p x verteilungsfunktion

Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Erinnerung
Zufallsexperiment Datenerhebungsprozess mit nicht vorhersagbarem Ausgang
Ergebnis ω
Elementarer Ausgang eines Zufallsexperiments
Grundraum Ω
Menge aller möglichen Ergebnisse
Ω ={ω| ω ist Ergebnis des Zufallsexperiments}
Zufallsvariable
Eine Abbildung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet,
wird Zufallsvariable genannt. Ein konkreter Wert x = X(ω) heißt Realisation der
Zufallsvariable X.
X : Ω→ℜ
ω a X(ω )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
1
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Zufallsvariable
Eine Abbildung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet,
wird Zufallsvariable genannt. Ein konkreter Wert x = X(ω) heißt Realisation der
Zufallsvariable X.
X : Ω→ℜ
ω a X(ω )
Beispiel Würfelwurf
Zufallsvariable Augenzahl: X1(ω) = ω
Ω
X1
-1
0
1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
2
3
4
5
6
ℜ
2
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Zufallsvariable
Eine Abbildung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet,
wird Zufallsvariable genannt. Ein konkreter Wert x = X(ω) heißt Realisation der
Zufallsvariable X.
X : Ω→ℜ
ω a X(ω )
Beispiel Würfelwurf
Zufallsvariable ungerade Augenzahl: X2(ω) = ω mod 2
Ω
X2
-1
0
1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
2
3
4
5
6
ℜ
3
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Zufallsvariable
Eine Abbildung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet,
wird Zufallsvariable genannt. Ein konkreter Wert x = X(ω) heißt Realisation der
Zufallsvariable X.
X : Ω→ℜ
ω a X(ω )
Beispiel zweifacher Münzwurf: ωi = 1, falls i-ter Wurf Kopf, ωi = 0, sonst
Zufallsvariable Anzahl Kopf: X([ω1, ω2]) = ω1 + ω2
Ω
X
-1
0
1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
2
3
4
5
6
ℜ
4
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Zufallsvariable
Eine Abbildung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet,
wird Zufallsvariable genannt. Ein konkreter Wert x = X(ω) heißt Realisation der
Zufallsvariable X.
X : Ω→ℜ
Version
ω a X(ω )
1.1
Beispiel zufällige Auswahl der Bearbeitung von Softwareaufgaben
ZV Version: ωi =ei , X(ωi) = {0, falls X3;i=1.1; 1, falls X3;i=1.2; 2, falls X3;i=2.0}
1.2
1.1
1.2
2.0
Ω
e12
e11
X
e5
1.2
1.2
e9
e8
e10
e7
e3
e6
e4
e2
1.2
1.2
1.1
e1
2.0
-1
0
1
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mathematische Statistik für Informatiker
2
3
4
5
6
ℜ
2.0
5
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Zufallsvariable
Eine Abbildung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet,
wird Zufallsvariable genannt. Ein konkreter Wert x = X(ω) heißt Realisation der
Zufallsvariable X.
X : Ω→ℜ
ω a X(ω )
Beispiel Mausaktivität: ω(t) = [x(t), y(t), c(t)]
X(ω ) = [x(t2 ) − x(t1 )]2 + [y(t2 ) − y(t1 )]2
ZV Distanz zwischen ersten 2 Mausclicks
t1 = min(t | c(t) > 0), t2 = min(t | c(t) > 0, t > t1 )
Ω
X
t1x
t
x2
x
t2
t1
x
…
-1
0
1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
2
3
4
5
6
ℜ
6
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Mehrdimensionale Zufallsvariable
Ein k-Tupel (X1,…,Xk) von Zufallsvariablen X1,…,Xk heißt mehrdimensionale
Zufallsvariable
Beispiel Mausaktivität
X(ω ) = [x(t2 ) − x(t1 )]2 + [y(t2 ) − y(t1 )]2
t2 −1
X = Distanz zwischen ersten 2 Mausclicks
Y(ω ) = ∑ [x(t + 1) − x(t)]2 + [y(t + 1) − y(t)]2
Y = zurückgelegte Strecke zwischen
t = t1
ersten 2 Mausclicks
t = min(t | c(t) > 0), t = min(t | c(t) > 0, t > t )
1
2
1
Y
Ω
t1x
t
x2
x
t2
t1
x
-1
0
1
2
3
4
5
6
ℜ
-1
0
1
2
3
4
5
6
ℜ
…
X
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mathematische Statistik für Informatiker
7
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Die durch die Zufallsvariable definierte Abbildung von beliebigem Grundraum Ω auf die reellen
Zahlen erlaubt die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Teilmengen von ℜ.
