ist ) , sondern eine Menge
mit beiden komplexen Zahlen, deren Quadrat den gegebenen Wert hat.
So gilt z.B. nicht
-1
=
j
, sondern
-1
=
-j ; j
.
Die 3., 4., 5. ... Wurzeln bedeuten analog Mengen mit 3, 4, 5, ... komplexen Zahlen.
So gilt z.B.
4
1
=
1 ; -1 ; -j ; j
.
Allgemein steht für alle n ε N und alle q ε C die Schreibweise
komplexen Zahlen z mit
n
q
für alle
zn = q .
Die Lösungen dieser Gleichung bestimmt man mit dem Satz von Moivre:
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Analysis 4.3
Folie 2
1
09.12.2012
. .
.
| z | n . e j n arg (z ) = | q | . e j arg( q)
zn = q
( Betrag ) :
|z|n = |q|
( Argument ) :
n . arg ( z ) = arg ( q ) + k . 2π
|z|
n
=
zn = q
Für die Lösungen der Gleichung
•
|q|
arg ( q )
+
n
arg ( z ) =
mit k ε Z
2π
n
k.
gilt also:
n
Alle Lösungen haben den gleichen Betrag, nämlich
|q|
.
Sie liegen daher auf dem Kreis um den Nullpunkt mit diesem Radius.
•
Die Argumente der Lösungen unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache des
n - ten Teils des Vollkreises.
Daher gibt es genau n verschiedene Lösungen
( z.B. stimmt die Lösung für k = 0 mit der Lösung für k = n überein ) .
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Analysis 4.3
Folie 3
Die komplexe Gleichung z n = q hat also genau n verschiedene Lösungen
( für jede komplexe Zahl q außer q = 0 ) , nämlich
zk
=
n
j
|q|
.
.
e
( argn( q )
+
k.
2π
n
j
Beispiel 1:
z3
=
1+j
=
2
.
.
( 12π
j
zk =
3
2
.
e
j
z0 = 6
2
.
z1 = 6
2
.
e
e
2
.
e
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für k = 0 , 1 , 2 , ... , n - 1
π
4
+ k.
2π
3
.
)
π
12
für k = 0 , 1 , 2
Im ( z )
z1
1
9π
j .
12
j
z2 = 6
.
e
.
)
z0 ( = z3 )
17π
12
1 6
2
Re ( z )
z2
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Analysis 4.3
Folie 4
2
09.12.2012
Allgemein gilt für jede komplexe Gleichung z n = q :
Die n Lösungen dieser Gleichung liegen in gleichen Winkelabständen auf dem
Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius
n
|q|
.
Beispiel 2
z5
=
j.
Im ( z )
32
j.
Diese Gleichung hat
4
2
π
π
5
z1 = 2 . e
5
z2 = 2 . e
1
genau fünf verschie-
.
z0 = 2 ( = 2 . e j 0 )
dene Lösungen.
2
1
Re ( z )
Eine davon ist die
Lösung z = 2 .
j.
6
π
5
z3 = 2 . e
j.
8
z4 = 2 . e
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π
5
Analysis 4.3
Folie 5
Beispiel 3
z2
=
15
+ 2j
4
15 2
+ 22
4
( )
=
=
17
4
. e
z
=
+
1 .
j.
arctan
17 .
2
e
4
z
=
+
17 .
4
cos
.
j . arctan
e
(
2
15
4
)
(158 )
(158 )
1 .
arctan
2
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j . arctan
(158)
+
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j . sin
1 .
arctan
2
(158)
Analysis 4.3 Folie 6
3
09.12.2012
cos
1 .
arctan
2
(158)
ε
0;
π
ε
π
0;
1
cos ( arctan ( x )) =
1+ x2
cos ( 2x ) =
2
2 . cos 2 (x ) - 1
cos 2 ( x ) = 1 .
2
4
cos ( x ) =
(1 + cos ( 2x ))
1 .
2
+
(1 + cos ( 2x ))
> 0
Es gilt also:
cos
1 .
arctan
2
1 .
2
=
(158)
=
1 .
1 .
1 + cos 2 .
arctan
2
2
+
1
1+
1+
=
(158)
2
Institut für Automatisierungstechnik
sin
1 .
arctan
2
(158)
ε
π
0;
Prof. Dr. Ch. Bold
)
16
17
=
Analysis 4.3 Folie 7
1
cos ( arctan ( x )) =
1+ x2
2
π
0;
ε
(
15
1 .
1+
17
2
(158)
4
cos ( 2x ) =
1 - 2 . sin 2 (x )
sin 2 ( x ) =
1 .
2
sin ( x ) =
+
(1 - cos ( 2x ))
1 .
2
(1 - cos ( 2x ))
> 0
Es gilt also:
sin
=
1 .
arctan
2
1 .
2
(158)
=
+
1
11+
8 2
15
( )
Institut für Automatisierungstechnik
1 .
1 .
1 - cos 2 .
arctan
2
2
=
(
15
1 .
117
2
Prof. Dr. Ch. Bold
)
(158)
=
1
17
Analysis 4.3 Folie 8
4
09.12.2012
Daraus ergibt sich:
z
=
+
17 .
4
z
=
+
17 .
4
cos
(158)
1 .
arctan
2
16
17
1
17
j.
+
+
j . sin
=
+
1 .
arctan
2
(2
+
1
2
(158)
j)
Im ( z )
1
=
-2 -
1
2
1
j
Institut für Automatisierungstechnik
(2
+
1
j)
2
Re ( z )
17
4
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 4.3 Folie 9
Bemerkung
Führt man die Umformungen aus Beispiel 3 nicht in einem konkreten Zahlenbeispiel,
z2 = a + j . b
sondern für die allgemeine Gleichung
z2 = a + j . b
Die Gleichung
z =
+
1
2
hat die beiden Lösungen
a2 + b2 + a
.
durch, so ergibt sich:
+
j . sign ( b ) .
a2 + b2 - a
Diese Formel benutzt man häufig beim Lösen komplexer quadratischer Gleichungen
( siehe 4.4 ) .
Bemerkung
Die Formel gilt nicht, wenn b = 0 und a < 0 ist. In diesem Fall braucht man sie aber
auch nicht, da man die Wurzel aus negativen reellen Zahlen leicht berechnen kann
( z.B.
-4
=
4 . j2
=
+
2j ) .
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Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 4.3 Folie 10
5