GDE 3

Grundlagen
der
Elektrotechnik
III
Inhaltsverzeichnis:
1
2
Einleitung............................................................................................................. 3
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge ............................................................ 5
2.1
Fourier-Reihe in reeller Darstellung.............................................................. 5
2.2
Symmetrie-Eigenschaften .......................................................................... 13
2.3
Effektivwerte und Leistungsdefinitionen bei nichtsinusförmigen Spannungen
und Strömen............................................................................................... 17
2.4
Fourierreihe in komplexer Darstellung........................................................ 25
3 Nichtperiodische Vorgänge ............................................................................... 31
3.1
Das komplexe Fourierintegral .................................................................... 31
3.2
Reelle Darstellung des Fourierintegrals ..................................................... 37
3.3
Zuordnungssatz und Symmetrieeigenschaften .......................................... 38
3.4
Berechnung von Spektralfunktionen und Herleitung von
Rücktransformationsformeln....................................................................... 40
3.5
Elektrische Schaltvorgänge ........................................................................ 48
Einleitung
1 Einleitung
Gegenstand der Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik 2 (Wechselstromlehre
1.Teil; 2.Trimester) war die Behandlung ausschließlich „sinusförmiger Vorgänge“ in
der Elektrotechnik.
Die Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik 3 (Wechselstromlehre 2.Teil;
3.Trimester) stellt nun die Erweiterung auf zunächst „periodische nichtsinusförmige
Vorgänge“, anschließend auf „nichtperiodische Vorgänge“ (z.B. Schaltvorgänge) dar.
Daraus ergibt sich die folgende kurze Inhaltsübersicht:
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge:
o Fourier-Reihe in reeller und komplexer Form;
o Mittelwerte und Leistungsdarstellung;
Nichtperiodische Vorgänge (instationäre oder Ausgleichsvorgänge):
o Fourier-Integral in komplexer und reeller Form;
o Analyse von Schaltvorgängen mit Foruriermethode („Spektralbereich“);
o Analyse von Schaltvorgängen mit Differentialgleichungen („Zeitbereich“);
Zunächst einige einführende Bemerkungen zu nichtsinusförmigen Vorgängen
in der Wechselstromlehre
Im 2.Trimester wurden ausschließlich sinusförmige Vorgänge behandelt, z.B
Sinusförmige Spannung in reeller Darstellung:
u(t ) = Û ⋅ sin(ωt + ϕu )
Sinusförmige Spannung in komplexer Darstellung:
u(t ) = ur (t ) + j ⋅ ui (t )
=
= Û ⋅ (cos(ωt + ϕu ) + j ⋅ sin(ωt + ϕu )) =
= Û ⋅ e j⋅(ωt + ϕu )
=
jϕ u
jω t
= Û ⋅ e ⋅ e
= Û ⋅ e jωt
mit: Û = Û ⋅ e jϕu (komplexe Amplitude)
Ein Schwerpunkt lag bei der Einführung der „komplexen Rechnung“ (komplexe Amplituden, Leitwerte, Widerstände, Übersetzungsverhältnisse), die gegenüber der „reellen Rechnung“ (Stichwort: Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen)
große Vorteile besitzt (Betrag und Phase kommen „automatisch“ heraus).
Nun spielen in der Technik aber nichtsinusförmige Vorgänge (z.B. Schaltvorgänge,
Impulstechnik, usw.) eine wesentlich größere Rolle. Wir teilen sie ein in
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge, z.B.
u(t )
i(t )
T
t
t
T
-3-
Einleitung
Nichtperiodische Vorgänge, z.B.
f (t )
(einzelner Impuls)
t
i(t )
(Strom beim Einschalten einer
Selbstinduktion
t
Die Aufgabenstellung lautet meist folgendermaßen:
f1 (t )
Lineare
Schaltung
(R, L, C)
Gegeben:
f2 (t )
Gesucht:
Schaltung,
f1(t ) (→ „Erregung“)
f2 (t ) (→ „Antwort“)
Die Methoden zur Behandlung solcher Aufgabenstellungen sind, allerdings nur für
sinusförmige Vorgänge, aus dem 2.Trimester bekannt.
Bei nichtsinusförmigen Vorgängen sind die bisherigen Kenntnisse (insbesondere die
komplexe Rechnung) nicht ohne weiteres anwendbar. Grundsätzlich existieren nun
zwei Lösungswege:
Weg über Differentialgleichungen:
Aus den Beziehungen an den Schaltelementen zwischen Spannung und
du(t )
di(t )
) und den Kirchhoff’schen
Strom ( u(t ) = R ⋅ i(t ) , u(t ) = L ⋅
, i(t ) = C ⋅
dt
dt
Gleichungen bauen wir eine Differentialgleichung (DGL) für die gesuchte
Funktion f2 (t ) auf (wobei wir f1(t ) bzw. „Anfangsbedingungen“ brauchen). Die
DGL wird dann nach den Regeln der Mathematik nach f2 (t ) aufgelöst.
Zurückführung des „nichtsinusförmigen“ Problems auf ein „sinusförmiges“.
Der zweite Weg ist (hauptsächlich) Gegenstand dieser Vorlesung. Man kann nämlich
zeigen, daß nichtsinusförmige Funktionen in sinusförmige „Bestandteile“ zerlegt werden können (Fourierzerlegung, Fourieranalyse). Diese Fourierzerlegung führt
bei periodischen Vorgängen auf eine Reihe (Fourier-Reihe),
bei nichtperiodischen Vorgängen auf ein Integral (Fourier-Integral).
Jeden „Bestandteil“ der Zerlegung (Reihenglied bzw. Integrand × Frequenzintervall
im Integral) kann man dann mit den im 2.Trimester behandelten Methoden „verarbeiten“ und aus den „verarbeiteten“ Bestandteilen hinterher die Lösung wieder zusammensetzen.
Anmerkung: Im Rahmen dieser Vorlesung werden natürlich hauptsächlich Zeitfunktionen (Zeit t als unabhängige Variable) behandelt. Die gezeigten Methoden lassen sich aber auch verallgemeinern (z.B. auf Ortsfunktionen →
Mathematikvorlesung).
-4-
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
2 Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
(Fourier-Analyse periodischer Vorgänge).
Jean Baptiste Fourier 1768-1830, französischer Physiker und Mathematiker (entwickelte auch die mathematische Theorie der Wärmeleitung, Kanonenrohre!).
2.1 Fourier-Reihe in reeller Darstellung
Vorbemerkungen:
Synthese:
Die Summe von Sinus- (Kosinus-) Funktionen unterschiedlicher Periodendauer (bzw. Frequenz) ergibt wieder eine periodische Funktion, deren „Grundfrequenz“ der größte gemeinsame Teiler der Einzelfrequenzen ist. Oder umgekehrt: Wir beginnen mit einer Sinusfunktion der (Grund-) Kreisfrequenz
2π
ωg =
und überlagern Sinusfunktionen mit ganzzahligen Vielfachen ( κ ⋅ ωg ,
T
mit κ = 2,3,...λ...n ) der Grundfrequenz ωg ( κ = 1 ). Wir erhalten als Summe eine periodische Funktion der Grundperiode T =
2π
.
ωg
Es müssen noch Kosinusfunktionen herangezogen werden, da aus lauter (ungeraden) Sinusfunktionen natürlich auch wieder nur ungerade Summenfunktionen entstehen, was aber allgemein nicht gefordert werden darf.
Analyse: (Aufgabenstellung in diesem Kapitel)
Es sei nun eine beliebige periodische Funktion (Periodendauer T) gegeben
(meistens stückweise analytisch im Periodenbereich vorgegeben). Diese periodische Funktion soll nun in die Sinus- und Kosinus-Funktionen zerlegt werden, aus denen sie aufgebaut ist. Es sind also die Amplituden der Sinus- und
Kosinusteilschwingungen („Harmonischen“) mit ganzzahligem Vielfachen der
2π
Grundfrequenz ωg =
zu bestimmen.
T
Es sei nun eine periodische Funktion gegeben
f (x ) = f (x ± k ⋅ 2π )
mit: k = 1,2,3...
wobei x im Bogenmaß anzusetzen ist (→ Periodendauer: 2π ).
Anmerkung: Von der mathematisch dimensionslosen Darstellung gelangt man
zu den physikalischen (dimensionsbehafteten) Schreibweisen für
2π
Zeitfunktionen mit der Substitution x = ωg t ( ωg =
GrundT
frequenz der in T periodischen Zeitfunktion)
f ωg t = f ωg t ± k ⋅ ωg T ⇒
f (t ) = f (t ± k ⋅ T )
( ) (
)
Ortsfunktionen mit der Substitution x = β0l ( β0 =
periodischen Ortsfunktion)
-5-
2π
der in λ
λ
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
f (β0l) = f (β0l ± k ⋅ β0 λ ) ⇒
f (l) = f (l ± k ⋅ λ )
f (x ) soll aus Sinus- und Kosinusfunktionen aufgebaut werden, wobei die Periodendauern der Teilschwingungen ganzzahlige Teiler der Periodendauer von f (x ) sind.
Hierzu wird f (x ) angenähert durch ein Polynom S n (x ) mit (zunächst) 2 ⋅ n + 1 Gliedern:
f (x ) ≅ S n (x ) =
n
n
κ =1
κ =0
∑ (a κ ⋅ sin(κx )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κx ))
Wie sind nun in dieser Reihendarstellung die Koeffizienten a κ und b κ zu wählen,
damit die Näherung S n (x ) möglichst gut mit der gegebenen Orginalfunktion f (x ) übereinstimmt?
Exakt macht man das folgendermaßen:
a) Man bildet den Fehler ε n (x ) = f (x ) − S n (x ) . Dieser ist natürlich eine Funktion
von x.
b) Nun bildet man das „mittlere Fehlerquadrat“ M (Integration des quadratischen
Fehlers über eine Periode der Orginalfunktion, um die Vorzeichenabhängigkeit
und die x-Abhängigkeit des Fehlers zu eliminieren):
2π
2π
1
1
M=
⋅ ∫ (ε n (x ))2 ⋅ dx =
⋅ ∫ (f (x ) − S n (x ))2 ⋅ dx
2π x = 0
2π x =0
Beachte: M = M(a κ , b κ ) , weil S n = S n (x, a κ , b κ )
c) Nun soll M durch geeignete Wahl von a κ und b κ minimiert werden:
∂M
=0
∂a κ
∂M
=0
∂b κ
Dies muß für jedes einzelne κ gefordert werden. Hieraus erhält man die Vorschriften für die Bildung der a κ und b κ .
d) Nun kann man ferner noch zeigen, daß für n → ∞ ( ∞ viele Glieder,
S n → S ∞ ) das mittlere Fehlerquadrat M verschwindet ( M = 0 ). In diesem Fall
wird die Orginalfunktion f (x ) durch seine Reihendarstellung S ∞ (x ) exakt beschrieben ( f (x ) = S ∞ (x ) ).
Auf die mathematische Durchführung des in a)-d) beschriebenen Rechenweges wird
hier verzichtet (insbesondere der Beweis für d) ist mühsam). Stattdessen wird sofort
eine unendliche Fourier-Reihe angesetzt, d.h. die gegebene (in 2π periodische)
Funktion f (x ) wird durch ein Polynom S ∞ (x ) aus ∞ vielen Sinus- und Kosinusfunktionen nachgebildet. Die Periodendauern der Sinus- und Kosinusfunktionen sind
ganzzahlige Teiler der Periodendauer 2π von f (x ) .
f (x ) = S ∞ (x ) =
∞
∞
κ =1
κ =0
∑ (a κ ⋅ sin(κx )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κx ))
Ausgeschrieben lautet diese Reihendarstellung:
f (x ) =
a1 ⋅ sin(x ) + a 2 ⋅ sin(2x ) + a 3 ⋅ sin(3 x ) + ... + a κ ⋅ sin(κx ) + ... +
b 0 + b1 ⋅ cos(x ) + b 2 ⋅ cos(2x ) + b 3 ⋅ cos(3 x ) + ... + b κ ⋅ cos(κx ) + ...
-6-
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Jede in 2π periodische Funktion f (x ) lässt sich mit einem solchen Ansatz nachbilden.
Es stellt sich nun die Frage, wie die Koeffizienten a κ und b κ vor den Sinus- und Kosinusfunktionen zu bestimmen sind. Diese Koeffizienten sind selbstverständlich abhängig von der gegebenen Funktion f (x ) .
Um die Bildungsvorschriften für die Koeffizienten a κ und b κ herzuleiten werden die
sog. Orthogonalitätssätze für die trigonometrischen Funktionen benötigt:
2π
(1)
(2)
(3 )
1
⋅ sin(κx ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx = 0
π x ∫= 0
2π
0
1
⋅ ∫ sin(κx ) ⋅ sin(λx ) ⋅ dx = 1
π x =0
0
2π
0
1
⋅ ∫ cos(κx ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx = 1
π x =0
2
(immer! )
für :
für :
für :
für :
für :
für :
κ≠λ
κ=λ≠0
κ=λ=0
κ≠λ
κ=λ≠0
κ=λ=0
κ, λ: ganzzahlig!
Mit Hilfe einiger Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen lässt sich die
Gültigkeit dieser Orthogonalitätssätze sehr leicht zeigen:
(1)
sin(α + β ) = sin(α ) ⋅ cos(β) + cos(α ) ⋅ sin(β )
sin(α − β) = sin(α ) ⋅ cos(β ) − cos(α ) ⋅ sin(β)
1
sin(α ) ⋅ cos(β ) = ⋅ (sin(α + β) + sin(α − β))
⇒
2
2π
∫ sin(κx ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx =
x =0
2π
2π
1
1
⋅ ∫ sin((κ + λ ) ⋅ x ) ⋅ dx + ⋅ ∫ sin((κ − λ ) ⋅ x ) ⋅ dx = 0
2 x =0
2 x =0
(2),(3) cos(α + β ) = cos(α ) ⋅ cos(β ) − sin(α ) ⋅ sin(β )
cos(α − β ) = cos(α ) ⋅ cos(β ) + sin(α ) ⋅ sin(β )
1
sin(α ) ⋅ sin(β) = ⋅ (cos(α − β ) − cos(α + β))
⇒
2
1
cos(α ) ⋅ cos(β ) = ⋅ (cos(α − β ) + cos(α + β))
⇒
2
2π
∫ sin(κx ) ⋅ sin(λx ) ⋅ dx
x =0
2π
2π
=
0 für : κ ≠ λ
= π für : κ = λ ≠ 0
0 für : κ = λ = 0
∫ cos(κx ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx =
x =0
2π
1
1
⋅ ∫ cos((κ − λ ) ⋅ x ) ⋅ dx − ⋅ ∫ cos((κ + λ ) ⋅ x ) ⋅ dx
2 x =0
2 x =0
2π
2π
1
1
⋅ ∫ cos((κ − λ ) ⋅ x ) ⋅ dx + ⋅ ∫ cos((κ + λ ) ⋅ x ) ⋅ dx
2 x =0
2 x =0
für : κ ≠ λ
0
= π für : κ = λ ≠ 0
2π für : κ = λ = 0
-7-
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Mit Hilfe dieser Orthogonalitätssätze lassen sich die Bildungsvorschriften für die Koeffizienten a κ und b κ herleiten. Dazu geht man von dem bekannten Ansatz aus, um
die in 2π periodische Funktion f (x ) durch eine unendliche Reihe auszudrücken:
f (x ) =
∞
∞
κ =1
κ =0
∑ (a κ ⋅ sin(κx )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κx ))
gegeben!
gesucht!
1
1
⋅ sin(λx ) bzw. ⋅ cos(λx )
π
π
durchmultipliziert. Anschließend erfolgt die Integralbildung über eine Periode ( 2π )
der Orginalfunktion f (x ) . Mit Hilfe der vorher abgeleiteten Orthogonalitätssätze erhält
man:
λ≠0








2π
2
π
∞
1
1

⋅ ∫ f (x ) ⋅ sin(λx ) ⋅ dx = ∑ a κ ⋅ ⋅ ∫ sin(κx ) ⋅ sin(λx ) ⋅ dx  +


π x =0
π x =0
κ =1




0 für : κ ≠ λ
= 1 für : κ = λ ≠ 0


0 für : κ = λ = 0






2π
∞
1


+ ∑  b κ ⋅ ⋅ ∫ cos(κx ) ⋅ sin(λx ) ⋅ dx  = a λ
π x =0
κ = 0


=0






2π
2π
∞
1
1


⋅ ∫ f (x ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx = ∑  a κ ⋅ ⋅ ∫ sin(κx ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx  +
π x =0
π x =0
κ =1


=0










2
π
∞
1

+ ∑ b κ ⋅ ⋅ ∫ cos(κx ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx  = b λ