X
Ω abzählbar
ω1
Ω
ω2
ω3
ω4
B = {X(A)}
P(A) = P(B) = Σωi ∈AP({ωi})
ω5
A ={ω∈Ω |X(ω)∈B} ⇒ ω∈A ⇔ X(ω)∈B
-1
Ω überabzählbar
0
1
2
X
3
4
5
6
ℜ
B = {X(A)}
P(A) = P(B) = ∫AP(t)dt
Ω
A ={ω∈Ω |X(ω)∈B} ⇒ ω∈A ⇔ X(ω)∈B
-1
0
1
2
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
3
4
5
6
ℜ
8
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz Verteilung einer Zufallsvariablen X ist
definiert durch
PX(B) = P(X∈B) = P({ω∈Ω|X(ω)∈B}), B ⊆ ℜ
Diese Verteilung ist eindeutig definiert, wenn PX(Bx) für jedes Intervall der
Form Bx = (-∞,x] bekannt ist.
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mathematische Statistik für Informatiker
9
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz Verteilung einer Zufallsvariablen X ist
definiert durch
PX(B) = P(X∈B) = P({ω∈Ω|X(ω)∈B}), B ⊆ ℜ
Diese Verteilung ist eindeutig definiert, wenn PX(Bx) für jedes Intervall der
Form Bx = (-∞,x] bekannt ist:
B = {x 1 } = lim ({Bx1 \ Bx1 −ε }) ⇒ PX (B) = lim[P X (Bx1 ) − PX (Bx1 −ε )] , da B x1 −ε ⊂ B x1
ε↓ 0
ε↓ 0
k
k
X
X
(−∞
, x − ε]
x 1 ≠ ... ≠ x k : B xB−ε == {x
\
B
})
⇒
P
(B)
=
lim
[P
(B
)
−
P
(Bx i −ε )]
x1x-ε
∑
1 ,...,1x k } = U lim ({B
x
−
ε
x
ε
i
i
i
X
1
i=1
ε↓ 0
i=1
ε↓ 0
B x 1 \ B x 1 −ε
B x1 = (−∞ , x 1 ]
2
3
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mathematische Statistik für Informatiker
4
x1
5
ℜ
10
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz Verteilung einer Zufallsvariablen X ist
definiert durch
PX(B) = P(X∈B) = P({ω∈Ω|X(ω)∈B}), B ⊆ ℜ
Diese Verteilung ist eindeutig definiert, wenn PX(Bx) für jedes Intervall der
Form Bx = (-∞,x] bekannt ist:
B = {x 1 } = lim ({Bx1 \ Bx1 −ε }) ⇒ PX (B) = lim[P X (Bx1 ) − PX (Bx1 −ε )] , da B x1 −ε ⊂ B x1
ε↓ 0
ε↓ 0
k
k
x 1 ≠ ... ≠ x k : B = {x 1 ,..., x k } = U lim ({Bxi \ B x i −ε }) ⇒ P (B) = ∑ lim[P X (Bxi ) − PX (Bx i −ε )]
X
i=1
ε↓ 0
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mathematische Statistik für Informatiker
i=1
ε↓ 0
11
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz Verteilung einer Zufallsvariablen X ist
definiert durch
PX(B) = P(X∈B) = P({ω∈Ω|X(ω)∈B}), B ⊆ ℜ
Diese Verteilung ist eindeutig definiert, wenn PX(Bx) für jedes Intervall der
Form Bx = (-∞,x] bekannt ist:
x 1 < x 2 : B = (x 1 , x 2 ] = B x2 \ Bx1 ⇒ PX (B) = PX (Bx2 ) − PX (Bx1 ) , da B x1 ⊂ Bx 2
B x 1 +1/t = (−∞ , x 2 ]
x2
B = Bx2 \ Bx1
x1
B x1 = (−∞ , x 1 ]
2
3
4
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5
ℜ
12
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz Verteilung einer Zufallsvariablen X ist
definiert durch
PX(B) = P(X∈B) = P({ω∈Ω|X(ω)∈B}), B ⊆ ℜ
Diese Verteilung ist eindeutig definiert, wenn PX(Bx) für jedes Intervall der
Form Bx = (-∞,x] bekannt ist:
B = {x 1 } = lim ({Bx1 \ B x1 −ε }) ⇒ PX (B) = lim[P X (Bx1 ) − PX (Bx1 −ε )] , da Bx1 −ε ⊂ B x1
ε↓ 0
ε↓ 0
k
k
x 1 ≠ ... ≠ x k : B = {x 1 ,..., x k } = U lim ({Bx1 \ B x1 −ε }) ⇒ P (B) = ∑ lim[P X (Bxi ) − PX (Bx i −ε )]
X
i=1
ε↓0
i=1
ε↓ 0
x 1 < x 2 : B = (x 1 , x 2 ] = B x2 \ Bx1 ⇒ PX (B) = PX (Bx 2 ) − PX (Bx1 ) , da Bx1 ⊂ B x2
...
