K2 - RZ User

K2 KLAUSUR 10.02.2012
MATHEMATIK
Pflichtteil:
1 2 3 4 5 6 7 8
Aufgabe
Punkte (max) 2 2 3 4 5 3 4 3
Punkte
Wahlteil Analysis
Aufgabe
a
Punkte (max) 9
Punkte
Gesamtpunktzahl
Notenpunkte
Wahlteil Geometrie
Aufgabe
a
Punkte (max) 7
Punkte
b c
5 4
/60
Pflichtteil
(1) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion
f (x) = e−2x sin(x).
(2) Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von
f (x) = (1 + 3x)2
die durch den Punkt (0|1) geht.
(3) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung e2x − e3x = 0.
(4) Gegeben ist die Funktion
f (x) =
2x + 1
.
x−1
a) Bestimmen Sie die Asymptoten von f .
b) Skizzieren Sie das Schaubild von f
1
b c
6 3
2
MATHEMATIK
(5) Gegeben sind die Schaubilder folgender Funktionen.
a) Welche Aussagen können über die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der
Funktion f = F 0 gemacht werden, deren Ableitung im Schaubild links oben zu
sehen ist?
b) Welche Schaubilder zeigen die Ableitungsfunktion f 0 (x) und die Integralfunktion
Z x
F (x) =
f (t) dt
a
von f ? Begründen Sie Ihre Antwort und Bestimmen Sie den Wert von a.
(6) Gegeben sind die Ebenen
E : x1 + x2 − 2x3 = 8 und F : 2x1 − x2 − 4x3 = 13.
Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden von E und F . Welche besondere
Lage im Koordinatensystem hat diese Gerade?
(7) Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A(1|3|1), B(1|6|4), C(3|9|−1). Die Höhe durch
C schneidet AB in F .
Bestimmen Sie F , sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.
(8) Gegeben ist eine Ebene E und ein Punkt P , der nicht in dieser Ebene liegt.
Die Ebene F ist parallel zu E und hat den gleichen Abstand von E wie von
P . Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Gleichung der Ebene F
bestimmen kann.
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Wahlteil Analysis
Wir schreiben das Jahr 2200. Das Schmelzen der Polkappen hat dazu geführt, dass
Hannover, die deutsche Hauptstadt der Korruption, eine Hafenstadt geworden ist.
Der Pegelstand im Hafenbecken von Hannover kann durch die Funktion f mit
π
f (t) = 1,4 sin
· (t − 5) + 4,2
6,15
(t in Stunden ab Mitternacht des ersten Tages, f (t) in Meter) angenähert werden.
a) Skizzieren Sie das Schaubild von f für die ersten 24 Stunden.
Zeigen Sie, dass f die Periode 12,3 Stunden hat.
Zwischen welchen Werten schwankt der Pegelstand?
Wie hoch ist der Pegelstand am ersten Tag um 8.30 Uhr?
Zu welchen Tageszeiten innerhalb der ersten 24 Stunden fließt am meisten Wasser aus
dem Hafenbecken?
Bestimmen Sie den mittleren Pegelstand am ersten Tag.
Erklären Sie, warum man den mittleren Pegelstand innerhalb der ersten 12,3 Stunden
ohne Rechnung bestimmen kann.
b) Durch die Überflutung des Finanzplatzes London waren viele Briten gezwungen,
ihren Lebensunterhalt durch ehrbarere Berufe als dem eines Börsianers zu verdienen.
Viele wandten sich der lukrativen Piraterie zu.
Der höchste Pegelstand liegt 1 m unterhalb der waagrechten Oberkante der Kaimauer.
Um Hannover zu plündern, müssen die Piraten zu Zeiten anlegen, in denen der Pegelstand höchstens 2 m unterhalb der Oberkante liegt.
In welchen Zeiträumen innerhalb der ersten 12 Stunden können die Briten in Hannover
plündern?
Die Fahrt von England bis Hannover dauert 2 Stunden. Wie viele Tage hintereinander
(ab dem ersten Tag) können die Briten Hannover plündern und bis zum 5-Uhr-Tee wieder
daheim sein?
