Vektorrechnung - Uni Stuttgart

Vektorrechnung
Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite
vhm.mathematik.uni-stuttgart.de für Erläuterungen zur Nutzung und zum Copyright.
Vektorrechnung
1-1
Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im
Raum
Ein räumliches kartesisches Koordinatensystem besteht aus 3 sich in einem
als Ursprung bezeichneten Punkt O senkrecht schneidenden Zahlengeraden
(Achsen), deren Orientierung gemäß der in der Abbildung
veranschaulichten Rechten-Hand-Regel“ gewählt ist.
”
x3-Ahse
g replaements
Mittelnger
x3
X
x1 O
x1-Ahse
Koordinaten
PSfrag replaements
x2
x2-Ahse
Daumen
O
Zeigenger
Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum
1-1
Ein Punkt X wird durch seine als Koordinaten xi bezeichneten Werte der
Projektionen auf die Achsen festgelegt: X = (x1 , x2 , x3 ). Verwendet man
keine Indexschreibweise, so bezeichnet man die Koordinaten üblicherweise
mit (x, y , z) und die Zahlenachsen als x-, y - und z-Achse.
Analog definiert man ein ebenenes kartesisches Koordinatensystem.
Koordinaten
Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum
1-2
Beispiel:
Grafik-Fenster:
Objekte in Pixel-Koordinaten, meist bezogen auf die linke obere Bildecke
20
40
60
80
100
120
(74, 8)
10
20
30
40
50
60
(85, 69)
70
80
(30, 80)
90
Koordinaten
Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum
2-1
Kugelkoordinaten
Ein Punkt P = (x, y , z) kann durch seinen Abstand r = |OP| zum
Ursprung, den Winkel ϑ ∈ [0, π] zwischen OP und der z-Achse und den
Winkel ϕ zwischen der x-Achse und der Projektion von OP auf die
xy -Ebene dargestellt werden. Der Winkel ϕ ist nur bis auf ein Vielfaches
von 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π] vereinbart.
z-Achse
P
ϑ
O
ϕ
x-Achse
Koordinaten
r
y-Achse
Kugelkoordinaten
1-1
Es gilt
x = r sin ϑ cos ϕ,
bzw.
p
r = x 2 + y 2 + z 2,
y = r sin ϑ sin ϕ,
z = r cos ϑ
p
ϑ = arccos(z/ x 2 + y 2 + z 2 ),
ϕ = arctan(y /x) ,
wobei je nach Vorzeichen von x und y ein geeigneter Zweig des
Arcustangens zu wählen ist. Mit dem Hauptzweig-Winkel
ϕH = arctan(y /x) ∈ (−π/2, π/2) gilt bei Wahl des Standardbereichs für ϕ


ϕH ,
für x > 0 ∧ y 6= 0,



sign(y )π/2, für x = 0,
ϕ=

ϕH + π,
für x < 0 ∧ y ≥ 0,



ϕ − π,
für x < 0 ∧ y < 0 .
H
Für x = y = 0 (Punkt auf der z-Achse) ist ϕ beliebig und, falls ebenfalls
z = 0, so auch ϑ. In diesen Fällen kann Null als kanonischer Wert gewählt
werden.
Koordinaten
Kugelkoordinaten
1-2
Beispiel:
√
regelmäßiges Tetraeder mit Kantenlänge 2 2 und Schwerpunkt O
P1 = (1, 1, 1),
P2 = (1, −1, −1),
P3 = (−1, 1, −1),
P4 = (−1, −1, 1)
z
P4
P1
y
O
x
P3
P2
Koordinaten
Kugelkoordinaten
2-1
Eckpunkte in Kugelkoordinaten (r , ϑ, ϕ)
P1
P2
P3
P4
= (1, 1, 1)
= (1, −1, −1)
= (−1, 1, −1)
= (−1, −1, 1)
→
→
→
→
√
(√3, ψ, π/4)
(√3, π − ψ, −π/4)
(√3, π − ψ, 3π/4)
( 3, ψ, −3π/4)
√
√
ψ = arccos(1/ 3), π − ψ = arccos(−1/ 3),
Koordinaten
Kugelkoordinaten
2-2
Beispiel:
Längen- und Breitengrade auf der Erdkugel:
Kugelkoordinaten mit anderen Winkelbereichen
N
ϑ
Stuttgart
r
y
ϕ
x
S
Koordinaten
Kugelkoordinaten
3-1
N
ϑ
Stuttgart
r
y
ϕ
x
S
östliche Länge
westliche Länge
nördliche Breite
südliche Breite
Koordinaten
0◦
0◦
0◦
0◦
–
–
–
–
180◦
180◦
90◦
90◦
ϕ = 0...π
ϕ = 0 . . . −π
ϑ = π/2 . . . 0
ϑ = π/2 . . . π
Kugelkoordinaten
3-2
N
ϑ
Stuttgart
r
y
ϕ
x
S
Äquator (Breite 0◦ ) und nullter Längenkreis fett
Nordpol: 90◦ n. Br., Südpol: 90◦ s. Br.
Längen- und Breitenkreise für Stuttgart (blau): 9◦ ö. L., 49◦ n. Br.
1
19
ϕ = 20
π (östliche Halbkugel) oder ϕ = − 20
π (westliche Halbkugel)
90−49
41
ϑ = 180 π = 180 π
Koordinaten
Kugelkoordinaten
3-3
Zylinderkoordinaten
Ein Punkt P = (x, y , z) kann durch den Winkel ϕ zwischen der x-Achse
und der Projektion von OP auf die xy -Ebene, die Länge % der Projektion
und die z-Koordinate dargestellt werden. Der Winkel ϕ ist nur bis auf ein
Vielfaches von 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π]
vereinbart.
z-Achse
P
O
ϕ
x-Achse
Koordinaten
z
̺
y-Achse
Zylinderkoordinaten
1-1
Es gilt
x = % cos ϕ,
bzw.
%=
p
x 2 + y 2,
y = % sin ϕ,
z =z
ϕ = arctan(y /x),
z =z,
wobei je nach Vorzeichen von x und y ein geeigneter Zweig des
Arcustangens zu wählen ist. Mit dem Hauptzweig-Winkel
ϕH = arctan(y /x) ∈ (−π/2, π/2) gilt bei Wahl des Standardbereichs für ϕ