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13
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz Verteilung einer Zufallsvariablen X ist
definiert durch
PX(B) = P(X∈B) = P({ω∈Ω|X(ω)∈B}), B ⊆ ℜ
Die Funktion F = FX : ℜ → [0,1] mit
F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ,
wird Verteilungsfunktion von X genannt.
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mathematische Statistik für Informatiker
14
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Die Funktion F = FX : ℜ → [0,1] mit
F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ,
wird Verteilungsfunktion von X genannt.
Die Entsprechung der Verteilungsfunktion in der deskriptiven Statistik ist die
empirische Verteilungsfunktion, bei der an die Stelle von Wahrscheinlichkeiten
kumulierte relative Häufigkeiten treten.
0
falls x < x(1)

# {x n | x n ≤ x(j)}
FN (x) = 
~ ~
s
=
mit
j
=
max{
j | x( j ) ≤ x} falls x(1) ≤ x
 j
N
=
# {x n | x n ≤ x}
N
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mathematische Statistik für Informatiker
15
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ,
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
(A) lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1
x → −∞
x → +∞
Beweis
lim F(x) = lim P({ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ (−∞, x] ∩ ℜ}) = P({ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ { −∞} ∩ ℜ})
x → −∞
x → −∞
= P({ω ∈ Ω | X(ω ) = ∅}) = P(∅) = 0
*
* ω ∈ Ω ⇒ X(ω ) ∈ ℜ ⇔ X(ω ) ∉ ℜ ⇒ ω ∉ Ω
lim F(x) = lim P({ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ (−∞, x] ∩ ℜ}) = P({ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ ℜ}) = P(Ω ) = 1
x →∞
x →∞
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mathematische Statistik für Informatiker
16
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ,
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
(A) lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1
x → −∞
x → +∞
(B) x < y ⇒ F(x) ≤ F(y)
F(x) = P(A) mit A = {ω ∈ Ω | X(ω ) ≤ x}
F(y) = P(B) mit B = {ω ∈ Ω | X(ω ) ≤ y}
x < y ⇒ A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) ⇔ F(x) ≤ F(y)
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mathematische Statistik für Informatiker
17
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ,
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
(A) lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1
x → −∞
x → +∞
(C) lim F(x) = F(z)
x ↓z
(B) x < y ⇒ F(x) ≤ F(y)
Beweis : Setze A n = {ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ (-∞ , z + 1/n]}, A 0 = Ω
∞
⇒ A = I A n = {ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ (-∞ , z]}, A n ⊂ A n-1 , A nC-1 ⊂ A nC , n = 1,2,...
n=1
∞
N
∞ 
 ∞ C
C
C
F(z) = P(A) = P I A n  = 1 − P U A n  = 1 − ∑ P(An \ A n-1 ) = 1 - lim ∑ P(AnC \ A nC-1 )
N↑ ∞
n=1
n=1
 n=1 
 n=1 
= 1 - lim P(ANC ) = lim P(AN ) = lim F(x)
N↑ ∞
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N↑ ∞
x ↓z
18
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ,
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
(A) lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1
(C) lim F(x) = F(z)
(B) x < y ⇒ F(x) ≤ F(y)
(D) P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)
x → −∞
x → +∞
x ↓z
Beweis : Setze A = {ω ∈ Ω| X(ω ) ∈ (−∞, a]} und B = {ω ∈ Ω| X(ω ) ∈ (−∞, b]}
⇒ P(a < X ≤ b) = P({ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ (a, b]}) = P(B \ A) = P(B) − P(A)
= P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a)
A ⊆B
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mathematische Statistik für Informatiker
19
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ,
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
(A) lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1
(C) lim F(x) = F(z)
(B) x < y ⇒ F(x) ≤ F(y)
(D) P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)
x → −∞
x → +∞
x ↓z
(E) P(X > a) = 1 − F(a)
Beweis
Setze A = {ω ∈ Ω | X(ω ) ≤ a} ⇒ A C = {ω ∈ Ω | X(ω ) > a}
⇒ P(X > a) = P(A C ) = 1 − P(A) = 1 − F(a)
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mathematische Statistik für Informatiker
20
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {x1 , ..., xk } mit − ∞ < x1 < ... < xk < ∞ , k ≤ n
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
1
F(x)
0
x1
xk
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
21
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {x1 , ..., xk } mit − ∞ < x1 < ... < xk < ∞ , k ≤ n
(A) lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1
x → −∞
x → +∞
F(x) = P(A x ) mit A x = {ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ (−∞ , x] ∩ {x1 ,..., xk }}
x < x 1 ⇒ A x = ∅ ⇒ P(A x ) = 0
x ≥ xk ⇒ A x = Ω ⇒ P(A x ) = 1
1
F(x)
0
x1
xk
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mathematische Statistik für Informatiker
22
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {x1 , ..., xk } mit − ∞ < x1 < ... < xk < ∞ , k ≤ n
(C) lim F(x) = F(z)
