Klausurkatalog

Klausur Grundlagen der Statistik
Sommersemester 2004
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
22.07.2004
Aufgabe 1: (4 von 34 Punkten)
1.1
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit 4 möglichen Ausgängen 1 bis 4. Es läßt sich folgendes
Modell (Venn-Diagramm) mit zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(m1)=1/2, P(m2)=1/4,
P(m3)=1/8 und P(m4)=1/8 angeben.
M
B
m1
A
m3
m2
m4
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) beträgt (bitte zutreffendes ankreuzen, es können eine,
mehrere oder gar keine Antworten zutreffen):
Ja
a)
b)
c)
d)
1/3
1/2
2/3
1
Nein
Klausur Grundlagen der Statistik
Sommersemester 2004
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 2
Matrikel-Nr.:
Name:
1.2
Die dargestellte Funktion kann eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein, wenn (bitte zutreffendes
ankreuzen, es können eine, mehrere oder gar keine Antworten zutreffen)
Ja
a)
b)
c)
d)
Nein
a=3, b=1.5
a=7, b=3
a=0.2, b=0.1
a=b
fx(x)
2/a
1/a
-b
0
a
x
Aufgabe 2: (6 von 34 Punkten)
Es werde angenommen, daß eine gewisse Warenlieferung 10% Ausschuß enthält.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich unter 5 zufällig mit Zurücklegen
herausgegriffenen Stücken mindestens ein schlechtes Stück befindet ?
b) Wie viele Stücke muß man wenigstens (mit Zurücklegen) zufällig herausgreifen, damit man
mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit wenigstens ein schlechtes Stück erhält ?
Aufgabe 3: (12 von 34 Punkten)
Widerstände sind im Wertebereich X = 97 Ω bis 103 Ω gleichverteilt.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fx(x), die Wahrscheinlichkeitsverteilung Fx(x),
sowie die Standardabweichung σx. Skizzieren Sie fx(x) und Fx(x) grafisch.
b) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsverteilung für den
Gesamtwiderstand der Reihenschaltung zweier dieser Widerstände.
c) Welcher Ausschußanteil entsteht bei dieser Reihenschaltung der Widerstände, wenn der
Gesamtwiderstand zwischen 197 Ω und 203 Ω liegen darf.
Klausur Grundlagen der Statistik
Sommersemester 2004
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 3
Matrikel-Nr.:
Name:
Aufgabe 4: (6 von 34 Punkten)
Von zwei Zufallsvariablen x und y sind folgende Daten gegeben:
a) lineare Mittelwerte: mx(1) = 1, my(1) = 4
b) Standardabweichungen: σx = 3, σy = 5
c) Korrelationskoeffizient: ρxy = -0.4
Für die aus x und y gebildete Zufallsvariable
z = 2x – y
bestimme man den quadratischen Mittelwert mz(2)
Aufgabe 5: (6 von 34 Punkten)
Ein Prozeß x(t) mit der Autokorrelationsfunktion
Rxx (τ )= e
− 2π 2τ 2
durchläuft einen idealen Tiefpaß mit der Bandbreite F (s. Abb.)
|H(f)|
1
-F/2
f
F/2
Wie muß F gewählt werden, damit der Ausgangsprozeß y(t) noch 90% der mittleren Leistung
des Eingangsprozesses x(t) aufweist ?
Hilfsmittel:
e
− at2
p
a
e
−
4π 2 f
4a
2
Wintersemester 2004/2005
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
14.02.2005
Aufgabe 1: (3 von 41 Punkten)
1.1
Ein Fallschirmspringer landet auf einen 7 km lang und 6 km breiten Feld. Das Feld enthält ein
2 km lang und 1 km breites Zielfeld, das unten auf dem Bild 1 dargestellt ist. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß der Fallschirmspringer in dem Zielfeld landet ? Es ist anzunehmen, daß
der Fallschirmspringer zufällig landet und seinen Fallschirm nicht steuern kann.
