Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen
Wir haben gesehen, dass die Menge R der reellen Zahlen einen angeordneten Körper bildet und dass für die Menge Q der rationalen
Zahlen entsprechendes gilt.
In beiden Körpern sind Gleichungen der Form xn = a nicht durchweg
lösbar.
In Q scheitern wir schon an der Lösung von x2 = 2.
In R (und in Q) gibt es keine Lösung von x2 = −1.
Diese “Defekte” beseitigt die Zahlbereichserweiterung zu den komplexen Zahlen.
1
Die Konstruktion von C
Satz Die Menge R × R = {(a, b) | a ∈ R und b ∈ R} wird durch die
Verknüpfungen
(a, b) + (a0, b0) = (a + a0, b + b0)
(a, b) · (a0, b0) = (aa0 − bb0, ab0 + a0b)
zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen.
Bezeichnung: C.
Erinnerung: Eigenschaft Körper beinhaltet die Anforderungen
(A1)–(A4) an die Addition,
(M1)–(M4) an die Multiplikation
und das Distributivgesetz (D).
2
Überprüfung der Anforderungen
(A1)–(A4) Kommutativität und Assoziativität der Addition offensichtlich erfüllt. (0, 0) wirkt als Nullelement und (−a, −b) als
additiv Inverses zu (a, b).
(M1) Kommutativität der Multiplikation ist klar.
(M2) Assoziativität:
0
0
= (a, b) · (a , b ) · (a00, b00)
= (aa0 − bb0) · (a00, b00)
= (aa0a00 − bb0a00 − ab0b00 − ba0b00, aa0b00 − bb0b00 + ab0a00 + ba0a00)
0
0
00
00
Ausmultiplizieren von (a, b) · (a , b ) · (a , b ) liefert dasselbe Resul-
tat.
3
(M3) (1, 0) ist neutral hinsichtlich Multiplikation:
(1, 0) · (a, b) = (a, b).
(M4) Ist (a, b) 6= 0, so ist (wegen a, b ∈ R) die Quadratsumme
a2 + b2 6= 0.
Aus
(a, b) · (a, −b) = (a2 + b2, 0)
erhalten wir folglich
a
b
= (1, 0)
(a, b) · 2
,
−
2
2
2
a +b
a +b
damit die Existenz von Inversen bezüglich der Multiplikation.
(D) Das distributive Gesetz rechnet man nach dem Muster von
(M2) nach.
4
Verabredungen
Vermöge der Zuordnung R → C,
identifizieren wir.
a 7→ (a, 0) zugeordnete Elemente
R wird dadurch eine Teilmenge von C, die sogenannte reelle Achse .
Die Identifizierung führt zur Schreibweise
(a, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1)
= a + b · i,
wobei
i = (0, 1)
als imaginäre Einheit von C bezeichnet wird. Offensichtlich gilt:
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
5
Entsprechend ist die quadratische Gleichung
x2 = −1
in C lösbar mit den beiden Lösungen i und −i.
Wichtiger Kommentar zum Rechnen in C
Für das Rechnen in C brauchen wir uns nicht die ursprünglichen
Definitionen zu merken. Alles Weitere ergibt sich aus den folgenden
Fakten:
(1) Jede komplexe Zahl z besitzt eine eindeutige Darstellung
z = a + b · i,
mit a, b ∈ R.
(2) C ist ein Körper, d.h. es gelten (A1)–(A4), (M1)–(M4), (D).
(3) Es gilt i2 = −1.
6
Beispiel
Sei z = a + bi 6= 0 eine von Null verschiedene komplexe Zahl.
Dann ist
(a + bi)(a − bi) = a2 − abi + bai − b2i2
= a2 + b2 6= 0
und folglich
a − ib
1
=
z
a2 + b2
1
Für z = a + bi 6= 0 ist z −1 = 2
(a − bi) .
2
a +b
7
Die Gaußsche Zahlenebene
Durch die Interpretation C = R × R der komplexen Zahlen als reelle
Zahlenpaare wird die Veranschaulichung der komplexen Zahlen als
Punkte der Ebene nahegelegt.
z = a + bi
bi
Gaußsche Zahlenebene
i
1
a
q
Mit |z| = a2 + b2 bezeichnen wir (Pythagoras) den Abstand vom
Nullpunkt, und nennen ihn den Betrag von z.
8
Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
Gauß war der mit Abstand berühmteste Mathematiker seiner Zeit.
