Aufgabe 00 (Einstiegsaufgabe zur Berechnung im Raum) Das

Aufgabe 00 (Einstiegsaufgabe zur Berechnung im Raum)
Das Modell zeigt die Pyramide ABCDS mit rechteckiger Grundfläche ABCD (AB = 11 cm;
BC = 7 cm). Die Spitze S liegt senkrecht über C (SC = 15 cm). (Modell vergrößert gebaut!!)
a)
skizziere, wie das Modell direkt von oben aussieht (nicht räumlich zeichnen!!)
b)
Beschreibe die Form der Seitenflächen der Pyramide.
c)
Zeichne Schrägbilder aus verschiedenen Perspektiven
Achtung: mit der Zeichnung recht weit unten beginnen
(Verzerrungsfaktor ist immer q = 0,5)
i) Schrägbildachse ist AB, Verzerrungswinkel ω = 45°
ii) Schrägbildachse ist AD, Verzerrungswinkel ω = 45°
iii) Schrägbildachse AC, Verzerrungswinkel ω = 60°
d)
e)
Berechne das Maß folgender Winkel:
CDS = _______
BAS = _______
CAS = _______
CSB = _______
SMB = _______
ASB = _______
Pyramide - Arbeitsblatt1 - Lösung
!∀#
∀
#
∃
%&∋()
∗+∃,−.
/0
∗+/
#1/2
#/2
3/2
!445 !
3∃
31/666666666
31/66666666
3/666666666
∗/66666666
+3∗/6666666
B3∗/6666666
A3/6666666
A3/6666666
7&∋(/666666666
8
.∋(/6666666
9+∋∃∋:13;7
∋∃∋&<1∋/=.
>∋(!1∋&
3
.
:1∋;?∃−
≅
97
∋&<∃
−.>&
3
.
97
∋&<
Α&−
∋Β
.
ΧΑ%∃
∆66666666
)
!/6666666
∋/6666666
1∋/6666666
Pyramide !1∋7&7/6666666
&−Α&77/6666666
)66666666
3∃−−%∃
&
3
.
9−+∋∃Ε:#3;<
3∃:∋Ε;Α−:#1;.
>:∋Ε;&
3
.
1+∃∋Ε.
Pyramide Arbeitblatt2 Angabe
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Abschlussprüfung 2010
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Aufgabe B 2
Nachtermin
S
B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild
der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das
gleichschenklige Trapez ABCD mit AB || CD ist.
Der Punkt E ist der Mittelpunkt der Strecke [AB],
der Punkt F ist der Mittelpunkt der Strecke [CD].
Der Punkt N liegt auf der Strecke [EF].
Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senkrecht über dem Punkt N.
Es gilt: AB = 12 cm ; CD = 6 cm ; EF = 8 cm ;
A
E
B
Es gilt: EN = 3 cm ; SN = 8 cm .
D
F
N
C
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [EF] auf der
Schrägbildachse und der Punkt E links vom Punkt F liegen soll.
1
Für die Zeichnung gilt: q = ; ω = 45° .
2
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SFN und die Länge der Strecke [SF].
[Ergebnisse: ∢SFN = 57,99° ; SF = 9, 43 cm ]
4P
B 2.2 Eine Parallele zur Geraden AB durch den Punkt N schneidet die Strecke [AD] im
Punkt G und die Strecke [BC] im Punkt H.
Zeichnen Sie die Strecke [GH] in das Schrägbild zu 2.1 ein und zeigen Sie sodann
durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke [GH] gilt:
GH = 9, 75 cm .
3P
B 2.3 Das Dreieck GHF ist die Grundfläche von Pyramiden GHFPn, deren Spitzen Pn auf
der Strecke [SF] liegen.
Für die Pyramide GHFP1 gilt: FP1 = 7,5 cm .
Zeichnen Sie die Pyramide GHFP1 in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [NP1] und das Maß des Winkels FNP1.
[Ergebnis: NP1 = 6, 44 cm ]
3P
B 2.4 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide GHFP1.
Bestimmen Sie sodann durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der
Pyramide GHFP1 am Volumen der Pyramide ABCDS.
4P
B 2.5 Für die Länge der Strecken [NPn] gilt: NPn = x cm (x ∈ IR + ) .
Für x = 4,5 erhält man die Pyramide GHFP2 und die Pyramide GHFP3.
Zeichnen Sie die Strecken [NP2] und [NP3] in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Für x ∈ ]4, 24; 5[ erhält man jeweils zwei Pyramiden.
Begründen Sie, warum es für x = 4, 24 und für x = 5 jeweils nur eine Pyramide
gibt.
3P
Bitte wenden!