1.5 km
4 km
6 km
1 km
7 km
Bild 1. Feld und Zielfeld (schwarz)
1.2
Eine Urne enthält 2 rote Kugeln, 3 blaue Kugeln und 4 grüne Kugeln. Andreas zieht 1 Kugel
aus der Urne und dann zieht Peter 1 Kugel aus den verbleibenden. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß Peter eine blaue Kugel zieht wenn Andreas schon eine rote Kugel
gezogen hat.
Wintersemester 2004/2005
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 2
Matrikel-Nr.:
Name:
Aufgabe 2: (10 von 41 Punkten)
X und Y sind diskrete Zufallsvariablen. Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
fxy(x,y) beträgt:
-1
0
1
1
1/18
1/9
1/6
0
1/9
0
1/6
-1
1/6
1/9
1/9
Y
X
a) Berechnen Sie das gemeinsame Moment erster Ordnung
b) Berechnen Sie die Kovarianz
Sind die Zufallsvariablen korreliert oder unkorreliert ?
Aufgabe 3: (6 von 41 Punkten)
Für die Zufallsvariablen X und Y sind folgende Parameter gegeben:
-
Der Korrelationskoeffizient: ρxy = 1/3
-
Die Varianzen: σx2 = a, σy2 = 4a
Die Varianz der neuen, aus X und Y gebildeten Zufallsvariable Z
Z = 3X – 4Y
beträgt σz2 = 114.
Berechnen Sie a.
Aufgabe 4: (12 von 41 Punkten)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X hat den
Verlauf:
ì2 x, 0 < x < 1
f X (x ) = í
î0, sonst
Wintersemester 2004/2005
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Name:
Seite 3
Matrikel-Nr.:
Y ist eine kontinuierliche Zufallsvariable, deren bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
fY|X(y|X=x) im Wertebereich (0,x) gleichverteilt ist.
Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Y .
Aufgabe 5: (10 von 41 Punkten)
Ein stochastischer Prozess y(t) wird aus der Addition eines Prozesses x(t) zu einer
Cosinusfunktion gebildet:
y(t) = 2x(t) + 2cos(ωt + A ).
Der Prozess x(t) ist im weiteren Sinne stationär und hat den Erwartungswert 0. Die
Zufallsvariable A ist gleichverteilt im Intervall (0,2π). Das Leistungsdichtespektrum von x(t)
beträgt:
Sxx(f) = rect(f) + 2δ(f).
a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von A.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert des stochastischen Prozesses y(t)
c) Bestimmen Sie die Autokorrelationsfunktion Rxx(τ ) für den Prozess x(t).
Hilfsmittel:
F
F
æ f − f 0 ö ìïa für f 0 − ≤ f ≤ f 0 +
a ⋅ rect ç
÷=í
2
2
è F ø ïî 0
sonst
æ τö
sin ç π ÷
æ τö
è T ø ⎯Fouriertra
nsformation
siç π ÷ =
⎯ ⎯⎯
⎯⎯
⎯→ T rect (Tf )
τ
è Tø
π
T
Sommersemester 2005
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
21.07.2005
Aufgabe 1: (8 von 55 Punkten)
1.1 (5 von 8 Punkten)
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit 3 möglichen Ausgängen: h1, h2, h3. Es lässt
sich folgendes Modell (Venn-Diagramm) angeben:
C
H
h1
h2
B
h3
A
1
1
Es sind die Wahrscheinlichkeiten P(C ) = , P( A | C ) = gegeben.
3
2
Bestimmen Sie bitte die Wahrscheinlichkeiten: P(h1 ), P(h2 ), P(h3 ) .
1.2 (3 von 8 Punkten)
Eine Lieferung von 50 unterscheidbaren Transistoren enthält 40 intakte und 10
defekte Stücke. Wie viele Möglichkeiten gibt es genau, 3 intakte und 2 defekte
Transistoren auszuwählen ?
Sommersemester 2005
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Name:
Seite 2
Matrikel-Nr.:
Aufgabe 2: (23 von 55 Punkten)
Die Zufallsvariable T beschreibt die Dauer der in einem Betrieb geführten privaten
Telefonate in Minuten. Diese Dauer ist
exponentialverteilt
mit
der
Wahrscheinlichkeitsdichte
ìλ ⋅ e −0.1⋅T für T ≥ 0
f T (T ) = í
sonst
î 0
a) Bestimmen Sie den Parameter λ.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FT(T) und skizzieren Sie die Dichtefunktion
fT(T) und die Verteilungsfunktion FT(T).
