Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge

Lösungen der Trainingsaufgaben aus
Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge
1
Geometrie mit
Sinus, Cosinus
und Tangens
Version 22. Dezember 2016
Lösung zu Aufgabe 1.1
Gemäß Abbildung 1.1 und der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am
rechtwinkligen Dreieck gilt:
sin(α) =
a
;
c
b
sin(β) = ;
c
b
cos(α) = ;
c
tan(α) =
a
;
b
(1.1)
a
;
c
tan(β) =
b
.
a
(1.2)
cos(β) =
Ferner gilt wegen γ = 90◦ mit dem Satz des Pythagoras
c2 = a2 + b 2
sowie mit α + β + γ = 180◦
(1.3)
α + β = 90◦ .
Damit lassen sich alle weiteren Größen (in LE bzw. Grad) berechnen.
(i) Gemäß (1.2) gilt:
c=
15
b
=
≈ 18,09.
sin β
sin 56◦
Dann lässt sich mithilfe von (1.2) die fehlende Seitenlänge mittels des Tangens
berechnen:
b
15
a=
=
≈ 10,12.
tan β
tan 56◦
Weiterhin ist α = 90◦ − β = 34◦ .
1|2
Kapitel 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens
C
·
a
Gegenkathete des
Winkels α
β
Ankathete des Winb
kels α
B
c
Hypotenuse
α
A
Abbildung 1.1: Rechtwinkliges Dreieck aus Abbildung 1.2.
(ii) Gemäß (1.3) gilt:
c=
√
32 + 52 = 34 ≈ 5,83.
Gemäß (1.1) gilt:
a
3
tan α = =
b
5
=⇒
3
α = arctan
≈ 30,96◦.
5
Damit gilt β = 90◦ − α ≈ 59,04◦.
(iii) Gemäß (1.1) gilt:
a = tan(α) · b = tan(45◦ ) · 4 = 1 · 4 = 4.
Alternativ ergibt sich a = b = 4 aus α = 45◦ , da ein gleichschenkliges
Dreieck vorliegt (d.h. α = β = 45◦ ). Weiter folgt:
√
c = 42 + 42 = 32 ≈ 5,66.
(iv) Gemäß (1.2) gilt:
b = tan(β) · a = tan(15◦ ) · 7 ≈ 1,88.
Gemäß der Winkelsumme ist α = 90◦ − β = 75◦ und mit (1.2) folgt
c=
7
a
=
≈ 7,25.
cos β
cos 15◦
Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge © E. Cramer, U. Kamps, J. Lehmann, S. Walcher 2017
1|3
(v) Gemäß (1.3) gilt:
b=
√
c2 − a2 = 62 − 52 = 11 ≈ 3,32.
Gemäß (1.2) gilt:
a
5
cos β = =
c
6
=⇒
5
β = arccos
≈ 33,56◦ .
6
Damit ist α = 90◦ − β ≈ 56,44◦.
(vi) Gemäß (1.2) gilt:
a = c · cos β = 10 · cos 60◦ = 5,
√
b = a · tan β = 5 · tan 60◦ = 5 3 ≈ 8,66.
Weiterhin ist α = 90◦ − β = 90◦ − 60◦ = 30◦ .
(vii) Mit β = 90◦ − α = 90◦ − 70◦ = 20◦ folgt aus (1.2):
b = a · tan β = 9 · tan 20◦ ≈ 3,28.
Weiterhin gilt gemäß (1.1):
c=
9
a
=
≈ 9,58.
sin α
sin 70◦
(viii) Gemäß (1.2) gilt:
sin β =
b
5
=
c
8
=⇒
β = arcsin
5
≈ 38,68◦.
8
Damit ist α = 90◦ − α ≈ 51,32◦, so dass mit (1.3) folgt
√
a = c2 − b2 = 82 − 52 = 39 ≈ 6,24.
(ix) Gemäß (1.1) gilt:
a = c · sin α = 11 · sin 33◦ ≈ 5,99.
Weiterhin ist β = 90◦ − α = 90◦ − 33◦ = 57◦ , so dass mit (1.1) folgt:
b = c · sin β = 11 · sin 57◦ ≈ 9,23.