c) In Guttenberg, einem Vorort von Brüssel, wiederholen sich die Pegelstände mit derselben Periode, aber die Pegelhöchststände treten jeweils 2 Stunden später ein als in
Hannover. Der niedrigste Pegelstand beträgt 3 m, der höchste 6,2 m.
Bestimmen Sie einen Term einer Funktion, die den Pegelstand in Guttenberg näherungsweise beschreibt.
Zu welchem Zeitpunkt innerhalb der ersten 12 Stunden ist der Unterschied der Pegelstände beider Orte am größten?
4
MATHEMATIK
Geometrie
Das Rechteck ABP Q mit A(7|4|0), B(3|4|0), P (3|0|6) und Q(7|0|6) ist ein Ausschnitt
einer Dachfläche eines Hauses; hierbei entspricht 1 LE einem Meter. Auf diese Dachfläche
wird eine Gaube aufgesetzt, die von den Punkten A, B, C(3|4|3), D(5|4|4,5) und F (7|4|3)
begrenzt wird, und deren Begrenzungslinien waagrecht in Richtung x2 -Achse verlaufen.
a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Dachfläche an.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte C 0 , D0 und F 0 , in denen die Begrenzungslinien der Gaube auf die Dachfläche treffen.
Zeichnen Sie die Dachfläche ABP Q und die aufgesetzte Gaube in ein geeignetes
Koordinatensystem.
Teilergebnis: D0 (5|1|4,5) und F 0 (7|2|3).
b) Welchen Neigungswinkel hat die Dachfläche ABP Q?
Die Dachfläche F 0 F DD0 soll mit Sonnenkollektoren bedeckt werden. Bestimmen
Sie den Inhalt dieser Dachfläche.
Prüfen Sie, ob die Geraden AB, F D und D0 F 0 durch einen gemeinsamen Punkt
gehen.
c) Im Punkt M (7|2|3) der Dachfläche ist eine 2m hohe
Antenne vertikal angebracht.
−4
Das Sonnenlicht kommt aus der Richtung 2 .
−5
Zeigen Sie, dass der Schatten der Antenne ganz in der Dachfläche liegt, und
berechnen Sie die Länge des Schattens.
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1. Pflichtteil
(1) Produktregel
f 0 (x) = −2e−2x sin(x) + e−2x cos(x).
(2) F (x) = 19 (1 + 3x)3 + c; Einsetzen liefert 1 =
1
9
+ c, also c = 89 .
(3) Ausklammern ergibt e2x (1 − ex ) = 0. Wegen ex 6= 0 muss ex = 1 sein, also ist
x = 0 die einzige Lösung.
Möglich ist auch die Substitution z = ex , woraus z 2 = e2x und z 3 = e3x folgt.
(4) Senkrechte Asymptote x = 1. Waagrechte Asymptote:
(2x + 1) x1
2+
2x + 1
=
=
f (x) =
x−1
(x − 1) x1
1−
1
x
1
x
−→ 2
zeigt, dass y = 2 die waagrechte Asymptote ist.
Skizzieren: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind (0| − 1) und (− 12 |0).
(5) a) Über Nullstellen der Stammfunktion F von f kann man keine Aussagen machen, da F durch die Ableitung F 0 = f nur bis auf Verschiebung in Richtung
y-Achse festgelegt ist.
Das Schaubild von F hat einen Tiefpunkt in x = −1, da f dort eine Nullstelle
mit Vorzeichenwechsel von − nach + hat (oder: f ist dort monoton steigend, also
F 00 (−1) = f 0 (−1) > 0). Entsprechend hat F einen Hochpunkt in x = 1 wegen
F 00 (1) < 0 (f (1) = 0 mit VZW von + nach −).
Das Schaubild von F hat Wendestellen in x ≈ −0,5 und x ≈ 2,5, da f dort
Extrema hat.
b) Da f in x ≈ −0,5 einen Hochpunkt hat, muss f 0 dort eine Nullstelle haben:
also zeigt das Schaubild rechts oben die Funktion f 0 .
Das Schaubild von F muss nach a) einen Tiefpunkt in x = −1 haben, also ist es
das von links unten.
R −1
Wegen 0 = F (−1) = a f (t) dt = F (−1) − F (a) folgt F (a) = 0, d.h. es muss
a = −1 sein.
(6) Addieren der beiden Gleichungen liefert 3x1 − 6x3 = 21, also x1 − 2x3 = 7. Setzt
man x3 = t, folgt x1 = 7+2t und, nach Einsetzen in E, x2 = 1. Die Schnittgerade
ist also
 
