Logik und Mengen

Logik und Mengen
Jörg Frochte und Markus Lemmen
FB Elektrotechnik und Informatik
Hochschule Bochum
- University of Applied Sciences Campus Velbert-Heiligenhaus (CVH)
Grundlagen der Mathematik
Jörg Frochte und Markus Lemmen (CVH)
Logik und Mengen
Grundlagen der Mathematik
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Aussagen
Die klassische Logik befasst sich mit Aussagen. Eine Aussage kann
z.B. als sprachliches Konstrukt oder in Form einer Formelschreibweise
vorliegen und man ist in der Lage dieser Aussage entweder den
Wahrheitswert wahr oder falsch zuzuweisen.
Beispiel:
Auf der A40 war heute Stau.
Dieser Aussage können Sie abhängig vom Verkehrsbericht den
Wahrheitswert wahr oder falsch zuweisen.
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Aussagen
In der Mathematik kommen Aussagen oft in Form von Gleichungen vor.
Beispiel:
√
4 = 2 ist eine wahre Aussage.
√
Jedoch ist „ 4“ keine Aussage, sondern lediglich ein „Ausdruck“ oder
besser ein „Term“. Durch die Verknüpfung von Aussagen entstehen
neue Aussagen, deren Wahrheitsgehalt sich aus dem der einzelnen
Aussagen ableiten lässt.
Beispiel:
Auf der A40 war heute Stau und ich bin zu spät gekommen.
Das Wort „und“ verknüpft die beiden Aussagen zu einer Aussage, die
nur dann wahr ist, wenn beide Aussagen wahr sind.
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Anwendung
Das Wissen über Aussagen und logische Verknüpfungen ist die
Grundlage vieler technischer Anwendungen, wie Logikgatter oder
einfachen if-Abfragen in diversen Programmiersprachen.
Beispiel:
if ( (a == 42) && (b<0) )
{
/* Anweisungen */
}
&& nimmt hier die Rolle des Wortes „und“ ein. Die Anweisungen
werden nur ausgeführt, wenn beide Aussagen wahr sind.
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Anwendung
Es gibt folgende elementare Verknüpfungen zwischen Aussagen
Deutsch
und
oder
nicht
Mathematisch
∧
∨
¬
C,C++,Java MATLAB
&& oder &
|| oder |
!
~
Der Effekt der Operatoren & und & & bzw. | und || unterscheidet sich
im Detail von Sprache zu Sprache.
Daneben finden Sie noch oft XOR, welches nicht zu den elementaren
Verknüpfungen gehört. Sie können dieses „entweder oder“ leicht durch
die anderen Verknüpfungen nachbauen (s. Übungszettel).
Aussagen (mathematisch) auf ihren Wahrheitsgehalt und ihre Struktur
zu überprüfen, kann sowohl spannend als auch aufwendig sein, ist
aber im Folgenden nicht unser Fokus. Das obige Grundwissen soll
zunächst genügen.
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Implikationen
Aussagen können nicht nur verknüpft werden, es kann auch von einer
auf die andere logisch geschlossen werden.
Beispiel:
Wenn heute ein Feiertag ist , wird der Briefträger nicht kommen.
|
{z
}|
{z
}
p
q
In der Mathematik notiert man kurz und prägnant p ⇒ q.
Allgemein wird das oft kurz als „aus p folgt q“ zusammengefasst und
der Pfeil entsprechend als Folgerungspfeil bezeichnet. Um die
logischen Schlussfolgerungen zu begreifen, empfiehlt es sich das als
„p ist hinreichend für q“,
„q ist notwendig für p“
zu lesen.
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Notwending vs. Hinreichend
Nehmen wir an, Sie stehen vor einer Haustür, an der Folgendes steht:
Beispiel:
Hunde die bellen, beißen nicht.
Unser Hund bellt nicht!
Würden Sie eintreten?
Um ehrlich zu sein, bringt Sie dieses Schild logisch betrachtet in ihrer
Entscheidungsfindung keinen Schritt weiter.
Ziehen Sie jedoch einfach rein menschlich die Intention des Autors in
Betracht... bleiben Sie besser draußen.
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Notwending vs. Hinreichend
Hunde
die
|
{z bellen}, beißen
|
{znicht.}
p
q
Unser
Hund
|
{z bellt nicht!}
¬p
Wir haben also p ⇒ q und ¬p. Das ist allerdings nicht hilfreich, da hier
p negiert wird. Kennen wir den Wahrheitswert von p nicht, so können
wir nicht durch p auf q schließen, aber das heißt nicht, dass q nicht
wahr ist.