Pyramide - Arbeitsblatt2 - Lösung
Abschlussprüfung 2010
sungsmuster
und Bewertung
Lö
1
an den Realschulen in Bayern
Minuten
Mathematik II
Aufgabe B 2
Nachtermin
RAUMGEOMETRIE
L3
K4
B 2.1
S
P1
P2
A
P3
E
D
F
N
C
B
tan ∢SFN =
8 cm
(8 - 3) cm
SF = 82 + (8 - 3)2 cm
∢SFN = 57,99°
L2
K5
∢SFN ∈]0°;90°[
SF = 9, 43 cm
4
L3
K4
B 2.2 Einzeichnen der Strecke [GH]
L2
K2
K5
Es sei der Punkt K der Fußpunkt des Lotes vom Punkt C auf die Gerade AB;
der Punkt L sei der Fußpunkt des Lotes vom Punkt H auf die Gerade AB.
GH = 12 cm - 2
3 cm
tan ∢HBL
tan ∢CBK =
8 cm
0,5 (12 - 6) cm
∢HBL ∈]0°;90°[
∢CBK ∈]0°;90°[
∢CBK = 69, 44°
GH = 12 cm - 2
3 cm
tan 69, 44°
GH = 9, 75 cm
3
L3
K4
B 2.3 Einzeichnen der Pyramide GHFP1
2
2
NP1 = FP1 + NF
2
L2
K2
K5
2 × FP1 × NF × cos ∢P1FN
NP1 = 7,52 + (8 3)2 2 × 7,5 × (8 3) × cos 57,99 cm
NP1 = 6, 44 cm
sin ∢FNP1 sin ∢P1FN
=
FP1
NP1
∢FNP1∈]0°;90°]
∢FNP1 = 80,94°
3
B 2.4 VPyramide GHFP1 =
L2
K2
K5
1 1
×
× GH × NF × d(P1 ; NF)
3 2
sin 57,99° =
d(P1 ; NF)
7,5 cm
d(P1 ; NF) = 6,36 cm
VPyramide GHFP1 =
1 1
3
×
× 9, 75 × (8 3) × 6,36 cm
3 2
VPyramide GHFP1 = 51, 68 cm3
VPyramide ABCDS =
1 1
3
×
× (12 + 6) × 8 × 8 cm
3 2
VPyramide ABCDS = 192 cm3
51, 68 cm3
= 0, 27
192 cm3
Der Anteil beträgt 27%.
4
L3
K4
B 2.5 Einzeichnen der Strecken [NP2] und [NP3]
L3
K1
K5
Die Punkte Pn sind die Schnittpunkte der Strecke [SF] mit einem Kreis k mit dem
Mittelpunkt N und dem Radius r = x cm (x ∈ IR + ) .
Für x = 4, 24 gilt: r = d(N; SF) .
d(N; SF)
d(N; SF) = 4, 24 cm
5 cm
Somit ist die Gerade SF eine Tangente an den Kreis k. Es gibt nur einen Berührpunkt und folglich nur eine Pyramide.
Denn: sin 57,99° =
Für x = 5 gilt: r = NF .
Die Gerade SF ist zwar eine Sekante, jedoch ist einer der beiden Schnittpunkte
mit dem Kreis k der Punkt F, sodass es nur eine Pyramide gibt.
3
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
REV
REVISION HISTORY
DESCRIPTION
NAME
DATE
Dieter Kroemer
12/02/10
DRAWN
CHECKED
ENG APPR
MGR APPR
UNLESS OTHERWISE SPECIFIED
DIMENSIONS ARE IN MILLIMETERS
ANGLES ±X.X°
2 PL ±X.XX 3 PL ±X.XXX
DATE
APPROVED
Solid Edge
TITLE
SIZE DWG NO
A3
FILE NAME: pyramide_ab6_solidegde.dft
SCALE:
WEIGHT:
SHEET 1 OF 1
REV
Pyramide - Arbeitsblatt3 - Lösung
Abschlussprüfung 2010
sungsuster
und Beertung
1
an den Realschulen in Bayern
Minuten
Mathematik II
Aufgabe B 2
aupttermin
RAUMGEOMETRIE
L3
K4
B 2.1
S
10
P1
P
E
R
D
F
A
C
M
B
MS = 1
tan ∢S
2
(12 4)2 cm
cm
cm
=
L2
K2
K5
MS = cm
∢S M = 3 ,
°
∢S M ∈] °;9 °
4
L3
K4
B 2.2 Einzeichnen der Strecke [FG]
SR = cm 1,5 cm
L2
K2
K5
SR = 4,5 cm
FG 4,5 cm
=
cm
cm
FG = cm
2
L3
K4
B 2.3 Einzeichnen des Dreiecks EFG
ER
4,5 cm
=
4 cm
cm
ER = 3 cm
VPyramide ABDS =
1 1
3 2
VPyramide EFGS =
1 1
3 2
cm3
VPyramide ABDS = 32 cm3
4,5 cm3
VPyramide EFGS = 13,5 cm3
L2
K2
K5
13,5 cm3
= , 42
32 cm3
Der Anteil beträgt 42%.
