Übungsblatt 11 - Universität Bonn

Universität Bonn
Institut für Informatik V
Prof. Dr. Norbert Blum
Elena Trunz
Wintersemester 2013/2014
BA-INF 011 - Logik und Diskrete Strukturen
Übungsblatt 11
13.1.2014
Aufgabe 1
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Behauptung: Seien φ ein Ausdruck über Σ und M und M zwei für Σ geeignete Strukturen. Falls M
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und M bzgl. φ sich nur in Werten, die diese Variablen, die im φ nicht frei sind, zuweisen, unterscheiden,
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dann gilt genau dann M φ wenn M φ.
Angenommen, die Behauptung gilt für die Ausdrücke ψ1 und ψ2 . Zeigen Sie, dass dann die Behauptung
auch für φ = ψ1 ∨ ψ2 gilt.
Aufgabe 2
Betrachten Sie den Satz φ := (∀x∃y G(x, y) ∧ ∀x∀y∀z((G(x, y) ∧ G(x, z)) → y = z)). Zeigen Sie, dass
genau diejenigen Graphen φ erfüllen, deren Knoten alle den Ausgangsgrad eins haben.
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass ein Ausdruck genau dann unerfüllbar ist, wenn seine Negation gültig ist.
Aufgabe 4
Gegeben seien die Ausdrücke φ1 , φ2 und φ3 , die gerade die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität
von P ausdrücken.
φ1 = ∀xP (x, x)
φ2 = ∀x∀y(P (x, y) → P (y, x))
φ3 = ∀x∀y∀z((P (x, y) ∧ P (y, z)) → P (x, z))
Zeigen Sie, dass keiner dieser Ausdrücke Folgerung der anderen beiden ist, indem Sie für jedes Paar ein
Modell angeben, das aber kein Modell für den jeweils dritten Ausdruck ist.
Bitte wenden!
Aufgabe 5
Welche der folgenden Strukturen sind Modelle für den Ausdruck
∃x∃y∃z(P (x, y) ∧ P (z, y) ∧ P (x, z) ∧ ¬P (z, x))?
1. U := N, P := {(m, n) | m, n ∈ N, m < n}
2. U := N, P := {(m, m + 1) | m ∈ N}
3. U := 2N , P := {(A, B) | A, B ⊆ N, A ⊆ B}
Begründen Sie Ihre Antworten.
Aufgabe 6
1. Gegeben sei die Struktur U := N0 , a = 0, f (x) = x+1, wobei jeder Variable ein beliebiges Element
aus U zugeordnet wird. Ist diese Struktur ein Modell für die drei folgende Ausdrücke?
(a) φ1 := ∃x1 ∃x2 ∃x3 ∀y(x1 = y ∨ x2 = y ∨ x3 = y),
(b) φ2 := ∀x¬(f (x) = a),
(c) φ3 := ∀x∀y(f (x) = f (y)) → x = y?
Begründen Sie Ihre Antwort!
2. Geben Sie Strukturen an, die nur für jeweils zwei der Ausdrücke ein Modell sind, aber nicht für
alle drei.