ϕH ,
für x > 0 ∧ y 6= 0,



sign(y )π/2, für x = 0,
ϕ=

ϕH + π,
für x < 0 ∧ y ≥ 0,



ϕ − π,
für x < 0 ∧ y < 0.
H
Für x = y = 0 ist ϕ beliebig. Als kanonischer Wert ist, entsprechend der
Konvention sign(0) = 0, ϕ = 0 gewählt worden.
Koordinaten
Zylinderkoordinaten
1-2
Beispiel:
Zylinder- und Kugelkoordinaten,
(%, ϕ, z) bzw. (r , ϑ, ϕ),
√
von (x, y , z) = (−1, 3, 2)
z
2
P
ϑ
−1
ϕ
x
√
Koordinaten
Q
3
y
Zylinderkoordinaten
2-1
Abstände vom Ursprung:
p
√
% = x 2 + y 2 = 1 + 3 = 2,
r=
z
p
√
√
x2 + y2 + z2 = 1 + 3 + 4 = 2 2
2
P
ϑ
−1
ϕ
x
√
Koordinaten
Q
3
y
Zylinderkoordinaten
2-2
z
2
P
ϑ
−1
ϕ
x
√
Q
3
y
Winkel mit der x-Achse:
√
π
2
ϕ = arctan(y /x) + π = arctan(− 3) + π = − + π = π
3
3
(Addition von π wegen x < 0 und y > 0)
Winkel mit der z-Achse:
√
π
ϑ = arccos(z/r ) = arccos(1/ 2) =
4
Koordinaten
Zylinderkoordinaten
2-3
alternativ:
(x, 0, 0), O, Q bilden die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks;
(0, 0, z), O, P bilden ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck
z
2
P
ϑ
−1
ϕ
x
√
Koordinaten
Q
3
y
Zylinderkoordinaten
2-4
Translation eines kartesischen Koordinatensystems
Bei einer Verschiebung des Ursprungs O nach O 0 = (p1 , p2 , p3 ) ändern
sich bei gleichbleibender Richtung der Achsen die Koordinaten eines
Punktes X = (x1 , x2 , x3 ) gemäß
X 0 = (x1 − p1 , x2 − p2 , x3 − p3 ) .
x2
p2
O
Koordinaten
x′2
X =X
b ′
O′
x′1
p1
x1
Translation
1-1
Beispiel:
ebene gleichförmige Bewegung
(x(t), y (t)) = (p + αt, q + βt),
t ≥ 0,
betrachtet aus einem in x-Richtung mit Geschwindigkeit v fahrenden Zug
Änderung der Koordinaten:
x 0 = x − vt,
y0 = y
andere beobachtete Geschwindigkeit
Koordinaten
Translation
2-1
y
t
y
t
=1
t
t
1
=1
=1
t
=0
t
t
1
=0
1
0
vt
x
=1
=0
t
=0
x
1
0
transformierte Koordinaten eines Objekts, das sich in einer Zeiteinheit von
P = (1, 1) nach Q = (4, 3) bewegt (roter Pfeil) für v = 2:
P 0 = (1, 1),
Q 0 = (4 − 2, 3 − 0) = (2, 3)
tatsächliche und beobachtete Geschwindigkeit:
q
√
vt = (4 − 1)2 + (3 − 1)2 = 13,
Koordinaten
vb =
Translation
√
5
2-2
Rotation eines kartesischen Koordinatensystems
Bei einer Drehung der xy -Ebene um die z-Achse mit dem Winkel α
transformieren sich die Koordinaten eines Punktes P = (p1 , p2 , p3 ) gemäß
p10 = cos α p1 + sin α p2 ,
p20 = − sin α p1 + cos α p2 ,
p30 = p3 .
y
y′
P
p2
x′
p′1
1
p′2
α
1
x
p1
Analoge Formeln erhält man für Drehungen der yz- und zx-Ebene.
Koordinaten
Rotation
1-1
Beweis:
y
y′
^(S, P, Q) = α =⇒
4(S, O, R) ∼ 4(S, P, Q)
P
p2
Q
S
p′2
α
O
x′
p′1
R
p1
x
erstes Dreieck:
zweites Dreieck:
|OS| = p1 / cos α,
|RS| = p1 tan α
p20 = cos α |PS| = cos α (p2 − |RS|) = cos α p2 − sin α p1
p10 = |OS| + |SQ| = p1 / cos α + sin α (p2 − |RS|)
1 − sin2 α
=
p1 + sin α p2 = cos α p1 + sin α p2
cos α
Koordinaten
Rotation
2-1
Beispiel:
Bahnkurven von geradlinigen und kreisförmigen Bewegungen (links)
G : (x, y ) = (1, 2 + t/(2π)),
K : (x, y ) = (1 + cos(t), 2 − sin(t))
beobachtet in einem mit Winkelgeschwindigkeit ω = 1 rotierenden
Bezugssystem (rechts)
y
y
0
Sfrag replaements
2
2
1
Koordinaten
!t
x
1
Rotation
x
0
3-1
Transformation
x 0 = cx + sy ,
y 0 = −sx + cy
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
geradlinige Bewegung
Spirale:
x 0 = c + s(2 + t/(2π)),
y 0 = −s + c(2 + t/(2π))
kreisförmige Bewegung:
x 0 = c(1 + c̃) + s(2 − s̃),
y 0 = −s(1 + c̃) + c(2 − s̃)
(c̃ = cos t, s̃ = sin t)
abrupte Richtungsänderung möglich
Koordinaten
Rotation
3-2
Vektoren
Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke:
−→
~a = PQ
bezeichnet den Vektor vom Punkt P zum Punkt Q. Alternativ kann ein
Vektor als Parallel-Verschiebung des Raumes interpretiert und mit einem
Pfeil identifiziert werden.
P2
−~a
P1
~a
~a
Q2
Q1
Vektoren
Vektoren
1-1
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, stellen gleichlange Pfeile mit gleicher
−−−→ −−−→
Richtung den gleichen Vektor dar, P1 Q1 = P2 Q2 . Die spezielle Darstellung
bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems wird als Ortsvektor
bezeichnet und definiert die Koordinaten des Vektors:


a
−→  1 
a2
OA =
.
a3
Die Koordinaten von ~a lassen sich ebenfalls als Differenz der Koordinaten
der Punkte Q und P berechnen. Schließlich wird mit
−→ −→ ~
OO = PP = 0
der Nullvektor bezeichnet.
Vektoren
Vektoren
1-2
Addition von Vektoren
Die Summe von zwei Vektoren entspricht der Hintereinanderschaltung
zweier Verschiebungen,
−→ −→ −→
PR = PQ + QR .
Q
~b
~a
P
Vektoren
~c
R
Addition von Vektoren
1-1
Für die Koordinaten gilt entsprechend

 
 

a1
b1
a1 + b1
~c = ~a + ~b =  a2  +  b2  =  a2 + b2  .
a3
b3
a3 + b3
Mit
−→
−→
QP = −PQ
−→
wird die zu ~a = PQ entgegengesetzte Verschiebung −~a bezeichnet.
Insbesondere gilt
~a + (−~a) = ~0, ~a + ~0 = ~a .
Vektoren
Addition von Vektoren
1-2
Beispiel:
berechne
−→ −→ −→
PR = PQ + QR,
−→ −→ −→
−→ −→
RP = RQ + QP = −PQ + −QR
Q
~
P
~b
Vektoren
~b
~a
PSfrag replaements
R
~a
Addition von Vektoren
2-1
Koordinaten:
P = (1, 1, 1),
−→ ~ −→
−→
~a = PQ, b = QR, ~c = PR

~c = ~a + ~b = 

= 

−~b + (−~a) = 

Vektoren
= 
Q = (4, 2, 7),
 
4−1
2−1 +
7−1
 
3
−3
1 + 2
6
−4
 
4−1
2−4 +
7−3

0
−3  = −~c
−2
R = (1, 4, 3)

1−4
4−2 
3−7
  
0
= 3 
2
 
 

1−4
3
−3
1 − 2  =  −2  +  −1 
1−7
4
−6
Addition von Vektoren
2-2
Beispiel:
Zerlegung der Gewichtskraft f~G für eine schiefe Ebene mit Hilfe des
Kräfteparallelogramms:
f~G =
f~N
|{z}
+
Normalkraft
f~H
f~H
|{z}
Hangabtriebskraft
f~N
f~G
Vektoren
Addition von Vektoren
3-1
Skalarmultiplikation
Der Vektor s~a entspricht einer s-fachen Verschiebung, d.h.

 

a1
sa1
s  a2  =  sa2  .
a3
sa3
Speziell ist 0~a = ~0.
sa2
a2
s~a
~a
a1
Vektoren
sa1
Skalarmultiplikation
1-1
Beispiel:
Schnittpunkt S (Schwerpunkt) der Seitenhalbierenden in einem Dreieck:
C
~s =
1
~a + ~b + ~c
3
Mb
Ma
S
A
Mc
B
Darstellung der Punkte auf der Seitenhalbierenden AMa :
1~ 1
~ a − ~a) = ~a + t
p~ = ~a + t(m
b + ~c − ~a , t ∈ [0, 1]
2
2
t = 2/3
=⇒
p~ = ~s
=⇒
S teilt AMa im Verhältnis 2 : 1
analoges Argument für BMb und CMc
S gemeinsamer Punkt der 3 Seitenhalbierenden
Vektoren
Skalarmultiplikation
2-1
Betrag eines Vektors
−→
Der Betrag von ~a = PQ ist die Länge des Pfeils von P nach Q bzw. von O
nach A, d.h.
q
|~a| = a12 + a22 + a32 .
Insbesondere ist |s~a| = |s||~a|.
Ein Vektor mit Betrag bzw. Länge 1 wird als Einheitsvektor bezeichnet
und man benutzt die Schreibweise
~v 0 = ~v /|~v |
für einen solchen normierten Vektor.
Vektoren
Betrag eines Vektors
1-1
Beispiel:


4
~a =  −1 
8
Betrag:
|~a| =
√
16 + 1 + 64 = 9
normierter Vektor:




4
4/9
~a0 =  −1  /9 =  −1/9 
8
8/9
Vektoren
Betrag eines Vektors
2-1
Dreiecksungleichung
Für eine Summe zweier Vektoren gilt
|~a + ~b| ≤ |~a| + |~b|
mit Gleichheit genau dann, wenn ~a und ~b parallel sind, d.h. ~a = s ~b.
~b
~a
~a + ~b
Vektoren
Dreiecksungleichung
1-1
Rechenregeln für Vektoren
Für Vektoren gelten die folgenden Rechenregeln.
Kommutativgesetz:
~a + ~b = ~b + ~a
Assoziativgesetz:
~a + (~b + ~c ) = (~a + ~b) + ~c
Distributivgesetz:
s(~a + ~b) = s~a + s ~b
Vektoren
Rechenregeln
1-1
fragBeispiel:
replaements
Flug nach Osten mit 800km/h, Windgeschwindigkeit 50km/h aus WSW
~x + ~y
O
~y
~p
~x
d~
~x + ~p
Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs
800
~x =
0
Vektor der Windgeschwindigkeit
50 cos(π/8)
~y =
50 sin(π/8)
Vektoren
Rechenregeln
2-1
Position nach einer Stunde
800 + 50 cos(π/8)
846.19
~x + ~y =
≈
50 sin(π/8)
19.13
p~ orthogonale Projektion von ~y auf die Gerade in Richtung von ~x
Geschwindigkeitskomponente nach Osten
800 + 50 cos(π/8)
846.19
~x + p~ =
≈
0
0
Drift nach Norden
d~ = ~x + ~y − (~x + p~) =
0
50 sin(π/8)
≈
0
19.13
Gesamtgeschwindigkeit ~vgesamt = ~x + p~ + d~
Vektoren
Rechenregeln
2-2
Winkel zwischen zwei Vektoren
Für ~a, ~b 6= ~0 bezeichnet man mit ^(~a, ~b) ∈ [0, π] den kleineren der beiden
Winkel, den die mit den Vektoren assoziierten Pfeile in einem
gemeinsamen Scheitelpunkt bilden.
~a
∢(~a, ~b)
~b
Die beiden Vektoren sind orthogonal, ~a ⊥ ~b, wenn der Winkel gleich π/2
ist. Dabei vereinbart man, dass der Nullvektor auf jedem Vektor senkrecht
steht.
Skalarprodukt
Winkel
1-1
Beispiel:
Winkel zwischen Vektoren
g replaements
~
b
~
a
^(
~
a; ~
b)
PSfrag replaements
~b
~a
^(~a; ~b) = =0
~a
~
b
~
a
PSfrag replaements
~b
∢(~a, ~b) =
Skalarprodukt
^(
π
2
~
a; ~
b)
Winkel
= 4
2-1
Kosinussatz
In einem Dreieck gilt für den der Seite AB gegenüberliegenden Winkel γ
c 2 = a2 + b 2 − 2ab cos γ .
B
c
a
γ
A
b
Als Spezialfall erhält man für γ = π/2 den Satz des Pythagoras:
c 2 = a2 + b 2 .
Skalarprodukt
Kosinussatz
1-1
Beweis:
a
γ
c
h
q
p
b
Satz des Pythagoras
=⇒
c 2 = h2 + q 2 ,
h 2 = a2 − p 2
mit q = b − p, p = a cos γ
Einsetzen
c 2 = (a2 − p 2 ) + (b − p)2
= a2 − p 2 + b 2 − 2b(a cos γ) + p 2
= a2 + b 2 − 2ab cos γ
Skalarprodukt
Kosinussatz
2-1
Sinussatz
In einem Dreieck
C
γ
a
b
α
β
c
A
B
verhalten sich die Längen der Seiten wie die Sinuswerte der
gegenüberliegenden Winkel:
sin β
sin γ
sin α
=
=
a
b
c
bzw. sin α : sin β : sin γ = a : b : c.
Skalarprodukt
Sinussatz
1-1
Beweis:
betrachte die durch eine Höhe begrenzten rechtwinkligen Teildreiecke
b
α
β
b
sin α =
h
,
b
=⇒
sin α : sin β =
Skalarprodukt
a
h
sin β =
h
a
h h
: =a:b
b a
Sinussatz
2-1
Beispiel:
Entfernung d zweier schwer zugänglicher Punkte P und Q
P
d
Q
α
b
a
A
30◦
30◦
c = 100
Sinussatz
45◦
^(APB) = 90◦ − 60◦ = 30◦
a = 100/ sin 30◦ = 200
Winkelsumme gleich 180◦
α = 15◦
B
=⇒ b : 100 = sin 135◦ : sin 15◦ , d.h.
b ≈ 100 · 0.7071/0.2588 = 273.2
Kosinussatz
=⇒
d 2 = a2 + b 2 − 2ab cos 30◦ , d.h.
d ≈ (40000 + 74640 − 2 · 54640 · 0.8660)1/2 = 141.4
Skalarprodukt
Sinussatz
3-1
exakte algebraische Rechnung:
Additionstheorem
=⇒
1/2 = sin(30◦ ) = 2s
p
1 − s 2,
| {z }
s = sin(15◦ )
cos(15◦ )
d.h.
und s =
p
2−
√
(1/4)2 = s 2 (1 − s 2 )
3/2 (Lösung in (0, 1/2))
Skalierung der Längen mit dem Faktor 1/100, cos(30◦ ) =
√
3/2
a = 2
1
2
√ p
√
2 2− 3
√
4
2
3
2
√ −2·2· √ p
d = 4+
=2
√ ·
2(2 − 3)
2 2− 3 2
√
dunskaliert = 100 2)
b =
(
Skalarprodukt
Sinussatz
3-2
Beweis der letzten Gleichheit durch Umformung
√
2
4 3
√ =√ p
2+
√
2− 3
2 2− 3
√
√
1/(2 − 3) = 2 + 3 und Quadrieren
√
36 + 24 3 + 12 =
48
√
2(2 − 3)
Übereinstimmung nach Erweitern der rechten Seite mit 2 +
Skalarprodukt
Sinussatz
√
3
3-3
Skalarprodukt von Vektoren im Raum
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist durch
~a · ~b = |~a||~b| cos ^(~a, ~b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
definiert. Insbesondere ist
~a · ~a = |~a|2
und
~a · ~b = 0
⇔
~a ⊥ ~b .
Aus der Koordinatendarstellung des Skalarproduktes folgt
~a · ~b = ~b · ~a
sowie
s~a + r ~b · ~c = s~a · ~c + r ~b · ~c ,
d.h. es gelten die für Produkte üblichen Rechenregeln.
Skalarprodukt
Skalarprodukt
1-1
Beweis:
Kosinussatz:
2
2
~a
PSfrag replaements
|~c | = |~a| + |~b| − 2|~a||~b| cos γ
2
~
~b
Umformung
2|~a||~b| cos γ = (a12 + a22 + a32 ) + (b12 + b22 + b32 ) − (c12 + c22 + c32 )
Substitution ci2 = (bi − ai )2
Vereinfachung der rechten Seite zu
2a1 b1 + 2a2 b2 + 2a3 b3
Skalarprodukt
Skalarprodukt
2-1
Beispiel:
Dreieck mit A = (6, 0), B = (4, 4), C = (0, 0)
−→
−→
4
6
~a = CB =
, ~b = CA =
,
4
0
−→
~c = BA =
2
−4
B
~a
~c
γ
C
~b
A
Winkelberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes:
4
6
·
4
0
24
1
cos γ = = √
=√
4 6 32 · 6
2
4 0 Skalarprodukt
Skalarprodukt
=⇒
γ=
π
4
3-1
Illustration des Kosinussatzes:
~a = (4, 4)t , ~b = (6, 0)t , ~c = (2, −4)t , γ = π/4
|~c |2 − |~a|2 − |~b|2 = 20 − 32 − 36 = −48
und
√
√
−2|~a||~b| cos γ = −2 (4 2) 6/ 2 = −48 X
Skalarprodukt
Skalarprodukt
3-2
Orthogonale Basis
Eine Orthogonalbasis im Raum besteht aus drei paarweise orthogonalen
~ , jeweils ungleich ~0.
Vektoren u~, ~v , w
~aw
w
~
~a
~av
~v
~au
~u
Skalarprodukt
Orthogonale Basis
1-1
Wie in der Abbildung illustriert ist, lässt sich jeder Vektor ~a als
Linearkombination
~a =
~a · u~
2
|~
u|
u~ +
~a · ~v
2
|~v |
~a · w
~
~v +
|~
w |2
~
w
darstellen. Die Summanden sind die Projektionen ~au , ~av , ~aw , auf die durch
die Basisvektoren erzeugten Achsen, und für die Koeffizienten gilt
|~a · u~|2
2
|~
u|
+
|~a · ~v |2
2
|~v |
+
~ |2
|~a · w
2
|~
w|
= |~a|2 .
~ normiert (|~
Sind die Vektoren u~, ~v , w
u | = |~v | = |~
w | = 1), so spricht man
von einer Orthonormalbasis.
Skalarprodukt
Orthogonale Basis
1-2
Speziell ist


a1
 a2  = a1 e~x + a2 e~y + a3 e~z
a3
für die kanonische Orthonormalbasis
 
 
1
0



0 , e~y =
1 ,
e~x =
0
0
des kartesischen Koordinatensystems.
Skalarprodukt


0
e~z =  0 
1
Orthogonale Basis
1-3
Beweis:
(i) Berechnung der Basis-Koeffizienten:
Bilden des Skalarproduktes von
~a = α~
~
u + β~v + γ w
mit den Basisvektoren
~ · u~ = 0
u~ · u~ = |~
u |2 , ~v · u~ = w
=⇒
~a · u~ = (α~
~ ) · u~ = α|~
u + β~v + γ w
u |2
und somit α = ~a · u~/|~
u |2
analoge Berechnung von β und γ
Skalarprodukt
Orthogonale Basis
2-1
(ii) Formel für die Quadratsumme:
~ ) · (α~
~)
|~a|2 = (α~
u + β~v + γ w
u + β~v + γ w
Ausmultiplizieren
|~a|2 = α2 |~
u |2 + β 2 |~v |2 + γ 2 |~
w |2
wegen Orthogonalität der Basisvektoren
(iii) Differenzvektoren zu den Projektionen:
~a − α~
u,
~a − β~v ,
~a − γ w
~
senkrecht auf den entsprechenden Basisvektoren, z.B.
~ ) · u~ = 0
(~a − α~
u ) · u~ = (β~v + γ w
Skalarprodukt
Orthogonale Basis
2-2
Beispiel:
Bzgl. der orthogonalen Basis
u~ = (1, 1, 0)t ,
~v = (1, −1, 1)t ,
~ = (−1, 1, 2)t
w
besitzt der Vektor
~a = (1, 2, 4)t = e~x + 2~
ey + 4~
ez
die Koeffizienten
α =
β =
γ =
Skalarprodukt