4
L3
K4
B 2.4 Einzeichnen des Dreiecks P1SR
RP1
4,5 cm
=
sin(180° (90° + 36,87°)) sin100°
A DP1SR =
1
RP1 SR sin ∢P1RS
2
∢P1RS = 180° (100° + 53,13°)
∢P1RS = 26,87°
1
2
3, 66 4,5 sin 26,87 cm
2
A DP1SR = 3, 72 cm 2
A DP1SR =
L2
K2
K5
RP1 = 3, 66 cm
3
L3
K4
B 2.5 Einzeichnen des Punktes P2
sin 36,87° =
3 cm
CP2
L2
K2
K5
CP2 = 5, 00 cm
RP2 = 4,52 + (10 5, 00) 2 2 4,5 (10 5, 00) cos 53,13 cm
RP2 = 4, 27 cm
sin j
sin 53,13
=
4,5 cm 4, 27 cm
j
j
∈]26, 25°; 100°[
= 57, 47°
4
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Pyramide - Arbeitsblatt3 - Angabe
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Mathematik II
Abschlussprüfung 2008
Haupttermin
B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein
Schrägbild der Pyramide ABCDS,
deren Grundfläche die Raute ABCD
mit den Diagonalen [AC] und [BD]
ist. Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist der Punkt M.
Die Spitze S der Pyramide ABCDS
liegt senkrecht über dem Punkt A.
Es gilt: AC = 9 cm ; BD = 8 cm ;
AS = 7 cm .
R4/R6
an den Realschulen in Bayern
Aufgabe B 2
S
D
A
M
C
B
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Diagonale [AC] auf
der Schrägbildachse liegen soll.
1
Für die Zeichnung gilt: q = ; ω = 45° .
2
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [SC] und das Maß ϕ des Winkels SCA.
[Ergebnisse: SC = 11, 40 cm ; ϕ = 37,87° ]
4P
B 2.2 Punkte Zn ∈ [SC] mit Zn C = x cm ( x < 11, 40 ; x ∈ IR + ) sind die Spitzen von
Pyramiden BCDZn.
Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ1 für x = 2 in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie sodann das Maß ε des Winkels CMZ1.
3P
B 2.3 Für die Pyramide BCDZ2 gilt: MZ2 ⊥ AC .
Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ2 in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Begründen Sie sodann, dass für die Pyramide BCDZ2 gilt: SZ2 = Z2C .
3P
B 2.4 In der Pyramide BCDZ3 gilt: S CMZ3 = 110° .
Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ3 und ihre Höhe [Z3F] in das Schrägbild zu 2.1
ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [Z3C].
[Ergebnis: Z3C = 7,95 cm ]
3P
B 2.5 Ermitteln Sie durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide
BCDZ3 am Volumen der Pyramide ABCDS.
4P
Abschlussprüfung 2008
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Haupttermin
Aufgabe B 2
Lösungsmuster und Bewertung
RAUMGEOMETRIE
L3
K4
B 2.1
S
Z3
Z2
D
A
.
F
.
M
Z1
C
B
SC = 9 2 + 7 2 cm
tan ϕ =
7 cm
9 cm
L2
K5
SC = 11, 40 cm
ϕ = 37,87°
ϕ∈]0°;90°[
4
L3
K4
B 2.2 Einzeichnen der Pyramide BCDZ1
sin ε sin ϕ
=
Z1C ΜΖ1
L2
K2
K5
MZ1 = 4, 52 + 22 − 2 ⋅ 4,5 ⋅ 2 ⋅ cos 37,87° cm
sin ε sin 37,87°
=
2 cm 3,17 cm
ε = 22, 79°
MZ1 = 3,17 cm
ε ∈]0°;90°[
3
L3
K4
B 2.3 Einzeichnen der Pyramide BCDZ2
L3
K1
MZ2 || AS.
Da der Punkt M der Mittelpunkt der Strecke [CA] ist, muss nach dem Vierstreckensatz der Punkt Z2 der Mittelpunkt der Strecke [CS] sein.
Damit gilt: SZ2 = Z2C .
3
-2-
L3
K4
B 2.4 Einzeichnen der Pyramide BCDZ3 und ihrer Höhe [Z3F]
L2
K2
K5
Z3C
MC
=
sin S CMZ3 sin S MZ3C
Z3C
4,5 cm
=
sin110° sin(180° − (37,87° + 110°))
Z3C = 7,95 cm
3
B 2.5
VPyramide BCDZ3
VPyramide ABCDS
sin ϕ =
VPyramide BCDZ3
VPyramide ABCDS
1 1 1

⋅  ⋅ ⋅ AC ⋅ BD  ⋅ Z3 F
3 2 2

= 
1 1

⋅  ⋅ AC ⋅ BD  ⋅ AS
3 2

Z3F
Z3C
L2
K2
K5
Z3 F = 4,88 cm
= 0, 35
Der Anteil beträgt 35%.