x ↓z
F(x) = P(A x ) mit A x = {ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ (−∞, x] ∩ {x1 ,..., xk }}
i = 1,..., n - 1 : x i ≤ x < x i+1 ⇒ A x = {ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ {x 1 ,..., x i }}
⇒ P(A x ) = F(xi )
1
F(x)
0
x1
xi
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mathematische Statistik für Informatiker
xk
23
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {x1 , ..., xk } mit − ∞ < x1 < ... < xk < ∞ , k ≤ n
(D) P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)
Ab \ A a = {ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ {x1 ,..., xk }, a < X(ω ) ≤ b}
P( a < X ≤ b ) = P(Ab \ A a ) = F(b) − F(a)
1
F(x)
0
x1
a
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mathematische Statistik für Informatiker
b
xk
24
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {x1 , ..., xk } mit − ∞ < x1 < ... < xk < ∞ , k ≤ n
(D) i = 1,..., n : P(x i-1 < X ≤ x i )
(x 0 = −∞)
A xi \ A x i-1 = {ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ {x i }}
P( x i-1 < X ≤ x i ) = P(A xi \ A xi-1 ) = P(X = x i ) = pi
1
F(x)
0
x1
xi-1
xi
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
xk
25
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {x1 , ..., xk } mit − ∞ < x1 < ... < xk < ∞ , k ≤ n
(D) i = 1,..., n : P(x i-1 < X ≤ x i )
(x 0 = −∞)
A xi \ A x i-1 = {ω ∈ Ω | X(ω ) ∈ {x i }}
P( xi-1 < X ≤ xi ) = P(A xi \ A xi-1 ) = P(X = xi ) = p(xi )
1
F(x)
0
x1
xk
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
26
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {x1 , ..., xk } mit − ∞ < x1 < ... < xk < ∞ , k ≤ n
Die Funktion p: ℜ→[0,1] mit p(x) = P(X = x) heißt Zähldichte von X
p(x)
0
x1
xk
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mathematische Statistik für Informatiker
27
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {x1 , ..., xk } mit − ∞ < x1 < ... < xk < ∞ , k ≤ n
Die Funktion p: ℜ→[0,1] mit p(x) = P(X = x) heißt Zähldichte von X
F(x ) − F(x i−1 ) , x ∩ {x1 ,..., xk } = {x i }
p(x) =  i
0
, x ∩ {x1 ,..., xk } ≠ ∅

p(x)
0
x
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28
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, diskrete Verteilungsfunktion
Beispiel: Anzahl Kopf beim 5-fachen Münzwurf
Zähldichte
x
0
1
2
3
4
5
10/32
5/32
1/32
Ax =
{ω∈Ω|
X(ω)=x}
p(x)=P(X=x)
=|Ax|/|Ω|
1/32
5/32
10/32
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mathematische Statistik für Informatiker
29
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, diskrete Verteilungsfunktion
Beispiel: Anzahl Kopf beim 5-fachen Münzwurf
Zähldichte
x
0
1
2
p(x)=P(X=x)
1/32
5/32
10/32
3
4
5
10/32
5/32
1/32
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mathematische Statistik für Informatiker
30
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, diskrete Verteilungsfunktion
Beispiel: Anzahl Kopf beim 5-fachen Münzwurf
Zähldichte und Verteilungsfunktion
x
0
1
2
p(x)=P(X=x)
x
F(x) = P(X ≤ x) = ∑ p(i)
1/32
+
=
1/32
5/32
=
6/32
+
10/32
=
16/32
3
10/32
+
=
26/32
4
5
5/32
+
+
=
31/32
1/32
=
32/32
i=0
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mathematische Statistik für Informatiker
31
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
32
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
(C) lim F(x) = F(z) = lim F(x)
x ↓z
x ↑z
F(z)
x↑z
x↓z
z
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33
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
(C) lim F(x) = F(z) = lim F(x)
x ↓z
x ↑z
(D) P( a < X ≤ b ) = F(b) − F(a)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
34
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
(C) lim F(x) = F(z) = lim F(x)
x ↓z
x ↑z
(D) P( a < X ≤ b ) = F(b) − F(a)
P(X = b) = lim P( a < X ≤ b )
a↑b
= F(b) − lim F(a) = F(b) - F(a) = 0
a↑b
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
35
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
(C) lim F(x) = F(z) = lim F(x)
x ↓z
x ↑z
(D) P( a < X ≤ b ) = F(b) − F(a)
(F) P(X = x) = 0 , x ∈ ℜ
(G) P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
= P(a ≤ X < b) = P(a < X < b)
= F(b) − F(a)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
36
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Vergleich der
Wahrscheinlichkeiten zu gleich
breiten Intervallen
P(0 < X ≤ 100) < P(150 < X ≤ 250)
X „verdichtet“ sich stärker
zwischen 150 und 250 als
zwischen 0 und 100
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
37
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Vergleich der
W‘keiten zu unterschiedlich
breiten Intervallen
P(0 < X ≤ 100)
P(150 < X ≤ 200)
<
100
50
X „verdichtet“ sich stärker
zwischen 150 und 200 als
zwischen 0 und 100
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
38
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Zwar gilt lim P( a < X ≤ b ) = 0
a→b
Allerdings kann für diff.-bares
F der Grenzwert der „Verdichtung“
von X für unendlich kleine
Intervalle (a,b] i.A. >0 sein.
