Aufgaben zum Stoff vom Freitag

Gunter Ochs
26. August 2016
Mathematik 3 für Informatik
Probeaufgaben zur Klausur, Teil 3
1. Wenn die Wettervorhersage am Vortag Regen prognostiziert, fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von
80 %
tatsächlich Regen. Mit 10prozentiger Wahrscheinlichkeit regnet es auch dann, wenn kein Regen
vorhergesagt wurde. Für
30 %
aller Tage wird Regen vorhergesagt.
(a) Beschreiben Sie die angegebenen Wahrscheinlichkeiten als bedingte Wahrscheinlichkeiten mit den
Ereignissen
R=
Es fällt Regen und
V =
Regen wurde vorhergesagt.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt an einem zufällig ausgewählten Tag Regen?
(c) Angenommen, es fällt Regen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dies richtig vorhergesagt?
2.
(a)
X
(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
(ii) Berechnen Sie den Erwartungswert
(b)
f (x) =
P (X ≤ 2).
sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
Y sei eine diskrete
P (Y = −1) = 31 ,
X
und die Varianz
f (x) = sin ax
(a) Wie kann
(b)
X
a
für
1≤x≤e
und
f (x) = 0
sonst.
V (X).
Zufallsvariable mit
P (Y = 1) =
1
2
und
Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz
3. Sei
1
x für
0≤x≤
π
2a und
f (x) = 0
f (x)
gewählt werden, so dass
P (Y = 5) =
von Y .
1
6.
sonst mit einer Konstanten
Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist?
f (x), wobei a ∈ R gemäÿ (a)
EX und die Varianz V (X).
sei eine Zufallsvariable mit Dichte
Bestimmen Sie den Erwartungswert
a ∈ R.
gewählt ist.
4. Beim Würfeln beträgt der Gewinn 3 Euro bei einer gewürfelten 3. Würfelt man 1, 2, oder 4, verliert
man einen Euro, bei 5 oder 6 gibt es weder Gewinn noch Verlust.
(a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz des Gewinns.
(b) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns bei 50maligem
Würfeln.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise die Wahrscheinlichkeit,
dass bei 50mailgem Würfeln der Gewinn mindestens 5 Euro beträgt.
(d) Wie groÿ ist die Varianz des Gewinns beim einmaligen Würfeln mit dem 50fachen Gewinn bzw.
Verlust (d. h. 150 Euro Gewinn bei einer 3 und 50 Euro Verlust bei 1, 2 oder 4)?
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5.
(a) Von 60 Losen bei einer Tombola sind 10 Gewinnlose.
Geben Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass sich unter 8 gezogenen Losen
(i) genau zwei Gewinnlose
(ii) höchstens zwei Gewinnlose
(iii) mindestens zwei Gewinnlose
benden.
Hinweis: Die Wahrscheinlichkeiten brauchen nicht explizit berechnet zu werden, Angabe der For-
mel genügt.
(b) Von einer (unbekannten) groÿen Anzahl von Losen ist jedes 6. ein Gewinnlos.
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit benutzt werden, dass unter 10 gezogenen Losen genau 2 Gewinnlose sind?
Stellen Sie die entsprechende Formel für die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf.
(c) In der Situation von Aufgabenteil (b) (groÿe Zahl von Losen mit
1/6 Gewinnlosen) werden 180 Lose
gezogen.
Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes mit Stetigkeitskorrektur approximativ die
Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 29 Gewinnlose sind.
6. In einer Urne benden sich 3 rote und 6 grüne Kugeln.
(a) Wie kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass sich unter 4 ohne Zurücklegen gezogenen
Kugeln mindestens 2 rote benden? (Angabe einer Formel genügt)
(b) Jetzt werden Kugeln mit Zurücklegen gezogen, d. h. in jedem Zug ist die Wahrscheinlichkeit für
rot
2
1
3 und für grün 3 . Die Zufallsvariable
(i) Welcher Verteilung genügt
X
X
gebe die Zahl der roten Kugeln bei
8
Ziehungen an.
?
X.
(ii) Bestimmen Sie Erwartunswert, Varianz und Standardabweichung von
(iii) Geben Sie eine Formel an für die Wahrscheinlichkeit
P (X < 3).
(iv) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zahl der roten Kugeln, wenn 24 Kugeln (mit
Zurücklegen) gezogen werden.
7. In einer Telefonzentrale sei
X
die Zahl der Anrufe, die zwischen 14 und 15 Uhr eingehen, und
Zahl der Anrufe zwischen 15 und 16 Uhr. Es wird angenommen, dass
X
und
Y
Y
die
jeweils Poissonverteilt
und voneinander unabhängig sind. Der Erwartungswert (d. h. die durchschnittliche Zahl der Anrufe)
von
X
sei
EX = 80,
der von
Y
sei
EY = 100.
(a) Geben Sie Varianz und Standardabweichung von
X
(b) Wie berechnet man (exakt) die Wahrscheinlichkeit
an.
P (77 ≤ X ≤ 80),
dass in der Zeit von 14 bis
15 Uhr zwischen 77 und 80 Anrufe eingehen (Angabe der Formel genügt).
(c) Was lässt sich über die Verteilung der Zahl
X +Y
der Anrufe zwischen 14 und 16 Uhr sagen?
(d) Bestimmen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes (mit Stetigkeitskorrektur) näherungsweise
die Wahrscheinlichkeiten
(i)
P (Y < 90),
(ii)
P (100 ≤ Y ≤ 110),
(iii)
P (Y > 95).