Übungsaufgaben - Alexander Stoffel

Prof. Dr. A. Stoffel
SS 2012
Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 1
1) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen.
a) Schreiben Sie alle Elemente des Grundraums in Form einer Matrix auf.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit zwei Würfeln eine Augensumme von 12
erzielt wird?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Augensumme von 11 erzielt wird?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal die Drei gewürfelt wurde, wenn die
Augensumme 6 beträgt?
2) Als Grundraum für das Würfeln mit zwei nicht unterscheidbaren Würfeln könnte man
auch die Menge aller der Größe nach geordneten Zahlenpaare
ΩA := {(i, k)A | 1 ≤ i ≤ k ≤ 6}
benutzen (d.h. die Augenpaare werden stets der Größe nach sortiert aufgeschrieben).
Warum ist ein Laplace-Modell hierfür nicht sinnvoll? Warum sollte das Ereignis
{(5, 6)A } und {(6, 6)A } unterschiedliche Wahrscheinlichkeit haben?
3) Es wird dreimal eine Münze geworfen.
a) Geben Sie alle Elemente des Grundraums Ω an!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Wappen und einmal Zahl (ohne
Berücksichtigung der Reihenfolge) geworfen wird?
4) Auf einer Geburtstagsparty werden 4 Lottozahlen aus insgesamt 12 gezogen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lottozahlen {1, 3, 5, 7} sind?
5) Machen Sie sich mit Wahrheitstafeln nach Art der folgenden Beispiele klar,
A
w
w
f
f
B A und B
w
w
f
f
w
f
f
f
A
w
w
f
f
B A oder B
w
w
f
w
w
w
f
f
dass tatsächlich für alle zugelassenen Ereignisse A, B ∈ Ω gilt, dass
�
�c
ω ∈ A ∩ B ⇐⇒ ω ∈ Ac ∪ B c
6) Für die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils wählt man Ω = R+ = ]0, ∞[.
Aufgrund von zahlreichen Untersuchungen geht man davon aus, dass
t0
P (]t0 , ∞[) = c · e− τ
eine sinnvolle Wahrscheinlichkeit dafür darstellt, dass die Lebensdauer T > t0 erfüllt.
Dabei hängt die Zeitkonstante τ von der Art des Bauteils ab.
a) Welchen Wert muß die Konstante c haben, damit hierdurch ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer T die Ungleichung
t 1 < T ≤ t2
erfüllt (T also im Intervall ]t1 , t2 ] liegt)? (Lösungshinweis: Benutzen Sie Axiom (c)
für ]t1 , t2 ] ∪ ]t2 , ∞[.)
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (]0, t1 ]) dafür, dass die Lebensdauer 0 < T ≤ t1
erfüllt!
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (]0, t1 [) dafür, dass für die Lebensdauer 0 <
T < t1 gilt. (Beachten Sie den Unterschied zu Teilaufgabe c)!) Benutzen Sie dabei das
Ergebnis von Teilaufgabe b), das Ihnen die Wahrscheinlichkeit für Intervalle liefert,
deren rechter Randpunkt dazugehört und verwenden Sie
�
∞ �
�
k−1
k
]0, t1 [ = ]0, 12 t1 ] ∪ ] 12 t1 , 23 t1 ] ∪ ] 23 t1 , 34 t1 ] · · · =
t
,
t
1
1
k
k+1
k=1
sowie die Grundregel (c).
e) Welche Folgerung ergibt sich aus der Grundregel (c) sowie den Ergebnissen von Teilaufgabe c) und d) und der Darstellung
]0, t1 ] =]0, t1 [ ∪ {t1 }
für die Wahrscheinlichkeit P ({t1 }), also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer T = t1 erfüllt?
7) Bei einer Spielshow soll ein Kandidat eines von drei aufgebauten Toren auswählen.
Hinter einem verbirgt sich der Gewinn, ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils
eine Ziege, also Nieten. Der Spielablauf ist immer gleich:
• Der Kandidat wählt zufällig ein Tor aus.
• Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der
beiden anderen Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet.
• Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken
und das andere Tor zu wählen.