lim
c↓0
F(x + c) − F(x)
c
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
39
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Zwar gilt lim P( a < X ≤ b ) = 0
a→b
Allerdings kann für diff.-bares
F der Grenzwert der „Verdichtung“
von X für unendlich kleine
Intervalle (a,b] i.A. >0 sein.
lim
c↓0
F(x + c) − F(x)
c
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
40
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Zwar gilt lim P( a < X ≤ b ) = 0
a→b
Allerdings kann für diff.-bares
F der Grenzwert der „Verdichtung“
von X für unendlich kleine
Intervalle (a,b] i.A. >0 sein.
lim
c↓0
F(x + c) − F(x)
c
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
41
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Zwar gilt lim P( a < X ≤ b ) = 0
a→b
Allerdings kann für diff.-bares
F der Grenzwert der „Verdichtung“
von X für unendlich kleine
Intervalle (a,b] i.A. >0 sein.
lim
c↓ 0
F(x + c) − F(x)
= F' (x) = f(x)
c
x
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
42
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : X(ω ) ∈ B, B ⊆ ℜ
F = FX : ℜ → [0,1] mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Zwar gilt lim P( a < X ≤ b ) = 0
a→b
lim
c↓ 0
F(x + c) − F(x)
= F' (x) = f(x)
c
Die Funktion f(x) wird
Dichtefunktion bzw. Dichte von X
genannt.
x
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
43
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
x
F' (x) = f(x), F(x) = ∫ f(t)dt, x ∈ ℜ,
−∞
∞
∫ f(t)dt = 1
z
P(X ≤ z ) = F( z ) =
∫ f(t)dt
−∞
−∞
F(z)
F(z)
z
z
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
44
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
x
F' (x) = f(x), F(x) = ∫ f(t)dt, x ∈ ℜ,
−∞
∞
∫ f(t)dt = 1
b
P( a < X ≤ b ) = F( b ) − F( a ) = ∫ f(t)dt
a
−∞
F(b)
F(b)F(a)
F(a)
a
b
a
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
b
45
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, exakter Zeitpunkt T des ersten Mausclicks
Annahme: T fällt in jedes Intervall gleicher Länge c zwischen tmin und tmax mit
derselben Wahrscheinlichkeit
P(T < tmin ) = 0 = F(tmin ) ⇒ F(t) = 0, t ≤ tmin
P(T > tmax ) = 0 = 1 − F(tmax ) ⇒ F(t) = 1, t ≥ tmax
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
46
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, exakter Zeitpunkt T des ersten Mausclicks
Annahme: T fällt in jedes Intervall gleicher Länge c zwischen tmin und tmax mit
derselben Wahrscheinlichkeit
F(t) = 0, t ≤ tmin
F(t) = 1, t ≥ tmax
Teile [tmin, tmax] in i gleich lange
Intervalle der Länge ci=(tmax-tmin)/i auf.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
47
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, exakter Zeitpunkt T des ersten Mausclicks
Annahme: T fällt in jedes Intervall gleicher Länge c zwischen tmin und tmax mit
derselben Wahrscheinlichkeit
F(t) = 0, t ≤ tmin
F(t) = 1, t ≥ tmax
T fällt nach Annahme in jedes dieser
Intervalle mit der gleichen W‘keit pi,
d.h.