4
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der
Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2006
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Wahlteil – Haupttermin
Aufgabe B 2
Lösungsmuster und Bewertung
BC
3
2
4 3 cm
tan ϕ =
10 cm
B 2.1 AM =
4 3 cm =
BC
3
2
BC = 8 cm
ϕ = 34, 72°
ϕ ∈]0°;90°[
2
B 2.2
S
ϕ
P2
Q
P1
P3
C
F
A
M
B
Zeichnen der Pyramide ABCS
2
-2-
B 2.3 Einzeichnen des Dreiecks P1QS
SQ
SP1 SQ
SP1 = SA ⋅
=
SM
SA SM
SM =
SP1 = 10 ⋅
(
4 3
)
2
+ 102 cm
(12,17 − 6)
cm
12,17
SP1 = SA ⋅
SM − QM
SM
SM = 12,17 cm
SP1 = 5, 07 cm
oder
cos ϕ =
SP1
SQ
...
4
B 2.4 Einzeichnen des Dreiecks P2QS
P2 Q
QS
=
sin ASM sin QP2S
6,17 ⋅ sin 34, 72°
P2 Q =
cm
sin(180° − 2 ⋅ 34, 72°)
P2Q = 3, 75 cm
3
B 2.5 Einzeichnen des Dreiecks BCP3
1
A = ⋅ BC ⋅ MP3
2
AM
4 3
cos 20° =
MP3 =
cm
cos 20°
MP3
1
A = ⋅ 8 ⋅ 7,37 cm 2
2
MP3 = 7,37 cm
A = 29, 48 cm 2
3
B 2.6 Einzeichnen der Pyramide BCP3Q und der Höhe [FQ]
1
V = ⋅ A ⋅ FQ
3
FQ
FQ
sin HSMP3 =
sin[(180° − 90° − 34, 72°) − 20°] =
6 cm
MQ
FQ = 6 ⋅ sin 35, 28° cm
1
V = ⋅ 29, 48 ⋅ 3, 47 cm3
3
FQ = 3, 47 cm
V = 34,10 cm3
3
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Mathematik II
Abschlussprüfung 2006
R4/R6
an den Realschulen in Bayern
Wahlteil - Haupttermin
B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein
Schrägbild der Pyramide ABCS,
deren Grundfläche ein gleichseitiges
Dreieck mit der Dreieckshöhe
AM = 4 ⋅ 3 cm ist. Die Spitze S der
Pyramide liegt senkrecht über dem
Punkt A der Grundfläche mit
AS = 10 cm . Der Winkel ASM hat
das Maß ϕ.
Aufgabe B 2
S
ϕ
C
M
A
B
B 2.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass gilt: BC = 8 cm und ϕ = 34, 72° .
2P
B 2.2 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der
Schrägbildachse liegen soll.
1
Für die Zeichnung gilt: q = ; ω = 45°
2
2P
B 2.3 Auf der Strecke [MS] liegt der Punkt Q mit MQ = 6 cm . Punkte Pn liegen auf der
Seitenkante [AS] und bilden zusammen mit den Punkten Q und S Dreiecke PnQS.
Unter den Dreiecken PnQS gibt es ein rechtwinkliges Dreieck P1QS mit der
Hypotenuse [QS] .
Zeichnen Sie das Dreieck P1QS in das Schrägbild zu 2.2 ein und berechnen Sie
sodann die Länge der Strecke [SP1 ] . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: SM = 12,17 cm ]
4P
B 2.4 Das Dreieck P2QS ist gleichschenklig mit der Seite [QS] als Basis.
Zeichnen Sie das Dreieck P2QS in das Schrägbild zu 2.2 ein und berechnen Sie
sodann auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Länge des
Schenkels [P2 Q] .
3P
B 2.5 Für den Punkt P3 hat der Winkel P3MA das Maß 20°.
Zeichnen Sie das Dreieck BCP3 in das Schrägbild zu 2.2 ein und zeigen Sie sodann
dass der Flächeninhalt 29,48 cm² beträgt. (Auf zwei Stellen nach dem Komma
runden.)
3P
B 2.6 Das Dreieck BCP3 ist die Grundfläche der Pyramide BCP3Q mit der Spitze Q.
Zeichnen Sie die Pyramide BCP3Q und die zugehörige Höhe [FQ] mit dem
Höhenfußpunkt F auf der Strecke [P3 M] in das Schrägbild zu 2.2 ein.
Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide BCP3Q.