 
7
2
~x = 1 + t 0 .
0
1
Diese Gerade ist parallel zur x1 x3 -Ebene.
6
MATHEMATIK
(7) F ist der Lotfußpunkt von C auf AB. Die Hilfsebene senkrecht zu AB durch C
hat die Gleichung x2 + x3 = 8. Schneiden mit AB ergibt F (1|5|3).
√
√
√
Flächeninhalt: AABC = 21 AB · CF = 12 18 · 6 = 3 18 = 9 2.
−→
−→
Oder mit dem Kreuzprodukt von AB und AC: dessen Betrag ist gleich der Fläche
des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelogramms, der des Dreiecks ist
dann halb so groß:
    

0
2
−24
−→
−→
AB × AC = 3 ×  6  =  6  ,
3
−2
−6
−→
−→
√
√
|AB × AC| = 6 42 + 12 + 12 = 6 18,
√
√
also ist der Flächeninhalt des Dreiecks gleich 3 18 = 9 2.
(8) Wähle einen beliebigen Punkt Q auf E. Bestimme den Mittelpunkt M der Strecke
EQ; M liegt auf F . Da E und F parallel sind, können wir ~nF = ~nE nehmen. Die
Ebenengleichung von F ist
−→
(~x − OM ) · ~nE = 0.
Statt Q kann man auch den Lotfußpunkt von P auf E nehmen.
Merke: Abstände, ob mit oder ohne HNF, sind zum Aufstellen von Ebenengleichungen vollkommen ungeeignet.
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2. Analysis
a) Skizze; Periode ist Abstand zweier Hochpunkte (Ausrechnen) oder mittels
was p = 12,3 ergibt.
π
6,15
=
2π
,
p
Der Pegelstand schwankt zwischen 2,8 m (Tiefpunkt) und 5,6 m (Hochpunkt). Man kann
auch mit Amplitude argumentieren: der Pegelstand liegt höchstens 1,4 m unter den 4,2
m, und höchstens 1,4 m darüber.
Am meisten Wasser fießt ab, wenn der Pegelstand am schnellsten abfließt. Also Minimum
von f 0 (t), das ergibt t1 = 11,15 und t2 = 23,45.
Pegelstand um 8 : 30 h ist f (8,5) = 5,58 m.
Mittlerer Pegelstand am ersten Tag M =
1
24
R 24
0
f (t) dt ≈ 4,23 m.
Der Mittelwert über eine Periode einer Sinusfunktion ist 0. Da f (t) eine um 4,2 nach
oben verschobene Sinusfunktion ist, muss der Mittelwert 4,2 m sein.
b) Maximaler Pegelstand ist 5, 6 m, also 1 m unterhalb der Kaimauer. Daher sind 2
m unterhalb der Kaimauer ein Pegelstand von 4,6 m. f (t) = 4,6 ergibt t1 = 5,6 und
t2 = 10, 6, sodass die Briten von ca. 5 : 30 h bis 10 : 30 h plündern könnten.
Die Aufgabe war etwas liederlich gestellt. Besser wäre es so gewesen:
Um eine ordentliche Plünderung hinzulegen brauchen die Briten 5 Stunden. Zeigen Sie, dass dies möglich ist.
Die Fahrt von England bis Hannover dauert 2 Stunden. Wie viele Tage
hintereinander (ab dem ersten Tag) können die Briten Hannover ordentlich plündern und bis zum 5-Uhr-Tee wieder daheim sein?
Am ersten Tag haben die Briten noch 4,5 h bis zum Tee. Jeden Tag verschiebt sich die
Plünderzeit um 0,6 h nach hinten. Am 8. Tag könnten sie also nicht mehr die vollen 5 h
plündern.
c) Amplitude a = 6,2−3
= 1,6, Mittelwert d = 6,2+3
= 4,6, Verschiebung um 2 nach rechts
2
2
gegenüber f liefert
π
g(t) = 1,6 sin
(t − 7) + 4,6.
6,15
Maximum von |f (t) − g(t)| ergibt t = 11,9.
8
MATHEMATIK
3. Geometrie
a) Ebenengleichung von E Aufstellen der Parametergleichung
 
 
 