P(tmin + (j − 1)ci < T ≤ tmin + jci ) = pi ,
j = 1,..., i
Wegen P(tmin< T ≤tmax)=1 gilt damit:
i
∑p
i
= 1 ⇒ pi = 1/i
j=1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
48
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, exakter Zeitpunkt T des ersten Mausclicks
Annahme: T fällt in jedes Intervall gleicher Länge c zwischen tmin und tmax mit
derselben Wahrscheinlichkeit
F(t) = 0, t ≤ tmin
F(t) = 1, t ≥ tmax
P(tmin + (j − 1)ci < T ≤ tmin + jci ) = pi ,
j = 1,..., i
Wegen P(tmin< T ≤tmax)=1 gilt damit:
i
∑p
i
= 1 ⇒ pi = 1/i
j=1
z.B. für j = 1 :
pi = P(T ≤ tmin + (tmax − tmin )/i) = 1/i , i > 1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
49
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, exakter Zeitpunkt T des ersten Mausclicks
Annahme: T fällt in jedes Intervall gleicher Länge c zwischen tmin und tmax mit
derselben Wahrscheinlichkeit
F(t) = 0, t ≤ tmin
F(t) = 1, t ≥ tmax
P(tmin + (j − 1)ci < T ≤ tmin + jci ) = pi ,
j = 1,..., i
Wegen P(tmin< T ≤tmax)=1 gilt damit:
i
∑p
i
= 1 ⇒ pi = 1/i
j=1
z.B. für j = 1 :
pi = P(T ≤ tmin + (tmax − tmin )/i) = 1/i , i > 1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
50
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, exakter Zeitpunkt T des ersten Mausclicks
Annahme: T fällt in jedes Intervall gleicher Länge c zwischen tmin und tmax mit
derselben Wahrscheinlichkeit
F(t) = 0, t ≤ tmin
F(t) = 1, t ≥ tmax
pi = P(T ≤ tmin + (tmax − tmin )/i) = 1/i , i > 1
Setze t = tmin + (tmax − tmin )/i ⇒ i =
⇒ P(T ≤ t) = F(t) =
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
tmax − tmin
t − tmin
t − tmin
, tmin < t < tmax
tmax − tmin
51
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, exakter Zeitpunkt T des ersten Mausclicks
Annahme: T fällt in jedes Intervall gleicher Länge c zwischen tmin und tmax mit
derselben Wahrscheinlichkeit
F(t) = 0, t ≤ tmin
F(t) =
t − tmin
, tmin < t < tmax
tmax − tmin
F(t) = 1, t ≥ tmax
Wahrscheinlichkeitsdichte
t ≤ tmin : F' (t) = f(t) = ∂ 0/∂t = 0
tmin < t < tmax :
 t - tmin 
1
 /∂t =
F' (t) = f(t) = ∂
tmax - tmin
 tmax - tmin 
t ≤ tmin : F' (t) = f(t) = ∂1/∂t = 0
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
52
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung eindimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, exakter Zeitpunkt T des ersten Mausclicks
Annahme: T fällt in jedes Intervall gleicher Länge c zwischen tmin und tmax mit
derselben Wahrscheinlichkeit
F(t) = 0, t ≤ tmin
F(t) =
F(t) = 1, t ≥ tmax
t − tmin
, tmin < t < tmax
tmax − tmin
f(t) = 0, t ≤ tmin
F(t) =
f(t) = 0, t ≥ tmax
1
, tmin < t < tmax
tmax − tmin
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
53
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz Verteilung einer zweidimensionalen
Zufallsvariablen (X,Y) ist definiert durch
P(X,Y)(B) = P((X,Y)∈B) = P({ω∈Ω|(X(ω), Y(ω))∈B}), B ⊆ ℜ2
Die Funktion F = F(X,Y) : ℜ2 → [0,1] mit
F(x,y) = P(X,Y)((–∞,x] ×(–∞,y]) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x, Y(ω) ≤ y}), x,y∈ℜ,
wird Verteilungsfunktion von (X,Y) genannt.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
54
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P(X,Y)(B) = P((X,Y)∈B) = P({ω∈Ω|(X(ω), Y(ω))∈B}), B ⊆ ℜ2
F(x,y) = P(X,Y)((–∞,x] ×(–∞,y]) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x, Y(ω) ≤ y}), x,y∈ℜ
Eigenschaften
1. lim F(x, y) = lim F(x, y) = lim F(x, y) = 0 , lim F(x, y) = 1
x → −∞
y → −∞
x, y → −∞
x,y →∞
Beweis
A = {ω ∈ Ω | X(ω ) ≤ x, Y(ω ) ≤ y} = A x ∩ A y mit A x = {ω ∈ Ω | X(ω ) ≤ x}
A y = {ω ∈ Ω | Y(ω ) ≤ y}
F(x, y) = P(A) = P(A x ∩ A y ) = 1 − P(A Cx ∪ A Cy )
lim F(x, y) = 1 − P(A C−∞ ∪ A Cy ) = 1 − P(Ω ∪ A Cy ) = 1 − [P(Ω ) + P(A Cy ) − P(A Cy )] = 1 − 1 = 0
x → −∞
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
55
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P(X,Y)(B) = P((X,Y)∈B) = P({ω∈Ω|(X(ω), Y(ω))∈B}), B ⊆ ℜ2
F(x,y) = P(X,Y)((–∞,x] ×(–∞,y]) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x, Y(ω) ≤ y}), x,y∈ℜ
Eigenschaften
