Blatt 13

20. Januar 2016
T2 - Quantenmechanik I
WS 15/16 - Prof. Scrinzi
Übungsblatt 13
13.1: (Z) Abschirmung der Kernladung durch ein Elektron
Motivation: Die negative Ladung eines Elektrons kompensiert teilweise die Ladung des Kerns.
Dadurch ergibt sich im Sinne des Schalenmodels des Atoms ein effektives Potential Vef f , in
dem sich ein weiteres Elektron bewegen wird. Die Lösung des 1-Elektronsystems mit dem
effektiven Potential ist numerisch einfach und gibt bereits eine recht gute Abschätzung von
E0 = −2.821a.u. für den Grundzustand des Helium: E0exakt = −2.9037 . . . a.u.
(a) Berechne die Ladungsdichte ρ(~r) des Elektrons im Grundzustand von He+ . Verwende die
Ergebnisse aus Aufgaben 12.5 und 13.2.
(b) Das Gesamtpotential aus Kernladung Z = 2 und Abschirmung durch das Elektron ist (in
atomaren Einheiten) gegeben durch
Z
ρ(~r2 )
2
.
(1)
Veff (~r) = − + d3 r2
r
|~r − ~r2 |
Berechne Veff .
Hinweis: Die sogenannte Multipolentwicklung der Coulomb-Wechselwirkung ist gegeben
durch
∞
λ
λ
X
r<
4π X µ∗
1
=
Yλ (ϕ1 , θ1 )Yλµ (ϕ2 , θ2 ) λ+1
|~r1 − ~r2 |
2λ + 1 µ=−λ
r>
λ=0
r< = min(r1 , r2 )
r> = max(r1 , r2 ),
wobei ri , ϕi und θi Kugelkoordinaten sind. Bei der Integration über ϕ2 und θ2 verschwinden alle Terme dieser Summe, bisauf denTerm λ = 0 = µ.
2
0~
für Z = 2.
Zur Überprüfung: Veff (~r) = − 1r − 1r + a11 e−2r/a1 mit a1 = 4π
me2 Z
(c) Skizziere das Potential und interpretiere durch Vergleich mit den reinen Coulomb-Potentialen
für Z = 1 und Z = 2.
13.2: (T) Separation von räumlichen Anteil und Spin-Anteil
Motivation: Für einen Großteil der Anwendungen kann man Beiträge des Spins zur Energie
des Mehr-Elektronen Systems vernachlässigen. In dem Fall kann man immer den Spin-Anteil
der Lösung vom räumlichen Anteil separieren, wie wir das beim Heliumatom getan haben. Für
mehr als zwei Elektronen wird die Konstruktion bereits ziemlich kompliziert und ist nur mit
Methoden der Gruppentheorie sinnvoll zu bewältigen. Im Falle von zwei Elektronen allerdings
kann man sich von der Separabilität selbst leicht überzeugen.
1
Zur Vereinfachung der Notation ordnen wir die Tensorfaktoren einer 2-Teilchen Wellenfunktion
wie folgt an:
Ψ(s1 , s2 , ~r1 , ~r2 ) = |s1 i ⊗ |s2 i ⊗ |φ1 i ⊗ |φ2 i,
(2)
wobei |si i ∈ {| ↑i, | ↓i} den Spin-Faktor des i-ten Elektrons bezeichnet, und |φi i die räumliche
Wellenfunktion. Natürlich ist für Elektronen nur die anti-symmetrisierte Wellenfunktion ∝ Â− Ψ
erlaubt. Hierbei ist Â− der Projektor auf den anti-symmetrischen Anteil, siehe Skript.
(a) Zeige, dass für φ1 = φ2 =: φ gilt
Â− Ψ =
1
(|s1 i|s2 i − |s2 i|s1 i) |φi|φi
2
(3)
(Um Schreibarbeit zu sparen, haben wir die Tensorsymbole ⊗ weggelassen.)