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert ein Privatgespräch zwischen 1 und 4 min ?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert ein Privatgespräch länger als 4 min ?
e) Wie groß ist der Erwartungswert von T ?
Da einzelne Gespräche sehr lange dauerten, wurde angeordnet, dass kein
Privatgespräch mehr länger als 4 min dauern darf. Alle Teilnehmer befolgen die
Anordnung. Für Gespräche unter 4 min ändert sich das Telefonverhalten nicht; es
werden nur alle Gespräche, die früher über 4 min gedauert hätten, plötzlich nach 4
min abgebrochen. Die neue Zufallsvariable sei Tneu.
f) Geben Sie die neue Verteilungsfunktion FTneu(Tneu) an und berechnen Sie die
Dichtefunktion fTneu(Tneu). Skizzieren Sie beide Funktionen.
g) Wie groß ist der Erwartungswert von Tneu ?
æT 1 ö
Hinweis: ò T ⋅ e aT dT = ç − 2 ÷ ⋅ e aT
èa a ø
Aufgabe 3: (14 von 55 Punkten)
Statistisch unabhängige Zufallsvariablen X und Y bilden eine zweidimensionale
gleichverteilte Zufallsvariable (X,Y), wobei
0≤ x≤5
2≤ y≤4
Sommersemester 2005
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 3
Matrikel-Nr.:
Name:
a) Berechnen Sie die gemeinsame Dichtefunktion fxy(x,y) und bestimmen Sie den
Wert der Dichtefunktion an der Stelle x=3, y=3.
b) Berechnen Sie das gemeinsame Moment erster Ordnung mxy(1,1).
c) Bestimmen Sie die Randdichte von X.
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X Werte kleiner gleich 3 annimmt.
e) Bestimmen Sie die Randdichte von Y.
f) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X und von Y.
g) Berechnen Sie die Kovarianz.
Aufgabe 4: (10 von 55 Punkten)
Ein stochastischer Prozess x(t) wird aus der Multiplikation eines Prozesses A(t) mit
einer Cosinusfunktion gebildet:
x (t ) = A(t ) ⋅ cos(10πt + α )
Der Prozess A(t) ist mittelwertfrei und hat die folgende Autokorrelationsfunktion:
RAA (τ ) = e
−0 . 1 τ
,
wobei τ = t 2 − t1 . Die Zufallsvariable α ist gleichverteilt im Intervall [0,2π]. A(t) und α
sind stochastisch unabhängig.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Autokorrelationsfunktion des
stochastischen Prozesses x(t).
b) Geben Sie die mittlere Leistung des Prozesses x(t) an.
Hilfsmittel:
cos( x ) cos( y ) =
1
[cos( x − y) + cos( x + y)]
2
Wintersemester 2005/2006
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
13.02.2006
Aufgabe 1: (10 von 29 Punkten)
X und Y sind diskrete Zufallsvariablen. Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
fxy(x,y) beträgt:
-1
1
1
1/4
2/5
-1
1/5
Y
X
a) Vervollständigen Sie die Tabelle,
b) Berechnen Sie das gemeinsame Moment erster Ordnung,
c) Berechnen Sie die Kovarianz,
Aufgabe 2: (7 von 29 Punkten)
Von zwei Zufallsvariablen x und y sind folgende Daten gegeben:
a) quadratische Mittelwerte: mx(2) = 8, my(2) = 10
b) Varianzen: σ2x = 4, σ2y = 6
c) quadratischer Mittelwert: mz(2) = 26
Für die aus x und y gebildete Zufallsvariable
z=x+y
bestimme man den Korrelationskoeffizienten: ρxy
Klausur Grundlagen der Statistik
Wintersemester 2005/2006
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 2
Matrikel-Nr.:
Name:
Aufgabe 3: (8 von 29 Punkten)
Für das Gewicht X eines Produktes ist ein Sollwert von 1 kg mit Toleranz ±4 g vorgegeben. Die
tatsächlichen Gewichte X sind nach dem Produktionsprozess normalverteilt mit dem Mittelwert
(Erwartungswert) mx(1)= 1002 g und der Varianz σX2=4 g2.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist X größer als 1003 g ?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht ein Produkt erfolgreich durch die Qualitätskontrolle,
d.h. ist X innerhalb der Toleranz ?