π x =0
κ = 0



0 für : κ ≠ λ
= 1 für : κ = λ ≠ 0


2 für : κ = λ = 0


λ=0
Diese (Ansatz-) Gleichung wird nun auf beiden Seiten mit
2π
1
⋅ f (x ) ⋅ dx = b0
2π x ∫= 0
Der Koeffizient b 0 ist, wie aus der Gleichung sofort ersichtlich, der lineare Mittelwert der gegebenen Funktion f (x ) .
-8-
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Es bleibt also von der rechten Seite jeweils nur das entsprechende Glied mit κ = λ
übrig. Der Form halber kann jetzt λ wieder durch κ ersetzt werden. Damit lauten die
Formeln für die Gewinnung der Fourierkoeffizienten a κ und b κ der gegebenen, in
2π periodischen Funktion f (x ) :
2π
aκ =
1
⋅ f (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x ∫= 0
bκ =
1
⋅ f (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx
π x ∫= 0
κ = 1,2,3...∞
2π
κ = 1,2,3...∞
2π
1
b0 =
⋅ f (x ) ⋅ dx
2π x ∫= 0
κ = 0 (linearer Mittelwert!)
Mit diesen Fourierkoeffizienten lässt sich die in 2π periodische Funktion f (x ) als unendliche Reihe darstellen:
∞
∞
κ =1
κ =1
f (x ) = b0 + ∑ (a κ ⋅ sin(κx )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κx ))
Dieser mathematische (dimensionslose) Formalismus lässt sich durch geeignete
Substitution auf physikalische (dimensionsbehaftete) Größen übertragen. In der Elektrotechnik ist beispielsweise die Fourierreihenentwicklung von periodischen Zeitfunktionen von Bedeutung. Wie bereits erwähnt ist hierfür eine Substitution x = ωgt
2π
Grundfrequenz der in T periodischen Zeitfunktion) nötig. Die BildungsT
gesetze zur Berechnung der Fourierkoeffizienten lauten dann:
(mit ωg =
T
aκ =
(
)
κ = 1,2,3...∞
(
)
κ = 1,2,3...∞
2
⋅ f (t ) ⋅ sin κ ⋅ ωg t ⋅ dt
T t =∫0
T
2
b κ = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos κ ⋅ ωg t ⋅ dt
T t =0
T
1
b 0 = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ dt
T t =0
κ = 0 (linearer Mittelwert!)
Mit diesen Fourierkoeffizienten lässt sich die in T periodische Zeitfunktion f (t ) als
unendliche Reihe darstellen:
f (t ) = b 0 +
∞
∞
κ =1
κ =1
∑ (a κ ⋅ sin(κ ⋅ ωgt )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κ ⋅ ωgt ))
-9-
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Anmerkung:
Wie gezeigt lassen sich (auch bei endlicher Gliederzahl der Reihe S n (x ) ) die
Koeffizienten a κ und b κ unabhängig von der Zahl n der Reihenglieder endgültig bestimmen. Es gibt keine Rekursionsformeln (man also beispielsweise
a1 − a14 kennen müsste, um a15 zu berechnen). Dies ist sehr angenehm und
eine Folge der Orthogonalitätssätze.
Da die Koeffizienten a κ , b κ nicht von der Gliederzahl n in S n (x ) abhängen,
kann man n → ∞ gehen lassen. Schwierige Konvergenzbetrachtungen zeigen, daß das oben erwähnte Fehlerquadrat M für n → ∞ beliebig klein wird
und daß ferner die Koeffizienten a κ und b κ für große κ umso rascher gegen
Null gehen, je glatter die Funktion f (x ) ist. (Schwierigkeiten an Unstetigkeitsstellen von f (x ) , Gibb’sches Phänomen). Wichtig jedenfalls ist, daß die Koeffizienten unabhängig voneinander bestimmt werden können.
Zusammenfassung:
„Mathematische Darstellung“:
Eine periodische nichtsinusförmige Funktion f (x ) kann in eine Fourierreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt werden.
∞
∞
f (x ) = b 0 + ∑ (a κ ⋅ sin(κx )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κx ))
κ =1
κ =1
2π
mit:
b0 =
1
⋅ f (x ) ⋅ dx
2π x ∫= 0
κ=0
(linearer Mittelwert!)
2π
1
a κ = ⋅ ∫ f (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x =0
κ = 1,2,3...∞
2π
1
b κ = ⋅ ∫ f (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx
π x =0
κ = 1,2,3...∞
„Physikalische Darstellung“ (Zeitfunktion):
Eine in T periodische nichtsinusförmige Zeitfunktion f (t ) kann in eine Fourierreihe
aus Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt werden.
f (t ) = b 0 +
∞
∞
κ =1
κ =1
∑ (a κ ⋅ sin(κ ⋅ ωgt )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κ ⋅ ωgt ))
2π
: Grundfrequenz
T
ωg =
T
mit:
1
b 0 = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ dt
T t =0
T
aκ =
κ=0
(
)
κ = 1,2,3...∞
(
)
κ = 1,2,3...∞
2
⋅ f (t ) ⋅ sin κ ⋅ ωg t ⋅ dt
T t =∫0
T
2
b κ = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos κ ⋅ ωg t ⋅ dt
T t =0
- 10 -
(linearer Mittelwert!)
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Mit Hilfe der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen lassen sich Glieder
gleicher Ordnung κ noch zusammenfassen. Man erhält
f (x ) = b 0 +
∞
∑ (c κ ⋅ sin(κx + ϕ κ ))
κ =1
wobei gilt:
c κ = aκ2 + bκ2
tan(ϕ κ ) =
bκ
aκ





⇔
a κ = c κ ⋅ cos(ϕ κ )



b κ = c κ ⋅ sin(ϕ κ )
Man kann die Amplituden der einzelnen Harmonischen (Fourierkoeffizienten) über
der Frequenz auftragen und erhält dann ein sogenanntes Linienspektrum.
b1
b0
b3
b2
b4
a κ , b κ können
< 0 oder > 0
sein!
a1
a3
0
ωg
a2
2ωg
0
1
2
a5
a4
3ωg
4ωg
5ωg
b5
3
4
5
b6
a6
6ωg
ω
6
κ
c1
c 0 = b0
cκ ≥ 0
immer!
c2
c3
c4
c5
c6
0
ωg
2ωg
3ωg
4ωg
5ωg
6ωg
ω
0
1
2
3
4
5
6
κ
- 11 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Beispiel:
Gegeben ist die
Rechteckfunktion:
f (x )
skizzierte
A
für : 0 ≤ x < π
f (x ) = A
−
A
für : π ≤ x < 2π

0
π
2π
x
−A
Wie sieht die Fourierreihe aus,
d.h. wie lauten die Fourierkoeffizienten?
2π
b0
=
1
⋅ f (x ) ⋅ dx = 0
2π x ∫= 0
kein linearer Mittelwert (trivial).
2π
bκ
=
1
⋅ f (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx
π x ∫= 0
=
1
1
⋅ ∫ A ⋅ cos(κx ) ⋅ dx + ⋅ ∫ (− A ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx
π x =0
π x=π
π
=
2π
2π
π

A 
⋅ ∫ cos(κx ) ⋅ dx − ∫ cos(κx ) ⋅ dx 

π  x = 0
x=π

(
=
A
π
2π
⋅ sin(κx ) 0 − sin(κx ) π
κπ
=
1
⋅ f (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x ∫= 0
)
= 0
2π
aκ
=
π
2π

A 
⋅ ∫ sin(κx ) ⋅ dx − ∫ sin(κx ) ⋅ dx 

π  x = 0
x=π

)
(
A
π
2π
⋅ − cos(κx ) 0 + cos(κx ) π
κπ
A
2A
⋅ (1 − cos(κπ))
=
⋅ (− cos(κπ) + 1 + 1 − cos(κπ))
=
κπ
κπ
cos(κπ) = (− 1)κ
2A
aκ =
⋅ 1 − (− 1)κ
⇒
κπ
κ gerade:
κ = 2,4,6... ⇒
aκ = 0
4A
aκ =
κ ungerade:
κ = 1,3,5... ⇒
κπ
=
(
)
Die Reihendarstellung der gegebenen Rechteckfunktion lautet also ausgeschrieben:
4A 
1
1

f (x ) =
⋅  sin(x ) + ⋅ sin(3 x ) + ⋅ sin(5 x ) + ...
π 
3
5

- 12 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Die nachfolgende grafische Darstellung lässt ahnen, wie mit wachsender Anzahl der
Reihenglieder die Orginalfunktion (gegebene Rechteckfunktion) immer besser angenähert wird. Im Idealfall der unendlichen Reihe ( N = ∞ ) stimmen Orginalfunktion und
Reihendarstellung überein.
N
f (x ) =
∑ (a κ ⋅ sin(κx ))
κ =1
N=1
N=3
N=5
N=7
A
0
−A
π
0
2π
x
2.2 Symmetrie-Eigenschaften
Hat die gegebene periodische Funktion f (x ) gewisse Symmetrieeigenschaften, so
vereinfacht sich die Berechnung der Fourierkoeffizienten („verkürzte“ Integration).
Hierbei unterscheidet man zwischen 3 Arten von Symmetrie für f (x ) :
a) f (x ) = f (− x )
„gerade“ Funktion
b) f (x ) = − f (− x )
„ungerade“ Funktion
c) f (x ) = − f (x + π )
„Halbwellen-Symmetrie“
Um die genannten 3 Symmetrietypen zu untersuchen, ist es sinnvoll, das Integrationsintervall bei den Bildungsgesetzen für die Fourierkoeffizienten zu verschieben.
Dies ist erlaubt, weil in jedem Fall der Integrand periodisch in 2π ist.
2π
π
1
1
a κ = ⋅ ∫ f (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx = ⋅ ∫ f (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x =0
π x = −π
2π
bκ =
π
1
1
⋅ ∫ f (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx = ⋅ ∫ f (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx
π x =0
π x = −π
2π
π
1
1
b0 =
⋅ ∫ f (x ) ⋅ dx =
⋅ f (x ) ⋅ dx
2π x = 0
2π x =∫− π
- 13 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
a) f (x ) gerade Funktion
fg (x )
d.h f (x ) = fg (x ) ,
so dass
fg (− x ) = fg (x )
− 2π
0
−π
2π
π
x
4π
Für die Berechnung der Fourierkoeffizienten a κ (Amplituden der Sinusfunktionen in
der Reihendarstellung) gilt bekanntlich:
π
1
a κ = ⋅ ∫ fg (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx :
π x = −π
sin(κx ) ist eine ungerade Funktion, und folglich fg (x ) ⋅ sin(κx ) = U(x ) ebenfalls
ungerade. Es gilt aber allgemein für ungerade Funktionen:
a
∫ U(x ) ⋅ dx = 0
x = −a
Folglich gilt
a κ = 0 , wenn f (x ) = fg (x )
d.h. eine gerade Funktion besitzt keine Sinus-Anteile, sondern nur KosinusAnteile:
Für die Berechnung der Fourierkoeffizienten b κ (Amplituden der Kosinusfunktionen
in der Reihendarstellung) gilt:
π
1
b κ = ⋅ ∫ fg (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx
π x = −π
cos(κx ) ist eine gerade Funktion, und folglich fg (x ) ⋅ cos(κx ) = G(x ) ebenfalls
gerade. Es gilt aber allgemein für gerade Funktionen:
a
a
x = −a
x =0
∫ G(x ) ⋅ dx = 2 ⋅
∫ G(x ) ⋅ dx
Folglich gilt:
π
bκ =
2
⋅ fg (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx , wenn f (x ) = fg (x ) für alle κ = 1,2,3...
π x ∫= 0
b) f (x ) ungerade Funktion
fu (x )
d.h f (x ) = fu (x ) ,
so dass
fu (− x ) = −fu (x )
− 2π
−π
0
- 14 -
π
2π
4π
x
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Für die Berechnung der Fourierkoeffizienten b κ (Amplituden der Kosinusfunktionen
in der Reihendarstellung) gilt:
π
bκ =
1
⋅ fu (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx :
π x =∫− π
cos(κx ) ist eine gerade Funktion, folglich fu (x ) ⋅ cos(κx ) = U(x ) ungerade. Damit
ergibt sich:
b κ = 0 , wenn f (x ) = fu (x )
d.h. eine ungerade Funktion besitzt keine Kosinus-Anteile, sondern nur SinusAnteile:
Für die Berechnung der Fourierkoeffizienten a κ (Amplituden der Sinusfunktionen in
der Reihendarstellung) gilt:
π
1
a κ = ⋅ ∫ fu (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x = −π
sin(κx ) ist eine ungerade Funktion, folglich fu (x ) ⋅ sin(κx ) = G(x ) gerade. Damit
ergibt sich:
π
aκ =
2
⋅ fu (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx , wenn f (x ) = fu (x ) für alle κ = 1,2,3...
π x ∫= 0
c) „Halbwellen-Symmetrie“
d.h f (x ) = fh (x ) , so dass fh (x ) = −fh (x + π ) = − fh (x − π )
Wenn man die
Weder gerade noch ungerade
untere Halbwelle
aber halbwellensymmetrisch
von fh (x ) nach
oben
„klappt“,
fh (x )
sieht sie aus wie
die obere Halbwelle oder anders
ausgedrückt, die
zweite Halbwelle
x
π
0
2π
4π
ist gleich der ers- − 2π − π
ten
Halbwelle
multipliziert
mit
( − 1).
Zunächst ist fh (x ) weder gerade noch ungerade. Es kommen also grundsätzlich a κ
und b κ vor. Für die Berechnung der Fourierkoeffizienten a κ (Amplituden der Sinusfunktionen in der Reihendarstellung) gilt:
π
aκ
=
1
⋅ fh (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x =∫− π
=
1
1
⋅ ∫ fh (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx + ⋅ ∫ fh (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx = Ι1 + Ι 2
π x = −π
π x =0
0
π
Ι1
Ι2
- 15 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Das Integral Ι1 kann aufgrund der Halbwellensymmetrie ( fh (x ) = −fh (x + π ) )
folgendermaßen umgeformt werden:
0
Ι1 =
1
⋅ fh (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x =∫− π
0
= −
1
⋅ fh (x + π ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x =∫− π
Mit der Substitution
y=x+π
⇒
x = y − π ; dx = dy
ergibt sich für das Integral Ι1 :
π
Ι1
1
= − ⋅ ∫ fh (y ) ⋅ sin(κ ⋅ (y − π)) ⋅ dy
π y =0
Mit Hilfe der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen lässt sich der
Integrand folgendermaßen umformen:
sin(κ ⋅ (y − π)) = sin(κy ) ⋅ cos(κπ) − cos(κy ) ⋅ sin(κπ) = (− 1)κ ⋅ sin(κy )
(−1)κ
=0
Das Integral Ι1 lautet damit:
π
Ι1 =
−
1
⋅ (− 1)κ ⋅ ∫ fh (y ) ⋅ sin(κy ) ⋅ dy
π
y =0
=
...
(x ⇔ y )
=
− (− 1)κ ⋅ Ι 2
Für die Fourierkoeffizienten a κ ergibt sich damit bei Halbwellensymmetrie:
aκ
(
= Ι 2 ⋅ 1 − (− 1)κ
=
(1 − (− 1) )
κ
)
π
1
⋅ ⋅ ∫ fh (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx
π x =0
für : κ = (0 ),2,4,6... (gerade)
0
π

aκ = 2
(ungerade)
⋅ f (x ) ⋅ sin(κx ) ⋅ dx für : κ = 1,3,5...
π ∫ h
 x =0
Ganz analog ergibt sich für die Berechnung der Fourierkoeffizienten b κ (Amplituden
der Kosinusfunktionen in der Reihendarstellung):
bκ
=
(1 − (− 1) )
κ
π
1
⋅ ⋅ ∫ fh (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx
π x =0
für : κ = (0 ),2,4,6... (gerade)
0
π

bκ = 2
(ungerade)
⋅ f (x ) ⋅ cos(κx ) ⋅ dx für : κ = 1,3,5...
π ∫ h
 x =0
Funktionen mit Halbwellensymmetrie besitzen also nur Oberwellen mit ungerader
π
Ordnung κ . In die Formeln mit
2
⋅ ... dürfen dabei nur ungerade κ eingesetzt werπ x ∫= 0
den (bei geraden κ kommt im allgemeinen nicht Null heraus).
- 16 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Anmerkungen:
Man verwechsle nicht Eigenschaft c) (Halbwellensymmetrie) mit Eigenschaft
b) (ungerade Funktion).
Aufpassen bei der verkürzten Integration! Wenn man zeigen will, wie die Koeffizienten verschwinden, muß man über die ganze Periode integrieren.
Eigenschaft a) oder b) können mit c) kombiniert sein.
f (x )
−π
− 2π
ungerade & halbwellensymmetrisch
π
0
f (x )
−π
− 2π
0
2π
4π
x
gerade & halbwellensymmetrisch
π
2π
4π
x
2.3 Effektivwerte und Leistungsdefinitionen bei nichtsinusförmigen
Spannungen und Strömen
Fragestellung:
Spannung und Strom (periodisch, nichtsinusförmig) seien nach Fourier entwickelt.
Wie stellen sich Effektivwerte bzw. Wirkleistung durch die Fourierkoeffizienten
dar? Wie kann man „Scheinleistung“ und „Blindleistung“ definieren?
Effektivwert und Wirkleistung für beliebige periodische Funktionen wurden bereits im
1.Trimester definiert. Diese Definition wird hier natürlich beibehalten.
i(t )
u(t )
u(t ) Periodische Funktionen,
 darstellbar durch
i(t )  Fourier’sche Reihen
Schaltung
Gegeben seien die periodischen Orginalfunktionen für Strom und Spannung (die natürlich Zeitfunktionen sind):
- 17 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
u(t ) = u(t ± n ⋅ T )
i(t ) = i(t ± n ⋅ T )
Diese Zeitfunktionen (Periodendauer T, Grundfrequenz ωg =
2π
) werden nun in ihre
T
jeweiligen Fourierreihen entwickelt:
u(t ) = U0 +
= U0 +
∞
∞
κ =1
∞
κ =1
∑ (a κ ⋅ sin(κ ⋅ ωgt )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κ ⋅ ωgt ))
∑ (Ûκ ⋅ sin(κ ⋅ ωgt + ϕ κ ))
κ =1
mit:
a κ = Ûκ ⋅ cos(ϕ κ )
b κ = Ûκ ⋅ sin(ϕ κ )
T
aκ =



(
)
(
)





⇔
Ûκ 2 = a κ 2 + b κ 2
tan(ϕ κ ) =
bκ
aκ
Spannung
2
⋅ u(t ) ⋅ sin κ ⋅ ωg t ⋅ dt
T t =∫0
T
2
b κ = ⋅ ∫ u(t ) ⋅ cos κ ⋅ ωg t ⋅ dt
T t =0
T
1
⋅ u(t ) ⋅ dt
T t =∫0
U0 = b0 =
i(t ) = Ι 0 +
= Ι0 +
∞
∞
κ =1
∞
κ =1
∑ (a' κ ⋅ sin(κ ⋅ ωgt )) + ∑ (b' κ ⋅ cos(κ ⋅ ωgt ))
∑ (Ιˆ κ ⋅ sin(κ ⋅ ωgt + ϕ' κ ))
κ =1
mit:
a' κ = Ιˆ κ ⋅ cos(ϕ' κ )
b' κ = Ιˆ κ ⋅ sin(ϕ' κ )
T
a' κ =



(
)
(
)
⇔





Ιˆ κ 2 = a' κ 2 +b' κ 2
tan(ϕ' κ ) =
2
⋅ i(t ) ⋅ sin κ ⋅ ωg t ⋅ dt
T t =∫0
T
2
b' κ = ⋅ ∫ i(t ) ⋅ cos κ ⋅ ωg t ⋅ dt
T t =0
T
Ι 0 = b'0 =
1
⋅ i(t ) ⋅ dt
T t =∫0
- 18 -
b' κ
a' κ
Strom
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
1) Effektivwerte:
Nach der bekannten Definition (vgl. 2.Trimester) werden die Effektivwerte gebildet:
a) für die Spannung
Ueff
2
T
1
⋅ ∫ u2 (t ) ⋅ dt
T t =0
=
T
∞
∞

1
⋅ ∫  U0 + ∑ a κ ⋅ sin κ ⋅ ωg t + ∑ b κ ⋅ cos κ ⋅ ωg t
T t = 0 
κ =1
κ =1
(
=
(
))
(
(
)) ⋅