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1|4
Kapitel 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens
Lösung zu Aufgabe 1.2
(i) Gemäß Satz 1.8 gilt für eine Gerade der Form y = mx + b, dass
m = tan α,
wobei α den Steigungswinkel bezeichnet. Damit gilt:
5 = tan α
=⇒
α = arctan(5) ≈ 78,69◦.
(ii) Gemäß der Zwei-Punkte-Form einer Geraden bzw. Satz 1.8 gilt:
m=
y2 − y1
3
4−1
=
= −1.
=
x2 − x1
(−1) − 2
−3
Dann folgt analog zum ersten Aufgabenteil, dass
α = arctan(−1) = −45◦ .
(iii) Gemäß Satz 1.9 gilt:
g (x0 ) = tan α
α = arctan(g (x0 )).
=⇒
Zunächst gilt:
g (x) = 3x2 + 4x
Damit folgt:
=⇒
g (2) = 3 · 4 + 4 · 2 = 20.
α = arctan(20) ≈ 87,14◦.
(iv) Wegen f (x) = 4x3 + 1 muss an der Stelle x0 gelten:
◦
3 tan 45 − 1
3 0
◦
3
=
= 0.
m = tan 45 = 4x0 + 1 = f (x0 ) ⇐⇒ x0 =
4
4
Mit
f (x0 ) = f (0) = 04 + 0 + 3 = 3
hat die Tangente die Steigung m = tan 45◦ = 1 und verläuft durch den Punkt
(0, 3). Es folgt somit, dass durch
t(x) = x + 3,
x ∈ R,
die gesuchte Tangentengleichung gegeben ist.
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1|5
Lösung zu Aufgabe 1.3
Gemäß Satz 1.14 ist die Umrechnungsformel für einen im Gradmaß gemessenen
Winkel α und x den entsprechend im Bogenmaß gemessenen Winkel gegeben durch
x=
π
180◦
.
·
α
⇐⇒
α
=
x
·
180◦
π
(1.4)
Bezeichne α jeweils den im Gradmaß gemessenen Winkel.
(i) α =
π 180◦
·
= 20◦
9
π
(ii) α = π ·
180◦
= 180◦
π
(iii) α =
3π 180◦
·
= 270◦
2
π
(iv) α =
π 180◦
·
= 18◦
10
π
(v) α =
3π 180◦
·
= 135◦
4
π
(vi) α =
7π 180◦
·
= 210◦
6
π
Lösung zu Aufgabe 1.4
Hier wird ebenfalls die Umrechnungsformel (1.4) verwendet. x bezeichne den im
Bogenmaß gemessenen Winkel.
(i) x =
π
π
· 10◦ =
◦
180
18
(ii) x =
π
13π
· 26◦ =
◦
180
90
(iii) x =
11π
π
· 110◦ =
180◦
18
(iv) x =
7π
π
· 210◦ =
180◦
6
(v) x =
π
5π
· 75◦ =
◦
180
12
(vi) x =
11π
π
· 66◦ =
◦
180
30
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1|6
Kapitel 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens
Lösung zu Aufgabe 1.5
Gemäß Abschnitt 1.3.4 gilt für einen Winkel α im Bogenmaß und den zugehörigen
Kreisbogen b die Formel
α
,
b = πr ·
180◦
wobei r die Länge des Radius bezeichnet.
(i) Bezeichne b die Länge des Kreisbogens in dm. Dann gilt:
b = π · 14 ·
110◦
77π
≈ 8,56.
=
180◦
9
Damit gilt für den Umfang U = 2r + b in dm:
U = 2 · 14 +
77π
77π
= 28 +
≈ 36,56.
9
9
(ii) Alle Längen seien in cm angegeben. Aus der Formel für den Umfang erhält
man sofort:
U −b
25 − 15
r=
=
= 5.
2
2
Weiterhin kann die Formel für die Bogenlänge nach α umgestellt werden:
α=
540◦
b · 180◦
=
≈ 171,89◦.
π·r
π
(iii) Alle Längen seien in m angegeben. Zunächst kann die Formel für den Umfang
eines Kreises UKreis = 2πr nach r umgestellt werden:
r=
15
UKreis
=
.
2π
π
Mit Umrechnungsformel 1.14 lässt sich die Formel für die Bogenlänge b in
Abhängigkeit des Winkels im Bogenmaß herleiten:
b = πr ·
α
π
=r·
· α = r · x,
180◦
180◦
wobei x den im Bogenmaß gemessenen Winkel bezeichnet (vergleiche dazu
auch die Einleitung von Abschnitt 1.3.4). Es gilt also:
b=
15 π
· = 5.