Aufgabe 4: (4 von 29 Punkten)
Gegeben sei ein lineares, gedächtnisbehaftetes und zeitinvariantes System nach Bild 1 und der
Impulsantwort
ìe −t + e −2t
h(t ) = í
î 0
für t ≥ 0
sonst
Bild 1
Das System wird mit einem schwach stationären Eingangsprozess gespeist.
Wie groß muss der lineare Mittelwert mx am Eingang des Systems sein, damit man am Ausgang
des Systems den linearen Mittelwert my = 3 bekommt ?
Hilfsmittel:
nsformation
s (t )e − at ⎯Fouriertra
⎯ ⎯⎯
⎯ ⎯→
wobei
ì 1 für t ≥ 0
s (t ) = í
sonst
î0
1
a + jω
Klausur Grundlagen der Statistik
Sommersemester 2006
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
27.07.2006
Aufgabe 1: (3 von 42 Punkten)
Ein Kommunikationssystem nutz zur Datenübertragung die dreistufigen Symbole {1,0,1}. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Symbol i gesendet und ein Symbol j
empfangen wurde, sind in der folgenden Tabelle angegeben.
j
i
-1
0
1
-1
0
1
0.1
0.07
0.1
0.06
0.15
0.15
0.12
0.05
0.2
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerfreie Übertragung.
b) Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit bei der Übertragung.
Aufgabe 2: (13 von 42 Punkten)
Die kontinuierliche Zufallsvariable X hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Cx (1 − x ) für 0 ≤ x ≤1
f X ( x) = 
0
sonst

a) Bestimmen Sie den Parameter C.
b) Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion FX(x).
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsvariable X die Werte zwischen 1/2
und 2/3 an ?
Klausur Grundlagen der Statistik
Sommersemester 2006
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Name:
Seite 2
Matrikel-Nr.:
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsvariable X die Werte größer als
2/3 an ?
e) Wie groß ist der Erwartungswert von X ?
Aufgabe 3: (14 von 42 Punkten)
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fxy(x,y) der Zufallsvariablen X und
Y ist wie folgt gegeben:
1

 innerhalb des grau unterlegten Bereiches der obigen Illustrati on
f XY ( x, y ) =  2

sonst
 0
a) Berechnen und skizzieren Sie die Randdichten fX(x) und fY(y).
b) Berechnen Sie die linearen Mittelwerte mX(1) und mY(1).
Aufgabe 4: (7 von 42 Punkten)
An einem ohmschen Widerstand R=1000 Ω fällt eine Spannung U ab, die von einer
Spannungsquelle U0 herrührt. Der Spannung U0 ist eine statistisch verteilte additive
Rauschspannung UN überlagert, deren Amplitude Gauß-verteilt ist. U ist daher eine
Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte fU(u).
Klausur Grundlagen der Statistik
Sommersemester 2006
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 3
Matrikel-Nr.:
Name:
fU (u ) =
1
σU 2π
⋅e
−
(u − U 0 )2
2σU2
Der Erwartungswert ist U0 = 5V und die Standardabweichung σU=0.1 V.
a) Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte der am Widerstand R umgesetzten
Leistung P ?
Aufgabe 5: (5 von 42 Punkten)
Ein stationärer Zufallsprozess hat eine spektrale Leistungsdichte Sxx(f) wie in dem
folgenden Bild dargestellt.
Klausur Grundlagen der Statistik
Sommersemester 2006
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Name:
Seite 4
Matrikel-Nr.:
a) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion Rxx(τ) dieses Prozesses.