Wie soll der Kandidat sich entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren? Soll
er wechseln oder bei seiner ersten Entscheidung bleiben?
Hinweis: Die Beschreibung des Spiels ist
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
entnommen, dort finden Sie auch mathematische Hinweise zu diesem Spiel.
Die Abbildung entstammt einer früheren Webseite der Universität Osnabrück zum
,,Ziegenproblem“, die leider nicht mehr verfügbar ist.
Prof. Dr. A. Stoffel
SS 2012
Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 2
8) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. Die Zufallsvariable X(ω)
ist die Augensumme.
a) Welche Werte k kann
annehmen? Berechnen Sie die Wahrschein� diese Zufallsvariable
�
lichkeiten pk = P {X = k} und stellen Sie diese in einem Balkendiagramm grafisch
dar!
Lösungshinweis: Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 1)a) und markieren Sie die
Elemente mit derselben Augensumme.
b) Berechnen Sie die Werte der Verteilungsfunktion zugehörigen Verteilungsfunktion
FX (t), die notwendig sind, um diese für −1 ≤ t ≤ 15 grafisch darzustellen, und
stellen Sie dieses grafisch dar!
c) Berechnen Sie mit einem Taschenrechner oder Computer den Erwartunswert und die
Standardabweichung für diese Zufallsvariable.
9) Bei einem unzuverlässigen Übertragungskanal ist p = 0, 1 die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Übertragungsfehler auftritt bei der Übertragung eines Bits. Beschreiben Sie den
Grundraum für die Übertragung eines Bits durch Ω0 = {0, 1}, wobei A = {1} das
Ereignis darstellt, dass ein Fehler auftritt. Das Auftreten von Übertragungsfehlern
bei der Übertragerung mehrer Bits soll voneinander unabhängig sein, also durch die
Produktwahrscheinlichkeit beschrieben werden.
a) Geben Sie den Grundraum Ω für die Übertragung von 4 Bits an! Wie viele Elemente
hat er?
b) Die Zufallsvariable X(ω) sei die Summe der Übertragungsfehler bei der Übertragung
von 4 Bits. Welche Werte k kann
annehmen? Berechnen Sie die
� diese Zufallsvariable
�
Wahrscheinlichkeiten pk = P {X = k} für k = 0, 1, 2, 3, 4 und stellen Sie diese in
einem Balkendiagramm grafisch dar (mit Benutzung eines Taschenrechners)!
c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für diese Zufallsvariable.
10) Zur Produktion eines elektronischen Bauteils werden zwei Maschinen M1 und M2 benutzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig der Produktion entnommenes Bauteil
von Maschine M1 stammt, sei p1 = 0, 6, dass es vom Maschine M2 stammt, sei
p2 = 0, 4. Wenn ein Bauteil von Maschine M1 produziert wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist, q = 0, 01, wenn es von M2 stammt, dann ist die
Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist, r = 0, 02.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig der Produktion entnommenes
Bauteil defekt ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem defekten Bauteil, dass es von der Maschine M1 produziert wurde?
�
�
11)a) Geben Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf N0 = N ∪ {0} an, das pk = P {k} �= 0
erfüllt für unendlich viele k ∈ N0 . (Beachten Sie die Bedingung P (N0 ) = 1 und
die Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten, N bezeichne die Menge der natürlichen
Zahlen.)
b) Betrachten Sie die triviale Zufallsvariable X(n) = n für alle n ∈ N0 . Überlegen Sie,
ob der Erwartungswert E(X) für Ihre Lösung von Teilaufgabe a) existiert. Können
Sie ihn berechnen? Können Sie eine Lösung von a) angeben, für das er leicht zu