1. lim F(x, y) = lim F(x, y) = lim F(x, y) = 0 , lim F(x, y) = 1
x → −∞
y → −∞
x, y → −∞
x,y →∞
2. lim F(x, y) = FX (x) , lim F(x, y) = F Y (y)
y →∞
x →∞
Beweis
A = {ω ∈ Ω | X(ω ) ≤ x, Y(ω ) ≤ y} = A x ∩ A y mit A x = {ω ∈ Ω | X(ω ) ≤ x}
A y = {ω ∈ Ω | Y(ω ) ≤ y}
F(x, y) = P(A) = P(A x ∩ A y ) = 1 − P(A Cx ∪ A Cy )
lim F(x, y) = 1 − P(A C∞ ∪ A Cy ) = 1 − P(∅ ∪ A Cy ) = 1 − [P(A Cy )] = P(A y ) = F Y (y)
x →∞
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
56
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P(X,Y)(B) = P((X,Y)∈B) = P({ω∈Ω|(X(ω), Y(ω))∈B}), B ⊆ ℜ2
F(x,y) = P(X,Y)((–∞,x] ×(–∞,y]) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x, Y(ω) ≤ y}), x,y∈ℜ
Eigenschaften
1. lim F(x, y) = lim F(x, y) = lim F(x, y) = 0 , lim F(x, y) = 1
x → −∞
y → −∞
x, y → −∞
x,y →∞
2. lim F(x, y) = FX (x) , lim F(x, y) = F Y (y)
y →∞
x →∞
Beweis
lim F(x, y) = F Y (y)
x →∞
lim F(x, y) = lim F Y (y) = 1
x , y →∞
Beweis für FX(x) analog. FX(x) und FY(y) heißen
die Randverteilungen von X und Y
y →∞
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
57
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P(X,Y)(B) = P((X,Y)∈B) = P({ω∈Ω|(X(ω), Y(ω))∈B}), B ⊆ ℜ2
F(x,y) = P(X,Y)((–∞,x] ×(–∞,y]) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x, Y(ω) ≤ y}), x,y∈ℜ
Eigenschaften
1. lim F(x, y) = lim F(x, y) = lim F(x, y) = 0 , lim F(x, y) = 1
x → −∞
y → −∞
x, y → −∞
x,y →∞
2. lim F(x, y) = FX (x) , lim F(x, y) = F Y (y)
y →∞
x →∞
3. x 1 < x 2 ⇒ F(x1 , y) ≤ F(x 2 , y) , y 1 < y 2 ⇒ F(x, y 1 ) ≤ F(x, y 2 )
Beweis
F(x i , y) = P(A i ) mit A i = {ω ∈ Ω | X(ω ) ≤ x i , Y(ω ) ≤ y}
Beweis für F(x,y1) analog
x 1 < x 2 ⇒ A 1 ⊆ A 2 ⇒ P(A1 ) ≤ P(A 2 ) ⇔ F(x1 , y) ≤ F(x 2 , y)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
58
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
F(x,y) = P( X ≤ x , Y ≤ y ) , x,y∈ℜ
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
59
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P( x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 ) = P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 1 )
+ P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 1 )
= F(x 2 , y 2 ) − F(x1 , y 2 ) − F(x 2 , y 1 ) + F(x1 , y 1 )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
60
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P( x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 ) = P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 1 )
+ P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 1 )
= F(x 2 , y 2 ) − F(x1 , y 2 ) − F(x 2 , y 1 ) + F(x1 , y 1 )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
61
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P( x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 ) = P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 1 )
+ P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 1 )
= F(x 2 , y 2 ) − F(x1 , y 2 ) − F(x 2 , y 1 ) + F(x1 , y 1 )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
62
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P( x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 ) = P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 1 )
+ P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 1 )
= F(x 2 , y 2 ) − F(x1 , y 2 ) − F(x 2 , y 1 ) + F(x1 , y 1 )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
63
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P( x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 ) = P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 2 )
− P( X ≤ x 2 , Y ≤ y 1 )
+ P( X ≤ x 1 , Y ≤ y 1 )
= F(x 2 , y 2 ) − F(x1 , y 2 ) − F(x 2 , y 1 ) + F(x1 , y 1 )
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
64
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {X(ω1 ),..., X(ωn )} = {x 1 , ..., x n } mit − ∞ < x 1 ≤ ... ≤ x 2 < ∞
Y ∈ {Y(ω1 ),..., Y(ωn )} = {y 1 , ..., y n } mit − ∞ < y 1 ≤ ... ≤ y 2 < ∞
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
65
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall diskrete Verteilungsfunktion (Ω abzählbar)