∞
∞

⋅  U0 + ∑ a λ ⋅ sin λ ⋅ ωg t + ∑ b λ ⋅ cos λ ⋅ ωg t

λ =1
λ =1

(
(
))
(
(
)) ⋅ dt

= ...
Das Ausmultiplizieren des Integranden führt zu folgenden 9 Termen, die u.a. mit Hilfe
der Orthogonalitätssätze für trigonometrische Funktionen stark vereinfacht werden
können:
T
1
1.
⋅ ∫ U0 2 ⋅ dt = ... = U0 2
T t =0
T
2.
∞
1
⋅ ∫ U0 ⋅ ∑ a λ ⋅ sin λ ⋅ ωg t ⋅ dt = ... = 0
T t =0
λ =1
(
(
))
(Integration über eine oder mehrere ganze Perioden einer Sinus-Funktion ergibt Null)
T
3.
∞
1
⋅ ∫ U0 ⋅ ∑ b λ ⋅ cos λ ⋅ ωg t ⋅ dt = ... = 0
T t =0
λ =1
(
(
))
(Integration über eine oder mehrere ganze Perioden einer Kosinus-Funktion
ergibt Null)
T
∞
1
4.
⋅ ∫ ∑ a κ ⋅ sin κ ⋅ ωg t ⋅ U0 ⋅ dt = ... = 0
T t = 0 κ =1
(
(
))
(siehe 2.)
T
( )
∞
∞
1
1 ∞
⋅ ∫ ∑ a κ ⋅ sin κ ⋅ ωg t ⋅ ∑ a λ ⋅ sin λ ⋅ ωg t ⋅ dt = ... = ⋅ ∑ a κ 2
5.
T t = 0 κ =1
2 κ =1
λ =1
(
(
))
(
(
))
2π
0 für : κ ≠ λ
1
wegen Orthogonalitätssatz: ⋅ ∫ sin(κx ) ⋅ sin(λx ) ⋅ dx = 1 für : κ = λ ≠ 0
π x =0
0 für : κ = λ = 0
T
6.
∞
∞
1
⋅ ∫ ∑ a κ ⋅ sin κ ⋅ ωg t ⋅ ∑ b λ ⋅ cos λ ⋅ ωg t ⋅ dt = ... = 0
T t = 0 κ =1
λ =1
(
(
))
(
(
2π
))
1
wegen Orthogonalitätssatz: ⋅ ∫ sin(κx ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx = 0
π x =0
T
7.
∞
1
⋅ ∫ ∑ b κ ⋅ cos κ ⋅ ωg t ⋅ U0 ⋅ dt = ... = 0
T t = 0 κ =1
(
(
))
(siehe 3.)
- 19 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
T
8.
∞
∞
1
⋅ ∫ ∑ b κ ⋅ cos κ ⋅ ωg t ⋅ ∑ a λ ⋅ sin λ ⋅ ωg t ⋅ dt = ... = 0
T t = 0 κ =1
λ =1
(
(
))
(
(
))
(siehe 6.)
T
9.
( )
∞
∞
1
1 ∞
⋅ ∫ ∑ b κ ⋅ cos κ ⋅ ωg t ⋅ ∑ b λ ⋅ cos λ ⋅ ωg t ⋅ dt = ... = ⋅ ∑ b κ 2
T t = 0 κ =1
2 κ =1
λ =1
(
(
))
(
(
))
2π
0 für : κ ≠ λ
1
wegen Orthogonalitätssatz: ⋅ ∫ cos(κx ) ⋅ cos(λx ) ⋅ dx = 1 für : κ = λ ≠ 0
π x =0
2 für : κ = λ = 0
Damit ergibt sich:
Ueff 2
(
1
+ ⋅ ∑ (Û )
2
)
+ ∑ (U
= U0 2 +
= U0 2
= U0 2
1 ∞
⋅ ∑ aκ2 + bκ2
2 κ =1
∞
∞
κ
κ =1
κ,eff
κ =1
2
2
Uκ,eff =
mit:
Ûκ
2
(der Effektivwert einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion ist deren Amplitude dividiert durch 2 ; vgl. 2.Trimester)
b) für den Strom
Nach analoger Rechnung erhält man:
1 ∞
Ι eff 2 = Ι 0 2 + ⋅ ∑ a' κ 2 +b' κ 2
2 κ =1
= Ι02
= Ι02
(
1
+ ⋅ ∑ (Ιˆ )
2
)
+ ∑ (Ι
∞
∞
κ =1
κ =1
mit:
)
κ
κ,eff
)
2
2
Ι κ,eff =
Ιˆ κ
2
Über das Verhältnis der Stromoberwellen zur Grundwelle ist bei einem periodischen
Stromverlauf der „Klirrfaktor“ k folgendermaßen definiert:
∑ (Ιˆ κ 2 )
∞
k2 =
κ=2
Ιˆ12
- 20 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
2) Wirkleistung PW :
Nach der bekannten Definition (vgl. 2.Trimester) wird die Wirkleistung berechnet:
T
PW
=
=
1
⋅ u(t ) ⋅ i(t ) ⋅ dt
T t =∫0
T
∞
∞

1
⋅ ∫  U0 + ∑ a κ ⋅ sin κ ⋅ ωg t + ∑ b κ ⋅ cos κ ⋅ ωg t
T t = 0 
κ =1
κ =1
(
(
))
(
(
)) ⋅
∞
∞

⋅  Ι 0 + ∑ a' λ ⋅ sin λ ⋅ ωg t + ∑ b' λ ⋅ cos λ ⋅ ωg t

λ =1
λ =1

(
(
))
(
(

)) ⋅ dt

= ...
Wie im Abschnitt vorher führt das Ausmultiplizieren des Integranden zu 9 Termen,
die sich u.a. mit den Orthogonalitätssätzen stark vereinfachen lassen. Nach analoger
Rechnung (und Anwendung eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen) erhält man:
1 ∞
PW = U0 ⋅ Ι 0 + ⋅ ∑ (a κ ⋅ a' κ +b κ ⋅ b' κ )
2 κ =1
(
)
1 ∞
= U0 ⋅ Ι 0 + ⋅ ∑ Ûκ ⋅ Ιˆ κ ⋅ (cos(ϕ κ ) ⋅ cos(ϕ' κ ) + sin(ϕ κ ) ⋅ sin(ϕ' κ ))
2 κ =1



1 ∞ 
= U0 ⋅ Ι 0 + ⋅ ∑  Ûκ ⋅ Ιˆ κ ⋅ cos(ϕ κ − ϕ' κ )
2 κ =1

ϕ UΙ,κ


= U0 ⋅ Ι 0 +
∞
∑ (Uκ,eff ⋅ Ι κ,eff ⋅ cos(ϕUΙ,κ ))
κ =1
ϕUΙ, κ ist dabei der Phasenwinkel zwischen Stromund Spannungsoberwelle gleicher Ordnung.
Anmerkungen:
Wenn u(t ) und i(t ) gegeben sind, so bildet man natürlich Ueff , Ι eff und PW
unter Verwendung der Orginalfunktionen in der ursprünglichen Form, d.h.
Ueff
2
T
1
= ⋅ ∫ u2 (t ) ⋅ dt
T t =0
Ι eff 2 =
T
1
⋅ ∫ i2 (t ) ⋅ dt
T t =0
T
PW
1
= ⋅ ∫ u(t ) ⋅ i(t ) ⋅ dt
T t =0
Es ist unnötiger Aufwand, zuerst nach Fourier zu entwickeln und dann die oben
abgeleiteten Formeln zu verwenden. Hat man die Fourierentwicklung aber aus
anderen Gründen bereits durchgeführt, so zeigen die obigen Beziehungen anschaulich:
Der Effektivwert ist die Wurzel aus der Quadratsumme der Effektivwerte
der einzelnen Harmonischen, inklusive U0 2 bzw. Ι 0 2 .
- 21 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Die Wirkleistung setzt sich zusammen aus den Teilwirkleistungen der
einzelnen Harmonischen Uκ,eff ⋅ Ι κ,eff ⋅ cos(ϕUΙ, κ ) , wie üblich gebildet,
einschließlich U0 ⋅ Ι 0 . Nur Spannungs- und Stromoberwellen gleicher
Ordnung tragen zu PW bei.
3) Scheinleistung PS :
Nach der bekannten Definition (vgl. 2.Trimester) wird die Scheinleistung berechnet:
PS = Ueff ⋅ Ι eff
Unter Verwendung von 1) kann man PS auch durch die Fourierkoeffizienten von u(t )
und i(t ) ausdrücken:
PS 2
= Ueff 2 ⋅ Ι eff 2
 ∞
  ∞

=  ∑ Uκ,eff 2  ⋅  ∑ Ι λ,eff 2 

 

 κ =0
  λ =0

 2 1 ∞


1 ∞
=  U0 + ⋅ ∑ Ûκ 2  ⋅  Ι 0 2 + ⋅ ∑ Ιˆ λ 2

 
2 κ =1
2 λ =1

 
(
)
(
( )
(

1 ∞
=  U0 2 + ⋅ ∑ a κ 2 + b κ 2

2 κ =1

)
( )

  2 1 ∞
 ⋅  Ι 0 + ⋅ ∑ a'λ 2 +b'λ 2
 
2 λ =1
 
)
(
)

4) Blindleistung PB :
Bei nichtsinusförmigen periodischen Signalen wird zwischen 2 Blindleistungsarten
unterschieden,
die „Feldblindleistung“ und
die „Verzerrungsblindleistung“.
4a) „Feldblindleistung“ PBF :
Zunächst wird, analog zur Wirkleistung, die sog. Feldblindleistung PBF gebildet. Die
Phasenverschiebung ϕUΙ, κ zwischen 2 Harmonischen gleicher Ordnung von Spannung und Strom hängt von den im Verbraucher enthaltenen Blindwiderständen ab.
Man definiert also (analog zur Blindleistungsdefinition im 2.Trimester; ohne U0 , Ι 0 ,
da in PW enthalten):
- 22 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
PBF
=
=
∞
∑ (PBF,κ )
κ =1
∞
∑ (Uκ,eff ⋅ Ι κ,eff ⋅ sin(ϕUΙ,κ ))
κ =1
=
=
=
(
)
1 ∞
⋅ ∑ Ûκ ⋅ Ιˆ κ ⋅ sin(ϕ κ − ϕ' κ )
2 κ =1
(
)
1 ∞
⋅ ∑ Ûκ ⋅ Ιˆ κ ⋅ (sin(ϕ κ ) ⋅ cos(ϕ' κ ) − cos(ϕ κ ) ⋅ sin(ϕ' κ ))
2 κ =1
1 ∞
⋅ ∑ (b κ ⋅ a' κ −a κ ⋅ b' κ )
2 κ =1
Man erkennt, daß PBF z.B. dann Null ist, wenn a κ und a' κ oder b κ und b' κ Null sind
(für alle κ), d.h. wenn Spannung und Strom gerade oder ungerade Funktionen sind.
4b) „Verzerrungsblindleistung“ PBV :
Wenn Spannung und Strom sinusförmig sind gilt bekanntlich:
PW = Ueff ⋅ Ι eff ⋅ cos(ϕUΙ ) → Wirkleistung
PB = Ueff ⋅ Ι eff ⋅ sin(ϕUΙ )
→ Blindleistung
PS = Ueff ⋅ Ι eff
→ Scheinleistung
Folglich gilt folgender Zusammenhang zwischen
den einzelnen Leistungen (der in nebenstehender Abbildung grafisch veranschaulicht ist):
PS 2 = PW 2 + PB 2
PS
PB
ϕUΙ
PW
Bei nichtsinusförmigen Spannungen und Strömen gilt dagegen
für die Wirkleistung
für die „Feldblindleistung“
für die Scheinleistung
PW =
PBF =
PS
2
∞
∑ (Uκ,eff ⋅ Ι κ,eff ⋅ cos (ϕUΙ,κ ))
κ =0
∞
∑ (Uκ,eff ⋅ Ι κ,eff ⋅ sin(ϕUΙ,κ ))
Nur Produkte
von Harmonischen gleicher
Ordnung
κ =0
(
 ∞
=  ∑ Uκ,eff 2

 κ =0
)
(
  ∞
 ⋅  ∑ Ι λ,eff 2
 
  λ =0
)




Auch Produkte
verschiedener
Ordnung
Um einen zu sinusförmigen Strömen und Spannungen analogen Zusammenhang
zwischen den einzelnen Leistungen zu gewinnen, werden die Quadrate der Leistungen benötigt:

  ∞
 ∞
PW 2 =  ∑ (Uκ,eff ⋅ Ι κ,eff ⋅ cos(ϕUΙ, κ )) ⋅  ∑ (Uλ,eff ⋅ Ι λ,eff ⋅ cos(ϕUΙ,λ ))

 


  λ =0
 κ =0
∞
∞

 

PBF 2 =  ∑ (Uκ,eff ⋅ Ι κ,eff ⋅ sin(ϕUΙ, κ )) ⋅  ∑ (Uλ,eff ⋅ Ι λ,eff ⋅ sin(ϕUΙ,λ ))

 


  λ =0
 κ =0
- 23 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
(
)
(
)

  ∞
 ∞
PS 2 =  ∑ Uκ,eff 2  ⋅  ∑ Ι κ,eff 2 

 


  κ=0
 κ=0
Man kann zeigen (langweilige Rechnung), dass im allgemeinen für nichtsinusförmige
periodische Ströme und Spannungen gilt:
PW 2 + PBF 2 ≤ PS 2
Über diese Ungleichung wird nun die „Verzerrungsblindleistung“ PBV definiert:
(
)
PBV 2 = PS 2 − PW 2 + PBF 2
Dieser Zusammenhang zwischen den einzelnen Leistungen bei nichtsinusförmigen
periodischen Strömen und Spannungen lässt sich nun, analog zu vorher, wieder grafisch veranschaulichen.
PBV
PS
PB
PBF
PW
Beispiel:
Es sei gegeben
die periodische sinusförmige Spannung
u(t ) = Û1 ⋅ sin(ωt ) = Û ⋅ sin(ωt ) ,
der periodische nichtsinusförmige (verzerrte) Strom
i(t ) = Ι 0 +
∞
∑ (Ιˆ κ ⋅ sin(ωt + ϕ' κ )) ,
κ =1
(bereits nach Fourier in seine sinusförmigen Bestandteile zerlegt)
Damit erhält man:
a) Scheinleistung:
(
∞

PS 2 = Ueff 2 ⋅ Ι eff 2 = U1,eff 2 ⋅  Ι 0 2 + ∑ Ι κ,eff 2

κ =1

b) Wirkleistung:
PW 2 = U1,eff 2 ⋅ Ι1,eff 2 ⋅ cos 2 (ϕ'1 )
c) Feldblindleistung:
PBF 2 = U1,eff 2 ⋅ Ι1,eff 2 ⋅ sin2 (ϕ'1 )
- 24 -
)

Keine Spannungsoberwellen
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
d) gesamte Blindleistung:
PB 2
= PS 2 − PW 2
(
∞
)
= U1,eff 2 ⋅ Ι 0 2 + U1,eff 2 ⋅ ∑ Ι κ,eff 2 − U1,eff 2 ⋅ Ι1,eff 2 ⋅ cos 2 (ϕ'1 )
κ =1
PW 2
PS 2
e) Verzerrungsblindleistung:
PBV 2
= PB 2 − PBF 2
= U1,eff 2 ⋅ Ι 0 2 + Ι 2,eff 2 + Ι 3,eff 2 + ...
(
)
Ι 1,eff 2 fehlt!
Wenn also die Spannung rein sinusförmig ist, dann gilt:
Aus Spannung und Grundwelle des Stromes → PW , PBF
Aus Spannung und den übrigen Harmonischen des Stromes → PBV
Aus Spannung und allen Harmonischen des Stromes → PS
Anmerkung:
Wäre außerdem ϕ'1 = 0 , d.h. die Grundwellen von Strom und Spannung in
Phase, so wäre PBF = 0 , d.h. PB = PBV (reine Verzerrungsblindleistung).
2.4 Fourierreihe in komplexer Darstellung
Wie bei sinusförmigen Vorgängen ist es auch bei nichtsinusförmigen periodischen
Vorgängen zweckmäßig, die reelle Rechnung durch die komplexe zu ersetzen. Hierdurch gewinnt die Fourier-Methode erst ihren wirklichen Wert. Man kann dann die
komplexe Behandlung von Wechselstromschaltungen (vgl. 2.Trimester) auch auf
nichtsinusförmige Vorgänge übertragen.
Dafür müssen die reellen Zeitfunktionen sin κ ⋅ ωg t und cos κ ⋅ ωg t durch die kom-
(
)
(
)
jκω t
plexe Exponentialfunktion e g ausgedrückt werden, und zwar sowohl in der Fourierreihe selbst als auch in den Formeln zur Berechnung der Fourierkoeffizienten a κ
und b κ .
Hierzu benutzt man die bekannten Umrechnungsformeln (Euler!):
e jα = cos(α ) + j ⋅ sin(α )
e − jα = cos(α ) − j ⋅ sin(α )
1
cos(α ) = ⋅ e jα + e − jα
⇒
2
1
sin(α ) = ⋅ e jα − e − jα
2j
(
(
)
)
Wichtige Anmerkung:
Im 2.Trimester wurde mit komplexen Zeitfunktionen gerechnet, d.h. statt mit
cos(ωt ) bzw. sin(ωt ) wurde mit e jωt = cos(ωt ) + j ⋅ sin(ωt ) gerechnet. (Um zur
- 25 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
reellen Darstellung zu gelangen musste der Realteil cos(ωt ) oder der Imaginärteil sin(ωt ) von e jωt betrachtet werden).
Hier sollen die reellen Funktionen erhalten bleiben. Man ersetzt also nicht
cos(ωt ) oder sin(ωt ) durch e jωt , sondern drückt cos(ωt ) und sin(ωt ) durch
e jωt aus:
(
(
)
)
1
⋅ e jα + e − jα
2
1
sin(α ) = ⋅ e jα − e − jα
2j
Hierdurch bleibt alles reell.
Man hätte dies übrigens im 2.Trimester auch so machen können.
Beispiel am komplexen Widerstand:
i(t )
i(t ) = A ⋅ cos(ωt )
A
=
⋅ e j ωt + e − j ωt
2
Reelle Zeitfunktion i(t ) , aber komplex angeschrieben,
u(t )
wobei e − jωt als e jωt mit „negativer“ Frequenz ω < 0
aufgefasst werden kann.
cos(α ) =
(
)
Z(ω)
Zu bestimmen ist nun die Spannung u(t ) (reell):
Wie bekannt ist der komplexe Widerstand :
Z(ω) = R(ω) + j ⋅ X(ω) = Z(ω) ⋅ e jϕ Z (ω)
Man kann leicht zeigen, daß
R(ω) = R(− ω)
gerade in ω
X(ω) = − X(− ω)
ungerade in ω
Folglich gilt
weil alles Funktionen
von „ jω “ sind
Z(ω) = R 2 (ω) + X 2 (ω) = Z(− ω)
gerade in ω
X(ω)
tan(ϕ Z (ω)) =
= − tan(− ϕ Z (ω))
R(ω)
ϕ Z (ω) = −ϕ Z (− ω)
ungerade in ω
oder insgesamt:
Z(− ω) = Z * (ω)
konjugiert komplex
Dann erhält man für die Spannung mit i(t ) = A ⋅ cos(ωt ) :
A j ωt
A
u(t ) =
⋅ e ⋅ Z(ω) + ⋅ e − jωt ⋅ Z(− ω)
2
2
A j ωt
A
=
⋅ e ⋅ Z(ω) ⋅ e jϕ Z (ω) + ⋅ e − jωt ⋅ Z(ω) ⋅ e − jϕ Z (ω)
2
2
A
j⋅ (ωt + ϕ Z (ω))
=
⋅ Z(ω) ⋅ e
+ e − j⋅(ωt + ϕ Z (ω))
2
= A ⋅ Z(ω) ⋅ cos(ωt + ϕ Z (ω))
(reell! )
(
)
Analog zu diesem Beispiel wird nun bei der Fourierreihe vorgegangen. Zweckmäßig
ist vorher eine kleine Umformung. Damit sin κ ⋅ ωg t und cos κ ⋅ ωg t nicht extra in der
(
- 26 -
)
(
)
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
jκω t
− jκω t
g
Reihe und in den Koeffizienten durch e g und e
ausdrücken werden müssen,
werden die Formeln für die Koeffizienten vorher in die Reihe eingesetzt. Es muß
dann allerdings unterschieden werden zwischen der laufenden Variablen x = ωgt (in
der Reihe) und der Integrationsvariablen ξ = ωg τ (in den Koeffizienten), also:
f (x ) = b 0 +
∞
∞
∑ (a κ ⋅ sin(κx )) + ∑ (b κ ⋅ cos(κx ))
κ =1
κ =1
2π
mit:
aκ =
1
⋅ f (ξ ) ⋅ sin(κξ) ⋅ dξ
π ξ =∫ 0
bκ =
1
⋅ f (ξ ) ⋅ cos(κξ) ⋅ dξ
π ξ =∫ 0
b0 =
1
⋅ f (ξ ) ⋅ dξ
2π ξ =∫ 0
2π
Dieselben Integrale wie bisher,
nur x durch ξ formal ersetzt,
wegen des folgenden Einsetzens!
2π
Nun werden die Koeffizienten in die Reihe eingesetzt:
f (x ) =
f (x ) =
=
2π
1
⋅ f (ξ ) ⋅ dξ +
2π ξ =∫ 0
2π