  
1
1
~a · u~
1    3
2
1
=
·
=
|~
u |2
2
2
4
0
  

1
1
~a · ~v
1  
=1
2
−1
=
·
|~v |2
3
4
1
  

1
−1
~a · w
~
1  
3
2
1 =
=
·
2
|~
w|
6
2
4
2
Orthogonale Basis
3-1
Basisdarstellung






1
1
−1
3  
3
~a =
1
·
+ 1 ·  −1  +  1 
2
2
0
1
2
 
1

2 
=
4
Quadrat des Betrags
|~a|2 = 1 + 4 + 16 = 21
Quadratsumme der Koeffizienten
α2 |~
u |2 + β 2 |~v |2 + γ 2 |~
w |2 =
Skalarprodukt
9
9
· 2 + 1 · 3 + · 6 = 21
4
4
Orthogonale Basis
3-2
Satz des Pythagoras
Für orthogonale Vektoren u~ und ~v gilt
|~
u + ~v |2 = |~
u |2 + |~v |2 .
Der Satz ist heute als Satz des Pythagoras (569-475 v. Chr.) bekannt,
obwohl ihn bereits die Babylonier 1000 Jahre früher kannten.
Möglicherweise war aber Pythagoras der erste, der ihn bewiesen hat.
Skalarprodukt
Satz des Pythagoras
1-1
Beweis:
Linearität des Skalarprodukts
=⇒
|~
u + ~v |2 = (~
u + ~v ) · (~
u + ~v )
= u~ · u~ + |u~ · ~v {z
+ ~v · u~} +~v · ~v
2
~⊥~
=0, da u
v
2
= |~
u | + |~v |
Skalarprodukt
Satz des Pythagoras
2-1
Beispiel:
Pythagoräisches Tripel:
`, m, n ∈ N :
`2 + m2 = n2 ,
d.h. ganzzahlige Seitenlängen für rechtwinklige Dreiecke
Anwendung durch die Ägypter: Konstruktion rechter Winkel via Ergänzung
ungerader Zahlen ` durch m = (`2 − 1)/2 und n = (`2 + 1)/2 zu einem
Pythagoräischen Tripel:
`4 + 2`2 + 1
`4 − 2`2 + 1
=
=
` +
4
4
2
Multiplikation der Tripel mit 2
Skalarprodukt
`2 + 1
2
2
Tripel für jede gerade Zahl ` ≥ 6
Satz des Pythagoras
3-1
allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten Binomischen
Formel
c 2 − b 2 = (c − b)(c + b) = a2
ganzzahlige Lösung, wenn a2 in zwei unterschiedliche Faktoren
zerlegbar ist, die eine gerade Differenz (= 2b) aufweisen
Für ungerades a = ` gilt dies für die Aufteilung a2 = a2 · 1 mit
b=
a2 − 1
,
2
c=
a2 + 1
2
obiger Spezialfall
Skalarprodukt
Satz des Pythagoras
3-2
Vektorprodukt
Der Vektor
~c = ~a × ~b
ist zu ~a und ~b orthogonal, gemäß der Rechten-Hand-Regel“ orientiert und
”
hat die Länge
~c = ~a~b sin(^(~a, ~b)) ,
die dem Flächeninhalt des von den Vektoren ~a und ~b aufgespannten
Parallelogramms entspricht.
Mittelfinger
~c
~b
∢(~a, ~b)
Zeigefinger
~a
Daumen
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
1-1
Insbesondere gilt
~a × ~b = ~0 für ~ak~b;
~a × ~b = ~a~b für ~a⊥~b.
Alternativ lässt sich das Vektorprodukt durch


a2 b3 − a3 b2
~a × ~b =  a3 b1 − a1 b3 
a1 b2 − a2 b1
definieren.
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
1-2
Beweis:
(i) Linearität der geometrischen Definition:
Multiplikation mit Skalaren X
~a = e~z
Invarianz unter Drehungen
additiv bzgl. des zweiten Arguments, da
~c = e~z × (b1 , b2 , b3 )t = (−b2 , b1 , 0)t
Begründung:
~c ⊥ e~z , ~b
b3 irrelevant für den Flächeninhalt (Scherung)
^(e~z , ~b) = π/2, |e~z | = 1
|~c | X
o.B.d.A. b3 = 0
richtige Orientierung (prüfe alle Vorzeichenkombinationen der bk mit
der rechten Hand Regel“)
”
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
2-1
(ii) Übereinstimmung mit der analytischen Definition:
bereits gezeigt für ~a = e~z , e~x , e~y analog
Antisymmetrie
richtig für ~a = e~x , e~y , e~z
Linearität
allgemeiner Fall
(iii) Flächeninhalt A des Parallelogramms:
A = |~b| h mit der Höhe
h = |~a| sin ^(~a, ~b)
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
2-2
Beispiel:
Vektorprodukt ~c der Vektoren
~a = (2, 1, 2)t ,
~c ⊥ ~a, ~b
~b = (3, 3, 0)t
~c = λ(−1, 1, 1/2)t
Rechte-Hand-Regel
Winkel
=⇒
λ>0
~a · ~b
9
1
√ =√
cos ^(~a, ~b) =
=
~
3·3 2
2
|~a| |b|
=⇒
^(~a, ~b) = π/4
Fläche des aufgespannten Parallelogramms
√
1
|~c | = |~a| |~b| sin ^(~a, ~b) = 3 · 3 2 · √ = 9
2
~c = λ(−1, 1, 1/2)t = (−6, 6, 3)t
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
3-1
analytische Definition
    
 

2
3
1·0−2·3
−6
~c =  1  ×  3  =  2 · 3 − 2 · 0  =  6 
2
0
2·3−1·3
3
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
3-2
Beispiel:
Vektorprodukte der kanonischen Basisvektoren:
e~x × e~y = e~z , e~y × e~z = e~x , e~z × e~x = e~y
e~x × e~x = ~0, e~y × e~y = ~0, e~z × e~z = ~0
entsprechende Formeln für eine beliebige, gemäß der Rechten-Hand-Regel
orientierte Orthonormalbasis
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
4-1
Beispiel:
Lorentzkraft für ein Elektron mit Ladung −e und Geschwindigkeit ~v in
einem Magnetfeld ~b:
f~ = e ~b × ~v
Auslenkung des stromdurchflossenen Leiters in Richtung f~
+
−
~v
f~
~b
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
5-1
Regeln für Vektorprodukte
Für Vektorprodukte gelten die folgenden Rechenregeln:
Antisymmetrie
~a × ~b = − ~b × ~a
Linearität
α1 ~a1 + α2 ~a2 × β1 ~b1 + β2 ~b2 =
α1 β1 ~a1 × ~b1 + α1 β2 ~a1 × ~b2 + α2 β1 ~a2 × ~b1 + α2 β2 ~a2 × ~b2
Grassmann-Identität
(~a × ~b) × ~c = (~a · ~c ) ~b − (~b · ~c ) ~a
Lagrange-Identität
~ = (~a · ~c )(~b · d)
~ − (~a · d)(
~ ~b · ~c )
(~a × ~b) · (~c × d)
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
6-1
Beweis:
(i) Antisymmetrie und Linearität: X
(ii) Grassmann- und Lagrange-Identität:
Linearität
o.B.d.A. ~a, ~b kanonische Basisvektoren
~
~a = e~x = b: beide Seiten der Identitäten Null
~a = e~x , ~b = e~y :
linke Seite der Grassmann-Identität

 
  
−c2
0
c1
(~
ex × e~y ) × ~c =  0  ×  c2  =  c1 
0
c3
1
Übereinstimmung mit rechter Seite c1 e~y − c2 e~x
Lagrange-Identität im betrachteten Spezialfall
  

0
···
 0 ·
 = c1 d2 − d1 c2
···
1
c1 d2 − c2 d1
analoge Argumentation für andere Kombinationen von Basisvektoren
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
7-1
Beispiel:
(i) Linearität vorteilhaft bei parallelen Vektoren:
 
    
 
0
1
0
1
3  0  +  2  ×  0  + 2  2 
1
0
1
0
       
0
1
1
0
= 6 0  ×  2  +  2  ×  0 
1
0
0
1
   

 

0
1
0−2
−10
= (6 − 1)  0  ×  2  = 5  1 − 0  =  5 
1
0
0−0
0
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
8-1
(ii) Vektorprodukte
einfacher berechenbare Skalarprodukte:
Grassmann-Identität: (~a × ~b) × ~c = (~a · ~c ) ~b − (~b · ~c ) ~a
    

