ARBEITSBLATT 8

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang
Arbeitsblatt 15
3. Semester
ARBEITSBLATT 15
HÖHENMESSUNGSAUFGABEN
Beispiel: Auf einem Fernsehturm befindet sich ein Antennenmast der Höhe h =
75 m. Von einem Geländepunkt P wird die Spitze des Mastes unter dem Höhenwinkel α = 24,3°, der Fußpunkt des Mastes unter dem Höhenwinkel
β = 17,7° gesehen. Ermittle die Gesamthöhe (Turm samt Mast).
Lösung:
Zunächst müssen wir einmal einige Begriffe klären:
Definition: Unter einem Höhenwinkel versteht man den Winkel zwischen
der gedachten Geraden zu einem anvisierten Punkt und der Horizontalen, wobei der anvisierte Punkt höher als die Horizontale liegt.
Beispiel: Wenn also gesagt wird, daß sie die Spitze eines Berges unter
dem Höhenwinkel α sehen, bildet sich dieser Winkel folgendermaßen:
Bergspitze
α
Gedachte horizontale Linie
Definition: Unter einem Tiefenwinkel versteht man den Winkel zwischen
der gedachten Geraden zu einem anvisierten Punkt und der Horizontalen, wobei der anvisierte Punkt tiefer als die Horizontale liegt.
Beispiel: Wenn also gesagt wird, daß sie von einer Bergspitze aus einen
Punkt P im Tal unter dem Tiefenwinkel β sehen, so sieht dies folgendermaßen aus:
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Gedachte horizontale Linie
β
Bergspitze
P
Definition: Unter einem Sehwinkel versteht man den Winkel zwischen
den gedachten Geraden zu zwei anvisierten Punkten.
Beispiel: Wenn man einen Turm von einem Punkt P aus unter dem Sehwinkel γ sieht, so zieht man sich eine Linie zum tiefsten Punkt des Turms
und eine zum höchsten Punkt des Turms. Der Winkel zwischen diesen
Geraden ist der Sehwinkel γ.
γ
P
Anmerkung: Bei uns werden Gegenstände wie ein Turm immer idealisiert, also einfach
als senkrechte Linie ohne Breite gezeichnet (In der Praxis wäre dies eine Gerade durch
die Achse des Turms).
So, nun können wir daran gehen, uns eine Skizze für unsere Aufgabe anzufertigen. Vorsicht, bei diesen Aufgaben ist eine Skizze bereits die halbe Rechnung. Nehmen Sie sich also bitte für die Zeichnung genügend Zeit, fertigen Sie
diese groß genug an und lesen Sie sich den Text genau durch.
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S
h
M
x
α
β
P
F
Zunächst erinnern wir uns wieder, in welchen Fällen wir Dreiecke berechnen können: Ein rechtwinkeliges Dreieck läßt sich auflösen, wenn
wir zwei Größen kennen, ein schiefwinkeliges Dreieck, wenn wir drei
Größen kennen, wobei jeweils eine Seitenlänge dabei sein muß.
Wenn wir nun unser Dreieck PMS betrachten, so lassen sich dort drei
Größen ermitteln. Die Höhe h ist gegeben. Der Winkel zwischen den
Strecken PM und PS ( = α1 ) ergibt sich aus der Differenz von α und β. Ich
zeichne diesen Winkel ein:
Anmerkung: Tragen Sie bitte auf ihrer Skizze immer jene Längen und Winkel ein, die Sie
zur Berechnung verwendet haben, da ich ja sonst die Rechnung kaum nachvollziehen
kann.
S
h
M
x
α1
α
β
P
F
α1 = α − β = 6,6°
Aber auch der Winkel bei M läßt sich berechnen. Dazu berechnen wir
uns zuerst den Winkel zwischen den Strecken MP und MF aus dem Dreieck PFM (Dieser Winkel ist mit γ benannt). Wenn wir diesen dann haben
ergibt sich der obere Winkel (Mit δ benannt) als Supplementärwinkel zu
γ. Ich zeichne die Winkel zunächst einmal ein:
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Arbeitsblatt 15
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S
h
δ
M
γ
x
α1
α
β
P
F
Wir berechnen also γ:
γ = 90° − β = 72,3°
Nun berechnen wir δ:
δ = 180 ° − γ = 107,7°
Nun haben wir für das Dreieck PMS drei Größen und können mittels des
Sinussatzes die Strecke PM = a berechnen. Damit wir den Sinussatz richtig ansetzen können, müssen wir vorher noch den Winkel bei der Spitze S
(mit τ, sprich Tau, benannt) berechnen.
S
τ
h
δ
M
γ
a
x
α1
α
β
P
F
τ = 180° − α1 − δ = 65,7°
Nun setzen wir den Sinussatz an:
a
h
=
sin τ sin α1
Wir setzen bekannte Zahlenwerte ein:
a
75
=
/⋅ sin 65,7°
sin 65,7° sin 6,6°
75 ⋅ sin 65,7°
a=
= 594,72
sin 6,6°
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Nun läßt sich mit dem unteren rechtwinkeligen Dreieck die Länge
FM = y berechnen:
y
sin β =
/⋅ a
a
y = a ⋅ sin β = 180,81
Und nun wissen wir die Höhe:
x =h + y = 255,81m
Übungen: Übungsblatt 15; Aufgaben 116 – 119
Probleme bei der Anwendung des Sinussatzes
Die Tatsache, dass die Winkelfunktionen nicht bijektiv sind (nähere Erläuterungen dazu werden demnächst erfolgen), erzeugt beim Sinussatz ein Problem.