π 3
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1|7
Lösung zu Aufgabe 1.6
C
γ
b
a
β
α
c
A
B
Der Sinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck stets
sin α
sin β
sin γ
=
=
a
b
c
gilt. Seien nun in der Folge alle Längen in Längeneinheiten [LE] gegeben.
(i) Laut Sinussatz gilt:
sin β =
b
5
sin α = sin 24◦ ≈ 0,6779
a
3
=⇒
β ≈ arcsin(0,6779) ≈ 42,68◦.
Damit ergibt sich für den fehlenden Winkel γ:
γ = 180◦ − α − β ≈ 180◦ − 24◦ − 42,68◦ = 113,32◦.
Es folgt erneut mit dem Sinussatz:
c=
sin γ
· a ≈ 6,77.
sin α
(ii) Laut Sinussatz gilt:
√
b
4
2
2 1
◦
sin β = sin γ =
·sin 45 = · √ =
c
10
5 2
5
Für α folgt:
=⇒
β = arcsin
√2 5
≈ 16,43◦ .
α ≈ 180◦ − 45◦ − 16,43◦ = 118,57◦.
Dann folgt erneut mit dem Sinussatz:
a=
sin α
· c ≈ 12,42.
sin γ
(iii) Laut Sinussatz gilt:
a=
sin α
sin 36◦
·b=
· 14 ≈ 11,85.
sin β
sin 44◦
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1|8
Kapitel 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens
Der fehlende Winkel ergibt sich aus γ = 180◦ − 36◦ − 44◦ = 100◦ . Dann
gilt erneut mit dem Sinussatz:
c=
sin 100◦
sin γ
·b=
· 14 ≈ 19,85.
sin β
sin 44◦
(iv) Laut Sinussatz gilt:
sin γ =
6
c
sin α = sin 95◦ ≈ 0,6641
a
9
=⇒
γ ≈ arcsin(0,6641) ≈ 41,61◦ .
Damit ergibt sich für den fehlenden Winkel
β ≈ 180◦ − 95◦ − 41,61 = 43,39◦.
Mit dem Sinussatz folgt wiederum:
b=
sin β
· a ≈ 6,21.
sin α
(v) Laut Sinussatz gilt:
sin γ =
c
7
sin β =
sin 80◦ ≈ 0,6267
b
11
=⇒
γ ≈ arcsin(0,6267) ≈ 38,81◦.
Dann gilt für den fehlenden Winkel
α ≈ 180◦ − 80◦ − 38,81◦ = 61,19◦.
Mit dem Sinussatz folgt:
a=
sin α
· b ≈ 9,77.
sin β
(vi) Für den fehlenden Winkel folgt γ = 180◦ − 65◦ − 33◦ = 82◦ . Dann gilt mit
dem Sinussatz
sin β
sin 33◦
b=
·c=
· 12 ≈ 6,6
sin γ
sin 82◦
und
a=
sin 65◦
sin α
·c=
· 12 ≈ 10,98.
sin γ
sin 82◦
(vii) Laut Sinussatz gilt:
sin α =
a
13
sin β =
sin 110◦ ≈ 2,44.
b
5
Da der Sinus nur Werte zwischen −1 und 1 annimmt, existiert kein Dreieck
mit den angegebenen Maßen.
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1|9
(viii) Laut Sinussatz gilt:
sin α =
a
2
sin γ = ·sin 78◦ ≈ 0,6521
c
3
=⇒
α ≈ arcsin(0,6521) ≈ 40,7◦ .
Dann ergibt sich für den fehlenden Winkel β ≈ 180◦ − 78◦ − 40,7◦ = 61,3◦.
Es gilt erneut laut des Sinussatzes:
b=
sin β
· c ≈ 10,76.
sin γ
(ix) Es ergibt sich sofort für den fehlenden Winkel γ = 180◦ − 25◦ − 45◦ = 110◦.
Dann gilt laut des Sinussatzes
b=
und
c=
sin β
sin 25◦
·a=
· 10 ≈ 5,98
sin α
sin 45◦
sin 110◦
sin γ
·a=
· 10 ≈ 13,29.
sin α
sin 45◦
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