 
  

1
0
−2
0
1
−1
 2  ×  1  ×  1  = 0  1  −1  2  =  −2 
3
2
0
2
3
−3
~ = (~a · ~c )(~b · d)
~ − (~a · d)(
~ ~b · ~c )
Lagrange-Identität: (~a × ~b) · (~c × d)
    
  
1
0
−2
3
 2  ×  1  ·  1  ×  0  = 0 · 6 − 12 · 1 = −12
3
2
0
3
Vektor- und Spatprodukt
Vektorprodukt
8-2
Epsilon-Tensor
Der ε-Tensor
εi,j,k ∈ {−1, 0, 1},
i, j, k ∈ {1, 2, 3} ,
ist Null bei zwei gleichen Indizes und hat für paarweise verschiedene
Indizes die Werte
ε1,2,3 = ε2,3,1 = ε3,1,2 = 1 ,
ε1,3,2 = ε2,1,3 = ε3,2,1 = −1 .
Er ist also invariant unter zyklischer Permutation und ändert bei
Vertauschung von Indizes das Vorzeichen.
Vektor- und Spatprodukt
Epsilon-Tensor
1-1
Beispiel:
Vektorprodukt


a2 b3 − a3 b2
~c = ~a × ~b =  a3 b1 − a1 b3 
a1 b2 − a2 b1
Darstellung mit Hilfe des ε-Tensors
ci =
3
X
εi,j,k aj bk
j,k=1
z.B.
c1 = ε1,2,3 a2 b3 + ε1,3,2 a3 b2
| {z }
| {z }
1
−1
c2 , c3 durch zyklische Indexverschiebung
Vektor- und Spatprodukt
Epsilon-Tensor
2-1
Spatprodukt
Das Spatprodukt
~a, ~b, ~c = ~a · (~b × ~c ) =
a1 (b2 c3 − b3 c2 ) + a2 (b3 c1 − b1 c3 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 )
stimmt bis auf Vorzeichen mit dem Volumen des von den drei Vektoren ~a,
~b, ~c aufgespannten Spats überein. Es ist positiv, wenn die Vektoren ~a, ~b, ~c
gemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert sind.
~b × ~c
~a
~c
~b
Vektor- und Spatprodukt
Spatprodukt
1-1
Mit Hilfe des ε-Tensors lässt sich das Spatprodukt auch in der Form
3
X
~
~a, b, ~c =
εi,j,k ai bj ck
i,j,k=1
schreiben.
Vektor- und Spatprodukt
Spatprodukt
1-2
Beweis:
Normale des von ~b, ~c aufgespannten Parallelogramms
~b × ~c
d~ =
|~b × ~c |
~
Höhe des Spats (Länge der Projektion von ~a auf d)
~
~ ,
h = |~a| cos ^(~a, d) = |~a · d|
~ =1
da |d|
Volumen (Produkt aus Höhe und Flächeninhalt des Parallelogramms)
!
~b × ~c |~b × ~c | = |[~a, ~b, ~c ]|
~a ·
|~b × ~c | Vektor- und Spatprodukt
Spatprodukt
2-1
Beispiel:
Oberfläche und Volumen des von den Vektoren
 
 
 
0
2
3
~a =  1  , ~b =  0  , ~c =  1 
0
3
2
aufgespannten Spats:
(i) Oberfläche:
√
√
~a ⊥ ~b
Rechteck
Fab = 1 · 22 + 32 = 13
Permutation und Scherung
Fac = Fab
    

2
3 −3 √
√
Fbc =  0  ×  1  =  5  = 9 + 25 + 4 = 38
3
2 2
√
√
Oberfläche: 2Fab + 2Fac + 2Fbc = 4 13+
2 38
 ≈26.75 
0
−3 (ii) Volumen: |[~a, ~b, ~c ]| = |~a · (~b × ~c )| =  1  ·  5  = 5
0
2
Vektor- und Spatprodukt
Spatprodukt
3-1
Eigenschaften des Spatprodukts
Das Spatprodukt ist linear in jedem Argument und besitzt darüber hinaus
die folgenden weiteren Eigenschaften.
zyklische Vertauschung:
[~a, ~b, ~c ] = [~b, ~c , ~a] = [~c , ~a, ~b]
lineare Abhängigkeit:
[~a, ~b, ~c ] = 0
⇔
~0 = α~a + β ~b + γ~c
mit mindestens einem der Skalare α, β, γ ungleich 0.
Orientierung:
[~a, ~b, ~c ] > 0
für jedes Rechtssystem.
Vektor- und Spatprodukt
Spatprodukt
4-1
Volumen eines Tetraeders
Das Volumen V eines Tetraeders, der von den Vektoren ~a, ~b und ~c
aufgespannt wird, lässt sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen:
1
V = |[~a, ~b, ~c ]| .
6
~a
~
Sfrag replaements
Vektor- und Spatprodukt
~b
Volumen eines Tetraeders
1-1
Beweis:
Volumen eines Tetraeders:
1
V = Gh
3
mit h der Höhe und G dem Inhalt der Grundfläche des von den Vektoren
~b, ~c aufgespannten Dreiecks
G : halbe Parallelogrammfläche
G = GSpat /2
und
1
1
1
GSpat h = VSpat = |[~a, ~b, ~c ]|
6
6
6
mit dem Spatvolumen VSpat
V =
Vektor- und Spatprodukt
Volumen eines Tetraeders
2-1
Beispiel:
Volumen eines von den Vektoren
 
 
0
1
~a =  1  , ~b =  1  ,
1
0
aufgespannten Tetraeders:
1
|[~a, ~b, ~c ]|
6   
0
1   
= 1
·
6 1
  
0
0
1   
0
= 1
·
6 1
2


0
~c =  2 
0
V =
Vektor- und Spatprodukt
  
1
0




1
2
×
0
0

 = 2 = 1
6
3
Volumen eines Tetraeders
3-1
Berechnung von Koordinaten mit Hilfe des Spatproduktes
~ ein echtes Spat auf, so lässt sich ein
Spannen die Vektoren u~, ~v und w
beliebiger Vektor ~x als Linearkombination
~x = α~
~
u + β~v + γ w
darstellen mit den Koeffizienten
α=
~]
[~x , ~v , w
,
~]
[~
u , ~v , w
Vektor- und Spatprodukt
β=
~ , u~]
[~x , w
,
~ , u~]
[~v , w
γ=
[~x , u~, ~v ]
.
[~
w , u~, ~v ]
Berechnung von Koordinaten
1-1
Beweis:
~x = α~
~
u + β~v + γ w
~
Skalarprodukt mit ~v × w
~x · (~v × w
~ ) = α u~ · (~v × w
~)
~) = 0 = w
~ · (~v × w
~)
denn ~v · (~v × w
~ ] 6= 0
[~
u , ~v , w
=⇒
~]
[~x , ~v , w
α=
~]
[~
u , ~v , w
analoge Berechnung von β und γ
Vektor- und Spatprodukt
Berechnung von Koordinaten
2-1
Beispiel:
Darstellung des Vektors

−2
~x =  8 
2
als Linearkombination der Basisvektoren
 
 
2
1
u~ =  0  , ~v =  1  ,
2
1
Spatprodukte


0
~ = 1 
w
1
 
2
1




~ ] = [~v , w
~ , u~] = [~
0
1
[~
u , ~v , w
w , u~, ~v ] =
·
2
1
  
2
0
=  0  ·  −1
2
1
Vektor- und Spatprodukt





0
 ×  1 
1

=2
Berechnung von Koordinaten
3-1

 
−2
1
~ ] =  8  ·  1
[~x , ~v , w
2
1

 
−2
0
=  8  ·  −1
2
1
analog
~ , u~] = 8,
[~x , w



0
 ×  1 
1

 = −6
[~x , u~, ~v ] = 8
Quotienten
Koeffizienten und
 
 
 