Nehmen Sie an, Sie möchten bei einem schiefwinkeligen Dreieck mittels des
Sinussatzes den größten Winkel berechnen. Sie erhalten dabei bei der Berechnung immer einen Ausdruck der Form sin α = 0,6 . Mittels der Arcusfunktion
liefert uns der Taschenrechner den Winkel. Nun ist es aber so, dass der Sinus im
1. Und 2. Quadranten positiv ist (Siehe Arbeitsblatt zur Quadrantenregel), was
bedeutet, dass es eigentlich zwei Winkel gibt, welche die angegebene Sinuslänge haben. Je nachdem, ob es sich um ein spitz- oder stumpfwinkeliges
Dreieck handelt, müssen wir immer selber feststellen, welcher der beiden Winkel nun der richtige ist.
Dabei ist ein Satz besonders praktisch:
Trigonometrischer Monotoniesatz: In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der
größten Seite, der kleinste Winkel der kleinsten Seite gegenüber. D.h.:
a ≤b≤ c ⇔α ≤ β ≤γ
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Sehen wir uns dies an einem Beispiel an:
Beispiel: Von einem Dreieck kennt man die Seiten b=14 cm, c=12 cm und den
Winkel β = 70° . Berechne die Seite a und die Winkel α und γ.
Lösung:
Wir fertigen wieder eine Zeichnung an:
Wir setzen den Sinussatz an:
b
c
=
sin β sin γ
Wir setzen bekannte Werte ein:
14
12
=
sin 70° sin γ
Wir multiplizieren kreuzweise:
14 ⋅ sin γ = 12 ⋅ sin 70°
/ : 10
12 ⋅ sin 70°
γ = arcsin
= 53,65°
14
Da wir diesen Winkel mittels des Sinussatzes berechnet haben, müssen
wir noch überprüfen, ob die Größe auch stimmen kann. Laut Angabe ist
die Seite b länger als die Seite c. Da der Winkel γ der Seite c gegenüberliegt, kann dies folglich laut dem Satz über die trigonometrische Monotonie kein stumpfer Winkel sein, also stimmt die berechnete Größe.
Übung: Übungsblatt 15; Aufgaben 120 – 121
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WEITERE TRIGONOMETRISCHE AUFGABEN
Beispiel: Ein Grundstück hat die Form eines Vierecks mit a=40 m, b=30 m, c= 60
m, d= 20m und α=120°. Berechne
a)
die Länge der Diagonale f
b)
den Flächeninhalt des Grundstücks
c)
Eine durch den Eckpunkt D und die Seite b gehende Gerade soll das
Viereck in zwei gleich große Flächen unterteilen. Wie weit von B entfernt
schneidet diese Teilungslinie die Seite b?
Lösung:
Die Teile a) und b) sind bereits bekannt und sollen von Ihnen selbst
nachgerechnet werden. Als Lösungen erhalten wir Folgendes:
f = 52,92
A = 1139,74
Für den Punkt c) fertigen wir uns eine Skizze an:
Wir erhalten durch diese Teilungslinie ein Dreieck CDT von dem wir die
Seite c=60, den Winkel γ=61,83° kennen. Da das Viereck außerdem in
zwei flächengleiche Teile zerlegt werden soll, muss die Fläche dieses
Dreiecks die Hälfte der Fläche des Vierecks sein, also A1 =
A
= 569,71
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Da wir aber nun den Flächeninhalt kennen wenden wir auf dieses Dreieck
die trigonometrische Flächenformel an:
A1 =
g ⋅ c ⋅ sin γ
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Wir setzen bekannte Werte ein:
g ⋅ 60 ⋅ sin 61,83°
2
569,71 ⋅ 2
= 21,54
g=
60 ⋅ sin 61,83°
569,71 =
/ ⋅ 2 / : 60 / : sin 61,83°
Damit wir nun die gewünschte Länge wissen, brauchen wir x nur mehr von
b abzuziehen:
BT = b − g = 8,46
Übung: Übungsblatt 15; Aufgabe 122
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Nun folgen einige weitere Aufgaben, die sie lösen sollen: Bei diesen Aufgaben
müssen Sie sich meist bestimmte Winkel mittels logischer Überlegungen zusammendenken. Hilfreich ist dabei insbesondere der Satz über so genannte
Parallelwinkel.
Satz: Zwei Winkel sind dann Parallelwinkel wenn ihre Schenkel paarweise parallel sind. Parallelwinkel sind immer gleich groß oder supplementär.
Man merkt sich diesen Satz auch gerne als die so genannte „Z-Regel“. Wir
zeichnen uns einmal ein solches Z:
Ich zeichne nun zwei solche Parallelwinkel ein:
α und β sind hier Parallelwinkel, weil jeweils ein Schenkel des einen Winkels parallel zu einem Schenkel des anderen Winkels ist (bzw. ident). Folglich können
die beiden Winkel nur gleich groß oder supplementär sein. Da aber beide
Winkel hier spitz sind, müssen sie folglich gleich groß sein.
Nun zeichne ich aber in unserem Z einen supplementären Parallelwinkel zu α
ein:
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Auch hier sind α und β Parallelwinkel. Da aber α spitz ist und β stumpf, muss
β = 180° − α groß sein.
Übung: Übungsblatt 15; Aufgaben 123 - 126
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