3P
Pyramide - Arbeitsblatt4 - Lösung
Abschlussprüfung 2004
an den vierstufigen Realschulen in Bayern
Mathematik II
Aufgabengruppe C
Aufgabe C 3
Lösungsmuster und Bewertung
C 3.1
S
P1
F
P0
N
E
D
M
A
C
B
Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCDS
8,5 cm
ε = 64,80°
tan ε =
4 cm
MS = 42 + 8,52 cm
ε ∈]0°;90°[
MS = 9,39 cm
4
C 3.2 Einzeichnen der Strecke [EF]
EF BD
6 cm ⋅ 5 cm
EF =
=
9,39 cm
SN MS
EF = 3,19 cm
2
-2-
C 3.3 Einzeichnen des Dreiecks EFP1
HASM = 90° − 64,80°
2
HASM = 25, 20°
2
NP1 = SP1 + SN − 2 ⋅ SP1 ⋅ SN ⋅ cos HASM
NP1 = 2,52 + 52 − 2 ⋅ 2,5 ⋅ 5 ⋅ cos 25, 20° cm
NP1 = 2,94 cm
sin ϕ sin HASM
=
0° < ϕ < 154,80°
SP1
NP1
2,5 cm ⋅ sin 25, 20°
sin ϕ =
ϕ = 21, 23° (∨ ϕ = 158, 77°)
2,94 cm
3
A ist minimal, wenn gilt: [P0 N] ⊥ [AS]
C 3.4 Einzeichnen des Dreiecks EFP0
A min = 0,5 ⋅ EF ⋅ NP0
NP0
NP0 = 5 cm ⋅ sin 25, 20°
SN
= 0,5 ⋅ 3,19 cm ⋅ 2,13 cm
sin HP0SN =
NP0 = 2,13 cm
A min
A min = 3, 40 cm 2
3
C 3.5 Einzeichnen der Pyramide ABDN
Pyramidenhöhe hABDN:
sin ε =
h ABDN
MN
h ABDN = (9,39 cm − 5 cm) ⋅ sin 64,80°
h ABDN = 3,97 cm
1 1
VABDN = ⋅ ⋅ BD ⋅ AM ⋅ h ABDN
3 2
1 1
VABDN = 15,88 cm3
VABDN = ⋅ ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 3,97 cm3
3 2
1 1
VABCDS = ⋅ ⋅ AC ⋅ BD ⋅ AS
3 2
1 1
VABCDS = 93,50 cm3
VABCDS = ⋅ ⋅11⋅ 6 ⋅ 8,5 cm3
3 2
15,88 cm3
p=
⋅100
p = 16,98
93,50 cm3
oder
VABCN 15,88 cm3
=
VABCN = 0,1698 ⋅ VABCDS
VABCDS 93,50 cm3
Der Anteil des Volumens der Pyramide ABCN beträgt 16,98% des Volumens der
Pyramide ABCDS.
4
16
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Pyramide - Arbeitsblatt4 - Angabe
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Mathematik II
Abschlussprüfung 2004
an den vierstufigen Realschulen in Bayern
Aufgabengruppe C
R4
Aufgabe C 3
C 3.0 Das Drachenviereck ABCD mit AC als Symmetrieachse und M als
Diagonalenschnittpunkt ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S
liegt senkrecht über dem Punkt A und es gilt:
AC = 11 cm , BD = 6 cm , AM = 4 cm und AS = 8,5 cm .
C 3.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der
Schrägbildachse liegen soll.
1
Für die Zeichnung gilt: q = ; ω = 45°
2
Berechnen Sie sodann das Maß ε des Winkels SMA und die Länge der Strecke
[MS] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnisse: ε= 64,80°; MS = 9,39 cm ]
4P
C 3.2 Der Punkt N ∈ [MS] ist der Mittelpunkt der Strecke [EF] mit E ∈ [BS] und
F ∈ [DS] . Dabei gilt: [EF] || [BD] und SN = 5 cm .
Zeichnen Sie die Strecke [EF] in das Schrägbild zu 3.1 ein und berechnen Sie die
Länge der Strecke [EF] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis: EF = 3,19 cm ]
2P
C 3.3 Die Punkte Pn ∈ [AS] mit SPn = x cm bilden zusammen mit den Punkten E und F
Dreiecke EFPn. Die Winkel SNPn besitzen das Maß ϕ.
Zeichnen Sie das Dreieck EFP1 für x = 2,5 in das Schrägbild zu 3.1 ein.
Berechnen sie sodann das Maß ϕ des Winkels SNP1. (Auf zwei Stellen nach dem
Komma runden.)
[Teilergebnis: NP1 = 2,94 cm ]
3P
C 3.4 Unter den Dreiecken EFPn hat das Dreieck EFP0 den kleinsten Flächeninhalt.
Zeichnen Sie das Dreieck EFP0 in das Schrägbild zu 3.1 ein und berechnen Sie
sodann den Flächeninhalt Amin. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
3P
C 3.5 Der Punkt N ist die Spitze der Pyramide ABDN.
Zeichnen Sie die Pyramide ABDN in das Schrägbild zu 3.1 ein.
Berechnen Sie anschließend den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide
ABDN am Volumen der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma
runden.)