Ω = {ω1 ,..., ωn } ⇒ X ∈ {X(ω1 ),..., X(ωn )} = {x 1 , ..., x n } mit − ∞ < x 1 ≤ ... ≤ x 2 < ∞
Y ∈ {Y(ω1 ),..., Y(ωn )} = {y 1 , ..., y n } mit − ∞ < y 1 ≤ ... ≤ y 2 < ∞
Die Funktion p: ℜ2→[0,1] mit p(x,y) = P(X = x, Y = y) heißt Zähldichte von (X,Y)
x ∈ {x1 ,..., x n }
F(x i , y i ) − F(x i−1 , y i )

, i
p(x, y) = − F(x i , y i−1 ) + F(x i−1 , y i−1 )
y i ∈ {y 1 ,..., yn }

0
,
sonst
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66
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen, diskrete Verteilungsfunktion
Beispiel: 4-facher Münzwurf , X=Anzahl Kopf nach 4 Würfen, Y=Anzahl Kopf nach 2 Würfen
Zähldichte
↓y
x→
0
1
2
3
4
0
1
2
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
67
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen, diskrete Verteilungsfunktion
Beispiel: 4-facher Münzwurf , X=Anzahl Kopf nach 4 Würfen, Y=Anzahl Kopf nach 2 Würfen
Zähldichte
↓y
x→
0
1
2
3
1/16
2/16
1/16
2/16
4/16
2/16
1/16
2/16
4
0
1
1/16
2
p(x,y)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
68
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen, diskrete Verteilungsfunktion
Beispiel: 4-facher Münzwurf , X=Anzahl Kopf nach 4 Würfen, Y=Anzahl Kopf nach 2 Würfen
Zähldichte
↓y
x→
0
1
2
3
4
1/16 + 2/16 + 1/16
0
=
=
1/16
3/16
+
2/16
=
1
5/16
=
4/16
+ +
4/16 + 2/16
=
10/16
+
1/16
2
p(x,y)
F(x,y)
=
12/16
+
2/16 + 1/16
=
=
11/16
15/16
=
16/16
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
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69
Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
ω ∈ Ω : (X(ω ), Y(ω )) ∈ B, B ⊆ ℜ 2
F = FXY : ℜ2 → [0,1] mit F(x) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x, Y(ω) ≤ y}), x,y∈ℜ
Die Funktion f: ℜ2 → [0,1] mit
∂ 2F(x, y)
f(x, y) =
∂x∂y
heißt die gemeinsame Dichtefunktion von X und Y.
x y
∞ ∞
Es gilt: F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) =
∫ ∫ f(s, t)dtds , ∫ ∫ f(s, t)dtds = 1
− ∞− ∞
− ∞− ∞
Die Randdichten fX und fY von X und Y sind definiert durch
∞
∞
−∞
−∞
f X (x) = ∫ f(x, t) dt und f Y (y) = ∫ f(s, y)ds
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mathematische Statistik für Informatiker
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Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Spezialfall stetige Verteilungsfunktion (Ω überabzählbar)
F(x,y)
f(x,y)
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mathematische Statistik für Informatiker
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Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, interpolierte Mausposition (X,Y) zu exaktem Zeitpunkt t0
Annahme: (X,Y) fällt in jeden Quader mit gleichen Kantenlängen a und b zwischen 0
und xmax sowie 0 und ymax mit derselben Wahrscheinlichkeit P(X≤a, Y ≤b).
(xmax,0)
(0,0)
b
a
b
a
b
a
(0,ymax)
(xmax,ymax)
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Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, interpolierte Mausposition (X,Y) zu exaktem Zeitpunkt t0
Annahme: (X,Y) fällt in jeden Quader mit gleichen Kantenlängen a und b zwischen 0
und xmax sowie 0 und ymax mit derselben Wahrscheinlichkeit P(X≤a, Y ≤b).
Randdichten
1/x max
X
f (x) = 
 0
1/ymax
Y
f (y) = 
 0
,0 ≤ x ≤ x max
, sonst
,0 ≤ y ≤ y max
, sonst
Gemeinsame Dichte
, 0 ≤ x ≤ x max ,

1/(x max y max )
f(x, y) = 
0 ≤ y ≤ y max

0
sonst
Randverteilungsfunktionen
x/x max ,0 ≤ x ≤ x max
X
F (x) = 
, sonst
 0
y/y max ,0 ≤ y ≤ y max
Y
F (y) = 
, sonst
 0
Gemeinsame Verteilungsfunktion
, 0 ≤ x ≤ x max ,

xy/(x max y max )
F(x, y) = 
0 ≤ y ≤ y max

0
sonst
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Zufallsvariablen und deren Verteilungen
Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen, stetige Verteilungsfunktion
Beispiel: Mausaktivität, interpolierte Mausposition (X,Y) zu exaktem Zeitpunkt t0
Gemeinsame Dichte
, 0 ≤ x ≤ x max ,

1/(xmax y max )
f(x, y) = 
0 ≤ y ≤ y max

0
sonst
Gemeinsame Verteilungsfunktion
, 0 ≤ x ≤ x max ,

xy/(x max y max )
F(x, y) = 
0 ≤ y ≤ y max

0
sonst
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