2
1
0
8
8
6





~ = −3 0
~x = − u~ + ~v + w
+4 1 
+4 1
2
2
2
2
1
1
Vektor- und Spatprodukt
Berechnung von Koordinaten
3-2
Punkt-Richtungs-Form
Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung u~ lassen sich in
parametrischer Form durch
−→
PX = t u~,
t∈R
darstellen.
X
~u
P
Entsprechend gilt
xi = pi + tui ,
i = 1, 2, 3 ,
für die Koordinaten des Ortsvektors ~x = p~ + t u~.
Geraden
Punkt-Richtungs-Form
1-1
Beispiel:
Punkt-Richtungs-Form einer Geraden
1
2
g : ~x =
+t
,
3
−1
t∈R
4
P
3
3
~u
2
=
3
−1.5
2
p~ =
1
1
3
X
~x =
0
−1
0
1
2
1
3
3
+
3
−1.5
4
=
4
1.5
5
6
X : Parameterwert t = 3/2
Geraden
Punkt-Richtungs-Form
2-1
Zwei-Punkte-Form
Die Punkte X auf einer Geraden durch zwei Punkte P 6= Q lassen sich in
der Form
−→
−→
PX = t PQ, t ∈ R ,
darstellen. Die Parameterwerte t ∈ [0, 1] entsprechen der Strecke PQ.
Q
−→
PQ
X
P
−−→
PX
Entsprechend gilt
xi = pi + t(qi − pi ),
i = 1, 2, 3 ,
für die Koordinaten des Ortsvektors ~x = p~ + t(~
q − p~).
Geraden
Zwei-Punkte-Form
1-1
Beispiel:
Zwei-Punkte-Form einer Geraden
1
5−1
g : ~x =
+t
,
3
1−3
P
3
2
p~ =
1
3
X
1
~x =
0
0
t∈R
1
2
1
3
+
1
2
3
5−1
1−3
4
=
3
2
Q = (5, 1)
5
6
X teilt PQ im Verhältnis t : (1 − t)
t = 1/2
Mittelpunkt zwischen den Punkten P und Q
Geraden
Zwei-Punkte-Form
2-1
Momentenform
Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung u~ lassen sich durch
−→
PX × u~ = ~0
beschreiben.
~u
−−→
PX
~u
X
−−→
~x = OX
|~x × ~u| = |~c|
P
−→
OP = p~
|~p × ~u| = |~c|
O
Entsprechend gilt für den Ortsvektor ~x × u~ = ~c , ~c = p~ × u~.
Geraden
Momentenform
1-1
Beispiel:
Momentenform einer Geraden:
−→
X ∈ g ⇔ PX × u~ = ~0
4
3
P = (1, 3) ~u =
−−→
|P X2 × ~u|
2
−1
2
−−→
P X1
−−→
P X2
X2 = (3.5, 1)
1
0
−1
0
Geraden
1
2
3
4
X1 = (5, 1)
5
Momentenform
6
7
2-1
  
5
−−→
PX1 × u~ =  1  − 
0

 
4
=  −2  × 
0
=⇒
=⇒
X1 ∈ g
 

1
2
3  ×  −1 
0
0
 

2
0
 = ~0
−1  = 
0
0
4 · (−1) − (−2) · 2

 

2.5
2
−−→
PX2 × u~ =  −2  ×  −1 
0
0

 

0
0
 =  0  6= ~0
0
= 
2.5 · (−1) − (−2) · 2
1.5
X2 ∈
/g
Geraden
Momentenform
2-2
Abstand Punkt-Gerade
Die Projektion X eines Punktes Q auf eine Gerade durch P mit Richtung
u~ erfüllt
−→
(~
q − p~) · u~
PX = t u~ ⇔ ~x = p~ + t u~, t =
.
|~
u |2
~u
−−→ X
t~u = P X
Q
~u
P
−→
OP = p~
|(~q − ~p) × ~u|
−→
P Q = ~q − ~p
−→
OQ = ~q
O
Geraden
Abstand Punkt-Gerade
1-1
−→
Der Abstand d = |XQ| lässt sich alternativ mit dem Vektorprodukt
berechnen:
|(~
q − p~) × u~|
.
d=
|~
u|
Geraden
Abstand Punkt-Gerade
1-2
Beweis:
−→
prüfe die Orthogonalität von XQ zu u~ (~x = p~ + t u~):
−→
(~
q − p~) · u~
~ − p~ +
q
XQ · u~ =
u~
· u~
|~
u |2
(~
q − p~) · u~ 2
= (~
q − p~) · u~ −
|~
u| = 0
|~
u |2
Definition des Vektorproduktes
|~a × ~b| = |~a| |~b| sin ^(~a, ~b)
Formel für den Abstand
d
−→
−→
−→ −→
u | sin ^(PQ, u~)
PQ |~
−→
= XQ = PQ sin ^(PQ, u~) =
|~
u|
|(~
q − p~) × u~|
=
|~
u|
Geraden
Abstand Punkt-Gerade
2-1
Beispiel:
Projektion von Q = (3, 3, 3) auf die Gerade
 
 
2
1
g :  1 +t 1 
3
1
Punkt X mit dem Ortsvektor

    
3
2
1
   3  −  1  ·  1   
2
1
3
3
1
(~
q − p~) · u~
 1 +
 1 
~
p~ +
u
=
|~
u |2
12 + 1 2 + 1 2
3
1
   

2
1
3
1·1+2·1+0·1   


1
2
1
=
=
+
3
1
4
3

Geraden
Abstand Punkt-Gerade
3-1
Abstand
−→ q
√
d = XQ = (3 − 3)2 + (3 − 2)2 + (3 − 4)2 = 2
alternative Abstandsberechnung:
Anwendung der Formel
d=
|(~
q − p~) × u~|
|~
u|
~ − p~ = (3 − 2, 3 − 1, 3 − 3)t = (1, 2, 0)t
q
   
1
1  2  ×  1 
r
0
1 (2 − 0)2 + (0 − 1)2 + (1 − 2)2 √
√
d=
=
= 2
3
3
Geraden
Abstand Punkt-Gerade
3-2
Abstand zweier Geraden
Der Abstand zweier durch die Punkte P, Q und Richtungen u~, ~v
gegebener Geraden ist
−→
|[PQ, u~, ~v ]|
d=
,
|~
u × ~v |
falls u~ 6k ~v .
h−→
i
P Q, ~u, ~v ~u
~v
Q
Geraden
−→
PQ
P
Abstand zweier Geraden
1-1
Für parallele Geraden gilt
d=
−→
|PQ × u~|
.
|~
u|
Man bezeichnet zwei Geraden als windschief, wenn sie nicht parallel sind
und einen positiven Abstand haben.
Die Punkte X , Y kürzesten Abstandes erhält man aus den
Orthogonalitätsbedingungen
~x − ~y ⊥ u~, ~v ,
~x = p~ + s u~, ~y = q
~ + t~v
durch Lösen des resultierenden linearen Gleichungssystems für die
Parameter s, t.
Geraden
Abstand zweier Geraden
1-2
Beweis:
Ortsvektoren der Punkte kürzesten Abstandes
~x = p~ + s u~,
Differenzvektor
~y = q
~ + t~v
−→ −→
XY = PQ + t~v − s u~
−→
XY ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, also parallel zu
~c = u~ × ~v .
−→
berechne |XY | als Betrag des Skalarproduktes mit einem parallelen
Einheitsvektor: ~c ⊥ u~, ~v
−→
−→ ~c −→
~
c
= PQ ·
d = |XY | = (PQ + t~v − s u~) ·
|~c | |~c | parallele Geraden: Formel für den Abstand Punkt/Gerade
Geraden
Abstand zweier Geraden
2-1
Beispiel:
Geraden:
g : ~x = (1, 1, 3)t + s(1, 2, 1)t ,
h : ~y = (4, 1, 4)t + t(1, −2, 1)t
(i) Abstand:
d
=
=
    
4
1
1
 1  −  1  ·  2
h−→
i
PQ, u~, ~v 4
3
1
  
=
1
|~
u × ~v |
1
 2  ×  −2
1
1
  

3
4  0  ·  0 
1
−4 
1
 ×  −2 
1




√
8
p
= √ = 2
2
2
2
4 2
(2 − (−2)) + (1 − 1) + ((−2) − 2)
Geraden
Abstand zweier Geraden
3-1
(ii) Punkte kürzesten Abstandes:
~x − ~y ⊥ (1, 2, 1)t , (1, −2, 1)t ⇔
0 =
lineares Gleichungssystem
(−3, 0, −1)t + s(1, 2, 1)t − t(1, −2, 1)t · (1, 2, 1)t
= −4 + 6s + 2t
0 =
(−3, 0, −1)t + s(1, 2, 1)t − t(1, −2, 1)t · (1, −2, 1)t
= −4 − 2s − 6t
Lösung s = 1, t = −1
~x = (2, 3, 4)t ,
~y = (3, 3, 3)t
Kontrolle:
d = |~x − ~y | = |(−1, 0, 1)t | =
Geraden
√
2
X
Abstand zweier Geraden
3-2
Parametrische Darstellung einer Ebene
Punkte X auf einer Ebene durch P, die von zwei nicht parallelen
Richtungen u~ und ~v aufgespannt wird, erfüllen
−→
PX = s u~ + t~v ,
s, t ∈ R .
X
t~v
P
s~u
O
Ebenen
Parameterdarstellung einer Ebene
1-1
Entsprechend gilt
xi = pi + sui + tvi ,
i = 1, 2, 3 .
für die Koordinaten des Ortsvektors ~x = p~ + s u~ + t~v .
Ebenen
Parameterdarstellung einer Ebene
1-2
Beispiel:
Ebene durch P = (1, 2, 3), aufgespannt von u~ = (2, 0, 0)t , ~v = (1, 1, 1)t
 
 
 
1
2
1
E : ~x =  2  + s  0  + t  1  , s, t ∈ R
3
0
1
X = (1, 1, 2) ∈ E , denn
 
0
−→   1
PX = −1 = u~ + (−1)~v
2
−1
X = (0, 0, 0) ∈
/ E , denn
für alle s, t
Ebenen
 