Vielleicht bellt der Hund nicht, aber trifft vielleicht diese Aussage auf
ihn zu?
Hunde die keine Zähne haben, beißen nicht.
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Notwending vs. Hinreichend
Kommen wir zurück zu „notwendig“ und „hinreichend“. Als
mathematisch Gebildeter1 weiß man, dass folgende Definition gilt:
Definition (Trapez)
In der Geometrie ist ein Trapez ein Viereck mit mindestens zwei
parallel zueinander liegenden Seiten.
Daher ist die Aussage p „Die Figur ist ein Rechteck“ hinreichend für
„Die Figur ist ein Trapez“(q).
Also p ⇒ q.
Selbstverständlich ist p nicht notwendig für q. Es gibt ja durchaus
Trapeze, die keine Rechtecke sind. q ist aber notwendig für p. Wenn
die Figur noch nicht einmal ein Trapez ist, ist sie bestimmt kein
Rechteck.
1
im Gegensatz zu „Wer-wird-Millionär“ und dem Brockhaus von 1996
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Notwending vs. Hinreichend
p ⇒ q.
Der Umstand, dass q notwendig ist für p, wird öfter benutzt als man
glaubt. Es dient oft zum „Vorsortieren“. Warum? Machen wir uns
einmal die Aussage von „notwendig“ analog zu dem Schluss oben klar:
¬q ⇒ ¬p.
Beispiel:
Ein Löwe ist ein Tier mir vier Beinen.
Tier == Löwe ⇒ Tier hat vier Beine.
Tier hat nicht vier Beine ⇒ Tier != Löwe
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Notwending vs. Hinreichend
Mit dem Doppelpfeil ⇔ werden zwei Aussagen p und q verbunden,
wenn gilt:
p ⇔ q: p ist notwendig und hinreichend für q.
Der Zusammenhang kann auch gelesen werden als
p ist genau dann wahr, wenn q wahr ist.
p genau dann wenn q.
p ist dann und nur dann wahr, wenn q wahr ist.
Hierbei wird nur eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den
beiden Aussagen getroffen, nämlich dass sie zueinander äquivalent,
also gleichwertig, sind. Allein aus p ⇔ q kann man weder auf den
Wahrheitsgehalt von p noch von q schließen.
Beispiel:
Heute ist genau dann Freitag, wenn morgen Samstag ist.
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Grundbegriffe der klassischen Logik
Beispiele:
x =2⇒
√
x 2 = 4 aber
√
Notwending vs. Hinreichend
x 2 = 4 6⇒ x = 2
y = x ⇒ f (x) = f (y ), wobei f eine Funktion ist
y = x ⇔ f (x) = f (y ), wobei f eine streng monoton steigende
Funktion ist
Tipp: Weniger ist hier sicherer
Sie müssen in der Lage sein diese Implikationen zu lesen und sie in
neuen Kontexten zu beurteilen. Wenn Sie darin noch keine Übung
haben, benutzen Sie die Implikationspfeile spärlich.
Das bedeutet, wenn Sie in Ihrer Argumentation nur vorwärts schließen
wollen, benutzen Sie auch nur ⇒. Das ist auch dann richtig, wenn
darüber hinaus ⇔ gilt. Machen Sie einfach einen Äquivalenzpfeil und
diese Äquivalenz ist nicht gegeben, dann haben Sie einen Fehler
gemacht, der in mehr als einer Hinsicht nicht nötig war.
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Mengen
Cantors Definition der Menge
Die „naive“ Prägung des Begriffes der „Menge“ geht auf
Georg Cantor zurück. Von ihm stammt die Formulierung:
Eine Menge ist eine Zusammenfassung
bestimmter wohlunterschiedener Objekte
unserer Anschauung oder unseres Denkens welche die Elemente der Menge genannt
werden - zu einem Ganzen.
Man erkennt, dass Cantor hier keine formale Definition
vornimmt oder Axiome („mathematische
Glaubenssätze“) formuliert. Die moderne Mengenlehre
basiert hingegen auf Axiomensystemen, uns reicht
jedoch ein intuitives Verständnis von Mengen im Sinne
Cantors völlig aus.