1 ∞ 
+ ⋅ ∑ sin(κx ) ⋅ ∫ f (ξ ) ⋅ sin(κξ) ⋅ dξ  +

π κ =1
ξ =0


π
2

1 ∞ 
+ ⋅ ∑  cos(κx ) ⋅ ∫ f (ξ ) ⋅ cos(κξ) ⋅ dξ 

π κ =1
ξ=0


2π
2π

1
1 ∞ 
⋅ ∫ f (ξ ) ⋅ dξ + ⋅ ∑  ∫ f (ξ ) ⋅ (sin(κx ) ⋅ sin(κξ) + cos(κx ) ⋅ cos(κξ)) ⋅ dξ 

π κ =1 ξ = 0
2π ξ = 0


2π

∞  2π
1
1
⋅ ∫ f (ξ ) ⋅ dξ + ⋅ ∑  ∫ f (ξ ) ⋅ cos(κ ⋅ (x − ξ )) ⋅ dξ 

π κ =1 ξ = 0
2π ξ = 0


Man Beachte:
x ist im Integral Parameter, d.h. wird von der Integration nicht betroffen, denn
die Integrationsvariable heißt ξ .
Nun erfolgt der Übergang zur komplexen Darstellung. Es ist
1
cos(κ ⋅ (x − ξ )) = ⋅ e jκ ⋅(x − ξ ) + e − jκ⋅(x − ξ )
2
und damit:
 2π
 ∞  2π

∞  2π
1 

jκ ⋅ ( x − ξ )
− jκ ⋅ ( x − ξ )



⋅  ∫ f (ξ ) ⋅ dξ + ∑ ∫ f (ξ ) ⋅ e
⋅ dξ + ∑ ∫ f (ξ ) ⋅ e
⋅ dξ  
f (x ) =




2π  ξ = 0

κ =1 ξ = 0
 κ =1 ξ = 0


Für das letzte Glied kann man auch schreiben:


∞  2π
−1  2 π
 f (ξ ) ⋅ e − jκ ⋅(x − ξ ) ⋅ dξ  =
 f (ξ ) ⋅ e jκ ⋅(x − ξ ) ⋅ dξ 
∑ ∫
 ∑  ∫

κ =1 ξ = 0
 κ = −∞  ξ = 0

So kann man alle drei Glieder der Reihe (auch b 0 für κ = 0 ) zusammenfassen:
(
)
- 27 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge

∞  2π
1
⋅ ∑  ∫ f (ξ ) ⋅ e jκ ⋅(x − ξ ) ⋅ dξ 
f (x ) =

2π κ = −∞  ξ = 0


Durch Herausziehen des von der Integration nicht betroffenen Faktors e jκx gelangt
man zu folgender Form:





∞   2π

1
⋅ ∑   ∫ f (ξ ) ⋅ e − jκξ ⋅ dξ  ⋅ e jκx 
f (x ) =

2π κ = −∞   ξ = 0





Aκ


Das Integral unter dem Summenzeichen nennt man den komplexen Fourierkoeffizienten A κ .
Auf diese Art erhält man die reelle Fourier-Reihe in komplexer Darstellung ( f (x ) ist
nach wie vor reell!):
∑ (A κ ⋅ e jκx )
∞
f (x ) =
κ = −∞
2π
mit:
Aκ =
1
⋅ ∫ f (ξ ) ⋅ e − jκξ ⋅ dξ
2π ξ = 0
Für Zeitfunktionen ergibt sich mit x = ωg t und ξ = ωg τ (vgl. Fourierreihe in reeller
Darstellung):
f (t ) =
∞
 A ⋅ e jκωg t 
 κ

κ = −∞
∑
T
mit:
1
− jκωg τ
A κ = ⋅ ∫ f (τ ) ⋅ e
⋅ dτ
T τ=0
(Man könnte jetzt natürlich, in der getrennten Darstellung, bei den Integralen ξ und
τ wieder durch x und t ersetzen).
Zusammenhang zwischen komplexen und reellen Fourierkoeffizienten:
Die Formel zur Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten lässt sich folgendermaßen umformen
2π
Aκ
=
1
⋅ f (ξ ) ⋅ e − jκξ ⋅ dξ
2π ξ =∫0
=
1
⋅ f (ξ ) ⋅ (cos(κξ) − j ⋅ sin(κξ)) ⋅ dξ
2π ξ =∫0
2π
1
⋅ (b κ − j ⋅ a κ )
2
oder formal für negative κ :
=
2π
A−κ
=
1
⋅ f (ξ ) ⋅ (cos(κξ) + j ⋅ sin(κξ)) ⋅ dξ
2π ξ =∫0
=
1
⋅ (b κ + j ⋅ a κ )
2
- 28 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Daraus ergeben sich die folgenden Eigenschaften für komplexe bzw. reelle Fourierkoeffizienten:
A − κ = A κ*
(konjugiert komplex)
b− κ = bκ
(gerade in κ )
a − κ = −a κ
(ungerade in κ )
Außerdem:
A 0 = b0
Umgekehrt ergibt sich:
bκ = A κ + A −κ
a κ = j ⋅ (A κ − A − κ )
Man kann auch wieder die c κ einführen:
a κ = c κ ⋅ cos(ϕ κ )
b κ = c κ ⋅ sin(ϕ κ )
1
Aκ =
⇒
⋅ (b κ − j ⋅ a κ )
2
1
=
⋅ c κ ⋅ (sin(ϕ κ ) − j ⋅ cos(ϕ κ ))
2
1
= − j ⋅ ⋅ c κ ⋅ (cos(ϕ κ ) + j ⋅ sin(ϕ κ ))
2
1
= − j ⋅ ⋅ c κ ⋅ e jϕ κ
2
1
A − κ = A κ * = j ⋅ ⋅ c κ ⋅ e − jϕ κ
2
So kann man sich aus der komplexen Darstellung der Fourierreihe wieder die reelle
Darstellung zusammensetzen:
f (x ) =
=
=
∑ (A κ ⋅ e jκx )
∞
κ = −∞
−1
∑ (A
κ = −∞
∞
)
∞
(
jκx
+ A 0 + ∑ A κ ⋅ e jκx
κ ⋅e
κ =1
∞
)
∑ (A − κ ⋅ e − jκx ) + A 0 + ∑ (A κ ⋅ e jκx )
κ =1
κ =1
∞
= b0 + ∑ (A κ ⋅ (cos(κx ) + j ⋅ sin(κx )) + A − κ ⋅ (cos(κx ) − j ⋅ sin(κx )))
κ =1

 ∞





= b0 + ∑  (A κ + A − κ ) ⋅ cos(κx ) + ∑  j ⋅ (A κ − A − κ ) ⋅ sin(κx )
 κ =1

κ =1
bκ
aκ




∞
Anmerkung:
Auch beim komplexen Fourierkoeffizienten A κ darf das Integrationsintervall
beliebig verschoben werden, also z.B.:
π
1
Aκ =
⋅ ∫ f (ξ ) ⋅ e − jκξ ⋅ dξ
2π ξ = − π
- 29 -
Periodische nichtsinusförmige Vorgänge
Verkürzte Integration aufgrund von Symmetrieeigenschaften ist nur bei den
reellen Koeffizienten a κ und b κ möglich, nicht bei den komplexen Koeffizienten A κ .
Veranschaulichung eines Linienspektrums in reeller und komplexer Darstellung:
1
b = 2 ⋅ Re{ A κ } gerade in κ
A κ = ⋅ (b κ − j ⋅ a κ ) ⇔  κ
2
a κ = −2 ⋅ Im{ A κ } ungerade in κ
b1
Re{ A κ }
b2
A 0 = b0
b3
−4
−3
−2
−1
0
1
2
a2
Im{ A κ }
3
4
κ
a3
a1
Anmerkung:
Man hätte die komplexen Koeffizienten A κ auch ohne den Umweg über die
reelle Darstellung der Reihe mit Hilfe der Orthogonalitätssätze für die komplexe e-Funktion gewinnen können:
Ansatz:
f (x ) =
∑ (A κ ⋅ e jκx )
∞
κ = −∞
2π
2π
∞ 

1
1
− jλx

⋅ ∫ f (x ) ⋅ e
⋅ dx =
⋅ ∑ A κ ⋅ ∫ e − j⋅(κ − λ )⋅ x ⋅ dx  = A λ

2π x = 0
2π κ = −∞ 
x =0


- 30 -
Nichtperiodische Vorgänge
3 Nichtperiodische Vorgänge
Im vorangegangenen Kapitel wurden periodische nichtsinusförmige Funktionen nach
Fourier zerlegt. Das Resultat waren Reihendarstellungen, in reeller oder komplexer
Schreibweise. Jede Oberwelle hat ihre Amplitude (und Phase), wobei reelle oder
komplexe Darstellung möglich ist. Trägt man die Fourierkoeffizienten über der Frequenz auf, so erhält man ein „Linienspektrum“, diskrete Frequenzen bzw. diskrete
Spektrallinien (diskontinuierliches Spektrum).
Im anschließenden Kapitel wird nun die Analyse nichtperiodischer Vorgänge behandelt. Es wird sich zeigen, daß auch solche Vorgänge als Überlagerung periodischstationärer Schwingungen aufgefasst werden können. Man erhält dann anstatt der
Reihe (Summe) ein Integral (das sog. Fourierintegral). Das Spektrum wird dann kontinuierlich (wobei dann allerdings anstatt der komplexen Amplituden im Spektrum die
sogenannte „Spektralfunktion“ = Amplitude/Frequenzintervall eingeführt wird).
Man gelangt zum Fourierintegral von der Reihe aus durch Grenzübergang. Sinnvollerweise wird bei diesem Grenzübergang gleich von der komplexen Fourierreihe ausgegangen; man gelangt so sofort zum Fourierintegral in komplexer Darstellung (die
komplexe Schreibweise ist viel universeller und brauchbarer). Der Vollständigkeit
halber wird in einem späteren Kapitel auch die reelle Darstellung des Fourierintegrals
gezeigt.
3.1 Das komplexe Fourierintegral
Für eine periodische (hier reell angenommene) Zeitfunktion fP (t ) (Periodendauer T)
ist die Fourierreihe in komplexer Darstellung bekannt:
fP (t ) =
∞
 A ⋅ e jκωg t 
 κ

κ = −∞
∑
mit:
Aκ =
1
⋅
T
T
2
∫ fP (τ) ⋅ e
τ=−
− jκωg τ
⋅ dτ
T
2
T
T
≤τ≤
verschoben; dies ist natürlich er2
2
laubt; es muß lediglich über eine Periodendauer der Zeitfunktion integriert werden).
(Das Integrationsintervall wurde nach −
Nun soll in ähnlicher Weise eine nichtperiodische Funktion f (t ) zerlegt werden. Das
ist tatsächlich möglich. Auch nichtperiodische Vorgänge (instationäre Vorgänge, einzelne Impulse, Schaltvorgänge) können als Überlagerung von periodisch stationären
Schwingungen aufgefaßt werden. Man muß dabei allerdings aufpassen.
Zunächst primitiv gesagt: Man faßt einfach einen nichtperiodischen Vorgang als einen periodischen Vorgang mit unendlicher Periodendauer ( T → ∞ ) auf. Dann wird
2π
aber natürlich die Grundfrequenz ωg =
unendlich klein, und die FourierkoeffizienT
1
ten ⋅ ∫ ... ebenfalls.
T
In 7 Schritten wird im folgenden gezeigt, wie man vorgehen muß; jedenfalls ist ein
Grenzübergang notwendig.
- 31 -
Nichtperiodische Vorgänge
1.Schritt
Gegeben ist die (reelle) nichtperiodische Zeitfunktion f (t ) , definiert im ganzen Zeitbereich − ∞ < t < ∞ .
∞
Es soll ferner gelten:
∫ f (t ) ⋅ dt < ∞
(Konvergenz des Integrals;
hinreichend!)
t = −∞
2.Schritt
Man wählt willkürlich eine Periodendauer T und betrachtet nur denjenigen Teil von
T
T
liegt. Durch periodische Fortsetzung dieses Teils
f (t ) , der im Bereich − < t <
2
2
erhält man eine periodische Ersatzfunktion fP (t ) = fP (t ± n ⋅ T ) mit n = 1,2,3... . Im InterT
T
gilt also:
vall − < t <
2
2
T
T
 T
 T
fP  − < t <  ≡ f  − < t < 
2
2
 2
 2
T
fP (t )
f (t )
0
−
T
2
0
T
2
t
3.Schritt
Es wird nun Grundfrequenz der Ersatzfunktion fP (t ) mit ωg bezeichnet, wie bisher:
2π
T
Dann kann fP (t ) in eine komplexe Fourierreihe entwickelt werden:
ωg =
fP (t ) =
∞
 A ⋅ e jκωg t 
 κ

κ = −∞
∑
- 32 -
Nichtperiodische Vorgänge
mit:
=
Aκ
=
Im Intervall −
1
⋅
T
1
⋅
T
T
2
∫ fP (τ) ⋅ e
τ=−
T
2
⋅ dτ
T
2
∫ f (τ) ⋅ e
τ=−
− jκωg τ
− jκωg τ
⋅ dτ
T
2
T
T
<τ<
braucht man ja nicht zwischen f (τ) und fP (τ) zu unterschei2
2
den.
Diese Reihe stellt also die periodische Funktion fP (t ) dar, die im Grundintervall mit
der gegebenen Funktion f (t ) übereinstimmt.
4.Schritt
Die Reihe bzw. die Koeffizienten werden nun ein bißchen umgeschrieben:
Es gilt:
2π
ωg =
(Grundfrequenz), und wir nennen
T
κ ⋅ ωg = ωκ (Frequenz der Harmonischen „Nr. κ “)
Der Abstand der Frequenzen zweier benachbarter Harmonischen ist
2π
∆ω = ω κ +1 − ω κ = (κ + 1) ⋅ ωg − κ ⋅ ωg = ωg =
T
Die Gleichung zur Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten lässt sich damit
folgendermaßen umschreiben:
Aκ
=
1
⋅
T
T
2
∫ f (τ) ⋅ e
τ=−
= ∆ω ⋅
= ∆ω ⋅
T
2
1
⋅
2π
− jκωg τ
T
2
∫ f (τ) ⋅ e
τ=−
⋅ dτ
− jω κ τ
⋅ dτ
T
2
1
⋅ F T (ω κ )
2π
mit:
F T (ω κ ) =
T
2
∫ f (τ) ⋅ e
− jω κ τ
T
τ=−
2
⋅ dτ
Außerdem gilt für die Fourierreihe der periodischen Ersatzfunktion fP (t ) in komplexer
Darstellung:

∞ 

1
jκωg t 
⋅ ∑  F T (ω κ ) ⋅ ∆ω ⋅ e
fP (t ) =

2π κ = −∞ 

 = 2π⋅ A κ

- 33 -
Nichtperiodische Vorgänge
Es werden nun die Werte F T (ωκ ) als spezielle Werte der in ω stetigen Funktion
F T (ω) interpretiert:

 T

 2
F T (ω κ ) =  ∫ f (τ ) ⋅ e − jωτ ⋅ dτ
= { F T (ω) }ω = ω
κ

 T
τ
=
−
 ω = ω
 2
κ
5.Schritt
Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird bei dieser Veranschaulichung von einer reellen und geraden Zeitfunktion ausgegangen. Das Spektrum ist dann nämlich auch
reell und gerade (siehe Kap.3.3). Die Allgemeingültigkeit der Theorie wird hiervon
nicht berührt.
Es wird nun das Spektrum von fP (t ) betrachtet. Anstelle der diskreten Linien (Höhe
Re{ A κ } bzw. Im{ A κ } ) werden Rechtecke (Breite ∆ω , Höhe Re{FT } bzw. Im{F T } )
gezeichnet:
Re{ A κ }
∆ω
− ω2
− ωg
Re{FT (ω)}
stetig
2π
„Spektralfunktion“
0
ωg
ω2
ω κ +1
ω
Re{FT (ωκ )}
2π
Treppenfunktion
Re{F T }
2π
Re{ A 1}
ωκ
0
ω1
ω2
ω3
∆ω
∆ω
∆ω
∆ω
ω
(Die Rechtecke sind hier symmetrisch zu ω κ gezeichnet)
Die gesamte (noch periodische) Zeitfunktion fP (t ) erhält man durch die gewohnte
Reihenbildung nach Multiplikation der Glieder mit dem Zeitfaktor e
- 34 -
jκωg t
= e jω κ t
Nichtperiodische Vorgänge
fP (t ) =
( {
∞
1
⋅ ∑ Re F T (ω) ⋅ e jωt
2π ω = −∞
}
ω= ωκ
)
⋅ ∆ω = Re{ fP (t )} = fP (t )
κ
wogegen natürlich hier gelten muß ( f ( t ) auch gerade!):
  gerade


∞ 

1


⋅ ∑  Im  FT ( ω) ⋅ e jωt 
⋅ ∆ω  = Im { fP ( t )} = 0
2π ω =−∞  


κ
 
ω=ωκ


Allgemein fRu ( t )
Wenn FT ( ω) ungerade in ω ist,
dann gibt’s auch ein fRu ( t ) !
da ja von einer reellen und geraden Zeitfunktion f (t ) ausgegangen wurde. Es ist also:
fP (t ) =
({
∞
1
⋅ ∑
F T (ω) ⋅ e jωt
2π ω = −∞
}
ω= ωκ
)
⋅ ∆ω
κ
6.Schritt
Bis jetzt noch nichts Neues. Es wurde die periodische Ersatzfunktion fP (t ) (die mit
f (t ) im Grundintervall übereinstimmt) in eine komplexe Fourierreihe entwickelt.
Um nun aber die gegebene Funktion f (t ) ganz zu erfassen, muß der Grenzübergang
T → ∞ vorgenommen werden. Dabei passiert dreierlei:
Die ganze Funktion f (t ) wird erfaßt ( − ∞ < t < ∞ ).
Die stetige Funktion F T (ω) (Höhe der Rechtecke) ändert sich durch die
Erweiterung des Integrationsbereichs nach Maßgabe des Verlaufs von f (t ) :
lim { FP (ω)} =
T →∞
∞
∫ f (τ) ⋅ e
− jωτ
⋅ dτ = F(ω)
τ = −∞
Für festes ω strebt F T (ω) für T → ∞ einem Grenzwert zu, wenn f (t ) für große t
hinreichend verschwindet. Dies ist der Fall, wenn f (t ) die in Schritt 1 erwähnte
Bedingung erfüllt:
∞
∫ f (t ) ⋅ dt < ∞
(konvergent; hinreichend!)
t = −∞
Die Summe für fP (t ) geht über in ein Integral für f (t ) . Für T → ∞ wird
2π
aus ∆ω =
→ dω und es gilt:
T
 ∞

1
lim { fP (t )} = f (t ) =
⋅ lim  ∑
F T (ω) ⋅ e jωt ω = ω ⋅ ∆ω 
κ
T →∞
2π ∆ω→ 0ω = −∞

 κ
∞
1
=
⋅ ∫ F(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
2π ω = −∞
({
- 35 -
}
)
Nichtperiodische Vorgänge
Letzteres ergibt sich aus der Definition des bestimmten Integrals:


(
)
(
(
)
)
f
x
dx
lim
f
x
x
⋅
=
⋅
∆


∑ ν
∫
∆x → 0  ( )

B
(B )

7.Schritt
Damit lässt sich nun das Fourierintegral-Theorem zusammenfassen:
Eine nichtperiodische Funktion f (t ) , die der Bedingung
∞
∫ f (t ) ⋅ dt < ∞
(konvergent)
t = −∞
genügt, kann dargestellt werden durch:
∞
1
f (t ) =
⋅ ∫ F(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
2π ω = −∞
F(ω) =
mit:
∞
∫ f (τ) ⋅ e
− jωτ
⋅ dτ
τ = −∞
Zeitfunktion
Spektralfunktion
Symbol:
f (t )
F(ω)
Zusammenfassend angeschrieben in Form des Fourier’schen Doppelintegrals:
f (t ) =
∞
∞
1
⋅ ∫
f (τ ) ⋅ e jω⋅(t − τ ) ⋅ dτ ⋅ dω
∫
2π ω = −∞ τ = −∞
Veranschaulichung:
f (t ) kann interpretiert werden als Überlagerung von ∞ vielen „Teilschwingungen“:
1
( ∞ kleine) komplexe Amplituden ( F(ω) ⋅ dω )
⋅ F(ω) ⋅ dω ⋅ e jωt
2π
Zeitfaktor
"dA "
F(ω) ist also eine „Spektraldichte“.
z.B.: Reelles F(ω) (das ist so, wenn f (t ) gerade und reell ist):
F(ω)
2π
„Amplitude“:
1
⋅ F(ω) ⋅ dω
2π
ω
dω
- 36 -
Nichtperiodische Vorgänge
Wenn beispielsweise f (t ) in [Volt] gegeben ist (Zeitverlauf einer Spannung), dann
 Volt 
erhält man für F(ω) die Einheit [Volt⋅sec] oder 
.
 Hz 
Anmerkung:
f (t ) ist Parameter-Integral (t ist Parameter, ω ist Integrationsvariable). Daher
ist auch eine geschlossene Darstellung unstetiger (stückweise zusammengesetzter) Funktionen möglich.
3.2 Reelle Darstellung des Fourierintegrals
Ebenso wie bei der Fourierreihe ist natürlich auch beim Fourierintegral eine reelle
Darstellung möglich. Bei der Reihe erfolgte der Übergang von der reellen zur komplexen Darstellung. Hier wird nun von der komplexen Darstellung des Integrals zur
reellen Darstellung zurückgekehrt, indem man e jα durch cos(α ) und sin(α ) ausdrückt .
„Komplexe Darstellung“: Entwicklung nach komplexen Funktionen ( e jα )
„Reelle Darstellung“:
Entwicklung nach reellen Funktionen
( cos(α ) , sin(α ) )
Anmerkung:
Es sollen hier nur reelle Zeitfunktionen betrachtet werden. f (τ) darf aber
durchaus komplex sein. Dann erhält man auch in der „reellen“ Darstellung
komplexe Spektralfunktionen bzw. Fourierkoeffizienten.
Ausgangspunkt ist das Fourier’sche Doppelintegral in komplexer Darstellung:
f (t ) =
∞
1
⋅ F(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
2π ω =∫−∞
=
∞  ∞

1
⋅ ∫  ∫ f (τ ) ⋅ e − jωτ ⋅ dτ  ⋅ e jωt ⋅ dω

2π ω = −∞  τ = −∞

=
1
⋅ ∫
f (τ ) ⋅ e jω⋅(t − τ ) ⋅ dτ ⋅ dω
∫
2π ω = −∞ τ = −∞
∞
∞
Die komplexe Exponentialfunktion im Integranden wird nun durch Sinus- und Kosinusfunktion ausgedrückt:
e jω⋅(t − τ ) = cos(ω ⋅ (t − τ )) + j ⋅ sin(ω ⋅ (t − τ ))
Man erhält damit:



 ∞
∞
∞


1
f (t ) =
⋅ ∫  ∫ f (τ) ⋅ cos(ω ⋅ (t − τ)) ⋅ dτ + j ⋅ ∫ f (τ) ⋅ sin(ω ⋅ (t − τ )) ⋅ dτ  ⋅ dω
2π ω = −∞  τ = −∞
τ = −∞



gerade in ω
ungerade in ω


- 37 -
Nichtperiodische Vorgänge
Wegen der Symmetrieeigenschaften bzgl. ω verschwindet das 2.Integral bei der
∞
Integration über ω; das 1.Integral lässt sich zu 2 ⋅
∫ … verkürzen. Man erhält also:
ω= 0


1
⋅ ∫  ∫ f (τ ) ⋅ cos(ω ⋅ (t − τ )) ⋅ dτ  ⋅ dω

π ω = 0  τ = −∞


= ... (mit Additionstheorem) ...
∞  
∞

1


2 ⋅ ∫ f (τ) ⋅ cos(ωτ) ⋅ dτ  ⋅ cos(ωt ) +
=
⋅ ∫

2π ω = 0   τ = −∞

 
∞





+ 2 ⋅ ∫ f (τ) ⋅ sin(ωτ) ⋅ dτ ⋅ sin(ωt )  ⋅ dω


 τ = −∞


∞
f (t ) =
∞
∞
∞
1
1
⋅ ∫ a ( ω) ⋅ sin ( ωt ) ⋅ dω +
⋅
f (t) =
b ( ω) ⋅ cos ( ωt ) ⋅ dω
2π ω= 0
2π ω=∫ 0
mit:
∞
a(ω) = 2 ⋅
b(ω) = 2 ⋅
∫ f (τ) ⋅ sin(ωτ) ⋅ dτ
τ = −∞
∞
∫ f (τ) ⋅ cos(ωτ) ⋅ dτ
τ = −∞
Dies ist die reelle Darstellung des Fourierintegrals. Bei reellen Zeitfunktionen f (τ)
sind a(ω) und b(ω) wieder reelle Spektralfunktionen.
Der Zusammenhang mit der komplexen Spektralfunktion
F(ω) =
∞
∫ f (τ) ⋅ e
− jωτ
∞
⋅ dτ =
τ = −∞
∫ f (τ) ⋅ (cos(ωτ) − j ⋅ sin(ωτ)) ⋅ dτ
τ = −∞
ist wieder (wie bei der Reihe):
1
F(ω) = ⋅ (b(ω) − j ⋅ a(ω))
2
Anmerkung:
Die komplexe Darstellung ist eleganter und brauchbarer als die reelle, da Methoden der komplexen Integration, z.B. Residuensätze direkt anwendbar sind.
3.3 Zuordnungssatz und Symmetrieeigenschaften
„Zuordnungssatz“
Im allgemeinsten Fall können sowohl Zeitfunktion f (t ) als auch Spektralfunktion F(ω)
komplex sein. Dabei können sowohl Real- als auch Imaginärteil einen in t bzw. in ω
„geraden“ oder/und einen „ungeraden“ Anteil haben.
G(− x ) = G(x )
„Gerade Funktion“:
„Ungerade Funktion“:
U(− x ) = −U(x )
- 38 -
Nichtperiodische Vorgänge
Es soll bedeuten:
Rg:
Ru:
Ig:
Iu:
Dann gilt, wie man
Zuordnungssatz:
f (t )
Realteil, gerade
Realteil, ungerade
Imaginärteil, gerade
Imaginärteil, ungerade
sofort aus den Formeln für F(ω) , a(ω) , b(ω) sieht, der folgende
=
fRg (t )
+
fRu (t )
+
F(ω) = FRg (ω) + FRu (ω) +
j ⋅ fIg (t )
+
j ⋅ fIu (t )
j ⋅ FIg (ω) +
j ⋅ FIu (ω)
z.B. gilt also:
Das Spektrum einer reellen Zeitfunktion hat immer einen in ω geraden Realteil und
ungeraden Imaginärteil, d.h.
F(− ω) = F * (ω)
für reelles f (t )
oder
f (t ) reell, gerade
f (t ) reell, ungerade
oder
F(ω) reell, gerade
F(ω) imaginär, ungerade
f (t ) gerade
f (t ) ungerade
F(ω) gerade
F(ω) ungerade
Verkürzte Integration bei Symmetrieeigenschaften
(1)
f (t ) gerade, d.h. f (t ) = fg (t ) = fg (− t )
⇒
F(ω) =
1
⋅ b(ω)
2
a(ω) = 0
b(ω) = 4 ⋅
∞
∫ f (τ) ⋅ cos(ωτ) ⋅ dτ
τ =0
(2)
f (t ) ungerade, d.h. f (t ) = fu (t ) = −fu (− t )
1
F(ω) = − j ⋅ ⋅ a(ω)
⇒
2
b(ω) = 0
a(ω) = 4 ⋅
∞
∫ f (τ) ⋅ sin(ωτ) ⋅ dτ
τ =0
Anmerkung:
Symmetrieeigenschaften sind nicht nutzbar für F(ω) selbst.
- 39 -
allgemein
Nichtperiodische Vorgänge
3.4 Berechnung von Spektralfunktionen und Herleitung von Rücktransformationsformeln
Bei gegebenem f (t ) (auch stückweise zusammengesetzt) ist es grundsätzlich einfach, das zugehörige F(ω) zu berechnen. Umgekehrt aber bildet der Übergang
F(ω)
f (t )
(„Rücktransformation“)
zunächst Schwierigkeiten, da ja das Rücktransformationsintegral (Parameterintegral
mit t als Parameter)
∞
1
⋅ ∫ F ( ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
f (t) =
2π ω=−∞
die geschlossene Darstellung einer stückweise zusammengesetzten Zeitfunktion sein
kann, die dann wieder original herauskommen muß.
Mangels Stoffkenntnissen in Funktionentheorie kann hier leider nicht die mathematische Herleitung gebracht werden. Es bietet sich demnach die folgende Vorgehensweise an: Man kennt ja das (gegebene) f (t ) , das nach Hin- und Rücktransformation
wieder herauskommen muß. Auf diese Weise lassen sich für einige wesentliche Zeitfunktionen die wichtigsten Rücktransformationsformeln herleiten, die man bei Schaltvorgängen immer wieder braucht.
1.Beispiel (Einschaltvorgang)
f (t )
Die folgende, in Tabellenform angeschriebene, Zeitfunktion f (t ) sei gegeben:
Für die dazugehörige Spektralfunktion
F(ω) erhält man dann:
∞
∫ f (t ) ⋅ e
t = −∞
∞
= E⋅
− jωt
t<0
−βt
t>0
∫e
− ( jω + β )⋅ t
Substitution:
z = ( jω + β ) ⋅ t
dz
= jω + β
dt
t=0 → z=0
t=∞ → z=∞
⋅ e − jωt ⋅ dt
z
t =0
0
⋅ dt
∫e
t =0
∞
= E⋅
E ⋅ e −β t
für : t < 0
für : t > 0
0
f (t ) = 
− βt
E ⋅ e
F(ω) =
E
⋅ dt
∞
1
= E⋅
⋅ ∫ e − z ⋅ dz
β + jω z = 0
∞
1
1
E
1
= E⋅
⋅ − e− z 0
= E⋅
=
⋅
β + jω
β + jω
j ω − jβ
[
]
oder
- 40 -
t
Nichtperiodische Vorgänge

ω 
β
F(ω) = E ⋅  2
− j⋅ 2
2
ω + β 2 
ω +β
Die „Hintransformation“
F(ω)
f (t )
stellt, wie erwartet, kein Problem dar. Doch jetzt zur „Rücktransformation“:
F(ω)
f (t )
Diese Umkehrung muß natürlich wieder das ursprüngliche f (t ) ergeben. Man kann
also (ohne irgendwas zu rechnen) sofort hinschreiben:
∞
∞
1
E
e jωt
0
jωt
f (t ) =
⋅ ∫ F(ω) ⋅ e ⋅ dω =
⋅ ∫
⋅ dω = 
− βt
2π ω = −∞
2πj ω = −∞ ω − jβ
E ⋅ e
für : t < 0
für : t > 0
Das Parameterintegral (t=Parameter) „zerplatzt“ in die Tabelle.
Aus diesem Beispiel läßt sich folgende allgemeine Rechenregel (für die Rücktransformation) ableiten:
Ist eine komplexe Zeitfunktion gegeben ( ων : fest)
0
f (t ) =  jων t
e
für : t < 0
für : t > 0
ων = Ω + j β
wobei Im{ ων } = β > 0 sein muß
so ergibt sich für die zugehörige Spektralfunktion (entsprechend Beispiel 1: E = 1,
ων = jβ , β = − jων )
mit:
F(ω) =
∞
∫e
− j⋅(ω−ων )⋅t
t =0
1
1
⋅ dt = ⋅
j ω − ων
und die Rücktransformation liefert die wichtige Formel:
∞
1
e jωt
0
⋅ ∫
⋅ dω =  jων t
2πj ω=−∞ ω − ων
e
für : t < 0
für : t > 0
mit:
Im{ ων } > 0
(wegen Konvergenz!)
2.Beispiel (Abschaltvorgang)
f (t )
Die folgende, in Tabellenform angeschriebene, Zeitfunktion f (t ) sei gegeben:
βt

f (t ) = E ⋅ e
0
E
E ⋅ eβ t
für : t < 0
für : t > 0
Für die dazugehörige Spektralfunktion
F(ω) erhält man dann:
t<0
- 41 -
0
t>0
t
Nichtperiodische Vorgänge
∞
F(ω) =
∫ f (t ) ⋅ e
t = −∞
0
∫e
= E⋅
t = −∞
0
= E⋅
∫e
βt
− jωt
⋅ dt
Substitution:
z = (− jω + β ) ⋅ t
dz
= − jω + β
dt
t = −∞ → z = −∞
t=0 → z=0
⋅ e − jωt ⋅ dt
z
(− jω+ β )⋅ t ⋅ dt
t = −∞
0
1
= E⋅
⋅ ∫ e z ⋅ dz
β − jω z = −∞
0
1
1
E
1
= E⋅
⋅ ez −∞
= E⋅
= − ⋅
β − jω
β − jω
j ω + jβ
Analog zu Beispiel 1 muß die Umkehrung natürlich wieder das ursprüngliche f (t ) ergeben. Man kann also sofort hinschreiben (für β > 0 ):
[ ]
∞
∞
βt
1
E
e jωt

f (t ) =
⋅ ∫ F(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω = −
⋅ ∫
⋅ dω = E ⋅ e
2π ω = −∞
2πj ω = −∞ ω + jβ
0
für : t < 0
für : t > 0
Aus diesem Beispiel läßt sich folgende allgemeine Rechenregel (für die Rücktransformation) ableiten:
Ist eine komplexe Zeitfunktion gegeben ( ων : fest)
 jων t
f (t ) = − e
0
für : t < 0
für : t > 0
ων = Ω + j β
wobei Im{ ων } = β < 0 sein muß
so ergibt sich für die zugehörige Spektralfunktion (entsprechend Beispiel 2: E = −1 ,
ων = − jβ , β = jων )
mit:
F(ω) =
∞
∫e
t =0
− j⋅(ω−ων )⋅t
1
1
⋅ dt = ⋅
j ω − ων
und die Rücktransformation liefert die wichtige Formel:
∞
1
e jωt
 jων t
⋅ ∫
⋅ dω = − e
2πj ω= −∞ ω − ων
0
mit:
für : t < 0
für : t > 0
Im{ ων } < 0
(wegen Konvergenz!)
Zusammenfassend gilt also:
− e jων t für : t < 0 
 für : Im{ ων } < 0
0
für : t > 0
∞
jωt