berechnen ist? Können Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf N0 angeben, für das der
Erwarungswert E(X) nicht existiert?
12) Für das Nadelexperiment von Buffon (siehe Skript, Abschnitt 4.1.1) ist der Grundraum
π π
Ω = [0, 1[ × ] − , + ]
2
2
und das Ereignis ”Die Nadel trifft keine Parallele” entspricht der Teilmenge
A = {(a, ϕ) ∈ Ω | a >
1
2
cos(ϕ) und (1 − a) >
1
2
cos(ϕ)}
Als Wahrscheinlichkeitsmaß war in der Vorlesung
P (B) =
F (B)
π
angegeben worden, wobei F (B) die Fläche der Teilmenge von Ω ist, die dem Ereignis
B entspricht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ”Die Nadel trifft
keine Parallele”, indem Sie in der untenstehende Abbildung die Fläche A markieren
und ihren Flächeninhalt durch eine Integration bestimmen. Die Beachtung von Symmetrien kann hierbei Arbeit ersparen.
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SS 2012
Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 3
13) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. Die Zufallsvariable X1
sei die Augenzahl des ersten, X2 die des zweiten Würfels. Die Zufallsvariable Xs :=
X1 + X2 sei die Summe, Xd := X1 − X2 die Differenz der Augenzahlen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p1 , dass zweimal die Zwei gewürfelt wurde, wenn
man weiß, dass die Augensumme Xs = 4 erfüllt?
�
�
�
�
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p2 = P {Xs = 5} und p3 = P {Xd = 3} .
c) Sind die beiden Ereignisse {Xs = 5} und {Xd = 3} stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!
14) Auf einer Geburtstagsparty werden 5 Lottozahlen aus insgesamt 11 gezogen. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lottozahlen {3, 7, 8, 9, 11} sind? Die Wahrscheinlichkeit ist möglichst explizit als Bruch ganzer Zahlen auszurechnen. (Hinweis:
Es kommt nur darauf an ”fünf Richtige” zu haben, die Reihenfolge, in der die Zahlen
gezogen wurden, hat keinen Einfluß auf die Gewinnentscheidung.)
15) Es werden digitale Signale über eine unzuverlässige Übertragungststrecke übertragen.
Die Wahrscheinlichkeit q dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein
Übertragungsfehler auftritt, sei bekannt. Das Auftreten eines Fehlers beim Übertragen
der nachfolgenden Bits wird als gleich wahrscheinlich und stochastisch unabhängig
angenommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit pk beim Übertragen von mehreren Bits, dass der
erste Übertragungsfehler beim Übertragen des k. Bits auftritt (also vor der Übertragung des k. Bits kein Fehler auftritt, k ∈ N beliebig)? Die Wahrscheinlichkeit pk soll
durch die Wahrscheinlichkeit q für das Auftreten eines Fehlers beim Übertragen eines
einzelnen Bits ausgedrückt werden.
Lösungshinweis: Berechnen Sie zunächst p1 , p2 , p3 , p4 .
b) Es werden 5 Bits übertragen und die Wahrscheinlichkeit q dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt, sei q = 51 . Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit p dafür, dass insgesamt genau drei Übertragungsfehler auftreten?
Diese Wahrscheinlichkeit p ist als Bruch ganzer Zahlen auszurechnen, dieser Bruch ist
dabei so weit wie möglich zu kürzen!
c) Die Zufallsvariable X sei die gesamte Anzahl der Übertragungsfehler beim Übertragen
von 1024 Bit. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X), wenn die Wahrscheinlichkeit q
dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt,
q = 15 ist. Das Ergebnis ist als Bruch ganzer Zahlen oder als Dezimalbruch mit 2
Nachkommastellen anzugeben.
16) Die Zufallsvariable X hat die Verteilungsfunktion