4P
Pyramide - Arbeitsblatt5 - Lösung
Abschlussprüfung 2002
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Aufgabengruppe B
Aufgabe B 3
Lösungsmuster und Bewertung
B 3.1
S
T1
P1
R1
L1
Q1
D
A
α
C
M
B
Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCDS
10 cm
tan α =
α = 59, 04°
6 cm
AS = 102 + 62 cm
α ∈]0°;90°[
AS = 11, 66 cm
4
B 3.2 Einzeichnen der Pyramide P1Q1R1T1M
x ∈]0;11, 66[
2
-2-
1 1
B 3.3 V1 = ⋅ ⋅ P1R1 ⋅ Q1T1 ⋅ ML1
3 2
ML1 = 10 cm − SL1
sin 59,04° =
SL1
4 cm
SL1 = 3, 43 cm
ML1 = 6,57 cm
cos59,04° =
P1L1
4 cm
P1L1 = 2,06 cm
P1R1 = 2 ⋅ P1L1
Q1T1 3, 43 cm
=
Q1T1 = 3, 43 cm
10 cm 10 cm
1 1
V1 = ⋅ ⋅ 4,12 cm ⋅ 3, 43 cm ⋅ 6,57 cm
3 2
1 1
VABCDS = ⋅ ⋅12 cm ⋅10 cm ⋅10 cm
3 2
15, 47 cm3
p% =
⋅100%
p% = 7,74%
200 cm3
P1R1 = 4,12 cm
V1 = 15, 47 cm3
VABCDS = 200 cm3
6
B 3.4
P2 M
6 cm
=
sin 59,04° sin[180° − (59,04° + 55°)]
6 cm ⋅ sin 59, 04°
P2 M =
sin 65,96°
P2 M = 5, 63 cm
2
B 3.5 [P0 M] ist minimal, wenn gilt: [P0 M] ⊥ [AS]
sin 59,04° =
P0 M
6 cm
P0M = 5,15 cm
(x cm)2 = (10 cm)2 − (5,15 cm)2
x = 102 − 5,152
x = 8,57
2
16
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden.
Pyramide - Arbeitsblatt5 - Angabe
Abschlussprüfung 2002
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Aufgabengruppe B
Aufgabe B 3
B 3.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalenlängen AC = 12 cm und BD = 10 cm ist die
Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M der Grundfläche mit MS = 10 cm .
B 3.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll.
1
Für die Zeichnung gilt: q = ; ω = 45°
2
Berechnen Sie sodann das Maß α des Winkels MAS und die Länge der Strecke [AS]
jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis: α = 59, 04° , AS = 11, 66 cm ]
B 3.2 Die Punkte Pn ∈ [AS], Qn ∈ [BS], Rn ∈ [CS] und Tn ∈ [DS] sind die Eckpunkte von
Rauten PnQnRnTn. Ihre Diagonalen [PnRn] und [QnTn] verlaufen jeweils parallel zu den
Diagonalen [AC] und [BD] und schneiden sich in den Punkten Ln. Es gilt: Pn S = x cm .
Die Punkte Pn, Qn, Rn, Tn und M legen Pyramiden PnQnRnTnM fest.
Zeichnen Sie die Pyramide P1Q1R1T1M für x = 4 in die Zeichnung zu 3.1 ein.
Geben Sie an, für welche Werte von x es Pyramiden PnQnRnTnM gibt.
B 3.3 Berechnen Sie das Volumen V1 der Pyramide P1Q1R1T1M und sodann den prozentualen Anteil von V1 am Volumen V der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stellen nach dem
Komma runden.)
B 3.4 Die Seitenkante [P2M] der Pyramide P2Q2R2T2M schließt mit der Grundfläche ABCD
der Pyramide ABCDS den Winkel P2MA mit dem Maß ε = 55° ein.
Berechnen Sie die Länge der Seitenkante [P2M]. (Auf zwei Stellen nach dem Komma
runden.)
B 3.5 In der Pyramide P0Q0R0T0M ist die Länge der Seitenkante [P0M] minimal.
Berechnen Sie P0 M und den dazugehörigen Wert für x. (Auf zwei Stellen nach dem
Komma runden.)
4
3.1
Abschlussprüfung 2000 B
Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCDS
8cm
tan α =
; α = 38,66°
0° < α < 90°
10cm
FS = 10² + 8² cm
FS = 12,81 cm
3.2
Einzeichnen des Dreiecks PQ1R1
R 1Q1 (12,81 − 9)cm
=
8cm
12,81cm
R 1Q1 = 2,38 cm
4
16
-4PM 1 = 9² + 6² − 2·9·6·cos 38,66° cm
1
A ∆ PQ1R1 = · 2,38 · 5,72 cm²
2
3.3
3.4
PM 1 = 5,72°
A ∆ PQ1R1 = 6,81 cm²
xcm
6cm
=
; x = 6,33
sin 75° sin(180° − 38,66° − 75°)
x < 12,81 ; x ∈%
PM 3 = 6 · sin38,66° cm
PM 3 = 3,75 cm
PS = 4² + 8² cm
PM 3 ∈[3,75 cm ; 8,94 cm[
PS = 8,94 cm
5
2
3
14
47
Hinweis:
Bei einigen Aufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Gesamtzahl bei
den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht überschritten werden.