1
e
⋅ ∫
⋅ dω = 
2πj ω= −∞ ω − ων
0
für : t < 0 
für : Im{ ων } > 0
e jων t für : t > 0


- 42 -
Nichtperiodische Vorgänge
Eine weitere wichtige Rücktransformationsformel erhält man hieraus durch Partialbruchzerlegung:
∞
∞
∞
e jωt ⋅ dω
e jωt ⋅ dω
e jωt ⋅ dω
A
B
=
⋅
+
⋅
∫ (ω − ω1) ⋅ (ω − ω2 )
∫ (ω − ω1)
∫ (ω − ω2 )
ω= −∞
ω= −∞
ω= −∞
Wie man leicht zeigen kann, ist
1
A=
ω1 − ω2
und
−1
B = −A =
ω1 − ω2
ψ ( ω) =
→
1
A
B
=
+
( ω − ω1 ) ⋅ ( ω − ω2 ) ( ω − ω1 ) ( ω − ω2 )
A = ( ω − ω1 ) ⋅ ψ ( ω) 
ω−ω1
B = ( ω − ω2 ) ⋅ ψ ( ω) 
ω−ω2
1
ω1 − ω2
1
=
ω2 − ω1
=
Damit ergibt sich eine weitere Rücktransformationsformel:
∞
1
e j ωt
⋅
⋅ dω =
2πj ω =∫−∞ (ω − ω1 ) ⋅ (ω − ω2 )
 − e jω1t + e jω 2 t


für : t < 0  für : Im{ ω1} < 0 
Im{ ω } < 0

 ω1 − ω2
2




0
für : t > 0


jω t

 − e 1
für : t < 0 
 ω − ω

Im{ ω1} < 0 
2
=  1
für : 


jω 2 t
Im{ ω2 } > 0
 − e

für : t > 0
 ω − ω

1
2




0
für : t < 0 

Im{ ω1} > 0 
 e jω1t − e jω2 t
für : 



für : t > 0

Im{ ω2 } > 0

 ω1 − ω2
So erhält man, ausgehend von der ersten Formel die wichtigsten Rücktransformationsformeln, z.B. auch:
∞
1
ω ⋅ e j ωt ⋅ d ω
⋅
=
2πj ω =∫−∞ (ω − ω1 ) ⋅ (ω − ω2 ) ⋅ (ω − ω3 )
für : t < 0
0
jω 3 t
jω1t
jω 2 t

ω3 ⋅ e
ω1 ⋅ e
ω2 ⋅ e
=
für : t > 0
+
+
 (ω − ω ) ⋅ (ω − ω ) (ω − ω ) ⋅ (ω − ω ) (ω − ω ) ⋅ (ω − ω )
2
1
3
2
1
2
3
3
1
3
2
 1
mit:
Im{ ων } ≥ 0
- 43 -
(wegen Konvergenz!)
Nichtperiodische Vorgänge
Anmerkung zu den Rücktransformationsformeln
Der Integrand in den Formeln ( F(ω) ⋅ e jωt ) hat „Pole“ (Unendlichkeitsstellen, Nullstellen des Nenners). Diese Pole liegen bei den komplexen Frequenzen ων = Ω ν + jβ ν .
Dabei musste bisher sein: Im{ ων } = βν > 0 oder Im{ ων } = β ν < 0 . Diese beiden Fälle
sind unproblematisch. Was passiert aber bei dem Grenzfall βν = 0 ?
Wird in den oben erwähnten Rücktransformationsformeln auch der Grenzfall βν = 0
zugelassen, dann stellt das eine Verletzung des Zuordnungssatzes dar. Dies ist aber
nicht weiter störend, wie man an den Schaltungsbeispielen in Kap.3.5 sehen wird.
Diese Problematik wird an Beipiel 1 (Einschalten einer abklingenden Exponentialfunktion) im folgenden veranschaulicht. Von der allgemeinen Rücktransformationsformel
∞
1
e jωt
0
⋅ ∫
⋅ dω =  jων t
2πj ω=−∞ ω − ων
e
für : t < 0
für : t > 0
mit:
Im{ ων } > 0
kommt man zu erwähntem Beispiel 1, indem ων = jβ (rein imaginär, β > 0 ) gesetzt
wird. Es ergibt sich dann
f (t ) =
∞
1
e jωt
0
⋅ ∫
⋅ dω =  −βt
2πj ω= −∞ ω − jβ
e
mit:
f (t )
F(ω) =
∞
für : t < 0  1
=
⋅ F(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
für : t > 0 2π ∫
ω= −∞
f (t )
1
β
ω
= 2
− j⋅ 2
= Fg (ω) + j ⋅ Fu (ω)
2
β + jω ω + β
ω + β2
Die Zeitfunktion ist reell. Für das Spektrum gilt: Re{ F(ω)} ist eine in ω gerade Funktion, Im{ F(ω)} ist eine in ω ungerade Funktion. Entsprechend dem Zuordnungssatz
(Kap.3.4) gilt nun (für eine reelle Zeitfunktion f (t ) )
f (t )
=
fg (t )
+
F(ω) = Fg (ω) +
fu (t )
j ⋅ Fu (ω)
wobei
fg (t ) =
1
⋅ (f (t ) + f (− t ))
2
und
1
⋅ (f (t ) − f (− t ))
2
ist. Eine grafische Veranschaulichung dieses Sachverhalts ist in nachfolgenden Abbildungen dargestellt.
fu (t ) =
- 44 -
Nichtperiodische Vorgänge
f (t )
1
β↑
t
Fg (ω) = Re{F(ω)} =
fg (t )
β↑
1
2
β
2
ω + β2
β↑
ω
t
Fu (ω) = Im{F(ω)} =
fu (t )
1
2
ω + β2
β↑
ω
t
1
−
2
β↑
Bildet man das Integral über Re{ F(ω)}
∞
−ω
2
∞
1
1
1
⋅ ∫ Fg (ω) ⋅ dω =
⋅ ∫ Fg (ω) ⋅ e jω⋅0 ⋅ dω = fg (t = 0 ) = ,
2π ω = −∞
2π ω = −∞
2
=1
so zeigt sich, dass dieses unabhängig von β ist.
- 45 -
Nichtperiodische Vorgänge
Nun zum Grenzfall β = 0 :
1
bildet, so erhält man ein rein
β→0
jω
imaginäres Spektrum, d.h. die Zeitfunktion f (t ) müßte ungerade sein (Zuordnungssatz). Das ist sie aber nicht.
Wenn man achtlos den Grenzübergang lim {F(ω)} =
f (t )
f (t ) β = 0 = 0 für : t < 0
1 für : t > 0
1
0
t
Vielmehr sieht es jetzt so aus:
f (t )
1
t
Re{ F(ω)}
fg (t )
1
2
t
ω
fu (t )
Im{F(ω)}
1
2
−
1
2
t
ω
- 46 -
Nichtperiodische Vorgänge
Der Grenzübergang liefert also folgendes Ergebnis:
lim{ Re{ F(ω)}} = π ⋅ δ(ω)
β =0
1
ω
δ(ω) = „Delta-Funktion“ oder „Dirac-Funktion“: „Distribution“
δ(ω) = 0 für : ω ≠ 0
Definition:
∞ für : ω = 0
lim{Im{F(ω)}} = −
β =0
∞
mit:
∫ δ(ω) ⋅ dω = 1
ω = −∞
Es gilt also mathematisch exakt:
f (t ) = 0 für : t < 0 
1 für : t > 0
F(ω) = π ⋅ δ(ω) +
„Einheitssprung“,
„Treppenfunktion“
1
jω
„versteckte
Dirac-Funktion“
Damit erhält man für den Fall β = 0 :
1
j ⋅ Fu (ω) =
jω
 1
−
f (t ) =  2
1

2

für : t < 0 

für : t > 0

Fg (ω) = π ⋅ δ(ω)
1
1
1
f (t ) = ⋅ ∫ δ(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω = ⋅ e j0 t =
2 ω = −∞
2
2
∞
(für :
− ∞ < t < ∞)
So eine Geschichte passiert immer, wenn bei den Rücktransformationsformeln ein
Pol auf der reellen Achse liegt ( Im{ ων } = 0 ). Wenn man diesen Pol bei der Frequenzintegration (längs der reellen ω-Achse) entzweischneidet, befolgt man den Zuordnungssatz richtig, und man erhält Funktionen, die auch für t < 0 endlich sind. Die
Korrektur erfolgt durch die Dirac-Funktion im Realteil des Spektrums.
Normalerweise läßt man die δ-Funktion weg, d.h. man rechnet den Pol auf der reellen ω-Achse ganz zur oberen oder ganz zur unteren ω-Halbebene. Dann verletzt man
zwar die Symmetrieregeln (Zuordnungssatz). Es kommt aber trotzdem alles richtig
heraus, wenn man denselben „Fehler“ bei der Hin- und Rücktransformation macht,
d.h. in unseren Rücktransformationsformeln auch Im{ ων } = 0 zuläßt. Am besten
sieht man das an den folgenden Beispielen (Kap.3.5).
- 47 -
Nichtperiodische Vorgänge
3.5 Elektrische Schaltvorgänge
Gegenstand dieses Kapitels ist die Diskussion von „instationären“ oder „Ausgleichsvorgängen“. Dazu werden Schaltungen mit linearen, konstanten Schaltelementen
(passiv) untersucht.
Die Zielsetzung besteht in der
Anwendung des komplexen Fourierintegrals auf Schaltvorgänge und
Lösung desselben Problems mittels Differentialgleichungen (zum Vergleich).
Eine denkbare Aufgabenstellung sieht folgendermaßen aus:
Am Eingang einer Serienschaltung aus R und
L liegt die Spannung u(t ) , deren Zeitverlauf
gegeben ist. Gesucht ist der Zeitverlauf des
u(t )
Stromes i(t )
Gegeben:
Gesucht:
i(t )
R
L
u(t ) , „Erregung“
i(t ) , „Antwort“
a) Wenn u(t ) rein sinusförmig (eingeschwungen) ist, dann findet natürlich die komplexe Rechnung wie im 2.Trimester Anwendung:
u(t ) = U ⋅ e jωt = U ⋅ e jϕU ⋅ e jωt
i(t ) = Ι ⋅ e jωt = Ι ⋅ e jϕ Ι ⋅ e jωt
U , Ι „komplexe Amplituden“
Es gilt dann mit dem komplexen Widerstand Z(ω) :
U
Ι=
Z(ω)
b) Wenn u(t ) und i(t ) nicht sinusförmig und instationär sind, setzt man nach Fourier
u(t ) und i(t ) aus lauter eingeschwungenen „Bestandteilen“
1
⋅ U(ω) ⋅ dω ⋅ e jωt
2π
" dU"
1
⋅ Ι(ω) ⋅ dω ⋅ e jωt
2π
" dΙ "
zusammen:
u(t ) =
∞
1
⋅
U(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
2π ω =∫−∞
∞
1
i(t ) =
⋅ ∫ Ι(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
2π ω = −∞
Für jeden „Bestandteil“ gilt (weil eingeschwungen) das komplexe ohmsche Gesetz:
1
1
⋅ U(ω) ⋅ dω =
⋅ Ι(ω) ⋅ dω ⋅ Z(ω)
2π
2π
- 48 -
Nichtperiodische Vorgänge
1
1 U(ω)
⋅ Ι(ω) =
⋅
2π
2π Z(ω)
Für die Spektralfunktionen gilt also dasselbe wie für die komplexen Amplituden im
2.Trimester.
gegeben
u(t )
U(ω) →
U(ω)
= Ι(ω)
Z(ω)
i(t )
Schaltung
Anmerkung:
Die Erregung (hier u(t ) ) muß im gesamten Zeitbereich − ∞ < t < ∞ definiert
sein
Einschalten einer Gleichspannung an R-L-Serienschaltung:
A Lösung mit Fourier-Methode
S
Gegeben ist u(t ) als Sprungfunktion:
u(t ) = 0 für : t < 0
E für : t > 0
u(t )
R
E
u(t )
E
b)
c)
L
t
0
a)
i(t )
Zunächst wird die Spektralfunktion der Spannung gebildet:
E
u(t )
U(ω) =
(vgl. das über β → 0 in Kap.3.4 gejω
zeigte; δ weglassen)
U(ω)
U(ω)
E
1
Ι(ω) =
=
= ⋅
Z(ω) R + jωL
j ω ⋅ (R + jωL )
Dieser Ausdruck muß (will man die Rücktransformationsformeln anwenden)
1
gebracht werden:
auf die Form
(ω − ω1 ) ⋅ (ω − ω2 )
E 1
1
Ι(ω) = ⋅ ⋅
R
j jL

ω⋅ ω − j ⋅ 
L

Jetzt erfolgt die Rücktransformation:
∞
∞
1
E 1
i(t ) =
⋅ ∫ Ι(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω =
⋅ ⋅
2π ω = −∞
2πj jL ω =∫−∞
also: ω1 = 0
- 49 -
e jωt ⋅ d ω
R

ω ⋅ ω − j ⋅ 
L

Nichtperiodische Vorgänge
ω2 = j ⋅
R
L
Die Rücktransformationsformel lautet:
für :
0
∞
1
e j ωt
 e jω1t − e jω2t
⋅
⋅ dω = 
für :
2πj ω=∫−∞ (ω − ω1 ) ⋅ (ω − ω2 )
 ω1 − ω2
Damit erhält man als Ergebnis:
für : t < 0 
0
R

 0
R
 1 1 − e − L ⋅t
 E 
− ⋅t 
i(t ) = E ⋅ ⋅
=



für : t > 0
⋅ 1− e L 

 jL
 R 
R
0 − j⋅

 


L

t<0
t>0
für : t < 0
für : t > 0
i(t )
E
R
t
L
T=
R
(„Zeitkonstante“)
B Lösung mit Differentialgleichung
S
Zur Zeit t = 0 wird Schalter S geschlossen.
A
Für t > 0 gilt folgende DifferentialE
gleichung:
E = R ⋅ i(t ) + L ⋅
oder
i(t )
R
L
di(t )
dt
B
di(t ) R
E
+ ⋅ i(t ) =
dt
L
L
(inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten,
Lösung mit den bekannten Methoden der Mathematik)
- 50 -
Nichtperiodische Vorgänge
1)
verkürzte Gleichung (homogen): „freier“ Vorgang, (Kurzschluß A-B)
di f (t ) R
+ ⋅ i f (t ) = 0
dt
L
di f (t )
R
= − ⋅ dt
if (t )
L
R
ln(i f (t )) = − ⋅ t + konst.
L
R
− ⋅t
A ⋅e L
2)
⇒
i f (t ) =
(allgemeine Lösung der verkürzten Gleichung)
erweiterte Gleichung (inhomogen):
partikuläre Lösung der erweiterten Gleichung durch „Probieren“: Man wählt
hierzu die stationäre Lösung für t → ∞ :
E
ist =
R
sie befriedigt die erweiterte Differentialgleichung
dist (t ) R
E
+ ⋅ ist (t ) =
dt
L
L
=0
3)
=
E
R
Allgemeine Lösung der erweiterten Gleichung = Allgemeine Lösung der verkürzten Gleichung + partikuläre Lösung der erweiterten Gleichung
E
R
Nun ist noch die Konstante A zu bestimmen: Man erhält sie aus den „Anfangsbedingungen“.
Jetzt wird das Resultat der „Vorgeschichte“ benötigt (die in der Fouriermethode schon enthalten ist, da dort u(t ) von − ∞ < t < ∞ definiert war). Hier soll gefordert werden: Der Energiespeicher L ist vor dem Einschalten „leer“, d.h.
1
⋅ L ⋅ i2 = 0 für t < 0 , d.h. i = 0 für t < 0 (Schalter offen). Dann muß auch sein:
2
i = 0 für t = 0 (Anfangsbedingung, denn der Strom durch eine Spule darf nicht
di
springen; uL = L ⋅ L < ∞ ).
dt
Also:
E
E
i(t = 0 ) = 0 = A +
⇒
A=−
R
R
Somit erhält man als Lösung:
R
− ⋅ t  für t > 0, d.h. im Geltungsbe reich der
E 
i(t ) = ⋅ 1 − e L 
 Differentialgleichung
R 


i(t ) = 0
für t < 0 (war gefordert)
i(t ) = i f (t ) + ist =
4)
R
− ⋅t
A ⋅e L
+
- 51 -
Nichtperiodische Vorgänge
Zusammenfassung Schaltvorgänge
1) Problem:
Gegeben:
Gesucht:
lineares passives Netzwerk (R, L, C)
„Erregung“ fE (t ) , (Ursache)
„Antwort“ f A (t ) , (Folge)
Netzwerk
(R, L, C)
fE (t )
f A (t )
2) Behandlung mittels Fourier-Transformation
fE (t )
FE (ω)
FE (ω) ⋅ ü(ω) = F A (ω)
fA (t )
ü(ω) = komplexer „Übertragungsfaktor“ des Netzwerks.
3) Behandlung mittels Differentialgleichung
Lineare Schaltelemente:
uR (t ) = R ⋅ iR (t )
di (t )
uL (t ) = L ⋅ L
dt
duC (t )
iC (t ) = C ⋅
dt
Kirchhoffsche Gleichungen; Eliminieren aller übrigen Größen liefert: 1
Differentialgleichung für f A (t ) bei gegebenem fE (t ) für t > 0 . (Ordnung n =
Anzahl der unabhängigen Energiespeicher).
Lösung dieser Differentialgleichung unter Berücksichtigung der n Anfangsbedingungen (Speicherinhalte, Erregung) ⇒ f A (t ) .
Beachte: iL (t ) , uC (t ) dürfen nicht „springen“!
4) Bemerkungen zum Vergleich beider Methoden
a. Fourier:
fE (t ) für − ∞ < t < ∞ definiert, f A (t ) kommt automatisch richtig (kausal)
heraus
b. Differentialgleichung:
Gilt nur für t > 0 ; fE (t ) nur für t > 0 definiert, „Vorgeschichte“ extra zu
berücksichtigen ⇒ Anfangsbedingungen
Man beachte den Unterschied im Beispiel:
Fourier:
u(t ) = 0 erzwungen für t < 0
d.h.
di(t )
R ⋅ i(t ) + L ⋅
= 0 für t < 0
dt
und
S
i(t )
R
E
u(t )
- 52 -
L
Nichtperiodische Vorgänge
R ⋅ i(t ) + L ⋅
di(t )
= E für t > 0
dt
Differentialgleichung:
i(t ) = 0 erzwungen für t < 0
und
di(t )
R ⋅ i(t ) + L ⋅
= E für t > 0
dt
S
i(t )
R
L
E
Einschalten einer Wechselspannung an R-L-Serienschaltung
A Lösung mit Differentialgleichung
S
i(t )
t=0
R
u(t )
L
Gegeben:
Erregung u(t ) für t > 0
Zur Zeit t = 0 wird u(t ) „angelegt“.
Erregung für t > 0 definiert:
u(t ) = Û ⋅ sin(Ωt + ϕ)
u(t )
Û
π
ϕ
− Û
2π
0
Gesucht: i(t ) für t > 0
Differentialgleichung:
di(t )
= Û ⋅ sin(Ωt + ϕ)
dt
di(t ) R
Û
+ ⋅ i(t ) = ⋅ sin(Ωt + ϕ)
dt
L
L
R ⋅ i(t ) + L ⋅
Lösung der verkürzten (homogenen) Gleichung:
R
− ⋅t
di f (t ) R
+ ⋅ if (t ) = 0
⇒
if (t ) = A ⋅ e L
dt
L
Partikuläre Lösung der erweiterten Gleichung:
- 53 -
3π
Ωt
Nichtperiodische Vorgänge
Hierfür wird die stationäre Lösung ist (t ) = i(t ) für t → ∞ gewählt. Diese ist natürlich
vom 2.Trimester her längst bekannt:
Û
ist (t ) = ⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕ Z )
Z
Z = R 2 + (ΩL )2
ΩL
tan(ϕ Z ) =
R
Damit ergibt sich als gesamte Lösung:
mit:
R
− ⋅t
A⋅e L
Û
⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕ Z )
Z
Zur Bestimmung der Konstanten A wird eine Anfangsbedingung benötigt:
Û
i(t = 0 ) = 0 = A + ⋅ sin(ϕ − ϕ Z )
Z
Û
A = − ⋅ sin(ϕ − ϕ Z )
⇒
Z
Das Endergebnis lautet also:
R