(b) Zeige, dass für allgemeine φ1 6= φ2 gilt
Â− Ψ =
1
1
(|s1 i|s2 i − |s2 i|s1 i) (|φ1 i|φ2 i + |φ2 i|φ1 i)+ (|s1 i|s2 i + |s2 i|s1 i) (|φ1 i|φ2 i − |φ2 i|φ1 i)
4
4
(4)
(c) Liste alle möglichen 2-Teilchen Spin Faktoren auf. Wieviel verschiedene symmetrische und
wieviele verschiedene anti-symmetrischen Faktoren gibt es?
(d) Interpretiere das Ergebnis für den Fall, dass die Energie nicht vom Spin abhängt. Wievielfach entartet ist die Energie für symmetrische Orts-Wellenfunktion |φ1 i|φ2 i + |φ2 i|φ1 i?
Wievielfach für anti-symmetrische?
13.3: (Z) Addition von Drehimpulsen: Zwei mal Spin-1/2
Motivation: Interessanterweise sind die nach positiver und negativer Austauschsymmetrie arrangierten Spin-Faktoren im 2-Teilchensystem auch Eigenfunktionen des Gesamtspins. Dies gilt
auch für mehr als 2 Spins, allerdings ist die Konstruktion da erheblich komplizierter.
Es seien | ↑i und | ↓i die 1-Teilchen Spin-1/2 Eigenzustände.
(a) Gib die Eigenwerte von ~sˆ2 und ŝz für die Zustände | ↑i und | ↓i explizit an.
Die Spins zweier Teilchen seien beschrieben durch Vektoren der Form | ↑i ⊗ | ↑i ≡ | ↑↑i,
~ˆ12 := ~sˆ2 ⊗ 1, S
~ˆ22 := 1 ⊗ ~sˆ2 , Ŝ1z := ŝz ⊗ 1 und Ŝ2z := 1 ⊗ ŝz
| ↑i ⊗ | ↓i ≡ | ↑↓i etc. Es seien nun S
~ˆ := S
~ˆ1 + S
~ˆ2 und
die 2-Teilchen Spin-Operatoren. Außerdem seien der Gesamt-Spin-Operator S
dessen z-Komponente Ŝz := Ŝ1z + Ŝ2z .
~ˆ2 , S
~ˆ2 , Ŝ1z und Ŝ2z kommutieren.
(b) Verifiziere, dass die Operatoren S
1
2
(c) Verifiziere, dass | ↑↑i, | ↑↓i, | ↓↑i und | ↓↓i gemeinsame Eigenvektoren dieser Operatoren
sind und bestimme die Eigenwerte.
~ˆ2 , S
~ˆ2 , S
~ˆ2 und Ŝz kommutieren.
(d) Verifiziere, dass die Operatoren S
1
2
(e) Verifiziere, dass | ↑↑i, √12 (| ↑↓i − | ↓↑i), √12 (| ↑↓i + | ↓↑i) und | ↓↓i gemeinsame Eigenvektoren dieser Operatoren sind und bestimme die Eigenwerte.
2
13.4: (T) Zeitentwicklung eines Spin- 12 Teilchens
~ˆ = (Ŝx , Ŝy , Ŝz )T mit Ŝi = ~ σ̂i . Hierbei sind die PauliDer Spin- 12 -Operator ist gegeben durch S
2
Matrizen σ̂i in der σ̂z -Eigenbasis gegeben durch
0 1
0 −i
1 0
σ̂x =
σ̂y =
σ̂z =
1 0
i 0
0 −1
Betrachte nun den Spin eines Spin- 21 Teilchens, welcher zum Anfangszeitpunkt im Zustand
√
|ψ0 i = (1, 1)T / 2 vorliege.
(a) Zeige, dass |ψ0 i ein Eigenzustand von Ŝx ist und gib den zugehörigen Eigenwert an.
Es werde nun ein konstantes, in z-Richtung orientiertes, äußeres Magnetfeld B eingeschaltet.
Der Hamiltonoperator hat dann die Form
Ĥ = −µB Ŝz
wobei µ 6= 0 eine Konstante ist.
(b) Berechne die zeitliche Entwicklung des Zustands |ψ(t)i mit Anfangsbedingung |ψ(t =
0)i = |ψ0 i.
(c) Berechne die Erwartungswerte hŜx i, hŜy i und hŜz i für den Zustand aus (b) als Funktionen
der Zeit.