0
falls t < 2

2

falls 2 ≤ t < 3


5
1
falls 3 ≤ t < 4
FX (t) = 2


9

falls 4 ≤ t < 5


 10
1
falls 5 ≤ t
a) Geben Sie alle Werte xk an, die diese Zufallsvariable annimmt.
�
�
b) Geben Sie alle Wahrscheinlichkeiten pk = P {X = xk } an.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) (als Bruch ganzer Zahlen, der so weit wie
möglich gekürzt ist, oder als Dezimalbruch mit mindestens drei Nachkommastellen).
17) Die Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion
FX (t) =
1 1
+ tanh(t)
2 2
.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten
�
�
�
�
p1 = P {X < −1} ,
p2 = P {X > 1} ,
�
�
p3 = P {−1 < X < 1}
möglichst explizit an (dabei dürfen nicht ausgerechnete Funktionswerte von tanh auftreten).
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fX (t) für diese Zufallsvariable an.
18) Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist
� t
1 τ
e
falls t < 0
FX (t) = 2 1 t
−τ
1 − 2e
falls t ≥ 0
Dabei ist τ > 0 eine Konstante.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten
�
�
�
�
p1 = P {X < −τ } ,
p2 = P {X > τ } ,
�
�
p3 = P {−τ < X < τ }
an.
b) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte fX (t) für die Zufallsvariable X an.
Lösungshinweis: Hierfür kann die Fallunterscheidung t < 0 und t ≥ 0 nützlich sein,
d.h. Sie können fX (t) in der Form
�
. . . falls t < 0
fX (t) =
. . . falls t ≥ 0
angeben.
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SS 2012
Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 4
1
19)a) Rechnen Sie für die Binomialverteilung
�
� mit den Parametern n = 5 und p = 2 die
Wahrscheinlichkeiten pk = P {X = k} für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 aus und stellen Sie sie
grafisch als Balkendiagramm dar. Stellen Sie auch die zugehörige Verteilungsfunktion
FX (t) grafisch dar für t ∈ [−1, 6].
b) Führen Sie mit Hilfe eines Taschenrechners oder Computers dasselbe durch für die
Parameter n = 10 und p = 14 .
�
�
20) Berechnen Sie für die Wahrscheinlichkeiten pk = P {X = k} für die Binomialverteilung mit beliebigen Parametern n ∈ N und 0 < p < 1 die Summe
n
�
pk
k=0
�
�
wobei pk = P {X = k} . Welches Ergebnis erwarten Sie?
Lösungshinweis: Schreiben Sie den binomischen Lehrsatz auf und vergleichen Sie mit
n
�
pk .
k=0
21) Zeigen Sie durch eine explizite Rechnung, dass bei der Binomialverteilung
Var(X) = n · p · (1 − p)
und vervollständigen Sie damit den Beweis von Satz 4.4.1 im Skript.
Lösungshinweis: Berechnen Sie zunächst E(X 2 ). Gehen Sie dabei völlig analog zur
Berechnung von E(X) im Skript vor (beim Beweis von E(X) = n · p). Vereinfachen
Sie (siehe Satz 4.3.6) Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = E(X 2 ) − n2 p2 und vergleichen Sie
mit n · p · (1 − p).
22) Berechnen Sie für die Poisson-Verteilung
�
� mit beliebigem Parameter µ > 0 mit den
Wahrscheinlichkeiten pk = P {X = k} den Grenzwert der Reihe
∞
�
pk
k=0
Welches Ergebnis erwarten Sie?