3.0
Das Rechteck ABCD mit AB = 10 cm und BC = 8 cm ist die Grundfläche der Pyramide
ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dein Mittelpunkt E der Strecke [AD] und es
gilt ES = 8 cm. Der Punkt F halbiert die Strecke [BC]
3.1
Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [EF] auf der Schrägbildachse
liegen soll.
1
; ω = 45°
Für die Zeichnung: q =
2
Berechnen Sie sodann das Maß α des Winkels SFE und die Länge der Strecke [FS] jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis: α = 38,66°]
3.2
Der Punkt P liegt auf [EF] mit EP = 4 cm. Für die Punkte Mn auf [FS] gilt FM n = x cm
mit x < 12.81 und x∈%. Die Punkte Mn sind die Mittelpunkte von Strecken [QnRn] mit
Qn auf [CS], Rn auf [BS] und [QnRn] [BC].
Die Punkte P, Qn und Rn sind die Eckpunkte von Dreiecken PQnRn. Zeichnen Sie das
Dreieck PQ1R1 für x = 9 in das Schrägbild zu 3.1 ein.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks PQ1R1. (Auf zwei Stellen nach
dem Komma runden.)
3.3
Für das Dreieck PQ2R2 gilt ∃FPM2 = 75°. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x auf
zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
3.4
Im Dreieck PQ3R3 hat die Höhe PM 3 den kleinstmöglichen Wert. Berechnen Sie PM 3
auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Ermitteln Sie sodann das Intervall für die Höhen PM n der Dreiecke PQnRn
(Intervallgrenzen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet).
Abschlussprüfung 2000 B
1.
1. Schulaufgabe aus der Mathematik
Klasse 10 ___
Datum: ________________
1.
Name: ________________
3.0 Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist der Punkt M der Mittelpunkt der Basis [BC]
mit BC = 12 cm und AM = 7,5 cm . Das Dreieck ABC ist die Grundfläche der Py-
ramide ABCS mit der Höhe AS = 10 cm .
1.
1.
1.
1.
1.
3.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der Schrägbildachse liegen soll.
1
Für die Zeichnung gilt: q = ; ω = 45°
2
2P
3.2 Berechnen Sie das Maß α des Winkels SMA, die Länge der Strecke [MS] und das
Volumen V der Pyramide auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis: α = 53,13°; MS = 12,50 cm ]
3P
3.3 Die Strecke [PQ] ist parallel zu [BC], wobei der Punkt P auf [BS] und der Punkt Q
auf [CS] liegt. Der Punkt N ist der Mittelpunkt der Strecke [PQ] und es gilt:
NM = 4 cm . Punkte Rn auf [AS] sind Eckpunkte von Dreiecken PQRn.
Zeichnen Sie das Dreieck PQR1 mit HSNR 1 = 60° in das Schrägbild zu 3.1 ein.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks PQR1. (Auf zwei Stellen
nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: PQ = 8,16 cm ]
5P
3.4 Für das Dreieck PQR2 gilt: SR 2 = 3 cm .
Zeichnen Sie das Dreieck PQR2 in die Zeichnung zu 3.1 ein und berechnen Sie das
Maß ε des Winkels PR2Q auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
3P
3.5 Das Dreieck PQR3 ist gleichseitig.
Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Länge der Strecke [NR3] und zeichnen Sie das Dreieck PQR3 in die Zeichnung zu 3.1 ein.
Berechnen Sie sodann das Maß ϕ des Winkels NR3S auf zwei Stellen nach dem
Komma gerundet.
[Teilergebnis: NR 3 = 7, 07 cm ]
3P
1.
Lösungsmuster und Bewertung
1.
3.1
S
R3
R2
Q
R1
N
C
P
A
M
B
2
1.
3.2 tan α =
10 cm
7,5 cm
MS = 102 + 7,52 cm
1 1
VABCS = ⋅ ⋅12 ⋅ 7,5 ⋅10 cm3
3 2
α = 53,13°
α ∈]0°;90°[
MS = 12,50 cm
VABCS = 150 cm3
3
-21.
3.3 Einzeichnen des Dreiecks PQR1
1
A PQR1 = ⋅ PQ ⋅ NR 1
2
PQ
(12,5 − 4) cm
12 ⋅ 8,5
=
PQ =
cm
12 cm
12,5 cm
12,5
HNR1S = 180° − (90° − 53,13°) − 60°
A PQR1
NR1
8,5 cm
=
sin(90° − 53,13°) sin 83,13°
8,5 ⋅ sin 36,87°
NR1 =
cm
sin 83,13°
1
= ⋅ 8,16 ⋅ 5,14 cm 2
2
PQ = 8,16 cm
HNR1S = 83,13°
NR1 = 5,14 cm
A PQR1 = 20,97 cm 2
5
1.