7
−4
−4
−→
−→
−→
~x = OA + tAB + uAP = 4 + t  0  + u −4
0
0
6
und Berechnen
des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren liefert den Normalenvektor
0
~n = 2 ; daraus ergibt sich die Koordinatenform der Ebenengleichung
3
E : 3x2 + 2x3 = 12.
Berechnung der Koordinaten von C 0 , D0 , F 0 . Beim Wandern entlang der Richtung der x2 -Achse ändern sich die x1 - und x3 -Koordinaten nicht, also muss C 0 (3|c|3),
D0 (5|d|4,5) und F 0 (7|f |3) gelten. Einsetzen in die Ebenengleichung von E liefert jetzt
sofort 3c + 2 · 3 = 12, also c = 2. Entsprechend folgt d = 1 und f = 2, also C 0 (3|2|3),
D0 (5|1|4,5) und F 0 (7|2|3).
Notfalls kann man c, d und f auch aus der Zeichnung ablesen (aber nur mit obiger
Begründung bezgl. der x1 - und x3 -Koordinaten!): von C, D und F aus muss man 2, 3
bzw. 2 LE nach links.
Die dritte Möglichkeit: man stellt die Gerade durch C parallel zur x2 -Achse auf und
schneidet mit E:
 
 
0
3
gC : ~x = 4 + t 1
0
3
0
gibt 3(4 + t) + 2 · 3 = 12, also t = −2 und damit C (3|2|3) etc.
b) Neigungswinkel. Neigungswinkel ist der Winkel zwischen E und der x1 x2 -Ebene;
es folgt
0 0
32 · 01 2
cos α = 0 0 = √ ,
13
32 · 01 also α = 56,3◦ .
Der Neigungswinkel kann auch trigonometrisch bestimmt werden: ist Q0 der Lotfußpunkt
von Q in der Grundebene, so kann man Q0 (7|0|0) ablesen, und es ist tan α = QQ0 /Q0 A =
6/4, also α = tan−1 (3/2) = 56,3◦ .
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Das Viereck F 0 F D0 D ist ein Trapez, da F 0 F und D0 D parallel sind: weiter hat man
 
 
 
0
0
−2
−→
−→
−→
F 0 F = 2 , D0 D = 3 , F D =  0  ,
0
0
1,5
−→
−→
sodass wegen D0 D · F D = 0 die Höhe des Trapezes gleich F D ist. Also gilt
F 0 F · D0 D −→
5 5
25
· |F D| = · =
= 6,25.
2
2 2
4
Die Dachfläche ist also 6,25 m2 groß.
AT =
Achtung! Der Winkel ∠D0 F 0 F sieht nur aus wie ein rechter Winkel, ist aber keiner.
Dagegen muss, wenn der Architekt was taugt, der Winkel ∠F 0 F D ein rechter sein.
Schnitt der drei Geraden. Schneiden der Geraden durch AB und DF ergibt
7 − 4t = 7 + 2u
4=4
0 = 3 − 1,5u,
also t = 1 und u = 2; der Schnittpunkt ist S(11|4|0). Jetzt fehlt noch die Punktprobe
mit der Geraden durch D0 F 0 . Einsetzen von S in


 
2
7
~x = 2 + t  1 
−1,5
3
liefert t = 2, d.h. S liegt auf allen drei Geraden.
Achtung! Wenn man sich etwas mehr Mühe macht und nachrechnet, dass AB und DF ,
sowie AB und D0 F 0 sich in einem Punkt S schneiden, dann muss S auch der Schnittpunkt
von DF und D0 F 0 sein, da er sicherlich auf beiden draufliegt.
Weiter kann es nicht sein, dass AB und DF sich nicht schneiden, da sie offenbar in
derselben Ebene liegen.
c) Schatten. Die Spitze der Antenne liegt in M 0 (7|2|5). Der Schatten der Spitze liegt
auf der Geraden
 
 
7
−4



~x = 2 + t 2  .
5
−5
Die Ebenengleichung von F 0 F D0 D ergibt sich zu
3x1 + 4x3 = 33.
Schneiden liefert 3(7 − 4t) + 4(5 − 5t) = 33, also t = 41 und damit N (6|2,5|3,75). Dies ist
der Mittelpunkt der Strecke D0 F , liegt also in der Dachfläche F 0 F D0 D.
Die Länge des Schattens (sowohl M als auch N liegen in der Dachfläche F 0 F D0 D) ist
damit d = d(N, M ) ≈ 1,35 m.