Hilfsmittel:
Wintersemester 2006/2007
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
15.02.2007
Aufgabe 1: ( 9 von 40 Punkten)
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit 4 möglichen Ausgängen A1 bis A4. Es läßt sich
folgendes Modell (Venn-Diagramm) mit zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(A1)=1/4,
P(A2)=1/8, P(A3)=1/4 angeben.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(A4).
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(B∪X)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(B∩X)
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(X|Y).
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Z|Y).
Sind die Ereignisse X und Y statistisch unabhängig ?
Sind die Ereignisse X und B statistisch unabhängig ?
Wintersemester 2006/2007
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Name:
Seite 2
Matrikel-Nr.:
Aufgabe 2: ( 16 von 40 Punkten)
Die kontinuierliche Zufallsvariable X hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
⎧C (2 − x) für 0 ≤ x ≤ 2
f X ( x) = ⎨
0
sonst
⎩
a) Bestimmen Sie den Parameter C.
b) Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion FX(x).
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsvariable X die Werte zwischen 1/4
und 1 an ?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsvariable X die Werte größer als 1
an ?
e) Wie groß ist der Erwartungswert von X ?
Aufgabe 3: ( 6 von 40 Punkten)
Von zwei Zufallsvariablen x und y sind folgende Daten gegeben:
•
•
lineare Mittelwerte: mx(1) = 1, my(1) = 2
Standardabweichungen: σx = 1, σy = 1
Bitte berechnen Sie:
a) die quadratischen Mittelwerte mx(2) und my(2)
b) den linearen Mittelwert mz(1), wobei z = x + 2 y
Aufgabe 4: ( 9 von 40 Punkten)
Ein stochastischer Prozess y(t) wird aus der Addition eines Prozesses x(t) zu einer
Cosinusfunktion gebildet:
y(t) = x(t) + cos(ωt + 2A ).
Der Prozess x(t) ist im weiteren Sinne stationär und hat den Erwartungswert 0. Die
Zufallsvariable A ist gleichverteilt im Intervall (0, π).
a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von A.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert des stochastischen Prozesses y(t)
Sommersemester 2007
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
16.07.2007
Aufgabe 1: ( 17 von 51 Punkten)
Die Lebensdauer in Jahren eines Geräts folgt der Formel:
l ( x) = −4 ln(1 − x),
Wobei die Werte von x, die eine Zufallsvariable X bilden, zu dem Intervall (0,1)
gehören. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von X ist gegeben durch:
⎧c(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1,
f X ( x) = ⎨
0, sonst.
⎩
a) Berechnen sie den Wert von c und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion
von X.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Lebensdauer des
Geräts an.
d) Zwei unabhängige Geräte werden gleichzeitig benutzt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass genau eine davon während des ersten Jahres kaputt
geht ?
Aufgabe 2: ( 14 von 51 Punkten)
4 Freunde veranstalten nacheinander drei Rennen in Zweierbooten. Die Zweierteams
werden am Anfang zufällig zusammengestellt, und bleiben während den drei Rennen
fest. Peter und Frank sind mit von der Partie. Peter ist allerdings nicht gut in Form, so
dass das Team, wo er mitrudert, ein Rennen nur mit Wahrscheinlichkeit 0.25 für sich
entscheidet (unabhängig davon wer sein Teamkollege ist). Gewonnen hat
Klausur Grundlagen der Statistik
Sommersemester 2007
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Name:
Seite 2
Matrikel-Nr.:
schlussendlich dasjenige Team, welches zwei von den drei Rennen für sich
entscheidet.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von Peter gewinnt ?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von Frank gewinnt ?
c) Das Team von Peter setzt 1 Euro, und das andere Team 4 Euro. Das Team das
gewinnt erhält den vollen Einsatz von 5 Euro. Was ist der erwartete Gewinn des
Teams von Peter ?
d) Frank berichtet, dass er gewonnen hat aber sagt nicht mit wem er zusammen
gerudert hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Frank zusammen mit Peter
gerudert ?
Aufgabe 3: ( 16 von 51 Punkten)
Eine faire Münze (d.h. eine Münze, bei der Kopf und Zahl mit gleicher
Wahrscheinlichkeit fallen) wird dreimal nacheinander geworfen.