23)a) Wie müssen Sie den Parameter µ wählen, um mit einer Poissonverteilung die Binomialverteilung von Aufgabe 19)a) zu approximieren? Berechnen Sie mit einem Taschenrechner oder Computer die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten pk der zugehörigen
Poisson-Verteilung für k = 0, 1, 2, 3, . . . 5 und vergleichen Sie diese mit den entsprechenden Werten der Binomialverteilung.
b) Führen Sie dasselbe durch, um die Werte von Aufgabe 19)b) zu approximieren. Berechnen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten pk für die Poissonverteilung für
k = 0, 1, 2, . . . 10. Stellen Sie fest, ob die Poisson-Verteilung in diesem Fall eine bessere
Näherung für die Binomialverteilung ist als im Fall a).
24)a) Berechnen Sie durch eine Substitution im Integral für die Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung
1
Φ(t) = √
2π
�t
1
2
e− 2 x dx
−∞
den Grenzwert lim Φ(t). Welches Ergebnis erwarten Sie? Dabei dürfen Sie selbstvert→∞
ständlich das Ergebnis
+∞
�
2
e−x dx =
√
π benutzen.
−∞
b) Berechnen Sie durch eine ähnliche Rechnung für die Verteilungsfunktion FX (t) der
Normalverteilung (also (X ∼ N (µ, σ 2 )) mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
f (x) =
(x−µ)2
1
√ · e− 2σ2
σ 2π
den Grenzwert lim FX (t). Welches Ergebnis erwarten Sie hier?
t→∞
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SS 2012
Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 5
25) Die Verteilung der Zufallsvariable besitzt die Dichtefunktion
�
0
falls x < 0
f (x) =
λ · e−λx falls x ≥ 0
wobei λ > 0 eine Konstante ist.
a) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion FX (t). Bei welchem Anwendungsbeispiel ist Ihnen diese Verteilungsfunktion oder das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß schon begegnet? Wodurch ist der Parameter λ in diesem Anwendungsbeispiel
festgelegt?
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz Var(X) für diese Verteilung.
Lösungshinweis: Benutzen Sie Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 (siehe Satz 4.3.6).
�
�
c) Vergleichen Sie die bedingte
Wahrscheinlichkeit
P
{X
>
s
+
t}|{X
>
t}
mit der
�
�
Wahrscheinlichkeit P {X > s} für s > 0 und t > 0. Hat das Ergebnis Ihres Vergleichs
eine Interpretation in der Praxis (in dem Anwendungsbeispiel, das schon behandelt
wurde)?
Hinweis: Diese Verteilung heißt Exponentialverteilung mit Parameter λ.
26) Bei vielen Anwendungen legen Experimente nahe, dass eine Zufallsvariable X eine
Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte der Form
f (x) = c · e−
|x−µ|
b
mit c > 0 und b > 0 besitzt.
a) Wie groß ist der Parameter c, wenn man b aus den Daten bestimmt bzw. kennt?
b) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion FX (t).
Lösungshinweis: Unterscheiden Sie die Fälle t ≥ µ und t < µ.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz Var(X) für diese Verteilung. Sie können Rechenarbeit sparen, indem Sie Zwischenergebnisse von Aufgabe 25)
benutzen.