− ⋅t
Û 
i(t ) = ⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕ Z ) − e L ⋅ sin(ϕ − ϕ Z )
für t > 0

Z 


i(t ) = i f (t ) + ist (t ) =
+
Diskussion des Ergebnisses:
Das Ergebnis setzt sich aus 2 Anteilen zusammen:
Û
⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕ Z ) = ist (t )
Z
bleibt allein übrig für t → ∞ , stationärer Endzustand (2.Trimester).
R
Û − ⋅ t
− ⋅ e L ⋅ sin(ϕ − ϕ Z ) = i f (t )
Z
„Störung“ durch Einschalten, die mit
L
T = , abklingt.
R
- 54 -
R
− ⋅t
e L
=e
−
t
T
, d.h. mit „Zeitkonstante“
Nichtperiodische Vorgänge
i(t )
Hier gezeichnet für:
π
ϕ − ϕZ = −
4
R
− ⋅t
e L
Û
Z
Û
Z
Û
Z
0
−
Û
Z
i(t = 0 ) = 0
2π
0
−
Ωt
4π
6π
8π
10 π
Û
⋅ sin(ϕ − ϕ Z )
Z
Wichtige Spezialfälle:
(1) Bei ϕ − ϕ Z = ±
π
, d.h. sin(ϕ − ϕ Z ) = ±1, am Anfang hohe Amplituden, d.h. 2 ×
2
Endamplitude
i(t )
2⋅
Û
Z
0
0
2π
Ωt
(2) Bei ϕ = ϕ Z , d.h. sin(ϕ − ϕ Z ) = 0 (im richtigen Zeitpunkt einschalten) tritt die
„Schaltstörung“ gar nicht auf, da ja dann die stationäre Stromschwingung
Û
⋅ sin(Ωt ) allein schon die Anfangsbedingung i(t = 0 ) = 0 erfüllt:
Z
- 55 -
Nichtperiodische Vorgänge
i(t )
Û
Z
0
Ωt
2π
0
Anmerkung:
Vorsicht also beim Einschalten von Selbstinduktionen, Sicherung kann durchbrennen, wenn man einen dummen Einschaltzeitpunkt erwischt.
B Lösung mit Fourier-Methode
Dasselbe Beispiel soll nun nach Fourier behandelt werden. Hierzu ist aber vorher
noch eine grundsätzliche Zwischenbetrachtung sinnvoll:
Spektralfunktion modulierter Signale
Verschiebungssätze:
a) „Modulation“ im Zeitbereich
Verschiebung im Spektrum
f (t ) = fH (t ) ⋅ e jΩt
∞
FH (ω) =
fH (t )
∫ fH (t ) ⋅ e
− jωt
⋅ dt
t = −∞
∞
F(ω) =
f (t )
∫ f (t ) ⋅ e
− jωt
∞
⋅ dt =
t = −∞
∫ fH (t ) ⋅ e
− j⋅(ω−Ω )⋅t
⋅ dt = FH (ω − Ω )
t = −∞
b) analog umgekehrt:
„Modulation“ im Spektralbereich
Verschiebung in der Zeitfunktion
F(ω) = FH (ω) ⋅ e − jωT
∞
FH (ω)
1
⋅ ∫ FH ( ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
fH ( t ) =
2π ω=−∞
F ( ω)
f (t) =
∞
∞
1
1
jω t − T
⋅ ∫ F ( ω) ⋅ e jωt ⋅ dω =
⋅ ∫ FH ( ω) ⋅ e ( ) ⋅ dω = fH ( t − T )
2π ω=−∞
2π ω=−∞
- 56 -
Nichtperiodische Vorgänge
Gegeben sei eine Sinusschwingung mit zeitabhängiger Amplitude:
f (t )
fH (t )
(Hüllkurve)
sin(Ωt + ϕ)
0
t
f (t ) = fH (t ) ⋅ sin(Ωt + ϕ)
Das Spektrum der Hüllkurve lässt sich nach bekanntem Muster berechnen:
∞
FH (ω) =
fH (t )
∫ fH (t ) ⋅ e
− j ωt
⋅ dt
t = −∞
Wie kann man nun das Spektrum der gesamten gegebenen Zeitfunktion
F(ω)
f (t )
durch das Spektrum der Hüllkurve
fH (t )
FH (ω)
ausdrücken?
Für die gegebene Zeitfunktion gilt:
1
f (t ) = fH (t ) ⋅ ⋅ e j⋅(Ωt + ϕ) − e− j⋅(Ωt + ϕ)
2j
(
F(ω) =
∞
∫ f (t ) ⋅ e
t = −∞
=
=
∞
− j ωt
)
⋅ dt
(
)
1
⋅ ∫ fH (t ) ⋅ e j⋅(Ωt +ϕ ) − e − j⋅(Ωt +ϕ ) ⋅ e − jωt ⋅ dt
2 j t = −∞




∞
∞

1  jϕ
⋅  e ⋅ ∫ fH (t ) ⋅ e − j⋅(ω−Ω )⋅t ⋅ dt − e − jϕ ⋅ ∫ fH (t ) ⋅ e − j⋅(ω+ Ω )⋅t ⋅ dt 
2j 

t = −∞
t = −∞


(
)
(
)
ω
−
Ω
F
F
ω
+
Ω
H
H


- 57 -
Nichtperiodische Vorgänge
f (t ) = fH (t ) ⋅ sin(Ωt + ϕ)
„Verschiebungssatz“
F(ω) =
(
)
1
⋅ e jϕ ⋅ FH (ω − Ω ) − e − jϕ ⋅ FH (ω + Ω )
2j
Anmerkung:
Man hätte natürlich auch cos(Ωt + ϕ) oder e j⋅(Ωt + ϕ ) ansetzen können.
Dieser Verschiebungssatz soll nun im Beispiel (Einschalten einer Wechselspannung
an R-L-Serienschaltung) angewendet werden.
S
i(t )
R
t=0
u(t )
Die Hüllkurve ist
hier die schon behandelte Treppenfunktion.
0
für : t < 0
u(t ) = 
Û
⋅
sin
Ω
t
+
ϕ
für
: t>0
(
)

L
uH (t )
Û
π
ϕ
− Û
0 für : t < 0 
uH (t ) = 

Û für : t > 0
2π
3π
Ωt
0
u(t )
UH (ω) =
Û
jω
(ohne δ(ω) )
Unter Berücksichtigung des Verschiebungssatzes ergibt sich damit für das Spektrum
der „Erregung“:
1 Û  e jϕ
e − jϕ 
−
U(ω) = ⋅ ⋅ 
2 j j  ω − Ω ω + Ω 
- 58 -
Nichtperiodische Vorgänge
Das Spektrum des Stromes („Antwort“) lautet:
U(ω)
U(ω)
Ι(ω) =
=
Z(ω)
R + jωL




jϕ
− jϕ
e
e
1 Û 1 

=
⋅ ⋅ ⋅
−
R
R
2 j j jL 


 (ω − Ω ) ⋅  ω − j  (ω + Ω ) ⋅  ω − j  
L 
L



Nun wird die Rücktransformation durchgeführt, um den Zeitverlauf der „Antwort“ zu
erhalten:
i(t ) =
∞
1
⋅ ∫ Ι(ω) ⋅ e jωt ⋅ dω
2π ω=−∞
=
1
⋅
2j
=
1
⋅
2j
mit:




∞
∞
jω t
j ωt
e ⋅ dω
e ⋅ dω
1 Û  jϕ
− jϕ

⋅
⋅ e ⋅ ∫
−e ⋅ ∫

R
R
jL 2πj


ω= −∞ (ω + Ω ) ⋅  ω − j  
ω= −∞ (ω − Ω ) ⋅  ω − j 

L 
L



∞
∞

e j ωt ⋅ d ω
e j ωt ⋅ d ω
1 Û  jϕ

⋅
⋅ e ⋅ ∫
− e − jϕ ⋅ ∫

(
)
(
)
(
)
(
)
ω
−
ω
⋅
ω
−
ω
ω
−
ω
⋅
ω
−
ω
jL 2πj 
a1
a2
b1
b2 
ω= −∞
ω= −∞
ωa1 = Ω
ωb1 = −Ω
ωa2 = ωb2 = j
R
L
Mit der bereits bekannten Rücktransformationsformel
für : t < 0
0
∞
1
e jωt ⋅ dω
 e jω1t − e jω2t
⋅
=
für : t > 0
2πj ω=∫−∞ (ω − ω1 ) ⋅ (ω − ω2 ) 
 ω1 − ω2
erhält man
i(t ) = 0
für:
t<0
und für t > 0 :
R
R

− t
− t
− jΩt
jΩt

L
−e L 
1 Û
e −e
e

⋅ ⋅  e jϕ ⋅
− e − jϕ ⋅
i(t ) =
R
R 
2 j jL 
Ω−j
−Ω− j


L
L 

R
R

− t
− t
− jΩt
jΩt

L
−e L 
e −e
e
Û

=
⋅  e jϕ ⋅
− e − jϕ ⋅
= ...
2j 
R + jΩL
R − jΩL 




mit:
R + jΩL = Z = Z ⋅ e jϕZ
R − jΩL = Z* = Z ⋅ e − jϕZ
- 59 -
Nichtperiodische Vorgänge
R
R


− t
− t 
Û 1  j⋅(ϕ−ϕZ )  jΩt

− j⋅(ϕ−ϕZ )  − jΩt

L
⋅ ⋅ e
⋅ e −e
−e
⋅ e
− e L 
i(t ) =




Z 2j 





R

− t
Û 1  j⋅(Ωt + ϕ−ϕZ )
=
⋅ ⋅ e
− e − j⋅(Ωt + ϕ−ϕZ ) − e L ⋅ e j⋅(ϕ−ϕZ ) − e − j⋅(ϕ−ϕZ ) 

Z 2j 


R

− t
Û 
=
⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕ Z ) − e L ⋅ sin(ϕ − ϕ Z )

Z 


Man erhält selbstverständlich dasselbe Ergebnis wie mit der Lösung durch Differentialgleichung.
(
)
(
)
Anmerkung:
Die Differentialgleichung führt hier scheinbar rascher zum Ziel. Die Schwierigkeit bei der Fouriermethode liegt aber nicht an der Methode, sondern an der
Umrechnung nach der Rücktransformation. Wenn man gute Tabellen hat,
geht’s oft mit der Fouriermethode schneller. Das hängt auch sehr vom behandelten Fall ab. Der Vorteil der Fouriermethode ist die komplexe Berechnung
des Übertragungsfaktors.
Einschalten einer Wechselspannung am Serienresonanzkreis
Dieses Beispiel soll im Rahmen dieser Vorlesung nur mit der Differentialgleichungsmethode untersucht werden.
Gegeben:
Gesucht:
R, L, C und
Erregung: u(t ) = Û ⋅ sin(Ωt + ϕ) für t > 0
Alle Speicher leer für t < 0 ! (bzw. Inhalte gegeben)
i(t ) für t > 0
S
i(t )
t=0
R
L
u(t )
C
Zunächst muß die Differentialgleichung (für t > 0 ) für die gesuchte Größe aufgestellt
werden:
u(t ) = uR (t ) + uL (t ) + uC (t )
mit: uR (t ) = R ⋅ i(t )
di(t )
uL (t ) = L ⋅
dt
- 60 -
Nichtperiodische Vorgänge
duC (t )
1
bzw. uC (t ) = ⋅ ∫ i(t ) ⋅ dt
C
dt
Um das Integral zu vermeiden wird als gesuchte Zeitfunktion anstelle von i(t ) die Ladung q(t ) auf C eingeführt:
dq(t )
i(t ) =
dt
Für die Einzelspannungen an den Bauelementen erhält man damit:
dq(t )
uR (t ) = R ⋅
dt
2
d q(t )
uL (t ) = L ⋅
dt 2
q(t )
uC (t ) =
C
Es ergibt sich somit eine inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für den Zeitverlauf der Ladung:
d2 q(t )
dq(t ) 1
L⋅
+R⋅
+ ⋅ q(t ) = u(t )
für t > 0
2
dt
C
dt
i(t ) = C ⋅
d2 q(t )
1
R dq(t ) 1
⋅
+
⋅ q(t ) = ⋅ u(t )
L
L dt
LC
dt
Es ist sinnvoll, folgende Abkürzungen einzuführen:
1
= ω0 2
LC
R
R
= 2α
)
(α =
2L
L
Mit diesen Abkürzungen lautet die vorherige Differentialgleichung:
d2 q(t )
dq(t )
1
2
(
)
+
2
α
⋅
+
ω
⋅
q
t
=
⋅ u(t )
0
dt
L
dt 2
Zur Lösung dieser Differentialgleichung wird nun wieder das übliche Verfahren verwendet:
q(t ) = qf (t ) + qst (t )
2
+
(1) Lösung der verkürzten Gleichung, freie Schwingung
Zunächst wird die verkürzte Gleichung (homogene Differentialgleichung) betrachtet:
d 2 q f (t )
dq (t )
+ 2α ⋅ f + ω 0 2 ⋅ q f (t ) = 0
2
dt
dt
Dies bedeutet physikalisch:
u(t ) = 0
i f (t )
R
L
C
qf (t )
- 61 -
Nichtperiodische Vorgänge
Anmerkung:
Damit dieser Kurzschlussfall betrachtet werden kann müssen natürlich
2
1 q
1
⋅ L ⋅ i2 und W C = ⋅ f
2
2 C
dingungen).
WL =
für t = 0 vorgegeben werden (2 Anfangsbe-
Es wird der Lösungsansatz
qf (t ) = Q f ⋅ e λt
gewählt, der eingesetzt in die Differentialgleichung, zu der folgenden „charakteristischen Gleichung“ führt:
λ2 ⋅ Q f ⋅ e λt + 2α ⋅ λ ⋅ Q f ⋅ e λt + ω0 2 ⋅ Q f ⋅ e λt = 0
λ2 + 2α ⋅ λ + ω0 2 = 0
⇒
Es gibt 2 Lösungen für λ
λ1,2 = −α ± α 2 − ω0 2
also auch 2 Lösungen, welche die homogene Differentialgleichung befriedigen:
qf 1(t ) = Q f 1 ⋅ e λ 1t
qf 2 (t ) = Q f 2 ⋅ e λ 2 t
Wenn λ1 ≠ λ 2 ist, dann sind die beiden Lösungen linear unabhängig, d.h. qf 1(t ) nicht
proportional zu qf 2 (t ) . Die Mathematik lehrt, dass dann die allgemeine Lösung der
verkürzten Gleichung lautet:
qf (t ) = qf 1(t ) + qf 2 (t ) = Q f 1 ⋅ e λ 1t + Q f 2 ⋅ e λ 2 t
Die Konstanten Q f 1 und Q f 2 müssen nun aus den Anfangsbedingungen für t = 0
bestimmt werden.
Es sei i(t = 0 ) = 0 ist und der Kondensator trage zur Zeit t = 0 (vor dem Kurzschluß)
die Ladung Q 0 , also:
2
1 Q0
⋅
)
2 C
if (t = 0 ) = 0
(d.h. WL (t = 0 ) = 0 )
Diese beiden Anfangsbedingungen eingesetzt in die allgemeine Lösung für die homogene Differentialgleichung liefert 2 Gleichungen, aus denen die beiden Konstanten Q f 1 und Q f 2 bestimmt werden können:
Q 0 = qf (t = 0 ) = Q f 1 + Q f 2
(Gl.1)
dq (t )
i f (t ) = f = λ1 ⋅ Q f 1 ⋅ e λ 1t + λ 2 ⋅ Q f 2 ⋅ e λ 2 t
dt
i f (t = 0 ) = λ1 ⋅ Q f 1 + λ 2 ⋅ Q f 2
(Gl.2)
λ1 ⋅ Q f 1 + λ 2 ⋅ (Q 0 − Q f 1 ) = 0
qf (t = 0 ) = Q 0
t = 0:
(d.h. WC (t = 0 ) =
Q f 1 ⋅ (λ1 − λ 2 ) = −λ 2 ⋅ Q 0
⇒
Q f1 =
− λ 2 ⋅ Q0
λ1 − λ 2
λ1 λ1 ⋅ Q 0
=
λ 2 λ1 − λ 2
Damit erhält man folgende Lösungen:
Q f 2 = −Q f 1 ⋅
- 62 -
Nichtperiodische Vorgänge
Ladung:
(
)
Q0
⋅ − λ 2 ⋅ e λ 1t + λ1 ⋅ e λ 2 t
λ1 − λ 2
dq (t ) Q ⋅ λ ⋅ λ
i f (t ) = f = 0 1 2 ⋅ − e λ 1t + e λ 2 t
dt
λ1 − λ 2
qf (t ) =
(
Strom:
)
Nun können aber nach der charakteristischen Gleichung die λ entweder reell ( ...
reell oder 0) oder komplex ( ... imaginär) sein. Es sollen hier beide Fälle (ohne den
aperiodischen Grenzfall, ... = 0 ) untersucht werden.
(a) „Aperiodischer Fall“:
Die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung λ1,2 sind reell, d.h.
... reell.
In diesem Fall gilt:
α > ω0
R
1
→
>
2L
LC
L
1
→
Güte G = C <
R
2
λ1 und λ 2 sind reell und < 0 ; die Lösung setzt sich zusammen aus 2 mit unterschiedlichen Zeitkonstanten abklingenden Exponentialfunktionen.
Außerdem gilt:
λ 2 > λ1
→
→
λ1 − λ 2 > 0
λ1 ⋅ λ 2 > 0
In nachfolgenden Darstellungen sind Ladungs- und Stromverlauf für
λ2
= 5 dargeλ1
stellt.
−
− λ 2 ⋅ Q0
λ1 − λ 2
λ 2 ⋅ Q0 λ 1t
⋅e
λ1 − λ 2
Q0
Ladungsverlauf
qf (t )
0
λ1 ⋅ Q 0
λ1 − λ 2
0
λ1 ⋅ Q 0 λ 2 t
⋅e
λ1 − λ 2
- 63 -
t
Nichtperiodische Vorgänge
Q 0 ⋅ λ1 ⋅ λ 2
λ1 − λ 2
Q 0 ⋅ λ1 ⋅ λ 2 λ 2 t
⋅e
λ1 − λ 2
Stromverlauf
0
if (t )
−
Q 0 ⋅ λ1 ⋅ λ 2
λ1 − λ 2
−
0
Q0 ⋅ λ1 ⋅ λ 2 λ1t
⋅e
λ1 − λ 2
t
(b) „Periodische Entladung“:
Die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung λ1,2 sind komplex, d.h.
imaginär.
In diesem Fall gilt:
1
Güte G >
2
2
2
ω0 > α
Für λ1,2 wird gesetzt:
λ1,2 = −α ± j ⋅ ω0 2 − α 2 = −α ± j ⋅ ωE
mit:
ωE = ω0 2 − α 2
Damit erhält man:
λ1 = −α + j ⋅ ωE
λ 2 = −α − j ⋅ ωE
λ1 − λ 2 = 2 jωE
→
→
λ1 ⋅ λ 2 = α 2 + ωE 2 = ω0 2
Für den Zeitverlauf des Stroms i f (t ) ergibt sich also:
i f (t )
(
Q 0 ω0 2 − αt
=
⋅e
⋅ − e j ωE t + e − j ωE t
2 jωE
Q 0 ω0 2 − αt
= −
⋅e
⋅ sin(ωE t )
ωE
)
- 64 -
(„Eigenfrequenz“)
...
Nichtperiodische Vorgänge
Q 0 ω0
ωE
if (t )
2
e − αt
0
−
Q 0 ω0 2
ωE
ωE = „Eigenfrequenz“ < ω0
α = „Dämpfung“
0
t
2π
T=
ωE
Der Zeitverlauf des Stroms ist eine gedämpfte Schwingung, wobei der Serienresonanzkreis mit seiner „Eigenfrequenz“ ωE ausschwingt. Bzgl. Eigenfrequenz und Resonanzfrequenz des Kreises gilt: ωE < ω0 . Nur im dämpfungsfreien Fall ( α = 0 , d.h.
R = 0 ) ist ωE = ω0 . (Die „Resonanzfrequenz“ ω0 war auch dadurch definiert, daß im
stationären Fall Strom und Spannung in Phase sind.)
(2) Lösung der erweiterten Gleichung, erzwungene Schwingung
Die Lösung der erweiterten Gleichung (inhomogene Differentialgleichung) setzt sich
zusammen aus der freien Schwingung und der erzwungenen Schwingung
q(t ) = qf (t ) + qst (t )
wobei der Lösungsansatz für die freie Schwingung
qf (t ) = Q f 1 ⋅ e λ 1t + Q f 2 ⋅ e λ 2 t
gültig bleibt. Selbstverständlich müssen jetzt die Konstanten Q f 1 und Q f 2 neu bestimmt werden. (Man muß immer erst die Differentialgleichung, die man braucht,
ganz lösen und dann aus den Anfangsbedingungen die Konstanten bestimmen.)
Es wird also zunächst die partikuläre Lösung der erweiterten Gleichung benötigt.
Hierfür wird natürlich wieder die wohlbekannte Lösung für den stationären Fall benutzt:
Û
ist (t ) = ⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕ Z )
Z
- 65 -
Nichtperiodische Vorgänge
mit (vgl. 2.Trimester):
1 