3.4 Einzeichnen des Dreiecks PQR2
NR 2 = 32 + 8,52 − 2 ⋅ 3 ⋅ 8,5 ⋅ cos 36,87° cm
ε 4, 08 cm
ε = 65,36°
tan =
2 6,36 cm
NR 2 = 6,36 cm
ε ∈]0°;180°[
3
1.
NR 3
NR 3 = 4, 08 ⋅ tan 60° cm
0,5 ⋅ PQ
Einzeichnen des Dreiecks PQR3
sin ϕ
sin 36,87°
=
8,5 cm
7, 07 cm
Aufgrund der Zeichnung gilt:
(ϕ = 46,17° ∨ )
ϕ = 133,83°
3.5 tan 60° =
NR 3 = 7, 07 cm
sin ϕ =
8,5 ⋅ sin 36,87°
7, 07
3
16
1.
1.
1. (Nachhol-)Schulaufgabe aus der Mathematik
Klasse 10 ___
Datum: ___
1.
S
2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein
Schrägbild der Pyramide ABCS, deren
Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [BC] ist. M ist der
Mittelpunkt der Basis [BC] mit
BC = 12 cm . Für die Dreieckshöhe
[AM] gilt: AM = 8 cm . Die Seitenfläche BCS der Pyramide ABCS ist ein
gleichseitiges Dreieck. Der Neigungswinkel SMA der Seitenfläche BCS zur
Grundfläche ABC der Pyramide hat das
Maß 65°.
Name:______________
C
A
M
B
1.
1.
1.
1.
1.
2.1 Berechnen Sie die Streckenlänge MS auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Zeichnen Sie sodann das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der
Schrägbildachse liegen soll.
1
Für die Zeichnung gilt: q = ; ω = 45°
2
[Teilergebnis: MS = 10,39 cm ]
3P
2.2 Berechnen Sie die Länge der Seitenkante [AS] und das Maß α des Winkels MAS.
(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: AS = 10, 08 cm ]
2P
2.3 Berechnen Sie das Volumen V der Pyramide ABCS und den Flächeninhalt der Seitenfläche ABS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: V = 150, 72 cm3 ]
5P
2.4 Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lotes von A auf die Strecke [MS]. Außerdem ist
F der Mittelpunkt der Strecke [PQ] mit P ∈ [BS] und Q ∈ [CS] und [PQ] || [BC] .
Das Dreieck PQS ist die Grundfläche der Pyramide PQSA mit der Spitze A.
Zeichnen Sie die Pyramide PQSA in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Berechnen Sie die Streckenlängen AF , SF und PQ . (Auf zwei Stellen nach dem
Komma runden.)
[Teilergebnisse: SF = 7, 00 cm ; PQ = 8, 08 cm ]
4P
2.5 Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide PQSA am Volumen der Pyramide ABCS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
3P
1.
Lösungsmuster und Bewertung
1.
2.1 MS =
12
3 cm
2
MS = 10,39 cm
S
Q
F
C
P
α
65°
A
M
B
Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCS
3
1.
2.2 AS = 82 + 10,392 − 2 ⋅ 8 ⋅10,39 ⋅ cos 65° cm
cos α =
8 + 10, 08 − 10,39
2 ⋅ 8 ⋅10, 08
2
2
2
α = 69, 05°
AS = 10, 08 cm
α ∈]0°;180°[
2
-21.
2.3 h = 10,39 cm ⋅ sin 65°
1 1
V = ⋅ ⋅12 cm ⋅ 8 cm ⋅ 9, 42 cm
3 2
AB = 82 + 62 cm
cos HSBA =
V = 150, 72 cm3
AB = 10 cm
12 + 10 − 10, 08
2 ⋅12 ⋅10
2
h = 9, 42 cm
2
2
1
A ΔABS = ⋅10 ⋅12 ⋅ sin 53, 61° cm 2
2
HSBA = 53, 61°
A ΔABS = 48,30 cm 2
5
1.
2.4 Einzeichnen der Pyramide PQSA
AF = 8 cm ⋅ sin 65°
SF = 10, 082 − 7, 252 cm
PQ SF
=
BC SM
7, 00 cm ⋅12 cm
PQ =
10,39 cm
AF = 7, 25 cm
SF = 7, 00 cm
PQ = 8, 08 cm
4
1.
1 1
2.5 VPQSA = ⋅ ⋅ 8, 08 cm ⋅ 7, 00 cm ⋅ 7, 25 cm
3 2
68,34 cm3
⋅100% = 45,34%
150, 72 cm3
VPQSA = 68,34 cm 3
3
17
1.