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Georg Cantor
(1845-1918)
Deutscher
Mathematiker
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Mengen
Motivation HTML-Farben
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter
wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder
unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt
werden - zu einem Ganzen.
Nach dieser Definition kann so ziemlich alles zu einer Menge
zusammengefasst werden. Notiert wird dies im Allgemeinen mit
geschweiften Klammern (Mengenklammern).
Beispiel HTML-Farbpalette
VGA-Farbpalette = { black, grey, maroon, red, green, lime, olive, yellow,
navy, blue, purple, fuchsia, teal, aqua, silver, white }
Eine Menge besteht aus ihren Elementen; kennt man alle Elemente
der Menge, so kennt man die Menge an sich.
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Mengen
Schreibweisen
Neben der Mengenklammer ist das Element-Symbol ∈ von großer
Bedeutung.
Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreibt man
x ∈ M.
Für die Negation dieser Aussage, also z.B. y ist kein Element der
Menge M, schreibt man y 6∈ M.
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Schreibweisen
Man kann eine Menge einfach definieren. Die Elemente haben
dann vielleicht nichts gemeinsam außer Mitglied in dieser Menge
zu sein.
Beispiel: M1 := { Feuer, Banane, Rot }
Dies ist jedoch eher selten. Im Allgemeinen gruppiert man in einer
Menge Elemente, die eine Eigenschaft gemeinsam haben. Dazu
muss man diese Elemente nicht alle aufzählen, sondern kann die
Eigenschaft angeben.
Beispiel:
M := {x ∈ N|x ist durch 2 teilbar}
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Mengen
Schreibweisen
Die folgenden Mengen von Zahlen kennen Sie vermutlich bereits aus
der Schule:
N, die Menge der natürlichen Zahlen. Ob Null dazugehört oder
nicht, ist Ansichtssache und sollte vorab geklärt werden.
Z, die Menge der ganzen Zahlen, immer inklusive Null.
Q, die Menge der rationalen Zahlen, also all der Zahlen, die man
als Bruch m
n zweier ganzer Zahlen m, n darstellen kann.
R, die Menge der reellen Zahlen, welche
eine Erweiterung der
√
rationalen Zahlen um Zahlen wie π, 2 und e ist.
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Mengen
Teil- und Obermenge
Definition (Teil- und Obermenge)
Seien A und B zwei Mengen. Dann nennt man A eine Teilmenge von
B und B eine Obermenge von A, wenn jedes Element von A auch in
B enthalten ist. Es gilt also:
x ∈A⇒x ∈B
Man notiert diesen Umstand als
A⊆B
Existieren in B darüber hinaus weitere Elemente, die nicht in A
enthalten sind, so nennen wir A eine echte Teilmenge von B und B
eine echte Obermenge von A. Man notiert diesen Umstand als
A⊂B
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Mengen
Gleichheit von Mengen
Da sich Mengen durch ihre Elemente auszeichnen, werden
Beziehungen zwischen Mengen in der Regel über die Elemente
definiert. Entsprechend gilt
Definition (Gleichheit von Mengen)
Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente
enthalten. Formal
A = B :⇐⇒ Für alle x ∈ A gilt x ∈ B und für alle x ∈ B gilt x ∈ A
Alternativ und kompakter:
A = B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)
Schreibweisen
Wer oft mit math. Aussagen hantiert, wünscht sich Abkürzungen. In
der math. Literatur wird i.A. das Zeichen ∀ als Abkürzung für „Für alle“
verwendet; ein sog. Quantor. Die Benutzung ist Ihnen freigestellt.
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Intervalle
Definition (Intervall)
Sei M gleich N, Z, Q oder R. In der Mathematik wird die Menge aller
Zahlen aus M, die zwischen zwei Zahlen a, b ∈ M liegen als Intervall
bezeichnet.
I := {x ∈ M | a ≤ x ≤ b}
Da hier a und b zum Intervall gehören, nennt man diese Intervall
abgeschlossen. Gehören a und b nicht dazu, gilt also
I := {x ∈ M | a < x < b}
so wird I also offen bezeichnet. Gehört nur einer der beiden Ränder (a
oder b) zum Intervall, spricht man von einem halboffenen Intervall.
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Mengen
Intervalle
Mit dieser Definition ist ein Intervall also immer eine Teilmenge
seiner Obermenge M.