Z = R +  ΩL −

ΩC 

1
ΩL −
ΩC
tan(ϕ Z ) =
R
2
2
dqst (t )
gilt:
dt
Û
qst (t ) = −
⋅ cos(Ωt + ϕ − ϕ Z )
ΩZ
Damit erhält man als gesamte Lösung (allgemeine Lösung der erweiterten Gleichung):
Û
q(t ) = Q f 1 ⋅ e λ 1t + Q f 2 ⋅ e λ 2 t −
⋅ cos(Ωt + ϕ − ϕ Z )
ΩZ
Û
i(t ) = λ1 ⋅ Q f 1 ⋅ e λ 1t + λ 2 ⋅ Q f 2 ⋅ e λ 2 t + ⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕ Z )
Z
Wegen ist (t ) =
Erst jetzt kommen die Anfangsbedingungen ins Spiel. Sie lauten hier z.B. (im Gegensatz zu vorher)
q(t = 0 ) = 0
i(t = 0 ) = 0
d.h. beide Energiespeicher sind leer beim Einschalten. (Das ist nicht zwingend notwendig, aber es erleichtert die Rechnung.)
Mit Hilfe dieser beiden Anfangsbedingungen lassen sich nun 2 Gleichungen aufstellen
Û
Q f1 + Q f 2 =
⋅ cos(ϕ − ϕ Z )
ΩZ
Û
λ1 ⋅ Q f 1 + λ 2 ⋅ Q f 2 = − ⋅ sin(ϕ − ϕ Z )
Z
aus denen die beiden Konstanten Q f 1 und Q f 2 bestimmt werden:
⇒
Q f1 =
λ
−1
Û 

⋅ ⋅  sin(ϕ − ϕ Z ) + 2 ⋅ cos(ϕ − ϕ Z )
λ1 − λ 2 Z 
Ω

λ
1
Û 

⋅ ⋅  sin(ϕ − ϕ Z ) + 1 ⋅ cos(ϕ − ϕ Z )
λ1 − λ 2 Z 
Ω

Diese beiden Konstanten sind nun in die allgemeine Lösung der erweiterten Gleichung (Ladung oder Strom) einzusetzen.
Qf 2 =
Im weiteren soll nur die periodische Lösung für den Strom untersucht werden. In diesem Fall gilt (wie vorher):
1
Güte G >
2
λ1 − λ 2 = 2 jωE
λ1 ⋅ λ 2 = ω0 2
- 66 -
Nichtperiodische Vorgänge
Der Zeitverlauf des Stromes lautet also:
Û 1 
λ


i(t ) = ⋅
⋅  − λ1 ⋅ e λ1t ⋅  sin(ϕ − ϕ Z ) + 2 ⋅ cos(ϕ − ϕZ ) +
Z 2 jωE
Ω




λ


+ λ 2 ⋅ e λ 2t ⋅  sin(ϕ − ϕ Z ) + 1 ⋅ cos(ϕ − ϕ Z )  +
Ω



Û
+ ⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕZ )
Z
mit: λ1 = −α + jωE
ist
λ 2 = −α − jωE
Nach geeigneter Umformung
i(t ) =
(
)
Û
1
1
⋅
⋅ ⋅ cos (ϕ − ϕ Z ) ⋅ ω0 2 ⋅ e λ 2t − e λ1t +
Z 2 jωE Ω
+
(
)
Û
1
⋅
⋅ sin(ϕ − ϕ Z ) ⋅ λ 2 ⋅ e λ 2t − λ1 ⋅ e λ1t +
Z 2 jωE
+ ist
2

Û
− αt  ω0
=
⋅e
⋅
⋅ cos(ϕ − ϕ Z ) ⋅ (− 2 j ⋅ sin(ωE t )) +
Z ⋅ 2 jωE
Ω


+ sin(ϕ − ϕ Z ) ⋅ (− α − jωE ) ⋅ e − jωE t − (− α + jωE ) ⋅ e jωEt 

+ ist
gelangt man schließlich zu nachfolgender Darstellung:
(
Û − αt 
i(t ) = ⋅ e
⋅

Z

+
)
 α

ω0 2

⋅ sin(ϕ − ϕ Z ) −
⋅ cos (ϕ − ϕ Z ) ⋅ sin(ωE t ) −
 ωE

Ω ⋅ ωE



− sin(ϕ − ϕ Z ) ⋅ cos(ωE t )  +


Û
⋅ sin(Ωt + ϕ − ϕ Z )
Z
" erzwungen"
Der zeitliche Verlauf des Stromes setzt sich also zusammen aus
einer freien Schwingung mit der Frequenz ωE („Eigenfrequenz“ des Resonanzkreises), die mit e −αt abklingt ( α und ωE von der Schaltung her
bestimmt) und
einer stationären („erzwungenen“) Schwingung, deren Frequenz Ω von
der angelegten Spannung herrührt (Phasenverschiebung ϕ Z zwischen
ist (t ) und u(t ) von der Schaltung her bestimmt).
- 67 -
Nichtperiodische Vorgänge
Für die nachfolgende grafische Diskussion des Ergebnisses wird der Einfachheit halber ϕ = ϕ Z (d.h. Einschalten im Nulldurchgang von ist ) gesetzt. Der zeitliche Verlauf
des Stromes lautet für diesen Spezialfall:
2

Û  − αt ω0
⋅
⋅ sin(ωE t ) + sin(Ωt )
i(t ) ϕ = ϕ = ⋅ − e

Z
ΩωE
Z 

1.Fall:
ωE < Ω
Skizze für:
Ω = 10 ⋅ ωE
ω0 2
=2
ΩωE
2
Û ω0
⋅
⋅ e − αt
Z ΩωE
if (t )
i(t ) = if (t ) + ist (t )
ist (t )
Û
Z
0
−
Û
Z
t
0
2π
Ω
2π
ωE
- 68 -
Nichtperiodische Vorgänge
ωE > Ω
2.Fall:
1
⋅ ωE
10
ω0 2
1
=
ΩωE 2
Ω=
Skizze für:
ist (t )
i(t ) = if (t ) + ist (t )
if (t )
Û
Z
2
Û ω0
⋅
⋅ e − αt
Z ΩωE
0
−
Û
Z
t
0
2π
ωE
2π
Ω
Ein weiterer interessanter Spezialfall ist der „Resonanzfall“ Ω = ω0 =
1
. Hier gilt:
LC
Z=R
ϕZ = 0
Damit ergibt sich für den Strom:
 α


ω
Û
⋅ sin(ϕ) − 0 ⋅ cos(ϕ) ⋅ sin(ωE t ) − sin(ϕ) ⋅ cos(ωE t ) +
i(t ) = ⋅ e − αt ⋅  
ωE
R

  ωE

+
Û
⋅ sin(Ωt + ϕ)
R
Nun sei ferner α << ωE (kleine Dämpfung), also Ω = ω0 ≅ ωE , dann gilt:
- 69 -
Nichtperiodische Vorgänge






ω
Û − αt   α
0
i(t ) = ⋅ e ⋅
⋅ sin(ϕ) −
⋅ cos(ϕ) ⋅ sin(ωE t ) − sin(ϕ) ⋅ cos(ωE t ) +




R
ωE
ωE



≅1
<<1



Û
⋅ sin(Ωt + ϕ)
R




 Û
Û − αt 


=
⋅ e ⋅  − cos(ϕ) ⋅ sin(ωE t ) − sin(ϕ) ⋅ cos(ωE t ) + ⋅ sin Ωt + ϕ 
R
 =ω t


 R
− sin(ωE t + ϕ )
 E



Û
=
⋅ 1 − e − αt ⋅ sin(ωE t + ϕ)
R
+
i(t )
(
)
(
Û
⋅ 1 − e − αt
R
„Einschwingen“
)
Û
R
i(t )
0
−
Û
R
t
0
2π
ωE
Für diesen Spezialfall des Stromverlaufs ergeben sich die folgenden Kenndaten:
1 2L
Zeitkonstante:
T= =
α R
L
Güte:
G= C
R
1
R
Halbwertsverstimmung: v H = =
G
L
C
- 70 -
Nichtperiodische Vorgänge
b = ω(v = + v H ) − ω(v = −v H ) = ω0 v H
R
2
1
R
→
b=
⋅
= = 2α =
L
T
LC
L
C
Absolute Bandbreite:
⇒
b ⋅ T = konstant
(„Gute“ Kreise haben lange Einschwingzeitkonstanten und umgekehrt.)
Was passiert schließlich für R → 0 , d.h. α → 0 ?
Berücksichtigt man aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion
e −αt = 1 − αt + ...
nur die beiden ersten Glieder, so erhält man für den Zeitverlauf des Stroms:
i(t ) =
Û
Û
⋅ αt ⋅ sin(ωE t + ϕ) =
⋅ t ⋅ sin(ωE t + ϕ)
R
2L
Im Anfang der e-Funktion,
d.h solange αt noch klein!
„Resonanzkatastrophe“
i(t )
0
t
0
2π
ωE
- 71 -
Nichtperiodische Vorgänge
Abschaltvorgang
Beispiel:
Entladung eines Kondensators, behandelt mit
1. Differentialgleichung,
2. Fourier-Methode.
Ein Kondensator sei für t ≤ 0 auf q = Q0 = C ⋅ U0 aufgeladen. Zur Zeit t = 0 wird über
den Widerstand R kurzgeschlossen. Gesucht ist der Stromverlauf.
1. Lösung mit Differentialgleichung
t ≥ 0 interessant
S
Anfangsbedingung:
q(t = 0 ) = Q0 = C ⋅ U0
i(t )
t=0
U0
R
(Strom durch Kondensator
darf springen!)
i(t = 0 ) =
R
C
für t ≥ 0 gilt:
− i(t ) ⋅ R + uC (t ) = 0
dq(t )
dt
q
uC (t ) =
C
dq(t ) 1
R⋅
+ ⋅ q(t ) = 0
dt
C
dq(t )
1
=−
⋅ q(t )
dt
RC
mit:
→
→
i(t ) = −
q(t ) = A ⋅ e
−
t
RC
Anfangsbedingung:
q(t = 0 ) = Q0 = A
→
q(t ) = Q0 ⋅ e
−
t
RC
t
t
dq(t ) Q0 − RC U0 − RC
i(t ) = −
=
⋅e
=
⋅e
dt
RC
R
oder auch
uC (t ) = uR (t ) =
q(t )
= R ⋅ i(t )
C
t
q(t ) U0 − RC
i(t ) =
=
⋅e
→
RC R
„Vorgeschichte“ ist hier durch die Anfangsbedingung(en) berücksichtigt.
- 72 -
q(t )
uC (t )
Nichtperiodische Vorgänge
1. Lösung mit Fourier-Transformation (zweiseitig)
Hier muß die Vorgeschichte durch die Form der Erregung (gesamter Zeitbereich
− ∞ < t < ∞ ) berücksichtigt werden. Für negative Zeiten liegt U0 an, dann wird
Kurzschluß aufgeprägt:
S
i(t )
R
t=0
U0
u(t )
„Erregung“
C
Schaltung
(Man beachte: Der Zählpfeil für i(t ) ist gegenüber 1) in der Schaltung anders herum
eingezeichnet!)
u(t )
U
u(t ) =  0
0
U0
0
t
für : t < 0
für : t > 0
Wie lautet das Spektrum U(ω) dieser
Erregung u(t ) ?
Erinnerung an Sprungfunktionen:
f (t )
1
0
1
F(ω) =
jω
t
f (t )
0
t
−1
Mit umgekehrtem Vorzeichen:
0
f (t )
−1
F(ω) = −
1
jω
t
f (t )
1
0
- 73 -
t
Nichtperiodische Vorgänge
Für die vorliegende Aufgabenstellung wird der 4.Fall benutzt, d.h.
U
U(ω) = − 0
(dieser Pol ist zur unteren Halbebene zu rechnen)
jω
Damit ergibt sich sofort:
U
U(ω)
1
=− 0 ⋅
Ι(ω) =
Z(ω)
jω R + 1
jωC
Ι(ω)
U
jωC
= ... = − 0 ⋅
jω 1 + jωCR
1
ω⋅
U0
R
= −
⋅
jω ω − j ⋅ 1
RC
U0
1
= −
⋅
jR ω − ων
mit:
i(t )
ων = jα = j ⋅
1
RC
∞
=
1
⋅
Ι ( ω ) ⋅ e jω t ⋅ d ω
2 π ω =∫−∞
=
U
1
e jω t ⋅ d ω
− 0 ⋅
⋅ ∫
R 2 π j ω = −∞ ω − ω ν
=
0

−t
 U
U0
U0
jω ν t
− αt
0
RC
⋅e
=−
⋅e
=−
⋅e
−
R
R
 R
∞
für :
t<0
für :
t>0
Minuszeichen wegen
Zählpfeil andersherum
Wichtige Anmerkung:
Hier hat sich der Pol bei ω = 0 herausgekürzt. Dann ist es offenbar egal, wie der Pol
umfahren wird (vgl. oben).
f (t )
0
t
−1
1
F(ω) = −
f (t )
jω
1
0
t
- 74 -
Nichtperiodische Vorgänge
Beide „Erregungen“ (sowohl das Abschalten einer positiven Gleichspannung U0 als
auch das Einschalten einer negativen Gleichspannung − U0 ) müssen also zum gleichen Ergebnis führen.
Überprüfung mit DGL.:
i(t )
t=0
− U0
R
S
u(t )
„Erregung“
Schaltung
u(t )
0
u(t ) = 0
− U0
t
→
− U0
q(t ) = qf (t ) + qst = A ⋅ e
q(t = 0 ) = 0
→
⇒
−
1
⋅t
RC
C
für : t < 0
für : t > 0
qst = q(t → ∞ ) = −C ⋅ U0
− C ⋅ U0
A = C ⋅ U0
 − 1 ⋅t 
q(t ) = C ⋅ U0 ⋅  e RC − 1




1
→
−
⋅t
U
dq(t )
i(t ) =
= − 0 ⋅ e RC
dt
R
- 75 -
für t > 0