Es sei X eine diskrete Zufallsvariable, die den Wert 0 oder 1 annimmt, je nachdem ob
im ersten Wurf Kopf (X=0) oder Zahl (X=1) erscheint.
Die diskrete Zufallsvariable Y gebe die Anzahl der auftretenden Würfe mit Kopf an.
a) Bestimmen Sie die Randdichtefunktionen fX(x), fY(y) und die gemeinsame
Dichtefunktion fXY(x,y)
b) Bestimmen Sie die Kovarianz von X und Y
Aufgabe 4: ( 4 von 51 Punkten)
Gegeben sei ein lineares gedächtnisbehaftetes und zeitinvariantes System nach Bild 1
und der Impulsantwort
⎧ 3 − 2it
⎪ e
für t ≥ 0
h(t ) = ⎨∑
i =1
⎪⎩
0 sonst
Sommersemester 2007
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Name:
Seite 3
Matrikel-Nr.:
Bild 1
Das System wird mit einem schwach stationären Eingangsprozess und dem linearen
Mittelwert mX(1) = 4 gespeist.
a) Wie groß ist der Mittelwert mY(1) am Ausgang des Systems ?
Hilfsmittel:
nsformation
⎯⎯⎯
⎯⎯
⎯→
s (t )e − at ⎯Fouriertra
wobei
⎧1 für t ≥ 0
s (t ) = ⎨
⎩ 0 sonst
1
a + jω
Wintersemester 2007/2008
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
28.03.2008
Aufgabe 1: (5 von 34 Punkten)
Die bei einer bestimmten Prüfung erreichte Punktzahl X wird als normalverteilte
Zufallsvariable mit dem Mittelwert µ = 85 Punkte und der Standardabweichung V= 5
Punkte betrachtet.
a) 42 Studierende weisen eine Punktzahl zwischen 78 und 92 auf. Wie viele
Kandidaten haben an der Prüfung teilgenommen?
b) Bestimmen Sie P(Xt95) und P(|X-82,5|t2,5).
Aufgabe 2: (9 von 34 Punkten)
Eine Urne enthalte 2 weiße und 4 schwarze Kugeln.
a) Aus dieser Urne werden nacheinander mit Zurücklegen 5 Kugeln gezogen. Sei X
die Anzahl der weißen Kugeln, die gezogen wurden. Berechnen Sie den
Erwartungswert von X.
b) Wenn das Ziehen der Kugeln ohne Zurücklegen erfolgt, wie hoch ist dann der
Erwartungswert von X?
c) Es wird zufällig und mit gleicher Wahrscheinlichkeit eines der beiden folgenden
Experimente durchgeführt:
A) Aus der Urne werden nacheinander 2 Kugeln mit Zurücklegen
gezogen.
B) Aus der Urne werden nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen
gezogen.
Angenommen, genau eine der beiden gezogenen Kugeln ist weiß. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass Experiment A bzw. B durchgeführt wurde?
Wintersemester 2007/2008
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 2
Matrikel-Nr.:
Name:
Aufgabe 3: (12 von 34 Punkten)
Gegeben ist die Verbundverteilungsdichte zweier Zufallsvariablen X und Y:
f X ,Y ( x , y )
­ ax 2 y , 1 d x d 3; 2 d y d 5
®
sonst
¯ 0,
a) Berechnen Sie die Verbundverteilungsfunktion FX,Y(x,y).
b) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten a.
c) Berechnen Sie die Randdichteverteilungen fX(x) und fY(y). Sind die Zufallsvariablen
X und Y statistisch unabhängig (Begründung)?
d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Y.
Aufgabe 4: (8 von 34 Punkten)
Es sei
x(t) = A(t) sin(10S t + ))
ein amplitudenmodulierter stochastischer Prozess, wobei A(t) ein mittelwertfreier im
weiteren Sinne stationärer (WSS) Prozess mit der bekannten Autokorrelationsfunktion
RAA(W)=e-0,3|W| und ) gleichverteilt im Intervall [0; 2S] ist. A(t) und ) seien statistisch
unabhängig.