~ˆ in der hŜx i-hŜy i-Ebene.
(d) Skizziere den zeitlichen Verlauf von hSi
(e) Zu welchen Zeitpunkten ist das Ergebnis einer Messung von Ŝy exakt vorhersagbar? Zu
welchen Zeitpunkten das Ergebnis einer Messung von Ŝz ?
(f ) Ist es prinzipiell möglich einen Zustand zu konstruieren, bei dem das Ergebnis einer
~ˆ exakt vorhersagbar ist? (Begründung!)
Messung des kompletten Spin- 12 -Operators S
Das Magnetfeld sei nun nicht perfekt realisiert. Der gestörte Hamiltonoperator habe die Form
Ĥg := Ĥ + g Ŝy mit Störparameter g ∈ R.
(g) Berechne die Eigenwerte von Ĥg in erster und zweiter Ordnung Störungstheorie.
(h) Welche Bedingungen müssen für g und µB erfüllt sein, damit die Approximation der
Eigenwerte durch die Ergebnisse der zweiten Ordnung Störungstheorie ”sinnvoll” ist?
13.5: (T) Ortho- und Parahelium
Motivation: In der Vorlesung wurden qualitatitive Argumente gegeben, weshalb die Energien
des Para-Heliumes (symmetrische Ortsfunktion) bei gleichen Faktoren Φ1 und Φ2 höher liegen.
Solche Argumente sind nützlich zum Verständnis, sie entbinden uns aber nicht davon, die
Tatsache zu überprüfen.
Berechne störungstheoretischen Korrekturen von Ortho- und Parahelium. Wir bezeichnen die
Eigenfunktionen des 1-Teilchen Hamiltonoperators ĥZ , Z = 2 mit
|100i = Y00 (~r)φ1 (r) =: Φ1 (~r),
|2lmi = Ylm (~r)φ2 (r) =: Φ2 (~r),
und verwenden die Kurznotation |lm±i := Â± [|100i ⊗ |2lmi]
3
(5)
(a) Zeige dass hlm + |Ĥ0 |lm+i = hlm − |Ĥ0 |lm−i
Anleitung: Benutze [Â± , Ĥ0 ] = 0 und beachte die Orthogonalität der Φi .
(b) Zeige
[Â± ,
und
hlms|
1
]=0
|~r1 − ~r2 |
1
|l0 m0 s0 i ∝ δll0 δmm0 δss0 ,
|~r1 − ~r2 |
(6)
s, s0 = +, −.
(7)
Anleitung: Hier muss man keine Integrale ausrechnen, man kann die Symmetrie nutzen,
d.h. dass wir es mit Eigenfunktionen der entsprechenden Erhaltungsgrössen zu tun haben.
(c) Zeige
1
|lm±i
|~r1 − ~r2 |
Z
Z
1
Φ∗ (~r1 )Φ1 (~r1 )Φ∗2 (~r2 )Φ2 (~r2 )
3
=
d r1 d3 r2 1
2
|~r1 − ~r2 |
Z
Z
∗
Φ (~r1 )Φ1 (~r2 )Φ∗2 (~r2 )Φ2 (~r1 )
1
d3 r1 d3 r2 1
±
2
|~r1 − ~r2 |
hlm ± |
(8)
(9)
(10)
1
Hint: Die Rechung vereinfacht sich, wenn man |ml±i := Â± [|100i⊗|2lmi] und [Â± , |~r1 −~
]=
r2 |
0 ausnützt.
(d) Benutze allgemeine Argumente (ohne explizite Rechnung) um zu zeigen, dass der direkte
Term im Matrixelement der Elektronabstossung positiv ist.
(e) Berechne den Austauschterm für l, m = 0, 0 explizit.
Anleitung: Benutze die Multipolentwicklung aus Aufgabe 13.1(b) und verwende Orthogonalität der Winkelanteile.
Tipp: Transformiere zu Koordianten ~r+ = 12 (~r1 + ~r2 ), ~r− = ~r1 − ~r2 . Beachte, dass
exp(α~r1 ) exp(β~r2 ) = exp(µ~r+ ) exp(ν~r− ) für geeignete µ, ν.
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