 
 
−1
2
1
−→  
PX = −2 6= s 0 + t 1
−3
0
1
Parameterdarstellung einer Ebene
2-1
Drei-Punkte-Form einer Ebene
Für Punkte X auf einer Ebene durch drei Punkte P, Q, R, die ein echtes
Dreieck bilden, verschwindet das Spatprodukt:
−→ −→ −→
[PX , PQ, PR] = 0 .
R
X
ements
P
Ebenen
Q
Drei-Punkte-Form einer Ebene
1-1
Mit Hilfe von Determinanten lässt
Form
p1 q1
p2 q2
p3 q3
1 1
sich die Ebenengleichung auch in der
r1 x1
r2 x2 = 0
r3 x3
1 1
schreiben.
Ebenen
Drei-Punkte-Form einer Ebene
1-2
Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3), Q = (3, 2, 3), R = (2, 3, 4)
X = (1, 1, 2) ∈ E , denn
         
0
2
1
0
0
−→ −→ −→
[PX , PQ, PR] = −1 , 0 , 1 = −1 · −2 = 0
−1
0
1
−1
2
X = (0, 0, 0) ∈
/ E , denn
         
−1
2
1
−1
0
−→ −→ −→
[PX , PQ, PR] = −2 , 0 , 1 = −2 · −2
−3
0
1
−3
2
= 4 − 6 = −2 6= 0
Ebenen
Drei-Punkte-Form einer Ebene
2-1
Ebenengleichung
1
2
0=
3
1
3
2
3
1
2 x1
3 x2
4 x3
1 1
1 3 2
= 2 2 3
3 3 4
1 3 2
− x3 2 2 3
1 1 1
1 3 2
+ x2 3 3 4
1 1 1
2 2 3
− x1 3 3 4
1 1 1
= 2 − 2x3 + 2x2 − 0x1
d.h.
E : x3 − x2 = 1
Ebenen
Drei-Punkte-Form einer Ebene
2-2
Hesse-Normalform einer Ebene
Der Ortsvektor ~x eines Punktes X auf einer Ebene durch P orthogonal zu
einem Normalenvektor n~ erfüllt
~x · n~ = d,
~
n; j~
nj
d = p~ · n~ .
=1
~
n
X
P
PSfrag replaements
O
Ebenen
Hesse-Normalform einer Ebene
1-1
Bei der Normalform wird dabei |~
n| = 1 und d ≥ 0 angenommen. In diesem
Fall ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung. Der Normalenvektor zeigt
vom Ursprung in Richtung der Ebene.
Ebenen
Hesse-Normalform einer Ebene
1-2
Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n~◦ = (2, 2, 1)t /3
Normierung: n~◦ = σ~
n/|~
n| = σ(2, 2, 1)t /3
Wahl des Vorzeichens σ so, dass
 
 
1
2
1 
◦


2 =σ·3
0 ≤ d = |~
p · n~ | = 2 · σ
3
3
1
d.h. σ = 1 und d = 3
Hesse-Normalform E : ~x · n~◦ = d, d.h.
E:
2
1
2
x1 + x2 + x3 = 3
3
3
3
X = (4, 0, 1) ∈ E , denn ~x · n~◦ = 13 (8 + 0 + 1) = d
X = (0, 0, 0) ∈
/ E , denn ~x · n~◦ = 0 6= d
Ebenen
Hesse-Normalform einer Ebene
2-1
Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen:
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren u~, ~v :
Parameterdarstellung
E : ~x = p~ + s u~ + t~v ,
s, t ∈ R
~ = p~ + u~, ~r = p~ + ~v
weitere Punkte Q, R ∈ E : q
Drei-Punkte-Form
~ − p~, ~r − p~] = 0
E : [~x − p~, q
normierter Normalenvektor
n~◦ = σ
u~ × ~v
|~
u × ~v |
mit σ ∈ {−1, 1} so gewählt, dass d = p~ · n~◦ ≥ 0
Hesse-Normalform E : ~x · n~◦ = d
Ebenen
Hesse-Normalform einer Ebene
3-1
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden:
Drei-Punkte-Form
~ − p~, ~r − p~ = 0
E : ~x − p~, q
Vektoren, die E aufspannen
−→
u~ = PQ,
−→
~v = PR
Konstruktion der Hesse-Normalform wie in (i)
Ebenen
Hesse-Normalform einer Ebene
3-2
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n~:
Hesse-Normalform
E : ~x · n~0 = d,
d = p~ · n~0 ≥ 0
mit n~0 = σ · n~/|~
n| und σ ∈ {−1, 1}
Vektoren, die E aufspannen
u~ = n~ × ~x ,
~v = n~ × u~
mit ~x 6= λ~
n
Konstruktion der Drei-Punkte-Form wie in (i)
Ebenen
Hesse-Normalform einer Ebene
3-3
Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0),
Q = (1, −6, 2),
R = (−1, −8, 3)
Drei-Punkte-Form

         
7
1
7
−1
7
E : ~x − 2 , −6 − 2 , −8 − 2 = 0
0
2
0
3
0
Differenzen der Ortsvektoren
Richtungen, die die Ebene
aufspannen
 


−6
−8
−→  
−→ 
u~ = PQ = −8 , ~v = PR = −10
2
3
Parameterdarstellung der Ebene
 
 


7
−6
−8
E : ~x = 2 + s −8 + t −10 , s, t ∈ R
0
2
3
Ebenen
Hesse-Normalform einer Ebene
4-1
Normalenvektor
Normierung:

  
−24 + 20
−4
n~ = u~ × ~v = −16 + 18 =  2 
60 − 64
−4
 
−4
σ
n~0 =  2 
6
−4
mit σ ∈ {−1, 1} so gewählt, dass
 


7
−2/3
0 ≤ d = p~ · n~0 = 2 · σ  1/3  = σ(−4)
0
−2/3
d.h. σ = −1 und d = 4
Hesse-Normalform
E:
Ebenen
2
1
2
x1 − x2 + x3 = 4
3
3
3
Hesse-Normalform einer Ebene
4-2
Abstand Punkt-Ebene
Der Lotvektor eines Punktes Q auf eine Ebene E durch P mit
Normalenvektor n~ ist
−→
−→ PQ · n~
n~ .
XQ =
|~
n|2
Q
−→
PQ
−−→
XQ
~n
P
X
O
Ebenen
Abstand Punkt-Ebene
1-1
Die Länge des Lotvektors,
d=
−→
|PQ · n~|
,
|~
n|
ist der Abstand der Ebene zu Q. Der Punkt X mit dem Ortsvektor
~x = q
~−
(~
q − p~) · n~
n~
|~
n |2
wird als Projektion von Q auf E bezeichnet.
Ebenen
Abstand Punkt-Ebene
1-2
Beweis:
Projektion
~x = q
~ − λ~
n
X ∈E
=⇒
~x · n~ = q
~ · n~ − λ|~
n|2 = p~ · n~
Auflösen nach λ
Formel für den Abstand
λ=
(~
q − p~) · n~
,
|~
n|2
d = |λ~
n|
Lotvektor
~ − ~x = λ~
q
n
Ebenen
Abstand Punkt-Ebene
2-1
Beispiel:
Ebene E durch den Punkt P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n~ = (2, 1, 2)
Berechnung des Abstands d von Q = (3, 2, 3) sowie der Projektion X auf
E
 
2
−→  
−→
PQ = 0 , PQ · n~ = 4, |~
n| = 3
0
Lotvektor und Abstand
Projektion
 
−→
2
−→ PQ · n~
4 
1 ,
XQ =
n~ =
|~
n|2
9
2
Ebenen
−→
4
4
d = |XQ| = · 3 =
9
3
   
 
3
8/9
19
−→     1  
~x = q
~ − XQ = 2 − 4/9 =
14
9
3
19
8/9
Abstand Punkt-Ebene
3-1
Schnitt zweier Ebenen
Der kleinere der beiden Winkel ϕ ∈ [0, π/2] zwischen zwei Ebenen mit
Normalenvektoren n~i ist durch
cos ϕ =
|~
n1 · n~2 |
|~
n1 ||~
n2 |
eindeutig bestimmt. Die Schnittgeraden g hat die Richtung u~ = n~1 × n~2 .
!
n1
!
n2
Ebenen
Schnitt zweier Ebenen
1-1
Einen Punkt P auf g kann man durch simultanes Einsetzen in beide
Ebenengleichungen bestimmen und mit einer Lösung (p1 , p2 , p3 )t des
resultierenden unterbestimmten linearen Gleichungssystems erhält man
g : ~x = p~ + t u~,
t∈R
als Parameterdarstellung von g .
Ebenen
Schnitt zweier Ebenen
1-2
Beispiel:
Schnitt von Ebenen durch die Punkte P1 = (1, 2, 0), P2 = (0, 1, 3) mit
Normalenvektoren n~1 = (1, −1, 0)t , n~2 = (0, −1, 1)t
Schnittwinkel
cos ϕ =
1
|~
n1 · n~2 |
|1 · 0 + (−1)(−1) + 0 · 1|
√ √
=
=
|~
n1 ||~
n2 |
2
2 2
ϕ = π/3
Richtung der Schnittgeraden g