(1)
a) Berechnen Sie den Erwartungswert mx
von x(t).
und die Autokorrelationsfunktion Rxx(t1,t2)
b) Ist x(t) im weiteren Sinne stationär? (Begründung!)
c) Geben Sie die Leistung des Prozesses x(t) an.
Im Folgenden gelte RAA(W) = 1.
d) Ermitteln Sie aus der Autokorrelationsfunktion Rxx(W) das Leistungsdichtespektrum
Sxx(f) von x(t). Rechnen Sie hierzu mit der Lösung aus a) oder bei Bedarf mit
Rxx(W) = RAA(W) cos(10S W ) weiter.
e) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum Sxx(f).
Hilfe:
sin( x ) sin( y )
cos(Z 0 t )
1
cos( x y ) cos( x y ) 2
ʌ į(Z Z 0 ) ʌ į(Z Z 0 )
Wintersemester 2007/2008
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Name:
Seite 3
Matrikel-Nr.:
Tabelle1:
Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung
I (z)
1
2S
z
³e
f
z2
2
dz , z t 0.
Sommersemester 2008
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 1
Matrikel-Nr.:
Name:
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Statistik
02.09.2008
Aufgabe 1: (10 von 58 Punkten)
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit fünf möglichen Ausgängen m1 bis m5. Es lässt
sich folgendes Modell (Venn-Diagramm) mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
P(m1) = 1/5, P(m2) = 1/5, P(m3) = 1/10, P(m4) = 1/5 angeben.
m5
D
H
A
m4
m1
C
m3
m2
B
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit P(m5) an.
b) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(D|B).
c) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|C).
d) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(D|C).
e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(A ∪ C).
f)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(A ∩ B).
g) Sind die Ereignisse B und C statistisch unabhängig (mit Begründung)?
h) Sind die Ereignisse B und D statistisch unabhängig (mit Begründung)?
Sommersemester 2008
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 2
Matrikel-Nr.:
Name:
Aufgabe 2: (20 von 58 Punkten)
Eine stetige Zufallsvariable X habe die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
⎧x
⎪⎪ 8 − 1
f X ( x) = ⎨
⎪
⎪⎩ 0
für 8 ≤ x ≤ b
sonst
a) Bestimmen Sie b.
b) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion Fx(x).
c) Berechnen sie P(5 ≤ X ≤ 10).
d) Bestimmen Sie den Erwartungswert, den quadratischen Mittelwert und die Varianz
von X.
Aufgabe 3: (20 von 58 Punkten)
Gegeben ist die folgende Verbundwahrscheinlichkeitsdichte eines Zufallsvektors (X,Y):
⎧C (1 − x − y ),
⎪
f X ,Y ( x , y ) = ⎨
⎪⎩
0
für x ≥ 0,
y ≥ 0,
x+ y≤1
sonst
a) Skizzieren Sie den Bereich, in dem die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte fX,Y(x,y)
einen Wert größer Null aufweist, in einem Koordinatensystem. (Achsen: Wert von X
bzw Y)
b) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten C.
c) Berechnen Sie die Randdichteverteilung fX(x).
d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X.
e) Geben Sie den Erwartungswert E{X·Y} an.
Sommersemester 2008
Klausur Grundlagen der Statistik
Prof. Dr.-Ing. T. Kürner
Seite 3
Matrikel-Nr.:
Name:
Aufgabe 4: (8 von 58 Punkten)
Gegeben sei ein lineares gedächtnisbehaftetes und zeitinvariantes System nach Bild 1
mit der Impulsantwort
⎧ 1 − Tt
⎪
für t ≥ 0
h( t ) = ⎨ T e
⎪⎩
0 sonst
Bild 1
Das System wird mit weißem Rauschen der Rauschleistungsdichte N0 gespeist
a) Berechnen sie die Autokorrelationsfunktion ϕyy(τ) des Ausgangsprozesses
und daraus die Leistung.
Hilfsmittel:
s( t ) ⋅ e − a t
1
a + jω
wobei
⎧1 für t ≥ 0
s( t ) = ⎨
⎩ 0 sonst
e
−a t
2a
a2 + ω 2