Hinweis: Diese Verteilung heißt Laplaceverteilung.
27) Eine Zufallsvariable besitzt die Wahrscheinlichleitsdichte
�
2
−λx
falls x ≥ 0
f (x) = λ · x · e
0
falls x < 0
mit dem Parameter λ > 0.
a) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion FX (t).
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz Var(X) für diese Verteilung. Sie können Rechenarbeit sparen, indem Sie Zwischenergebnisse von Aufgabe 25)
benutzen.
Hinweis: Diese Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung.
28) Für die diskrete Zufallsvariable sind die Wahrscheinlichkeiten durch
pk = {X = k} =
6 1
· ,
π2 k2
k∈N
gegeben.
a) Ist hierdurch tatsächlich eine Zufallsvariable definiert? Welchen Bedingungen müssen
die Wahrscheinlichkeiten pk genügen, damit durch die Vorgabe von Zahlenwerten für
pk eine Zufallsvariable definiert wird? Sind diese Bedingungen hier erfüllt?
∞
�
1
π2
Lösungshinweis: Man kennt den Grenzwert
k2 = 6 .
k=1
b) Existiert der Erwartungswert E(X) für die so definierte Zufallsvariable? Wenn ja,
berechnen Sie ihn!
Prof. Dr. A. Stoffel
SS 2012
Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 6
29) Zwei Würfel werden geworfen. X1 sei die Augenzahl des ersten, X2 die Augenzahl des
zweiten Würfels. Wir betrachten die Summe und die Differenz der Augenzahlen:
Xs := X1 + X2 ,
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
�
�
P {Xs = 11} ∩ {Xd = 1}
und
Xd := X1 − X2
�
�
P {Xs = 11}
sowie
�
�
P {Xd = 1}
Welche Antwort erhält man daraus auf die Frage, ob Xs und Xd stochastisch unabhängig sind?
b) Berechnen Sie die Kovarianz
Cov(Xs , Xd ) = Cov(X1 + X2 , X1 − X2 )
Folgt aus Cov(X, Y ) = 0, dass X und Y stochastisch unabhängig sind?
Lösungshinweis: Benutzen Sie die Gleichung (65) nach der Definition der Kovarianz
sowie die in Satz 4.3.5 zusammengefassten Rechenregeln für Erwartungswerte. Beachten Sie auch Satz 4.4.7.
c) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von Xs und Xd sowie die beiden Randverteilungen, indem Sie die entsprechenden Zahlen in die folgende Tabelle eintragen.
Benutzen Sie dazu eine Darstellung des Grundraums Ω = {1, 2, 3 . . . 6}2 , wie sie beim
Ergebnis von Aufgabe 8) angegeben wurde.
�
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
�
d) Berechnen Sie die Erwartungswerte E(Xs ) und E(Xd ) sowie die Varianzen Var(Xs )
und Var(Xd ). Können Sie die Erwartungswerte aus anschaulichen Überlegungen
vorhersagen? Überprüfen Sie die Vorhersage durch eine Rechnung!
30) Wir betrachten zwei auf demselben Grundraum definierte diskrete Zufallsvariable X
mit den Funktionswerten x1 , x2 , . . . xm und
y1 , y2 , . . . yn .
� Y mit den Funktionswerten
�
Durch die Wahrscheinlichkeiten qik := P X = xi } ∩ {Y = yi } wird eine (m × n)Matrix Q, die gemeinsame Verteilung von X und Y , definiert (deren Matrixelemente
die Zahlen qik sind). Berechnen Sie die beiden Randverteilungen
�
�
�
�
pX
und
pYk := P {Y = yk }
i := P {X = xi }
wenn die Matrizen Q gegeben sind durch
a)