Die komplexe Zahlenebene ist nach ihm benannt. Gearbeitet hat er
auf allen Gebieten der Mathematik und ihrer Anwendungen.
9
Die Gaußsche Zahlenebene: Addition
Die Addition von zwei komplexen Zahlen erfolgt — geometrisch
gesehen — unter Anwendung des Parallelogrammgesetzes.
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z1 + z2
z1
z2
Die geometrische Interpretation der Multiplikation in kartesischen
Koordinaten ist unanschaulich.
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Sinus und Cosinus
Für einen im Bogenmaß gegebenen Winkel α sind sin α und cos α
durch folgende Figur erklärt:
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp
p p pppp
p pp p p p p p p
p p p pp
pppp pp pp
p
ppp p
p p p p p pp
p
pppp ppppp
p
p
p
pp p
p
p
1
ppp sin α
pppppp
p
ppp
pppp p
p
p
p
ppp
p
ppp
pppp
ppp
pp
ppp
cos
α
p
ppp
pp
ppp
p
p
p
pp p
pp
p p pp
pp p p
ppp p p
p
p
p
p
p p p pp p p
p p pp p p p
ppp p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ppp
Wir lesen beispielhaft ab:
sin2 α + cos2 α = 1
cos(α + π) = − cos α
sin(α + π) = − sin α.
11
Additionstheoreme
Ohne Beweis werden wir die folgenden Darstellungen der Winkelfunktionen für die Winkelsumme α + β verwenden:
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = cos α sin β + sin α cos β.
Diese Formeln benötigen wir temporär , um die Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch zu interpretieren.
Später werden wir diese Formeln zweckmäßig aus leicht zu merkenden Eigenschaften der komplexen Zahlen zurückgewinnen.
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Darstellung in Polarkoordinaten
Zur geometrischen Darstellung der Multiplikation erweist sich die
Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl als wichtig:
pppp pp
pppppp ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
pp
pppp ppppp
pppppp ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
pp
pppp ppppp
pppppp ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
r pppppp ppppppp ppppppp
pppp p
pppppp ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
pp p
pppp ppppp ppppp
pppppp ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
p
pppp
α ppppp
pppppp ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
pp
pppppppp
z = r (cos α + i sin α)
r sin α
r cos α
Die Zahl r = |z| misst in der Gaußschen Zahlenebene daher den
Abstand zum Nullpunkt; um z festzulegen benötigen wir neben r
noch den Winkel α.
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Mit Hilfe der Polarkoordinaten (r, α) ergibt sich dann z als
z = r · (cos α + i sin α) .
Wir nennen α = arg(z) , 0 ≤ α < 2π, das Argument von z.
Multiplikation in Polarkoordinaten
Seien
z1 = r1 (cos α1 + i sin α1)
z2 = r2 (cos α2 + i sin α2)
komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung so ist
z1 · z2 = r1r2 [(cos α1 cos α2 − sin α1 sin α2)
+ i (cos α1 sin α2 + sin α1 cos α2)]
= r1r2 (cos (α1 + α2) + i sin (α1 + α2))
Komplexe Zahlen multipliziert man durch Multiplikation der Beträge
und Addition der Argumente=Winkel.
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Konjugieren
Sei z = a + ib, a, b ∈ R, eine komplexe Zahl.
(1) a = Re(z) heißt Realteil, b = Im(z) heißt Imaginärteil von z.
(2) z̄ = a − i b heißt die zu z konjugiert komplexeZahl.
(3) Es gilt z · z̄ = a2 + b2 = |z|2.
(4) Für z 6= 0 ist z −1 = |z|z̄ 2 . Diese Regel kennen wir schon!
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Betrag und Konjugieren: Rechenregeln
(1) z1 + z2 = z1 + z2,
(2) z1 · z2 = z1 · z2,
(3) z · z̄ = |z|2, |z̄| = |z|,
(4) |z1 · z2| = |z1| · |z2|,
(5) |z1 + z2| ≤ |z1 + z2| (Dreiecksungleichung).
Beweis: Von (1)–(4) ist nur (2) nachzurechnen. (5) folgt.
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Beweis der Dreiecksungleichung
Schritt 1: Für z = a + bi gilt |Re(z)| ≤ |z|.
Es ist nämlich |Re(z)|2 = a2 ≤ a2 + b2 = |z|2 .