Die Natur von I hängt von M ab. Beispiel
I := {x ∈ M | 1 ≤ x ≤ 4} besteht, falls M = N oder Z gilt, nur aus
drei diskreten Zahlen.
Der wichtigste Anwendungsfall ist M = R. Hier gelten die
folgenden Bezeichnungen:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
]a, b[= (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
]a, b] = (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
[a, b[= [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
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Mengen
Schnittmenge und leere Menge
Definition (Leere Menge)
Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit
∅, selten auch {}, bezeichnet.
Achtung:
Manche Menschen gehen sehr verschwenderisch mit
Mengenklammern um, wenn sie sich dem Thema das erste Mal
nähern. Die Menge ∅ und {∅} sind verschiedene Mengen. Die erste ist
die leere Menge und die zweite die Menge, die die leere Menge
enthält. Also eine Menge von Mengen und alles andere als leer.
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Schnittmenge
Definition (Schnittmenge)
Die Schnittmenge von zwei Mengen A und B ist definiert als die
Menge der Elemente, die sowohl Elemente von A als auch von B sind.
Man notiert formal:
A ∩ B := {x | (x ∈ A) und (x ∈ B)}
Natürlich kann die Schnittmenge auch
identisch mit der leeren Menge ∅ sein,
falls A und B keine Elemente gemeinsam
haben.
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Schnittmenge
Beispiele: Schnittmengen und natürliche Zahlen
[1, 3] ∩ [2, 5] = [2, 3]
[1, 2[∩[2, 3] = ∅
]1, 4[∩[1, 2] =]1, 2]
[−1, 10] ∩ [0, ∞[= [0, 10]
Zur Erinnerung
∞ ist in der Mathematik das Symbol für „unendlich“. Entsprechend −∞
für "negativ unendlich". Da „unendlich“ nicht wirklich eine Begrenzung
für Intervalle darstellt, wird das Intervall hier als offen gekennzeichnet.
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Vereinigung von Mengen
Definition (Vereinigungsmenge)
Die Vereinigungsmenge von zwei Mengen A und B ist definiert als die
Menge der Elemente, die Elemente von A oder von B sind. Man
notiert formal:
A ∪ B := {x | (x ∈ A) oder (x ∈ B)}
Das „oder“ (∨) ist natürlich
nicht-ausschließend, also wie ein XOR, zu
verstehen – sondern als entweder-oder.
Die Vereinigung umfasst auch die
Elemente, die in beiden Mengen enthalten
sind.
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Vereinigung von Mengen
Beispiele: Vereinigungsmengen und natürliche Zahlen
]1, 3] ∪ [2, 5[=]1, 5[
[1, 2[∪[2, 3] = [1, 3]
]1, 4[∪[1, 2] = [1, 4[
[−1, 10] ∪ [0, ∞[= [−1, ∞[
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Differenz und Komplement
Definition (Differenz)
Die Differenzmenge von zwei Mengen A und B ist definiert als die
Menge der Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Man
notiert formal:
A \ B := {x | (x ∈ A) und (x 6∈ B)}.
Ist B ⊆ A, so wird die Differenz A \ B oft
als Komplement von B in A bezeichnet.
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Differenz und Komplement
Beispiele: Differenzmengen
[1, 3] \ [2, 5[= [1, 2[
[1, 2[\[2, 3] = [1, 2[
[0, 4] \ {2} = [0, 2[ ∪ ]2, 4]
R \ Q = Menge der irrationalen Zahlen
Definition (Irrationale Zahlen)
Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer
Zahlen, m
n , dargestellt werden kann. Formal: R \ Q
Anmerkung
Irrationale Zahlen sind also reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen
sind. Der Begriff „Ratio“ wird hier im Sinne von „Verhältnis“, nicht im
Sinne von „Vernunft“ verwendet. Es gibt keine „unvernünftigen“ Zahlen
;-)
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Kartesisches Produkt von Mengen
Definition (Kartesisches Produkt von Mengen)
Sind A und B zwei Mengen, so nennt man die Menge
A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
das kartesische Produkt der Mengen A und B.
Beispiel: Kartesisches Produkt in R
A = [0.5, 2] und B = [1, 2].
Das kartesische Produkt A × B enthält
damit alle Zahlenpaare, die in einem
Rechteck mit den Ecken (0.5, 1) und
(2, 2) im Koordinatensystem liegen.
Derartige geordnete Paare (oder Tupel)
haben viele Anwendungen, über die wir
noch sprechen werden.
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