−1
u~ = n~1 × n~2 = −1
−1
Ebenen
Schnitt zweier Ebenen
2-1
Punkt X auf g durch Lösung der Ebenengleichungen ~x · n~k = p~k · n~k :
p~1 · n~1 = 1 − 2 + 0 = −1, p~2 · n~2 = 0 − 1 + 3 = 2
E1 : x1 − x2 = −1,
E2 : −x2 + x3 = 2
x2 = 0
x1 = −1 und x3 = 2
Parameterdarstellung der Schnittgeraden
 
 
−1
−1



0 + t −1 ,
g : ~x =
2
−1
Ebenen
t∈R
Schnitt zweier Ebenen
2-2
Beispiel:
Winkel zwischen Flächen eines regelmäßigen Tetraeders
wähle
√
√
P1 = (1, 0, 0), P2 = (−1, 0, 0), P3 = (0, 1, 2), P4 = (0, −1, 2)
und betrachte Ebenen durch P1 , P2 , P3 und P1 , P2 , P4
Normalenvektoren
    

−1
0
−2
−−−→ −−−→      √ 
0 × √1
n~1 = P1 P2 × P1 P3 =
= 2 2
0
2
−2
    

−1
0
−2
−−−→ −−−→      √ 
−1 = 2 2
0 × √
n~2 = P1 P2 × P1 P4 =
0
2
2
Schnittwinkel
|~
n1 · n~2 |
4
1
cos(ϕ) =
=√ √ =
|~
n1 ||~
n2 |
3
12 12
◦
ϕ ≈ 70.53
Ebenen
Schnitt zweier Ebenen
3-1
Ellipse
Für die Punkte P = (x, y ) auf einer Ellipse ist die Summe der Abstände zu
zwei Brennpunkten F± konstant:
−−→
−−→
|PF− | + |PF+ | = 2a
−−−→
mit 2a > |F− F+ |.
y
P
b
r
ϕ
F−
Quadratische Kurven
a
F+
Ellipse
x
1-1
Ist F± = (±f , 0), so gilt für die Koordinaten
x2 y2
+ 2 = 1,
a2
b
und
r2 =
b 2 = a2 − f 2 ,
b2
1 − (f /a)2 cos2 ϕ
für die Polarkoordinaten der Punkte P.
Eine Parametrisierung der Ellipse ist
x = a cos t,
y = b sin t
mit t ∈ [0, 2π).
Quadratische Kurven
Ellipse
1-2
Beweis:
(i) Äquivalenz der Darstellungen:
−−→
−−→
|PF− | + |PF+ | = 2a
Quadrieren von
2a −
|
⇐⇒
x2 y2
+ 2 = 1,
a2
b
b 2 = a2 − f 2
q
q
−−→
(x + f )2 + y 2 = (x − f )2 + y 2 = |PF+ |
{z
}
>0
äquivalente Form der linken Gleichung
q
2
=
4a
(x + f )2 + y 2
4a
+
4xf
| {z }
>0
erneutes Quadrieren und Division durch (4a)2
f2 2
x = x 2 + 2xf + f 2 + y 2
a2
Substitution von f 2 = a2 − b 2 , Division durch b 2
Koordinatenform
a2 + 2xf +
Quadratische Kurven
Ellipse
2-1
(ii) Polarform:
r2 =
b2
1 − (f /a)2 cos2 ϕ
Multiplikation mit dem Nenner und Substitution von
r 2 = x 2 + y 2,
f 2 = a2 − b 2 ,
x2 + y2 −
r 2 cos2 (ϕ) = x 2
a2 − b 2 2
x = b2
a2
Koordinatenform nach Division durch b 2
Quadratische Kurven
Ellipse
2-2
Beispiel:
Reflektion von Brennpunktstrahlen (F+ P → PF− )
R
Q
P
α
α
F−
F+
Hilfspunkt Q 6= P auf der Tangente g außerhalb der Ellipse
=⇒
−−→
−−→
−−→
−−→
2a = |PF− | + |PF+ | < |QF− | + |QF+ |
−−→
−→
Ersetzen von PF+ durch das Spiegelbild PR an g
|QF+ | = |QR|
und
−−→
−→
−−→
−→
|PF− | + |PR| < |QF− | + |QR| ∀Q ∈ g
=⇒
F− , P, R kollinear, bzw. ^(F− PQ) = α
Quadratische Kurven
Ellipse
3-1
Parabel
Die Punkte P = (x, y ) auf einer Parabel haben von einem Brennpunkt F
und einer Leitgerade g den gleichen Abstand.
y
P
r
F
ϕ
x
g
Quadratische Kurven
Parabel
1-1
Ist F = (0, f ) und g : y = −f , so gilt für die Koordinaten
4f y = x 2
und
r=
4f sin ϕ
cos2 ϕ
für die Polarkoordinaten der Punkte P.
Quadratische Kurven
Parabel
1-2
Beweis:
(i) Äquivalenz der Darstellungen:
Gleichsetzen der quadrierten Abstände
−→
|PF |2 = x 2 + (y − f )2 = (y + f )2 = (dist(P, g ))2
Vereinfachung
x 2 = 4f y
(ii) Polarform:
substituiere
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ
r 2 cos2 ϕ = 4f r sin ϕ
Quadratische Kurven
Parabel
2-1
Beispiel:
Bündelung senkrecht zur Leitgerade einfallender Strahlen im Brennpunkt
y
α
P
α
F
x
g
−→ −→
FP + QP =
x
y
−
0
f
R
+
Q
x
y
−
x
−f
=
x
2y
parallel zur Richtung (1, x/(2f ))t der Tangente im Punkt P (f = x 2 /(4y ))
−→
−→
|FP| = |QP| (Definition der Parabel) =⇒ ^(F , P, R) = α = ^(R, P, Q)
Quadratische Kurven
Parabel
3-1
Hyperbel
Für die Punkte P = (x, y ) auf einer Hyperbel ist die Differenz der
Abstände zu zwei Brennpunkten F± konstant:
−−−→
mit 2a < |F− F+ |.
−−→
−−→
|PF− | − |PF+ | = ±2a
y
b
F−
Quadratische Kurven
P
r
ϕ
a
F+
x
Hyperbel
1-1
Ist F± = (±f , 0), so gilt für die Koordinaten
x2 y2
− 2 = 1,
a2
b
und
r2 = −
b 2 = f 2 − a2 ,
b2
1 − (f /a)2 cos2 ϕ
für die Polarkoordinaten der Punkte P. Die Asymptoten haben die
Steigung ±b/a.
Parametrisierungen der Hyperbeläste sind
x = ±a cosh t,
y = b sinh t
mit t ∈ R.
Quadratische Kurven
Hyperbel
1-2
Beweis:
(i) Äquivalenz der Darstellungen:
−−→
−−→
|PF− | − |PF+ | = ±2a
⇐⇒
x2 y2
− 2 = 1,
a2
b
b 2 = f 2 − a2
Quadrieren von
q
q
−−→
(x + f )2 + y 2 ∓ 2a = (x − f )2 + y 2 = |PF+ |
{z
}
|
>0
äquivalente Identität zur linken Gleichung:
q
4a2 + 4xf = ±4a (x + f )2 + y 2
erneutes Quadrieren und Division durch (4a)2
f2 2
x = x 2 + 2xf + f 2 + y 2
a2
Substitution von f 2 = a2 + b 2 und Division durch b 2
Koordinatenform
a2 + 2xf +
Quadratische Kurven
Hyperbel
2-1
(ii) Polarform:
r2 = −
b2
1 − (f /a)2 cos2 ϕ
Multiplikation mit dem Nenner unter Berücksichtigung von
r 2 = x 2 + y 2,
f 2 = a2 + b 2 ,
x2 + y2 −
Division durch −b 2
Quadratische Kurven
x = r cos ϕ
a2 + b 2 2
x = −b 2
a2
Koordinatenform
Hyperbel
2-2
Beispiel:
Positionsbestimmung durch Zeitdifferenzen 2aj,k synchroner Radiosignale
von Sendestationen Fi
F4
S3
S1
F1
F2
S4
S2
F3
Position P: Schnittpunkt von Hyperbeln
Quadratische Kurven
Hyperbel
3-1
konkrete Daten
F1 = (−2, 0), F2 = (2, 0),
F3 = (0, −3), F4 = (0, 3)
a1,2 = a3,4 = 1
Hyperbelgleichungen
x2 −
y2
= 1,
3
y2 −
x2
=1
8
(f 2 = a2 + b 2 mit a = 1 und f = 2 bzw. f = 3)
Koordinaten der möglichen 4 Schnittpunkte Si
x2 =
Quadratische Kurven
32
,
23
y2 =
27
23
Hyperbel
3-2