Q=
1
16
1
16
1
8
1
8
1
4
1
8
1
16
1
16
1
8



b)
Q=
�
0, 40 0, 24
0, 10 0, 06
0, 16
0, 04
�
c) Ermitteln Sie aus diesen Matrizen (in den beiden Fällen a) und b)), ob die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig sind.
d) Betrachten Sie die Zufallsvariablen X und Y , die durch die gemeinsame Verteilung der
Matrix Q von Teilaufgabe a) festgelegt sind. Nehmen Sie an, dass die Funktionswerte
xk = yk = k für k = 1, 2, 3 erfüllen. Man wählt beispielsweise als gemeinsamen
Grundraum Ω = {1, 2, 3}, und die Zufallsvariablen (als Funktionen Ω → R) erfüllen
X(k) = Y (k) = k. Berechnen Sie hierfür die Erwartungswerte E(X) und E(Y ), die
Varianzen Var(X) und Var(Y ) sowie die Kovarianz Cov(X, Y ).
e) Berechnen Sie den Rang der beiden Matrizen und vergleichen Sie das Ergebnis mit
den Ergebnissen von Teilaufgabe c).
f) Was können Sie im allgemeinen Fall über den Rang dieser Matrix Q der gemeinsamen
Verteilung zweier Zufallsvariabler sagen, wenn die beiden Zufallsvariablen X und Y
stochastisch unabhängig sind?
Lösungshinweis: Drücken Sie die Bedingung, dass X und Y stochastisch unabhängig
Y
sind, formelmäßig durch die eingeführten Schreibabkürzungen qik sowie pX
i und pk
aus. Betrachten Sie dann die Komponenten des k. Spaltenvekors von Q
q1k , q2k , q3k , . . . qmk
Was können Sie im Fall der stochastischen Unabhängigkeit zur Frage sagen, ob die
Spaltenvektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind?
zu Aufgabe 26) (von http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace distribution)
links die Wahrscheinlichkeitsdichte f (x), rechts die Verteilungsfunktion FX (t) der
Laplaceverteilung für verschiedene Werte der Parameter µ und b
Prof. Dr. A. Stoffel
SS 2012
Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 7
31) Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen, ω1 sei die Augenzahl des ersten, ω2 die des
zweiten Würfels, Xd = |ω1 − ω2 | sei der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p1 an, dass der� Betrag der
� Differenz der beiden
Augenzahlen gleich 4 ist, d.h. geben Sie p1 = P {Xd = 4} an. Ein im Ergebnis
auftretender Bruch ist so weit wie möglich zu kürzen.
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p2 dafür an, dass mindestens ein Würfel eine 1 zeigt,
wenn man weiß, dass der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen gleich 4 ist,
also Xd = 4 erfüllt ist. Ein im Ergebnis auftretender Bruch ist so weit wie möglich zu
kürzen.
32) Es werden digitale Signale über eine unzuverlässige Übertragungststrecke übertragen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt, sei q = 15 . Das Auftreten eines Fehlers beim Übertragen
der nachfolgenden Bits wird als gleich wahrscheinlich und stochastisch unabhängig
angenommen.
a) Es werden 4 Bits übertragen. Die Zufallsvariable X sei die gesamte Anzahl der
Übertragungsfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit pa dafür, dass insgesamt
genau 2 Übertragungsfehler auftreten? Diese Wahrscheinlichkeit pa ist als Bruch
ganzer Zahlen auszurechnen, dieser Bruch ist dabei so weit wie möglich zu kürzen!
b) Es werden 4 Bits übertragen. Die Zufallsvariable X sei die gesamte Anzahl der
Übertragungsfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit pb dafür, dass insgesamt
maximal 2 Übertragungsfehler auftreten? Diese Wahrscheinlichkeit pb ist als Bruch
ganzer Zahlen auszurechnen, dieser Bruch ist dabei so weit wie möglich zu kürzen!
c) Die Zufallsvariable X sei die gesamte Anzahl der Übertragungsfehler beim Übertragen
von 4096 Bit. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X), wenn die Wahrscheinlichkeit q
dafür, dass bei der Übertragung eines einzelnen Bits ein Übertragungsfehler auftritt,
q = 15 ist. Das Ergebnis ist als Bruch ganzer Zahlen oder als Dezimalbruch mit 2
Nachkommastellen anzugeben.
33) Die Zufallsvariable X hat die Verteilungsfunktion
FX (t) =

0

1



5


2
5
3


5


4



5
1
falls
falls
falls
falls
falls
falls
t<1
1≤t<2
2≤t<3
3≤t<4
4≤t<5
5≤t
a) Geben Sie alle Werte xk an, die diese Zufallsvariable annimmt.
�
�
b) Geben Sie alle Wahrscheinlichkeiten pk = P {X = xk } an.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X) (als Bruch ganzer
Zahlen, der so weit wie möglich gekürzt ist, oder als Dezimalbruch mit mindestens 3
Nachkommastellen).
34) Die Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion

falls t < 0
0
1
t
falls
0≤t≤5
FX (t) = 5

1
falls 5 < t
�
�
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p = P {1 ≤ X ≤ 4} . Ein im Ergebnis auftretender Bruch ist so weit wie möglich zu kürzen.
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fX (t) für diese Zufallsvariable an.
c) Berechnen Sie Erwartungswert µ = E(X) und σ 2 = Var(X) für diese Verteilung.
35) Die Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion
FX (t) =
1 1
+ tanh(t)
2 2
.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten
�
�
�
�
p1 = P {X < −1} ,
p2 = P {X > 1} ,
�
�
p3 = P {−1 < X < 1}
möglichst explizit an (dabei dürfen nicht ausgerechnete Funktionswerte von tanh auftreten).
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fX (t) für diese Zufallsvariable an.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).
36) Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist
� t
1 τ
e
falls t < 0
FX (t) = 2 1 − t
1 − 2 e τ falls t ≥ 0
Dabei ist τ > 0 eine Konstante.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten
�
�
�
�
p1 = P {X < −τ } ,
p2 = P {X > τ } ,
�
�
p3 = P {−τ < X < τ }
an.
b) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte fX (t) für die Zufallsvariable X an.
Lösungshinweis: Hierfür kann die Fallunterscheidung t < 0 und t ≥ 0 nützlich sein,
d.h. Sie können fX (t) in der Form
�
. . . falls t < 0
fX (t) =
. . . falls t ≥ 0
angeben.
c) Was ist der Erwartungswert µ = E(X) und die Varianz σ 2 = Var(X) für diese
Verteilung?
Prof. Dr. A. Stoffel
SS 2012
Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 8
37) Die gemeinsame Dichtefunktion der (auf demselben Grundraum definierten) Zufallsvariablen X und Y ist
�
f (x, y) = 1 falls x ∈ [0, 1] und y ∈ [0, 1]
0 sonst
a) Berechnen Sie die Covarianz Cov(X, Y ).
b) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion F (x, y) sowie die Verteilungsfunktionen der einzelnen Zufallsvariablen FX (t) sowie FY (t). Berechnen Sie auch
die zugehörigen Dichtefunktionen.
c) Sind die beiden Zufallsvariablen stochastisch unabhängig ? Warum?
38) Die gemeinsame Dichtefunktion der (auf demselben Grundraum definierten) Zufallsvariablen X und Y ist
�
f (x, y) = 4xy falls x ∈ [0, 1] und y ∈ [0, 1]
0
sonst
a) Berechnen Sie die Covarianz Cov(X, Y ).
b) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion F (x, y) sowie die Verteilungsfunktionen der einzelnen Zufallsvariablen FX (t) sowie FY (t). Berechnen Sie auch
die zugehörigen Dichtefunktionen.
c) Sind die beiden Zufallsvariablen stochastisch unabhängig ? Warum?
39) Die gemeinsame Dichtefunktion der (auf demselben Grundraum definierten) Zufallsvariablen X und Y ist
f (x, y) =
2
2
1
− 1 x −2ρxy+y
�
e 2 1−ρ2
2π 1 − ρ2
mit ρ ∈ [0, 1[.
a) Berechnen Sie die Dichtefunktionen fX (t) und fY (t) der einzelnen Zufallsvariablen.
b) Für welche Werte des Parameters ρ sind die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig?
40) Die Zufallsvariablen X und Y seien stochastisch unabhängig und auf [− 12 , 12 ] gleichverteilt, d.h. ihre Wahrscheinlichkeitsdichte erfüllt
�
1 1
fX (t) = fY (t) = 1 falls t ∈ [− 2 , 2 ]
0 sonst
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fZ (t) der Zufallsvariablen Z = X + Y .
41) Die Zufallsvariable X sei standardnormalterteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen Y = X 2 .
42) Die Zufallsvariable X sei standardnormaltverteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen Y = |X|.
43) Die Zufallsvariablen X und Y seien stochastisch unabhängig und auf [0, 1] gleichverteilt, d.h. ihre Wahrscheinlichkeitsdichte erfüllt
fX (t) = fY (t) =
�
1
0
falls t ∈ [0, 1]
sonst
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von XY .
44) Die gemeinsame Dichtefunktion der (auf demselben Grundraum definierten) Zufallsvariablen X und Y ist
�
1
2
2
f (x, y) = π falls x + y ≤ 1
0 sonst
a) Berechnen Sie die Verteilungsdichten der einzelnen Zufallsvariablen fX (t) sowie
fY (t) (also die Randverteilungen oder die Randdichten).
b) Sind die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig?
Lösungshinweis: Es kann hilfreich sein, die Wahrscheinlichkeiten
und
zu vergleichen.
�
�
9
9
P {X ∈ [ 10
, 1]} ∩ {Y ∈ [ 10
, 1]}
�
�
9
P {X ∈ [ 10
, 1]}
sowie
�
�
9
P {X ∈ [ 10
, 1]}