Schritt 2: Können z1 6= 0 annehmen, dann durch Multiplikation mit
1/z1, dass z1 = 1 gilt. Müssen daher
|1 + z|2 ≤ (1 + |z|)2
zeigen. Bilden dazu die Differenz:
(1 + |z|)2 − (1 + z)(1 + z̄)
= 1 + 2 |z| + |z|2 − (1 + (z + z̄) + zz̄)
= 2 (|z| − Re(z)) ≥ 0
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Komplexe Zahlen vom Betrag 1
Die Menge U der komplexen Zahlen vom Betrag 1 sind gegenüber
Multiplikation, Konjugation und Übergang zum multiplikativ Inversen abgeschlossen. Geometrisch bildet U die Peripherie des Einheitskreises.
Für z1, z2 ∈ U folgt z1 z2 ∈ U. (Bilde den Betrag!)
Insbesondere ist U gegen Potenzen abgeschlossen!
Für z ∈ U gilt wegen z · z̄ = 1 die Formel z −1 = z̄ .
Multiplikativ Inverse werden für Elemente aus U somit durch Konjugieren gebildet.
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Die Moivresche Formel
Diese ist ein Spezialfall der Multiplikationsdarstellung in Polarkoordinaten: Für z = r (cos α + i sin α) folgt für alle n ∈ Z
z n = rn (cos nα + i sin nα).
Durch Umkehrung erhalten wir für 0 6= z = r (cos α + i sin α) n
verschiedene n-te Wurzeln, nämlich
√
α
+
2kπ
α
+
2kπ
wk = n r cos
+ i sin
,
n
n
k = 0, . . . , n − 1.
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Explizite Wurzelbestimmung
Zu bestimmen seien die drei 3-ten Wurzel aus z = 3 + 4 i.
Im ersten Schritt ist dazu z in Polarkoordinaten z = |z|(cos α +
i sin α) darzustellen. Wir wissen, dass dann die 3-ten Wurzeln aus z
als
q
α
2π
α
2π
wk = 3 |z| cos
+k
+ i sin
+k
k = 0, 1, 2
3
3
3
3
gegeben sind.
q
Es ist |z| = + 32 + 42, also |z| = 5 und α = arg(z) dann aus den
beiden folgenden Gleichungen zu gewinnen:
cos α =
3
5
sin α =
4
5
20
Im Bogenmaß ergibt sich α ≈ 0.9273, somit α/3 ≈ 0.30901; ferner
√
+ 3 5 ≈ 1.70998.
2π
Hiermit wk ≈ 1.70998 cos(0.30901 + k 2π
3 ) + i sin(0.3091 + k 3 )
Es
w0
w1
w2
folgt
≈ 1.628937146 + 0.5201745023 i
≈ 1.264952906 + 1.150613698 i
≈ −0.3639842396 − 1.670788201 i
(Vergleiche anschließende Rechnung in MuPAD.)
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Der Fundamentalsatz der Algebra
Wir haben gesehen, dass in C Wurzelziehen unbeschränkt möglich
ist. Es gilt mehr, der Körper C ist algebraisch abgeschlossen:
Fundamentalsatz der Algebra: Sind a0, a1, . . . , an komplexe Zahlen, an 6= 0, so ist die Polynomgleichung
a 0 + a 1 x + a 2 x2 + · + a n xn = 0
in C stets lösbar.
Ein Beweis für den Fundamentalsatz war schon Gauß bekannt. Er
erfordert Hilfsmittel, die hier nicht zur Verfügung stehen.
22
Quadratische Gleichungen
Es ist zwar Schulstoff; aber trotzdem: Wie löst man eine quadratische Gleichung (mit p, q ∈ C)?
x2 + p x + q = 0?
Das Lösungsverfahren verwendet quadratische Ergänzung:
x2 + p x + q
p 2
= (x + ) −
2
p2
4
!
−q
Als Lösung erhalten wir
v
!
u 2
u
p t p
−q .
x=− ±
2
4
Im Allgemeinen haben wir dabei zwei Lösungen (wann genau?)
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Keine Ordnung auf C
Die unbeschränkte Möglichkeit, Wurzeln zu ziehen und Polynomgleichungen zu lösen hat ihren Preis:
Es gibt keine vollständige Ordnung ≤ auf C, welche mit Addition
und Multiplikation verträglich ist, d.h. den Anforderungen (P1)–
(P3) genügt.
Beweis. Wie im Fall der reellen Zahlen müßte z 2 ≥ 0 für alle z ∈ C
gelten. Wegen 12 = 1 und i2 = −1, wäre dann 1 > 0 und −1 > 0,
Widerspruch.
24